Н.М. Менькова

СОПРОМАТ-МИНИМУМ

К ЭКЗАМЕНУ

Москва 2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

МГРИ-РГГРУ

КАФЕДРА МЕХАНИКИ И ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Н.М. МЕНЬКОВА

СОПРОМАТ-МИНИМУМ

К ЭКЗАМЕНУ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено УМО по образованию в области прикладной геологии

в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся

по специализации 130102.3 «Технология и техника разведки

месторождений полезных ископаемых» специальности 130102

«Технология геологической разведки»

Москва 2013

ББК 22.21

УДК 531.3

М51

Рецензенты:

Повалихин А.С., директор департамента ООО «Интеллект

Дриллинг Сервисиз», доктор технических наук,

Тунгусов А.А., доцент кафедры современных технологий

бурения скважин, кандидат технических наук.

М51 Менькова Н.М. Сопромат-минимум к экзамену. Учебное

пособие. – М.: МГРИ-РГГРУ. 2013 г. – 56 с . Ил.26. Табл. 1.

Библ. 5 назв.

Краткое пособие для подготовки к экзамену по

сопротивлению материалов. Рассмотрены основные

вопросы расчета механических конструкций на прочность и

жесткость. Приведены примеры решения домашних заданий

и экзаменационных задач.

Автор выражает благодарность кандидату технических наук

А.В. Казанкову за помощь при работе над пособием.

ББК 22.21

УДК 531.3

© Менькова Н.М., 2013

3

Введение. Основные понятия и методы сопротивления материалов

С древнейших времен люди возводили храмы, жилища, различные

хозяйственные сооружения, создавали более или менее сложные машины,

облегчающие их труд. До наших дней дошли грандиозные сооружения, по праву

считающиеся чудесами архитектуры и строительной техники. Однако строителям

времен античности и средневековья, практически, не были известны основные

закономерности науки о прочности и жесткости материалов. Капитальные

сооружения возводились с большими, часто непроизводительными затратами в

течение долгих лет. Только по мере накопления и осмысления опыта многих

поколений инженеров и архитекторов возникла наука о сопротивлении

материалов, у истоков которой стояли Галилео Галилей, Роберт Гук, Томас Юнг и

другие известные ученые XVII-XIX вв.

Рассмотрим основные понятия науки о сопротивлении материалов. Прежде всего

отметим, что основные положения статики абсолютно твёрдого тела могут быть

распространены и на механические системы, изменяющиеся в процессе

нагружения. Однако при этом необходимо ввести в качестве аксиомы принцип

отвердевания: равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося

под действием данной системы сил, не нарушится, если считать в данный момент

времени это тело отвердевшим. Но для расчета деформируемых тел общие законы

статики хотя и являются необходимыми, не могут считаться достаточными,

поэтому наука о сопротивлении материалов включает в себя целый ряд

дополнительных методов, категорий и законов.

Основное понятие механики изменяемых систем – это деформация:

изменение первоначальных размеров и формы тела под действием приложенных к

нему внешних сил. Однако конструкционные материалы обладают способностью

противодействовать возникающим при деформациях изменениям относительного

расположения составляющих данное тело частиц (например, молекул или

конгломератов последних). Поэтому процесс деформации той или иной

изменяемой системы приводит к возникновению внутренних сил и моментов,

стремящихся вернуть эту систему к её первоначальному состоянию.

Если под действием внутренних силовых факторов с прекращением

действия внешней нагрузки размеры и форма системы полностью

восстанавливаются, то имевшая место деформация называется упругой. Не

исчезающая под действием внутренних сил деформация носит название

пластической.

Пластические деформации приводят к необратимым искажениям размеров и

формы элементов механических конструкций, так что при дальнейшем

нагружении может наступить разрушение материала, что недопустимо с точки

зрения нормальной работы системы. Поэтому материал, размеры и форма любого

элемента конструкции должны быть подобраны таким образом, чтобы при данной

схеме нагружения этот элемент мог надёжно выполнять свои функции, обладая

необходимой прочностью и жёсткостью при условии наибольшей

экономичности. При этом под прочностью понимается способность физических

тел (деталей механизма) сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

4

Жёсткость характеризует способность тел препятствовать необратимым

искажениям своих первоначальных размеров и формы. Условие экономичности

включает в себя рациональный подбор материала, допустимые расчётом

минимальные габариты и вес элемента конструкции и в конечном итоге –

уменьшение себестоимости изделия.

