Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

На правах рукописи

Ожегов Евгений Максимович

Оценка функции спроса на дифференцированный товар

с эндогенными характеристиками

Специальность: 08.00.13 –

Математические и инструментальные методы экономики

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата экономических наук

Научный руководитель:

Ординарный профессор, д.э.н. Левин Марк Иосифович

Москва – 2015

2

Оглавление

Введение.........................................................................................................................................4

Глава 1. Основы моделирования функции спроса

1.1. Теоретическая модель спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками............................................................................................................16

1.2. Эмпирические основы оценивания функции спроса

1.2.1. Моделирование угловых решений.................................................................................22

1.2.2. Моделирование спроса на дифференцированные товары...........................................26

1.2.3. Моделирование потребительского выбора при наличии эндогенности....................31

Глава 2. Оценивание функции спроса на товар с эндогенными характеристиками

2.1. Эконометрическая модель функции спроса на дифференцированный товар с

эндогенными характеристиками………………………………………………………………37

2.2. Идентификация функции спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками........................................................................................................................40

2.3. Оценивание функции спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками........................................................................................................................48

2.4. Тестирование релевантности исключенных переменных................................................55

Глава 3. Оценка функции спроса на ипотечные кредиты

3.1. Ипотечный кредит как частный случай дифференцированного товара с эндогенными

характеристиками........................................................................................................................63

3.2. Описание механизма государственного ипотечного кредитования в РФ.......................66

3.3. Оценка функции агрегированного спроса на ипотечные кредиты

3.3.1. Обзор подходов к оценке функции агрегированного спроса на ипотечные

кредиты………………………………………………………………………………………….70

3.3.2. Описание данных для оценки функции агрегированного спроса на ипотечные

кредиты в России……………………………………………………………………………….72

3

3.3.3. Результаты оценки функции агрегированного спроса на ипотечные кредиты……...74

3.4. Оценка функции индивидуального спроса на ипотечные кредиты

3.4.1. Обзор подходов к оценке функции индивидуального спроса на ипотечные

кредиты………………………………………………………………………………………….79

3.4.2. Описание данных для оценки функции индивидуального спроса на ипотечные

кредиты в России……………………………………………………………………………….83

3.4.3. Результаты оценки функции индивидуального спроса на ипотечные кредиты....…..86

Заключение.................................................................................................................................111

Библиография.............................................................................................................................117

4

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Оценка функции спроса является

важным с прикладной точки зрения исследованием. Так с позиции компаний,

занимающихся реализацией товаров, более точная оценка спроса позволяет

предсказывать поведение потребителей в случае воздействия компании на

цену и характеристики производимых товаров. Для регуляторов рынка оценка

функции спроса позволяет отвечать на вопрос об эффективности его

функционирования и выборе оптимального регулирования.

При оценке функции спроса необходимо понимать процесс выбора

товара и особенностей его потребления. Так спрос обычно зависит как от

предпочтений и дохода потребителя, так и от характеристик самого товара.

При этом выбор объема потребления также может оказывать влияние и на

выбор характеристик товара, например, в случае наличия скидок, либо

переговоров потребителя и продавца относительно дизайна и цены товара,

что, несомненно, необходимо учитывать при моделировании.

Эмпирическая оценка функции спроса обычно осуществляется с

использованием данных о фактических покупках, при этом природа появления

таких данных может быть не случайной. Например, в выборку результатов

наблюдаемого выбора могут не попадать те потребители, кто выбрал вовсе не

потреблять товар. Идентификация функции спроса на товар без учета таких

индивидов будет являться некорректной. В таком случае продавец не сможет

истинно ответить на вопрос, что будет с объемом потребляемого товар, если

снизить цену. Очевидно, что изменят свое потребление не только те, кто уже

потребляет товар, но также и потенциально и те, кто до этого не его потреблял.

Таким образом разработка моделей спроса на товары и процедур их

корректного оценивания, минимально зависящих от предпосылок о структуре

спроса, является актуальной темой исследования. Оценка функции спроса с

неверными предпосылками обычно ведет к несостоятельному оцениванию,

что означает ложную информацию о предпочтениях индивидов, что в свою

5

очередь может приводить к неверным решениям продавцов, потребителей и

регуляторов, снижая общественное благосостояние.

Актуальность данной работы диктуется еще и тем фактом, что

применительно к изучаемой предметной области, ипотечному кредитованию

по государственным программам, количественные исследования по оценке

спроса в России ранее не проводились, но часто используются регуляторами в

других странах.

Состоятельная оценка функции спроса в такой области, как

кредитование, важна любой кредитной организации для прогнозирования

уровня доходности и кредитного риска портфеля в зависимости от изменения

структуры предложения кредитов. Так изменение параметров предлагаемых

кредитов будет приводить не только к изменению объемов выданных

кредитов, но также и к изменению других параметров кредитного контракта,

что будет изменять оценку кредитного риска портфеля заемщиков.

Исследование структуры спроса в государственном банке, являющимся

одновременно регулятором рынка ипотеки в России, позволяет не только

оптимизировать набор продаваемых товаров, но и повысить эффективность

проводимой государственной политики в отношении предоставления

ипотечных ссуд в России в целом.

Степень разработанности проблемы в литературе. Оценка спроса на

дифференцированный продукт с предположением об одинаковом количестве

потребляемого товара всеми потребителями является вполне изученной

областью и базируется на нескольких ключевых работах. Так МакФадден

[McFadden, 1973], [McFadden, 1976] предложил logit-модель дискретного

выбора, Бэрри, Левинсон и Пэйкес [Berry, Levihnson, Pakes, 1995] расширили

эту модель на случай случайных эластичностей спроса по характеристикам

товаров, а Нево [Nevo, 2000] предложил оценивать модель дискретного

выбора со случайными коэффициентами, в которой эластичности спроса по

характеристикам товаров содержат ненаблюдаемую компоненту и зависят от

6

характеристик потребителей. Бэрри и Хэйл [Berry, Haile, 2009] предложили

непараметрическое расширение данной модель спроса, в которой нет других

предпосылок о функциональном виде функции полезности, кроме как ее

непрерывная дифференцируемость.

Оценка спроса на товары с угловыми решениями, т.е. с возможностью

потребителям выбирать, потреблять товар или нет, и, в случае потребления,

выбирать желаемое количество, базируется на классической работе Хекмана

[Heckman, 1976] и расширении этой модели на случай эндогенных

характеристик товаров и произвольного совместного распределения

ненаблюдаемых компонент [Das, Newey, Vella, 2003] в уравнении выбора

ненулевого потребления и уравнении выбора объема потребления, т.е. для

оценки треугольных непараметрических систем одновременных уравнений с

выборочной селективностью. Однако в данной статье предполагается только

вхождение эндогенных характеристик товара в уравнение спроса, но не

включение спроса в уравнения характеристик, являющихся эндогенными, что

не позволяет в некоторых случаях получать адекватное представление о

процессе потребительского выбора, т.к. не позволяет учесть структуру

взаимосвязей между выбором объема потребления и характеристик товара.

Так на некоторых рынках характеристики товара выбираются

потребителями одновременно с объемом потребления. Типичными примерами

таких товаров продукты питания с различным размером упаковки, например,

сок. Потребитель осуществляет выбор не только объема потребления в литрах,

но и размера упаковки, что определяет цену за литр. Другим типичным

примером товара, в котором характеристики выбираются одновременно с

объемом потребления, является кредит.

В известных работах по оценке спроса на кредитные продукты, в

частности на ипотечные кредиты, а также на отдельные характеристики

кредитных контрактов (наличие страховки, выбор между плавающей и

фиксированной ставкой, выбор конкретной ипотечной программы) обычно

используются стандартные параметрические модели. Так в работах [Phillips,

7

Yezer, 1996] и [Ross, 2000] было показано, что при моделировании решений

заемщика необходимо учитывать смещение выборки по выданным кредитам,

связанное с одобрением только кредитоспособных заемщиков. В работах

[Follain, 1990] и [Rachlis, Yezer, 1993] и др. показано, что при моделировании

спроса на ипотеку параметры кредитного контракта, а также некоторые

характеристики заемщика (личный доход, доход поручителей) являются

эндогенными переменными, что обуславливает необходимость их

моделирования треугольной системой одновременных уравнений. В статье

[Attanasio, Goldberg, Kyriazidou, 2008] авторы показали, что при

моделировании спроса на автокредиты, характеристики кредита (ставка и срок

погашения) также являются эндогенными и должны входить в уравнение

спроса нелинейно, а также доказали, что оценки этих параметров смещены

выборочной селективностью. Данная статья является наиболее

прогрессивной, т.к. содержит минимальное количество предположений о

распределении ошибки и функциональной форме уравнения спроса. Тем не

менее данный подход не лишен того недостатка, что при моделировании

параметров контракта не учитывается потенциальная зависимость выбора

характеристик продаваемого продукта от спроса на него. Так, например, такая

характеристика кредитного контракта, как процентная ставка, является

зависимой от количества потребляемого товара, т.е. размера ссуды. Выбор

остальных параметров контракта: срока погашения, наличия страховки, также

предопределен желаемым размером ссуды. Таким образом существует

необходимость моделирования взаимозависимого выбора всех условий

кредита заемщиком.

Объектом исследования являются рынки товаров, на которых выбор

объема потребления является взаимосвязанным с выбором характеристик

товара. Предметом исследования является функция спроса индивидов на

такие товары.

8

Так целью данной работы является разработка процедуры

идентификации и оценивания функции спроса на дифференцированный товар,

учитывающий взаимозависимость спроса и характеристик товара.

Задачами исследования являются:

1. Изучение литературы по оценке спроса на дифференцированные

товары;

2. Построение эконометрической модели функции спроса на

дифференцированный товар с эндогенными характеристиками как

системы одновременных уравнений с выборочной селективностью;

3. Разработка процедуры и достаточных условий идентификации функции

спроса, учитывающей выборочную селективность и одновременность

выбора количества покупаемого товара и его характеристик;

4. Разработка теста на выполнение условий идентификации модели;

5. Формулировка условий, при которых оценка модели будет являться

состоятельной;

6. Оценка функции спроса на ипотечные кредиты с использованием и

агрегированных и индивидуальных данных.

Методологической основой исследования является эконометрическое

моделирование. В качестве основного инструмента исследования следует

отметить непараметрическую модель систем одновременных уравнений с

выборочной селективностью. Все оценки параметров модели и другие расчеты

были получены в программной среде Stata, в которой был разработан

необходимый инструментарий.

Информационная база исследования. Эмпирической основой

исследования является база данных по региональному ипотечному рынку,

собираемая АИЖК, которая была использована для оценки спроса на ипотеку

на агрегированном уровне. Вторым источником является база по заявкам на

получение ипотеки, выданным кредитам и их обслуживанию одного

9

регионального представительства Агентства по ипотечному жилищному

кредитованию, которая была использована для оценки индивидуального

спроса на ипотечные кредиты.

Теоретическую основу исследования составляют работы по

непараметрическим моделям уравнений с выборочной селективностью

[Heckman, Robb, 1985], [Vella, 1998], [Newey, 1999], [Das, Newey, Vella, 2003],

непараметрическим моделям систем одновременных уравнений [Brown, 1983],

[Roehrig, 1988], [Newey, Powell, 1988], [Newey, Powell, Vella, 1999], [Matzkin,

2008], [Imbens, Newey, 2009], [Blundell, Matzkin, 2010], [Berry, Haile, 2011],

Newey [2013], работы по оценке спроса на дифференцированный товар

[McFadden, 1976], [Berry, Levinhson, Pakes, 1995], [Nevo, 2000], [Berry, Haile,

2009], [Berry, Gandhi, Haile, 2013], а также по эмпирической оценке спроса на

кредиты, в первую очередь [Phillips, Yezer, 1996], [Ross, 2000], [LaCour-Little,

2007], [Attanasio, Goldberg, Kyriazidou, 2008].

В предыдущих работах по оценке спроса на дифференцированный товар

и, в частности на кредиты, в основном использовались линейные

спецификации наблюдаемых компонент функции полезности, а также

параметрические методы их идентификации, основанные на жестких

предположениях о виде распределения ненаблюдаемых компонент

полезности. Теоретически известно, что даже при самых простых

предположениях о виде функции полезности, порождаемая ей функция спроса

является нелинейной по ценам и доходу индивида. Вообще функция

полезности и ее функциональная форма является неизвестной, поэтому не

следует ограничиваться какими-либо предположениями как о

функциональной форме функции спроса, так и о распределении

ненаблюдаемых компонент спроса.

В качестве элементов научной новизны исследования можно отметить:

1. Предложена функция спроса на дифференцированный товар,

учитывающая одновременный выбор как объема потребления, так и

10

характеристик товара. Так известные непараметрические методы оценки

спроса на дифференцированный товар [Berry, Haile, 2012] содержат

предпосылку о том, что один потребитель выбирает только 1 единицу одного

товара в течение элементарного промежутка времени, т.е. не позволяют учесть

интенсивность потребления. Другие работы [Das, Newey, Vella, 2003],

[Attanasio, Goldberg, Kyriazidou, 2009] позволяют учитывать интенсивность

потребления при условии выбора потребляемого товара, но не позволяют

учитывать одновременность выбора количества потребляемого товара и

характеристик товара. В данной работе предложена непараметрическая

процедура идентификации функции спроса, не отягощенная описанными

предпосылками. При этом функциональная форма спроса будет ограничена

только его непрерывной дифференцируемостью.

2. Процедура идентификации позволяет получать состоятельные

оценки функции спроса в случае, когда выборка потребителей формируется

неслучайно. Так при оценке спроса некредитоспособные заемщики

отсекаются банком. В данных же наблюдаются условия выданных кредитов

только для тех заемщиков, что были одобрены банком, т.е. выбраны

неслучайным образом. Оценивание по неслучайной выборке (выборочная

селективность) учтено в модели. В предыдущих исследованиях по

оцениванию систем одновременных уравнений выборочная селективность не

бралась в расчет.

3. Для данной модели сформулированы достаточные условия

идентификации, являющиеся расширением известного рангового условия для

систем одновременных уравнений на случай произвольной формы

регрессионных функций и наличию проблемы выборочной селективности.

4. При оценивании эконометрических моделей с эндогенными

объясняющими переменными ключевой предпосылкой является наличие

инструментальных переменных, независимых от совместного распределения

ненаблюдаемых компонент и объясняющих существенную долю вариации

эндогенных переменных. Последнее свойство, которое еще называют

11

свойством релевантности исключенных инструментов, либо ранговым

условием, является тестируемым. В данном исследовании предлагается

расширение условного F-теста (теста Вальда) на выполнение рангового

условия для функции спроса, представленной непараметрической системой

одновременных уравнений с выборочной селективностью.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что на

примере функции индивидуального спроса на ипотеку удалось показать, что

существуют товары, при моделировании спроса на которые необходимо

учитывать не только эндогенность цены, но и других характеристик товара, а

также потенциальную зависимость выбора характеристик от величины спроса.

Удалось разработать процедуру идентификации данной модели спроса,

которая может быть адаптирована для рынков товаров, характеристики

которых устанавливаются в процессе переговоров между покупателем и

продавцом, а также рынков, где характеристики выбираются одновременно

объемом потребления. Теоретически значимым результатом также является

разработка процедуры тестирования набора исключенных инструментов для

непараметрических моделей систем одновременный уравнений, которая

может быть применена в других исследованиях, использующих подобную

модель.

Результаты оценивания модели спроса на ипотечные кредиты являются

практически значимыми, т.к. позволяют заемщикам выбирать условия

кредитования с наибольшим шансом на то, чтобы быть одобренными.

Результаты раскрывают процесс потребительского выбора условий

ипотечного кредитования, что может быть использовано при разработке

новых ипотечных программ и оценке потенциальных долей рынка. Показано,

что заемщики являются разнородными по предпочтениям, что может

использоваться банком при разработке дизайна новых ипотечных программ.

12

Диссертационное исследование изложено на 123 страницах печатного

текста, содержит 13 таблиц и 1 рисунок, состоит из введения, трех глав,

разбитых на 16 параграфов, заключения и списка использованной литературы.

Результатами, выносимыми на защиту являются следующие.

В первой главе рассматриваются известные подходы при

моделировании и оценке функции спроса. Так в первом параграфе главы

вводятся принятые в теории поведения потребителя обозначения, а также

определяется теоретическая модель спроса на дифференцированный товар с

эндогенными характеристиками. Во втором параграфе проводится обзор

эконометрических моделей, позволяющих идентифицировать функцию

спроса при наличии угловых решений. В третьем параграфе рассматриваются

эконометрические подходы к моделированию функции спроса на

дифференцированный товар. В заключительном, четвертом, параграфе главы

проводится обзор работ, объясняющих причины эндогенности характеристик

товара и способов получения состоятельной оценки функции спроса при

данном условии.

Во второй главе предлагается подход к оцениванию функции спроса на

дифференцированный товар с эндогенными характеристиками. В первом

параграфе главы вводится эконометрическая модель функции спроса,

учитывающая одновременность выбора потребителем количества

потребляемого товара и его характеристик, а также наличие угловых решений.

Во втором параграфе главы формулируются и доказываются достаточные

условия идентификации функции спроса. Во третьем параграфе предлагается

процедура оценивания, а также формулируются достаточные условия ее

состоятельности. В последнем параграфе главы предлагается тест на

выполнение одного из условий идентификации функции спроса, а именно тест

на релевантность исключенных инструментов.

Третья глава посвящена приложению предложенной процедуры

оценивания для оценки функции спроса на конкретном рынке

дифференцированного товара с эндогенными характеристиками, рынке

13

государственного ипотечного кредитования в России. Так в первом параграфе

главы теоретически обосновывается факт того, что ипотечный кредит является

товаром с эндогенными характеристиками. Во втором параграфе описывается

система государственного ипотечного кредитования в России. Во третьем

параграфе описаны результаты оценки функции агрегированного спроса на

ипотечные кредиты. В последнем параграфе главы предложенная процедура

применяется к оценке функции индивидуального спроса на ипотечные

кредиты с использованием микроданных. Эмпирически доказывается, что

ипотечный кредит является товаром с эндогенными характеристиками. Также

показано, что потребители ипотечных кредитов являются разнородными по

своим предпочтениям.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

Достоверность результатов подтверждается тем, что теоретические

результаты сформулированы и доказаны в виде математических теорем.

Эмпирические результаты подтверждены статистической проверкой гипотез.

Апробация результатов была проведена в рамках представления

промежуточных результатов исследования, которые были представлены

автором 4 раза на научном семинаре Лаборатории эмпирического анализа

рынков и компаний (НИУ ВШЭ-Пермь), на общегородском семинаре по

Прикладному моделированию в экономике (Совместный семинар НИУ ВШЭ-

Пермь, ПГНИУ и компании “Прогноз”) и на 8 конференциях (среди которых

7 международных):

1. AREUEA-ASSA Conference, Doctoral session, “Underwriting, Choice and

Performance of Government-insured Mortgages in Russia” (Организатор –

American Real Estate and Urban Economics Association, 2015 год);

2. XV Апрельская международная научная конференция «Модернизация

экономики и общества», "Полупараметрическое оценивание функции

14

спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками" (Организатор – НИУ ВШЭ, 2014 год);

3. International Association for Applied Econometrics Annual Conference 2014,

"Nonparametric estimation of systems of simultaneous equations with sample

selection" (Организатор – International Association for Applied

Econometrics и Queen Mary University of London, 2014 год);

4. Modern Econometrics Tools and Applications, "Nonparametric estimation of

systems of simultaneous equations with sample selection" (Организатор –

НИУ ВШЭ-Нижний Новгород и РЭШ, 2014 год);

5. Perm Winter School on Market risk, "Estimation of demand for mortgage

loans using loan-level data" (Организатор – ПГНИУ и ЗАО «Прогноз»,

2013 год);

6. Finmod-2013, "Mutual love of risky mortgage borrowers and government-

insured mortgage banks" (Организатор – ПГНИУ, 2013 год);

7. American Real Estate and Urban Economics Association International

Conference, "Key determinants of choosing government insured mortgage

loans in Russia" (Организатор - American Real Estate and Urban Economics

Association и Hebrew University, 2013 год);

8. International Conference on Applied Research in Economics, "Key

determinants of choosing government insured mortgages in Russia"

(Организатор – НИУ ВШЭ-Пермь, 2013 год).

Результаты опубликованы в виде 8 статей общим объемом 7.7 п.л. (5.6

п.л. без учета доли соавтора), из которых 1 в зарубежном журнале,

индексируемом Scopus, 2 статьи в журналах из списка ВАК:

1. Ozhegov E. M. Recovery of the Consumer Multiattributive Utility

Maximization Problem// Revista Investigacion Operacional, 2013. - №34(3) - С.

259-265 (0.6 п.л.);

2. Ожегов Е. М. Оценка кредитного риска при ипотечном жилищном

кредитовании // Прикладная эконометрика, 2014. - №35(3) - С. 3-17 (1 п.л.) (в

соавторстве с Порошиной А.М., вклад автора – 0.5 п.л.);

15

3. Ожегов Е.М. Лагированная структура динамического спроса на

ипотечные кредиты в России// Корпоративные финансы, 2013. №3(27) - С. 37-

49 (1 п.л.) (в соавторстве с Порошиной А.М., вклад автора – 0.5 п.л.);

4. Ozhegov E. M. Modelling demand for mortgage loans using loan-level data,

В: Financial Econometrics and Empirical Market Microstructure // Науч. ред.: S.

Ivliev, A. K. Bera, F. Lillo., Springer, 2015. - C. 241-248 (0.6 п.л.);

5. Ожегов Е.М.. Проблема самоотбора при моделировании кредитного

риска на рынке ипотечного кредитования// Приложение к журналу Новой

экономической ассоциации, 2014. - C.160-170 (0.8 п.л.) (в соавторстве с

Порошиной А.М., вклад автора – 0.4 п.л.);

6. Ожегов Е.М. Идентификация в классе непараметрических моделей

систем одновременных уравнений с выборочной селективностью// Квантиль,

2015. – С.15-23 (0.5 п.л.)

7. Ozhegov E. M. Bank risk preferences on the government-insured mortgage

market// В: 11th EBES Conference Proceedings. Istanbul: EBES, 2013. - Гл. 8. - С.

71-90 (1.4 п.л.) (в соавторстве с Порошиной А.М., вклад автора – 0.7 п.л.);

8. Ozhegov E. M. Underwriting, choice and performance of government-insured

mortgages in Russia// Working papers by NRU Higher School of Economics. Series

FE "Financial Economics", 2014. - № WP BRP 31/FE/2014. (1.8 п.л.).

16

Глава 1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ СПРОСА

1.1. Теоретическая модель спроса на дифференцированный товар с

эндогенными характеристиками

Современная микроэкономика исходит из того, что потребитель,

осуществляя выбор, руководствуется своими предпочтениями. Будем далее

обозначать множество вариантов выбора или допустимое для потребителя

множество альтернатив как X, а конкретную альтернативу данного множества

будем обозначать x. Пусть потребителю доступны l товаров, а каждый товар

представляет собой совокупность из k характеристик. Тогда любой

потребительский выбор представляет собой

𝑥 = (𝑥11 𝑥1𝑘

…𝑥𝑙1 𝑥𝑙𝑘

) ∈ ℝ𝑙x𝑘

В классической задаче потребительского выбора предполагается, что

товары не различаются характеристиками (k=1), а под 𝑥𝑖 понимается

количество потребляемого товара i. Если же товары различаются

выраженностью характеристик (k>1), то такие товары являются

дифференцированными.

В любой момент осуществления выбора потребитель может

сталкиваться с физическими и институциональными ограничениями. Будем

предполагать, что множество потребительского выбора X замкнуто и

ограниченно снизу. Так в случае, например, выбора количества потребляемого

товара необходимо сделать предположение о том, что соответствующая

характеристика товара ограничена снизу 0.

Моделирование потребительского выбора базируется на понятии

функции полезности. Так функция полезности это любая 𝑢(∙): 𝑋 → ℝ, такая

что ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋: если 𝑥 ≽ 𝑦, то 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦). Т.е. это функция, ставящая в

соответствие каждому элементу потребительского множества рациональное

число, выражающее «полезность» от его потребления, и ранжирующая

17

потребительские наборы по предпочтительности. Тогда процесс

потребительского выбора представляет собой выбор множества наборов с

наибольшей полезностью, 𝐶(𝑋) = argmax𝑥∈𝑋

𝑢(𝑥).

В классической модели поведения потребителя индивиды различаются

располагаемым доходом и выбирают только количество потребляемого

товара, но не его характеристики, 𝑥 ∈ ℝ++𝑙 . Цены при этом предполагаются

для всех потребителей одинаковыми и фиксированными. Тогда для каждого

индивида допустимым будет выбор не из всего множества товаров, а из

множества потребительских наборов, удовлетворяющего бюджетному

ограничению. Определим бюджетное множество ℬ как множество

потребительских наборов, удовлетворяющих бюджетному ограничению,

ℬ(𝑝, 𝐼) = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑝𝑥 ≤ 𝐼}, где 𝑝 ∈ ℝ++𝑙 – вектор цен, а 𝐼 ∈ ℝ+ - располагаемый

доход потребителя. Будем также предполагать, что 𝐼 ≥ inf𝑥∈𝑋 𝑝𝑥, что

предполагает непустоту бюджетного множества и, как следствие,

потребительского выбора. Данного требования всегда можно добиться,

позволив потребителю выбирать «нулевой товар» с нулевой ценой, т.е. не

потреблять ничего, ничего при этом не заплатив.

Тогда задачу поведения потребителя в терминах функции полезности

можно записать как

𝑢(𝑥) → max𝑥∈𝐵(𝑝,𝐼)

Решением данной задачи будет множество наборов 𝑥(𝑝, 𝐼) =

arg max𝑥∈𝐵(𝑝,𝐼)

𝑢(𝑥), называемое спросом по Маршаллу. В случае

взаимооднозначного отображения бюджетного множества на множество

потребительских наборов 𝑥(𝑝, 𝐼) называется функцией спроса по Маршаллу.

Известны свойства функции спроса по Маршаллу, которые обычно

используются при ее эмпирическом оценивании [Ozhegov, 2013]:

1. Наблюдается нулевое потребление либо не наблюдается потребление

определенного товара 𝑥𝑖 в потребительском наборе ввиду наличия

18

угловых решений задачи потребительского выбора, если 𝜕𝑢(𝑥)

𝜕𝑥𝑖|𝑥𝑖=0 <

0.

2. В случае наблюдаемого ненулевого потребления функция спроса

является нелинейной по ценам и доходу.

Введем понятие дифференцированного товара с эндогенными

характеристиками. Как было оговорено ранее, дифференцированным товаром

является товар, имеющий более одной характеристики (k>1). Товар является

дифференцированным товаром с эндогенными характеристиками, если

потребительский выбор осуществляется как по количеству потребляемого

товара, так и по выраженности характеристик.

Запишем задачу потребительского выбора для случая одного

дифференцированного товара с эндогенными характеристиками, 𝑥 =

(𝑥1, … , 𝑥𝑘) ∈ ℝ++𝑘 .

𝑢(𝑥) + 𝛼𝐼 → 𝑚𝑎𝑥𝑥,𝛼

{

𝑝𝑥1 = (1 − 𝛼)𝐼

𝑓(𝑝, 𝑥) = 0

𝑥 ∈ 𝑅++𝑘

𝛼 ∈ [0; 1],

(1)

где

𝑢(𝑥) – частная полезность от потребления товара 𝑥,

𝛼 – доля бюджета, которая тратится для потребления всех товаров, кроме 𝑥,

𝑥1 – количество потребляемого товара 𝑥,

𝑓(𝑝, 𝑥) – ценовая функция (функция предложения продавца), определяющая

стоимость единицы товара 𝑥 в зависимости от выбора объема потребления и

характеристик товара x,

𝑝 ∈ ℝ+ – цена за единицу товара 𝑥.

Введем предположения о свойствах функции полезности и ценовой

функции.

Предположение 1.1. Функция 𝑓(𝑝, 𝑥) является непрерывно

дифференцируемой по (𝑝, 𝑥) и монотонной по 𝑝.

19

В силу предположения 1.1 существует единственная 𝜙: 𝑋 → ℝ, что

𝑓(𝑝, 𝑥) = 𝑓(𝜙(𝑥), 𝑥) = 0.

Тогда задача (1) сводится к следующей:

𝑈(𝑥, 𝜙(𝑥), 𝐼) = 𝑢(𝑥) + 𝐼 − 𝑥1𝜙(𝑥) → 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ++

𝑘 (2)

Предположение 1.2 𝑢(𝑥)|𝑥1=0 = 0.

Предположение 1.3. 𝑢(𝑥) является дважды непрерывно

дифференцируемой по 𝑥 и 𝜕𝑢(𝑥)

𝜕𝑥1> 0,

𝜕2𝑢(𝑥)

𝜕2𝑥1< 0.

Предположение 1.4. ∀𝑥1 ∈ ℝ+, ∃𝑚 < +∞, ∃𝑥−1∗ (𝑥1) = (𝑥2

∗, … , 𝑥𝑘∗) ∈

(0;𝑚]𝑘−1, что 𝑥−1∗ = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑎𝑥

𝑥−1∈ℝ++𝑘−1𝑈(𝑥1, 𝑥−1, 𝜙(𝑥), 𝐼).

Так предположения 1.2-1.4 означают, что выбор нулевого объема товара

𝑥 будет приносить нулевую частную полезность от его потребления вне

зависимости от выбора характеристик товара, а совокупная полезность 𝑈(𝑥)

индивида от потребления всех товаров будет равняться доходу потребителя.

