제 4강. 정전계 2

2-8 전속밀도 - 전속 : 전계의 상태를 나타내는 가성선, 매질에 관계없이 1[C]의 전하에서 1개의 전기력선이 나오는 것

- 진공 중의 Q[C]의 점전하에서 전속수는 Q[C]로 표시하고, 전속의 단위는 [C]으로 전하의 단위와 같이 사용 - 전속이 밀도

Cm

,

······ (2-39)

- 전속밀도의 단위는 표면 전하밀도 와 같이 사용되며, 면적 S는 전하를 둘러싼 구의 표면적

- 이 때 전하로부터 r[m]떨어진 구면상의 전계는

······ (2-40)

[C/m2] ······ (2-41)

3[μC]의 점전하로부터 반지름 r=3[m]인 구면을 통해 나오는 전속과

전속밀도를 구하라.

[풀이] 진공중에 점전하 3[μC]으로부터 나오는 전속은 전하와 동일하므로 Ψ=3×10-6[C]이며,

전속밀도 D는

×

× [C/m2]

2.9

2-9 법칙(Gauss's Law) - 가우스 법칙: 어떤 폐곡면을 통과하는 전속은 이 폐곡면내에 있는 전체의 전하량과 같다.

⋅

······ (2-42)

진공 중의 전계 내에서 임의의 폐곡면을 통하여 나가는 전기력선의 총 수는 폐곡면 내에 존재하는 전하의 배와 같다.

⋅

······ (2-43)

2-15 가우스 법칙증명

진공 중에 있는 하나의 폐곡면 내에 2[μC], 9[μC] 및 -3[μC]의 3개의 전하가 있을 때,

이 폐곡면에서 바깥으로 나가는 전속과 전기력선의 수를 구하라.

[ ] ① 전속 ø는 가우스의 법칙에서 폐곡면 내의 전전하량과 같으므로

× [μC]

② 전기력선의 수 n은 역시 전전하량에 의해서 나가므로

×

×

×[개]

2.10

2-10 법칙(Gauss's Law)의 계산 예

(1) 점대칭의 전하분포

- 반지름이 a[m]인 구에 전하 Q[C]이 주어졌을 때 그림 2-17과 같이 방사성으로 전기력선이 발산

- 이 때 구외, 구내의 전계와 전위를 구하기 위해 가우스 법칙 적용

2-17 점대칭의 전하분포

1) 경우(r＞a인 경우)

- 반지름이 r[m]인 동심구면 S를 만들고 이 면을 통하여 나가는 전기력선수는 가우스 법칙에 의해서

⋅ ······ (2-56)

- 이 식에 반경 r인 구면의 표면적을 대입하면

⋅ ⋅

······ (2-57)

- 구면에서의 전계의 세기 E는

[V/m] ······ (2-58)

- 전위는 식 (2-22)에 의하여

⋅

∞

∞

[V] ······ (2-59)

2) 경우(r≤a인 경우) - 구면 내부의 전하를 Q’라 하면,

⋅ ⋅

′······ (2-60)

′[V/m] ······ (2-61)

- 반경 r[m](r<a)의 구면 내에 포함되어진 전하 Q’는 전하의 체적전하밀도에 비례

′

3

×

[C]

′

[V/m] ······ (2-62)

․구전위

⋅

······ (2-63)

․

⋅

⋅

······ (2-64)

(a) 표면에 집중된 경우 (b) 전하밀도가 균일한 경우그림 2-18 점대칭 전하에 의한 전계분포

(2) 의한 전계

1) 구외의 경우 (r＞a )

- 반경 a의 원형 단면인 무한길이의 원통에 전하가 균일하게 분포되어 있는 경우, 단위 길이에 대한 전하를 라 하면, 원통의 중심축에서 r(r>a)만큼 떨어진 점 P의 전계를 생각해보자.

