O broju kroz istoriju - pmf.ni.ac.rs · 4 i redove, kao i proizvode brojeva, sa velikim uspehpom odreivali vrednost ove konstante. Ovaj period su, koristei nove metode iz razvijene

Univerzitet u Nixu

Prirodno - matematiqki fakultet

Departman za matematiku

O broju π kroz istoriju(Master rad)

Mentor:Prof. Dr Mi�a Stankovi�

Student:Jovana Veliqkovi�

broj indeksa: 131

Nix, 2018.

Predgovor

,,Am Anfang war die Tat.”

,,U poqetku bexe Delo.”

Johann Wolfgang von Goethe

Za matematiku, na poqetku, bio je broj. Smatra se da broj ne pred-stavǉa samo korene istorije matematike, ve� da je on, xire shva�en,i najdubǉa osnova. Predmet prouqavaǌa ovog master rada je broj π,matematiqka konstanta koja vekovima budi pa�ǌu i interesovaǌe.

Prati�emo izraqunavaǌe broja π kroz vreme, a ono �e nas provestikroz istoriju matematike. Vide�emo, zapravo, na koji naqin su znaǌaiz geometrije, analize, numeriqke analize, algebre i teorije brojevadoprinela odre�ivaǌu ogromnog broja ǌegovih decimala, ali i kakoovaj broj svojim postojaǌem i osobinama doprinosi nauci.

Mnogi matematiqari i laici nisu odoleli izazovnom zadatku:odre�ivaǌu xto ve�eg broja cifara ovog fascinantnog broja. U radusu izlo�ene genijalne ideje nekih od ǌih, korix�eni metodi i formuleza aproksimaciju broja π do kojih su doxli.

Rad se sastoji iz qetiri glave. Prvo poglavǉe je uvodnog karaktera.Data je definicija i navedene su osnovne osobine broja π. Drugi deoovog poglavǉa uvodi qitaoca u svet polinoma, teorije poǉa i konstruk-tibilnih brojeva, a sve u ciǉu dokazivaǌa iracionalnosti, transce-dentnosti i nekonstruktibilnosti broja π.

Drugo poglavǉe obuhvata geometrijski period dexifrovaǌa kon-stante π. Na samom poqetku ove glave izlo�en je stav Biblije premabroju π. Zatim su navedeni i analizirani vavilonski, egipatski,grqki, kineski, i indijski proraquni o odnosu obima i preqnika kruga.Znaqajan deo ove glave posve�en je Arhimedu i ǌegovom naqinu izraqu-navaǌa broja π pomo�u opisanih i upisanih poligona u krug, tj. metodikoja dose�e do sredǌeg veka i kulminira u radovima Ludolfa van Co-jlena.

Tre�e poglavǉe odnosi se na vreme analitiqkog razvoja matema-tiqkih funkcija. Postepeno se odrekavxi nepreciznih geometrijskihkonstrukcija poligona, matematiqari su, koriste�i beskonaqne nizove

4

i redove, kao i proizvode brojeva, sa velikim uspehpom odre�ivalivrednost ove konstante. Ovaj period su, koriste�i nove metode izrazvijene algebre i aritmetike, objavǉenim radovima obele�ili: �onVolis, �ejms Gregori, Isak ǋutn, Lajbnic, Leonard Ojler, AbrahamXarp, �on Mejqin, Vilijam Xenks.

Posledǌe poglavǉe govori o broju π u eri kompjutera. Najpre jeizlo�ena jedna od neobiqnih formula za odre�ivaǌe decimala broja πkoju je zabele�o indijski matematiqar Srinivasa Ramanuan. Zatimse govori o pojavi prvih raqunara i ǌihovoj ulozi u izraqunavaǌubroja π. Navedeni su i neki algoritmi koji su posledǌih godina do-prineli ode�ivaǌu rekordnog broja cifara ove konstante. Na samomkraju pa�ǌa je posve�ena jednom interesantnom metodu koji se zasnivana tzv. Bifonovom eksperimentu.

Veliku zahvalnost dugujem svom mentoru, prof. dr Mi�i Stankovi�una pomo�i i struqnim savetima koji su ovaj master rad uqinili kvali-tetnijim. Preciznijoj konaqnoj formi rada konstruktivnim sugesti-jama doprineli su prof. dr ǈubica Velimirovi� i prof. dr MilanZlatanovi�, kojima se tako�e zahvaǉujem.

Predlog i mogu�nost obrade ove interesantne teme ǌihova su za-sluga, a mogu�e grexke u radu iskǉuqivo moja.

Neizmerno sam zahvalna i svojoj porodici na bezrezervnoj podrxcii razumevaǌu.

6

SADR�AJ

1 Uvod 91.1 O broju π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Proxireǌa poǉa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Geometrijski period 172.1 Biblija i π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Mesopotamija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Egipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Rajndov papirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Moskovski papirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Grqka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Kina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Indija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Sredǌi vek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Klasiqni period 45

4 π u eri kompjutera 534.1 Pojava prvih raqunara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Serija brzih algoritama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Bifonov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7

8 SADR�AJ

Deo 1

Uvod

1.1 O broju π

Nesumǌivo je da nijedan matematiqki problem nije izazvao tolikoznati�eǉe i qu�eǌa kao broj π. O tome svedoqe rad, voǉa, upornosti istrajnost mnogih velikih ,,umova” da ovaj problem uspexno rexe.Naime, istorija matematike bele�i mnogo pokuxaja da se xto pre-ciznije izraquna vrednost broja π.

Xta je zapravo uzrok texko�e u predstavǉaǌu ovog broja pomo�ukonaqnog broja cifara? I da li je to uopxte mogu�e uqiniti?

Odgovor na ova pitaǌa le�i u osobinama broja π u xta �emo seuveriti do kraja ovog poglavǉa. Navedimo, najpre, definiciju ovematematiqke konstante.

Definicija 1.1. Odnos obima kruga i ǌegovog preqnika predstavǉa brojπ.

π =O

d

gde je O obim, a d preqnik kruga. (Videti sliku 1.1.)U Euklidskoj geometriji qesto se sre�e slede�a definicija:

Definicija 1.2. Odnos povrxine kruga i povrxine kvadrata konstru-isanog nad ǌegovim polupreqnikom naziva se π.

π =P

r2,

9

10 1. Uvod

Slika 1.1.

Slika 1.2.

1.2. Polinomi 11

pri qemu je P povrxina kruga, a r polupreqnik kruga, (kao na slici1.2).

Pomenuta konstanta obele�ava se grqkim slovom π. Oznaka potiqeod grqke reqi perimetros xto znaqi meriti okolo. U literaturi sejavǉa i kao Arhimedova konstanta ili Ludolfov broj. Ovu oznaku je umatematiku uveo Vilijam �ouns 1707. godine, koja postaje standardnanakon xto ju je usvojio Leonard Ojler 1734. godine.

π je iracionalan broj, dakle, nije mogu�e predstaviti ga u vidurazlomka. Zato ǌegov decimalni zapis nema kraja i nije periodiqan.Iracionalnost broja π dokazao je Johan Hajnrih Lambert (Johann Hein-rich Lambert).

Broj π je transcedentan, odnosno, nije rexeǌe nijedne algebarskejednaqine s racionalnim koeficijentima. Ovu osobinu dokazao je Fer-dinand fon Lindeman (Ferdinand von Lindemann). Dokazi ovih osobinadati su u nastavku.

Navex�emo, najpre, neke osnovne definicije i teoreme neophodne zarazumevaǌe dokaza osobina broja π.

1.2 Polinomi

Definicija 1.3. Neka je F = (F,+, ·, 0, 1) poǉe i neka su a0, . . . an ∈ F .Algebarski izraz oblika:

p(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn

je polinom nad poǉem F sa koeficijentima a0, a1,...,an.Ako je an = 0, stepen polinoma jednak je n.

Prsten polinoma qiji su koeficijenti elementi prstena R sa je-dinicom oznaqava se sa R[x]. Za elemente skupa R ka�emo da su kon-stantni polinomi prstena R[x]. Ako su i razliqiti od 0, re�i �emoda su nenula konstantni polinomi. Prsten polinoma nad poǉem F oz-naqava se sa F [x].

Element a je koren polinoma p(x) ∈ F [x] ako je p(a) = 0.Polinom f(x) je (nerazlo�iv) u F [x] ako i samo ako je nekonstan-

tan polinom i nema prave deliteǉe u F [x]. Ako postoje polinomi a(x)i b(x) ∈ F [x], stepena maǌeg od stepena polinoma f(x), takvi da jef(x) = a(x)b(x), tada za polinom f(x) ka�emo da je reducibilan poli-nom (razlo�iv polinom) u F [x].

12 1. Uvod

1.3 Proxireǌa poǉa

Neka su F i K poǉa takva da je F ⊂ K. Tada za poǉe F ka�emo da jepotpoǉe poǉa K, a za poǉe K da je proxireǌe poǉa F . K mo�emo daposmatramo kao vektorski prostor nad poǉem F . Za dimenziju K, kaovektorskog prostora nad F , ka�emo da je stepen poǉa K nad poǉem Fi obele�avamo sa [K : F ]. Ako je dimenzija poǉa K nad F konaqna, zapoǉe K ka�emo da je konaqno proxireǌe poǉa F . U suprotnom, poǉe Kje beskonaqno proxireǌe poǉa F .

Definicija 1.4. Element α ∈ K je algebarski element nad poljem F ako isamo ako postoji nenula polinom f(x) ∈ F [x] takav da je f(α) = 0. α je tran-scedentan element nad F ako i samo ako nije nula nijednog nenula polinomaiz F [x].

Definicija 1.5. Poǉe K je algebarsko proxireǌe poǉa F ako i samo akoje svaki element α ∈ K algebarski nad F . Ako postoji element α ∈ Kkoji nije algebarski nad F , za K ka�emo da je transcedentno proxireǌepoǉa F .

Teorema 1.1. Neka je F poǉe. Svako konaqno proxireǌe poǉa F je alge-barsko proxireǌe.

Dokaz:Neka je poǉe K konaqno proxireǌe poǉa F , stepena n, α ∈ K pro-

izvoǉan element. Tada je skup {1, α, ..., αn} ⊆ K linearno zavisan u K.Dakle, postoje elementi b0, b1, ...bn ∈ F od kojih je bar jedan razliqitod 0, takvi da je:

b0 + b1x+ ...+ bnxn = 0.

To znaqi da je α nula nenula polinoma b0 + b1x+ bnxn ∈ F [x], te je α

algebarski element nad poǉem F . Kako je α ∈ K proizvoǉan elementzakǉuqujemo da je poǉe K algebarsko proxireǌe poǉa F .

Teorema 1.2. Ako je K konaqno proxireǌe poǉa F , i L konaqno prox-ireǌe poǉa K, tada je i L konaqno proxireǌe poǉa F i va�i:

[L : F ] = [L : K][K : F ] (1.1)

Dokaz:Neka A = {e1, ..., er} ⊆ K baza za K nad F i B = {ε1, ..., εs} ⊆ L baza za

L nad K. Ako je u ∈ L, tada postoje b1, ..., bs ∈ K takvi da je u = b1ε1+ ...+

1.3. Proxireǌa poǉa 13

bsεs. Tako�e, postoje ai1, ..., air ∈ F takvi da je bi = ai1e1 + ...airer, 1 ≤ i ≤ s.Tada je:

u = b1ε1 + ...+ bsεs

= (a11e1 + ...a1rer)ε1 + ...+ (as1e1 + ...+ asrer)εs

= a11e1ε1 + ...+ as1e1εs + ...+ a1rerε1 + ...+ asrerεs

odakle sledi da je skup C = {e1ε1, ..., e1εs, ..., erε1, ..., erεs} generatorniskup za L nad F . Iz:

0 = a11e1ε1 + ...+ as1e1εs + ...+ a1rerε1 + asrerεs

= (a11e1 + ...+ a1rer)ε1 + ...+ (as1e1 + ...+ asrer)εs

sledi da je

a11e1 + ...+ a1rer = 0, ..., as1e1 + ...+ asrer = 0

jer je B = {ε1, ..., εs} ⊆ L baza za L nad K. Kako je A = {e1, ..., er} ⊆ Kbaza za K nad F , to je i:

a11 = ... = a1r = ... = a1s = ... = asr = 0.

Prema tome, C ⊆ L je nezavisan nad F , pa je C baza za poǉe L nadpoǉem F . Dakle, poǉe L je proxireǌe poǉa F stepena rs.

Teorema 1.3. Ako je F0, F1, ..., Fn, n ≥ 2, niz poǉa takvih da je Fi konaqnoproxireǌe poǉa Fi−1, 1 ≤ i ≤ n, tada je Fn konaqno proxireǌe poǉa F0 iva�i:

[Fn : F0] = [Fn : Fn−1] · [Fn−1 : Fn−2] · ... · [F1 : F0]

Dokaz: Dokaz sledi iz prethodne teoreme indukcijom po n.