Кроме того, потребитель не обладает насыщением по количеству товару 𝑥 в

смысле частной полезности от его потребления, однако предельная частная

полезность является убывающей. Также предполагается, что для каждого

объема потребления идеальная точка набора характеристик товара,

приносящая индивиду максимальную полезность, является внутренней.

Обозначим за Δ = (δ, 𝑥−1∗ (δ)).

Тогда спрос для дифференцированного товара с эндогенными

характеристиками может быть получена из решения задачи (2) как

𝑥(𝜙(𝑥), 𝐼) =

{

0, если limδ→0+0

𝑈(Δ,𝜙(Δ), 𝐼)

δ≤ 0

{𝑥∗ > 0|𝜕𝑈(𝑥, 𝜙(𝑥), 𝐼)

𝜕𝑥= 0} , если lim

δ→0+0

𝑈(Δ, 𝜙(Δ), 𝐼)

δ> 0

(3)

Так наблюдается нулевое потребление товара (угловое решение) в

случае, когда потребление минимального положительного количества товара

20

при оптимальном наборе его характеристик снижает совокупную полезность

индивида по сравнению с потреблением нулевого количества.

Если же наблюдается ненулевое потребление товара, то это означает, что

потребитель выбирает такой положительный объем потребления и набор

характеристик товара, который является решением системы условий первого

порядка для совокупной функции полезности индивида. Такая структура

функции спроса будет использоваться далее и для ее эконометрического

моделирования.

При выполнении предположений 1.1-1.4 спрос (3) будет единственным

для каждого набора (𝜙(𝑥), 𝐼), что позволяет говорить о том, что уравнение (3)

задает функцию спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками.

Отметим, что цена за единицу товара в задаче (1) не является скаляром,

а является величиной, функционально зависимой от набора характеристик

товара и объема его потребления. Одним из примеров такой функции является

функция, определяющая размер скидки от изначальной цены в зависимости от

количества потребляемого товара. В случае моделирования спроса на

ипотечный кредит такой функцией будет выступать функция, определяющая

размер ежемесячного платежа заемщика за 1 рубль, взятый в долг.

Аргументами такой функции в соответствие с дизайном ипотечных программ

являются сумма займа, соотношение суммы займа к стоимости приобретаемой

квартиры, срок погашения кредита и другие характеристики кредита.

Обобщим задачу потребительского выбора (1) на случай отсутствия

аддитивной сепарабельности совокупной полезности на частную полезность

от 𝑥 и располагаемого после потребления товара 𝑥 дохода потребителя. Такое

предположение является довольно естественным обобщением на случай,

когда уровень частной полезности от потребления товара 𝑥 зависит от объема

потребления всех остальных товаров. Запишем задачу потребительского

выбора (4) для такого случая:

21

𝑢′(𝑢(𝑥), 𝛼𝐼) → 𝑚𝑎𝑥𝑥,𝛼

{

𝑝𝑥1 = (1 − 𝛼)𝐼

𝑓(𝑝, 𝑥) = 0

𝑥 ∈ 𝑅++𝑘

𝛼 ∈ [0; 1],

(4)

При выполнении предположения 1.1 задачу (4) можно свести к

𝑈′(𝑥, 𝜙(𝑥), 𝐼) = 𝑢′(𝑢(𝑥), 𝐼 − 𝑥1𝜙(𝑥)) → 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ++

𝑘 (5)

Предположение 1.5. 𝑢(𝑥)|𝑥1=0 = 0, 𝑢′(𝑢(𝑥), 𝐼 − 𝑥1𝜙(𝑥)) |𝑥1=0 = 𝐼.

Предположение 1.6. 𝑢(𝑥) является дважды непрерывно

дифференцируемой по 𝑥 и 𝜕𝑢(𝑥)

𝜕𝑥1> 0,

𝜕2𝑢(𝑥)

𝜕2𝑥1< 0.

Предположение 1.7. 𝑢′(𝑠) является непрерывно дифференцируемой по

𝑠 и 𝜕𝑢′(𝑠)

𝜕𝑠> 0.

Предположение 1.8. ∀𝑥1 ∈ ℝ+ ∃𝑥−1∗ (𝑥1) = (𝑥2

∗, … , 𝑥𝑘∗) ∈ (0;∞)𝑘−1, что

𝑥−1∗ = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑎𝑥

𝑥−1∈ℝ++𝑘−1𝑈′(𝑥1, 𝑥−1, 𝜙(𝑥), 𝐼).

При выполнении предположений 1.1 и 1.5-1.8 спрос, как и функция

спроса, на товар 𝑥 для задачи потребительского выбора (5) будет определяться

как

𝑥(𝜙(𝑥), 𝐼) =

=

{

0, если limδ→0+0

𝑈′(Δ,𝜙(Δ), 𝐼)

δ≤ 0

{𝑥∗ > 0|𝜕𝑈′(𝑥, 𝜙(𝑥), 𝐼)

𝜕𝑥= 0} , если lim

δ→0+0

𝑈′(Δ,𝜙(Δ), 𝐼)

δ> 0

(6)

22

1.2. Эмпирические основы оценивания функции спроса

1.2.1. Моделирование угловых решений

В классической задаче поведения потребителя каждый товар из

потребительского набора характеризуется только количеством, которое

выберет потребитель (количество характеристик товара, 𝑘, равно 1). При этом,

если есть два похожих друг на друга товара, например, 2 пакета молока разных

производителей, то они считаются двумя разными товарами. Данный подход

удобен с теоретической точки зрения, т.к. позволяет легко выводить свойства

функции полезности и спроса только на основании рациональности

предпочтений потребителя. С практической точки зрения напротив,

оценивание функции спроса и восстановление функции полезности

потребителя будет существенно осложнено, во-первых, практически

бесконечным количеством товаров в потребительской корзине, а, во-вторых,

практическому ослаблению предпосылок о рациональности предпочтений. В

первую очередь, данное ослабление связано с тем, что потребитель, обладая

фактически бесконечным количеством наборов потребительских благ, не

может их сравнивать между собой.

Тем не менее, при моделировании функции спроса на определенную

группу товаров исследователи в угоду простоте моделирования и при

ограниченности данных о потреблении остальных товаров руководствуются

следующими предпосылками:

1. Известен объем потребления изучаемой группы товаров (или

расходы на нее);

2. Известен располагаемый доход индивида;

3. Известна информация о ценах на данную группу товаров и товары-

субституты, а также некоторые вкусовые характеристики индивида.

Тогда процесс потребительского выбора индивида i о размере расходов

на товарную группу можно представить следующей моделью:

23

𝑦𝑖 = {0, 𝑦𝑖

∗ ≤ 0

𝑦𝑖∗, 𝑦𝑖

∗ > 0

где 𝑦𝑖∗ - латентная переменная, характеризующая полезность от потребления

товара для индивида i, а 𝑦𝑖 – наблюдаемое потребление (расходы). Данная

модель получила название Тобит-модель и восходит корнями к работе Тобина

1958 года [Tobin, 1958], посвященной оценке спроса (доли расходов) на

товары длительного пользования.

В простейшем случае полезность от потребления товара моделируется

линейной сверткой наблюдаемых переменных, а также аддитивно входящих

ненаблюдаемых детерминант спроса:

𝑦𝑖∗ = 𝑥𝑖𝛽 + 𝑒𝑖

В предложенной постановке в качестве переменных 𝑥, объясняющих

полезность от потребления товара, выступают цена на изучаемый товар и

товары-субституты, располагаемый доход и другие характеристики индивида.

Полезность же в данном случае предполагается линейной по ценам и доходу,

что нарушает выполнение свойства однородности функции спроса степени 0

в угоду простоте оценивания.

Данная модель также расширяется на случай функциональных

коэффициентов перед ценами и доходом от характеристик индивида и других

нелинейных взаимосвязей между наблюдаемыми переменными.

Предложенная модель была также расширена на случай, если некоторые

объясняющие спрос переменные наблюдаются только в случае ненулевого

потребления. Так, в главе 3 пойдет речь об оценке спроса на кредитные

продукты, при этом в данных наблюдается объем потребляемого продукта

(величину ссуды), а также цену (ставку в кредитном договоре) только для тех

потребителей, которые были одобрены банком и, соответственно,

предъявляют ненулевое потребление. Модель с описанными предпосылками

была впервые предложена Хекманом в работе 1974 года [Heckman, 1974] для

объяснения величины заработной платы и получила название модели

24

выборочной селективности (sample selection model). Модель (и соответственно

процедура ее оценивания) разбивается на 2 уравнения:

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔1(𝑥𝑖 , 𝑤𝑖) + 𝑒1𝑖 ≤ 0

1, 𝑔1(𝑥𝑖 , 𝑤𝑖) + 𝑒1𝑖 > 0

𝑦𝑖∗ = 𝑔2(𝑥𝑖

∗) + 𝑒2𝑖

(𝑦𝑖 , 𝑥𝑖) = {

ненаблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 0

(𝑦𝑖∗, 𝑥𝑖

∗) наблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 1

где 𝑑𝑖 ∈ {0,1} – решение индивида о ненулевом потреблении товара, 𝑔1 –

наблюдаемая компонента полезности от факта потребления товара, 𝑒1 –

ненаблюдаемая компонента полезности от факта потребления товара, 𝑔2 –

наблюдаемая компонента функция спроса, 𝑒2 – ненаблюдаемая компонента

функции спроса.

Процесс оценки такой модели сводится к оценке на первом шаге

уравнения для 𝑑𝑖 (уравнение участия). На втором шаге оценивается уравнение

спроса (уравнение выбора) с коррекцией на потенциальную ковариацию

ненаблюдаемых компонент в уравнениях участия и выбора. Так в случае

линейных функций 𝑔1 и 𝑔2, а также совместного нормального распределения

𝑒1 и 𝑒2 процедура представляет собой оценку на первом шаге уравнения

участия пробит-моделью

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔1(𝑥𝑖 , 𝑤𝑖) + 𝑒1𝑖 ≤ 0

1, 𝑔1(𝑥𝑖 , 𝑤𝑖) + 𝑒1𝑖 > 0

На втором шаге оценивается уравнение выбора, скорректированное на

ковариацию ненаблюдаемых компонент уравнений участия и выбора

𝑦𝑖 = 𝑥𝑖𝛽2 + 𝜎12𝜙((𝑥𝑖 , 𝑤𝑖)�̂�1)

Φ((𝑥𝑖, 𝑤𝑖)�̂�1)+ 𝜖2𝑖

где 𝜙(∙) и Φ(∙) соответственно функции плотности и распределения для

нормального распределения, �̂�1 – состоятельные оценки параметров

уравнения участия, 𝜎12 – ковариация между 𝑒1 и 𝑒2.

25

Необходимым условием идентификации модели является наличие хотя

бы одной значимой переменной 𝑤, объясняющей наблюдение ненулевого

потребления товара, при этом не оказывающей влияния на величину

потребления. Так обычно в качестве таких переменных используются уровни

цен на товары-субституты для изучаемого товара или любые другие причины

выбора альтернативы «не потреблять изучаемый товар».

Подход, предложенный Хекманом, имел серьезное ограничение,

связанное с жестким предположением о распределении ошибок. Дальнейшее

развитие методов коррекции на смещение ввиду выборочной селективности

представляло собой ослабление предпосылки о виде распределения ошибок

для двухшаговой процедуры коррекции, используя непараметрический

подход к оценке модели. Например, разложение неизвестной с точки зрения

функциональной формы функции коррекции ошибки в ряд Фурье [Heckman,

Robb, 1985] либо использование аппроксимации серией степенных функций

[Newey, 1999]. В работе [Das, Newey, Vella, 2003] предложена модель для

одной зависимой переменной с выборочной селективностью и эндогенностью

регрессоров, а также предложена процедура построения функции коррекции

ошибок для такой модели, которая также аппроксимируется полиномиальной

серией. Проблемам и техникам оценивания моделей с эндогенными

переменными посвящен параграф 1.2.3 данной работы.

Последние работы, посвященные моделям выборочной селективности,

хоть и являются довольно гибкими с точки зрения функциональной формы и

распределения ненаблюдаемых компонент имеют серьезный недостаток,

связанный с предположением об аддитивной сепарабельности функции спроса

с точки зрения наблюдаемой и ненаблюдаемой компоненты.

26

1.2.2. Моделирование спроса на дифференцированные товары

При осуществлении выбора потребитель руководствуется не только

количеством потребляемого товара, но и набором его характеристик. В целях

моделирования спроса на дифференцированные товары предполагается, что

множество атрибутов для каждого товара является фиксированным, а товары

различаются выраженностью атрибутов. Тогда каждый товар представим

совокупностью из k характеристик, 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑘), 𝑥 ∈ ℝ++𝑘 .

На ранних этапах развития эмпирической оценки функции спроса на

дифференцированные товары получил распространение подход,

использующий модели вероятностного выбора товара из фиксированного

дискретного множества (multinomial logit и probit), при которых потребители

принимались однородными, а также ставилось жесткое предположение о том,

что каждый потребитель выбирает одну единицу только одного товара. К

данной группе работ относятся, например, работы МакФаддена [McFadden,

1973], а также Бен-Акивы и Лермана [Ben-Akiva, Lerman, 1985], изучавших

спрос на разные виды транспорта. Так в данных работах ставилось

предположение о том, что каждый индивид пользуется только одним видом

транспорта, а под ценой понимается средняя величина расходов при

пользовании соответствующим видом транспорта в единицу времени. В такой

постановке потребитель будет выбирать только одну альтернативу,

приносящую ему наибольшую полезность. Так полезность (в линейном

случае) для индивида i от выбора альтернативы j можно записать как

𝑢𝑖𝑗 = 𝑥𝑗𝛽𝑗 + 𝑒𝑖𝑗

А потребительский выбор индивида 𝑖 может быть выражен как 𝑦𝑖 = 𝑗,

если 𝑢𝑖𝑗 ≥ 𝑢𝑖𝑙 для любых 𝑗 отличных от 𝑙.

При известном распределении (или предпосылке о распределении) 𝑒𝑖𝑗

такая модель позволяет предсказывать доли рынка для каждого из товаров в

зависимости от набора характеристик каждого из товаров.

27

Для идентификации модели, помимо гипотезы о распределении,

требуется также нормировка полезности относительно одной из базовых

альтернатив. Традиционным является подход, когда в набор альтернатив

включается «нулевая» альтернатива (альтернатива «не потреблять ничего из

заданного множества») с нулевой ценой и нулевой полезностью от

потребления. Другим подходом является нормировка относительно вариации

ненаблюдаемой компоненты полезности.

Класс логит-моделей для множественного выбора позднее был обобщен

на случай более сложной структуры ковариационной матрицы

ненаблюдаемых характеристик товаров, предполагая их возможную

ковариацию для товаров из одной товарной группы (nested models) [Wen,

Koppelman, 2001], [Hensher, Green, 2002], либо между любыми парами

альтернатив (generalized extreme value models) [Choi, Moon, 1997], [Harris,

Ramful, Zhao, 2005].

Дальнейшее развитие классической модели множественного выбора

нашло отражение во введении разнородности во вкусах потребителей, что

привело к использованию моделей со случайными коэффициентами или

смешанным моделям (mixed models) дискретного выбора [Nevo, 2000] [Nevo,

2001] [Nevo, 2002], позволяющими оценивать зависимость выбора

конкретным потребителем товара с фиксированным набором атрибутов от

внутренних «демографических» характеристик потребителя. Так модель,

предложенная Нево [Nevo, 2000] для оценки спроса на готовые сухие завтраки,

имеет более сложную по сравнению с обычной многомерной логит-моделью

структуру функции полезности от потребления каждой альтернативы, где

каждый товар имеет как наблюдаемые, так и ненаблюдаемые характеристики.

Модель также включает предпосылку о разнородности потребителей с точки

зрения их вкусов, а также потенциально разные цены и набор характеристик

товара на разных рынках (под рынком понимается пара из географического

расположения и момента времени). Так, полезность по Нево представима

следующим уравнением:

28

𝑢𝑖𝑗𝑡 = 𝑥𝑗𝑡𝛽𝑖∗ + 𝛼𝑖

∗𝑝𝑗𝑡 + 𝜉𝑗𝑡 + 𝜖𝑖𝑗𝑡

𝑥𝑗𝑡 - вектор наблюдаемых характеристик товара j на рынке t;

𝛽𝑖∗ - индивидуальные вкусы потребителя i по наблюдаемым

характеристикам продукта;

𝑝𝑗𝑡 - цена на товар j на рынке t;

𝛼𝑖∗ - коэффициент изменения полезности по собственной цене товара;

𝜉𝑗𝑡 - ненаблюдаемые характеристики товара;

𝜖𝑖𝑗𝑡 - индивидуальный шок спроса.

Вкусовые параметры принимаются разными для разных потребителей,

зависят от наблюдаемых и ненаблюдаемых характеристик потребителя:

(𝛼𝑖∗

𝛽𝑖∗) = (

𝛼𝛽) + 𝛱𝐷𝑖 + 𝛴𝜈𝑖 , 𝜈𝑖~𝑁(0, 𝐼𝑘+1),

где 𝑘 – размерность вектора наблюдаемых характеристик товара;

𝐷𝑖 - вектор 𝑑 x 1 наблюдаемых демографических характеристик

потребителя;

𝛱 – матрица размерности (𝑘 + 1) x 𝑑, выражающая зависимость вкусов

от наблюдаемых характеристик индивида;

𝜈𝑖 - ненаблюдаемые характеристики индивида;

𝛴 – шкалирующая матрица.

Данная модель также использует предпосылку о том, что потребитель

совершает выбор только 1 товара с наибольшей полезностью. Этот выбор

предопределен множеством индивидуальных характеристик потребителя,

которые ведут его к потреблению товара j. Формально это множество

индивидуальных характеристик можно записать как

𝐴𝑗𝑡(𝑥∙𝑡 , 𝑝∙𝑡 , 𝜉∙𝑡; 휃) = {(𝐷𝑖 , 𝜈𝑖 , 𝜖∙𝑡)|𝑢𝑖𝑗𝑡 ≥ 𝑢𝑖𝑙𝑡 ∀𝑙 = 0,1,… , 𝐽},

где 𝑥∙𝑡 , 𝑝∙𝑡 , 𝜉∙𝑡 - вектора наблюдаемых характеристик товаров, цен и

ненаблюдаемых характеристик соответственно, 휃 – параметры модели,

𝐷𝑖 , 𝜈𝑖 , 𝜖∙𝑡 - наблюдаемые демографические характеристики потребителя,

29

ненаблюдаемые характеристики потребителя, а также индивидуальные шоки

спроса.

Тогда рыночная доля каждого из товаров является функцией только от

характеристик товара, т.е. от усредненного по всем потребителям уровня

полезности, которую они получают от его потребления:

𝑠𝑗𝑡(𝑥∙𝑡, 𝑝∙𝑡 , 𝜉∙𝑡; 휃) = ∫ 𝑑𝐹(𝐷, 𝜈, 𝜖) =

𝐴𝑗𝑡

∫ 𝑑𝐹𝐷(𝐷)

𝐴𝑗𝑡

𝑑𝐹𝜈(𝜈)𝑑𝐹𝜖(𝜖)

где 𝐹∙(∙) - закон распределения индивидуальных характеристик потребителей.

Нахождение функции спроса по сути сводится к проблеме нахождения

соответствующего интеграла по распределению неизвестных характеристик

товаров и потребителей.

Естественным развитием модели множественного выбора также стал

отказ от предпосылок о распределении ненаблюдаемых характеристик, а

также о функциональной форме функции полезности. В последних работах

Берри и Хейла [Berry, Haile, 2009], [Berry, Haile, 2011], а также Берри, Ганди и

Хейла [Berry, Gandhi, Haile, 2013] представлены условия идентификации

модели множественного выбора со случайными коэффициентами, когда

функция полезности имеет произвольный функциональный вид, а

распределение ненаблюдаемых характеристик также является произвольным.

При выполнении условия обратимости непараметрической функции

полезности относительно ненаблюдаемых переменных, свертка полезности в

функцию спроса примет вид

𝑠𝑗𝑡 = 𝜎𝑗(𝑝𝑡 , 𝑔(𝑥𝑡) + 𝜉𝑡),

где 𝑔(𝑥𝑡) = (𝑔1(𝑥1𝑡), … , 𝑔𝐽(𝑥𝐽𝑡))′ - наблюдаемые компоненты полезности

каждого из товаров, каждая функция 𝑔𝑗 является строго возрастающей (для

обратимости функции полезности), 𝑥𝑡 ∈ ℝ𝑘x𝐽 – матрица характеристик

товаров 1,… , 𝐽, 𝑝𝑡 ∈ ℝ𝐽 – вектор цен на товары, 𝜉𝑡 ∈ ℝ

𝐽 – вектор

ненаблюдаемых характеристик товаров для каждого рынка 𝑡. Цены

моделируются как равновесные на олигополистическом рынке, что для

30

произвольной функции издержек производителей позволяет записать

уравнение для цены каждого товара как

𝑝𝑗𝑡 = 𝜋𝑗(𝑥𝑡 , 𝜉𝑡 , ℎ(𝑧𝑡) + 휂𝑡),

где 𝑧𝑡 ∈ ℝ𝑟x𝐽 – вектор наблюдаемых переменных, объясняющих изменение

издержек на каждый товар 𝑗 (𝑟 – размерность вектора детерминант издержек),

ℎ(𝑧𝑡) = (ℎ1(𝑧1𝑡), … , ℎ𝐽(𝑧𝐽𝑡))′, где каждая функция ℎ𝑗 строго возрастающая, а

휂𝑡 ∈ ℝ𝐽 – вектор ненаблюдаемых характеристик, объясняющих изменение

издержек. Авторы вывели условия идентификации для функций полезности,

которые по сути являются условиями идентификации системы из 2𝐽

одновременных уравнений в случае обратимости функций полезности и

издержек:

𝑔𝑗(𝑥𝑗𝑡) + 𝜉𝑗𝑡 = 𝜎𝑗−1(𝑠𝑡 , 𝑝𝑡)

ℎ𝑗(𝑧𝑗𝑡) + 휂𝑗𝑡 = 𝜋𝑗−1(𝑠𝑡 , 𝑝𝑡).

Условия ее идентификации являются расширенными условиями

идентификации для обычной модели с линейной функции полезности для

непараметрического случая, предполагая строгую независимость

инструментальных переменных для цен 𝑧𝑗𝑡 от распределения (𝜉𝑗𝑡 , 휂𝑗𝑡),

объяснение с помощью 𝑧𝑗𝑡 существенной доли вариации цен, а также

обратимость функции полезности относительно ненаблюдаемых

характеристик товаров. Предпосылками данной модели, как и всех

стандартных моделей множественного выбора, остается выбор потребителем

только одной из рассматриваемых альтернатив и потребление одной единицы

товара за 1 единицу времени, а также выпуклость пространства характеристик

товаров. Еще одним важным ограничением моделей множественного выбора

является учет эндогенности только одной из характеристик товара, цены.

Альтернативные модели выбора дифференцированного товара,

оставаясь в пространстве параметрических предпосылок о виде функции

полезности и распределении ненаблюдаемых характеристик товаров,

позволяют выбирать одновременно несколько товаров из фиксированного

31

множества (multiple brand choice [Baltas, 2004] и multiple discrete-continous

extreme value [Bhat, 2005]). Так в своей работе Бхат, рассматривая спрос

домохозяйств на автомобили, исходит из наблюдения, что некоторые

домохозяйства выбирают более одного автомобиля. Исходя из теоретической

предпосылки о функции полезности с постоянной эластичностью замещения

и дискретного выбора о потреблении каждой из альтернатив, автору удалось

показать, что при различных значениях параметров функции полезности,

некоторые домохозяйства будут демонстрировать оптимальное решение в

виде покупки более чем одного автомобиля. Такая модель в некотором смысле

позволяет отойти от предпосылки о потреблении только одной альтернативы

в течение одного момента времени, однако также не позволяет в полной мере

учитывать как интенсивность потребления, так и эндогенность характеристик

выбираемых товаров.

1.2.3. Моделирование потребительского выбора при наличии эндогенности

Одной из существенных предпосылок моделей множественного выбора,

а также других моделей функции спроса, является эндогенность цены. Так

распространенным является суждение о том, что производители, либо

продавцы товара, способны прогнозировать шоки спроса, изменяя при этом

цену. В таком случае, продажная цена товара может быть коррелирована с

шоком спроса, являясь эндогенной.

Современные модели множественного выбора [Berry, Haile, 2011] также

исходят из предпосылки о том, что цены на товары являются равновесными,

устанавливаемыми в результате олигополистической конкуренции между

продавцами. В такой постановке, если рассматриваемая единица времени

достаточно велика, например, один месяц, то считается, что если в данный

момент времени произошел шок спроса, то это приведет к изменению цен

продавцов и, соответственно, к изменению цен продаж товаров.

32

Некоторые работы, посвященные оценке спроса на

дифференцированные товары, изучают рынки, на которых шоки спроса ведут

не только к изменению цен, но и к изменению предпочтений индивидов

относительно других характеристик товаров.

Так, например, эмпирические работы по оценке спроса на ипотечные

займы, описывая процесс выбора заемщиком и банком условий ипотечного

контракта, сходятся во мнении, что условия соглашения является

взаимозависимыми. Если происходит шок спроса на одну из характеристик

займа (например, желание увеличить размер ссуды), это, при прочих равных,

может привести к росту процентной ставки по договору, т.к. займ будет

восприниматься банком как более рисковый. Увеличение ставки может

привести, либо к увеличению ежемесячного платежа по обслуживанию займа,

что, в свою очередь может повлечь к пересмотру размера ссуды, либо к

изменению срока кредитования для сохранения фиксированной величины

ежемесячного платежа. Некоторые работы также изучают процесс выбора

потенциальными заемщиками такой характеристики контракта, как

плавающая, либо фиксированная процентная ставка, а также взаимосвязь

между данным решением и выбором других параметров контракта [LaCour-

Little, 2007].

Процесс одновременного выбора либо взаимозависимости величины

потребляемого товара, цены покупки товара, а также других его характеристик

моделируется системой одновременных уравнений. Рассмотрим простейшую

линейную модель функции спроса с эндогенной ценой:

𝑦𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑝𝑖)𝛽 + 𝑒𝑖

𝑝𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑧𝑖)𝛾 + 휂𝑖

𝑐𝑜𝑣(𝑝𝑖 , 𝑒𝑖) ≠ 0,

где 𝑦𝑖 – объем потребляемого товара в i-ом наблюдении, 𝑝𝑖 – цена покупки, 𝑥𝑖

– другие объясняющие спрос наблюдаемые переменные, 𝑒𝑖 – ненаблюдаемые

переменные, объясняющие спрос.

33

Такая модель с одним уравнением (спроса), требующим идентификации,

и одной эндогенной переменной в уравнении спроса получила название

модель треугольной системы одновременных уравнений. Для ее

идентификации требуется наличие хотя бы одной переменной 𝑧𝑖,

объясняющей существенную долю вариации цен (релевантность набора

исключенных из уравнения спроса инструментальных переменных 𝑧𝑖).

Состоятельность оценивания параметров функции спроса 𝛽 обеспечивается,

если выполнено условие независимости набора переменных (𝑥𝑖 , 𝑧𝑖) от

распределения ненаблюдаемых переменных (𝑒𝑖 , 휂𝑖) (условие экзогенности 𝑥𝑖

и валидности исключенных инструментов 𝑧𝑖, либо это условие также

называется условием валидности матрицы инструментов, включенных и

исключенных из уравнения спроса). Исключенными инструментами для

рыночных цен являются обычно издержки производителей [Berry, Haile,

2009], коррелированные с ценами, но не оказывающие влияния на шоки

спроса.

Оценка уравнения спроса тогда сводится к двухшаговой процедуре (2-

хшаговый метод наименьших квадратов):

1. На первом шаге состоятельно оценивается уравнение для каждой

эндогенной переменной (уравнение для цены);

2. На втором шаге оценивается уравнение спроса, в котором каждая

эндогенная переменная (цена) заменена на ее предсказанное значение

по уравнению шага 1.

Дальнейшее развитие моделей треугольных систем одновременных

уравнений связано в первую очередь с ослаблением предпосылок о виде

распределения ненаблюдаемых переменных, а также о виде регрессионных

функций. Так, вид регрессионных функций может быть неизвестен, либо не

ограничен какими-либо предположениями. В работах Ньюи и Пауэлла

[Newey, Powell, 1989], [Newey, Powell, 2003] впервые предложена

непараметрическая процедура оценки треугольных систем одновременных

уравнений с аддитивной ошибкой, которая была продолжена работой Велла

34

[Vella, 1993] для случая цензурированной зависимой переменной. Ньюи,

Пауэлл и Велла [Newey, Powell, Vella, 1999] предложили использовать

двухшаговую процедуру коррекции ошибок на эндогенность регрессоров с

использованием аппроксимации функции коррекции ошибки серией

степенных функций от остатков уравнений в приведенной форме. В [Newey,

2013] приводится обзор непараметрических методов инструментальных

переменных для систем одновременных уравнений, а также обсуждается

проблема наличия слабых инструментов.

Другое направление развития проблемы идентификации моделей

одновременных уравнений связано с ослаблением предпосылки об

аддитивной сеперабельности уравнений, т.е. возможности разложить каждое

уравнение на сумму регрессионной функции, зависящей только от

наблюдаемых переменной, и ненаблюдаемой компоненты. Ослабление данной

предпосылки является важным в контексте моделирования потребительского

выбора, т.к. в общем виде следует предполагать несепарабельную функцию

полезности по товарам. При этом эмпирическое моделирование потребления

всей совокупности товаров вряд ли представляется возможным. Так часть

полезности будет оставаться ненаблюдаемой, что накладывает

соответствующее ограничение как на функцию полезности, так и на функцию

спроса, порождаемую данной функцией полезности. Однако эмпирических

работ с несепарабельной непараметрической функцией спроса по

ненаблюдаемой компоненте полезности до сих пор не существовало.