Для того, чтобы можно было выполнить все перечисленные выше условия,

необходимо для каждого случая нагружения находить математические

соотношения между внешними и внутренними силами, деформациями и

размерами изменяемой механической системы.

Определение внутренних сил, соответствующих заданным нагрузкам,

производят методом сечений деформируемого тела в сочетании с приведёнными

выше уравнениями равновесия. Суть метода сечений состоит в том, что

нагруженный элемент конструкции мысленно рассекают в каком-либо

определённом месте, а затем отбрасывают отсечённую часть. Чтобы сохранить

оставшуюся часть тела в равновесии, в сечении следует приложить

соответствующие внутренние силовые факторы (рис. В1а).

При действии внешних нагрузок, ориентированных тем или иным способом

относительно оси деформируемого тела, может возникать растяжение или

сжатие этого тела, сдвиг материала по какому-либо из его сечений, кручение,

изгиб а также сочетания различных видов указанных деформаций. Во всех этих

случаях в сечениях тела возникают соответствующие внутренние силы, проекции

которых на нормаль и плоскость сечения носят название, соответственно,

нормальных (продольных) и поперечных (перерезывающих) сил. В сечениях

тела могут также возникать внутренние крутящие и изгибающие моменты.

Определить внутренние силовые факторы можно, составив уравнения равновесия

системы.

Для характеристики интенсивности распределения внутренних сил вводятся

понятия среднего напряжения в сечении и напряжения в данной точке.

Рис. В1

Выделим в сечении тела бесконечно малую площадку, А, на которой

действует внутренняя сила R (рис. В1б).Среднее напряжение на площадке

будет определяться выражением:

ARpcp .

5

Предел указанного выражения при уменьшении элементарной площадки

А, стягивании её в точку, представляет собой полное напряжение в заданной

точке сечения: A

Rp

lim при 0А .

Размерностью напряжения является паскаль: Па = Н/м2; применяется

также более крупная единица – мегапаскаль: МПа = 106

Н/м2. . Так как м

2 = 10

6

мм2, то МПА = Н/мм

2.

Полное напряжение p может быть разложено на три составляющие: по

нормали и по двум взаимно-перпендикулярным направлениям в плоскости

сечения (рис. В1в). Проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению

носит название нормального напряжения и обозначается через . Две другие

составляющие, лежащие в плоскости сечения, называются касательными

напряжениями; они обозначаются буквой с соответствующим индексом.

Таким образом, yxp .

В том случае, когда внутренние силы, действующие в данном сечении,

лежат в одной плоскости, имеем p .

1.Растяжение и сжатие

1.1. Внутренние силы и напряжения при растяжении и сжатии.

Влияние собственного веса бруса.

Растяжение и сжатие происходит при действии внешних нагрузок по

продольной оси деформируемого тела. При этом в поперечных сечениях тела

возникают внутренние нормальные силы, действующие вдоль той же оси.

Если сделать сечение 1-1 на участке ВС ступенчато бруса ВК (рис. 1.1а), то

в этом сечении будет действовать нормальная сила N1, равная приложенной

справа от сечения сжимающей силе Р. Такая же внутренняя сила будет возникать

в любом сечении на всем участке ВD, так как никаких дополнительных нагрузок

справа от точки D не приложено (рис. 1.1б).

Условимся считать сжимающую продольную силу отрицательной, а

растягивающую положительной, тогда можно записать: РN 1 .

В любом сечении, проведённом на участке DК бруса, например, 2-2, , будет

действовать положительная растягивающая нормальная сила, равная разности

нагрузок, приложенных справа от этого сечения (рис. 1.1б): РРРN 232 .

В общем случае нормальная сила при растяжении или сжатии равна взятой

с соответствующим знаком сумме проекции на продольную ось бруса всех

нагрузок, действующих по одну сторону от сечения:

n

kkxFN

1

(1.1)

Чтобы найти напряжения на каждом участке бруса, воспользуемся

гипотезой плоских сечений: поперечные сечения тела при деформациях не

искажаются,

6

Рис. 1.1.