Transcedentnost broja πTranscedentnost broja π je direktna posledica

Lindeman-Vajerxtrasove teoreme.

Prva formulacija teoreme:Ako su α1, ..., αn algebarski brojevi, linearno nezavisni nad skupom raci-

onalnih brojeva, (skupom Q), onda su eα1 , eα2 , ..., eαn linearno nezavisni nadpoǉem Q.

Druga formulacija teoreme:Ako su α1, ..., αn razliqiti algebarski brojevi, tada su eα1 , eα2 , ..., eαn

linearno nezavisni nad skupom algebarskih brojeva.

14 1. Uvod

Drugim reqima, ako su a1, a2, ..., an algebarski brojevi takvi da va�i:(a1, a2, ..., an) = (0, 0, ..., 0) i α1, α2, ..., αn razliqiti algebarski brojevi,onda je:

a1eα1 + ...+ ane

αn = 0.

Lema 1:Ako su K i c celi brojevi razliqiti od nule, i β1, β2, ..., βm koreni

polinoma sa celobrojnim koeficijentima: p(x) = vxm + ... + u, pri qemusu v, u = 0, onda je:

K + c(eβ1 + eβ2 + ...+ eβm) = 0

Lema 2:Ako su b(0), b(1), ..., b(n) celi brojevi razliqiti od nule i γ(0), γ(1), ..., γ(n)

razliqiti algebarski brojevi onda je:

b(0)eγ(0) + b(1)eγ(1) + ...+ b(n)eγ(n) = 0.

Broj π je transcedentan, jer, ako pretpostavimo da je algebarski,tada bi po Lemi 2 bilo: 1 + eiπ = 0, xto je netaqno.

Po Lemi 1 zakǉuqujemo da je π iracionalan. Jer, ako pretpostavimoda je π racionalan broj, tj. π = k

n, gde je k ceo broj i n ∈ N , onda su

iπ i −iπ koreni jednaqine: x2 + k2

n2 = 0 i va�i: 2 + eiπ + e−iπ = 0, xto jepogrexno.

Pokaza�emo da π nije konstruktibilan.

Definicija 1.6. Taqke u Euklidskoj ravni koje se mogu dobiti osnovnimkonstrukcijama (i korenovaǌem) u konaqno mnogo koraka nazivaju se kon-struktibilne.

Koriste�i metode analitiqke geometrije taqke oznaqavamo kao ure-�ene parove realnih brojeva. Broj x je konstruktibilan ako je par(x,0) konstruktibilan. Tako�e, a i b su konstruktibilne taqke akoi samo ako je par (a, b) konstruktibilan. Za konstruktibilne taqkeva�e slede�e osobine, tj. sve dozvoǉene konstrukcije su svodǉive naslede�e. Ako su A,B,C i D razliqite konstruktibilne taqke, tadava�i:

1. Ako se prave AB i CD seku, onda je i ǌihova preseqna taqkakonstruktibilna.

1.3. Proxireǌa poǉa 15

2. Ako je K krug sa centrom u taqki A i polupreqnikom AB kojiseqe pravu CD, tada su preseqne taqke kruga K i prave CD konstruk-tibilne.

Ako se pretpostavi da koordinate taqaka A,B,C i D le�e u nekompotpoǉu F realnih brojeva, koriste�i se metodama analitiqke ge-ometrije neposredno se nalazi da:

• Ako va�i navedeni sluqaj 1. koordinate nove taqke le�e u poǉuF .

• Ako va�i navedeni sluqaj 2. koordinate nove taqke le�e u F iliu F (

√a), gde je a ∈ F neki pozitivan broj.

Teorema 1.4. Skup konstruktibilnih brojeva K je poǉe, koje je prox-ireǌe poǉa racionalnih brojeva Q i va�i:

[K : Q] = 2n, n ∈ N

Nakon konaqnog broja koraka u konstrukciji mo�emo sukcesivno do-biti lanac proxireǌa:

Q ⊂ Q(√α1) ⊂ Q(

√α1,

√α2) ⊂ ... ⊂ Q(

√α1, ...,

√αn) = K

Dakle, svako slede�e proxireǌe u odnosu na prethodno je stepena2 (jer su u pitaǌu kvadratna proxireǌa) pa va�i [K : Q] = 2n.

Zakǉuqak: Za svaki konstruktibilan broj a postoji n ∈ N tako da je:Q = F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fn i a ∈ Fn, gde za ι ≤ n va�i Fi = Fi−1(

√ai), ai

je neki pozitivan broj iz Fi−1. Prema gore navedenoj teoremi va�ida je [Fn : Q] = 2m za neki m ∈ N , pa je i [F (a) : Q] stepen broja 2.Tj. konstruktibilni brojevi su oni brojevi do kojih se mo�e do�inakon konaqnog niza kvadratnih proxireǌa poǉa Q (broj proxireǌaje konaqan broj n), odnosno, to su svi brojevi koji se nalaze u poǉuK = Q(

√α1, ...,

√αn).

Otuda va�i slede�e tvr�eǌe.

Teorema 1.5. Svaki konstruktibilan realan broj je algebarski nad poǉ-em Q.

Drugim reqima, svaki konstruktibilan broj α je nula nekog polinomasa racionalnim koeficijentima.

Dokaz: Neka je α proizvoǉan konstruktibilan broj. To znaqi da onpripada nekom proxireǌu K = Q(

√α1, ...,

√αk) za neki konaqan broj

16 1. Uvod

k ∈ N i stepen proxireǌa poǉa K nad Q je konaqan broj 2k, tj. K jekonaqno proxireǌe, pa je K algebarsko proxireǌe, xto znaqi da je αalgebarski element.

Napomena: Obrnuto ne va�i. Nisu svi algebarski brojevi konstruk-tibilni.

Kako broj π nije algebarski nad poǉem Q, nije ni konstruktibilan.

Na ovoj osobini broja π zasniva se dokaz nerexivosti drevnog an-tiqkog problema- kvadrature kruga, tj. dokaz da nije mogu�e konstru-isati kvadrat povrxine jednake povrxini datog kruga.

Deo 2

Geometrijski period

2.1 Biblija i π

U Bibliji (I Kraljevi 7,23) u opisima planova za izgradǌu quvenogSolomonovog hrama, 950.godine p.n.e, pomiǌe se liveǌe velikih, okruglih,bakarnih obrednih posuda. Hram, koji je sruxen 587. godine p.n.e, bioje grandioznih dimenzija. Izme�u hrama i �rtvenika nalazio se umi-vaonik, nazvan ,,Medeno more” (zbog svoje veliqine).

Broj π zapravo nalazimo u opisu tog umivaonika:

Slika 2.1.

,,I sali more; deset lakata bese mu od jednog kraja do drugoga, okruglo unaokolo,pet lakata bese visoko, a unaokolo mu bese trideset lakata.”

17

18 2. Geometrijski period

Dakle, odnos obima i preqnika iznosi 3010

= 3. To nije naroqitoprecizna vrednost, imaju�i u vidu vreme u kojem je zapisana. Naime,u to vreme su u Egiptu i Mesopotamiji korix�ene vrednosti (16

9)2,

odnosno 258. Napomenimo, u odbranu Solomonovim zanatlijama, da su

pojedini predmeti bili takvog oblika da veliki stepen geometrijskepreciznosti nije bio mogu�, niti neophodan.

U Bibliji nema traga o tome da se znalo da je, u opxtem sluqaju,odnos obima kruga i ǌegovog preqnika stalan broj. Ova vrednost zaπ zbuǌivala je matematiqare godinama. Bilo je raznih polemika, od,,Ovo je dokaz da je Biblija la�na”, do ,,Ovo je dokaz da je π zaistajednako 3 i nauqnici la�u.” Neki pak smatraju da je Solomonov sudbio oblika qaxe sa rubom; te da je preqnik meren na vrhu qaxe, a obimoko dna qaxe.

2.2 Mesopotamija

Mesopotamija, podruqje izme�u Tigra i Eufrata, bila je kolevka jedneod najstarijih kultura. Pismo te kulture bilo je primitivno slikovno,ali je vrlo rano postalo izuzetno stilizovano. Nazvano je klinastopismo zbog obiqaja urezivaǌa znakova u meke glinene ploqice, kojesu suxene na suncu. Dexifrovaǌe oquvanih tekstova omogu�ilo jespoznaju kulture naroda Mesopotamije: Sumeraca, Vavilonaca, Asir-aca, Aka�ana. Qesto se termin vavilonki poistove�uje sa pojmom meso-potamijski.

Izvori informacija koje se odnose na nivo vavilonske matematikevrlo su obimni. Vixe stotina tablica bavi se algebarskim i ge-ometrijskim problemima. U vavilonskoj numeriqkoj aritmetici vrx-ena su mnoga izraqunavaǌa pomo�u tablica. Bile su to tablice mno-�eǌa, reciproqnih veliqina, kvadratnih i kubnih korena, nalik naxojtablici za logaritme. Mada je bilo i slo�enijih-jedna od ǌih sadr�ivrednosti oblika n3+n2 u rasponu od n = 1 do n = 30, koja je verovatnoupotrebǉavana za rexavaǌe jednaqina oblika:

x3 + x2 = a

za zadato a i nepoznato n. Prona�ene su i tablice sa veoma dobrimaproksimacijama broja

√2. U pogledu vrednosti za π u tablicama

se najqex�e uzimala biblijska vrednost π = 3, ali se sre�e i boǉaaproksimcija, tj. vrednost 31

8.

Saquvane tablice sadr�e i slo�enije zadatke, uglavnom za rexa-vaǌe problema u praksi. Znali su za Pitagorinu teoremu, iako nije

2.3. Egipat 19

poznato kako su do ǌe doxli. Bilo je nekoliko pokuxaja da se utvrdina koji naqin su Vavilonci dolazili do svojih rezultata, ali su tojox uvek samo pretpostavke.

2.3 Egipat

Tokom dugog vremenskog perioda najbogatiji istorijski izvori kojimase raspolagalo poticali su iz Egipta - jedne od najranije stvore-nih civilizacija. I danas su zadivǉuju�i snaga duha, voǉe i du-bina misli xto su nikle i razvijale se u dolini Nila pre vixe hiǉ-ada godina. Za razliku od gotovo neunixtivih vavilonskih glinenihploqica, Egip�ani su koristili maǌe trajan materijal za pisaǌe-papirus. Me�u brojnim spisma najrazliqitijeg sadr�aja, oquvanih za-hvaǉuju�i suvoj klimi Egipta, ima i onih koji se tiqu matematike. Upoqetku, iz portebe organizovaǌa poǉoprivredne proizvodǌe i mereǌazemǉixta, razvijen je raqun i mereǌe. Naime, Egip�ani su imalirazvijene sisteme za raqunaǌa i odgovaraju�u simboliku, a ralomcimasu baratali vrlo vexto. Nadaǉe, izgradǌa veliqanstvenih hramovai piramida pretpostavǉala je odre�ena geometrijska znaǌa. Qestaprimena matematike ogleda se u vo�eǌu porezne evidencije, u komer-cijalnim poslovima.

O staroegipatskoj matematici saznajemo najvixe iz dva papirusa:Rajndovog i Moskovskog.

2.3.1 Rajndov (Ahmesov) papirus

Ahmesov papirus potiqe iz 1650. godine pre nove ere, a ime je dobiopo svom piscu Ahmesu. Sam autor tvrdi da je to prepis zadataka kojeje on izabrao iz dokumenta starog oko 200 godina i da je posve�en,,savrxenom i temeǉnom prouqavaǌu svih stvari, razumevaǌu ǌihovesuxtine i znaǌa ǌihovih tajni”. Papirus je 1858. godine pronaxaoxkotski arheolog Henri Rajnd (Alexander Henry Rihnd 1833-1863.) pokome se ovaj dokument naziva i Rajndov papirus. Quva se u Britanskommuzeju, a nekoliko maǌih fragmenata istog nalaze se u Bruklinskommuzeju u ǋujorku.

Rajndov papirus, svitak du�ine oko 5m i xirine oko 33cm, pred-stavǉa zbirku problema iz aritmetike i geometrije. Sadr�i 87 za-dataka i to 80 iz algebre, svaki sa sopstvenim rexeǌem. Ve�ina za-dataka je iz svakodnevnog �ivota. Mnogi su veoma jednostavni, zahte-vaju rexavaǌe jednaqine s jednom nepoznatom. U nekim ima i naznaka


Slika 2.2.

teorije. Neki zadaci su geometrijske prirode i odnose se prvenstvenona mereǌa.