Рассмотрение вопроса идентификации несепарабельных

одновременных уравнений исходит к классическим работам Брауна [Brown,

1983] и Роерига [Roehrig, 1988], которые предложили версию расширения

рангового условия идентификации, однако получили известную порцию

критики в работе [Benkard, Berry, 2004], связанную с тем, что предложенные

условия не являются достаточными.

Данные статьи были продолжены работой Матцкин [Matzkin, 2008],

которая сформулировала более строгие условия идентификации, а также

35

[Matzkin, 2010], в которой была предложена непараметрическая техника

оценивания несепарабельных моделей одновременных уравнений с

исключенным регрессором в каждом из уравнений.

Она использовала процедуру построения функции оценивания,

основанную на ядерной оценке плотности совместного распределения

наблюдаемых и ненаблюдаемых переменных. Данная серия статей также была

расширена в [Matzkin, 2012] на случай ограниченных зависимых переменных.

Она предложила условия идентификации для нескольких непараметрических

Тобит-моделей, не включающих, впрочем, модель с выборочной

селективностью.

В работе [Blundell, Matzkin, 2010] доказываются условия

идентификации непараметрических моделей систем несепарабельных

одновременных уравнений в случае двух уравнений и одного исключенного

регрессора. Они ввели понятие сепарабельной функции коррекции и доказали,

что система одновременных уравнений с количеством исключенных

регрессоров меньшим, чем количество уравнений, идентифицируема в случае

существования сепарабельной функции коррекции ошибки (control function

separability), что в свою очередь сводится к возможности представления

каждой эндогенной переменной как функции только от экзогенных и

ненаблюдаемых переменных.

В работе Имбенса и Ньюи [Imbens, Newey, 2009] приводятся более

простые условия идентификации для треугольных неаддитивных систем

одновременных уравнений через существование функции коррекции, которая

не предполагается сепарабельной. Условия идентификации в данной работе

также дополнены процедурой идентификации, использующей квантильный

подход.

Вообще, идентификация и оценивание системы одновременных

уравнений сводится к объяснению вариации каждой эндогенной переменной,

требующей идентификации, через совместное распределение всех

наблюдаемых экзогенных переменных и ненаблюдаемых переменных.

36

В данном исследовании расширяется класс моделей, предложенных в

[Matzkin, 2010], [Matzkin, 2012] и [Imbens, Newey, 2009] на случай

выборочной селективности в непараметрических моделях систем

одновременных уравнений и докажем условия для их идентификации. Для

оценивания будем следовать подходу, описанному в [Newey, Powell, Vella,

1999], [Das, Newey, Vella, 2003], используя аппроксимацию функций

коррекции ошибки и регрессионных функций серий степенных функций.

Данный подход является конструктивным и легко реализуемым, в том числе

для не слишком больших выборок.

37

Глава 2. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИИ СПРОСА НА ТОВАР С

ЭНДОГЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

2.1. Эконометрическая модель функции спроса на дифференцированный

товар с эндогенными характеристиками

В данном параграфе определяется эконометрическая модель функции

спроса на дифференцированный товар с эндогенными характеристиками. По

своей структуре она представляет собой модель системы одновременных

уравнений с выборочной селективностью. Для идентификации модели

сформулированы требования на наличие исключенных переменных для

уравнения участия и уравнений системы. Класс идентифицируемых моделей

ограничен системой уравнений с аддитивно сепарабельными ошибками,

распределенными совместно с непрерывной функцией плотности, и

непрерывно дифференцируемыми регрессионными функциями.

При моделировании спроса на товары, характеристики которых

выбираются одновременно с объемом потребления, следует учитывать

структурную взаимосвязь между спросом и характеристиками товара.

Примером такого товара является, в частности, кредит, эндогенность

характеристик которого подчеркивается в работах [Attanasio, Goldberg,

Kyriazidou, 2008], [LaCour-Little, 2007]. Для состоятельной оценки функции

спроса на кредиты также необходимо учитывать тот факт, что выборка

выданных кредитов является сформированной неслучайно как под

воздействием самоотбора заемщиков (выбора индивида не брать ипотеку), так

и в силу неслучайного одобрения банком заемщиков с определенными

характеристиками. Проблема неслучайного процесса генерации данных (data

generating process) получила название выборочной селективности (sample

selection).

В данной работе предлагается модель индивидуального спроса и

механизм ее идентификации, учитывающие одновременность выбора объема

38

потребления и характеристик товара, выборочную селективность, а также

потенциальную разнородность предпочтений, что полностью обусловлено

исследовательской необходимостью. Модель индивидуального спроса на

дифференцированный товар с эндогенными характеристиками в главе 3 будет

применена к частному рынку такого товара, ипотечного кредита, поэтому при

описании модели ее переменные поясняются на примере данного рынка.

Отметим, что не только спрос на основе систем одновременных

уравнений не изучен в существующей литературе, но также эконометрика

оценивания непараметрических моделей одновременных уравнений при

наличии выборочной селективности также является до сих пор не

разработанной. Так наиболее прогрессивными работами по части

идентификации и оценивания непараметрических моделей одновременных

являются работы Матцкин, которая сформулировала условия идентификации

модели при наличии исключенных инструментов [Matzkin, 2010], а также

расширила их на случай цензурированных зависимых переменных [Matzkin,

2012], оставляя за кадром случай наличия выборочной селективности. Другой

близкой работой, изучавшей оценивание систем одновременных уравнений

при наличии выборочной селективности, является работа [Das, Newey, Vella,

2003]. В ней авторы рассматривают одно уравнение, требующее

идентификации, с эндогенными регрессорами и предлагают

полупараметрические процедуры оценки такой модели на основе

аппроксимации сплайнами и степенными сериями. Более подробный обзор

указанных работ был проведен в предыдущей главе. Обобщим предложенный

в [Das et al., 2003] подход на случай нетреугольной системы одновременной

уравнений с выборочной селективности, расширив ранговое условие

идентификации модели.

Эконометрическая модель индивидуального спроса на

дифференцированный товар с эндогенными характеристиками может быть

представлена следующим набором уравнений:

39

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖, 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖, 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0

{𝑦1𝑖∗ = 𝑔1(𝑦−1𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧1𝑖) + 𝑒1𝑖…

𝑦𝑘𝑖∗ = 𝑔𝑘(𝑦−𝑘𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑘𝑖) + 𝑒𝑘𝑖

𝑦𝑖 = {ненаблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 0

𝑦𝑖∗, если 𝑑𝑖 = 1

(7)

где 𝑑𝑖 – индикатор наблюдения ненулевого потребления (подписания

контракта), 𝑥𝑖 набор демографических характеристик потребителей

(заемщиков), 𝑦𝑖 = (𝑦1𝑖 , … , 𝑦𝑘𝑖) = (𝑦𝑗𝑖 , 𝑦−𝑗𝑖) – набор характеристик товара

(параметров контракта, например, включающий логарифм суммы займа, LTV,

процентную ставку и логарифм срока погашения кредита), 𝑧0𝑖 – набор

исключенных переменных для уравнения участия (подписания контракта), а

𝑧𝑖 = ( 𝑧1𝑖 , … , 𝑧𝑘𝑖) = (𝑧𝑗𝑖 , 𝑧−𝑗𝑖) – набор исключенных инструментов для

характеристик товара (условий кредитного контракта).

Модель (7) содержит систему одновременных уравнений на этапе

моделирования выбора характеристик товара (условий займа). Более того,

обычно выборка индивидуальных данных для оценки спроса содержит

репрезентативную часть домохозяйств (в случае опросных данных), либо все

домохозяйства, обратившиеся в банк за кредитом (в случае банковских

данных). В этом случае, демографические переменные обычно наблюдаются

полностью, а характеристики товара (параметры кредитного договора) только

для части домохозяйств, купивших товар (взявших кредит).

Для каждого потребителя 𝑖 эконометрист наблюдает переменные

(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖 , 𝑧1𝑖 , … , 𝑧𝑘𝑖), а переменные (𝑦1𝑖 , … , 𝑦𝑘𝑖) только в случае 𝑑𝑖 = 1.

Случайные переменные (𝑒0𝑖 , 𝑒1𝑖 … , 𝑒𝑘𝑖) ненаблюдаемы эконометристом, а

условия, накладываемые на них, описаны далее. Задачей эконометриста

является оценивание функций (𝑔1, … , 𝑔𝑘) непараметрическим образом.

40

Первое уравнение в (7) является уравнением участия, определяющим

наблюдение углового решения. В структурной модели функции спроса (3)

решение о нулевом потреблении индивидом принимается, если

limδ→0+0

𝑈(Δ,𝜙(Δ),𝐼)

δ≤ 0. Так в эконометрической модели за наблюдение нулевого

потребления отвечает 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖, которую следует интерпретировать как

полезность индивида 𝑖 от участия в потреблении товара.

Вторая часть модели (7) описывает систему одновременного выбора

характеристик товара в случае ненулевого потребления. Так потребитель

будет осуществлять выбор объема потребления и каждой из характеристик

товара как решение системы условий первого порядка,

{𝑥∗ > 0|𝜕𝑈(𝑥,𝜙(𝑥),𝐼)

𝜕𝑥= 0}. Для объема спроса и каждой характеристики

наблюдается {𝑥𝑗∗(𝑥−𝑗

∗ , 𝜙(𝑥𝑗∗, 𝑥−𝑗

∗ ), 𝐼)|𝜕𝑈(𝑥𝑗

∗,𝑥−𝑗∗ ,𝜙(𝑥𝑗

∗,𝑥−𝑗∗ ),𝐼)

𝜕(𝑥𝑗∗,𝑥−𝑗

∗ )= 0}. В

эконометрической модели (7) уравнение выбора каждой характеристики 𝑦𝑗𝑖∗ =

𝑔𝑗(𝑦−𝑗𝑖∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑗𝑖) + 𝑒𝑗𝑖 показывает оптимальный выбор характеристики j

индивидом i при условии оптимального выбора всех остальных характеристик

товара.

Важным является то, что каждое структурное уравнение системы (7)

имеет переменную 𝑧𝑗𝑖, исключенную из всех остальных уравнений. На этом

факте будет базироваться идентификация.

2.2. Идентификация функции спроса на дифференцированный товар с

эндогенными характеристиками

В данном параграфе известные подходы к идентификации моделей

уравнений при наличии выборочной селективности и одновременности

обобщаются для идентификации модели (7).

Модель выборочной селективности и проблема смещения ввиду

выборочной селективности впервые обсуждалась в [Gronau, 1973], [Heckman,

41

1974]. Хекман также предложил процедуру оценивать такую модель методом

максимального правдоподобия, либо используя двухшаговую процедуру

[Heckman, 1976], [Heckman, 1979], при которой ошибка уравнения выбора

(уравнения для 𝑦) корректируется на потенциальную ковариацию с ошибкой

уравнения участия (уравнения для 𝑑). Оба подхода, однако, основывались на

предположении о том, что совместное распределение ошибок в уравнении

участия и уравнении выбора является двумерным нормальным. Следующие

работы ослабили эту предпосылку при использовании двухшаговой

процедуры с помощью полупараметрических подходов, например,

раскладывая функционально неизвестную функцию коррекции ошибки в ряд

Фурье [Heckman, Robb, 1985], или аппроксимируя ее серией степенных

функций [Newey, 1988].

С точки зрения теоретической модели спроса, введенной в параграфе

1.1, эндогенность характеристик товара (параметров контракта) 𝑦𝑖 возникает

естественным образом, при этом выбор характеристик товара представим в

виде структурной системы одновременных уравнений, как в системе (7).

Дополнительные предположения о функциональной форме структурных

функций в системе (7) зачастую слишком ограничительны и могут вести к

неробастным спецификациям. Потому непараметрический подход,

используемый в данном исследовании, предпочтителен. Ньюи и Пауэлл

[Newey, Powell, 1989] впервые предложили непараметрическую процедуру

оценку треугольной системы одновременных уравнений с неизвестными

регрессионными функциями, а Ньюи, Пауэлл и Велла [Newey, Powell, Vella,

1999] далее разработали двухшаговую процедуру оценки, используя

коррекцию ошибки на ее ковариацию с эндогенными регрессорами,

аппроксимируя функцию коррекции степенной серией, зависящей от ошибок

уравнения в приведенной форме. Ньюи в [Newey, 2013] также привел обзор

всех известных непараметрических методов инструментальных переменных и

обсудил проблему слабых инструментов, не предложив, однако,

42

конструктивных подходов к тестированию силы инструментов, что может

быть направлением дальнейших исследований.

В [Das, Newey, Vella, 2003] предлагается метод оценивания треугольной

системы одновременных уравнений при наличии выборочной селективности.

Они также предложили аппроксимировать функцию коррекции ошибки

серией степенных функций или сплайнов от значения предрасположенности

из уравнения участия и остатков уравнений в приведенной форме.

Расширим известное семейство двухшаговых процедур оценки на

случай нетреугольной непараметрической системы одновременных уравнений

при наличии выборочной селективности и произвольного совместного

распределения ошибок всех уравнений.

Введем некоторые предположения, необходимые для идентификации.

Предположение 2.1. Набор переменных 𝑊 = (𝑥, 𝑧, 𝑧0) независим от

случайных переменных (𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑘).

Предположение 2.2. Функция плотности 𝑓𝑒0,𝑒(𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑘) непрерывна

на ℝ𝑘+1.

При идентификации каждого отдельного структурного уравнения 𝑦𝑗𝑖 =

𝑔𝑗(𝑦−𝑗𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑗𝑖) + 𝑒𝑗𝑖 следует учитывать, что изменение эндогенных

переменных левой части 𝑦−𝑗𝑖 будет приводить к изменению 𝑦𝑗𝑖 не только

через функцию 𝑔𝑗, но также и через ковариацию между 𝑒−𝑗𝑖 и 𝑒𝑗𝑖, а изменение

экзогенных переменных 𝑥𝑖 будет приводить к изменению 𝑦𝑗𝑖 также через

ковариацию между 𝑒0𝑖 и 𝑒𝑗𝑖. В таком случае, идентификацию необходимо

построить так, чтобы получить вариацию 𝑦𝑗𝑖 за счет вариации переменных

(𝑦−𝑗𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑗𝑖) при известном ожидаемом изменении 𝑒𝑗𝑖.

Если 𝑝 = 𝐸[𝑑|𝑥, 𝑤0] – это значение предрасположенности участия, то

ожидаемое значение 𝑒𝑗𝑖, условное на (𝑦−𝑗𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑗𝑖) и 𝑑𝑖 = 1, определяется как

𝐸[𝑒𝑗|𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝐸[𝑒𝑗|𝑒−𝑗 , 𝑔0(𝑥, 𝑧0)+𝑒0 ≥ 0] =

∫ ∫ 𝑒𝑗𝑓𝑒0,𝑒(𝑠, 𝑟|𝑒−𝑗)𝑑𝑠𝑑𝑟∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)

∞

−∞= 𝜑𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗), где 𝜑𝑗 будет известной

43

функцией при известном виде совместного распределения ошибок 𝑓𝑒0,𝑒. При

произвольном распределении 𝑓𝑒0,𝑒 функция 𝜑𝑗 будет иметь неизвестный вид,

но будет функцией известного набора аргументов, (𝑝, 𝑒−𝑗). Таким образом,

идентификация будет построена вокруг предварительной идентификации

предрасположенности участия 𝑝 и ошибок 𝑒−𝑗, а также функции 𝜑𝑗, что далее

позволит идентифицировать регрессионные функции 𝑔𝑗.

Процедура идентификации модели (7) разбивается на следующие шаги

[Ожегов, 2015].

На первом шаге идентифицируем значение предрасположенности 𝑝 =

𝐸[𝑑|𝑥0, 𝑧0] из уравнения участия:

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖, 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖, 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0 (8)

Для любого маржинального распределения 𝑓𝑒0 , 𝐸[𝑑|𝑥, 𝑧0] =

𝐸[𝑑 = 1|𝑥, 𝑧0] = ∫ 𝑓𝑒0(𝑠)𝑑𝑠∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)= 𝛾0(𝑥, 𝑧0), если 𝑔0 является непрерывной,

что и будем предполагать далее.

Предположение 2.3. Функция 𝑔0(𝑥, 𝑧0) является непрерывно

дифференцируемой с непрерывной функцией распределения почти всюду.

Функция 𝛾0 при произвольном распределении 𝑒0 и функциональной

форме 𝑔0 будет функцией с произвольной функциональной формой, но будет

зависеть от известного набора переменных, (𝑥, 𝑧0). Условное ожидание 𝑝 =

𝐸[𝑑|𝑥, 𝑧0] идентифицируемо, т.к. (𝑑, 𝑥, 𝑧0) наблюдаемы, а (𝑥, 𝑧0) независимы

от 𝑒0 по предположению 2.1. Таким образом, изменение (𝑥, 𝑧0) будет влиять на

𝑑 только через функцию 𝛾0, что позволяет восстановить 𝑝 = 𝐸[𝑑|𝑥, 𝑧0].

На следующем шаге идентифицируем ошибки 𝑒−𝑗 за счет изменения

переменных, не влияющих на 𝑦𝑗. Для этого необходимо идентифицировать

уравнения для каждой 𝑦𝑗 в приведенной форме, скорректированные на

выборочную селективность, получив из них ошибки 𝑒𝑗:

44

𝑒𝑗 = 𝑦𝑗 − 𝐸[𝑦𝑗|𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] (9)

Если 𝑒𝑗 имеет совместное маржинальное распределение с 𝑒0 с функцией

плотности 𝑓𝑒0,𝑒𝑗, то

𝐸[𝑒𝑗|𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝐸[𝑒𝑗|𝑔0(𝑥, 𝑧0)+𝑒0 ≥ 0] =

= ∫ ∫ 𝑒𝑗𝑓𝑒0,𝑒𝑗(𝑠, 𝑟)𝑑𝑠𝑑𝑟∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)

∞

−∞

= 𝜆𝑗(𝑝) (10)

Тогда 𝑦𝑗 может быть декомпозирована на регрессионную функцию в

приведенной форме и функцию коррекции ошибки 𝜆𝑗 в силу независимости

(𝑥, 𝑧, 𝑧0) и 𝑒𝑗

𝐸[𝑦𝑗|𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑗(𝑝) (11)

Если 𝑝 – это значение предрасположенности, идентифицированное на

предыдущем шаге, то, зафиксировав значения (𝑥, 𝑧), можно

идентифицировать 𝜆𝑗 за счет изменения 𝑧0, являющейся аргументом 𝑝. При

этом необходимо, чтобы 𝑧0 действительно имела существенное влияние на 𝑝.

Предположение 2.4. Почти наверное 𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0 )

𝜕𝑧0≠ 0.

Далее же, зная 𝜆𝑗, можно идентифицировать 𝛾𝑗, меняя значения (𝑥, 𝑧),

зафиксировав 𝑧0. При этом, идентификация по данному принципу будет

возможна, если восстанавливаемые функции 𝜆𝑗 и 𝛾𝑗 будут непрерывно

дифференцируемы, что и будем предполагать.

Предположение 2.5. Функции 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) и 𝜆𝑗(𝑝) являются непрерывно

дифференцируемыми с непрерывной функцией распределения почти всюду.

Докажем идентификацию регрессионных функций в приведенной

форме 𝛾𝑗 . Формулировка и доказательство теоремы также опубликовано в

[Ожегов, 2015].

Теорема 1. Если выполнены предположения 2.1-2.5, то каждая 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧)

и 𝜆𝑗(𝑝) идентифицируема вплоть до аддитивной константы.

45

Доказательство: Любая наблюдаемо эквивалентная модель для

уравнения (11) имеет [𝑦𝑗|𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + �̂�𝑗(𝑝). Рассмотрим

𝑓1(𝑥, 𝑧) + 𝑓2(𝑝) = 0, где 𝑓1(𝑥, 𝑧) = 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) − 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧), и 𝑓2(𝑝) = 𝜆𝑗(𝑝) − �̂�𝑗(𝑝).

Если 𝑔0, 𝛾𝑗 и 𝜆𝑗 непрерывно дифференцируемы, то 𝑓1 и 𝑓2 тоже непрерывно

дифференцируемы. Продифференцируем 𝑓1 + 𝑓2 = 0 по переменным (𝑧0, 𝑥, 𝑧):

0 =𝜕𝑓2(𝑝)

𝜕𝑝

𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑧0

0 =𝜕𝑓1(𝑥,𝑧)

𝜕𝑥+𝜕𝑓2(𝑝)

𝜕𝑝

𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑥

0 =𝜕𝑓1(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧

(12)

Первое условие и 𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0 )

𝜕𝑧0≠ 0 дает

𝜕𝑓2(𝑝)

𝜕𝑝= 0, а значит 𝑓2(𝑝) = 𝜆𝑗(𝑝) −

�̂�𝑗(𝑝) – константа, а �̂�𝑗(𝑝) = 𝜆𝑗(𝑝) + 𝒸𝑗

Тогда второе условие даст 𝜕𝑓1(𝑥,𝑧)

𝜕𝑥= 0. Это значит, что 𝑓1(𝑥, 𝑧) – тоже

константа, а 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) = 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + 𝔠𝑗 ||.

На последнем шаге идентифицируем каждое уравнение структурной

формы, корректируя ошибки на выборочную селективность и

одновременность выбора 𝑦, используя значение предрасположенности и

ошибки приведенной формы. Если 𝑒𝑗 имеет совместное распределение с 𝑒0 и

𝑒−𝑗 с функцией плотности 𝑓𝑒0,𝑒, то

𝐸[𝑒𝑗|𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝐸[𝑒𝑗|𝑒−𝑗 , 𝑔0(𝑥, 𝑧0)+𝑒0 ≥ 0] =

= ∫ ∫ 𝑒𝑗𝑓𝑒0,𝑒(𝑠, 𝑟|𝑒−𝑗)𝑑𝑠𝑑𝑟∞

−𝑔0(𝑥0,𝑧0)

∞

−∞

= 𝜑𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) (13)

Тогда 𝑦𝑗 может быть декомпозирован на регрессионную функцию в

структурной форме и функцию коррекции ошибки как

𝐸[𝑦𝑗|𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) + 𝜑𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) (14)

Если 𝑝 и 𝑒−𝑗 – это значение предрасположенности и ошибки уравнений

в приведенной форме, идентифицированные на предыдущих шагах, то,

46

зафиксировав значения (𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗), можно идентифицировать 𝜑𝑗 за счет

изменения 𝑧0, являющейся аргументом 𝑝, а также за счет изменения 𝑧−𝑗,

влияющих на 𝑒−𝑗, если 𝜑𝑗 являются непрерывно дифференцируемой.

Дополнительным необходимым условием идентификации теперь также

должно являться то, что 𝑧 имеют существенное влияние 𝑦 и, соответственно,

на 𝑒 в уравнениях приведенной формы.

Предположение 2.6. Почти наверное 𝑟𝑎𝑛𝑘 [𝜕𝛾(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧] = 𝑑𝑖𝑚 (𝑦).

Далее же, зная 𝜑𝑗 можно идентифицировать 𝑔𝑗, меняя значения

(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗), зафиксировав (𝑧, 𝑧0), при условии, что 𝑔𝑗 являются непрерывно

дифференцируемыми.

Предположение 2.7. Функции 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) и 𝜑𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) являются

непрерывно дифференцируемыми с непрерывной функцией распределения

почти всюду.

Формализуем все введенные условия для идентификации

регресcионных функций в структурной форме 𝑔𝑗. Формулировка и

доказательство теоремы также опубликовано в [Ожегов, 2015].

Теорема 2. Если выполнены предположения 2.1-2.7, то каждая

регрессионная функция 𝑔𝑗 идентифицируема вплоть до аддитивной

константы.

Доказательство. По лемме 1 функции 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧), 𝜆𝑗(𝑝) идентифицируемы,

а значит и 𝑒−𝑗 идентифицируемы. Докажем идентификацию регрессионных

функций 𝑔𝑗. Любая наблюдаемо эквивалентная модель для уравнения (14)

имеет 𝐸[𝑦𝑗|𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧, 𝑧0, 𝑑 = 1] = �̂�𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) + �̂�𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) Рассмотрим

𝑓3(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) + 𝑓4(𝑝, 𝑒−𝑗) = 0, где 𝑓3(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) = 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) − �̂�𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗),

а 𝑓4(𝑝, 𝑒−𝑗) = 𝜑𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) − �̂�𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗).

47

Если 𝑔0, 𝛾𝑗, 𝑔𝑗, 𝜆𝑗, 𝜑𝑗 являются непрерывно дифференцируемыми, то

𝑓3(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) и 𝑓4(𝑝, 𝑒−𝑗) тоже непрерывно дифференцируемы.

Продифференцируем 𝑓3 + 𝑓4 = 0 по переменным (𝑧𝑗, 𝑧−𝑗 , 𝑥, 𝑧0):

0 =𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑧𝑗+𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗

𝜕𝛾−𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧𝑗

0 =𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗

𝜕𝛾−𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧−𝑗

0 =𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗

𝜕𝛾−𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑥+𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑥+𝜕𝑓4(𝑝,𝑒−𝑗)

𝜕𝑝

𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑥

0 =𝜕𝑓4(𝑝,𝑒−𝑗)

𝜕𝑝

𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑧0

(15)

Последнее условие и 𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑧0≠ 0 дают

𝜕𝑓4(𝑝,𝜈,𝑒−𝑗)

𝜕𝑝= 0.

Выполнение рангового условия обеспечивает, что для каждого 𝑗

найдется 𝑧𝑗 с 𝜕𝛾𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧𝑗≠ 0 и

𝜕𝛾−𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧−𝑗≠ 0 соответственно, что делает второе

условие эквивалентным 𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗= 0.

Заменяя 𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗= 0 в третьем условии и используя

𝜕𝑓4(𝑝,𝑒−𝑗)

𝜕𝑝= 0,

получим, что 𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑥= 0.

Наконец, 𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑦−𝑗= 0 в первом условии дает

𝜕𝑓3(𝑦−𝑗,𝑥,𝑧𝑗)

𝜕𝑧𝑗= 0.

Все полученные результаты говорят о том, что 𝑓3(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) =

𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) − �̂�𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) – константа, а значит 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) =

𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) + 𝒞𝑗 ||.

Первая группа условий требует от регрессионных функций и функций

коррекции ошибок быть непрерывно дифференцируемыми. Данное условие

при этом может быть ослаблено в части экзогенных регрессоров 𝑥, позволяя

им быть дискретными и входить в регрессионную функцию аддитивно

сепарабельно [Das, Newey, Vella, 2003].

48

Группа условий (𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0 )

𝜕𝑧0≠ 0 и 𝑟𝑎𝑛𝑘 [

𝜕𝛾(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧] = 𝑑𝑖𝑚 (𝑦)) накладывает

требования на наличие и релевантность исключенных переменных. Так

требуется хотя бы одна значимая исключенная переменная 𝑧0 в уравнении

участия, а также хотя бы один значимый исключенный инструмент 𝑧𝑗 для

каждой эндогенной переменной 𝑦𝑗, при этом эффекты исключенных

инструментов на эндогенные переменные в уравнениях приведенной формы

не должны быть коллинеарны. Тестированию данных условий будет посвящен

параграф 2.3. Далее же предложим подход к оцениванию эконометрической

модели функции спроса (7).

2.3. Оценивание функции спроса на дифференцированный товар с

эндогенными характеристиками

В данном параграфе предложена процедура оценивания функции спроса

(7), удовлетворяющая введенным в теореме 2 условиям, а также доказана

состоятельность данной процедуры при некоторых дополнительных

неограничительных предположениях.

Процедура оценивания основана на аппроксимации серией степенных

функций, зависящих от исходного набора регрессоров.

Так пусть 𝜔 = (𝜔1, … , 𝜔𝜒) – некоторый вектор переменных размерности

𝜒 = 𝑑𝑖𝑚(𝜔).

Пусть 𝜅(𝜌, 𝜒) =(𝑝+𝜒)!

𝑝!𝜒! – это количество членов полинома степени 𝜌,

который можно получить из 𝜒 переменных.

Пусть Q𝜌(𝜔) = (𝑞1(𝜔),… , 𝑞𝜅(𝜔)) – вектор из 𝜅 степенных функций,

представляющих собой полный набор членов полинома степени 𝜌,

полученных из 𝜔, т.е. 𝑞𝑗(𝜔) = ∏ 𝜔𝜏𝑠𝜏𝜒

𝜏=1 , ∑ 𝑠𝜏𝜒𝜏=1 ≤ 𝜌, 𝑠𝜏 ∈ {0,1,… , 𝑝} ∀𝜏 = 1, 𝜒̅̅ ̅̅ ̅.

Будем называть Q𝜌(𝜔) полиномиальной аппроксимирующей серией

функций степени 𝜌.

49

Рассмотрим теперь процедуру оценивания модели (7). Процедура

оценивания пошагово повторяет процедуру идентификации, описанную в

предыдущем параграфе. Так для учета выборочной селективности и

одновременности структурных уравнений выбора характеристик товара

необходимо на предварительных шагах оценить предрасположенность

участия и ошибки в уравнениях приведенной формы.

