NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

Embed Size (px)

DESCRIPTION

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů. NAP 8. Metoda sítí s aplikací na parabolick é a eliptické rovnice Metodicky de facto totéž, co v minulé přednášce jen jiné příklady: Neustálený rychlostní profil při oscilačním toku v trubce (parabolická rovnice pro cylindrický s.s.) - PowerPoint PPT Presentation

Text of NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

  • NUMERICK ANALZA PROCES

    NAP8Metoda st s aplikac na parabolick a eliptick rovniceMetodicky de facto tot, co v minul pednce jen jin pklady: Neustlen rychlostn profil pi oscilanm toku v trubce (parabolick rovnice pro cylindrick s.s.) Teplotn pole (parabolick rovnice) a elektrick pole (eliptick rovnice) pi pmm ohmickm ohevu.Identifikace parametr modelu popisovanho metodou konench diferenc pouitm algoritmu Nelder Mead (fminsearch) Rudolf itn, stav procesn a zpracovatelsk techniky VUT FS 2010

  • Oscilan tok v trubceNAP8Mordechai ArdonPi een neustlenho toku stlaiteln tekutiny v trubce nebyl ovovn radiln rychlostn profil. Tie jsme pedpokldali, e rychlostn profil odpovd ustlenmu toku (a e se teba v laminrnm reimu vyvine parabolick profil). Pi rychle se mncm axilnm gradientu tlaku to tak nen. Mrou odchylky je frekvence tlakovch pulzac a Womersleyho slo

  • Oscilan tok v trubceNAP8Prototypem oscilan toku je napklad tok krve v cvnm systmu. Pulzace tlaku vyvolv srdce (systola-diastola, opakujc se s frekvenc cca 1Hz) a v cvch s vtm prmrem (aorta) dochz k tomu, e krev u stny tee opanm smrem ne nkde uprosted. Je tomu tak proto, e nejvt rychlost a tedy i kinetick energie je nejvt u osy trubky, take setrvanost kapaliny pekon i opan psobc gradient tlaku pi jeho nhl zmn. Naproti tomu, u stny, kde je rychlost men, nemus gradient tlaku pekonvat tak velkou hybnost kapaliny, a smr toku bude vcemn poslun sledovat smr gradientu tlaku. Kdy zanedbme stlaitelnost kapaliny a tuhou trubku, popisuje cel problm Navierova Stokesova rovnice pro sloku rychlosti kapaliny ve smru osy trubky, zapsan v cylindrickm souadnm systmu V nekonen dlouh trubici mus bt pn sloka rychlosti nulov a z NS rovnice v radilnm smru plyne, e gradient tlaku dp/dr=0, jinmi slovy, tlak p nezvis na polomru. Axiln gradient tlaku pak me bt pouze funkc asu t.

  • Oscilan tok v trubceNAP8Pokud je gradient tlaku konstantn, vyvine se po jist dob parabolick rychlostn profilPokud je gradient tlaku harmonicky oscilujc funkc asu, budou i rychlosti proudn harmonickou funkc asu, se stejnou frekvenc , jen fzov posunut. Radiln rychlostn profil je pro tento speciln ppad vyjden Besselovou funkc J0 s komplexnm argumentemkde r je bezrozmrn polomr, je hlov frekvence sinusovch oscilac gradientu tlaku a Wo je Womersleyho sloToto analytick een uvdm sp jen pro zajmavost (v praxi se vyuv pi modelovn toku krve v artrich), v dalm textu se zamme na numerick een, kter je pouiteln pro zcela libovoln asov prbh axilnho gradientu tlaku. Kdy je Wo
  • Oscilan tok v trubceNAP8Navier Stokesovu rovnici upravme zavedenm bezrozmrnho polomru a asu,Diferenn pepis tto rovnice na ekvidistantn sti uzlovch bod (pro jeden asov krok ) A to je soustava linernch algebraickch rovnic s tridiagonln matic soustavy (vektor bi je diagonla, di je vektor prav strany)Na ose symetrieNa stnZkuste si to odvodit: na ose je problm s dlenm polomrem r1 muste pout limitn pechod (teba lHopitalovo pravidlo)