остаются плоскими и перпендикулярными к его продольной оси. На основании

этой гипотезы можно считать, что нормальные силы равномерно распределяются

по сечению, и тогда в каждой его точке будем иметь нормальное напряжение:

AN . (1.2)

Обозначим площадь поперечного сечения на участке ВС бруса через А и

примем , что на участке СК соответствующая площадь составляет 2А. Тогда в

любом сечении на каждом из обозначенных участков будем иметь:

A

P

A

NBC 1 ;

A

Р

A

NCD

22

1 ; A

P

A

NDE

2

2

.

Для анализа полученных результатов построим графики (эпюры) изменения

нормальных сил и напряжений вдоль оси бруса. (рис 1б, в). Обратим внимание на

эпюру напряжений: очевидно, на участке CD материал бруса недогружен, и вес

его из-за этого неоправданно завышен. Рациональная конструкция показана на

рис. 1.1г; и в случае её реализации из стали будем иметь, практически,

равнонагруженный брус, так как сталь адекватно реагирует и на растяжение, и на

сжатие.

7

В рассмотренной выше задаче не учитывался собственный вес бруса, хотя

влияние этого фактора, особенно для вертикально ориентированных элементов

конструкций, может быть весьма значительным. Так собственный вес каната

шахтной подъемной установки во много раз больше тяжести транспортируемых

грузов (рис. 1.2а); вес буровой колонны может намного превосходить

действующие на установку нагрузки.

Рассмотрим вертикально закрепленный брус, находящийся только под

действием собственной силы тяжести (рис. 1.2б). Пусть G – вес бруса, l – его

длина, А – площадь поперечного сечения, – объемный вес материала, из

которого брус изготовлен. Учитывая, что собственный вес равномерно

распределен по всему объему тела, найдем нормальную силу в произвольном

сечении 1-1, расположенном на расстоянии z от свободного конца бруса:

AzN . При 0z имеем 0N , при lz нормальная сила составит

GAlN . Нормальные напряжения в любом сечении: lAN / .

Очевидно, при постоянном сечении бруса нормальные напряжения от

площади этого сечения не зависят. Эпюры нормальных сил и напряжений

показана на рис.1.2в.

Собственный вес обязательно учитывается при строительстве зданий и

отдельных его элементов. Основание сооружения обычно превосходит по

размерам верхнюю его часть. Такова форма египетских пирамид и зиккуратов

древних майя; колонны, украшающие здание, имеют более или менее

выраженную конусность. На рис 1.2г показана колонна храма Парфенон в

Афинах.

Парадокс: при восстановлении Кносского дворца на Крите, построенного

за три с половиной тысячи лет до новой эры, обнаружены колонны,

расширяющиеся кверху (рис. 2.1д). Реставраторы предположили, что

первоначально колоннами, подпирающими потолочные конструкции, служили

деревья, которые в мягком и теплом климате Средиземноморья начинали

прорастать и разрушали перекрытия. Поэтому колонны-деревья начали

устанавливать расширенной корневой частью кверху, что впоследствии и

закрепилось в архитектурном декоре.

8

1.2. Механические характеристики материала

Для того, чтобы производить расчёты на прочность, необходимо знать

механические характеристики конструкционных материалов - некоторые

числовые показатели их прочностных свойств при различных видах

нагружения. Расчёты на прочность и жесткость возможны только в том случае,

если существует закон соотношения напряжений и деформаций при различных

величинах внешних нагрузок.

Получить необходимую информацию о свойствах деформируемых

материалов позволяют испытания на растяжение, которые производятся на

специальных разрывных машинах.

Образец материала призматической или цилиндрической формы длиной l

площадью поперечного сечения А (рис. 1.3а) растягивается на разрывной машине,

которая вычерчивает диаграмму зависимости абсолютного удлинения образца

l от нагрузки F. Чтобы исключить влияние размеров образца на характеристики

испытуемого материала, машинную диаграмму перестраивают в координатах

, где ANAF – нормальное напряжение, – относительная

продольная деформация образца: ll (1.3)

Диаграмма растяжения малоуглеродистой конструкционной стали

представлена кривой 1 на рис. 1.3б.

Рис. 1.3

Прямолинейный участок ОА на диаграмме свидетельствует о том, что

начальная стадия нагружения характеризуется пропорциональностью напряжений

и деформаций. Напряжение П , соответствующее точке А диаграммы,

называется пределом пропорциональности, а участок ОА диаграммы – зоной

упругости.

До указанного напряжения в материале образца развиваются только

упругие деформации; и если на этом этапе снять нагрузку (линия АО), то на

горизонтальной оси будем иметь = 0 – остаточных деформаций нет.