На первом шаге оценим значение предрасположенности

𝑝 = 𝐸[𝑑|𝑥, 𝑧0] уравнения участия

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0. (16)

Так для любой произвольной маржинальной функции плотности 𝑓𝑒0,

𝐸[𝑑|𝑥, 𝑧0] = 𝐸[𝑑 = 1|𝑥, 𝑧0] = ∫ 𝑓𝑒0(𝑠)𝑑𝑠∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)= 𝛾0(𝑥, 𝑧0). 𝛾0 при

произвольном виде распределения 𝑒0 и произвольном виде функции 𝑔0 будет

функцией с произвольной функциональной формой, однако будет функцией

от известного набора переменных, (𝑥, 𝑧0).

Используя разложение в ряд Тейлора в окрестности каждой точки

(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖), 𝑝𝑖 = 𝐸[𝑑𝑖|𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖] может быть приближена полиномом 𝑄0 =

𝑄𝜌0(𝑥, 𝑧0)𝛼0, где 𝑄𝜌0(𝑥, 𝑧0) – полиномиальная аппроксимирующая серия для

функции 𝛾0(𝑥, 𝑧0) некоторой степени 𝜌0, 𝛼0 вектор параметров размерности

𝜅 =(𝜌0+𝜒0)!

𝜌0!𝜒0!, 𝜒0 = 𝑑𝑖𝑚(𝑥, 𝑧0).

Оценка 𝛼0 параметров аппроксимирующего полинома может быть

получена обычным методом наименьших квадратов как

�̂�0 = [𝑄0′𝑄0]−1𝑄0′𝑑. (17)

Так при фиксированном 𝜌0 несложно показать, что оценка �̂�0 является

состоятельной:

plim𝑛→∞

�̂�0 = plim𝑛→∞

[𝑄0′𝑄0]−1𝑄0′𝑑 = plim

𝑛→∞[𝑄0′𝑄0]

−1𝑄0′(𝑄0𝛼0 + 휂0) =

= 𝛼0 + plim𝑛→∞

[𝑄0′𝑄0]

−1𝑄0′𝜂0 = 𝛼0 (18)

50

при выполнении предположения 2.1 о независимости (𝑥, 𝑧0) от распределения

ненаблюдаемых переменных, а также при конечности распределения

переменных и ошибок, что и будем далее предполагать.

Предположение 2.7. ∃𝛿 > 0, что 𝐸[ |𝑤1𝑖𝑤2𝑖|1+𝛿] < ∞ для любых

𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑊.

Предположение 2.8. ∃δ > 0, что 𝐸[ |𝑒𝑠𝑖𝑒𝑡𝑖|1+𝛿] < ∞ для любых

𝑠, 𝑡 ∈ {0,1, … , 𝑘}.

Очевидно, что скорость сходимости будет зависеть от порядка 𝜌0

аппроксимирующей функции. Так сходимость будет тем медленнее, чем выше

𝜌0, поскольку число оцениваемых параметров будет быстро возрастать. В

работе [Das et al., 2003] было показано, что при наложении ограничений сверху

на степень аппроксимирующего полинома оценка является также

асимптотически нормальной. Для увеличения скорости сходимости можно

ограничить набор регрессоров, входящих в систему уравнений нелинейно,

позволив остальным входить в регрессионные функции линейно. В таком

случае выполнение условий идентификации (дифференцируемость

регрессионных функций) касается только нелинейной части. Скорость

сходимости в свою очередь будет выше, т.к. число оцениваемых параметров

будет меньше. В данной работе асимптотическая нормальность оценок

доказываться не будет, а вопрос расчета стандартных ошибок будет оставлен

до практической реализации процедуры. Так стандартные ошибки оценок или

функций от оценок, например, легко могут быть получены бутстрапом.

Проблему выбора оптимальных степеней аппроксимирующих функций также

оставим до реализации на конкретном массиве данных, но введем ограничение

на максимальную степень аппроксимирующего полинома. Более подробное

обсуждение асимптотической теории для двухшаговых процедур коррекции

можно прочесть в [Newey, 1997].

Пусть 𝜒 = 𝑑𝑖𝑚(𝑥), 휁0 = 𝑑𝑖𝑚 (𝑧0), 𝜌0̅̅ ̅ = max {𝜌|(𝜒+𝜁0+𝜌)!

(𝜒+𝜁0)!𝜌!< 𝑛−1/2}.

51

Предположение 2.9. 𝜌0 ≤ 𝜌0̅̅ ̅.

Далее в качестве оценки предрасположенности для уравнения выбора

будем использовать

�̂�𝑖 = 𝐸[𝑑𝑖|𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖] = 𝑄0[𝑄0′𝑄0]−1𝑄0′𝑑. (19)

На втором шаге получим остатки эндогенных переменных в

приведенной форме, скорректированных на выборочную селективность:

𝑒𝑗 = 𝑦𝑗 − 𝐸[𝑦𝑗|𝑑 = 1, 𝑥, 𝑧, 𝑧0] (20)

Для этого требуется состоятельно оценить 𝐸[𝑦𝑗|𝑑 = 1, 𝑥, 𝑧, 𝑧0].

Для произвольного совместного распределения 𝑒0 и 𝑒𝑗 c маржинальной

функцией плотности 𝑓𝑒0,𝑒𝑗:

𝐸[𝑦𝑗|𝑑 = 1, 𝑥, 𝑧, 𝑧0] = 𝐸[𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + 𝑒𝑗|𝑑 = 1, 𝑥, 𝑧, 𝑧0] =

= 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + 𝐸[𝑒𝑗|𝑑 = 1, 𝑥, 𝑧, 𝑧0]

= 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + ∫ ∫ 𝑒𝑗𝑓𝑒0,𝑒𝑗(𝑠, 𝑟)𝑑𝑠∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)

∞

−∞

𝑑𝑟

= 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑗(𝑝),

(21)

где 𝜆𝑗 – функция произвольной функциональной формы.

Если �̂� является оценкой значения предрасположенности уравнения

участия, полученной на первом шаге, то значения �̂� на этом шаге будут

фиксированными, что означает, что (𝑥, 𝑧) и �̂� являются наборами разных

переменных.

В таком случае, если для произвольных функций 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧) и 𝜆𝑗(�̂�) в

качестве аппроксимирующих полиномов взять соответственно 𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧)𝛼1𝑗 и

𝑄𝜌1(�̂�)𝛼2𝑗, где 𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧) и 𝑄𝜌1(�̂�) – полиномиальные аппроксимирующие

серии степени 𝜌1, то искомую функцию можно оценить как

𝑦𝑗 = 𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧) + 𝑄𝜌1(�̂�) + 휀𝑗 (22)

52

Так уравнение будет идентифицируемо вплоть до аддитивной

константы, т.к. использование полиномиальных аппроксимаций подходит под

условие непрерывной дифференцируемости регрессионной и

корректирующей ошибки функций 𝛾𝑗 и 𝜆𝑗 соответственно. Для выполнения

условий теоремы 1 необходимо также наличие хотя бы одной 𝑧0, что

𝜕𝑄𝜌0(𝑥,𝑧0)�̂�0

𝜕𝑧0≠ 0.

Пусть 𝑄1 = (𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧), 𝑄𝜌1(�̂�)), 𝛼𝑗 = (𝛼1𝑗 , 𝛼2𝑗), тогда оценка 𝛼𝑗 может

быть найдена обычным методом наименьших квадратов как

�̂�𝑗 = [𝑄1′𝑄1]−1𝑄1′𝑦𝑗 (23)

При некотором достаточно большом 𝜌1, 𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧)𝛼1𝑗 является

аппроксимацией для 𝛾𝑗(𝑥, 𝑧), а оценки �̂�𝑗 = (�̂�1𝑗 , �̂�2𝑗) являются

состоятельными при выполнении предположений 2.1, 2.7, 2.8 в силу

plim𝑛→∞

�̂�𝑗 = plim𝑛→∞

[𝑄1′𝑄1]−1𝑄1′𝑥𝑗 = plim

𝑛→∞[𝑄1′𝑄1]

−1𝑄1′(𝑄1 𝛼𝑗 + 휀𝑗)] =

= 𝛼𝑗 + plim𝑛→∞

[𝑄1′𝑄1]−1𝑄1′휀𝑗] = 𝛼𝑗

(24)

Идентификация аддитивных констант в данном уравнении является

предметом отдельного исследования в случае, если ее значение представляет

интерес для исследования. Так в [Heckman, 1990] описываются примеры,

когда идентификации константы важна, в работе [Andrews, Schafgans, 1998]

обсуждаются условия, при которых это сделать возможно. Если данная

константа не является предметом интереса, то от необходимости ее

идентификации легко избавиться, зафиксировав значение одного из

параметров. Например, присвоив в 𝑄𝜌1(�̂�) параметру перед (�̂�)0 значение 0.

Также будем поступать и далее. Для устранения проблемы

идентифицируемости вплоть до константы, будем полагать что значение

параметра перед членом нулевой степени в аппроксимирующем полиноме для

корректирующей ошибки функцией равен 0.

Теперь в качестве оценки остатков эндогенных переменных в

приведенной форме будем использовать

53

�̂�𝑗 = 𝑦𝑗 − 𝑄1�̂�𝑗 . (25)

На заключительном шаге оценим каждое уравнение системы в

структурной форме, скорректированное на выборочную селективность и

одновременность выбора других эндогенных переменных 𝑦. Так, 𝑒𝑗

распределен совместно с 𝑒0 и 𝑒−𝑗 с некоторой функцией плотности 𝑓𝑒0,𝑒, тогда

𝐸[𝑒𝑗|𝑑 = 1, 𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗 , 𝑧0] = 𝐸[𝑒𝑗|𝑥, 𝑧𝑗 , 𝑧0, 𝑒−𝑗 , 𝑔0(𝑥, 𝑧0)+𝑒0 > 0]

= ∫ ∫ 𝑒𝑗𝑓𝑒0,𝑒(𝑠, 𝑟|𝑒−𝑗)𝑑𝑠𝑑𝑟∞

−𝑔0(𝑥,𝑧0)

∞

−∞

= 𝜇𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗). (26)

Оценим уравнение для 𝑦𝑗 как

𝑦𝑗 = 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) + 𝜇𝑗(𝑝, 𝑒−𝑗) + 𝜖𝑗 . (27)

При этом ошибка в такой модели 𝜖𝑗 будет независима от (𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗), если

выполнено предположение 2.1.

Если �̂� является оценкой значения предрасположенности уравнения

выбора, полученная на первом шаге, а �̂�−𝑗 – оценка остатков уравнений в

приведенной форме, то значения �̂� и �̂�−𝑗 на этом шаге будут фиксированными,

а значит (𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) и (�̂�, �̂�−𝑗) являются наборами разных переменных. В таком

случае, если для произвольных функций 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) и 𝜇𝑗(�̂�, �̂�−𝑗) в качестве

аппроксимирующих полиномов взять соответственно 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗)𝛽1𝑗 и

𝑄𝜌1(�̂�, �̂�−𝑗)𝛽2𝑗, где 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) и 𝑄𝜌1(�̂�, �̂�−𝑗) – полиномиальные

аппроксимирующие серии степени 𝜌1, то искомую функцию можно оценить

как

𝑦𝑗 = 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗)𝛽1𝑗 + 𝑄𝜌1(�̂�, �̂�−𝑗)𝛽2𝑗 + 𝜖𝑗 . (28)

Так уравнение (28) будет идентифицируемо вплоть до аддитивной

константы, т.к. использование полиномиальных аппроксимаций подходит под

условие непрерывной дифференцируемости регрессионной и

корректирующей ошибки функций 𝑔𝑗 и 𝜇𝑗 соответственно. Для выполнения

условий теоремы 2 необходимо также выполнение рангового условия для

54

матрицы предельных эффектов инструментов (релевантности набора

исключенных инструментов), 𝑟𝑎𝑛𝑘 [𝜕𝑄𝜌1(𝑥,𝑧)�̂�1

𝜕𝑧] = 𝑘. Тест на проверку данного

условия предложен в следующем параграфе.

Пусть 𝑄2 = (𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗), 𝑄

𝜌1(�̂�, �̂�−𝑗)), 𝛽𝑗 = (𝛽1𝑗 , 𝛽2𝑗), тогда оценка 𝛽𝑗

может быть найдена обычным методом наименьших квадратов как

�̂�𝑗 = [𝑄2′𝑄2]

−1𝑄2′𝑦𝑗 . (29)

При некоторых достаточно больших 𝜌1, 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗)𝛽1𝑗 является

аппроксимацией для 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗), а оценки �̂�𝑗 = (�̂�1𝑗 , �̂�2𝑗) являются

состоятельными при выполнении предположений 2.1, 2.7, 2.8 в силу

plim𝑛→∞

�̂�𝑗 = plim𝑛→∞

[𝑄2′𝑄2]−1𝑄2′𝑦𝑗 =plim

𝑛→∞[𝑄2

′𝑄2]−1𝑄2′(𝑄2𝛽𝑗 + 𝜖𝑗) =

= 𝛽𝑗 + plim𝑛→∞

[𝑄2′𝑄2]

−1𝑄2′𝜖𝑗 = 𝛽𝑗 .

(30)

Обсуждение выбора оптимальной степени аппроксимирующих

полиномов 𝜌1 оставим до эмпирического оценивания. Ограничимся

постановкой верхнего ограничения на степень.

Пусть 휁 = 𝑑𝑖𝑚 (𝑧), 𝑛1 – число наблюдений с 𝑑𝑖 = 1, 𝜌1̅̅ ̅ =

max {𝜌|(𝜒+𝜁+𝜌)!

(𝜒+𝜁)!𝜌!+ 𝜌 < 𝑛1

−1/2}.

Пусть 휁𝑗 = max𝑗∈{1,…,𝑘} {𝑑𝑖𝑚(𝑧𝑗)}, а 𝜌1̃ = max {𝜌|(𝑘−1+𝜒+𝜁𝑗+𝜌)!

(𝑘−1+𝜒+𝜁𝑗)!𝜌!+(𝑘+𝜌)!

𝑘!𝜌!<

𝑛1−1/2}.

Предположение 2.10. 𝜌1 ≤ min {𝜌1̅̅ ̅, 𝜌1̃}.

Формулировка и доказательство теоремы также опубликовано в

[Ozhegov, 2014].

Теорема 3. Если выполнены предположения 2.1-2.10, то оценки

параметров �̂�1𝑗 апроксимирующих полиномов 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) для

регрессионных функций 𝑔𝑗(𝑦−𝑗 , 𝑥, 𝑧𝑗) являются состоятельными.

55

Доказательство. Непосредственно следует из (17)-(30) ||.

2.4. Тестирование релевантности исключенных инструментов

В параграфе 2.1 была определена эконометрическая модель функции

спроса на дифференцированный товар с эндогенными характеристиками (7), а

в параграфе 2.2 сформулированы условия, при которых она идентифицируема.

Одним из условий (предположение 2.5, релевантность исключенных

инструментов) является полнота ранга матрицы предельных эффектов

исключенных инструментов на регрессионные функции в приведенной форме

(𝑟𝑎𝑛𝑘 [𝜕𝛾(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧] = 𝑑𝑖𝑚 (𝑦) или его эмпирический аналог для предложенной в

параграфе 2.3 процедуры оценивания, 𝑟𝑎𝑛𝑘 [𝜕𝑄𝜌1(𝑥,𝑧)�̂�1

𝜕𝑧] = 𝑘). Этот параграф

посвящен тестированию данного условия. Рассмотрим существующие в

литературе подходы к тестированию релевантности исключенных

инструментов, далее обобщая их на случай модели (7).

Рассмотрим простейшую модель с одним линейным уравнением,

требующим идентификации, одной эндогенной переменной 𝑥2 и m

исключенными инструментальными переменными. 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑑𝑖𝑚(𝑋) =

𝑘1 + 1, 𝑍 = (𝑥1, 𝑧), 𝑑𝑖 𝑚(𝑍) = 𝑘1 + 𝑘𝑧, 𝑘1 ≥ 0, 𝛽 = (𝛽1, 𝛽2), 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2):

𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝑒1

𝑥2 = 𝑍𝜋 + 𝑒2

(𝑒1, 𝑒2) ⊥ 𝑍.

Достаточным условием идентификации данной модели является 𝜋2 ≠ 0.

Условие является тестируемым, так статистически тестом Вальда можно

проверить H0: 𝜋21 = 𝜋2

2 = ⋯ = 𝜋2𝑚 = 0. Тестовая статистика использует

оценки параметров и остатков «первого шага» (уравнения для 𝑥2 в

приведенной форме) и выглядит как

56

𝐹𝐼𝑉 =�̂�′𝑧′𝑧�̂�

𝑘𝑧�̂�𝑒22 ∼ 𝐹(𝑘𝑧, 𝑛)

Крэгг и Дональд [Cragg, Donald, 1993] рассмотрели линейную модель с

несколькими эндогенными переменными. 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑑𝑖𝑚(𝑋) = 𝑘1 + 𝑘2, 𝑍 =

(𝑥1, 𝑧), 𝑑𝑖 𝑚(𝑍) = 𝑘1 + 𝑘𝑧, 𝑘1 ≥ 0, 𝑘𝑧 ≥ 𝑘2, 𝛽 = (𝛽1, 𝛽2), 𝜋𝑗 = (𝜋1𝑗 , 𝜋2𝑗), Π2 =

(𝜋21, … , 𝜋2𝑘2):

𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝑒0

𝑥2𝑗 = 𝑍𝜋𝑗 + 𝑒𝑗 , 𝑗 = 1,… , 𝑘2

(𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑘2) ⊥ 𝑍.

Они показали, что тестирование каждого отдельного уравнения

эндогенной переменной из 𝑥2 на наличие значимых исключенных

инструментов не является достаточным условием идентификации. Так,

требуется, чтобы не только в каждом уравнении были значимые исключенные

инструменты, но также и чтобы предельные эффекты исключенных

инструментов на эндогенные переменные не были коллинеарны. Так

уравнение для 𝑦 будет идентифицируемо, если ранг матрицы Π2′ 𝑧′𝑧Π2 равен

количеству эндогенных переменных, 𝑘2. Очевидно, что значимость

инструментов теперь является необходимым, но не достаточным условием для

идентификации модели, а значит тестирование оценок параметров первого

шага может приводить к ложным выводам. Крэгг и Дональд предложили

тестировать ранг оценок матрицы Π2′ 𝑧′𝑧Π2 на полноту с использованием того

факта, что если матрица Π2′ 𝑧′𝑧Π2 вырожденная, то ее минимальное

собственное число будет равно 0. Так в статистическом смысле Крэгг и

Дональд предложили тестировать H0: 𝑟𝑎𝑛𝑘[Π2′ 𝑧′𝑧Π2] = 𝑘2 − 1, оценивая

близость к нулю минимального собственного число матрицы оценок

параметров исключенных инструментов первого шага Π̂2′ 𝑧′𝑧Π̂2. Ввиду того,

что тестовая статистика (минимальное собственное число матрицы оценок)

является одним из решений полиномиального уравнения степени 𝑘2 (которая

57

может быть довольно высокой), то для нее не существует асимптотически

лимитирующего распределения. Сток и Його [Stock, Yogo, 2005] при помощи

Монте-Карло симуляций посчитали критические значения тестовой

статистики для случая не более двух эндогенных переменных и множества

исключенных инструментов. Робан и Смит также расширили данный тест для

определения не только полноты матрицы, но и точного ранга матрицы [Robin,

Smith, 2000], что позволяет отвечать на вопрос о количестве недостающих для

идентификации инструментов.

Критические значения теста Стока и Його используются в наиболее

распространенных статистических пакетах, однако сложность в работе с

тестом заключается в том, что он не является робастным к нарушениям

структуры ковариационной матрицы ошибок. Так критические значения

тестовой статистики для случая гетероскедастичных ошибок в уравнении

первого шага, например, приведены в работе [Kleinenberg, Paap, 2006].

Энгрист и Пишке [Angrist, Pishke, 2009] предложили альтернативный

подход к тестированию релевантности инструментов, без использования

собственных чисел матрицы Π2′ 𝑧′𝑧Π2. Безусловная оценка значимости

инструментов в каждом отдельно уравнении первого шага может быть

завышена, т.к. может существовать линейная зависимость между проекциями

инструментов на эндогенные переменные. Авторы предложили оценивать

значимость инструментов при условии потенциальной связи между

проекциями. Такой подход получил название «условный F-тест» (conditional

F-test). Его процедура сводится к следующим шагам: 1) Оценка уравнения для

каждой эндогенной переменной, разрешенной относительно всех остальных

эндогенных переменных, 2) оценка параметров уравнений первого шага для

каждой эндогенной переменной при условии их потенциальной связи с

другими эндогенными переменными, 3) вычисление тестовых статистик

условной значимости набора инструментов для каждого уравнения. Говоря

формально, для тестирования необходимо:

1) Получить МНК оценки 𝛾𝑗 из регрессии 𝑥2𝑗 = 𝑥2,−𝑗𝛾𝑗 + 𝜉𝑗

58

2) Получить МНК оценки �̂�𝑗 из регрессии 𝑥2𝑗 − 𝑥2,−𝑗𝛾𝑗 = 𝑍𝜅𝑗 + 𝜈𝑗

3) Для каждого уравнения посчитать 𝐹𝑥2𝑗|𝑥2,−𝑗 =�̂�2𝑗′ 𝑧′𝑧�̂�2𝑗

(𝑘𝑧−𝑘2+1)(�̂�𝑗′ �̂�𝑗

𝑛)

,

где 𝑥2 = (𝑥2𝑗 , 𝑥2,−𝑗), 𝜅𝑗 = (𝜅1𝑗 , 𝜅2𝑗), сравнив 𝐹𝑥2𝑗|𝑥2,−𝑗 с квантилью F-

распределения.

Данный тест учитывает не только объяснение инструментами

существенной доли вариации эндогенных переменных, но также и

потенциальную взаимозависимость между эндогенными переменными,

которая может искажать результаты безусловного F-теста.

Сандерсон и Виндмайер [Sanderson, Windmeijer, 2014] описали

корректное предельное распределение тестовой статистики, а также показали

эквивалентность данного теста тесту Стока и Його [Stock, Yogo, 2005].

Преимуществом предложенного Энгристом и Пишке подхода является то, что

лимитирующее его распределение известно для случая более чем двух

эндогенных переменных, т.е. для него относительно не сложно посчитать

критические значения. Более того, он легко обобщается на случай нарушения

предпосылок о виде ковариационной матрицы ошибок, а также нелинейных

регрессионных функций.

Модель (7) является непараметрической системой одновременных

уравнений. Рассмотрим также известные подходы к тестированию

релевантности исключенных инструментов непараметрических моделей на

примере модели одного непараметрического уравнения с несколькими

эндогенными переменными и аддитивной ошибкой, где 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2),

𝑑𝑖𝑚(𝑋) = 𝑘1 + 𝑘2, 𝑍 = (𝑥1, 𝑧), 𝑑𝑖 𝑚(𝑍) = 𝑘1 + 𝑘𝑧, 𝑘1 ≥ 0, 𝑘𝑧 ≥ 𝑘2,

𝑔:ℝ(𝑘1+𝑘2)∗𝑛 → ℝ𝑛, 𝜋𝑗: ℝ(𝑘1+𝑘𝑧)∗𝑛 → ℝ𝑛:

𝑦 = 𝑔(𝑋) + 𝑒0

𝑥2𝑗 = 𝜋𝑗(𝑍) + 𝑒𝑗 , 𝑗 = 1,… , 𝑘2

(𝑒0, 𝑒1, … , 𝑒𝑘2) ⊥ 𝑍.

59

Ньюи [Newey, 2013] сформулировал достаточное условие

идентификации полностью непараметрической модели. Так для

идентификации достаточно, чтобы 𝛿(𝑋) = 0 была единственной функцией,

удовлетворяющей 𝐸[𝛿(𝑋)|𝑍] = 0. Данное условие получило название условие

полноты. В линейном случае оно сводится к обычному ранговому условию.

Вообще же без дополнительных предпосылок условие полноты не является

тестируемым, что было показано в [Canay, Santos, Shaikh, 2013]. В полностью

непараметрической модели уравнения первого шага представляют собой

матрицу бесконечной размерности с собственными числами, сходящимися к

нулю. Неидентификация модели присутствует, если хотя бы одно собственное

число точно равно нулю. Проблема с тестированием данной гипотезы

заключается в том, что эмпирически невозможно различить модель с

собственным числом, сходящимся к нулю, от модели с нулевым собственным

числом.

Возможность тестирования полноты появляется при постановке

некоторых ограничений на вид модели. Так Ньюи [Newey, 2013] доказал, что

при аппроксимации регрессионных функций первого шага линейной

комбинацией известных функций (аппроксимация полиномиальной серией

или сплайнами) условие идентификации является тестируемым, не предложив

однако механизмов тестирования. Канай и др. [Canay, Santos, Shaikh, 2013],

хоть и доказали, что в общем виде тестирование идентификации невозможно,

тем не менее они предложили способ тестирования идентификации для

непараметрической квантильной регрессии. Также они обсудили случаи

получения частичной идентификации модели без какой-либо необходимости

тестирования.

В данном исследовании введена структурная модель (7) вида

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0

60

{𝑦1𝑖∗ = 𝑔1(𝑦−1𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧1𝑖) + 𝑒1𝑖…

𝑦𝑘𝑖∗ = 𝑔𝑘(𝑦−𝑘𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑘𝑖) + 𝑒𝑘𝑖

𝑦𝑖 = {ненаблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 0

𝑦𝑖∗, если 𝑑𝑖 = 1,

где 𝑦 = (𝑦1, … , 𝑦𝑘) = (𝑦𝑗 , 𝑦−𝑗) является набором эндогенных переменных, 𝑥 –

набор включенных инструментов, 𝑑𝑖𝑚(𝑥) = 𝜒, 𝑧0 – набор исключенных

инструментов из уравнения участия, 𝑑𝑖𝑚(𝑧0) = 휁0, 𝑧 = (𝑧1, … , 𝑧𝑘) – набор

исключенных инструментов системы одновременных уравнений, 𝑑𝑖𝑚(𝑧𝑗) =

휁𝑗, 𝑑𝑖𝑚(𝑧) = 휁, 휁 ≥ 𝑘.

В параграфе 2.2 были сформулированы условия идентификации модели.

Так требуется выполнение наличия значимых исключенных переменных для

уравнения участия 𝜕𝑔0(𝑥,𝑧0)

𝜕𝑧0≠ 0 и рангового условия для уравнений в

приведенной форме1 𝑟𝑎𝑛𝑘 [𝜕𝛾(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧] = 𝑘. Опишем процедуру тестирования

выполнения данных условий.

Так как уравнение участия не является многомерным с точки зрения

эндогенных переменных, то значимость исключенных переменных легко

тестируется обычным F-тестом. Так при аппроксимации неизвестной функции

𝑔0: ℝ(𝜒+𝜁0)∗𝑛 → ℝ𝑛 полиномиальной аппроксимирующей серией 𝑄𝜌0(𝑥, 𝑧0)

степени 𝜌0 получим МНК оценку параметров аппроксимирующего полинома

�̂�0 = [(𝑄𝜌0(𝑥, 𝑧0))′𝑄

𝜌0(𝑥, 𝑧0)]−1(𝑄𝜌0(𝑥, 𝑧0))′𝑑. Далее F-тестом можно

протестировать статистическое отличие от нуля хотя бы одного параметра

перед членами полинома, содержащими 𝑧0.

На втором шаге процедуры оценивания необходимо протестировать, что

ранг предельных эффектов матрицы исключенных инструментов для системы

1 В описанной выше литературе оценки регрессионных функций 𝛾 назвали бы оценками «первого

шага». Т.к. при наличии выборочной селективности первым шагом является оценка уравнения

участия, а оценка параметров приведенной формы – вторым шагом, то называть теперь оценки 𝛾

оценками первого шага является для введенной модели некорректным.

61

одновременных уравнений в приведенной форме является полным, т.е. не

меньшим, чем количество эндогенных переменных.

Так как каждый предельный эффект 𝜕𝛾𝑗(𝑥,𝑧)

𝜕𝑧𝑠 в линейном случае является

постоянным для каждого наблюдения, то процесс нахождения собственных

чисел матрицы предельных эффектов не является затруднительным. В

нелинейном случае предельных эффект является функционально зависимым

от остальных аргументов функции 𝛾𝑗, что делает невозможным тестирование,

основанное на подходе, предложенное Крэггом и Дональдом [Cragg, Donald,

1993] и Стоком и Його [Stock, Yogo, 2005]. Сандерсон и Виндмайер доказали

эквивалентность теста Стока и Його «условному F-тесту». Следуя подходу

[Sanderson, Windmeijer, 2014], обобщим его на случай рассматриваемой нами

модели.

Отличие от предложенного для линейного случая подхода Сандерсона и

Виндмайера состоит в том, что на шагах (1-2) необходимо корректировать

ошибки оцениваемых уравнений на выборочную селективность, используя

функцию коррекции от оценки предрасположенности уравнения участия. А

неизвестные регрессионные функции и функции коррекции необходимо

заменить аппроксимирующими их полиномиальными сериями, следуя

подходу к оцениванию, предложенному в параграфе 2.3.

Процедура тестирования сводится к следующим шагам, обозначенным в

таблице 1. Предложенный тест и результаты его апробации опубликованы в

[Ozhegov, 2014]. Тестовая статистика показывает совместную значимость

параметров полинома перед членами, содержащими исключенные

инструменты, корректируя степени свободы на количество параметров,

оцененных на первом шаге теста. Если 𝜒 > 0, то в числителе тестовой

статистики будет стоять квадратичная форма не всех параметров полинома,

свернутая по полиномиальным членами, а только параметров 𝜅, стоящих

перед полиномиальными членами, содержащими исключенные инструменты,

соответственно свернутых по ним. В знаменателе же в первой скобке будет

62

количество тестируемых параметров за вычетом количества параметров,

оцененных на первом шаге. Соответственно если тестовые статистики для

каждой эндогенной переменной статистически отличны от нуля на основании

сравнения с критическим значением F-распределения, то ранговое условие для

исключенных инструментов системы выполнено.