Prema rexeǌu qetrdeset osmog problema Rajndovog papirusa, pri-bli�nu vrednost broja π raqunali su sukcesivnim smaǌivaǌem povrx-ine kvadrata, (slika 2.3). Pretpostavǉa se da je to uqiǌeno na slede�inaqin:

1. Neka je pribli�na vrednost povrxne kruga preqnika d, PO, jed-naka povrxini kvadrata (oznaqimo taj kvadrat sa A), koji je opisan okotog kruga. Tada je P0 = d2, te je pribli�na vrednost broja π jednaka 4.

2. Ako povrxinu kvadrata A umaǌimo za zbir povrxina qetirikvadrata A1 qije su stranice d

6, tada �e pribli�na vrednost povrxine

kruga biti:

P0 = d2 − 4(d

6)2 =

8

9d2.

Odavde sledi da pribli�na vrednost broja π iznosi 3,555.3. Ako novodobijenu povrxinu umaǌimo za zbir povrxina 8 kvadrata

A2, stranica d9, onda �e pribli�na vrednost povrxine kruga biti

P0 =8

9d2 − 8(

d

9)2 = (

8

9)2d2

odakle je:

π = 4(8

9)2 = 3, 1605.

Ovaj rezultat je impresivan, imaju�i u vidu da su, u isto vreme uMesopotamiji, u kojoj je aritmetika bila razvijenija nego u Egiptu,koristili za π vrednost 25

8, odnosno, 3,125.

2.3. Egipat 21

Slika 2.3.

2.3.2 Moskovski papirus

Moskovski papirus datira iz 1850. godine pre nove ere. Autor ovogspisa nije poznat, ǌegovo dexifrovaǌe izvrxili su B.A.Turaev i B.B.Struvei objavili ga 1930. godine.

Ovaj papirus predstavǉa svitak du�ine oko pola metra i xirinemalo maǌe od 8cm. Sadr�i 25 zadataka me�u kojima su i najve�adostignu�a egipatske geometrije. Kao i u Rajndovom, zadaci su prak-tiqne prirode, izlo�eni sa instrukcijama bez dokaza, a problemi sesvode na zamrxenu aritmetiku i primitivnu algebru. Quva se u muzejulikovnih umetnosti u Moskvi.

Prema rexeǌu desetog problema Moskovskog papirusa, Egip�ani suznali obrazac za povrxinu lopte. Iako ima drugih tumaqeǌa, pret-postavka je da se ovaj zadatak odnosi na povrxinu kupole. Desetiproblem glasi:

,,. . . izraqunaj povrxinu polulopte (kupole) ako je kupola data sa,,osnovom” polupreqnika 41

2. O, daj da saznam ǌenu povrxinu? Izra-

qunaj 19od 9, poxto je kupola polovina jajeta. Dobija se 1. Izraqunaj

ostatak, to je 8. Izraqunaj 19od 8. Dobi�e se 2

3, 16,, 118

(89egipatski

matematiqar predstavio je kao zbir osnovnih razlomaka 89= 2

3+ 1

6+ 1

18).

Izraqunaj ostatak od tih 8 (pri oduzimaǌu) tih 23, 16,, 118. Dobi�ex

719. Izraqunaj 71

9puta 41

2. Dobija se 32. Pogledaj: to i jeste ǌena

povrxina. Dobio si ispravan rezultat.”

Oznaqimo sa d preqnik osnove kupole. Rezultat rexeǌa mogu�e jeizraziti formulom:


Slika 2.4.

P = d[(2d− 1

9)− 1

9(2d− 1

92d)]

tj.

P = [(1− 1

9)− 1

9(1− 1

9)]2d2 = (

8

9)22d2 = 2(

8

9d)2

Egip�ani su izraz (89)2 upotrebǉavali za raqunaǌe povrxine kruga,

odakle se mo�e zakǉuqiti:

π ≈ 256

81≈ 3, 1605

Stoga je povrxina P , koju su naxli Egip�ani, jednaka zbiru povrxinadva kruga preqnika d.

U suxtini, matematika Egipta i Mesopotamije nema opxtih metoda,ni teorija. Nije bilo namere da se razvije nauqna torija, ve� da serexe praktiqni problemi u zemǉoradǌi, gra�evinarstvu, ekonomiji.Naime, matematiqki spisi Egipta i Mesopotamije bili su ,,priruqnici”o tome kako se meri zemǉa, gradi kanal, utvr�uje polo�aj zvezda, zidapiramida, raspodeǉuje letina,. . .Logiqko izvo�eǌe i dokazivaǌe biloje tek u zaqecima. Postepeno se matematika razvijala i radi ǌe same.

2.4. Grqka 23

2.4 Grqka

Do Grka, matematika je bila prete�no ,,empirijska nauka”. StariGrci bili su prvi koji su sebi postavili zadatak da sva nova matem-atiqka znaǌa sakupe i pove�u u skladnu celinu unutar koje �e svakaformula biti dokazana, tj. strogo logiqki izvedena kao nu�na posled-ica iz nekih primarnih, osnovnih i indiskutabilnih pretpostavki.Naime, te�ilo se matematici koja ne postavǉa samo istoqǌaqko pi-taǌe kako?, ve� i savremeno nauqno pitaǌe zaxto? Starogrqka matem-atika bogatija je, svestranija i xira od svega xto je pre toga u tompodruqju ǉudskog umovaǌa stvoreno. O epohi formiraǌa grqke matem-atike mo�emo da zakǉuqujemo samo na osnovu maǌih fragmenata, kojise nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapa�aǌa filozofai drugih autora, koji nisu bili samo matematiqari. U poqetku suse Grci bavili matematikom imaju�i jedan osnovni ciǉ- da se shvatikakvo mesto zauzima qovek u vasioni i to u okviru neke racionalnexeme. Matematika je doprinela da se uspostavi red u tom haosu, da seideje pove�u u logiqke nizove, kao i da se otkriju osnovni principi.

Za razliku od Egip�ana i Vavilonaca koji su pronaxli svoje os-novno razumevaǌe odnosa, koji se mogao primeǌivati za mereǌe zemǉi-xta, gra�eǌe hramova, piramida i drugih pravouglih zdaǌa, Grci sudubǉe ispitivali temu kru�nih mera. Bili su opsednuti, ne mereǌ-em zemǉixta, ve� istra�ivaǌem ideja. U tom, tzv. zlatnom doburazmixǉaǌa i misli, iako ne najva�niji problem tada, odnos izme�uobima i preqnika kruga zasigurno je bio u fokusu nekih od najve�ihmislilaca antiqke istorije.

Anaksagora

Anaksagora (500-428. pre nove ere) iz Klazomene (Mala Azija) bioje prvi Grk koji je pokuxao da na�e vezu izme�u kruga i kvadrata.Osnivaq atinske filozofske xkole, Anaksagora je bio veoma uticajanastronom i matematiqar.

Poznat je i po svom asketskom naqinu �ivota i ǉubavi prema prirodi.Posmatraǌem nebeskih tela doxao je do novih teorija o poretku usvemiru xto ga je dovelo do sukoba s narodnom verom. Uhapxen je zbogprotivǉeǌa religijskim dogmama, a u zatvoru je razradio metodu zacrtaǌe kvadrata povrxine iste kao povrxina datog kruga. Na to jeukazao Plutarh, mada nije ulazio u detaǉe, niti je objasnio kako jeAnaksagora to uradio.


Slika 2.5.

Antifont

Antifont, sofista i Sokratov savremenik, ro�en je u Atini. Baviose matematikom, fizikom, etikom, politikom, teorijom kulture i gnose-ologijom.

Razmatrao je i problem kvadrature kruga. Antifontova ideja bilaje da se u zadati krug upisuju pravilni mnogouglovi i to u svakomnarednom upisivaǌu sa duplo ve�im brojem stranica, (Slika 2.6).Prema Simplikiju polazna figura bila je kvadrat, dok je prema Temi-stiju taj poligon bio jednakostraniqan trougao. Kao autentiqna verz-ija smatra se trougao, ali se u literaturi opisuje metod sa polaznoupisanim kvadratom.

Postupak je slede�i:U zadati krug se upixe kvadrat, a nad ǌegovim stranicama se kon-

struixu jednakokraki trouglovi. Teme svakog trougla naspram os-novne ivice, tj. stranice kvadrata, le�i na kru�nici. Temena kvadratai navedena temena trougla (osam ukupno) su temena pravilnog osmouglaupisanog u krug. Ukoliko se postupak ponovi, dobija se pravilnixesnaestougao upisan u krug. Svaki naredni put se broj ivica ud-vostruquje, obim i povrxxina mnogougla sve su bli�i obimu i povrx-ini kruga, dok se u jednom koraku ne izjednaqe. Kako je Antifont znaoda konstrixe kvadrat iste povrxine kao i zadati mnogougao, iz jed-nakosti povrxina kruga i mnogougla sledi i jednakost povrxina krugai kvadrata.

2.4. Grqka 25

Slika 2.6.

Praktiqna va�nost Antifontove konstrukcije je ilustrovana u Ar-himedovoj metodi, gde korixeǌem upisanog i opisanog pravilnog polig-ona sa 96 stranica, Arhimed odre�uje granice za π.

Aleksandar iz Afrodizije daje primedbu na Antifontovu ideju ko-mentarom da krug mo�e dodirnuti pravu samo u jednoj taqki. Ipak,Antifontova ideja je zaqetak antiqke teorije mera koja je nazvana eks-haustija, a temeǉi se na petoj kǌizi Elemenata i principu indirektnogdokaza.

Sliqnu ideju upisivaǌa pravilnih mnogouglova u krug koristiBrison.

Brison

Brison (5. vek pre nove ere) je drevni grqki matematiqar i sofistakoji je dao doprinos rexavaǌu problema kvadrature kruga i izraquna-vaǌu broja π. Poput Antifonta, Brison je doxao na ideju da upixepoligon u krug, zatim udvostruqi broj stranica poligona i ponovi pro-ces, pri qemu kao rezultat dobija doǌu granicu aproksimacije povrx-ine kruga. Kasnije je ponovio proceduru sa poligonima opisanim okokru�nice, dobivxi gorǌu granicu aproksimacije povrxine kruga. Saovim proraqunima mogao je da aproksimira broj π, da qak postavi doǌui gorǌu granicu vrednosti ovog broja. Me�utim, zbog slo�enosti ovemetode, zadr�ao se na aproksimaciji sa pet decimala.

Arhimed

Najve�i matematiqar helenistiqke epohe i celokupnog Starog svetabio je Arhimed (287-212. godine pre nove ere) iz Sirakuze. Ubijen je


kada su Rimǉani zauzeli Sirakuzu, za qiju je odbranu konstruisao nizratnih sprava. ǋegov otac, Fidija, astronim i matematiqar, uqio gaje svemu xto je i sam znao. Brzo je usvojio oqeva znaǌa, koja su zaǌega bila tek poqetak bavǉeǌa naukom, a istra�ivaqki duh odveo gaje u Aleksandruju (Egipat). U Aleksandriji su se, u to vreme, bilistvorili povoǉni uslovi za razvoj nauke- ne samo zato xto su se u ǌojnaxli mnogi veliki umovi, nego i zato xto se sistematskim prikupǉan-jem i prepisivaǌem nauqnih spisa stvorila ogromna biblioteka. Takosu se plodovi grqkog duha naxli u onoj geografskoj sredini odakle imje bilo poreklo.

Slika 2.7.

Glavna karakteristika Arhimeda kao matematiqara jeste sklonostprema praktiqnoj primeni znaǌa. Proslavio se kao in�iǌer, prona-lazaq, astronom i arhitekta. Smatrali su ga izrazitim predstavnikom,,matematiqke fizike”. Prvi radovi su iz oblasti mehanike, a ǌe-govo ime je povezano sa teorijom o gubǉeǌu te�ine tela potopǉenogu teqnost. U ǌegovim radovima se zapa�a zadivǉuju�a originalnostmixǉeǌa, ukalupǉena u numeriqku tehniku i stroge dokaze.

Saquvana su dela: O ravanskom ekvilibrijumu, O sferi i cilindru,O spiralama, Kvadratura parabole, O monoidima i sferoidima, O plu-taju�im telima, Mereǌe kruga, Prebrojavaǌe zrna peska i Metoda. Na-ime, bavio se izraqunavaǌem povrxine i zapremine delova sfere, ko-nusa i paraboloida, postavio temeǉe hidrostatike i hidraulike. Ob-jasnio je, tako�e, i zakon poluge. Poznate su ǌegove izjave ,,Na�ite mimesto na koje da stanem i pomeri�u Zemǉu”, i ,,Ne diraj moje krugove”.