Однако при дальнейшем нагружении изменение размеров и формы образца

приобретает необратимый характер – деформации становятся пластическими. До

9

некоторого напряжения у , называемого пределом упругости, остаточные

деформации весьма малы и составляют 0,002…0,005 первоначальной длины

образца. Очевидно, напряжения П и y располагаются весьма близко друг к

другу и для конструкционных сталей, практически, совпадают.

Участок АВ диаграммы растяжения характеризуется ростом пластических

деформаций, а на участке ВС увеличение последних происходит без

дополнительного приложения нагрузки – имеем зону текучести материала.

Соответствующее этому явлению напряжение Т носит название предела

текучести.

После перехода за предел текучести материал образца снова начинает

оказывать сопротивление, однако деформации теперь растут быстрее напряжений

и имеют явно выраженный пластический характер – диаграмма растяжения

становится криволинейной (участок СD). Если от какой-нибудь точки М на этом

участке диаграммы произвести разгрузку образца, то линией разгрузки будет

прямая МN, параллельная прямой ОА, а отрезок ОN на горизонтальной оси

представляет собой величину пластической деформации, не исчезающей после

снятия нагрузки. В точке D на кривой 1 напряжения достигают своего максимума.

Наибольшее напряжение на диаграмме растяжения В )( пч называется

временным сопротивлением, или пределом прочности. Вблизи точки D на

образце начинает образовываться местное сужение – «шейка» (рис. 1.3в),

поперечное сечение в этом месте становится всё меньше и меньше, поэтому

деформация образца происходит при уменьшающейся нагрузке, и, наконец, в

точке Е происходит разрыв образца.

Диаграммы растяжения различных материалов могут существенно

отличаться от рассмотренной выше. Так большинства металлов (медь, алюминий,

качественные стали) не дают при растяжении площадки текучести. Кривая 2 на

рис. 2.2 демонстрирует диаграмму растяжения для легированной стали,

включающей в свой состав добавки цветных металлов и некоторых других

элементов – хрома, никеля, марганца. Сравнение кривых 1 и 2 показывает, что

предел прочности этого материала выше, чем для мягкой конструкционной стали.

Предел текучести здесь выбирается условно в соответствии с линейной частью

диаграммы. Кривые 1 и 2 характерны для пластичных материалов, образцы

которых при разрыве обнаруживают большие остаточные деформации.

На рис. 1.3 показана также диаграмма растяжения хрупкого материала –

чугуна (кривая 3). Очевидно, хрупкий материал разрушается при небольшой

относительной деформации, площадка текучести на диаграмме его растяжения

отсутствует. Однако при испытаниях на сжатие хрупкие материалы, как правило,

показывают значительно больший предел прочности, чем на растяжение. Что же

касается пластичных материалов, то их прочностные и упругие показатели

примерно одинаковы как при растяжении, так и при сжатии.

Выявленные при испытаниях на растяжение предельные напряжения П ,

(У), Т, В )( пч являются механическими характеристиками материала.

10

Приведём для справки механические характеристики некоторых

конструкционных материалов .

Стал 35, 40, 45: П = 200…300 МПА; Т = 250…370 МПа; В = 390…630 МПа .

Медь: П = 50…200 МПа; Т = 55…250 МПа; В = 100..250 МПа.

Алюминий: П = 40.. 47 МПа; Т = 50.. 55 МПа; В = 80…85 МПа.

1.3. Закон Гука при растяжении и сжатии

Работа любого элемента механической конструкции должна проходить

исключительно в зоне упругости материала, так как напряжения выше предела

текучести вызывают недопустимые остаточные деформации. Для

соответствующего участка диаграммы установлен закон пропорциональности

деформаций и напряжений – закон Гука:

E . (1.4)

Коэффициент пропорциональности Е в формуле (2.1) носит название

модуля упругости первого рода, или модуля Юнга.

Роберт Гук (1635-1703) - великий английский учёный,

естествоиспытатель, архитектор. Принимал деятельное участие в

восстановлении Лондона после пожара 1666 года. В физике, помимо закона

пропорциональности напряжений и деформаций (1660 г.), имел разработки в

области оптики, законов динамики, множество изобретений

(пространственный шарнир, шкала термометра, усовершенствование

микроскопа и др.). В биологии первым установил клеточное строение тканей

живых организмов и ввёл общепринятый теперь термин «клетка».