Таблица 1. Пошаговая процедура тестирования релевантности исключенных

инструментов.

№

шага

Содержательный смысл Действие

1. Оценка уравнения для каждой

эндогенной переменной

относительно других

эндогенных переменных для

дальнейшего избавления от

потенциальной коллинеарности

предельных эффектов.

Получение МНК оценок 𝛾𝑗, �̂�𝑗 из регрессии

𝑦𝑗 = 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗)𝛾𝑗 + 𝑄

𝜌1(�̂�)𝜇𝑗 + 𝜉𝑗,

где 𝑄𝑡1 = (𝑄𝜌1(𝑦−𝑗), 𝑄

𝜌1(�̂�)) –

полиномиальные аппроксимирующие серии

степеней 𝜌1,

�̂�𝑖 = 𝐸[𝑑𝑖|𝑤𝑖, 𝑤0𝑖] =

= 𝑄𝑡1[𝑄𝑡1′𝑄𝑡1]−1𝑄𝑡1′𝑑

2. Оценка зависимости

необъясненной (другими

эндогенными переменными)

части вариации каждой

эндогенной переменной

набором инструментов.

Получение МНК оценок �̂�𝑗 из регрессии

𝑦𝑗 − 𝑄𝜌1(𝑦−𝑗)𝛾𝑗 − 𝑄

𝜌1(�̂�)�̂�𝑗 =

= 𝑄𝜌1(𝑥, 𝑧)𝜅𝑗 + 𝑄𝜌1(�̂�)𝜆𝑗 + 𝜈𝑗

3. Тестирование гипотезы о том,

что набор исключенных

инструментов объясняет

существенную долю вариации

каждой эндогенной переменной

(при условии взаимосвязи

между эндогенными

переменными).

Калькулирование тестовой статистики (на

примере 𝑑𝑖𝑚(𝑥) = 𝜒 = 0):

𝐹𝑦𝑗|𝑦−𝑗 =�̂�𝑗′(𝑄𝜌1(𝑧))′𝑄𝜌1(𝑧)�̂�𝑗

(𝑑𝑖𝑚 (𝜅𝑗) − 𝑑𝑖𝑚(𝛾𝑗) − 𝑑𝑖𝑚(𝜇𝑗))(�̂�𝑗′�̂�𝑗𝑛 )

63

Глава 3. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ СПРОСА НА ИПОТЕЧНЫЕ КРЕДИТЫ

3.1. Ипотечный кредит как частный случай дифференцированного товара

с эндогенными характеристиками

Дифференцированность товара предполагает, что потребитель

различает с точки зрения предпочтений два товара, которые не различаются

объемом, но различаются выраженностью набора характеристик. При этом,

характеристики товара являются эндогенными, если потребитель выбирает

как объем потребления товара, так и выраженность его характеристик. Одним

из примеров такого товара является кредит. Ипотечный кредит, спрос на

который изучается в данной главе, является частным случая кредита.

Процесс ипотечного кредитования для заемщика представляется

следующей процедурой [Ozhegov, 2015]:

1. Подача заявки заемщиком в кредитную организацию. Заемщик

осознает потребность в ипотеке, выбирает ипотечную программу,

предлагаемую кредитными организациями, и, соответственно,

кредитную организацию, которая в некотором смысле соответствует

его предпочтениям. Потенциальный заемщик заполняет анкету в

выбранной кредитной организации.

2. Анализируя анкету заемщика, кредитная организация уточняет

поданные сведения, принимает решение о его кредитоспособности,

выносит решение об одобрении/неодобрении заемщика. В процессе

кредитного андеррайтинга и в случае одобрения кредитная

организация также устанавливают предельную величину ссуды

(кредитный лимит) для данного заемщика.

3. Одобренный заемщик принимает решение о заключении кредитного

контракта или не заключении такового. В случае заключения

контракта, выбирает условия кредита: величину ссуды не выше

предельной, установленной банком, срок погашения,

первоначальный взнос и размер ежемесячного платежа из множества

64

условий, определенных кредитной программой, выбирает объект

недвижимости для приобретения. Ставка по кредиту определяется в

соответствие с выбранной ипотечной программой на основании

остальных выбранных заемщиков параметров. Размер общего

ежемесячного платежа, как и размер ежемесячного платежа за

пользование каждым рублем, взятым в долг, определяется исходя из

процентной ставки, а также срока погашения и других характеристик

кредита.

В данном исследовании изучается спрос на ипотечные займы Агентства

по ипотечному жилищному кредитованию (АИЖК), предоставившего данные

для исследования. Краткое описание банка, являющегося государственным

поставщиком ипотек в России, будет представлено в следующем параграфе.

Построим функции спроса на агрегированном уровне, т.е. на уровне

потока заявок в банк, а также на индивидуальном уровне, т.е. на уровне

решений заемщика о заключении контракта и выборе конкретных условий

(размера ссуды, срока погашения, ставки и наличия государственной

страховки ответственности), а также проанализируем взаимосвязь выбора

параметров займа, одобрения заемщика и обслуживания ипотечных

контрактов. Данный подход позволит комплексно проанализировать спрос на

государственную ипотеку в РФ.

Функции агрегированного и индивидуального спроса на ипотеку имеют

свои особенности при моделировании. Так, моделируя агрегированный спрос

на ипотечные займы конкретного банка необходимо учитывать, что поток

заявок в банк и условия их выдачи является результатом реализации

частичного равновесия на рынке ипотечных займов. Таким образом,

агрегированные условия выдачи займов (характеристики товара) при

моделировании потока заявок должны рассматриваться как эндогенные.

При оценке функции спроса на индивидуальном уровне следует

учитывать, что, во-первых, условия займа хоть и являются наблюдаемыми для

исследователя только после заключения контракта, формируются в процессе

65

переговоров между конкретным заемщиком и банком. Так решения об

одобрении заемщика и выборе параметров кредитного контракта являются

взаимосвязанными и должны моделироваться совместно. Во-вторых, банк на

этапе одобрения отсекает аппликантов, считающихся некредитоспособными,

что обуславливает неслучайность в механизме формирования выборки по

заключенным контрактам. Также необходимо учитывать то, что на этапе

заключения контракта заемщик выбирает не только размер ссуды (объем

потребления), но также и другие характеристики кредита, такие как срок

погашения и соотношение суммы займа к стоимости залога (LTV).

Таким образом, при моделировании спроса на ипотечный кредит

необходимо учесть, что:

1. Функция спроса должна быть многомерной, содержать количество

зависимых переменных, равных количеству условий кредита,

выбираемых заемщиком.

2. Выбор каждого параметра кредита должен зависеть от предпочтений

индивида, а также от остальных условий кредита (характеристики

являются эндогенными).

3. Выборка заемщиков является неслучайной, т.е. на этапе

моделирования выбора характеристик товара присутствует проблема

выборочной селективности.

4. Ошибки в уравнениях одобрения и выбора условий кредита являются

распределенными совместно, т.к. все эти решения формируются в

результате переговоров банка и заемщика, которые являются

ненаблюдаемыми для исследователя.

5. Теоретический вид функциональных взаимосвязей между условиями

кредита, а также теоретическое распределение ошибок являются

неизвестными.

Так в силу того, что характеристики кредита выбираются совместно с

объемом потребления, то ипотечный кредит является товаром с эндогенными

характеристиками. Более того, задача поведения потребителя содержит

66

угловые решения ввиду того, что часть потребителей принимает решение не

потреблять товар, а также виду того, что банк отсекает часть заемщиков на

этапе андеррайтинга.

Модель функции спроса, предложенная в параграфе 2.1, позволяет

учитывать все эти аспекты, идентифицировать и состоятельно оценивать

функцию спроса на ипотечные кредиты со всеми введенными предпосылками.

3.2. Описание механизма государственного ипотечного кредитования в РФ

В данном исследовании анализируется спрос на ипотечные кредиты

одного регионального банка, оперирующего ипотечными программами,

разрабатываемыми Агентством ипотечного жилищного кредитования

(АИЖК).

В качестве объекта исследования выступают заемщики одного из

региональных представителей Агентства ипотечного жилищного

кредитования (АИЖК), предоставившего данные о количестве заявок в банк

на получение ипотечного кредита, сведения о потенциальных заемщиках,

подавших заявки на получение ипотечного займа, условиях по всем выданным

займам и дисциплине их обслуживания.

АИЖК является организацией со 100%-ым государственным участием,

через которую государство реализует политику по предоставлению

доступного жилья населению через инструменты ипотечного кредитования.

Создано в 1997 по решению Правительства РФ, принадлежит и

контролируется Федеральным агентством по управлению государственным

имуществом. Согласно Уставу2 организации, задачами АИЖК являются:

заключение долгосрочных договоров с партнерами на

рефинансирование ипотечных жилищных кредитов и займов с

2 С сайта ahml.ru

67

фиксированными условиями с целью обеспечения предсказуемости

развития ситуации для участников рынка;

внедрение различных финансовых инструментов и механизмов для

повышения ликвидности и снижения рисков участников ипотечного

рынка;

привлечение финансовых ресурсов на ипотечный рынок путем выпуска

и размещения на открытом рынке корпоративных облигаций и

ипотечных ценных бумаг;

стандартизация порядка предоставления, оформления и обслуживания

ипотечных жилищных кредитов и займов с целью обеспечения равной

доступности ипотечных кредитов и займов для населения на всей

территории России;

предоставление технической и консультационной помощи участникам

рынка ипотечного жилищного кредитования в организации, подготовке

и проведению операций, связанных с выдачей и рефинансированием

ипотечных кредитов, покупкой и продажей закладных, выпуском

ипотечных ценных бумаг и т. п.

АИЖК использует двухступенчатую систему кредитования и

рефинансирования ипотечных займов. На первом уровне коммерческие банки

и региональные представительства АИЖК выдают ипотечные кредиты

населению по установленным «стандартам АИЖК». Далее выданные кредиты,

при соблюдении «стандартов», выкупаются АИЖК у банков. Затем АИЖК

эмитирует ценные бумаги на основании выданных ипотечных ссуд. Функции

АИЖК также распространяются на разработку специальных ипотечных

программ, в рамках которых далее кредиты выдаются коммерческими

банками и региональными представителями. Такими программами являются

«Молодые ученые», «Молодые учителя», «Военная ипотека», «Материнский

капитал» и другие социальные программы. Все они характеризуются

сравнительно высоким уровнем риска для соответствующей целевой группы

68

потенциальных заемщиков. Данные программы предназначены для

коммерческих банков, так, если коммерческий банк выдает ипотечный займ

по программе АИЖК, то в случае предоставления в АИЖК пакета документов,

соответствующего «cтандартам АИЖК», данный кредит будет

рефинансирован АИЖК, а выдавший его коммерческий банк получит

фиксированное вознаграждение. Физически такая ссуда и весь кредитный

риск будет принадлежать АИЖК. Заемщик же будет взаимодействовать

только с банком, выдавшем ипотеку (вносить платежи и т.п.), за что банк

получает ежемесячное комиссионное вознаграждение от АИЖК.

В течение предыдущего десятилетия российский ипотечный рынок

пережил два явления, оказавших на него существенное влияние. Во-первых,

мировой финансовый кризис сильно менял параметры рынков жилья и

заемных средств. Так, например, цены на недвижимость в сентябре 2009 года

упали на 70% по сравнению с уровнем июля 2008 года3. Объемы выданных

ипотечных ссуд также упали на 25% в 2009 году по сравнению с 2008-м. В то

же время, АИЖК, являющееся компанией, предоставляющей ипотеки по

государственным программам, увеличило объем выдаваемых ипотечных ссуд

на 120%4 в 2012 году по сравнению с 2006-м, причем без каких-либо снижений

темпов роста в период кризиса. Сейчас АИЖК занимает примерно 7-12%

рынка ипотечных ссуд в России. Это означает, что спрос на ипотеку,

предоставляемую по государственным программам, растет, даже несмотря на

взлеты и падения в экономике и на финансовых рынках.

При подаче заявки в представительство АИЖК или коммерческий банк

на программу АИЖК потенциальный заемщик помимо основных параметров

контракта выбирает приобретать ли страховку ответственности перед

третьими лицами в случай просрочки задолженности и дефолта. Если

соотношение суммы кредита к стоимости залога превышает 70%, то наличие

такой страховки является обязательным условием заключения контракта, в

3 Использован Индекс цен, с сайта «Индикаторы рынка недвижимости», www.irn.ru 4 Данные сайта АИЖК, www.ahml.ru

69

остальных случаях определяется желанием заемщика. Страхование

ответственности заемщиков по программам АИЖК осуществляется

«Страховой компанией «АИЖК» (СК АИЖК), принимающей на себя

потенциальный кредитный риск от просрочки платежей и необходимости

реализации объекта ипотеки в случае дефолта.

При этом кредитный риск по ипотечным кредитам в целом на всем

рынке оставался относительно стабильным последние 8 лет, а средняя

вероятность дефолта варьировалась от 4 до 5%. Такая же тенденция

наблюдается и по ипотекам, рефинансированным в АИЖК, но не имеющим

государственной страховки. В то время как застрахованные ипотеки имели

вероятность дефолта на уровне 16%. Все это означает, что наличие

государственной страховки должно являться существенным фактором при

одобрении заемщиков, так и при моделировании спроса на ипотечные

кредиты.

3.3. Оценка функции агрегированного спроса на ипотечные кредиты

Первоначальным шагом процесса ипотечного кредитования является

подача заявки в выбранную кредитную организацию. Потенциальный

заемщик осознает необходимость заимствования средств для покупки

квартиры, выбирает способ заимствования и кредитную организацию, а также

кредитную программу, отражающую его предпочтения. После этого он

заполняет заявку на ипотечный кредит, указывая свои демографические и

финансовые характеристики. Количество заявок является мерой

агрегированного спроса на ипотечном рынке. Рассмотрим далее модель

функции спроса на ипотечные кредиты на агрегированном уровне. Под

функцией спроса будем понимать зависимость количества заявок на

получение кредита и агрегированных условий выданных кредитов в течение

одного момента времени от характеристик предложения и социально-

демографических характеристик общества.

70

Далее коротко приведем обзор литературы по оценке агрегированного

спроса на ипотечные кредиты для того, чтобы понимать, какие подходы

являются традиционными, поставить настоящее исследование в их ряд, а

также понять, какие факторы используются в качестве объясняющих спрос.

Затем опишем используемые данные и представим результаты калибровки

модели функции агрегированного спроса.

3.3.1. Обзор подходов к оценке функции агрегированного спроса на ипотечные

кредиты

Ряд зарубежных авторов исследовали взаимосвязь спроса и

предложения на ипотечном рынке, например, Гётцманн, Пенг и Йен

[Goetzmann, Peng, Yen, 2012], а также Чу и Жанг [Xu, Zhang, 2012]. При

моделировании функции спроса с использованием агрегированных данных

они брали в расчет как ценовые факторы (ставка по кредиту и срок

кредитования), так и неценовые факторы предложения (соотношение

ежемесячного платежа к доходу заемщика (DTI), соотношение суммы займа к

стоимости приобретаемой недвижимости (LTV)), а также другие факторы

спроса (доход на душу населения, уровень безработицы, образования, процент

пожилых людей). Использование панельных данных по регионам позволило

получить им существенную вариацию объясняющих переменных как во

времени, так и в пространстве.

В статье [Goetzmann, Peng, Yen, 2012] авторам удалось показать, что

спрос на ипотечные кредиты (количество заявок на ипотеку) является

взаимозависимым от предложения банками ипотечных кредитов (процент

одобренных заявок). При этом обе эти переменные являются эндогенными при

моделировании функции спроса.

В исследовании американского рынка ипотек [Xu, Zhang, 2012]

анализируется спрос на ипотеки для покупки жилья в другом штате, нежели в

том, где расположен банк, в который подана заявка. Авторы доказали, что

71

такой фактор спроса, как доля выданных ипотек на покупку недвижимости в

другом штате должна моделироваться как эндогенная, т.к. она связана с

шоками предложения (доля отклоненных заявок).

Магри в двух статьях [Magri, 2002], [Magri, 2007] исследовал

статистическую зависимость между агрегированными социально-

демографическими характеристиками домохозяйств, их текущими и

ожидаемыми доходами, занятостью, образованием, а также спросом на

ипотечные кредиты в Италии. Ему удалось показать, что неопределенность

относительно будущих доходов домохозяйств снижает спрос на кредиты. А

такие переменные как сфера занятости и возраст заемщиков являются

важными факторами, на которые обращают внимание банки при рассмотрении

ипотечных заявок.

Еще одни авторы, Клейтон, Миллер и Пенг [Clayton, Miller, Peng, 2010],

исследовали взаимосвязь объемов спроса и цен на рынке жилья. Они

использовали модель векторной авторегрессии (vector autoregression model,

VAR) и тест Грэйнджера на статистическую причинность. Так авторы

выявили, что эндогенные переменные – цены на недвижимость и объемы

сделок по купле-продаже – должны моделироваться системой одновременных

динамических уравнений. Обе переменные также являются зависимыми от

условий рынка труда, ипотечного и финансового рынков. Авторы нашли

эмпирическое подтверждение того, что объемы сделок по купле-продажи

недвижимости в смысле причинности по Грейнджеру влияют на цены. Более

того, объемы сделок также зависят от цен, но только на рынках с

неэластичным предложением.

Большое количество других работ также посвящено исследованию

взаимосвязи спроса и предложения на рынке недвижимости, но не ипотеки. В

данном исследовании применяется подход векторных авторегрессий, который

расширяется процедурой оценки систем одновременных уравнений,

описанной в предыдущей главе, с фокусом на идентификации уравнения

спроса.

72

Российские исследователи обходят вопрос оценки спроса на ипотечные

кредиты в России стороной. Наиболее извеcтной работой на данную тему

является серия статей Полтеровича и Старкова [Полтерович, Старков, 2006,

2007], в которых анализируются причины неудач банковской ипотеки в

России и предлагается создание альтеративной модели выдачи ипотечных

займов через систему стройсберкасс. В работе [Ильинский, Полтерович,

Старков, 2014] также теоретически анализируются мотивы домохозяйств

участвовать в такого рода заимствованиях.

Отсутствие (закрытость) информации обуславливает ограниченность

исследований российского рынка ипотечного кредитования. Основная часть

эмпирических работ по моделированию поведения ипотечных заемщиков

посвящена американскому ипотечному рынку. В связи с этим возникает

необходимость не только разработки структурной модели принятия решений

банков и заемщиков, но ее калибровка на российских данных [Ожегов,

Порошина, 2014].

3.3.2. Описание данных для оценки функции агрегированного спроса на

ипотечные кредиты в России

Для оценки функции спроса на ипотечные кредиты были собраны

данные по количеству заявок на получение ипотеки в одном региональном

представительстве АИЖК за весь период его работы с 01/08/2008 по

31/08/2012 в месячной динамике, данные о региональном ипотечном рынке и

рынке недвижимости, а также агрегированные демографические

характеристики общества в регионе. Все данные, кроме количества заявок,

находятся в открытом доступе5. Данные по количеству заявок были

5 Взяты с Ahml.ru

73

предоставлены в рамках договора с представительством. Описание

переменных и описательные статистики представлены в таблице 2.

Таблица 2. Описательные статистики по агрегированным показателям ипотечного рынка.

Переменная Кол-во

наблюдений Среднее Ст. откл. Мин. Макс.

Количество заявок в АИЖК в

конкретный месяц, шт. 50 123.38 83.18 30 324

Количество рефинансированных

заявок в АИЖК всеми банками

региона в конкретный месяц, шт.

48 101.56 43.94 43 222

Количество выданных ипотек в

регионе в конкретный месяц, шт. 50 894.40 529.27 134 2112

Медианный срок погашения по всем

выданным кредитам в конкретный

месяц, месяцев

50 200.79 12.81 173.0 222.2

Медианная ставка по всем выданным

кредитам в конкретный месяц, % 50 12.97 0.80 12.00 14.30

Среднее соотношение займа к

стоимости квартиры (LTV) по всем

выданным кредитам в конкретный

месяц, %

50 58.24 3.40 47.90 64.90

Среднее соотношение платежа к

доходу (DTI) заемщика по всем

выданным кредитам в конкретный

месяц, %

50 34.92 0.71 33.44 36.68

Коэффициент доступности жилья, лет 50 3.39 0.71 2.57 4.65

Стоимость м2, руб. 50 38623 6166 28782 51304

В данном исследовании изучается оценка функции спроса только для

одного региона, поэтому для объяснения вариации спроса будет использовать

вариацию переменных только во времени, t. Т.к. агрегированные

демографические характеристики общества такие, например, как

половозрастной состав общества являются мало изменчивыми во времени в

течение в 4 лет, то данные переменные были исключены из исследования.

Единственной вариативной переменной являются доходы общества,

использованные в данном исследовании в рамках переменной коэффициента

доступности жилья, выражающего соотношение стоимости средней квартиры

к годовому доходу среднего домохозяйства.

74

3.3.3. Результаты оценки функции агрегированного спроса на ипотечные

кредиты

Для оценки функции спроса предположим, как и в [Xu, Zhang, 2012], что

количество заявок на получение ипотеки, а также условия кредитования по тем

кредитам, которые были выданы в регионе, являются взаимозависимыми и

эндогенными, поскольку являются результатом реализации частичного

равновесия. Так это означает, что спрос и условия выдачи кредитов будут

моделироваться системой одновременных уравнений.

В случае данных, представленных временными рядами, набор

инструментальных переменных рождается естественным образом. Так в

качестве исключенных инструментов для некоторой эндогенной переменной

можно использовать ее лаги. Тогда для состоятельной оценки такой модели

необходимо выполнение условия независимости набора исключенных

инструментов (лагов) от распределения ненаблюдаемых компонент спроса

(предположение 2.1). Данное условие выполняется при отсутствии

автокорреляции в ошибках уравнений системы. Модель векторной

авторегресcии в приведенной форме (Reduced form VAR) обычно

записывается как

𝑦𝑗𝑡 = 𝛾𝑗(𝑦𝑡−𝜏) + 𝑒𝑗𝑡 , 𝑗 = {1,… , 𝑘}, 𝜏 = {1,… ,𝑚}

𝐸(𝑒𝑡|𝑦𝑡−𝜏) = 0, ∀𝜏 = {1,… ,𝑚} (31)

где 𝑡 = 1,… , 𝑇 – множество моментов времени,

𝑦𝑡 = (𝑦1𝑡 , … , 𝑦𝑘𝑡) – множество эндогенных переменных,

𝛾 – набор функций, требующих идентификации,

m – максимальный лаг эндогенных переменных, используемых в качестве

инструментов,

𝑒𝑡 = (𝑒1𝑡 , … , 𝑒𝑘𝑡) – множество ненаблюдаемых компонент.

Устойчивость оценок векторной авторегрессии достигается включением

достаточного количества лагов эндогенных переменных в приведенную

форму, а также отсутствием единичных корней, т.е. расположения оценок

75

комплексных корней характеристических уравнений внутри единичного

круга. Так для выполнения требования отсутствия единичных корней

необходима стационарность в узком смысле всех эндогенных переменных.

Легко проверить адекватность векторной модели авторегрессии для

предложенного набора данных. Выберем все переменные, представленные в

таблице в качестве эндогенных, возьмем от каждой из них первую разность

для избавления от потенциальной нестационарности первого момента и

оценим VAR для 𝑚 = 1.

Оценки такой модели являются состоятельными в силу отсутствия

единичных корней и автокорреляции до двенадцатого порядка (отсутствие

сезонности спроса внутри года). Данные результаты оценивания

опубликованы в [Ozhegov, Poroshina, 2013b], как и более подробное

обсуждение устойчивости результатов. Выполнение данных условий

позволяет получить состоятельные оценки для приведенной формы, однако не

позволяет выявить структурные взаимосвязи между количеством поданных

заявок и условиями выданных контрактов. Далее в качестве расширения

модели VAR запишем систему одновременных уравнений для количества

заявок и условий контракта:

𝑦𝑗𝑡 = 𝛾𝑗(𝑦−𝑗,𝑡 , 𝑦𝑗,𝑡−𝜏) + 𝑒𝑗𝑡 , 𝑗 = {1,… , 𝑘}, 𝜏 = {1,… ,𝑚}

𝐸(𝑒𝑡|𝑦𝑡−𝜏) = 0, ∀𝜏 = {1,… ,𝑚} (31)

Идентификация данной системы уравнений достигается наличием в

каждом уравнении статистической взаимосвязи между 𝑦𝑗𝑡 и 𝑦𝑗,𝑡−𝜏 хотя бы для

одного значения лага 𝜏 (Предположение 2.7, ранговое условие

идентификации). Так как в данном исследовании интересно проследить только

структурную взаимосвязь между количеством заявок и параметрами

выданных контрактов, поэтому можно не требовать идентификации

уравнений для остальных эндогенных переменных и использовать их лаги как

исключенные инструменты для идентификации 𝑦𝑗. В таком случае количество

исключенных инструментов будет больше, чем количество уравнений,

76

требующих идентификации, а оценки для системы (31) будут получены с

помощью обобщенного метода моментов (generalized method of moments,

GMM). Т.к. для калибровки модели используется только 48 наблюдений, то

ограничимся аппроксимацией регрессионных функцией полиномами первой

степени.

Для идентификации и состоятельности оценок будет достаточно

стационарности всех используемых переменных и отсутствия автокорреляции

в ошибках уравнений системы (31), а также ранга матрицы оценок

исключенных инструментов для уравнений системы (31) в приведенной форме

не меньшего, чем количество уравнений, требующих идентификации.

Так выберем в качестве переменных, объясняющих количество заявок,

медианные ставки, сроки погашения, средние LTV и DTI по выданным

контрактам, а максимальный лаг равный 1. В качестве остальных эндогенных

переменных, потенциально объясняющих вариацию спроса, выберем

количество кредитов, рефинансированных всеми банками региона в АИЖК,

коэффициент доступности жилья и количество выданных ипотек в регионе.

Т.к. для оценки используется всего 48 наблюдений, то, помимо обобщенного

метода моментов, система уравнений (31) была также оценена с помощью

метода максимального правдоподобия с ограниченной информацией (limited

information maximum likelihood, LIML). Известно, что такой способ позволяет

получать более эффективные оценки для систем одновременных уравнений на

малых выборках. В таблице 3 приведены оценки для уравнения количества

заявок для в приведенной форме (VAR) и в структурной форме (GMM, LIML).

Можно отметить, что для спецификаций (I) и (II) набор исключенных

инструментов является совместно значимым (на уровне значимости 4.8%), а

также он значимо объясняет вариацию каждой эндогенной переменной по-

отдельности (на уровнях значимости не больше 5.1%). Тест Саргана на

наличие неминимизируемых моментных ограничений сообщает, что таковых

нет, что является дополнительным аргументом в пользу валидности

используемого набора исключенных инструментов.

77

Таблица 3. Оценки параметров для уравнения агрегированного спроса. (I) (II) (III)

GMM LIML VAR

Медианный срок 0.178 0.130** 0.015

(0.129) (0.066) (0.023)

Медианная ставка -3.047 -1.052 0.014

(3.472) (1.374) (0.447)

Средний DTI 2.013 0.768 -0.466**

(1.885) (0.730) (0.202)

Средний LTV 0.238 0.139 -0.079

(0.262) (0.123) (0.050)

Количество заявок в АИЖК

(t-1)

-0.575 -0.367* -0.274*

(0.446) (0.219) (0.150)

Количество рефинансированных

АИЖК ссуд (t-1)

- - -0.001

(0.002)

Коэффициент доступности жилья

(t-1)

- - 0.058

(0.719)

Количество выданных ипотек

(t-1)

- - -0.245

(0.190)

Константа 0.038 0.071 0.043

(0.213) (0.115) (0.075)

N 47 47 46

Log likelihood -87.69 -60.43 -94.12

Sargan test (p-value) 2.299 (0.513) -

Совместная значимость

исключенных инструментов (p-

value)

2.461 (0.048) -

Уравнение Част. 𝑅2 искл.

инстр.

F(8,37)-stat (p-

value)

Количество заявок в АИЖК 0.249 2.81 (0.040) -

Медианный срок погашения 0.261 2.92 (0.043) -

Медианная ставка 0.294 3.26 (0.012) -

Средний DTI 0.199 2.35 (0.051) -

Средний LTV 0.302 3.35 (0.007) -

Примечание: в ячейках таблицы представлены оценки параметров модели,

В скобках стандартные ошибки,

Уровень значимости определен исходя из t-статистики,

* p < 0.10, ** p < 0.05, *** p < 0.01

Во всех спецификациях все переменные взяты в первых разностях.

Для спецификации (III) оценки перед параметрами контрактов приведены для лага 𝜏 = 1.

Для спецификаций (I) и (II) лаги переменных Медианный срок погашения, Медианная ставка, Средний LTV,

Средний DTI, Коэф. доступности жилья, Кол-во рефинансированных ссуд и Количество выданных ипотек

использованы в качестве исключенных инструментов.

Так можно говорить о том, что система уравнений (31) является

идентифицируемой, а ее оценки (I) и (II) являются состоятельными. При этом,

LIML дает более эффективные оценки руководствуясь критерием логарифма

78

функции правдоподобия моделей. Далее для интерпретации оценок будет

использована спецификация (II). VAR-оценки могут давать противоречивые

результаты в силу того, что для объяснения спроса используются переменные

в предыдущий месяц, что может давать некоторые искажения истинных

взаимосвязей.