  • Oscilan tok v trubceNAP8Tato tridiagonln soustava algebraickch rovnic se d velmi efektivn eit faktorizac, algoritmizovanou nap. v MATLABovsk funkci tridagfunction u = tridag(a,b,c,r,n) bet=b(1); u(1)=r(1)/bet; for j=2:n gam(j)=c(j-1)/bet; bet=b(j)-a(j)*gam(j); u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet; end for j=n-1:-1:1 u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1); endq()-prtokpln vpis MATLABovskho programu bude uveden a za okamik. Zde je jen ukzka typickho asovho prbhu prtoku, kter jak patrno nen ve fzi se zadanm harmonickm prbhem gradientu tlaku. Druh obrzek (radiln rychlostn profil) dokumentuje existenci zptnho toku v ose trubky pro harmonicky oscilujc gradient tlaku by to mla bt Besselova funkce J0.

  • Bernoulliho rovniceNAP8Z praktickho hlediska m asi nejvt vznam posouzen toho, do jak mry ovlivn zmna rychlostnho profilu Bernoulliho rovnici. Otzka: Mohu pout nsledujc tvar Bernoulliho rovnice pro vpoet asov promnn stedn rychlosti (nebo prtoku)?Odchylka predikovanch rychlost nebo prtok zvis na tom, jak velk jsou oscilace tlaku; srovnn s pesnm (numerickm) eenm ukazuje, e amplituda prtok je dle Bernoulliho rovnice, zaloen na tlakovch ztrtch odpovdajcch parabolickmu rychlostnho profilu, zhruba o 10% vy (parabolick profil m men tlakovou ztrtu). Lep pesnosti se d doshnout aproximac rychlostnho profilu polynomem 4 stupn, viz nsledujc text... Tat Bernoulliho rovnice, ale zapsan s bezrozmrnm asem a gradientem tlakuJist nesrovnalost takto napsan Bernoulliho rovnice je v tom, e zrychlen se odvozuje z pedpokladu konstantnho radilnho profilu rychlosti, zatmco tec ztrty z pedstavy parabolickho profilu rychlosti. Rovnici si odvote z rovnovhy sil psobcch na vleek kapaliny o polomru R a tlouce dx.ovte, e to je analytick een (odvod se metodou variace konstant z een homogenn rovnice)

  • Piblin een NS rovniceNAP8Vyjdme z Navier Stokesovy rovnice ve tvaru pouitm pro numerick een (s bezrozmrnm asem a radiln souadnic)a hledejme piblin een ve tvaru, kter zajist automatick splnn okrajovch podmnek v ose a na stnTento rychlostn profil by ml v kadm asovm kroku splnit poten podmnky (pro as =0), vyjden nap. dvojic hodnot c1(0), c2(0), a tak Navier Stokesovu rovnici a to pro libovoln hodnoty r a pro libovolnou zadanou funkci P()(1)