Томас Юнг (1770-1820) - выдающийся английский учёный и замечательно

разносторонний человек. Установил механическую константу материала –

модуль упругости первого рода. Известны его труды в области волновой теории

света и других разделов оптики. Пользовался известностью как врач и имел

оригинальные разработки в практической хирургии. Как лингвист участвовал в

расшифровке египетских иероглифов. Был выдающимся художником и даже…

выступал в цирке.

Приведём значения модуля Юнга для некоторых материалов в МПа:

сталь: Е=(2,0…2,2)105; медь, латунь: Е=(1,0…1,2)10

5; алюминиевые сплавы:

Е=(0,7...0,8)105; пластмассы, древесина: Е=(1,3…3,0)10

4.

Абсолютная продольная деформация при растяжении и сжатии

определяется из закона Гука. Подставив в уравнение (1.4) полученные выше

выражения для напряжения (1.2) и относительной деформации (1.3), получим:

EANll / . (1.5)

Произведение ЕА, стоящее в знаменателе выражения (1.5), называется

жёсткостью при растяжении (сжатии). Таким образом, абсолютная деформация

пропорциональна действующей силе, длине образца и обратно пропорциональна

жёсткости. Эксперименты показывают, что удлинение испытуемого образца в

продольном направлении сопровождается уменьшением его поперечных

размеров. Пусть диаметр d цилиндрического образца сократился на d – эту

11

величину можно назвать абсолютной поперечной деформацией.

Относительной поперечной деформацией О называют отношение абсолютной

поперечной деформации к соответствующему первоначальному размеру:

ddO . Опытным путём установлено, что относительная поперечная

деформация пропорциональна продольной O . (1.6)

Коэффициент пропорциональности в уравнении 1.6 носит название

коэффициента Пуассона и является, наряду с модулем Юнга Е, важнейшей

механической характеристикой материала0.

Пуассон полагал, что установленный им коэффициент одинаков для всех

материалов и равен 0,25. Однако позднейшими исследованиями установлено, что

величина для различных материалов колеблется в пределах от 0,00 (пробка) и

до 0,5 (парафин). Для сталей различных марок 30,0...24,0 ; для меди и

бронзы 34,0 ; для алюминиевых сплавов 36,0...26,0 ; для резины

47,0 .

1.4. Расчёты на прочность при растяжении и сжатии

По результатам испытаний материала на растяжение устанавливают

допускаемые напряжения – такие нагрузки, которые при заданном режиме

работы вполне безопасны для всех элементов конструкции и обеспечивают их

прочность и максимальную долговечность. Очевидно, допускаемые напряжения

не только не должны превышать предельных значений, отмеченных на диаграмме

растяжения, но и должны быть по сравнению с ними значительно снижены.

Действительно, в процессе эксплуатации различных механических

конструкций возможны, например, внезапные существенные увеличения и спады

напряжений – динамичность нагрузки. Весьма опасны для работы любого

механического элемента циклические нагрузки, периодически изменяющиеся во

времени. В стержнях переменного сечения и возле отверстий на пластинах может

иметь место резкое повышение нагрузки – концентрация напряжений.

Существуют и другие факторы, заставляющие выбирать допускаемые напряжения

в долях от пределов текучести или прочности.

Для пластичных материалов (сталь) допускаемые напряжения берутся в

зависимости от предела текучести материала: 1nТ , для хрупких

материалов (чугун) – в зависимости от предела прочности: 2nВ .

Здесь n1 и n2 – регламентированные нормами коэффициенты запаса

прочности, или коэффициенты безопасности. Обоснованный выбор

коэффициентов запаса прочности определяется конкретными условиями работы

конструкции, особенностями материала, из которого изготовлен данный элемент

и другими факторами. В предварительных расчётах можно принимать для

пластичных материалов – 3...5,11 n , для хрупких материалов – 5...22 n .

При циклических нагрузках допускаемые напряжения берутся в

зависимости от предела выносливости – такого напряжения, которое материал

выдерживает, не разрушаясь, при неограниченном числе циклов нагружения.

12

Выбор допускаемых напряжений в этом случае производится по специальной

методике.

Имея допускаемые напряжения, можно ввести условие прочности на

растяжение и сжатие: в любом сечении деформируемой конструкции должно

выполняться равенство:

AN / . (1.7)

Уравнение (1.7) позволяет решать как проверочные, так и проектировочные

задачи на растяжение и сжатие.