Незначимость некоторых оценок возникла, более вероятно, из-за малого

объема выборки. Можем предполагать, что увеличение числа наблюдений

приведет к снижению величины стандартной ошибки оценок. Поэтому

попробуем интерпретировать структурные взаимосвязи в функции спроса, не

взирая на статистическую незначимость некоторых оценок.

Так количество заявок положительно зависит от равновесных сроков

погашения кредита и отрицательно от равновесных ставок по кредиту. Данный

результат является непротиворечивым, т.к. при малых сроках погашения

кредита и высокой ставке увеличивается платеж по кредиту, что в свою

очередь ведет к снижению желания получить такой кредит. В работах,

анализирующих спрос на кредиты для домохозяйств с невысоким уровнем

дохода [Attanasio, Goldberg, Kyriazidou, 2008] также отмечается, что если

домохозяйство не обладает достаточным объемом финансовых ресурсов, то

его спрос на кредит будет более вероятно неэластичен по ставке и эластичен

по сроку погашения в силу того, что шоки ставки вынуждают ограниченные в

средствах домохозяйства выбирать более продолжительные сроки

кредитования для сохранения величины ежемесячного платежа. Данный

установленный факт также подтверждает полученные нами результаты.

Положительная связь объема заявок со средними LTV и DTI (на уровне

значимости порядка 20%) также не является противоречивой. Так обе

объясняющие переменные характеризуют терпимость банков к принимаемому

уровня риска заемщика. Если она высока, то заемщики с более высоким

уровнем риска будут демонстрировать более высокое желание получить

кредит и подавать большее количество заявок на его получение.

79

3.4. Оценка функции индивидуального спроса на ипотечные кредиты

Далее проанализируем структуру индивидуального спроса на ипотечные

займы по государственным программам. Под индивидуальным спросом на

ипотечный займ конкретного банка обычно понимается вероятности взятия

кредита, размера ссуды и характеристик ипотечного займа от характеристик

потенциального заемщика. Модель индивидуального спроса на ипотечный

кредит опубликована в [Ozhegov, 2015].

Для этого проведем обзор известных работ по оценке индивидуального

спроса на ипотечные кредиты, опишем используемые данные и проведем

эконометрическое оценивание функции индивидуального спроса.

3.4.1. Обзор подходов к оценке функции индивидуального спроса на ипотечные

кредиты

Задачей исследования является оценка индивидуального спроса на

ипотечный кредит. Традиционные модели оценки спроса на рынке ипотечного

кредитования используют параметрический подход к построению уравнения

спроса (величины ссуды или LTV). В качестве таких моделей используют

классические модели линейной регрессии. Основные проблемы, которые

возникают в таких моделях, известны как проблема смещения ввиду

выборочной селективности и проблема эндогенности других параметров

кредитного договора.

Первая причина связана со смещением вследствие одновременности

(simultaneity bias). Такая ситуация возникает, когда, при моделировании

величины ссуды не принимается во внимание процесс кредитного

андеррайтинга, то есть вероятность одобрения/отклонения кредитной заявки.

Другая причина связана с усечением/частичной наблюдаемостью (censoring or

partial observability), которая возникает в случае отсутствия информации по

отклоненным заявкам. Таким образом, величина смещения зависит от того,

80

насколько сильно скоррелированы ненаблюдаемые компоненты процессов

выбора величины ссуды (или LTV) и кредитного андеррайтинга, а также

насколько полная информация по характеристикам ипотечного займа и

заемщика, в том числе по кредитной истории, содержится в выборке

аппликантов [Ross, 2000].

Ипотечный займ как последовательность решений заемщика и

кредитной организации впервые была предложена в статье [Follain 1990].

Автор определяет процесс получения ипотечного кредита не только как

определение соотношения суммы займа к стоимости приобретаемого жилья

(LTV), но и как дальнейший процесс обслуживания ипотечных обязательств,

в частности обслуживание согласно условиям кредитного договора,

рефинансирование ссуды или объявление дефолта, включая выбор времени, а

также выбор условий контракта. Позднее в [Rachlis, Yezer, 1993] была

представлена теоретическая модель процесса ипотечного кредитования,

включающая систему одновременных уравнений, описывающих вероятность

подачи кредитной заявки, вероятность выбора конкретных параметров

ипотечного займа, вероятность одобрения/отклонения кредитной заявки и

вероятность дефолта.

С середины девяностых годов двадцатого века стали появляться

публично доступные данные по американскому рынку ипотеки - Federal

Housing Authority (FHA) foreclosure data, The Boston Fed Study data, The Home

Mortgage Disclosure Act data (HMDA), а также эмпирические работы,

посвященные изучению процессов принятий решений на рынке ипотечного

кредитования.

Йезер, Филлипс и Трост [Yezer, Philips, Trost, 1994] представляют

эмпирические результаты оценивания системы одновременных уравнений,

включающей вероятность одобрения/отклонения кредитной заявки, сумму

ипотечного займа и вероятность дефолта заемщика. Авторы, используя

эксперимент Монте-Карло, показывают, что изолированное моделирование

процесса одобрения/отклонения кредитной заявки или дефолта приводит к

81

смещенным оценкам. Позднее аналогичные результаты получены в

эмпирических работах [Munnell, Tootell, Browne, McEneaney, 1996] и [Phillips,

Yezer, 1996].

Росс [Ross, 2000] исследовал связь между решениями об одобрении

заемщика и его дефолтом. В данной статье показано, что большинство оценок

параметров в уравнении ободрения заемщика имеют противоположный знак в

уравнении дефолта, однако это верно только после коррекции оценок на

смещение выборки. В данном исследовании отмечается и тот факт, что если

выборка дефолтеров/не дефолтеров содержит небольшой объем информации

о характеристиках заемщика, то оцененная модель вероятности дефолта, а

также модель самоотбора будут страдать от существенного смещения. Чем

больше имеется доступной информации о характеристиках заемщика,

включая его кредитную историю и другие риск факторы, тем выше

вероятность минимизации проблемы смещения выборки.

Более поздние работы исследуют зависимость решения о выборе

величины ссуды, а также других эндогенных переменных, от экзогенных. Так

в работе [Ambrose, LaCour-Little, Sanders, 2004] подчеркивается эндогенность

таких факторов, как сумма ипотечного займа и коэффициент LTV при

моделировании выбора ипотечной программы.

Среди ключевых детерминант спроса на рынке ипотечного

кредитования обычно выделяют социально-демографические характеристики

заемщика и параметры ипотечного займа. Примечательно, что за отсутствием

данных по социально-демографическим характеристикам на индивидуальном

уровне, в работе [Bajari, Chu, Park, 2008] в качестве прокси-показателей

используются данные по демографическим характеристикам и уровни

безработицы на уровне округа.

Проблемы оценки спроса и рисков просрочки выплат по кредитам

физических лиц в России на основе опросных данных о кредитном поведении

за 2011 г. в рамках проекта «Родители и дети, мужчины и женщины в семье и

обществе» рассматриваются в [Ниворожкина, Овчарова, Синявская, 2013].

82

Авторы отмечают статистически значимое влияние социально-

демографических характеристик и типа региона на кредитное поведение

домохозяйств в России.

В исследовании [Attanazio, Goldberg, Kyriazidou, 2008], авторы

используют подход, предложенный [Das et al., 2003] для оценки параметров

спроса на автокредиты при наличии выборочной селективности, содержащий

три последовательных шага. На первом шаге оценивается вероятность

наличия кредита для конкретного домохозяйства. Второй шаг заключается в

оценке уравнений для эндогенных переменных (ставки и срока погашения) в

приведенной форме с учетом выборочной селективности. На третьем шаге

оценивается уравнение спроса (LTV), где эндогенные переменные заменяются

на их оцененные значения, а также присутствует компонента, отвечающая за

смещение при выборочной селективности.

Однако очевидно, что не только показатель LTV может зависеть от всех

параметров кредитного договора, но и сам выбор LTV будет оказывать

влияние на все остальные параметры контракта. Так более рисковые займы (с

высоким LTV) определяются в кредитные программы с более высокой

ставкой. Большая величина ссуды при той же ставке ведет к необходимости

увеличения ежемесячных платежей либо к увеличению сроку кредитного

договора для заемщиков с невысоким доходом [Attanasio et al., 2008]. Так

процесс выбора параметров договора следует моделировать системой

одновременных уравнений, учитывая, что между всеми параметрами договора

существует структурная взаимосвязь.

Стоит отметить, что величина кредитного лимита, устанавливаемая

банком, так же будет эндогенной при моделировании выбора параметров

договора. Так, предполагая выбор заемщиком условий договора, банк может

выбирать величину кредитного лимита с целью получения в некотором

смысле оптимального для себя контракта.

83

3.4.2. Описание данных для оценки функции индивидуального спроса на

ипотечные кредиты в России

Для оценки спроса был использован набор данных одного из

региональных представительств Агентства по ипотечному жилищному

кредитованию (АИЖК) по 3870 российским заемщикам, подавшим заявку на

получение ипотечного займа за весь период работы кредитной организации, с

2008 по 2012 гг. Среди доступных показателей следует отметить социально-

демографические характеристики заемщика и созаемщиков на дату подачи

ипотечной заявки, параметры ипотечного договора, стоимость объекта

ипотеки, величину выставленного кредитного лимита банком. При этом

характеристики заемщиков известны для всех наблюдений, т.е. для всех

людей, подавших заявку, а характеристики кредита только для тех, кто

заключил контракт, что обуславливает наличие проблемы выборочной

селективности на этапе моделирования выбора условий займа.

Из наблюдений были исключены выбросы, например, заемщики с

пропущенным возрастом, образованием, семейным статусом и т.д., заемщики,

возраст которых меньше 21 года, кредитные договоры с соотношением

кредита к залогу или ежемесячного платежа к доходу меньше 0 и больше 1.

Будем считать исключенные наблюдения случайными, связанными

исключительно с ошибками при заполнении базы данных. После исключения

выбросов выборка составила 3366 наблюдений поданных заявок, из которых

2041 привели к заключению кредитного договора, а 1325 нет. Набор

доступных переменных и их описательные статистики представлены в

таблицах 4 и 5.

84

Таблица 4. Описательные статистики по характеристикам заявителей.

Переменная

Полная

выборка

(3366

наблюдений)

Заключившие

контракт

(2041

наблюдение)

Не

заключившие

контракт (1325

наблюдений)

Возраст6, лет 33.8 34.0 33.5

(7.57) (7.67) (7.41)

Пол

Мужчины 1858 (55.2%) 1161 (56.9%) 697 (52.6%)

Женщины 1508 (44.8%) 880 (43.1%) 628 (47.4%)

Семейное положение

Холост 1017 (30.2%) 590 (29.0%) 426 (32.2%)

Женат/замужем 1807 (53.7%) 1146 (56.1%) 661 (49.9%)

Вдовец/вдова 42 (1.2%) 20 (1.0%) 22 (1.7%)

В разводе 500 (14.8%) 284 (13.9%) 216 (16.3%)

Категория занятости

Наемный работник 3229 (95.9%) 1942 (95.1%) 1287 (97.1%)

Инд. предприниматель 25 (0.7%) 19 (0.9%) 6 (0.5%)

Гос. служащий 112 (3.3%) 80 (3.9%) 32 (2.4%)

Уровень образования

Начальное 53 (1.6%) 33 (1.6%) 20 (1.5%)

Среднее/среднее

специальное

1425 (42.3%) 816 (40.0%) 609 (50.0%)

Неоконченное высшее 120 (3.6%) 64 (3.1%) 56 (4.2%)

Высшее 1768 (52.5%) 1128 (55.3%) 640 (48.3%)

Количество созаемщиков

0 1423 (42.3%) 1012 (49.6%) 593 (44.8%)

1 1809 (53.7%) 1120 (54.9%) 689 (52.0%)

2 134 (4.0%) 91 (4.5%) 43 (3.2%)

Суммарный указанный доход созаемщиков

Не указан 2949 (87.6%) 1687 (82.7%) 1262 (95.2%)

От 0 до 9999 рублей 111 (3.3%) 103 (5.0%) 8 (0.6%)

От 10000 до 20000 рублей 161 (4.8%) 133 (6.5%) 28 (2.1%)

Больше 20000 рублей 145 (4.3%) 118 (5.8%) 27 (2.0%)

Указанный доход основного заемщика

Не указан 2337 (69.4%) 1227 (60.1%) 1110 (83.8%)

От 0 до 9999 рублей 91 (2.7%) 53 (2.6%) 38 (2.9%)

От 10000 до 19999 рублей 283 (8.4%) 241 (11.8%) 42 (3.2%)

От 20000 до 39999 рублей 445 (13.2%) 361 (17.7%) 84 (6.3%)

Больше 40000 рублей 210 (6.2%) 159 (7.8%) 51 (3.8%)

6 Указано среднее значение по выборке, в скобках стандартное отклонение

85

Таблица 5. Описательные характеристики по параметрам договора (2041 контракт).

Переменная Среднее Ст. откл. Мин. Макс.

Размер ссуды, руб. 1 040 037 573 665 120 000 10 000 000

Первоначальный взнос, руб. 854 962 706 635 40 000 13 820 000

Стоимость жилья, руб. 1 894 999 1 049 502 330 000 15 290 000

Ежемесячный платеж, руб. 12610 7324 1872 140 381

Кредитный лимит, руб. 1 046 023 587 762 150 000 10 000 000

Соотношение кредита к залогу (LTV) 0.56 0.17 0.11 0.94

Срок кредита, мес. 189.05 62.17 26 360

Ставка, % 11.59 1.64 9.55 19

Государственная страховка Есть 1851 (90,7%)

Нет 190 (9,3%)

Застрахованы Не застрахованы Все контракты

Индикатор

дефолта

Не было дефолта 159 (83.7%) 1783(96.3%) 1942 (95.1%)

Был дефолт 31 (16.3%) 68 (3.7%) 99 (4.9%)

Отметим, что некоторые кредитные программы предполагают

возможность не указывать доход основного заемщика или созаемщиков или

указывать его в свободной форме, что ведет, чаще всего, к более высокой

ставке кредитования. В таких случаях данные о доходах заемщика не

наблюдаются. Одной из причин, вызывающих желание не декларировать

доход, является наличие непостоянного дохода [LaCour-Little, 2007],

объяснимое, например, занятостью в собственном бизнесе. Вообще, доход

заемщика должен считаться эндогенной переменной при процессе его

одобрения и выбора параметров контракта. Однако в данном исследовании

выбор контролируется в том числе на то, является ли заемщик

индивидуальным предпринимателем, что избавляет от несостоятельности

оценок ввиду эндогенности указываемого дохода. От эндогенности

переменной, характеризующей доход созаемщиков, в данном исследовании

избавиться не представляется возможным, т.к. неизвестны характеристики

созаемщиков. Будем считать это ограничение незначительным ввиду менее

существенного влияния созаемщиков на процесс одобрения.

Из описательных статистик по выданным кредитам следует, что

существует большая вариация условий, на которых выдаются займы как по

86

размеру ссуды и LTV, так и по срокам погашения и ставкам. Стоит отметить,

что 9% заемщиков выбирают страхование ответственности. При этом доля

дефолтов по таким заемщикам существенно выше (16.3%), чем по группе

заемщиков с незастрахованной ответственностью (3.7%). Под дефолтом в

данном случае понимается наличие хотя бы одной просрочки платежа

заемщиком на 90 дней или более (в соответствие с определением банка).

В ранних работах [Ross, 2000] было доказано, что процесс одобрения

заемщика также влияет на его последующие решения. Таблица 3 также

свидетельствует о том, что выборка аппликантов, взявших кредит, по

характеристикам отличается от тех, кто подал заявку, но не взял кредит. Так в

общем будем предполагать, что на этапе моделирования выбора контракта,

выборка будет смещена ввиду двух причин: 1) часть заемщиков, признанных

банком неблагонадежными, была отклонена, 2) часть одобренных заемщиков

не заключила контракт ввиду наличия альтернативных предложений либо

низкого кредитного лимита, выставленного банком. Здесь стоит отметить, что,

исходя из имеющихся данных, две эти причины неразделимы.

3.4.3. Результаты оценки функции индивидуального спроса на ипотечные

кредиты

Как было отмечено ранее, функция индивидуального спроса на

ипотечный кредит представима следующей эконометрической моделью:

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0

{𝑦1𝑖∗ = 𝑔1(𝑦−1𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧1𝑖) + 𝑒1𝑖…

𝑦𝑘𝑖∗ = 𝑔𝑘(𝑦−𝑘𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑘𝑖) + 𝑒𝑘𝑖

𝑦𝑖 = {ненаблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 0

𝑦𝑖∗, если 𝑑𝑖 = 1,

(32)

87

где 𝑑𝑖 – бинарная переменная, отвечающая за то, был заключен кредитный

контракт или нет, 𝑥𝑖 – демографические характеристики заемщика и

созаемщиков на дату подачи заявки, 𝑦𝑖 – параметры кредитного контракта, в

том числе величина кредитного лимита, (𝑧0𝑖 , 𝑧1𝑖 , … , 𝑧𝑘𝑖) – исключенные

инструменты для заключения контракта, параметров кредитного договора и

кредитного лимита соответственно. Обсуждение конкретного набора

инструментальных переменных будет приведено далее. В качестве параметров

контракта, выбранными в качестве 𝑦𝑖 будем использовать

логарифмированный размер ссуды, соотношение размера ссуды к стоимости

объекта недвижимости (LTV) логарифмированную величину ставки,

логарифмированный срок погашения кредита.

Для оценки модели следует подобрать набор релевантных исключенных

инструментов для уравнения вероятности заключения контракта и каждого

уравнения выбора параметров кредитного договора.

В работе [Bajari et al., 2008] обсуждается возможность выбора

макропеременных на уровне округа, в котором проживает человек в качестве

прокси-переменных, т.е. считается, что агрегированные переменные

коррелированы с индивидуальными, пусть и слабо. В нашем исследовании

заемщики представляют один регион, однако заявки имеют временной разброс

с июля 2008 года по август 2012 года. Более того, по каждому аппликанту

известна точная дата подачи заявки на получение кредита. Так каждой заявке

можно сопоставить некоторые агрегированные характеристики рынка

ипотечного кредитования и рынка недвижимости в тот месяц, в который была

подана заявка. Здесь стоит отметить, что от момента подачи заявки до момента

заключения кредитного договора в среднем проходит 2 месяца. Также

известно, что спрос на ипотечные кредиты с запаздыванием реагирует на

изменение предложения со стороны банков, что показано в опубликованной

работе [Ozhegov, Poroshina, 2013b]. Так имеет смысл фиксировать

агрегированные характеристики ипотечного рынка не только на момент

подачи заявки, но и за 1-2 месяца до этого события. В таблице 2 были

88

приведены описательные характеристики рынка ипотечного кредитования и

недвижимости в регионе за рассматриваемый период с июля 2008 года по

август 2012 (50 месяцев), которые будут использоваться в качестве

исключенных инструментов.

Стоит отметить, что около 15% от всех ипотечных контрактов в регионе

рефинансируются в АИЖК, при этом не все из них проходят через

исследуемый банк. Так среднее количество заявок в банк в среднем меньше

количества кредитов, которые были рефинансированы.

При этом такой показатель, как разница между количеством

рефинансированных ссуд в АИЖК из региона и количеством заявок в банк,

может объяснять решение о заключении контракта, при этом не являясь

причиной выбора параметров кредитного контракта. Так на большое

количество рефинансированных кредитов в конкретный месяц показывает

легкость получения аналогичного кредита в других организациях, т.е.

уменьшает вероятность заключения контракта в случае одобрения заемщика.

При этом индивидуальное решение заемщика о заключении контракта не

должно оказывать влияние на агрегированные характеристики рынка ввиду

того, что конкретная сделка каждый месяц характеризует менее 1% вариации

всего рынка.

В качестве инструментов для параметров кредитного контракта, суммы

займа, LTV, ставки и срока кредитования, возьмем средний LTV, средний DTI

(соотношение ежемесячного платежа к доходу заемщика), медианную ставку,

медианный срок кредита и показатель доступности7 жилья соответственно.

Так релевантность инструментов следует из того, что рыночные условия

кредитования оказывают влияние на ипотечные программы, предлагаемые

АИЖК. В то же время, условия ипотечной программы являются экзогенными

в процессе выбора конкретного заемщика. Коэффициент доступности жилья

также может служить инструментом для суммы займа, т.к. увеличение

7 Показатель доступности характеризует соотношение среднегодового дохода среднего домохозяйства к

стоимости средней квартиры.

89

доступности жилья должно приводить к выбору меньшей суммы. С другой

стороны, индивидуальные шоки предпочтений не должны оказывать какого-

либо влияния как на доходы всего общества, так и на стоимость квадратного

метра жилья, из которых рассчитывается коэффициент доступности.

Так можем считать, что предложенные переменные удовлетворяют

свойствам релевантности и валидности и могут быть использованы в качестве

инструментальных. Релевантность также была проверена далее для каждой

соответствующей модели с помощью условного F-теста исключенных

инструментов, описанного в параграфе 2.4.

Модель (32) для описанных переменных была оценена с помощью

процедуры, предложенной в предыдущей главе, параграфе 2.3.

На первом шаге была оценена модель для вероятности заключения

контракта от характеристик заемщика и созаемщиков и разницы в количестве

рефинансированных кредитов в АИЖК из региона и количеством заявок в

банк. Оценки параметров модели представлены в Таблице 6. Оценки

уравнения первого шага также опубликованы в [Ожегов, Порошина, 2014;

Ozhegov, Poroshina, 2013a]

Так переменная, выбранная в качестве исключенного инструмента,

оказалась значимой на уровне меньше 1%. Знаки и значимости переменных,

отражающие характеристики заемщика, соответствуют интуиции.

Демографические характеристики заемщика, пол, возраст, семейное

положение оказались статистически незначимыми, что говорит об отсутствии

дискриминации по демографическим признакам. В то время как вероятность

заключения ипотечного контракта положительно связана с доходом заемщика

и доходами созаемщиков, отрицательно зависит от факта непредоставления

данных о доходе.

Стоит отметить также, что вероятность заключения договора при прочих

равных выше у служащих государственных учреждений.

Оценки были получены с помощью модели линейной вероятности.

90

Таблица 6. Оценки параметров уравнения вероятности заключения контракта.

Переменная (1) (2)

OLS Probit

Возраст -0.006 -0.014

(0.009) (0.025)

Возраст в квадрате 0.000 0.000

(0.000) (0.000)

Пол (Базовый уровень – женский) 0.028 0.081

(0.018) (0.051)

Семейное положение (Базовый уровень – в браке):

Холост -0.029 -0.093

(0.025) (0.071)

Разведен -0.042 -0.130

(0.029) (0.083)

Вдовец/вдова -0.130* -0.363*

(0.076) (0.209)

Категория занятости (Базовый уровень – наемный работник):

Индивидуальный предприниматель 0.066 0.165

(0.099) (0.294)

Работник бюджетного учреждения 0.140*** 0.393***

(0.045) (0.131)

Уровень образования (Базовый уровень – законченное высшее):

Менее, чем законченное высшее -0.071*** -0.197***

(0.017) (0.047)

Количество созаемщиков (Базовый уровень – нет созаемщиков)

1 созаемщик 0.001 -0.015

(0.024) (0.069)

2 созаемщика 0.019 0.055

(0.048) (0.140)

Суммарный указанный доход созаемщиков (Базовый уровень – доход не указан):

От 0 до 9999 рублей 0.155*** 0.731***

(0.052) (0.198)

От 10000 до 19999 рублей 0.088** 0.291**

(0.043) (0.135)

Больше 20000 рублей

0.073 0.245*

(0.045) (0.138)

Указанный доход основного заемщика (Базовый уровень – доход не указан):

От 0 до 9999 рублей -0.011 -0.083

(0.054) (0.151)

От 10000 до 19999 рублей

0.265*** 0.798***

(0.034) (0.107)

От 20000 до 39999 рублей

0.232*** 0.656***

(0.027) (0.080)

Больше 40000 рублей

0.179*** 0.475***

(0.036) (0.105)

Разница между кол-вом реф. в АИЖК займов и кол-вом

заявок в банк

-0.000*** -0.001***

(0.000) (0.000)

Константа 0.646*** 0.295

(0.161) (0.452)

k 20 20

% верных предсказаний 64.8 64.7

Тест на значимость исключенной переменной 𝐹(1, 3224)=31.98 𝜒2(1)=32.23

Примечание: В таблице приведены оценки параметров регрессий,

В скобках робастные стандартные ошибки,

Уровень значимости определен по t-статистике,

* - 10%, ** - 5%, *** - 1%.

k – количество оцененных, количество наблюдений - 3366

91

Далее было проведено сравнение с пробит-моделью, которое не выявило

существенной разницы в значимости коэффициентов и предсказательной силе

моделей. Далее из модели линейной вероятности была получена оценка

предрасположенности 𝑝�̂� = 𝐸[𝑑𝑖|𝑥𝑖 , 𝑤0𝑖].

На следующем шаге для каждого параметра кредитного контракта было

оценено уравнение в приведенной форме. В качестве функции коррекции был

взят полином по �̂�. В качестве регрессионной функции выбрана частично

полиномиальная регрессия, линейная по параметрам и полиномиальная по

набору инструментов степени 𝜌1.

Релевантность исключенных инструментов для параметров кредитного

контракта, описанных выше, была проверена для трех наборов переменных.

Во-первых, в качестве инструментов были взяты агрегированные

характеристики рынка, зафиксированные в месяц подачи заявки на получение

ипотеки. Для второго и третьего набора были использованы агрегированные

характеристики рынка, фиксированные соответственно за месяц и за два

месяца до месяца подачи заявки. Доказательство релевантности, основанное

на условном F-тесте для исключенных инструментов приведено в таблице 7.

Таблица 7. Результаты теста релевантности исключенных инструментов.

(I) (II) (III)

Уравнение (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3)

Лог. суммы займа 7.57 5.06 3.41 5.66 5.08 3.30 7.59 4.44 3.02

LTV 2.19 2.35 2.25 4.18 2.38 2.22 2.89 2.29 2.53

Лог. ставки 143.6 65.2 22.2 156.9 64.8 28.7 174.8 73.0 35.1

Лог. срока погашения 5.61 2.42 2.01 7.13 2.94 2.09 6.48 2.65 2.08

10% крит. значения 1.40 1.34 1.25 1.40 1.34 1.25 1.40 1.34 1.25

5% крит. значения 1.55 1.46 1.33 1.55 1.46 1.33 1.55 1.46 1.33

1% крит. значения 1.84 1.69 1.49 1.84 1.69 1.49 1.84 1.69 1.49

Примечание: В таблице приведены значения условной F-статистики исключенных инструментов.

Также приведены критические значения для условной F-статистики.

Для каждого уравнения, модели (I) посчитаны для набора инструментов, фиксированных в месяц подачи заявки,

модели (II) для инструментов, фиксированных за месяц до месяца подачи заявки,

и модели (III) для инструментов, фиксированных за два месяца до месяца подачи заявки.

Для каждого уравнения модель (1) посчитана для значений 𝜌1 = 1, модель (2) для 𝜌1 = 2, модель (3) для 𝜌1 = 3.

92

Все наборы исключенных инструментов являются релевантными на

уровне 5%. При этом, набор агрегированных характеристик рынка,

фиксированный за месяц до месяца подачи заявки (модели (II) является

значимым на уровне 1%, т.е. лучше объясняет вариацию индивидуальных

параметров контракта. Далее для более эффективного оценивания будут

использоваться оценки остатков уравнений параметров контракта в

приведенной форме, полученные из моделей (II).

Далее оценим уравнения для параметров кредитного контракта в

структурной форме, используя в качестве функции коррекции ошибок для

конкретного уравнения параметра кредитного контракта полином степени 𝜌1

по �̂� и остаткам из уравнения выбора кредитного лимита и остальных

параметров кредитного контракта в приведенной форме. В качестве

регрессионной функции будем использовать частично полиномиальную

функцию, линейную по характеристикам заемщика и полиномиальную

степени 𝜌1 по условиям контракта.

Для сравнения нелинейных моделей и проверки устойчивости

результатов лучше всего подходит сравнение предельных эффектов. Так

предельный эффект изменения одной переменной 𝑥𝑗 от изменения другой 𝑥𝑗

для каждого наблюдения i был посчитан следующим образом.

Пусть 𝛽𝑗 = (𝛽1𝑗 , 𝛽2𝑗), 𝒳𝑖 = (𝑥−𝑗𝑖 , 𝑤𝑖 , 𝑤𝑗𝑖 , �̂�𝑖 , �̂�−𝑗𝑖(𝑥−𝑗𝑖 , 𝑤𝑖 , �̅�𝑖)),

𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳) = 𝑄𝜉1,𝜉2(𝑥−𝑗 , 𝑤, 𝑤𝑗 , �̂�, �̂�−𝑗) = (𝑄𝜉1(𝑥−𝑗 , 𝑤, 𝑤𝑗), 𝑄

𝜉2(�̂�, �̂�−𝑗)), оценка

𝛽𝑗 найдена как

�̂�𝑗 = [(𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳))

′𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳)]−1(𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳))′𝑥𝑗, 𝜎𝑥𝑠 является стандартным

отклонением 𝑥𝑠. Так как предельный эффект – это производная регрессионной

функции по одному из ее аргументов, то она может быть вычислена

приближенно как отношение разницы между значениями функции с

пертурбированными значениями одного из аргументов к величине

пертурбации. Пусть 𝑥−𝑗𝑖′ = (𝑥1𝑖 , … , 𝑥𝑗−1,𝑖 , 𝑥𝑗+1,𝑖 , … , 𝑥𝑠𝑖 + 0.001𝜎𝑥𝑠 , … , 𝑥𝑘𝑖) - это

вектор значений всех эндогенных переменных, кроме 𝑥𝑗, в котором s-ый

93

аргумент приращен на малую величину вверх, а в 𝑥−𝑗𝑖′′ =

(𝑥1𝑖 , … , 𝑥𝑗−1,𝑖 , 𝑥𝑗+1,𝑖 , … , 𝑥𝑠𝑖 − 0.001𝜎𝑥𝑠 , … , 𝑥𝑘𝑖) соответственно вниз. Обозначим

также пертурбированные вектора аргументов регрессионной функции как

𝒳𝑖′ = (𝑥−𝑗𝑖

′ , 𝑤𝑖 , 𝑤𝑗𝑖 , �̂�𝑖 , �̂�−𝑗𝑖(𝑥−𝑗𝑖′ , 𝑤𝑖 , �̅�𝑖)) и 𝒳𝑖

′′ =

(𝑥−𝑗𝑖′′ , 𝑤𝑖 , 𝑤𝑗𝑖 , �̂�𝑖 , �̂�−𝑗𝑖(𝑥−𝑗𝑖

′′ , 𝑤𝑖 , �̅�𝑖)).