2.4. Grqka 27

Izvrxio je i aproksimaciju broja√3 ograniqavaju�i ga na slede�i

naqin:

265

163<

√3 <

1351

780(2.1)

U spisu Mereǌe kruga izveo je obrazac za du�inu kru�nice koriste�iopisane i upisane mnogouglove. Poxto je doxao do mnogougla sa 96sranica, zakǉuqio je da va�i:

310

71< 3

28414

2018 740

< 32841

4

201714

< π < 36671

2

467312

< 36671

2

467212

= 31

7

odnosno:3, 1408 < π < 3, 1429 (2.2)

odakle vidimo da je Arhimed taqno odredio dve decimale. Kako arit-metiqka sredina ova dva broja iznosi 3,1418, grexka je 0,0002, (znaju�ida π zaokru�eno na qetiri decimale iznosi 3,1416).

Naime, izraqunavaju�i obime tih poligona dobijao je brojeve ve�eod obima kruga (u sluqaju opisanih poligona), odnosno, maǌe od obimakruga (u sluqaju upisanih poligona), a ti se brojevi sve maǌe raz-likuju od obima kruga ukoliko je broj stranica poligona ve�i. Ko-riste�i ovu metodu, kojom bi se mogao izraqunati obim kruga s proiz-voǉnom taqnox�u na �eǉeni broj decimala, Arhimed nije ixao daleko,pa ipak, toliko da je konstatovao da se broj π nalazi u navedenimgranicama.

Metodu beskrajnog uzastopnog pribli�avaǌa nalazimo, jox jasnije,u Arhimedovom izraqunavaǌu povrxine odseqka parabole (kvadraturaparabole). Ova metoda dobija svoju vrednost tek pronalaskom difer-encijalnog raquna.

Mereǌe kruga

Teorema 2.1. Odnos obima i preqnika kruga je maǌi od 317i ve�i od 310

71.

Dokaz:

Prvi deo dokaza

Prvi korak dokaza: Neka je AB preqnik kruga, taqka O ǌegov centar,prava AC ǌegova tangenta u taqki A i neka je ∠AOC jednak 1

3pravog

ugla, (slika 2.8). Onda, na osnovu Arhimedove aproksimacije broja√3

(2.1) va�i:

OA : AC[=√3 : 1] > 265 : 153. (2.3)


Jasno,

OC : CA[= 2 : 1] = 306 : 153 (2.4)

Slika 2.8.

Zatim konstruixemo pravu OD, bisektrisu ugla ∠AOC, koja seqedu� AC u taqki D. Koristimo teoremu:

Teorema 2.2. Simetrala unutraxǌeg ugla trougla deli naspramnu stran-icu u odnosu drugih dveju stranica.

Dakle, prema pomo�noj teoremi 2.2. va�i slede�a jednakost:

CD : DA = OC : OA (2.5)

tj.CO : OA = CD : DA (2.6)

Dodavaǌem 1 levoj i desnoj strani jednakosti (2.6) imamo:

CO : OA+OA : OA = CD : DA+DA : DA

odnosno:

(CO +OA) : OA = CA : DA (2.7)

jer je CD + DA = CA. Tako�e, zamenom mesta qlanovima proporcije,vidimo da va�i i:

(CO +OA) : CA = OA : AD (2.8)

Kako je, prema (2.8): OA : AD = (CO + OA) : CA, i kako je na osnovujednakosti (2.3) i (2.4) (CO + OA) : CA > (265 + 306) : 153, dolazimo doslede�e nejednakosti:

OA : AD > 571 : 153 (2.9)

2.4. Grqka 29

Uoqimo pravougli trougao △ AOD. Prime�ujemo slede�e:

OD2 = OA2 + AD2

Ako uzmemo u obzir nejednakost (2.9) dobijamo:

OD2 : AD2[= (OA2 + AD2) : AD2 > (5712 + 1532) : 1532] > 349450 : 23409

odnosno,

OD : DA > 5911

8: 153 (2.10)

Drugi korak dokaza: Ponovimo postupak tako xto najpre konstruix-emo pravu OE, simetralu ugla ∠AOD koja seqe du� AD u taqki E. Tadaje:

DO : OA = DE : EA

i(DO +OA) : DA = OA : AE

Iz nejednakosti (2.9) i (2.10) sledi:

OA : AE[> (5911

8+ 571) : 153]

tj.

OA : AE > 11621

8+ 153 (2.11)

Tako�e va�i:

OE2 : AE2 > ((11621

8)2 + 1532) : 1532

> (135053433

64+ 23409) : 23409

> 137394333

64: 23409

Konaqno je:

OE : EA > 11721

8: 153 (2.12)

Tr�i korak dokaza: Neka je sada OF simetrala ugla ∠AOE i nekaseqe du� AE u taqki F . Na osnovu nejednakosti (2.9) i (2.11) sledi:

OA : AF > (11621

8+ 1172

1

8) : 153

iOA : AF > 2334

1

4: 153 (2.13)


Zato je:

OF 2 : FA2 > ((23341

4)2 + 1532) : 1532

odnosno,

OF 2 : FA2 > 54721321

16: 23409

iOF : FA > 2339

1

4: 153 (2.14)

Qetvrti korak dokaza: Ponovimo postupak qetvrti put. Neka je pravaOG bisektrisa ugla ∠AOF i neka seqe du� AF u taqki G. Iz (2.13) i(2.14) sledi:

OA : AG > (23341

4+ 2339

1

4) : 153

tj.

OA : AG > 46731

2: 153

Primetimo da je ugao ∠AOC, jednak tre�ini pravog ugla, deǉen napola qetiri puta. Stoga va�i:

∠AOG =1

4890◦.

Konstruiximo ugao ∠AOH simetriqan i podudaran uglu ∠AOG u odnosuna pravu OA. Prava GA seqe pravu OA u taqki H. Tada je:

∠GOH =1

2490◦

Du� GH je stranica pravilnog 96-ougla opisanog oko datog kruga.Kako je

OA : AG > 46731

2: 153

AB = 2OA

iGH = 2AG

sledi da je:

AB : (obim poligona)[> 46731

2: (153 · 96)] > 4673

1

2: 14688.

Kako je:14688

467312

= 36671

2

467212

< 36671

2

467212

< 31

7

2.4. Grqka 31

zakǉuqujemo da je obim kruga (inaqe maǌi od obima poligona) maǌiod 31

7AB, gde je AB preqnik kruga.

Drugi deo dokaza

Neka je AB preqnik kruga i neka prava AC seqe krug u taqki C takoda je ugao ∠CAB jednak tre�ini pravog ugla. Tada je:

AC : CB[=√3 : 1] < 1351 : 780 (2.15)

Prvi korak dokaza: Neka je AD bisektrisa ugla ∠BAC. Ona seqe du�BC u taqki D1 i krug u taqki D, (slika2.9). Uglovi ∠BDA i ∠BCA supravi (kao uglovi nad preqnikom).

Slika 2.9.

AD je simetrala ugla ∠BAC, pa je: ∠BAD = ∠DAC. Uoqimo pravougletrouglove △ACD1 i △BD1D. Uglovi ∠AD1C i ∠BD1D su jednaki (kaounakrsni) te va�i i jednakost preostalih uglova u pomenutim trou-glovima: ∠D1AC = ∠D1BD. Dakle, trouglovi △ADB, △ACD1, △BDD1

su sliqni, pa va�e slede�i odnosi:

AD : DB = BD : DD1

[= AC : CD1]

= AB : BD1

= (AB + AC) : (BD1 + CD1)

= (AB + AC) : BC

tj.(BA+ AC) : BC = AD : DB

jer je BD1 +D1C = BC. Kako je prema (2.15):

AC : CB < 1351 : 780 (2.16)


i kako je: BC = 12AB, tj.

BA : BC = 2 : 1 = 1560 : 780 (2.17)

Sabiraǌem (2.16) i (2.17), imaju�i u vidu (2.15) dobijamo:

(AC +BA) : BC > AD : DB,

odnosno,(1351 + 1560) : 780 > AD : DB

sledi da jeAD : DB < 2911 : 780 (2.18)

Iz pravouglog trougla △BAD va�i: AB2 = AD2+DB2. Kvadriraǌem(2.18) i dodavaǌem 1 levoj i desnoj strani nejednakosti imamo:

(AD2 +DB2) : BD2 < (29112 + 7802) : 7802

tj.AB2 : BD2 < (29112 + 7802) : 7802

AB2 : BD2 < 9082321 : 608400

te je:

AB : BD < 30133

4: 780 (2.19)

Drugi korak dokaza: Neka je, sada, AE bisektrisa ugla ∠BAD kojaseqe krug u taqki E. Na isti naqin kao u prvom koraku dokazujemo dava�i:

AE : EB = (BA+ AD) : BD

< (30133

4+ 2911) : 780

iz (2.18) i (2.19) va�i:

< 59243

4: 780

< (59243

4· 4

13) : (780 · 4

13)

< 1823 : 240. (2.20)

Kako jeAB2 : BE2 < (18232 + 2402) : 2402

< 3380929 : 57600

va�i slede�e:AB : BE < 1838

9

11: 240 (2.21)

2.4. Grqka 33

Tre�i korak dokaza: Neka je AFsimetrala ugla ∠BAE koja seqe krugu taqki F . Va�i slede�e:

AF : FB = (BA+ AE) : BE

Iz (2.20) i (2.21) sledi:

AF : FB < 36619

11: 240

< ((36619

11) · 11

40) : (240 · 11

40)

= 1007 : 66 (2.22)

Stoga va�i:AB2 : BF 2 < (10072 + 662) : 662

1018405 : 4356

pa je:

AB : BF < 10091

6: 66 (2.23)

Qetvrti korak dokaza: Neka je AG simetala ugla ∠BAF koja seqe krugu taqki G. Onda je

AG : GB = (BA+ AF ) : BF.

Iz (2.22) i (2.23) sledi:

AG : GA < 20161

6: 66

iAB2 : BG2 < ((2016

1

6)2 + 662) : 662

< 40692841

36: 4356.

Zato je:

AB : BG < 20171

4: 66

iliBG : AB > 66 : 2017

1

4(2.24)

Kako je ugao ∠BAG rezulat qetiri bisektrise ugla ∠BAC, za koji smopretpostavili da iznosi tre�inu pravog ugla, onda je ∠BAC = 1

4890◦.


Centralni ugao za ugao ∠BAD je duplo ve�i i iznosi 12490◦. Tako da je

du� BG stranica pravilnog 96-ougla upisanog u krug. Iz (2.24) sledi:

(obim mnogougla) : AB > (96 · 66) : 201714

> 6336 : 20171

4.

Kako je

6336 : 20171

4> 3

10

71

zakǉuqujemo da je obim kruga ve�i od preqnika kruga 31071

puta.Zakǉuqak: Ako sa O oznaqimo obim, a sa d preqnik kruga onda va�i

odnos:310

71<

O

d< 3

1

7.

Apolonije

Apolonije iz Perge (260-170. godine pre nove ere) tre�i je velikimatematiqar helenizma, savremenik Arhimeda i Eratostena.

Slika 2.10.

�iveo je i predavao u Aleksandriji. Napisao je brojna dela izgeometrije i astronomije, izme�u ostalog, i traktat (od osam kǌiga)o konusnim presecima. Iznevxi u ǌemu znaǌa i otkri�a do kojih je

2.4. Grqka 35

doxao, izazvao je divǉeǌe savremenika i kasnijih nauqnika u toj merida su govorili kako se teoriji konusnih preseka nema xta dodati.

Geometrijsko ispitivaǌe se uzdi�e do takvih visina da se Apolonijesmatra prethodnikom savremene projektivne geometrije. Kod ǌega prviput nailazimo na jasno formulisan zahtev da se geometrijske konstruk-cije izvode samo leǌirom i xestarom. Apolonijeva dela pro�eta su,,algebarskom geometrijom” na geometrijskom jeziku.

Poznati Apolonijev problem sastoji se u slede�em: Konstruisatikru�nicu u ravni koja dodiruje tri date kru�nice. Kru�nice se,tako�e, mogu zameniti taqkama ili pravama.

Apolonije je proraqunavao obim kruga i pribli�io se vrednostibroja π vixe nego Arhimed. Naime, sraqunao je π pribli�no na qetiridecimale, tj.

π ≈ 3, 1416

Ptolemej

Klaudije Ptolemej (87-168. godine nove ere) je starogrqki matema-tiqar, geograf, astronom i astrolog.

Slika 2.11.

Autor je quvenog astronomskog dela Veliki matematiqki zbornik,poznatijeg kao Almagest. U ovom delu, koje se sastoji od trinaestkǌiga, razra�en je geocentriqni sistem sveta. Pored ostalih origi-nalnih izuma, u ǌemu je sadr�ana trigonometrija sa tablicama tetiva


za uglove od 0◦ do 180◦, xto odgovara tablicama sinusa za uglove od 0◦

do 180◦ za svakih pola stepena.Za π je naxao pribli�nu vrednost:

(3, 8, 30) =3

600+

8

601+

30

602(2.25)

tj.