Пример 1.1. Проверить прочность бруса (рис. 1.1) при следующих данных:

сила 31035 Р Н, площадь поперечного сечения 250А мм

2. Материал бруса

– сталь Ст.5, допускаемые напряжения 150][ МПа (Н/мм2).

Условие прочности стойки: ][max . Судя по эпюре (рис. 1.1в),

наибольшие напряжения имеем на участках ВС и DК. После подстановки данных

примера получим: 140250/35000 DKBC Н/мм2, что меньше

допускаемых напряжений. Прочность бруса достаточна.

Пример 1.2. Проверить возможность использования для подъемной

установки шахты глубиной 1000 м стального каната, объемный вес которого 3108,7 Н/м

3 . Предел прочности каната – 250В МПа, допускаемое

напряжение – 120][ МПа.

В данном случае основная нагрузка каната – это его собственный вес. Как

было указано в разд. 1.1, максимальное напряжение будем иметь при критической

длине каната крl ; это напряжение не должно превышать предела прочности

каната, то есть крВ l . Отсюда критическая длина, при которой канат

разрывается под собственным весом, составит 32001078/10250 36 крl м.

Однако полученный результат нельзя использовать на практике: предельная

длина каната прl определяется допускаемым напряжением, поэтому из тех же

соображений имеем 15381078/10120/][ 36 прl м. Очевидно, прl >

1000 м – канат можно использовать по назначению.

Пример 1.3. Спроектировать кронштейн из чугуна для подвеса

осветительного прибора весом G = 500 Н. Допускаемое напряжение чугуна на

растяжение 30P МПа, допускаемое напряжение на сжатие – 90][ сж

МПа. На рис.1.4а показана конструкция проектируемого кронштейна: это

треугольник, составленный из стержней СВ и BD круглого поперечного сечения,

соединённых шарнирами между собой и со стойкой CD. По условию СВD=60.

1. Разложим заданное усилие (вес светильника) на направления стержней

СВ и ВD. Имеем: 21 FFG , причём первый из указанных стержней растянут,

а второй сжат. К тому же 288601 tgGF Н, 57860sin2 GF Н.

13

Сделав сечение по каждому из стержней, получим, соответствующие

продольные силы: 11 FN , а также 22 FN .

Рис. 1.4

2. Пусть d1 - диаметр стержня ВС, d2 – диаметр стержня BD. Тогда условия

прочности для каждого из стержней будет иметь вид:

Pd

N

421

11 , ][

422

22 сж

d

N

.

3. При подстановке условий примера в полученные уравнения находим

5,31 d мм, 86,22 d мм. Эти размеры поперечных сечений стержней следует

округлить до стандартных значений и унифицировать. Окончательно принимаем

421 dd мм.

Пример 1.4. Определить диаметр чёрного болта, скрепляющего три

стальные полосы при действии сдвигающих сил (рис. 1.4б). По условию F=1000

H, допускаемое напряжение на растяжение для материала болта – стали Ст5 –

80][ МПа 80 Н/мм2. Коэффициент трения на контакте полос 2,0f .

Чёрный болт ставится в отверстие с зазором, и для того, чтобы скрепляемые

полосы металла не смещались друг относительно друга, силы трения ТРF на двух

контактных поверхностях должны превосходить сдвигающую силу F, то есть

2FТРF. Силы трения, препятствующие смещению, возникают при затяжке болта,

значит чёрный болт работает на растяжение. Обозначим нормальную силу

затяжки через N, а коэффициент трения через f, тогда FfN 2 , откуда

N= fF 2 . Пусть d – средний диаметр резьбы, тогда

][2/4 2 dfFK . . (1.8)

Здесь К – коэффициент повышения нагрузки при затягивании винта гайкой.

Подставив условия примера 1.4 в уравнение (1.8) и приняв К = 1,3, получим

2,7d мм – это расчётный средний диаметр резьбы. Для черного болта можно

принять стандартную метрическую резьбу 8М .

14

Пример 1.5. Определить реакции в заделках стального ступенчатого бруса

длиной 42 l м, нагруженного силой 45Р кН (рис. 1.5а). Площадь

поперечного сечения бруса 200А мм2; модуль Юнга

5102 E МПа. По

условиям эксплуатации возможно повышении окружающей температуры на

30t ; коэффициент линейного расширения стали 51025,1 . Проверить

прочность бруса при допускаемых напряжениях 150][ МПа.