Тогда для конкретного наблюдения i можно приближенно вычислить

предельный эффект изменения 𝑥𝑗 от 𝑥𝑠 как

𝐸 [𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑠

|𝑥−𝑗𝑖 , �̅�𝑖 , 𝑤𝑗𝑖 , 𝑑𝑖 = 1] ≈𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳𝑖

′)�̂�𝑗 − 𝑄𝜉1,𝜉2(𝒳𝑖

′′)�̂�𝑗0.002𝜎𝑥𝑠

Чтобы перейти к точечным оценкам моделей были посчитаны средние

по всем наблюдениям предельные эффекты для каждой эндогенной

переменной относительно изменения других эндогенных переменных, а также

значения предрасположенности по схожей процедуре. Так как вывести

теоретический вид оценки распределения среднего предельного эффекта

является затруднительной задачей, то стандартные ошибки и значимость были

получены с помощью бутстрапа.

В первую очередь оценки функции спроса были протестированы на

необходимость коррекции на выборочную селективность и одновременность.

В таблице 8 приведены результаты оценки уравнения для суммы займа при

аппроксимации полиномами различных степеней, от 1 до 3. Каждая была

оценена с коррекциями на выборочную селективность и одновременность и

без них. Следуя подходу, предложенному Хаусманом (Hausman test), для

тестирования статистической разницы оценок удалось показать, что оценки

без коррекций являются несостоятельными (𝑝1 для 𝐻0: разница в оценках

незначима). Необходимость коррекции также может быть протестирована с

помощью теста Дарбина-Ву (Darbin-Wu) на совместную значимость

параметров функции коррекции (𝑝2 для 𝐻0: все параметры функции коррекции

равны 0). Результаты данного тестирования также опубликованы в [Ожегов,

Порошина, 2013].

94

Таблица 8. Сравнение моделей с коррекцией и без коррекции.

(I) (II) (III)

(1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)

LTV 0.020*** 0.020*** 0.010*** 0.010*** 0.020*** 0.021*** 0.011*** 0.010*** 0.020*** 0.020*** 0.010*** 0.009***

(0.002) (0.002) (0.002) (0.001) (0.004) (0.003) (0.003) (0.003) (0.005) (0.04) (0.04) (0.04)

Лог. ставки -0.575*** -0.497*** -0.438*** -0.402*** -0.567*** -0.492*** -0.352*** -0.346*** -0.599*** -0.536*** -0.471*** -0.499***

(0.047) (0.059) (0.060) (0.040) (0.080) (0.070) (0.065) (0.063) (0.149) (0.072) (0.090) (0.099)

Лог. срока

погашения

0.479*** 0.369*** 0.285*** 0.286*** 0.471*** 0.357*** 0.271*** 0.274*** 0.487*** 0.357*** 0.263*** 0.268***

(0.058) (0.087) (0.061) (0.040) (0.090) (0.038) (0.044) (0.041) (0.147) (0.112) (0.062) (0.060)

Возраст 0.020*** 0.013*** 0.018* 0.018* 0.022*** 0.013*** 0.019* 0.0194* 0.020*** 0.013*** 0.020* 0.021*

(0.002) (0.003) (0.008) (0.008) (0.003) (0.003) (0.008) (0.008) (0.003) (0.003) (0.008) (0.008)

Возраст2 -0.000** -0.000 -0.000 -0.000 -0.000** -0.000 -0.000 -0.000 -0.000* -0.000 -0.000 -0.000

(0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000) (0.000)

Мужчины -0.036*** -0.028*** -0.024 -0.021 -0.036*** -0.028*** -0.024 -0.022 -0.035*** -0.028*** -0.025 -0.023

(0.003) (0.003) (0.017) (0.017) (0.003) (0.003) (0.017) (0.017) (0.003) (0.004) (0.017) (0.017)

Семейное положение (Женат/замужем – базовая категория):

Холост -0.052*** -0.054*** -0.036 -0.041 -0.057*** -0.056*** -0.043 -0.046* -0.052*** -0.053*** -0.038 -0.043

(0.004) (0.005) (0.023) (0.023) (0.005) (0.005) (0.023) (0.022) (0.004) (0.005) (0.023) (0.022)

Разведен -0.075*** -0.077*** -0.056* -0.061* -0.080*** -0.079*** -0.061* -0.065* -0.075*** -0.076*** -0.061* -0.066*

(0.005) (0.006) (0.027) (0.027) (0.006) (0.006) (0.027) (0.027) (0.005) (0.006) (0.028) (0.027)

Вдовец -0.072*** -0.096*** -0.063 -0.083 -0.087*** -0.099*** -0.088 -0.099 -0.071*** -0.097*** -0.074 -0.095

(0.016) (0.017) (0.082) (0.081) (0.016) (0.017) (0.083) (0.080) (0.016) (0.017) (0.083) (0.080)

Категория занятости (Наемный работник – базовая категория):

Инд. предпри-

ниматель

0.067*** 0.072*** 0.066 0.066 0.067*** 0.071*** 0.064 0.064 0.062*** 0.069*** 0.077 0.078

(0.017) (0.017) (0.085) (0.085) (0.017) (0.018) (0.084) (0.085) (0.016) (0.017) (0.084) (0.084)

Гос.

служащий

-0.142*** -0.091*** -0.123** -0.094* -0.130*** -0.089*** -0.109* -0.091* -0.125*** -0.089*** -0.109* -0.088*

(0.009) (0.008) (0.045) (0.040) (0.009) (0.008) (0.047) (0.039) (0.009) (0.008) (0.047) (0.039)

Уровень образования (Оконченное высшее – базовая категория):

Ниже

оконченного

высшего

-0.133*** -0.156*** -0.141*** -0.152*** -0.136*** -0.156*** -0.143*** -0.150*** -0.135*** -0.156*** -0.144*** -0.153***

(0.004) (0.003) (0.018) (0.016) (0.004) (0.003) (0.018) (0.016) (0.004) (0.003) (0.018) (0.016)

95

Таблица 8. Сравнение моделей с коррекцией и без коррекции (продолжение).

(I) (II) (III)

(1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)

Количество созаемщиков (Нет созаемщиков – базовая категория):

1 созаемщик 0.086*** 0.095*** 0.081*** 0.083*** 0.086*** 0.093*** 0.077*** 0.077*** 0.089*** 0.096*** 0.074** 0.075***

(0.004) (0.005) (0.023) (0.023) (0.005) (0.005) (0.023) (0.023) (0.005) (0.005) (0.023) (0.023)

2 созаемщика 0.123*** 0.144*** 0.131** 0.133** 0.115*** 0.138*** 0.120** 0.120** 0.125*** 0.144*** 0.118** 0.118**

(0.010) (0.010) (0.044) (0.044) (0.010) (0.010) (0.044) (0.044) (0.010) (0.010) (0.044) (0.044)

Указанный доход созаемщиков (Не указан – базовая категория):

От 0 до

9999 руб.

-0.216*** -0.167*** -0.129** -0.107** -0.233*** -0.168*** -0.125** -0.104* -0.242*** -0.165*** -0.119* -0.086*

(0.010) (0.010) (0.045) (0.041) (0.011) (0.010) (0.046) (0.041) (0.011) (0.010) (0.047) (0.041)

От 10000 до

19999 руб.

-0.015 0.015 0.023 0.034 -0.023** 0.014 0.028 0.037 -0.021** 0.016* 0.030 0.042

(0.008) (0.007) (0.038) (0.036) (0.008) (0.008) (0.037) (0.036) (0.008) (0.008) (0.037) (0.036)

Больше

20000 руб.

0.067*** 0.098*** 0.157*** 0.167*** 0.054*** 0.095*** 0.159*** 0.168*** 0.054*** 0.094*** 0.165*** 0.174***

(0.009) (0.009) (0.038) (0.038) (0.009) (0.009) (0.038) (0.037) (0.009) (0.009) (0.038) (0.037)

Указанный доход основного заемщика (Не указан – базовая категория):

От 0 до

9999 руб. -0.419*** -0.481*** -0.650*** -0.657*** -0.381*** -0.469*** -0.616*** -0.625*** -0.388*** -0.484*** -0.625*** -0.637***

(0.017) (0.018) (0.056) (0.056) (0.019) (0.018) (0.057) (0.056) (0.018) (0.0190) (0.058) (0.057)

От 10000 до

19999 руб. -0.413*** -0.354*** -0.458*** -0.416*** -0.398*** -0.351*** -0.432*** -0.404*** -0.392*** -0.357*** -0.432*** -0.402***

(0.009) (0.008) (0.044) (0.029) (0.009) (0.008) (0.044) (0.029) (0.009) (0.00775) (0.046) (0.029)

От 20000 до

39999 руб. -0.122*** -0.057*** -0.105** -0.068** -0.113*** -0.056*** -0.089* -0.065** -0.100*** -0.0580*** -0.089* -0.066**

(0.008) (0.005) (0.037) (0.024) (0.008) (0.005) (0.039) (0.024) (0.008) (0.00502) (0.040) (0.024)

Больше

40000 руб. 0.255*** 0.316*** 0.321*** 0.346*** 0.256*** 0.315*** 0.339*** 0.354*** 0.273*** 0.320*** 0.350*** 0.359***

(0.010) (0.008) (0.038) (0.032) (0.009) (0.008) (0.038) (0.032) (0.010) (0.008) (0.040) (0.032)

p1 - 0.000 0.000 0.000 - 0.000 0.000 0.000 - 0.000 0.000 0.000

p2 0.000 0.000 0.032 - 0.000 0.000 0.064 - 0.000 0.000 0.141 -

Примечание: В ячейках таблицы указаны средние предельные эффекты изменения логарифма суммы займа.

Бутстрап-стандартные ошибки для 100 репликаций, кластеризованных по месяцу подачи заявки указаны в скобках.

Значимость определена по бутстрап-распределению, * - 10%, ** - 5%, *** - 1%. 2041 наблюдение.

Модель (I) посчитана для 𝜌1 = 1, модель (II) для 𝜌1 = 2 и модель (III) для 𝜌1 = 3.

(1) – это модель с коррекцией на одновременность и выборочную селективность, (2) – модель с коррекцией только на выборочную селективность,

(3) – модель с коррекцией только на одновременность, (4) – модель без коррекций на выборочную селективность и одновременность.

𝑝1 - это p-value теста Хаусмана на разницу в средних предельных эффектах между моделью (1) и моделями (2-4).. 𝑝2 - это p-value F-теста значимости параметров функции коррекции.

96

Оба теста подтверждают результаты о том, что для получения

состоятельных оценок функции спроса необходимо корректировать

оценки на выборочную селективность и одновременность выбора

условий займа. В противном случае эффект выбора условий займа в

уравнении размера ссуды является недооцененным, что приводит к

неверным представлениям о спросе индивидов.

Кроме того, необходимость коррекции на одновременность

доказывает также то, что сумма займа (величина спроса на ипотеку)

действительно выбирается одновременно с другими характеристиками

кредита, LTV, ставкой и сроком погашения, что подтверждает гипотезу

о том, что ипотека – это товар с эндогенными характеристиками.

Тестирование необходимости коррекции на выборочную

селективность доказывает присутствие в задаче потребительского

выбора угловых решений. Данный вывод подтверждает необходимость

учета предпочтений индивидов, потребление которых не наблюдается,

поскольку при изменении ценовой стратегии продавца данные

индивиды могут переключится на положительное потребление.

Оценки уравнения выбора величины ссуды (объема потребления)

остаются устойчивыми при увеличении степеней аппроксимирующего

полинома, но теряют эффективность. Средние предельные эффекты не

являются контринтуитивными и согласуются с исследованиями

американского рынка. Так, спрос на размер ссуды растет с увеличением

LTV и срока погашения, а также падает с ростом ставки. Кроме того,

большие ссуды предпочитают женатые/замужние индивиды по

сравнению с холостыми, женщины, заемщики с меньшим возрастом и

более высоким уровнем образования. Предпочитаемый размер ссуды

также положительно зависит от всех мер дохода индивида: дохода

основного заемщика, доходов созаемщиков и числа созаемщиков.

97

Как было сказано ранее, не только выбор суммы займа зависит от

характеристик займа, но также и выбор характеристик может зависеть

от выбора суммы займа. Так в таблице 9 приведены оценки

структурных уравнений выбора всех характеристик ипотечного займа.

Так более высокий LTV выбирается при более низкий ставках и

длинных сроках погашений. Более высокая ставка назначается займам

с высоким LTV и более длинными сроками погашения, что согласуется

с дизайном ипотечных программ. Более длинные сроки погашения

выбираются заемщиками, предпочитающими большие суммы займа, а

также получающими большую ставку процента, что также

подтверждает результаты, полученные в [Attanasio, et. al. 2008],

говорящие о том, что срок погашения является довольно гибким

инструментом регулирования ежемесячного платежа заемщика при

невысоких доходах.

Кроме того, в работе [Attanasio et al. 2008] подчеркивается

разнородность заемщиков с точки зрения эластичности спроса на

кредит по ставке и сроку погашения. Так авторы доказали, что в случае

автокредита, заемщики с низкими доходами будут более эластичны по

сроку погашения и менее эластичны по ставке по сравнению с

заемщиками с более высокими доходами. Проверим также гипотезу о

разнородности заемщиков АИЖК.

98

Таблица 9. Оценка структурных уравнений выбора характеристик займа.

Ур. 1. Лог. суммы займа Ур. 2. LTV Ур. 3. Лог. ставки Ур.4. Лог. срока

(1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3)

Лог. суммы

займа -

0.128*** 0.125*** 0.127*** -0.080* -0.061 -0.029 0.328*** 0.307*** 0.318***

(0.011) (0.21) (0.27) (0.052) (0.051) (0.077) (0.030) (0.081) (0.116)

LTV 0.020*** 0.020*** 0.020***

- 0.019*** 0.020*** 0.019*** -0.000 -0.000 -0.000

(0.002) (0.004) (0.005) (0.002) (0.003) (0.008) (0.000) (0.001) (0.001)

Лог. ставки -0.575*** -0.567*** -0.599*** -0.148*** -0.143*** -0.135**

- 0.142*** 0.153*** 0.158**

(0.047) (0.080) (0.149) (0.048) (0.052) (0.060) (0.020) (0.063) (0.073)

Лог. срока 0.479*** 0.471*** 0.486*** -0.045* -0.037 -0.045 0.170*** 0.166*** 0.149***

-

(0.058) (0.090) (0.147) (0.031) (0.039) (0.090) (0.031) (0.032) (0.039)

k 28 49 94 28 49 94 28 49 94 28 49 94

Примечание: В ячейках таблицы приведены средние предельные эффекты изменения зависимой переменной столбца от эндогенной переменной в строчке.

Бутстрап-стандартные ошибки для 100 репликаций, кластеризованных по месяцу подачи заявки, указаны в скобках.

Значимость определена по бутстрап-распределению,

* - 10%, ** - 5%, *** - 1%.

k – количество оцененных параметров,

2041 наблюдение.

Для каждого уравнения модель (1) посчитана для 𝜌1 = 1, модель (2) для 𝜌1 = 2, модель (3) для 𝜌1 = 3.

99

Протестировать разнородность заемщиков можно, построив

предельный эффект логарифма спроса по логарифму ставки и

логарифму срока погашения (эластичность спроса по ставке и сроку) и

исследовав распределение данного эффекта по всей выборке

заемщиков. Ниже в таблице 10 приведены результаты оценивания

распределения предельного эффекта параметров кредитного контракта

на величину ссуды. Спецификация (1), в котором регрессионная

функция для функции спроса аппроксимирована полиномом первой

степени, не позволяет протестировать гипотезу о разнородности

заемщиков, т.к. предельные эффекты в такой модели являются

постоянными. В спецификациях (2-3) стандартное отклонение в

распределении предельного эффекта является значимым, что означает,

что предельный эффект всех характеристик кредита на спрос является

не постоянным по индивидам. При разработке новых ипотечных

программ следует учитывать разнородность предпочтений заемщиков.

При этом, если эластичность спроса по LTV различается по индивидам

несущественно (95%-ый доверительный интервал [0.019;0.021]),

разброс составляет около 5% от среднего, то вариация эластичности

индивидов по процентной ставке является более существенной, около

20% от среднего ([-0.821;-0.437]). Разброс эластичности

индивидуального спроса по сроку погашения составляет также около

10%.

100

Таблица 10. Статистики распределения эластичности спроса по характеристикам кредита.

LTV Лог. ставки Лог. срока погашения

(1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3)

Средний

предельный

эффект

0.020*** 0.020*** 0.020*** -0.575*** -0.567*** -0.599*** 0.479*** 0.471*** 0.486***

(0.002) (0.004) (0.005) (0.047) (0.080) (0.149) (0.058) (0.090) (0.147)

Ст. откл.

предельного

эффекта

- 0.0007*** 0.0013***

- 0.093* 0.109***

- 0.022*** 0.038***

(0.0003) (0.0003) (0.056) (0.031) (0.011) (0.012)

95% довер. инт.

предельного

эффекта

- [0.019; [0.018;

- [-0.821; [-0.724;

- [0.425; [0.435;

0.021] 0.020] -0.437] -0.490] 0.495] 0.513]

Примечание: В ячейках таблица приведены статистики распределения предельного эффекта характеристик кредита на величину логарифма суммы займа.

Бутстрап-стандарстные ошибки для 100 реплликаций, кластеризованные по месяцу подачи заявки, указаны в скобках.

95%-ый доверительный интервал получен по эмпирическому распределению предельного эффекта.

Значимость получена по бутстрап-распределению, * - 10%, ** - 5%, *** - 1%.

Для каждого уравнения модель (1) посчитана для 𝜌1 = 1, модель (2) для 𝜌1 = 2, модель (3) для 𝜌1 = 3.

101

Рисунок 1. Распределение эластичности спроса по ставке.

Анализ распределения эластичности спроса на кредит по ставке

процента позволяет установить, во-первых, что заемщики, не указавшие доход

имеют эластичность по ставке схожую с заемщиками с наименьшими

доходами. Среди данных групп, по сравнению с заемщиками из группы с

наиболее высокими доходами, более часто встречаются люди с низкой

эластичностью по ставке, что подтверждает результаты [Attanasio et al., 2008].

То есть ипотечные заемщики АИЖК с низкими доходами, а также заемщики,

не указывающие доход, более вероятно предпочитают займы с высокой

ставкой и длинными сроками погашения, нежели заемщики с высокими

доходами, т.к. такие займы имеют невысокий ежемесячный платеж. Заемщики

же с более высокими доходами более вероятно ориентируются на сумму

переплаты по кредиту, поэтому предпочитают займы с низкой ставкой и более

коротким сроком погашения.

102

Как было отмечено ранее, при заключении кредитного договора

заемщик, выбирая LTV>0.7, должен обязательно застраховать свою

ответственность. Так для исследования взаимосвязи между вероятностью

одобрения заемщика, вероятностью страхования его ответственности и

потенциальным кредитным риском заемщика была оценена альтернативная

спецификация модели:

Так, процесс кредитования представим следующей моделью:

𝑑𝑖 = {

0, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 ≤ 0

1, 𝑔0(𝑥𝑖 , 𝑧0𝑖) + 𝑒0𝑖 > 0

{𝑦1𝑖∗ = 𝑔1(𝑦−1𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧1𝑖) + 𝑒1𝑖…

𝑦𝑘𝑖∗ = 𝑔𝑘(𝑦−𝑘𝑖

∗ , 𝑥𝑖 , 𝑧𝑘𝑖) + 𝑒𝑘𝑖

𝑦𝑖 = {ненаблюдаемо, если 𝑑𝑖 = 0

𝑦𝑖∗, если 𝑑𝑖 = 1,

(33)

где 𝑑𝑖 – бинарная переменная, отвечающая за то, был заключен кредитный

контракт или нет, 𝑥𝑖 – демографические характеристики заемщика и

созаемщиков на дату подачи заявки, 𝑦𝑖 – параметры кредитного контракта, в

том числе величина кредитного лимита, (𝑧0𝑖 , 𝑧1𝑖 , … , 𝑧𝑘𝑖) – исключенные

инструменты для заключения контракта, параметров кредитного договора и

кредитного лимита соответственно. Так в качестве параметров контракта 𝑦𝑖

для данной спецификации будем использовать LTV, логарифмированную

величину ставки, логарифмированный срок кредита и вероятность наличия

страховки ответственности заемщика, а также кредитный лимит.

Модель (33) также была оценена по процедуре, предложенной в

параграфе 2.3. Уравнение участия (уравнение для 𝑑𝑖) было оценено по тем же

переменным, что и в модели (32), его оценки представлены в таблице 6.

В качестве исключенных инструментов для кредитного лимита было

использовано среднее соотношение платежа к доходу (DTI). Так можно

предполагать положительную связь между этими переменными, т.к. средний

103

DTI по выданным кредитам характеризует оценку кредитного риска общества

(чем больше DTI, тем меньше риск), в силу этого он должен быть

положительно связан с кредитным лимитом, характеризующим желание банка

выдать больший кредит конкретному заемщику. При этом, очевидно, что

индивидуальные шоки кредитного лимита не должны оказывать

существенного влияния на агрегированные характеристики рынка.

В качестве инструментов для параметров кредитного контракта, LTV,

ставки, срока кредитования и страховки, возьмем средний LTV, медианную

ставку, медианный срок кредита и показатель доступности жилья

соответственно. Так релевантность первых трех инструментов следует из того,

что рыночные условия кредитования оказывают влияние на ипотечные

программы, предлагаемые АИЖК. В то же время, условия ипотечной

программы являются экзогенными в процессе выбора конкретного заемщика.

Коэффициент доступности жилья также может служить инструментом для

вероятности наличия страховки, т.к. увеличение доступности жилья должно

приводить к выбору меньшего LTV, а, следовательно, меньшей вероятности

наличия страховки по конкретному кредиту. С другой стороны,

индивидуальные шоки предпочтения страховки не должны оказывать какого-

либо влияния как на доходы всего общества, так и на стоимость квадратного

метра жилья, из которых рассчитывается коэффициент доступности.

После этого была оценена модель выбора банком кредитного лимита

(его логарифма) для всех одобренных заемщиков (Таблица 11).

Так исключенный инструмент, средний DTI, оказался значимым на

уровне меньше 1%, что говорит о его релевантности. В качестве функции

коррекции ошибок был выбран полином степени от 1 до 3 по �̂�, а гипотеза о

его значимости была отвергнута (на уровне 29%), что говорит об отсутствии

смещения выборки для решения банка о величине кредитного лимита.

Оценки перед характеристиками заемщиков также не являются

контринтуитивными. Так максимальный лимит выставляется заемщикам со

средним возрастом (38 лет), более высоким образованием основного

104

заемщика, с большим количеством созаемщиков, их доходом, доходом

основного заемщика. Стоит отметить, что неуказанный доход основного

заемщика расценивается банком при выставлении кредитного лимита как

доход от 20 до 40 тысяч, что соответствует среднему доходу в регионе. На

величину лимита, при этом, не оказывает существенного влияния пол

заемщика, его семейный статус и категория занятости.

На следующем шаге для каждого параметра кредитного контракта было

оценено уравнение в приведенной форме. В качестве функции коррекции был

взят полином по �̂� и остаткам уравнения кредитного лимита степени 𝜌1. В

качестве регрессионной функции выбрана частично полиномиальная

регрессия, линейная по параметрам и полиномиальная по набору

инструментов степени 𝜌1.

Таблица 11. Оценки параметров уравнения логарифма кредитного лимита.

Переменная (1) (2) (3)

Возраст 0.016* 0.015 0.015

(0.010) (0.010) (0.010)

Возраст в квадрате -0.000* -0.000* -0.000*

(0.000) (0.000) (0.000)

Пол (Базовый уровень – женский) -0.012 -0.011 -0.012

(0.021) (0.021) (0.021)

Семейное положение (Базовый уровень – в браке):

Холост -0.037 -0.035 -0.034

(0.027) (0.027) (0.027)

Разведен -0.043 -0.040 -0.039

(0.033) (0.033) (0.033)

Вдовец/вдова -0.065 -0.062 -0.041

(0.099) (0.100) (0.101)

Категория занятости (Базовый уровень – наемный работник):

Индивидуальный предприниматель 0.066 0.067 0.065

(0.101) (0.101) (0.101)

Работник бюджетного учреждения -0.063 -0.058 -0.063

(0.053) (0.053) (0.054)

Уровень образования (Базовый уровень – законченное высшее):

Менее, чем законченное высшее -0.166*** -0.169*** -0.164***

(0.023) (0.023) (0.023)

Количество созаемщиков (Базовый уровень – нет созаемщиков)

1 созаемщик 0.087*** 0.087*** 0.085***

(0.027) (0.027) (0.027)

2 созаемщика 0.129** 0.134** 0.129**

(0.052) (0.052) (0.052)

Суммарный указанный доход созаемщиков (Базовый уровень – доход не указан):

От 0 до 9999 рублей -0.066 -0.068 -0.075

(0.058) (0.063) (0.063)

От 10000 до 19999 рублей 0.038 0.037 0.039

(0.047) (0.047) (0.048)

105

Больше 20000 рублей

0.200*** 0.203*** 0.207***

(0.046) (0.047) (0.047)

Указанный доход основного заемщика (Базовый уровень – доход не указан):

От 0 до 9999 рублей -0.908*** -0.916*** -0.910***

(0.065) (0.066) (0.066)

От 10000 до 19999 рублей

-0.486*** -0.491*** -0.481***

(0.060) (0.060) (0.064)

От 20000 до 39999 рублей

-0.081 -0.084 -0.073

(0.053) (0.053) (0.058)

Больше 40000 рублей

0.365*** 0.360*** 0.370***

(0.051) (0.052) (0.055)

Средний DTI 0.071*** -2.677** 7.878

(0.015) (1.231) (8.655)

Средний DTI в квадрате - 0.040** -2.190

(0.018) (2.319)

Средний DTI в кубе - - 0.021

(0.022)

Знач. предрасположености (�̂�) -0.201 -0.225 2.530

(0.180) (0.559) (2.661)

Знач. предрасположености (�̂�) в квадрате - 0.014 -3.988

(0.388) (3.883)

Знач. предрасположености (�̂�) в кубе - - 1.862

(1.803)

Константа 7.550*** 5.155*** -8.291

(0.510) (2.333) (9.977)

k 21 23 25

Скорректированный R2 0.312 0.314 0.314

Тест на релевантность исключенных

переменных F(1,1998)=23.5*** F(2,1998)=14.3*** F(3,1998)=9.5***

Примечание: В таблице приведены оценки параметров регрессий,

В скобках робастные стандартные ошибки,

Уровень значимости определен по t-статистике,

* - 10%, ** - 5%, *** - 1%.

k – количество оцененных параметров,

количество наблюдений – 2041.

Модель (1) была оценена для 𝜌1 = 1, модель (2) для 𝜌1 = 2, модель (3) для 𝜌1 = 3.

Релевантность исключенных инструментов для параметров кредитного

контракта, описанных выше, была проверена для трех наборов переменных.

Во-первых, в качестве инструментов были взяты агрегированные

характеристики рынка, зафиксированные в месяц подачи заявки на получение

ипотеки. Для второго и третьего набора были использованы агрегированные

характеристики рынка, фиксированные соответственно за месяц и за два

месяца до месяца подачи заявки. Доказательство релевантности, основанное

на условном F-тесте для исключенных инструментов приведено в Таблице 12.

106

Таблица 12. Результаты теста релевантности исключенных инструментов.

(I) (II) (III)

Уравнение (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3)

LTV 2.115 3.039 2.324 3.128 2.162 2.197 2.449 2.059 1.854

Лог. ставки 156.0 107.2 70.66 203.1 112.8 67.00 287.1 124.3 69.08

Лог. срока погашения 2.185 2.227 1.411 4.398 2.356 1.861 3.838 2.582 1.570

Вер-ть страховки 4.055 2.275 1.617 2.275 2.805 2.400 2.701 2.756 2.013

10% крит. значения 1.414 1.352 1.300 1.414 1.352 1.300 1.414 1.352 1.300

5% крит. значения 1.561 1.473 1.400 1.561 1.473 1.400 1.561 1.473 1.400

1% крит. значения 1.863 1.719 1.602 1.863 1.719 1.602 1.863 1.719 1.602

Примечание: В таблице приведены значения условной F-статистики исключенных инструментов.

Также приведены критические значения для условной F-статистики.