π = 3 +8

60+

30

3600= 3

17

120= 3, 14166 (2.26)

Dakle, pri izraqunavaǌu obima kruga preqnika 1 000 stopa, Ptoleme-jeva vrednost bi se samo za 1 inq razlikovala od taqne vrednosti.

2.5 Kina

Nema preciznih podataka o poqecima razvoja kineske matematike; pret-postavǉa se da je to bilo u 3. veku pre nove ere. Nauqnici tvrde da suǌenom razvoju doprineli uticaji indijske, a kasnije i arapske nauke,ali i da je taj uticaj mogao biti me�usoban. Prvi dokazi matematiqkeaktivnosti u Kini, za koje je proceǌeno da datiraju iz 14. veka prenove ere jesu numeriqki simboli zapisani na kostima �ivotiǌa.

Poput indijske, matematika drevne Kine nije deduktivna. Orjen-tisana je na nala�eǌe algoritama za rexavaǌe konkretnih zadataka.Mnoga postignu�a u matematici Kineza oquvana su u nekoliko kǌigapisanih u periodu od 1. do 13. veka. U jednoj od ǌih (Sveta kǌigao aritmetici) navedeno je da su Kinezi broj π aproksimirali sa 3.Ova gruba aproksimacija, svakako slabija od egipatske i staroindi-jske (gde je π aproksimirano sa

√10), priliqno je dobra za praktiqne

potrebe onog vremena.

Qang Hong

Qang Hong (78-139.) ministar i astronom cara Antija, pre smrtije zapisao:

(obim kruga)2 ÷ (obim opisanog kvadrata)2 =5

8(2.27)

Za jediniqni krug, na osnovu jednakosti (2.27) va�i:

π2

16=

5

8

2.5. Kina 37

odakle se za π dobija vrednost√10 , xto je oko 3, 162.

Verovatno zbog svoje vizuelne jednostavnosti, tokom narednih go-dina,

√10 postaje najqexe korix�ena aproksimacija za π na podruqju

Azije, iako je ona bila daleko od taqne vrednosti. Na primer, za zi-daǌe zgrade kru�nog oblika sa preqnikom 50 stopa (15m), sa upotrebomnavedene vrednosti za π, pogrexno bi se izmerio obim za otprilikejednu stopu (30cm).

Kinezi su se za jedan korak pribli�ili taqoj vrednosti kada jeVang Fau (229-267.) izjavio da ako je obim kruga 142, onda je ǌegovpreqnik 45. Nije sasvim jasno kako je doxao do ovih vrednosti, alikada se one podele, dobijamo da je π = 3, 156. Zatim, vixe od 650 godinanakon xto su Grci, Brison i Antifont, pribli�no odredili povrxinukruga koriste�i uzastopno rastu�e poligone, Kinez Liu Hui je doxaodo istog metoda i zapoqeo svoja raqunaǌa.

Liu Hui

Liu Hui (220-280) je najpoznatiji kineski matematiqar. Napisao jekomentar Devet poglavǉa u kome je dao teorijsku potvrdu za svaki oddatih problema, ali je ujedno obogatio materijal svojim doprinosimai rezultatima. Liu Hui u krug upisuje pravilni 6-tougao, 12-tougao,. . . , 192-tougao i tako dolazi do zakǉuqka da se vrednost broja π nalaziizme�u 3,141024 i 3,142704. Kasnije, upisuju�i 3072-ougao, poboǉx-ava aproksimaciju tako xto bele�i vrednost:

π =3927

1250= 3, 14159

Od izuzetne va�nosti su rezultati do kojih su doxli astronom ZuQong�i i ǌegov sin Zu Kengqih.

Zu Qong�i

Zu Qong�i (Zu Chongzhi) (429-500.) bio je kineski matematiqar iastronom.

Postavio je slede�e granice za π:

3, 1415926 < π < 3, 1415927

koja je taqna na 6 decimala. Koristio je Liu Huijevu metodu svedo upisanog 24 576-ougla. Tako�e, dao je i racionalnu aproksimacijubroja π, navode�i razlomak 355

113. Interesantno, ovaj razlomak se lako

pamti- dovoǉno je po dva puta napisati prva tri neparna broja 1,


Slika 2.12.

1, 3, 3, 5, 5, zatim uzeti posledǌa tri za brojilac, a prva tri zaimenilac. Ovo je za osam milioniti deo jednog procenta razliqito oddanas prihva�ene vrednosti za π.

Kineska taqnost je ostala nedosti�na zapadu sve do kraja xes-naestog veka.

2.6 Indija

Za razliku od starogrqke matematike, koja je bila pret�no ,,geometri-jski nastrojena”, staroindijska je, kao i vavilonska, bila ,,aritmetiqko-algebarski” orjentisana. Indijske matematiqare odlikuje strpǉivotragaǌe za tajanstvenim odnosom. Karakteristiqno za staroindijskumatematiku je i to da, uprkos kontaktima sa starogrqkom, nije pri-davala znaqaj dokazivaǌu tvrdǌi.

Od velikog znaqaja su postigni�a Arjabate, Bramagupte i BaskareII. ǋihovi radovi odaju sklonost astronomiji, neodre�enim jednaqi-nama, mereǌima, trigonometriji. Imali su duhovite naqine za izra-qunavaǌe vrednosti broja π. Osim xto su ga izjednaqavali sa

√10 ≈

3, 162; zatim sa 6283220000

= 3, 1416, upotrebǉavali su i raqun:

π = (26

15)2 = 3, 004 . . .

kao i:

2.6. Indija 39

π = (6

2 +√2)2 = 3, 008 . . .

Arjabata

Arjabata (476-550) autor je dela Arjabatija, koje je napisao sa svoje23 godine. U delu Ganitapada pixe: ,,Dodaj 4 broju 100, pomno�i sa 8,pa tome dodaj 62000. Ovim pravilom se mo�e izraqunati obim krugapreqnika 20000.” Naime, naxao je za π vrednost:

π =62832

20000= 3, 1416.

Arjabata je smatrao da ako je a jednako strani pravilnog poligonasa n strana, upisanog u krug jediniqnog preqnika i b strana upisanogpravilnog poligona sa 2n strana, tada je

b =

√1

2− 1

2

√(1− a2)n (2.28)

Jednaqinom (2.28) je, u xestom veku, otkrio vrednost za

π =√9, 8684 (2.29)

Uzmimo u obzir to da je raqunao spoǉaxǌi rub poligona sa 384 stran-ice.

Bramagupta

Bramagupta (598-668.) je ro�en u Indiji a ve�inu svog �ivotaproveo je u gradu Bilamal, gde je bio vo�a opservatorijuma. Za vremeprovedeno tamo napisao je qetiri teksta vezana za matematiku i as-tronomiju od kojih je napoznatiji Bramasputasidanta. Aproksimiraoje broj π sa

√10. Raqunaju�i obime upisanih poligona sa 12, 24, 48 i 96

stranica redom, dobijao je za π slede�e vrednosti√9, 65;

√9, 81;

√9, 86;√

9, 87. Naoru�an ovom informacijom, pretpostavio je da- kako se ob-lik poligona pribli�ava krugu, spoǉaxǌi rub postaje ve�i, samimtim se i π pribliava vrednosti

√10. Zaqu�uje to xto nije primetio

da dobijeni kvadratni koreni konvergiraju broju znatno maǌem od√10,

tj. da je π2 tek nexto iznad 9,8696. Qiǌenica da je zapis√10 laka za

pam�eǌe, razlog je da se upravo ta vrednost za π kasnije prenese uEvropu i koristi od strane matematiqara xirom sveta tokom Sred-ǌeg veka.


2.7 Sredǌi vek

Mixǉeǌa o tome koliko je sredǌevekovna Evropa bila mraqna po-deǉena su, no, xto se matematike tiqe, priliqno je jasno da svetlanije bilo mnogo. Ono xto se tada stvaralo u Evropi, ne samo da za-ostaje za matematikom stare Grqke, ve� je neuporedivo maǌe znaqajnood prvih koraka u starom Egiptu i Mesopotamiji. Vremenom, poxto suse nakupila znaǌa, sredǌi vek za matematiku postaje odskoqna daska.Naime, ona je kasnije zasenila sve xto je pre toga na tom podruqjuǉudskog umovaǌa stvoreno. Poqetak 12. veka obele�ila je ,,akcija”prevo�eǌa matematiqkih tekstova. U posledǌoj tre�ini sredǌeg veka,javǉa se nekoliko matematiqara, koji ne samo da su prenosili pred-jaxǌa znaǌa Indijaca, Grka i Arapa, nego su ih i proxirili origi-nalnim doprinosima.

Najistaknutiji je Leonardo iz Pize (1180-1250), poznatiji pod ime-nom Fibonaqi. Kao trgovac je putovao po Istoku, a po povratku jenapisao Kǌigu o abaku, koja sadr�i podatke iz oblasti aritmetike ialgebre. U kǌizi Primeǌena geometrija, izla�e rezultate do kojih jedoxao u oblasti geometrije i trigonometrije.

Za broj π naxao je aproksimaciju:

π =1440

45813

=864

275= 3, 1418 (2.30)

Vrednost data sa (2.30) je za 0,0001 taqnija od one koju je dao Arhimed(2.2).

Albert Saksonski (1316-1390), u svom delu Kvadratura kruga, za-pisao je da je odnos obima i preqnika kruga taqno 31

7.

Sredinom 15. veka, kardinal Nikolas Kuzanski je bio ube�en da jetaqno odredio kvadraturu kruga, otkrivxi da je odnos obima i pre-qnika 3,1423. Na�alost, ǌegova metoda je kasnije proglaxena pogre-xnom od strane Johana Milera fon Kenigsberga(1436-1476). Uprkospredanom radu na odre�ivaǌu vrednosti broja π tokom sredǌeg veka,istina je da je naqiǌen veoma mali pomak, tj. vrednost za π ostala jemaǌe taqna nego xto su to ranija grqka, kineska i indijska istra�i-vaǌa utvrdila. Zapravo, do kraja 16. veka, do vremena francuskog ad-vokata i matematiqara Fransoa Vijeta, nije bilo ozbiǉnijeg napretkana ovom poǉu.

Fransoa Vijet

Fransoa Vijet (1540-1603.) pravnik i qlan francuskog parlamenta,iako nije bio profesionalni matematiqar, u istoriju je uxao prven-

2.7. Sredǌi vek 41

stveno kao matematiqar. ǋegov najve�i uspeh pripada oblasti us-avrxavaǌa teorije jednaqina. Prvi je nepoznate veliqine oznaqavaoslovima. Bavio se problemima tadaxǌih tvrdǌi da se mo�e izvrxitikvadratura kruga, podela ugla na tri jednaka dela, da se mo�e kon-struisati kocka duplo ve�e zapremine u odnosu na datu korix�eǌemsamo leǌira i xestara.

Slika 2.13.

Primenom Arhimedove metode i trigonometrijskih formula uspeoje da poboǉxa Arhimedove rezultate za π. Koriste�i poligon sa 3·217 =393216 stranica izvrxio je slede�u procenu:

3, 1415926535 < π < 3, 1415926537

ǋemu se pripisuje i najranije predstavǉaǌe broja π u vidu beskon-aqnog proizvoda:

2

π=

√2

2·√

2 +√2

2·

√2 +

√2 +

√2

2. . .

gde se izraz sa desne strane jednakosti tumaqi kao graniqna vred-nost:

limn→∞

n∏i=1

ai2

(2.31)

pri qemu je an =√2 + an−1 i poqetni uslov a1 =

√2.

Trojica matematiqara sa kraja xesnaestog veka su upotrebila Ar-himedov metod poligona za izraqunavaǌe broja π. Adrian Antonis je1585. je postavio π u granicama: 333

106< π < 377

120.


Osam godina kasnije, jox jedan holandski matematiqar Adrian vanRomen raquna π do petnaeste decimale, koriste�i upisani poligon kojije imao vixe od 100 miliona stranica.

Najve�i uspeh u izraqunavaǌu broja π Arhimedovom metodom imaoje Ludolf van Cojlen.

Ludolf van Cojlen

Ludolf van Cojlen (1540-1610.) je holandski matematiqar iz Delftaodredio je 35 decimala broja π, koriste�i pritom, opisane i upisanepravilne mnogouglove sa sve ve�im brojem stranica. Na ǌegovom spome-niku urezana je reqenica:

,,Kada je preqnik 1, onda je obim kruga ve�i od ǌega za

3, 141259141592653589793238462643383279”.

Dobar deo svog �ivota posvetio je izraqunavaǌu broja π, u �eǉi dadobije xto ve�i broj decimala.

Slika 2.14.