В данном случае имеем две

неизвестные реакции BR и DR , а

уравнений статики можно составить

одно: 0kxF ; 0 BD RRP

(1). Следовательно, задача является

статически неопределимой. Чтобы

найти неизвестные реакции, нужно

составить дополнительное уравнение.

Отбросим опору В (рис. 1.5б) и

определим перемещение точки В под

действием всех приложенных сил, а

также вследствие повышения

температуры, учитывая, однако, что

на самом деле это перемещение будет

равно нулю, так как точка В

закреплена неподвижно: 0 Bl .

Вычисляем для каждого участка бруса абсолютную деформацию по уравнению

(1.5) и суммируем : 022//2/ tlEAlREAlREAPll BBB (2).

После подстановки данных задачи в уравнение (2) имеем: 25BR кН, из

уравнения (1): 20DR кН. На рисунке 1.5в показана эпюра нормальных сил,

а на рис. 1.5г – эпюра нормальных напряжений на участках BC и CD. Имеем:

125200/1025 3 ВС МПа; ][ BC .

50400/1020 3 СD Мпа; ; ][ CD .

Очевидно, прочность бруса обеспечивается на всех его участках.

2. Сдвиг. Расчёт деталей крепления

2.1. Внешние и внутренние силовые факторы при сдвиге

Сдвиг материала производят две равные, параллельные и противоположно

направленные силы, действующие перпендикулярно оси бруса на незначительном

расстоянии друг от друга (рис. 2.1а). Подобные нагрузки имеют место, например,

при резании металлических листов механическими ножницами. При действии

некоторых экстремальных нагрузок может произойти разрушение материала –

срез.

15

Рис. 2.1

Если рассечь брус по плоскостям действия внешних сил, то для

уравновешивания сдвигающих сил F в сечениях нужно будет приложить

внутренние силы, лежащие в плоскости сечений. Равнодействующие этих

внутренних сил Q называются поперечными, или перерезывающими силами

(рис. 2.1б). Из условий равновесия сил на линии их действия имеем Q = F.

Исходя из предположения, что поперечные силы в плоскостях своего

действия распределяются по сечению равномерно, получим, что при сдвиге

имеем касательные напряжения: = Q/A = F/A. (2.1)

2.2. Деформации и закон Гука при сдвиге

При сдвиге происходит искажение элементарного параллелепипеда всdе,

находящегося между плоскостями действия внешних и внутренних сил. На

передней грани этого параллелепипеда точки в и d (вершины) смещаются на

величину ddbba , называемую абсолютной деформацией при сдвиге

(рис. 2.1в). На такую же величину смещаются все точки соответствующих

сечений деформируемого элемента бруса.

Относительная деформация при сдвиге определяется углом . В упругой

зоне сопротивления материала углы сдвига весьма малы, поэтому имеем

следующее выражение для угловой деформации:

hatg . (2.2)

На практике сдвиг осложняется целым рядом сопутствующих явлений:

смятием контактных поверхностей, развитием нормальных напряжений и т.п.

Поэтому для получения зависимостей между напряжениями и деформациями при

сдвиге рассматривают некоторое теоретически возможное состояние, называемое

чистым сдвигом [1]. Для чистого сдвига в зоне упругости справедлив закон Гука

– пропорциональность напряжений и деформаций:

= G . (2.3)

Коэффициент пропорциональности G в уравнении (2.3) носит название модуля

упругости второго рода, или модуля сдвига. Эта константа также является

важнейшей механической характеристикой материала, причём между модулем

сдвига G, модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона существует следующая

зависимость [1] – [3]:

)1(2/ ЕG

16

В соответствии со справочниками имеем для стали 410)1,8...0,8(G МПа,

для меди – G = (4,0…4,9)104 МПа, для алюминия –

410)6,2...4,2(G МПа.

Абсолютную деформацию при сдвиге определим, подставив в уравнение

(2.3) выражения (2.1) и (2.2):

а = GA

Fh

GA

Qh . (2.4)

Произведение GA носит название жёсткости при сдвиге. Таким образом,

абсолютная деформация при сдвиге пропорциональна действующим силам,

расстоянию между линиями их действия и обратно пропорциональна жёсткости.