    Graf1

    0

    0.00249375

    0.0099

    0.02199375

    0.0384

    0.05859375

    0.0819

    0.10749375

    0.1344

    0.16149375

    0.1875

    0.21099375

    0.2304

    0.24399375

    0.2499

    0.24609375

    0.2304

    0.20049375

    0.1539

    0.08799375

    0

    List1

    0100

    0.050.99750.050.00249375

    0.10.990.10.0099

    0.150.97750.150.02199375

    0.20.960.20.0384

    0.250.93750.250.05859375

    0.30.910.30.0819

    0.350.87750.350.10749375

    0.40.840.40.1344

    0.450.79750.450.16149375

    0.50.750.50.1875

    0.550.69750.550.21099375

    0.60.640.60.2304

    0.650.57750.650.24399375

    0.70.510.70.2499

    0.750.43750.750.24609375

    0.80.360.80.2304

    0.850.27750.850.20049375

    0.90.190.90.1539

    0.950.09750.950.08799375

    1010

    List1

    List2

    List3

    Graf2

    1

    0.9975

    0.99

    0.9775

    0.96

    0.9375

    0.91

    0.8775

    0.84

    0.7975

    0.75

    0.6975

    0.64

    0.5775

    0.51

    0.4375

    0.36

    0.2775

    0.19

    0.0975

    0

    List1

    0100

    0.050.99750.050.00249375

    0.10.990.10.0099

    0.150.97750.150.02199375

    0.20.960.20.0384

    0.250.93750.250.05859375

    0.30.910.30.0819

    0.350.87750.350.10749375

    0.40.840.40.1344

    0.450.79750.450.16149375

    0.50.750.50.1875

    0.550.69750.550.21099375

    0.60.640.60.2304

    0.650.57750.650.24399375

    0.70.510.70.2499

    0.750.43750.750.24609375

    0.80.360.80.2304

    0.850.27750.850.20049375

    0.90.190.90.1539

    0.950.09750.950.08799375

    1010

    List1

    List2

    List3

    Graf3

    1

    0.9925125

    0.9702

    0.9335125

    0.8832

    0.8203125

    0.7462

    0.6625125

    0.5712

    0.4745125

    0.375

    0.2755125

    0.1792

    0.0895125

    0.0102

    -0.0546875

    -0.1008

    -0.1234875

    -0.1178

    -0.0784875

    0

    List1

    010001

    0.050.99750.050.002493750.050.9925125

    0.10.990.10.00990.10.9702

    0.150.97750.150.021993750.150.9335125

    0.20.960.20.03840.20.8832

    0.250.93750.250.058593750.250.8203125

    0.30.910.30.08190.30.7462

    0.350.87750.350.107493750.350.6625125

    0.40.840.40.13440.40.5712

    0.450.79750.450.161493750.450.4745125

    0.50.750.50.18750.50.375

    0.550.69750.550.210993750.550.2755125

    0.60.640.60.23040.60.1792

    0.650.57750.650.243993750.650.0895125

    0.70.510.70.24990.70.0102

    0.750.43750.750.246093750.75-0.0546875

    0.80.360.80.23040.8-0.1008

    0.850.27750.850.200493750.85-0.1234875

    0.90.190.90.15390.9-0.1178

    0.950.09750.950.087993750.95-0.0784875

    101010

    List1

    List2

    List3

  • Piblin een NS rovniceNAP8Porovnnm koeficient u mocnin polomru r (r0, r2, r4) zskme soustavu obyejnch diferencilnch rovnicEliminace c2() z prvn rovnicea jejm eenm jeFunkce c2() plyne z algebraick rovnice vznikl setenm pedchozch 3 rovnic.Lze zkusit napklad tyto varianty:c2=0 (ignorujeme druhou a tet rovnici), een ignorujeme tet rovnici a eme soustavu 2 rovnic metodou vlastnch seleliminujeme c2 z prvnch dvou rovnic pedpokldajce piblinou platnost tet rovnice (piblin konstantn c2 v eenm asovm kroku)V nsledujcm textu rozebereme variantu c), protoe je nejjednodu: Te ovem mme problm, protoe jsme zskali soustavu t diferencilnch rovnic pro pouze dv neznm c1,c2. A ty ti rovnice jsou linern nezvisl, take pesn een (c1(),c2()) asi existovat nebude, meme jen hledat pijateln kompromis.

    pro konstantn gradient tlaku PLimitn ppad pro m een c1()=-P/4 a c2()=0 co sprvn odpovd pln vyvinutmu parabolickmu rychlostnmu profilu.

  • Ven residuapiblin een NAP8Na tchto edivch strnkch je uvedeno alternativn een vypotu koeficient c1(t), c2(t) metodou vench rezidu.een metodou vench rezidu je mon lep (konzistentnj) ne pedchoz heuristick een.

  • Ven residuapiblin een NAP8Dosazenm zskme residuum NS rovnice Funkce c1 c2 mus splovat podmnku nulovho venho rezidua alespo pro vhov funkce w1(r)=1 a w2(r)=r, tj. rovniceV maticovm zpisuA to u je standardn formulace potenho problmu pro 2 rovnice

  • Ven residuapiblin een NAP8Z praktickho hlediska je mon lep eit pmo prtokyPo dosazen pvodnch rozmrovch veliin a doplnn zrychlen, kter psob proti smru osy x, zskme soustavu dvou obyejnch diferencilnch rovnic pro prtokyPro konstantn gradient tlaku lze nalzt een evoluce vvoje prtok v analytickm tvaru (eenm vlastnch vektor a vlastnch sel) jak