Godine 1596. Arhimedovom metodom ode�uje π na 20 decimalnihmesta koriste�i poligon sa 60 · 233 stranica. Da bi, pred kraj �ivota,pomo�u poligona sa 262 stranica odredio 35 decimala broja π.

On je posledǌi koji vrednost za π nalazi primenom originalneArhimedove metode. Koristio je formulu:

s2n =sn√

2 + 2√

1− s2n

(2.32)

2.7. Sredǌi vek 43

gde je sn du�ina stranice n-tougla, a On = n · sn obim tog poligona.Za jediniqni krug va�i: O = π · r = π · 1 = π, odnosno, pove�aǌe brojastranica vodi ka tome da se obim On pribli�ava broju π.

ǋemu u qast broj π je vekovima nazivan ,,Ludolfov broj”. De-set godina nakon smrti van Cojlena, matematika bele�i revolucijupo pitaǌu izraqunavaǌa ovog misterioznog broja qime se uzdi�e navixi nivo. Ovaj pomak baca u senku godine koje je van Cojlen posvetioizrqunavaǌu vrednosti broja π.

Napredak u izraqunavaǌu broja π se nastavǉa uporedo s razvojemmatematike. Prethodne metode se qine zastarelim. Metoda ekshaustije,npr., koja se primeǌivala na poligone sa milijardu strana, postajenepraktiqna, a raqun (mno�eǌe, deǉeǌe, korenovaǌe) iscrpǉuju�i zamatematiqare.

Holandski matematiqar, V.Xnel 1621. godine otkriva jednostavni-ji naqin. Za razliku od ǌegovih prethodnika koji su, zarad xto taqni-jeg razultata, udvostruqavali broj stranica poligona, on je radio sanepromeǌenim brojem stranica. Xnel je, najpre, odredio 6 taqnih ci-fara broja π, da bi uz malo truda, kasnije dostigao i Cojlenovih 35.Iako je qvrsto verovao u svoje teorije, nikad ih nije dokazao.

Kristijan Hajgens, holandski matematiqar ro�en je tri godine nakonXnelove smrti. Pridavao je znaqaj strogosti u radu, te su ǌegovemetode potpuno u duhu Arhimedovih. Do svoje dvadesete godine nijepokazivao interesovaǌe za matematiku, kada je sa iznena�uju�om posve-�enox�u ovoj grani nauke prouqio Xnelove tvrdǌe, koje je i dokazao.Znatno je unapredio ovu teoriju i jednostavnim ucrtavaǌem trouglovamogao je da uskladi Arhimedovu procenu π, a sa xestouglom je mogaoda izraquna 9 taqnih cifara.

Ni Xnelov, ni Hajgensov ciǉ nije bio pronalazak rekordnog brojacifara, ve� efikasniji raqun.


Deo 3

Klasiqni period

Prema reqima pisca Orsteina, ovaj period je ,,vreme opijeno obiǉemnovih znaǌa, sa iskoreǌavaǌem tradicije proxlosti i gajeǌem nade ubudu�nost”. Mnogi veliki matematiqari su svojim radom, izme�u os-talog i na izraqunavaǌu broja π, dali svoj peqat ovom vremenu. Karak-terixe ih te�ǌa ka osmixǉavaǌu ,,opxte metode”, koja vodi do novihpronalazaka.

�on Volis

�on Volis (John Wallis) (1616-1656.) je samo jedan u nizu sjajnihpredstavnika ovog perioda koji su nizom svojih otkri�a obogatilimatematiku.

Bio je qlan-osnivaq Londonskog kraǉevskog druxtva i profesor ge-ometrije na Oksfordu. Autor je dela Aritmetika beskonaqnih veliqina.Volis je prvi matematiqar kome je uspelo da algebra preraste u anal-izu. Metode kojima se koristio u prouqavaǌu beskonaqnih procesabile su primitivne, ali je on ipak doxao do novih rezultata. Uvo-dio je beskonaqne redove i beskonaqne proizvode i vrlo smelo operisaoimaginarnim izrazima, negativnim i razlomǉenim izlo�iocia. Za ǌe-gove rezultate tipiqna je, tzv. Volisova formula:

π

2=

2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 8 · . . .1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · ·9 . . .

(3.1)

U pore�eǌu s Vijetovom, Volisova jednaqina, koja je tako�e u vidubeskonaqog proizvoda, jednostavnija je jer ukǉuquje samo racionalneoperacije bez kvadratnih korena.

Otkrio je metod raqunaǌa vrednosti za π raqunaju�i povrxinukvadranta kruga, koji kao deo kruga ima povrxinu π

4. U terminima

sadaxǌe matematike, ono na qemu je Volis radio, izgleda ovako:

45

46 3. Klasiqni period

Slika 3.1.

∫ 1

0

√1− x2dx =

π

4

Slika 3.2.

�ejms Gregori

�ejms Gregori (1638-1675.) ro�en je u Xkotskoj. Radio je kaobibliotekar u Univerzitetskoj biblioteci. Broj π je raqunao pomo�unizova.

ǋegov niz:

arctanx = x− x3

3+

x5

5− x7

7+

x9

9− . . . , (−1 < x < 1) (3.2)

otkriven je 1671. godine i za x = 1 daje:

47

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− . . . (3.3)

Obe ove formule, Volisova i Lajbnic-Gregorijeva, zadivǉuju�e suotkri�e, poxto su s jedne strane aritmetiqke, dok s druge strane,potiqu iz geometrije.

S gledixta primene, ovi nizovi su nepraktiqni. Recimo, za taqnoizraqunate 4 decimale u ǌegovim nizovima, potrebno je da grexka nebude ve�a od 0, 00005 = 1

20000, odnosno, potrebno je 10 000 qlanova niza.

Koriste�i qiǌenicu da je: arctan( 1√3) = π

6, dobijamo niz koji konver-

gira mnogo br�e:

π

6=

1√3(1− 1

3 · 3+

1

5 · 3 · 3− 1

7 · 3 · 3 · 3+ . . .)

Deseti qlan niza je 119·39·

√3, koji je maǌi od 0,00005 te su, dakle,

nakon samo 9 qlanova, 4 decimalna mesta taqno izraqunata.Jox efikasnija je slede�a metoda:

π

4= arctan(

1

2) + arctan(

1

3)

koja se svodi na raqunaǌe dva niza koja dobijamo kada u (3.2) zamenimox sa 1

2, odnosno 1

3. Mo�e se uoqiti vrlo brza konvergencija. Naime,

mo�e se postaviti slede�a formula:

π

4= arctan(

1

a) + arctan(

1

b),

za a i b dovoǉno veliko.

Gotfrid Vilhelm fon Lajbnic

Lajbnic (1646-1716.) je ro�en u Lajpcigu. Dobar deo �ivota proveoje na Hanoverskom dvoru. Studirao je pravo, a na putovaǌima Evropomupoznao brojne matimatiqare. Ovaj Lu�iqki Srbin, osim filozofi-jom, bavio se istorijom, teologijom, lingvistikom, biologijom, ge-ologijom, matematikom, diplomatijom i ,,vextinom pronala�eǌa”.

Tra�eǌe ,,univerzalnog jezika”, u kojem bi se sve grexke u mixǉeǌuispoǉavale kao grexke izraqunavaǌa, dovelo ga je do simboliqke logike.Jedan je od retkih nauqnika koji su shvatili jedinstvo forme i sadr�aja.Sluqaj istovremenog otkri�a ,,diferencijalnog raquna” Lajbnica neza-visno od ǋutna jedan je od najzanimǉivijih primera istovremenognapretka u matematici. Danaxǌe oznake u analizi, termini ,,funkcija”,,,koordinate”, ,,diferencijalni raqun”, ,,integralni raqun”, zatim oz-nake za mno�eǌe , , ·” i jednakost , ,= ” potiqu od Lajbnica.


Slika 3.3.

Redovi:π

4=

1

1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · (3.4)

arctanx = x− x3

3+

x5

5− · · · (3.5)

nazvani su ǌegovim imenom, mada se otkri�e istih pripisuje �ejmsuGregoriju. Formula (3.4), iako impresivna u svojoj jednostavnosti,priliqno je loxa za izraqunavaǌe cifara broja π.

Isak ǋutn

Isak ǋutn (1643-1727.) bio je engleski matematiqar, fiziqar, as-tronom, alhemiqar i ,,filozof prirode”.

Dela: Matematiqki principi prirodne filozofije, Prebrojavaǌe lin-ija tre�eg reda, Principi, Opxta aritmetika i Metoda fluksija svrstalasu ga u red najve�ih liqnosti u istoriji nauke.

Maǌe je poznat podatak da se 1665. godine, dok je kuga harala Lon-donom, ǋutn povukao u Vulstorp i dane provodio u razmatraǌu pro-raquna. Za ovo vreme napisao je mnoga dela, ukǉuquju�i i najmaǌedva beskonaqna niza za π. On je otkrio niz:

arcsin x = x1 · x3

2 · 3+

1 · 3 · x5

2 · 4 · 5+

1 · 3 · 5 · x7

2 · 4 · 6 · 7+ · · · (3.6)

Pomo�u formule (3.6) raqunao je taqno 15 cifara broja π. Naime,

49

Slika 3.4.

kako je arcsin(12) = π

6, po formuli (3.7), va�i slede�a jednakost:

π =3 ·

√3

4+ 24(

1

3 · 23− 1

5 · 25− 1

7 · 27− 1

9 · 29− · · · ) (3.7)

U jednoj prepisci on priznaje: ,,Ne�ete mi verovati ako vam ka�emkoliko puta sam izveo ove proraqune, nemaju�i preqa posla u to vreme”.

Jasno je da pronala�eǌe odnosa obima kruga i preqnika vixe nijebilo pitaǌe jednostavnih izraqunavaǌa. Proraqun i arkustangens sumatematiqarima omogu�ili da raqunaju mnogo br�e nego konstrukci-jom poligona. Tako se, izraqunavaǌem samo qetiri qlana jednog odǋutnovih nizova dobija 3,1416.

Naime, te�ilo se efikasnosti, tj. pronala�eǌu jednaqine koja �enajbr�e dati pribli�nu vrednost broja π. Sa novim ciǉem, potragaza ciframa broja π primetno je porasla krajem sedamnaestog veka.

Abraham Xarp

Abraham Xarp (1651-1742.) je bio engleski matematiqar i as-tronom. Xarp je prvi koji je uz pomo� Gregori-Lajbnicovog arkus-tangens niza izraqunao vrednost broja π.

Jednaqina Abrahama Xarpa bazira se na qiǌenici da je:

arctan(

√1

3) =

π

6

Po Gregori-Lajbnicovom nizu (3.5) va�i:

π

6=

√1

3· (1− 1

3 · 3+

1

32 · 5− 1

33 · 7+ · · · ) (3.8)


pomo�u kojeg je izraqunao 72 cifre broja π. Podstaknut takmiqarskimduhom, francuski matematiqar de Lanji izraqunao je 127 cifara ko-riste�i istu tehniku. Me�utim, 75 godina kasnije, austrijski matem-atiqar Georg Vega dolazi do 140-e cifre, i ukazuje na to da je de Lanjiizraqunao taqno prvih 112 decimala. Vega svoj rad objavǉuje 1789.godine. Interesantno za istoriju matematike, ovaj se rekord odr�ao50 godina.

�on Mejqin

�on Mejqin (1680-1752.) je bio engleski matematqar, koji je postaopoznat zahvaǉuju�i svojoj formuli za π. Godine 1706., koriste�i ra-zliku izme�u dva arkustangensa, tj. po formuli:

π

4= 4 · arctan(1

5)− arctan(

1

239) (3.9)

odre�uje 100 cifara broja π.S obzirom na to da se arctan(1

5) mo�e lako izraqunati pomo�u Gre-

gori-Lajbnicovog niza, i kako arctan( 1239

) konvergira veoma brzo, ovaformula je dosta efikasna.

Leonard Ojler

Xvajcarski matematiqar Leonard Ojler (1707-1783.) jedan je odnajve�ih matematiqara svih vremena.

Slika 3.5.

51

�ivot ovog akademika iz 18. veka potpuno je ispuǌen radom u ra-zliqitim oblastima qiste i primeǌene matematike. Tokom svog �iv-ota radio je xirom Evrope. ǋegovo stvaralaxtvo nije omelo ni to xtoje u svojoj tridesetoj godini oslepeo na jedno oko, a u svojoj xezdese-toj potpuno izgubio vid. Ojler je, zahvaǉuju�i svom fenomenalnompam�eǌu diktirao svoja otkri�a asistentima. U delu Uvod u anal-izu beskonaqnih veliqina, koje obuhvata Ojlerove rezultate vezane zabeskonaqne redove, izlo�eni su redovi za ex, sin x, cosx kao i relacija:

eıx = cos x+ ı sin x (3.10)

Navex�emo neke od arkustangens formula do kojih je doxao:

π

4= 5 · arctan(1

7) + 2 · arctan( 3

79)

π

4= 2 · arctan(1

3) + arctan(

1

7)

π2

6=

1

12+

1

22+

1

32+ · · · (3.11)

Suma na desnoj strani jednakosti (3.11) konvergira vrlo sporo, pa sestoga ne koristi za aproksimiraǌe broja π na ve�i broj decimala.