2-19 대전원통에 의한 전하분포

- 반경 r, 길이 L인 원통면을 가우스 표면으로 만들고, 이 원통의 전하는 이므로, 가우스 법칙에서 전기력선의 밀도는 전계의 세기이므로

⋅

······ (2-65)

······ (2-66)

- 거리 r1 및 r2 떨어져 있는 원통 외분의 두 점 사이의 전위차

⋅

······ (2-67)

2) 구내의 경우 (r＜a ) - 원통 내부의 전하가 균일하게 분포되어 있을 때 원통내부의 전계의 세기는 반경 r(r<a)이내에 있는 전하를 ′이

라 하면, 원통 외부의 경우와 동일한 방법에 의해

′

- 전하가 원통내부에 균일하게 분포하고 있을 때 반경 r 이내에 존재하는 전하밀도

′

′

······ (2-68)

중에 무한장 원통도체의 전하밀도가 10-4[C/m]일 때, 3[m] 떨어진 점의 전계의 세기를 구하라.

[풀이] 식(2-66)에 의해서

× ×

×

2.11

(3) 전하분포와 전계

- 무한히 넓은 평판에 균일한 면전하밀도 로 전하가 분포되어 있는 경우에, 전기력선은 평판의 양쪽면에 수직인 방향으로 발산

2-20 평판전하분포

- ∆ 원통을 무한평판에 수직으로 취하면, 원통의 측면을 통과하는 전속은 없고, 수직으로 통과하는 전속만 고려

- 면 ∆의 원통 내에 분포되어 있는 전하 ∆이므로,

- , 전속이 통과하는 부분은 원통의 양단면이로

×

- 무한 평판에서의 전계의 세기

······ (2-69)

- 두 장의 무한평판을 평행하게 배치했을 때 무한평판사이의 전계의 세기

E

······ (2-70)

2-11 평면의 정전 응력과 전계 에너지

- 정전응력: 도체에 전하를 주면 전계는 표면에만 분포하게 되어, “대전도체면에는 외부로 밀리는 응력이 작용”

- 표면전하밀도 에 의한 전계 E를 ∆와 ∆이외의 부분에 의한 전계 E1과 E2로 분리하여 생각하면,

E E E

E E

- 이 두 식으로부터 E

s

P P

P'

DS

P

P'DS

E1

-E1

E1

E2

DS

rs[C/m2]

E=se0

2-21 정전응력

- ∆ 부분의 전하분포에 의하여 ∆상의 전하 ∆가 받는 힘

- 대전 도체표면의 단위면적당 받는 정전응력

······ (2-71)

······ (2-72)

장의 평행 평판 사이의 공기 중에서 코로나 방전이 일어난 전계의 세기

가 3[kV/m]라면 이 때 도체면에 작용하는 힘[N/m2]은 얼마인가?

[풀이] 식(2-71)에서

××

× m

× V

≒ Nm

2.12

2-12 발산(divergence) ; 가우스 법칙의 미분형

- 전계내에 체적전하밀도 이고, 미소체적 ∆의 표면으로터 외부로 발산하는 전기력선은 가우스 법칙에서

⋅

⋅

······ (2-73)

- 이 미소 체적의 단위 체적당의 전기력선수는 총 전기력선을 체적으로 나누면 됨

⋅

······ (2-74)

dS

SdS'

En

Dvr[c/m2]

2-22 전기력선의 발산

- ∆ 점으로 볼 수 있는 극한인

Lim

⋅ lim→

······ (2-75)

- 미소체적의 크기를 0에 가까운 극한값으로 할 때 그 폐곡면으로부터 발산하는 전속수는 체적 전하밀도와 같다.

⋅

- 임의의 폐곡면으로부터 발산하는 전속수는 체적 전하밀도와 같다.