Для каждого уравнения, модели (I) посчитаны для набора инструментов, фиксированных в месяц подачи заявки,

модели (II) для инструментов, фиксированных за месяц до месяца подачи заявки,

и модели (III) для инструментов, фиксированных за два месяца до месяца подачи заявки.

Для каждого уравнения модель (1) посчитана для значений 𝜌1 = 1, модель (2) для 𝜌1 = 2, модель (3) для 𝜌1 = 3.

Все наборы исключенных инструментов являются релевантными на

уровне 5%. При этом, набор агрегированных характеристик рынка,

фиксированный за месяц до месяца подачи заявки (модели (II)) является

значимым на уровне 1%, т.е. лучше объясняет вариацию индивидуальных

параметров контракта. Далее для более эффективного оценивания будут

использоваться оценки остатков уравнений параметров контракта в

приведенной форме, полученные из моделей (II).

Далее оценим уравнения для параметров кредитного контракта в

структурной форме, используя в качестве функции коррекции ошибок для

конкретного уравнения параметра кредитного контракта полином степени 𝜌1

по �̂� и остаткам из уравнения выбора кредитного лимита и остальных

параметров кредитного контракта в приведенной форме. В качестве

регрессионной функции будем использовать частично полиномиальную

функцию, линейную по характеристикам заемщика и полиномиальную

степени 𝜌1 по условиям контракта и величине кредитного лимита.

Результаты оценки предельных эффектов представлены в Таблице 13.

Данные результаты также опубликованы в [Ozhegov, 2014].

107

Таблица 13. Результаты оценки системы уравнений параметров кредитного контракта.

Уравнение 1. LTV Уравнение 2. Логарифмированная

ставка

Уравнение 3. Логарифмированный срок

кредитования

Уравнение 4. Вероятность наличия

страховки

(1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)

LTV - - - - 0.211*** 0.215*** 0.213*** 0.101 0.409*** 0.314** 0.311 -0.013 0.941*** 0.931*** 1.125*** 1.142***

(0.017) (0.039) (0.072) (0.067) (0.069) (0.152) (0.287) (0.089) (0.047) (0.036) (0.041) (0.043)

Лог. ставка -0.041* -0.053** -0.158*** -0.029 - - - - 0.117* 0.224** 0.228* 0.030 0.759*** 0.192*** 0.163*** 0.180**

(0.032) (0.033) (0.053) (0.045) (0.080) (0.113) (0.156) (0.199) (0.053) (0.028) (0.013) (0.102)

Лог. срок

кредита

0.052*** 0.039*** 0.034*** 0.021*** 0.001 0.010* 0.006 0.112*** - - - - -0.036*** -0.006* -0.013*** 0.120***

(0.009) (0.009) (0.007) (0.004) (0.006) (0.006) (0.006) (0.022) (0.013) (0.005) (0.002) (0.021)

Страховка 0.339*** 0.381*** 0.342*** 0.228*** 0.154*** 0.277*** 0.136** -0.032 -0.096*** 0.333 0.071 -0.111 - - - -

(0.010) (0.014) (0.157) (0.069) (0.008) (0.082) (0.096) (0.154) (0.038) (0.580) (0.471) (0.332)

Лог.

кредитного

лимита

0.118** -0.017 -0.083 0.122*** -0.022 -0.118** -0.158** -0.025*** -0.283** -0.196* -0.312* 0.181*** 0.081 0.171** 0.227*** 0.001

(0.056) (0.072) (0.084) (0.006) (0.047) (0.065) (0.073) (0.007) (0.159) (0.124) (0.190) (0.031) (0.112) (0.058) (0.018) (0.006)

Знач. пред-

ти (�̂�)

-0.123*** -0.184*** -0.214*** - 0.595*** 0.587*** 0.541*** - 0.154*** 0.131** 0.112* - 0.121* 0.222** 0.180* -

(0.012) (0.066) (0.086) (0.006) (0.033) (0.055) (0.114) (0.007) (0.032) (0.562) (0.981) (0.020) (0.102) (0.093) (0.113) (0.008)

k 24 60 132 49 24 60 132 49 24 60 132 49 24 60 132 49

Примечание: в ячейках таблицы представлены средние предельные эффекты изменения зависимых переменной,

в скобках бутстрап стандартные ошибки для 100 репликаций, кластеризованных по месяцу подачи заявки.

Уровень значимости определен по бутстрап-распределению,

* - 10%, ** - 5%, *** - 1%.

k – количество оцениваемых параметров модели,

Модель оценена по 3366 наблюдениям, эффективное количество наблюдений для приведенных уравнений - 2041.

Для каждого уравнения, модель (1) рассчитана для 𝜉1 = 1, 𝜉2 = 1, модель (2) для 𝜉1 = 2, 𝜉2 = 2, модель (3) для 𝜉1 = 3, 𝜉2 = 3, модель (4) для 𝜉1 = 3, 𝜉2 = 0.

108

Так при увеличении степени аппроксимирующего полинома,

знаки и значимость большей части предельных эффектов остаются

неизменными, что говорит об устойчивости результатов. При этом без

коррекции уравнений (𝜌1 = 0) на выборочную селективность,

эндогенность и одновременность, оценки предельных эффектов

показывают существенное различие (сравнение моделей (3) и (4) для

каждого уравнения), что говорит о несостоятельности оценок без

коррекции и необходимости использования предложенной в главе 2

процедуры оценивания. Постановка же более жестких предпосылок

приводит к несостоятельности оценок и ложной интерпретации

зависимостей в функции спроса.

Результаты оценивания выбора LTV в данной сспецификации не

являются контринтуитивными, согласуются как оценками модели (32),

так и с предыдущими исследованиями. Так LTV будет тем выше, чем

ниже ставка и выше срок погашения, что характеризует более низкую

цену товара (ежемесячный платеж) для потребителя. LTV также будет

тем выше, чем выше вероятность страховки и кредитный лимит.

Процентная ставка будет выше, если LTV будет выше, что

согласуется с дизайном ипотечных программ. Однако ожидалось

увидеть положительную зависимость ставки от срока погашения

кредита, что также согласуется с дизайном программ, но данная

зависимость отвергается оценками модели. Также дизайн программ не

предполагает положительной зависимости между вероятностью

наличия страховки и процентной ставкой.

Выбор более долгого срока погашения кредита связан с более

высокими LTV, ставкой и меньшим кредитным лимитом, что

согласуется с известными результатами. Так обычно ограниченные в

средствах заемщики используют более длинные сроки погашения для

109

достижения желаемого уровня ежемесячного платежа в случае, если

растут LTV и ставка процента по кредиту.

Изученная литература по оценке кредитного риска сходится во

мнении, что ипотечный кредитный риск по займам с высоким LTV (т.к.

у заемщика меньше потери при дефолте, и он более охотно его

допускает), высокой ставкой процента и коротким сроком погашения

(что предполагает более высокие ежемесячные платежи при прочих

равных, а значит и большую вероятность неплатежа). В соответствие с

полученными результатами данные факторы приводят к более высокой

вероятности наличия страховки, что является доказательством того,

что страховку ответственности более вероятно выбирают заемщики,

которым свойственен высокий кредитный риск. Данный результат

также согласуется с тем, что заемщики с застрахованной

ответственностью демонстрируют более высокие доли дефолтов.

Предельные эффекты от изменения значения

предрасположенности показывают ковариацию между ошибками

уравнения участия (вероятности заключения контракта) и ошибками в

соответствующих уравнениях выбора параметров кредита. Так как

условия кредита являются ненаблюдаемыми в данных на этапе

одобрения заемщиков, полученные оценки предельных эффектов

интерпретируются как зависимость между вероятностью одобрения

заемщика и условиями кредита, которые банк ожидает по конкретному

заемщику на этапе его андеррайтинга. Так конкретная заявка более

вероятно будет одобрена, если банк ожидает более низкий LTV и

длинный срок погашения, что обычно говорит о потенциально хорошей

дисциплине обслуживания долга. Также вероятность быть одобренным

тем выше, чем выше ставка, т.к. более высокая ставка по конкретному

договору приносит большую прибыль банку, при этом более высокая

110

ставка скорее всего будет компенсирована с точки зрения риска

заемщика более длинным сроком погашения.

Большая вероятность одобрения также тем выше, чем выше

ожидаемая вероятность наличия страховки, несмотря на тот факт, что

застрахованные кредиты демонстрируют более высокие нормы

дефолтов. Однако очевидно, что застрахованный кредит, несмотря на

высокие доли дефолтов, приносит банку меньший кредитный риск, так

как потери банка в случае дефолта с застрахованной ответственностью

меньше. Большая же часть потерь в случае дефолта будет

ассоциирована со страховой компанией.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что страховка

ответственности выбирается заемщиками с более высоким кредитным

риском. Заемщик платит за то, чтобы более вероятно быть одобренным

и вообще участвовать в потреблении. Банк, возможно, негласно,

договаривается с рисковым заемщиком о страховке с целью снижения

потерь банка в случае дефолта по ссуде в обмен на одобрение.

Основная часть кредитного риска по группе заемщиков, выбирающих

страхование ответственности ложится на «СК АИЖК». Данная

компания является государственной и, по всей видимости, готова

предлагать неравновесные условия страхования и принимать на себя

риск больше рыночного по специальным высоко рисковым категориям

заемщиков, которым крайне затруднительно, либо вовсе невозможно

получить ипотеку в коммерческих банках.

111

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное диссертационное исследование призвано заполнить

пробел в методах идентификации функции спроса на

дифференцированные товары. Известно, что теоретическая модель

функции спроса, даже обладая очень простыми предпосылками о виде

функции полезности индивида, должна обладать такими свойствами,

как наличие угловых решений и нелинейная функциональная форма.

Кроме того, неизвестный вид теоретической функции полезности

индивида не позволяет также накладывать каких-либо ограничений на

функциональную форму функции спроса, порождаемую данной

функцией полезности.

Существующие эконометрические модели функции спроса на

дифференцированный товар позволяют моделировать потребление при

наличии угловых решений, например, модель Хекмана и ее

расширения, однако не позволяют идентифицировать потенциальные

структурные взаимосвязи между объемом потребления для

конкретного индивида, а также характеристиками товара, которые он

выбирает. Эконометрические модели спроса на дифференцированный

товар, основанные на модели дискретного выбора, например, логит-

модель МакФаддена, а также ее смешанные и непараметрические

расширения, позволяют учесть структурные взаимосвязи между

вероятностью выбора товара и его эндогенными характеристиками,

например, ценой. Непараметрические модели также довольно гибки с

точки зрения возможностей идентификации функциональной формы

функции спроса. Тем не менее они обладают существенным

недостатком, связанным с тем, что в них для идентификации модели

присутствует гипотеза о потреблении одной единицы товара

112

индивидом в течение одного момента, что не позволяет учитывать

разную интенсивность потребления для разных индивидов.

Тем временем некоторые рынки предъявляют требования к

исследованию спроса на товары, для которых существующие

эконометрические модели обладают слишком жесткими

предпосылками. В данном диссертационном исследовании приведен

обзор работ по исследованию индивидуального спроса на кредитные

продукты, из которого становится очевидным, что при восстановлении

функции спроса по банковскими данными по кредитам, в спросе будут:

а) присутствуют угловые решения (некоторые индивиды выбирают не

брать кредит или отсекаются банком как некредитоспособные,

демонстрируя нулевое потребление товара), б) есть нелинейные

взаимосвязи между величиной спроса и другими характеристиками

кредита, в) присутствует эндогенность пространства характеристик

(объем потребления оказывает влияние на выбор характеристик товара

и наоборот).

Таким образом, данное исследование в первую очередь

посвящено разработке эконометрической модели функции спроса на

дифференцированный товар с вышеперечисленными свойствами, а

также разработке процедуры идентификации данной модели без

постановки каких-либо ограничений на вид функциональной формы

исследуемых взаимосвязей и совместного распределения

ненаблюдаемых компонент спроса. Так, в параграфе 2.1. предложена

модель функции спроса на дифференцированный товар с эндогенными

характеристиками, являющаяся непараметрической системой

одновременных уравнений с выборочной селективностью. Процедура

идентификации такой модели, описанная в параграфе 2.2, сводится к

последовательной идентификации уравнения участия, уравнений

системы в приведенной форме, ошибки которых скорректированы на

113

выборочную селективность, и уравнений системы в структурной

форме, ошибки которых скорректированы на выборочную

селективность и одновременность уравнений. Каждый шаг оценивания

предполагает аппроксимацию неизвестных регрессионных функций и

функций коррекции ошибок полиномиальными сериями от известного

набора регрессоров.

Необходимым условием идентификации модели при

использовании данной процедуры является наличие хотя бы одной

значимой переменной в уравнении участия, исключенной из системы

одновременных уравнений, а также хотя бы одной значимой

исключенной переменной в каждом уравнении системы. Параграф 2.4

предлагает читателю тест на выполнение данного условия,

являющийся расширением известного для линейных моделей

условного F-теста на случай нелинейных систем одновременных

уравнений с выборочной селективностью.

Для состоятельной оценки модели требуется также, чтобы все

исключенные переменные не зависели от совместного распределения

ошибок. Полученные оценки регрессионных функций являются

асимптотически нормальными при выполнении условий

состоятельности и расчете их стандартных ошибок с помощью

бутстраповской процедуры.

Необходимость применения разработанной модели спроса

продемонстрирована в эмпирической части работы, главе 3. Так

удалось получить состоятельные оценки функций агрегированного и

индивидуального спроса на ипотечные кредиты при наличии

агрегированных и индивидуальных данных о выданных ипотеках.

В первом примере была изучена функция агрегированного

спроса на ипотечные кредиты на региональном уровне. В качестве

переменной объема спроса было использовано количество заявок на

114

получение ипотеки в течение месяца. Данные имели месячную

динамику, охваченный период составил с августа 2008 по август 2012

года. В качестве объясняющих спрос переменных использовались

средние характеристики выдаваемых в данном месяце ипотек, а также

характеристики рынка жилья. В качестве исключенных переменных

для объяснения вариации эндогенных переменных использовались их

лаги, что является традиционным при анализе данных с временной

вариацией. Предложенная процедура оценивания при этом является

более эффективной по сравнению с моделью векторной авторегрессии,

которая обычно используется при моделировании временных рядов с

множеством эндогенным переменных.

С помощью оценок построенного уравнения удалось выяснить,

что количество заявок на получение ипотеки в конкретном банке,

являющееся мерой агрегированного спроса, положительно зависит от

равновесного уровня терпимости банков к риску (высокие LTV и DTI

по выданным ипотечным ссудам банками региона) и отрицательно

зависит от сложившихся на рынке процентных ставок. При этом были

получены количественные оценки данных зависимостей.

Во втором примере был изучен индивидуальный спрос

домохозяйств на ипотечные кредиты банка, являющегося

региональным представителем Агентства ипотечного жилищного

кредитования (АИЖК). Для оценки спроса были использованы данные

по всем заявкам на получение ипотеки в банк за период его работы с

августа 2008 по сентябрь 2012 года. Данные после обработки содержат

3366 заявок, из которых 2041 домохозяйство заключило ипотечный

контракт.

Для идентификации модели в качестве исключенных

переменных для объяснения вероятности заключения контракта

(уравнение участия) и выбора величины ссуды (объема потребления) и

115

условий кредита (характеристик товара) были использованы

агрегированные характеристики ипотечного рынка и рынка жилья в

регионе на момент подачи заявки в банк, а также за месяц и два месяца

до месяца подачи заявки. Использование агрегированных переменных

для объяснения вариации на индивидуальном уровне также является

известной стратегией подбора инструментов при наличии

микроданных. На данном примере удалось показать, что использование

более жестких предпосылок при моделировании спроса, таких как

несмещенность выборки тех, кто выбрал ненулевое потребление

товара, а также экзогенность характеристик товара, может приводить к

несостоятельным оценкам функции спроса. Таким образом, было

доказано, что рынок ипотечных кредитов действительно является

рынком дифференцированного товара с эндогенными

характеристиками.

Используя оценки модели индивидуального спроса, удалось

показать структуру решений заемщика относительно выбора объема

потребления кредита, условий кредита, а также решений банка в

отношении заемщика и ожидаемых условий его кредитного договора.

Так заемщики склонны брать в долг большую сумму, если ставка по

договору является меньше, а срок погашения выше. Заемщики

используют срок погашения как основной инструмент выбора

необходимого уровня ежемесячного платежа. Страхование

ответственности заемщики выбирают более рисковые заемщики, что

является их платой за возможность получить кредит, т.к. ожидаемо

застрахованные ссуды более вероятно одобряются банком. Займ будет

более вероятно одобрен банком не только при наличии страховки, но

также если сумма займа по отношению к стоимости залога не велика,

срок погашения кредита выше.

116

Заемщики также являются разнородными по своим

предпочтениям. Исследование распределения эластичности спроса по

характеристикам кредита показало статистически значимую вариацию

эластичности спроса индивидов по ставке и сроку погашения. Данная

вариация объясняется тем, что заемщики с более высоким уровнем

дохода являются более эластичными по ставке по сравнению с

группами заемщиков с наиболее низкими доходами и заемщиков, не

указавших доход.

117

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Ильинский Д.Г., Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2014).

Разработка и исследование ссудно-сберегательных программ

ипотечного кредитования: динамическая модель // Экономика и

математические методы, 2014. – Vol. 50, No. 2. – p. 35-57.

2. Ожегов Е.М. (2015). Идентификация в классе непараметрических

моделей систем одновременных уравнений с выборочной

селективностью// Квантиль, 2015. – No. 13. - p. 15-23.

3. Ожегов Е. М., Порошина А. М. (2014). Оценка кредитного риска

при ипотечном жилищном кредитовании // Прикладная эконометрика,

2014. – Vol. 35. No. 3. – p. 3-17.

4. Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2006). Проблема

трансплантации ипотечных институтов в переходных экономиках:

роль стройсберкасс // Препринт №WP/2006/2010, М.: ЦЭМИ РАН,

2006.

5. Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2007). Стратегия формирования

ипотечного рынка в России // Экономика и математические методы,

2007. – Vol. 43, No. 4. – p. 3-22.

6. Andrews, D., Schafgans, M. (1998). Semiparametric Estimation of the

Intercept of a Sample Selection Model // The Review of Economic Studies,

1998. - Vol. 65. No. 3. – p. 497-517.

7. Angrist, J., Pischke, J. (2009). Mostly Harmless Econometrics: An

Empiricist’s Companion// Princeton University Press, 2009, Princeton.

8. Ambrose, B., LaCour-Little M., Sanders, A. (2004). The Effect of

Conforming Loan Status on Mortgage Yield Spreads: A Loan Level

Analysis // Real Estate Economics, 2004. – Vol. 32. No. 4. – p. 541–569.

9. Attanasio, O., Goldberg, P., Kyriazidou, E. (2008). Credit Constraints

in the Market for Consumer Durables: Evidence from Micro Data on Car

Loans// International Economic Review, 2008. – Vol. 49. No. 2. – p. 401-36.

118

10. Bajari, P., Chu, C., Park, M. (2008). An Empirical Model of Subprime

Mortgage Default from 2000 to 2007 // NBER WP series - No. 14625.

11. Baltas, G. (2004). A model for multiple brand choice // European

Journal of Operational Research, 2004. –Vol. 154. No. 1. – p. 144-149.

12. Ben-Akiva, M., Lerman, S. (1985). Discrete choice analysis: theory

and application to travel demand // MIT press, 1985. – Vol. 9.

13. Berry, S., Gandhi, A., Haile, P. (2013). Connected substitutes and

invertibility of demand // Econometrica, 2013. – Vol. 81. No. 5. – p. 2087-

2111.

14. Berry, S., Haile, P. (2009). Nonparametric identification of

multinomial choice demand models with heterogeneous consumers//

National Bureau of Economic Research, 2009. – No. 15276.

15. Berry, S., Haile, P. (2011). Identification in a class of nonparametric

simultaneous equations models // Cowles Foundation Discussion Paper –

No. 1787.

16. Bhat, C. (2005). A multiple discrete–continuous extreme value model:

formulation and application to discretionary time-use decisions //

Transportation Research Part B: Methodological, 2005. – Vol. 39. No. 8. –

p. 679-707.

17. Blundell, R., Matzkin, R. (2010). Conditions for the existence of

control functions in nonadditive simultaneous equation models // Mimeo,

UCL and UCLA.

18. Brown, B. (1983). The identification problem in systems nonlinear in

the variables // Econometrica, 1983. – p. 175-196.

19. Canay, I., Santos, A., Shaikh, A. (2013). On the testability of

identification in some nonparametric models with endogeneity//

Econometrica, 2013. – Vol. 81. No.. 6. - p. 2535-2559.

119

20. Choi, K., Moon, C. (1997). Generalized extreme value model and

additively separable generator function // Journal of Econometrics, 1997. –

Vol. 76. No. 1. – p. 129-140.

21. Clayton, J., Miller, N., Peng, L. (2010). Price-Volume Correlation in

Housing Market: Causality and Co-movement // Journal of Real Estate

Finance and Economics, 2010. - Vol. 40. – p. 14–40.

22. Cragg, J., Donald, S. (1993). Testing Identifiability and Specification

in Instrumental Variable Models // Econometric Theory, 1993. – Vol. 9. No.

2. – p. 222-240.

23. Das, M., Newey, W., Vella, F. (2003). Nonparametric Estimation of

Sample Selection Models // The Review of Economic Studies, 2003. – Vol.

70. No. 1. – p. 33–58.

24. Follain, J. (1990). Mortgage Choice // Real Estate Economics, 1990.

– Vol. 18. No. 2. – p. 125–144.

25. Goetzmann, W., Peng, L., Yen, J. (2012). The Subprime Crisis and

House Price Appreciation // Journal of Real Estate Finance and Economics,

2012. – Vol. 44. – p. 36–66.

26. Gronau, R. (1973). Wage Comparisons: a Selectivity Bias // NBER

Working Paper Series. – No. 13.

27. Harris, M., Ramful, P., Zhao, X. (2006). An ordered generalised

extreme value model with application to alcohol consumption in Australia //

Journal of health economics, 2006. – Vol. 25. No. 4. – p. 782-801.

28. Heckman, J. (1974). Shadow Prices, Market Wages, and Labor Supply

// Econometrica, 1974. – p. 679-694.

29. Heckman, J. (1976). The Common Structure of Statistical Models of

Truncation, Sample Selection, and Limited Dependent Variables and a

Sample Estimator for Such Models // Annals of Economic and Social

Measurement, 1976. – Vol. 5 No. 4. – p. 475–492.

120

30. Heckman, J. (1979). Sample Selection Bias as a Specification Error //

Econometrica, 1979. Vol. 47. No. 1. – p. 153–161.

31. Heckman, J. (1990). Varieties of Selection Bias // The American

Economic Review, 1990. – p. 313-318.

32. Heckman, J., Robb, R. (1985). Alternative Methods for Evaluating the

Impact of Interventions: An Overview // Journal of Econometrics, 1985. –

Vol. 30. No. 1. – p. 239-267.

33. Hensher, D., Greene, W. (2002). Specification and estimation of the

nested logit model: alternative normalisations // Transportation Research

Part B: Methodological, 2002. – Vol. 36. No. 1. – p. 1-17.

34. Imbens, G., Newey, W. (2009). Identification and estimation of

triangular simultaneous equations models without additivity// Econometrica,

2009. – Vol. 77. No. 5. – p. 1481-1512.

35. Kleibergen, F. Paap, R. (2006). Generalized reduced rank tests using

the singular value decomposition// Journal of Econometrics, 2006. – Vol.

133. – p. 97-126.

36. LaCour-Little, M. (2007). The Home Purchase Mortgage Preferences

of Low- and Moderate Income Households// Real Estate Economics, 2007.

– Vol. 35. – p. 265-290.

37. Magri, S. (2002), Italian households' debt: determinants of demand

and supply // Banca d'Italia, 2002. - Vol. 454.

38. Magri, S. (2007). Italian households’ debt: the participation to the debt

market and the size of the loan // Empirical Economics, 2007. – Vol. 33. No.

3. – p. 401–426.

39. Matzkin, R. (2008). Identification in nonparametric simultaneous

equations models // Econometrica, 2008. – Vol. 76. No. 5. – p. 945-978.

40. Matzkin, R. (2010). Estimation of nonparametric models with

simultaneity // Mimeo, UCLA, Department of Economics.

121

41. Matzkin, R. (2012). Identification in nonparametric limited dependent

variable models with simultaneity and unobserved heterogeneity// Journal of

Econometrics, 2012. – Vol. 166. No. 1. – p. 106-115.

42. McFadden, D. (1973). Conditional logit analysis of qualitative choice

behavior // Frontiers in Econometrics, 1973. – p. 105-142.

43. Munnell, A., Tootell, G., Browne, L., McEneaney, J. (1996).

Mortgage Lending in Boston: Interpreting HMDA Data // American

Economic Review, 1996. – Vol. 86. – p. 25–53.

44. Nevo, A. (2000). Mergers with differentiated products: The case of the

ready-to-eat cereal industry // The RAND Journal of Economics, 2000. – p.

395-421.

45. Nevo, A. (2001). Measuring market power in the ready-to-eat cereal

industry // Econometrica, 2001. – Vol. 69 No. 2, p. 307-342.

46. Nevo, A. (2002). Sample selection and information-theoretic

alternatives to GMM // Journal of Econometrics, 2002. – Vol. 107. No. 1. –

p. 149-157.

47. Newey, W. (1997). Convergence Rates and Asymptotic Normality for

Series Estimators // Journal of Econometrics, 1997. – Vol. 79. No. 1. – p.

147-168.

48. Newey, W. (1999). Two-step Series Estimation of Sample Selection

Models // Working paper, MIT, Department of Economics.

49. Newey, W. (2013). Nonparametric Instrumental Variables Estimation

// The American Economic Review, 2013. – Vol. 103. No. 3. - p. 550-556.

50. Newey, W., Powell, J. (1989). Nonparametric Instrumental Variables

Estimation // Working paper, MIT, Department of Economics.

51. Newey, W., Powell, J., Vella, F. (1999). Nonparametric Estimation of

Triangular Simultaneous Equations Models // Econometrica, 1999. – Vol.

67. No. 3. – p. 565-603.

122

52. Ozhegov, E.M. (2013). Recovery of the Consumer Multiattributive

Utility Maximization Problem // Revista Investigacion Operacional, 2013. –

Vol. 34. No. 3. – p. 259-265.

53. Ozhegov, E.M. (2014). Underwriting, Choice and Performance of

Government-Insured Mortgages in Russia // Working papers by NRU HSE.

Series FE "Financial Economics". 2014. No. WP BRP 31/FE/2014.

54. Ozhegov, E.M. (2015). Modelling Demand for Mortgage Loans Using

Loan-Level Data // In: S.V. Ivliev, A.K. Bera, F.Lillo (ed.). Financial

Econometrics and Empirical Market Microstructure, Springer. - p. 241-248.

55. Ozhegov, E. M., Poroshina, A.M. (2013a). Bank risk preferences on

the government-insured mortgage market // In: 11th EBES Conference

Proceedings. Istanbul. EBES, 2013 – No. 8. - p. 71-90.

56. Ozhegov, E. M., Poroshina, A. M. (2013b). The Lagged Structure of

Dynamic Demand Function for Mortgage Loans in Russia // EJournal of

Corporate Finance, 2013. – Vol. 27. – p. 37-49.

57. Phillips, R., Yezer, A. (1996). Self-Selection and Tests for Bias and

Risk in Mortgage Lending: Can You Price the Mortgage If You Don't Know

the Process? // Journal of Real Estate Research, 1996. – Vol. 11. – p. 87-102.

58. Rachlis, M., Yezer A. (1993). Serious Flaws in Statistical Tests for

Discrimination in Mortgage Markets // Journal of Housing Research, 1993.

– Vol. 4. – p. 315–336.

59. Robin, J. M., Smith, R. (2000). Tests of rank // Econometric Theory,

2000, Vol. 16. No. 2. – p. 151-175.

60. Roehrig, C. (1988). Conditions for identification in nonparametric and

parametric models // Econometrica, 1988. – p. 433-447.

61. Ross, S.L. (2000). Mortgage Lending, Sample Selection and Default

// Real Estate Economics, 2000. – Vol. 8. – p. 581–621.

123

62. Sanderson, E., Windmeijer, F. (2014). A Weak Instruments F-test in

linear IV models with multiple endogenous variables. Discussion paper

14/644, University of Bristol, Department of Economics.

63. Stock J. H., Yogo M. (2005). Testing for weak instruments in linear

IV regression // Identification and inference for econometric models: Essays

in honor of Thomas Rothenberg, 2005 Vol. 1.

64. Tobin, J. (1958). Estimation of relationships for limited dependent

variables // Econometrica, 1958. – p. 24-36.

65. Vella, F. (1993). A Simple Estimator for Simultaneous Models with

Censored Endogenous Regressors // International Economic Review, 1993.

– p. 441-457.

66. Vella, F. (1998). Estimating Models with Sample Selection Bias: A

Survey // Journal of Human Resources, 1988. – Vol. 33. No. 1. - p. 127-169.

67. Wen, C., Koppelman, F. (2001). The generalized nested logit model //

Transportation Research Part B: Methodological, 2001. – Vol. 35. No. 7. –

p. 627-641.

68. Xu, Y., Zhang, J. (2012). Nonlocal Mortgage Lending and the

Secondary Market Involvement // Journal of Real Estate Literature, 2012. -

Vol. 20. No. 2. – p. 307–322.

69. Yezer, A., Philips, R., Trost R. (1994). Bias in Estimates of

Discrimination and Default in Mortgage Lending: the Effects of

Simultaneity and Self-Selection // Journal of Real Estate Finance and

Economics, 1994. – Vol. 9. – p. 197–215.