Ojleru se pripisuje najfascinantnija matematiqka jednakost svihvremena:

eıπ + 1 = 0, (3.12)

koja je samo korak daǉe od relacije (3.10), (jer je sinπ = 0 i cosπ = −1).Ova formula (3.12) se koristi u dokazu iracionalnosti i transce-

dentnosti broja π. Metodom arkustangensa:

arctanx =x

1 + x2(1 +

2

3(

x2

1 + x2) +

2 · 43 · 5

(x2

1 + x2)2 + · · · ) (3.13)

koja konvergira mnogo br�e od Gregorijeve, izraqunao je 29 cifarabroja π za samo sat vremena.

Posle izvanrednih Ojlerovih koraka 19. vek deluje veoma siro-maxno po pitaǌu revolucionarnih metoda za raqunaǌe broja π. Za-pravo, sve do poqetka 20. veka nije bilo matematiqara sa novom ide-jom za rexavaǌe pomenutog problema. Uprkos tome, lovci na cifre ovekonstante su nastavili naporno da rade koriste�i prethodne metodene bi li otkrili xto vixe cifara. Nakon xto je Kalet objavio 152


cifre u Parizu 1837. godine, Raderford je 1841.godine, koriste�iformulu:

π

4= 4 arctan(

1

5)− arctan(

1

70) + arctan(

1

199) (3.14)

izraqunao 208 cifara.Xest godina kasnije, Tomas Klauzen nalazi 248 decimalnih cifara

broja π koriste�i i Mejqinovu jednakost (3.9) i jednu od Ojlerovihformula (3.13), (3.14). Godine 1853. Raderford je zapisao 440 cifarabroja π.

Vilijam Xenks

Vilijam Xenks je ro�en 1812. godine u Engleskoj, a umro 1882.godine. Veliki deo svog �ivota posvetio je raqunaǌu ove konstante.Nadmaxio je Raderfordova raqunaǌa predstavivxi 607 cifara 1853.godine, da bi konaqno 1873. godine Xenks izraqunao 707 cifara brojaπ uz pomo� Mejqinove formule (3.9). Za ovaj podvig trebalo mu jepetnaest godina �ivota, tj. uspevao je da sraquna, u proseku, jednucirfu nedeǉno.

Ubrzo nakon Xenksovog raquna De Morgan prime�uje da nedostajusedmice u posledǌim od tih 707 decimala. On je to pomenuo u svojoj kn-jizi Skup paradoksa 1872. godine i radoznala javnost je na ǌu podse�anado 1945. godine kada je Ferguson otkrio da je Xenks napravio grexkuna 527. mestu, nakon qega su sve ǌegove decimale bile pogrexne. Fer-gusonu je trebala jedna godina da to uradi, u proseku po samo malovixe od jedne cifre dnevno.

Deo 4

π u eri kompjutera

Srinivasa Ramanuan

Srinivasa Ramanuan ro�en je 1887. godine na jugu Indije. Umroje u svojoj trideset drugoj godini. Bio je ,,qudo od deteta” na poǉumatematike. Toliko se bio posvetio matematici da je zapostavio os-tale predmete u xkoli. ǋegove studije zavrxile su se poxto je pao naispitima iz obaveznih premeta. Radio je kao nisko pla�eni slu�benik,ali ni tada nije prestao da eksperimentixe matematikom, zapisuju�ijednaqine u svoje sveske. Me�u tim jednaqinama bilo je i mnogo rex-eǌa za π. Retko je dokazivao rezultate i prikazivao metode. Godine1913. poslao je nekoliko strana svojih otkri�a trojici engleskihmatematiqara. Dvojica su odbacila ǌegov rad, a G.H.Hardi je, raz-motrivxi pismo, naveo da ti rezultati moraju biti taqni, jer da nisu,niko ne bi imao toliko bogatu maxtu da ih izmisli. Slede�e godineRamanuan odlazi u Englesku, gde je sa Hardijem sara�ivao na bro-jnim matematiqkim projektima. Iako nije imao klasiqno matematiqkoobrazovaǌe, ǌegovo razumevaǌe ove nauke bilo je iznad proseka. Nibolest, zbog koje je qesto boravio u bolnici, ga nije spreqila da pop-uǌava svoje sveske jednaqinama.

Kao i ve�ina matematiqara, nije mogao da se odupre iskuxeǌu daistra�i broj π. Poqetkom 20. veka, otkrio je mnogo novih formula.Najpoznatija je slede�a:

1

π=

2√2

9801·

∞∑n=0

(4n)!

(n!)4· (1103 + 26390n)

(4 · 99)4n(4.1)

Gosper je 1985. godine pomo�u ove formule izraqunao 17 milionacifara broja π.

53

54 4. π u eri kompjutera

Slika 4.1.

4.1 Pojava prvih raqunara

Sredinom 20. veka san matematiqara da raqunaju elektronskom maxi-nom brzinom muǌe postaje stvarnost.

D.F.Ferguson je zamenio papir i olovku mehaniqkom opremom kao xtoje stoni kalkulator. Septembra 1947. godine, koriste�i formulu:

π

4= 3 arctan(

1

4) + arctan(

1

20) + arctan(

1

1985) (4.2)

izraqunao je 808 cifara broja π. Ispravnost ovih cifara su, Mejqi-novom formulom, (3.9), potvrdili L.B.Smit i �on Vrenq. Za ovuproveru Fergusonove formule trebalo im je nekoliko meseci. Med-jutim, oni su nastavili otkrivaǌe novih cifara broja π doxavxi,1948. godine, do hiǉaditog decimalnog mesta. Napomenimo da je naovaj naqin bilo mogu�e iraqunati samo jednu do dve cifre dnevno.

Znaqajna godina u istoriji broja π je 1949., ali ovog puta ne saspekta matematike. Radilo se, zapravo, na pove�aǌu brzine kalku-latora. ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) je bio prvidigitalni elektronski raqunar. Iste i naredne godine su �ord Ra-jtvisner, �on fon Nojman i N.C.Metropolis pomo�u ovog ,,quda” sa19 000 vakumskih cevi i stotine hiǉada otpornika i kondenzatoraizraqunali 2037 cifara broja π. Na iznena�eǌe svih, ovaj raqun tra-jao je samo 70 qasova, tj. nova cifra se dobijala na svaka dva minuta.

4.2. Serija brzih algoritama 55

Pojava elektronskog raqunara podstakla je lovce na cifre brojaπ na jox uporniji rad. Naime, samo pet godina nakon xto je ENIACpostavio rekord u broju decimala broja π, kompjuteri su napredovalido te taqke da je NORC (Naval Ordnance Research Calculator) mogao daizraquna 3 089 cifara broja π za samo 13 minuta xto je oko qetiricifre u sekundi.

1958. godine pariski Centar za obradu informacija je izraqunaoprvih 707 cifara broja π za 40 sekundi na jednom IBM 704. Podse�amo,deset godina ranije Fergusonu je trebalo qitavih godinu dana da obaviovaj zadatak, a pre jednog veka Xenks je posvetio znaqajan deo svog�ivota da bi postigao isto, mada sa grexkama.

Nauqnici u Parizu su otixli korak daǉe i izraqunali 10 000 ci-fara za jedan sat i 40 minuta koriste�i Mejqinovu formulu (3.9) iGregori-Lajbnicov niz (3.3).

Zatim, samo tri godine kasnije, �on Vrenq i Danijel Xenks koris-tili su IBM 7090 da do�u do 100 265 cifara broja π, u proseku po 3cifre po sekundi ne ukǉuquju�i dodatnih 42 minuta provedenih u kon-vertovaǌu rezultata iz binarnih brojeva u decimalne. Postavili sunovi rekord na IBM 7090 u IMB Centru za obradu podataka u ǋujorkupomo�u formule:

π = 24 arctan(1

8) + 8 arctan(

1

57) + 4 arctan(

1

239)

Iz godine u godinu su raqunari postajali br�i, a matematiqari su,raqunaju�i π na ǌima, testirali ǌihovu brzinu i ispravnost. Fran-cuski, nemaqki i ameriqki nauqnici su se takmiqili u obaraǌu reko-rda u raqunaǌu broja π.

4.2 Serija ,,brzih” algoritama

Vremenom su raqunari postajali br�i, a metode za izraqunavaǌe brojaπ, iako su se poboǉxale, ipak nisu evaluirale tako brzo. Ubrzo,izraqunavaǌe broja π biva odgurnuto u sasvim neoqekivanom smeru.

Brent-Salamanov algoritam

Eugene Salamin i Richard Brent su 1976. godine nezavisno jedan od dru-gog razvili su kvadratno konvergiraju�i algoritam za izraqunavaǌebroja π, slede�eg oblika:

a0 = 1, b0 =1√2, s0 =

1

2


an =an−1 + bn−1

2

bn =√an−1 · bn−1

cn = a2n − b2n

sn = sn−1 − 2ncn

pn =2an

2

sngde pn kvadratno konvergira ka π.

Ovaj algoritam duplira broj cifara u svakom slede�em koraku.Preciznije, uqestale iteracije daju 1, 4, 9, 20, 42, 85, 173, 347, 696. . . cifara broja π. Dovoǉno je 25 iteracija da bi se π izraqunalo napreko 5 miliona taqnih decimala. Salaman je kasnije otkrio da je ǌe-gov algoritam zasnovan na metodi aritmetiqko-geometrijske sredine,tj. na algoritmu koji je pre vixe od jednog veka otkrio Karl FridrihGaus. Me�utim, ovakav raqun je u vreme Gausa, bio nezamisliv. Sala-man je za razliku od Gausa imao raqunar, samim tim i kontrolu nadmilionima izraqunavaǌa u sekundi. Gaus-Brent-Salamanov algori-tam je u kombinaciji sa raqunarom naglo pojednostavio izraqunavaǌebroja π.

Godine 1982. Joxiaki Tamura iz Internacionalnog opservatori-juma u Japanu i Jasumasa Kanada sa tokijskog univerziteta izraqunalisu π do 8 388 608 cifre koriste�i Salamanov algoritam na Hitac M-280-H. Izraqunavaǌe je trajalo maǌe od sedam sati.

Narednih godina, po dva bratska para �onatan i Piter Borvajn, kaoi Dejvid i Gregori Qudnovski nastavili su Salamanovim koracima,razvijaju�i izvanredne algoritme za π.

�onatan i Piter Borvajn

�onatan i Piter Borvajn su kanadski matematiqari koji su, po-qev od 1984. godine, otkrivxi nove algoritme, doprineli napretku urazvoju ,,brzih” algoritama. Vredan pomena je algoritam baziran naaritmetiqko-geometrijskoj sredini:

a0 =√2, b0 = 2 +

√2, y1 =

√√2

4.2. Serija brzih algoritama 57

an+1 =1 + an2√an

yn+1 =anyn

(1 + yn)√an

bn = bn−11 + an1 + yn

Tada bn konvergira ka π. Ovim algoritmom, kojim je na�eno 2000milijardi cifara broja π, Kanada je 2002. godine postavila novirekord.

ǋihov drugi znaqajan algoritam je tako�e baziran na aritmetiqko-geometrijskoj sredini. Dat je na slede�i naqin:

y0 =1√2, a0 =

1

2

yk+1 =1− (1− y2k)

12

1 + (1− y2k)12

ak+1 = ak(1 + yk + 1)2 − 2k+1yk+1

Tada 1ak

kvadratno konvergira ka π. Sa 5 iteracija posti�e se 40taqnih decimala, a ve� sa 6, dolazi se do osamdeset tre�eg decimalnogmesta.

Jox jedan u nizu brilijantnih algoritama koji su ovi matematiqariosmislili je kubni algoritam. ǋegova struktura je slede�a:

a0 =1

3, s0 =

(√3− 1)

2

rk+1 =3

1 + 2(1− s3k)13

sk+1 =rk+1 − 1

2

ak+1 = r2k+1ak − 3k(r2k+1 − 1)

gde 1ak

kubno konvergira ka π. Prilikom svakog ponavǉaǌa ovog al-goritma novodobijeni broj decimala broja π se pribli�no utrostruquje.

Ubedǉivo najefikasniji je kvadrirani algoritam �onatana i Pit-era Borvajna. ǋime su izraqunate milijarde taqnih cifara broja π.Glasi:


a0 = 6− 4√2, y0 =

√2− 1

yk+1 =1− (1− y4k)

14

1 + (1− y4k)14

ak+1 = ak(1 + yk + 1)4 − 22k+3yk+1(1 + yk + 1 + y2k+1)

Tada 1ak

konvergira ka π.