∇⋅ ······ (2-76)

E=3x 3i+2y 2j+zk [V/m]로 분포된 자유공간 내의 점 P(1, 2, 3)에서 전하밀도를 구하여라

[풀이] 점 P에서 발산되는 전기력선은 식(2-76)과 같으므로

⋅

에 의해서 점 P(1, 2, 3)을 대입하면, 전하밀도 ρ는

××

×Cm

2.13

2-13 방정식과 라플라스의 방정식

- 전하분포에 의한 전계문제의 풀이

· 점전하 : Coulomb의 법칙

· 대칭 전하 분포 : Gauss 법칙을 이용

· 실제의 매우 복잡한 전하분포 : 포아송과 라플라스 방정식을 이용

- 정전계의 전위경도식에서

E grad

- 전계의 발산

- 위의 두 식으로부터

······ (2-77)

- (2-77) 식을 벡터의 미분 연산자로 표시하면 식 (2-78)과 같고, 이는 그 내부의 어떠한 점에 대한 전위를 구하

는 2차 미분방정식으로 Poisson 방정식이라 함

∙∇ ∇

······ (2-78)

- 여기서, 라플라시언 (laplacian)

∇

······ (2-79)

- 특히, 전하가 존재하지 않는다면 전하밀도는 0이므로, 식 (2-78)은 식 (2-80)과 같고 Laplace의 방정식이라 함

∇ ······ (2-80)

- 여기서 포아송 방정식과 라플라스의 방정식을 라플라시언으로 나타내면

······ (2-81)

······ (2-82)

중에서 어떤 점(x , y , z )의 전위함수가 V =x 2y z일 때 전하밀도는?

[풀이] poisson의 방정식에서

∴

2.14

2-14 전기이중층

(1) 전기쌍극자

- 전기쌍극자 : 크기가 같고 부호가 반대인 두 개의 점전하가 미소거리만큼 멀어져 있는 한 쌍의 전하

r

+Q-Q

r1r2

q

d2

d2

f

P

E

ErEq

2-23 전기 쌍극자

- 중심에서 r[m]만큼 떨어진 P점의 전위

V ······ (2-83)

- ≫ 이므로,

≒

, ≒

······ (2-84)

- 식 (2-84)를 식 (2-83)에 대입하면,

≒

cos

······ (2-85)

- ≫ 이면, ≫

이므로

V ······ (2-86)

- 쌍극자 모멘트를 M이라 하면,

C․m ······ (2-87)

- 점 P의 전위는

cosV ······ (2-88)

- 전계의 세기를 구해보자. 전위 V는 의 구함수이므로,

E grad

Vm

Vm ······ (2-89)

- 직각인 방향성분은 가 만큼 변화하면, 만큼 위치가 변화하므로,

Vm ······ (2-90)

cossin

cos ······ (2-91)

쌍극자 모멘트가 4πε0[C․m]인 전기 쌍극자에서 공기중의 한 점이 1[m] 떨어져 있고,

쌍극자 축과 60°의 각을 이루고 있을 때, 전위 V [V]를 구하여라.

[풀이] 전기 쌍극자에 의한 전위는 식(2-88)에 의해서

cos

․

° V

2.15

(2) 이중층

- 전기 이중층 : 매우 얇은 판의 한 면에 정전하, 다른 한 면에 부전하가 분포되어 있는 것

2-24 전기 이중층

- 전하밀도를 , 미소면적을 이라 하면, 전기쌍극자 이고, 식 (2-88)에 의해

cos

······ (2-93)

- 입체각을 도입하면,

······ (2-94)

- 전기이중층의 단위면적당 모멘트를 라 놓으면,

······ (2-95)

V ······ (2-96)

2-25 동일주변의 전기

이중층

- 점 P는 정전하측이므로,

V ······ (2-97)

- P‘는 부전하측이므로,

′

V ······ (2-98)

- 두 점간의 전위차

′

V ······ (2-99)

2-26에서 반지름 a , 세기 M 인 원판상 전기 이중층이 있다. 그 축상

원판의 중심으로부터 x만큼 떨어진 점의 전위를 구하라.

[풀이]

cos

2-26 원판상 전기 이중층

2.16

※ 참고문헌

1. 최수열 외 4인 공저, “전기/전자/통신 공학도를 위한 현대전기자기학”, 복두출판사