Pomo�u kvadriranog algorima Dejvid Bejli 1986. godine bele�i29,4 miliona cifara broja π. Istim algoritmom, januara 2009. go-dine, Tahakaxi raquna 1,649 triliona cifara broja π, aprila istegodine, 2 576 triliona cifara.

Kanada je septembra 1986. godine opet pomo�u kvadriranog algo-ritma koriste�i i Salamanov algoritam izraqunala 33 554 000 ci-fara na HITACHI S-810/20, za 8 sati. U januaru 1987. otkriva 227 dec-imalnih mesta broja π, za xta je trebalo dan ipo na NEC SX2. Januara1988. godine, izraqunala je 201 326 000 na HITACI S-820 superraqunaru.

U seriji ,,brzih” algoritama spadaju i tzv. BBP algoritmi, poinicijalima prezimena matematiqara koji su ih osmislili: Bejli,Borvajn i Pluf. Zahvaǉuju�i ǌima znamo deseto milijarditu cifruza π. BBP algoritam je oblika:

π =n=∞∑n=0

1

16n(

4

8n+ 1− 2

8n+ 4− 1

8n+ 5− 1

8n+ 6)

Bra�a Qudnovski

Bra�a Qudnovski ro�ena su u bivxem Sovjetskom savezu, u godi-nama nakon Drugog svetskog rata u porodici intelektualaca. U xkolisu se posebno isticali na poǉu matematike. Sa samo 16 godina Gre-gori objavǉuje svoj prvi matematiqki rad. Studirali su matematiku,primivxi diplome doktorskih studija ukrajinske akademije nauka.

Qudnovski su, u vixe navrata, obarali rekorde u izraqunavaǌubroja π. Pronaxli su najpre 450 miliona, zatim jednu milijardu, aonda i dve milijarde cifara.

U �eǉi da xto boǉe istra�e osobine broja π, Qudnovski su, nakonxto su 1989. godine prvi put oborili svetski rekord, napravili su-perraqunar (M zero), na kome su mogli da rade s transcedentnim broje-vima i prouqavaju beskonaqne nizove. M zero je bio multiprocesorskiraqunar koji je mogao da izvrxi vixe milijari operacija u sekundi.

4.3. Bifonov eksperiment 59

Ovaj kompjuter zauzimao je ve�i deo stana. Za ovkav poduhvat bra�aQudnovski morali su u detaǉe da prouqe izradu i dizajniraǌe hard-vera.

Razvili su brojne jednaqine za izraqunavaǌe cifara broja π, poput:

1

π=

∞∑n=0

(−1)n(6n)!(13591409 + 545140134n)

(3n)!)(n!)3(640320)3n+32

(4.3)

koja daje 14 cifara po izraqunavaǌu. Upravo ovom formulom su neko-liko puta raqunali rekordni broj cifara. Prvi su predstavili π sapreko milijardu cifara, tj. sa 1 011 196 691 decimala, 1989. godine.Zatim, 1994. godine π predstavǉaju sa 4 000 000 000 decimalnih mesta.

Decembra 2009. godine Belard je pomo�u formule (4.3) naxao 2,7triliona cifara broja π u binarnom sistemu za 131 dan.

2010. novi rekord iznosi 5 triliona cifara.Aktivnost po pitaǌu ode�ivaǌa ovolikog broja cifara broja π

mnogi smatraju qudnom. Naime, za potrebe praktiqnog �ivota dovoǉnoje znati privih nekoliko decimala. Iako nema opipǉive koristi, osimza testiraǌe superraqunara, broj π ne prestaje da zavre�uje pa�ǌumatematiqara i laika.

4.3 Bifonov eksperiment

(Georges Louis Leclerc Comte de Buffon)

Najoriginalniji i najneoqekivaniji naqin pribli�nog izraquna-vaǌa broja π jeste slede�i:

Potrebna je xiva�a igla (od 2cm), boǉe sa zalomǉenim vrhom, dabi igla bila svuda jednake debǉine i na listu hartije treba nacrtatiparalelne prave tako da je rastojaǌe izme�u svake dve susedne pravedva puta ve�e od du�ine igle. Zatim se sa izvesne visine igla bacana hartiju i posmatra da li igla seqe neku od paralelnih pravih.Bacaǌe igle treba ponoviti npr. 100, 1 000 ili vixe puta i svakiput zapisati da li je bilo presecaǌa (presecaǌem treba smatratii sluqaj kad igla dodiruje jednu od nacrtanih paralelnih pravih),(prikazazano na slici 4.2). Ako se ukupan broj bacaǌa igle podelibrojem sluqajeva kad je zapa�eno presecaǌe, tada se u koliqniku dobijabroj π, tj. ǌegova vixe ili maǌe taqna pribli�na vrednost.

Objasni�emo zaxto se dobija takav koliqnik.

Neka je K najverovatniji broj presecaǌa neke od posmatranih pravihi igle, a du�ina igle neka je 20mm. U sluqaju presecaǌa, taqka pre-seka (odnosno dodira) treba da se na�e na nekom od ovih milimetara i


Slika 4.2.

u tom pogledu ni bilo koji od ǌih ni bilo koji deo igle nema nikakveprednosti. Zato je najverovatniji broj preseka svakog milimetra K

20.

Za deo igle od 3mm taj broj je 3K20, itd. Drugim reqima, najverovatniji

broj preseka je direktno proporcionalan du�ini igle.

Ta se proporcionalnost zadr�ava i u sluqaju kad je igla savijena.Neka je igla, oznaqimo je sa AC savijena, pri qemu je deo AB =

11mm, a BC = 9mm (B taqka sa igle). Za deo AB najverovatniji brojpreseka je 9K

20, za BC je 11K

20, a za celu iglu: 11K

20+ 9K

20, tj. taj broj je K.

Igla se mo�e saviti na jox neobiqniji naqin - broj preseka se ne�epromeniti (treba imati u vidu da, kad je igla savijena, jednu istupravu mo�e presecati dva ili vixe delova igle. Takvo presecaǌetreba raqunati kao 2,3,... puta.

Posmatrajmo sada iglu savijenu u obliku kruga s preqnikom jed-nakim rastojaǌu izme�u paralelnih pravih (ovo je dva puta ve�e odprave igle). Takav prsten �e uvek dva puta se�i neku liniju (ili od-jednom dodirivati dve linije, tako da se u svakom sluqaju dobijaju podva presecaǌa). Ako je ukupan broj bacaǌa N , onda je broj presecaǌa2N . Naxa prava igla ima onoliko puta maǌu du�inu od prstena, ko-liko je puta polupreqnik maǌi od obima kruga, tj. 2π puta. Utvrdilismo da je najverovatniji broj presecaǌa proporcionalan du�ini igle.Zato najverovatniji broj presecaǌa, (K), prave igle mora biti 2π putamaǌi od 2N , tj. taj broj je N

π. Otuda je:

π ≈ ukupan broj bacanja

broj presecanja

Ukoliko se posmatra ve�i broj bacaǌa, utoliko se dobija taqnijavrednost broja π. Xvajcarski astronom R. Volf je sredinom proxlogveka posmatrao 5000 bacaǌa igle na hartiju sa paralelnim pravim iza broj π je dobio vrednost 3,159..., koja je uostalom, maǌe taqna odArhimedovog broja.

4.3. Bifonov eksperiment 61

Jasno, ovde se odnos obima kruga prema preqniku nalazi eksperi-mentalnim putem, pri qemu se (xto je posebno interesantno) ne crtani krug niti ǌegov preqnik. Neko ko nema predstavu o geometriji, qakni o krugu, mo�e odrediti broj π, ako strpǉivo izvrxi veliki brojbacaǌa igle.

Bifonov eksperiment daje mogu�nost procene broja π metodom MonteKarlo, tehnikom statistiqkog uzorkovaǌa koja se primeǌuje na aproksi-miraǌe rexeǌa. Ovde se ne�emo baviti modelovaǌem problema, opi-som programa, pisaǌem koda za program nameǌen kompjuterskom izra-qunavaǌu. Napomenimo samo da ako se igla baca veliki broj puta (n) naravan podeǉenu paralelnim pravama i ako m puta preseqe neku pravu,tada se, prema statistiqkoj definiciji verovatno�e (posledica zakonavelikih brojeva koji ka�e da relativna frekvencija nekog doga�ajau eksperimentu koji se ponavǉa, konvergira skoro svuda ka stvarnojvrednosti verovatno�e tog doga�aja), mo�e uzeti da je verovatno�apreseka igle sa nekom pravom pribli�no jednaka m

n. Kako je verovatno�a

preseka igle sa nekom od pravih jednaka:

P =2l

πd,

pri qemu je l-du�ina igle, d-rastojaǌe izme�u paralelnih pravih, il < d, zakǉuqujemo da va�i:

2l

πd∼ m

n=⇒ π ∼ 2ln

md

Bifonov eksperiment nije efikasan metod aproksimacije broja π.Za procenu broja π na qetiri decimale potrebno je oko 100 milionabacaǌa.

Iznena�uje veliki broj potvr�enih matematiqkih i fiziqkih veliqinakoje su direktno ili indirektno povezane sa π. Jox je iznena�uju�eda se i daǉe, nakon xto je ustanovǉeno da nije mogu�e izraqunatiga do posledǌe decimale i sada kada nam je poznat sa nekoliko tril-iona cifara, trka za ǌegovim decimalama nastavǉa. Osnovne primenebroja π (raqunaǌe obima kruga npr.) retko zahtevaju poznavaǌe vixeod nekoliko cifara. Recimo, ako se broj π zaokru�i na 11 deci-mala, mo�e se, sa milimetarskom preciznox�u, izraqunati obim krugaveliqine Zemǉe, a vrednost zaokru�ena na 39 decimala dovoǉna je dase izraquna obim bilo kog kruga koji se mo�e na�i u vidǉivom svetusa preciznox�u jednakoj veliqini atoma vodonika.


Iako poznavaǌe xto ve�eg broja cifara ove matematiqke konstantenije od velike va�nosti, neprestana otkri�a fascinantnih formulakoje obaraju svetske rekorde u izraqunavaǌu istih, podse�aju nas dana broj π senka zaborava ne pada i uveravaju da ovaj qaroban brojprkosi vremenu i ǉudima.

Literatura

[1] Zoran Lucic, Ogledi iz istorije anticke geometrije, JP Sluzbeni glasnik, 2009.

[2] Milos Radojcic, Opsta matematika-Matematika Egipta, Mesopotamije i StareGrcke, Matematicki fakultet, Beograd, 2008.

[3] D.Trajkovic, Istorija matematike kroz razvoj broja π, Matematicki fakultetBeograd

[4] J. Pereljman, Zanimljiva geometrija, Drustvo matematicara, fizicara i as-tronoma SR Srbije, Beograd, 1978.

[5] Mirjana Mrmak, Broj π na racunaru, clanak Matematicki list, XX, 5, Beograd1986.

[6] M. Mirkovic, Poceci. Matematika starog Vavilona, Egipta i Kine, clanakMatematicki list, XXIV, 2, Beograd 1987.

[7] Dirk J. Strojk, Kratak pregled istorije matematike, trece izdanje, ZUNSBeograd, 1991.

[8] Snezana Sovilj, Razvoj aproksimacija broja π kroz istoriju, Matematickifakultet Beograd, 2016.

63

Biografija

Jovana Veliqkovi� ro�ena je 27.04.1992. godine u Vraǌu. Osnovnuxkolu ,,Svetozar Markovi�” u Vraǌu i Gimnaziju ,,Bora Stankovi�”u Vraǌu zavrxila je kao nosilac diplome ,,Vuk Karai�”. Tokompoha�aǌa osnovne i sredǌe xkole uqestvovala je na takmiqeǌima izmatematike, srpskog jezika, biologije i likovne kulture.

Xkolske 2011./2012. godine upisala je osnovne akademske studijena Departmanu za matematiku Prirodno-matematiqkog fakulteta u Ni-xu, koje je zavrxila 2014. godine sa proseqnom ocenom 9,44. Istegodine upisala je master akademske studije na Departmanu za matem-atiku Prirodno-matematiqkog fakulteta u Nixu, studijski program:opxta matematika.

Bila je polaznik Regionalnog centra za talente u Vraǌu, koris-nik stipendije Ministarstva prosvete kao i stipendije ,,Dositeja”.Polo�ila je sve ispite na master studijama, qime je stekla pravo naodbranu master rada.

Documents

O broju kroz istoriju - pmf.ni.ac.rs · 4 i redove, kao i proizvode brojeva, sa velikim uspehpom odreivali vrednost ove konstante. Ovaj period su, koristei nove metode iz razvijene