2.3. Расчёт на прочность деталей крепления

Условие прочности на сдвиг имеет вид:

][/ AF . (2.5)

Здесь ][ – допускаемое напряжение при сдвиге, оно принимается в

зависимости от допускаемых напряжений на растяжение и сжатие:

])[6,0...5,0(][ – для пластичных материалов (сталь);

])[0,1...7,0(][ – для хрупких материалов (чугун).

На сдвиг, как правило, производят расчёт деталей крепления: винтов,

штифтов, шпонок, и т.п., а также чистых болтов, которые ставятся в отверстия без

зазора и препятствуют смещению поверхностей непосредственно своим телом.

Вследствие этого материал крепежных деталей работает на сдвиг В отличие от

чёрных болтов (пример 1.3) чистые болты не затягивают, а лишь фиксируют

гайкой.

Пример 2.1. Определить диаметр чистого болта по условиям примера 1.3.

Болт работает на сдвиг, причём имеются две поверхности сдвига: 1-1 и 2-2.

Если d – средний диаметр нарезки болта, то площадь сечения сдвига 42dA .

Условие прочности болта: ][2/4 2 dF . (2.6)

Допускаемые напряжения на сдвиг примем в соответствии с приведенными

выше рекомендациями: 48][6,0][ МПа Н/мм2. Из уравнения (2.6) при

подстановке данных примера имеем: 6,3][2/4 Fd мм. Принимаем для

чистого болта метрическую резьбу М4. Очевидно, чистый болт по размеру будет

меньше черного болта (см. пример 1.4).

3. Кручение круглых стержней

3.1 Некоторые дополнительные характеристики площади сечений

При расчете элементов конструкций на растяжение (сжатие) и сдвиг

фигурировала основная характеристика плоских сечений – величина их площади

А. В произведении с модулями упругости E или G площадь определяет

жесткость – способность бруса к сопротивлению при его деформации внешними

17

силами. Как было показано выше, жесткость бруса при растяжении и сжатии

составляет EA, при сдвиге – GA.

При рассмотрении более сложных видов деформации: кручения и изгиба –

жесткости определяются через другие характеристики, которые зависят не только

от размеров, но и от формы сечений. На рис 3.1а в координатах x-y показано

сечение произвольной конфигурации площадью А; сх , cy – координаты точки С,

центра тяжести этого сечения. Отмечена также элементарная площадка dA с

координатами x, y, расстояние от которой до начала координат обозначено

литерой . Приведем дополнительные характеристики изображенного

сечения.

Рис. 3.1

1. Статический момент плоского сечения относительно какой-либо оси,

лежащей в той же плоскости, есть взятая по всей площади сечения сумма

произведений элементарных площадок dA на их расстояние до этой оси:

)(A

x dAyS ; )(A

y dAxS . (3.1)

После несложных преобразований статические моменты площади можно

представить как произведение величины этой площади на соответствующую

координату центра ее тяжести [1] - [3]:

cx yАS ; cy xАS . (3.2)

В зависимости от знака координаты центра тяжести статический момент

площади может быть положительным, отрицательным, а также равным нулю,

18

если он вычисляется относительно центральных осей (XC ,YC), проходящих через

центр тяжести сечения: в этом случае 0cx и 0cy . Размерность статического

момента площади – куб длины (м3, мм

3).

2. Осевой (экваториальный) момент инерции плоского сечения относительно какой-либо оси, лежащей в той же плоскости, есть взятая по всей

площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты их

расстояний до этой оси: )(

2

A

x dAyI ; )(

2

A

y dAxI . (3.3)

3. Полярный момент инерции плоской фигуры есть взятая по всей ее

площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты их

расстояний до некоторой точки – полюса: )(

2

A

p dAI . (3.4)

Из рис.3.1а видно, что 222 yx , отсюда следует, что сумма осевых

моментов инерции относительно двух пересекающихся осей равна полярному

моменту инерции относительно точки пересечения этих осей:

yxp III . (3.5)

Для центрально-симметричных фигур: )(2 yxp II . (3.5а)

Размерность осевых и полярных моментов инерции – длина в четвертой

степени (м4, мм

4), так что эти величины, так же, как и статический момент

площади, физического смысла не имеют. Вычисление моментов инерции для

сечений различной конфигурации уместно производить в каждом конкретном

случае по мере рассмотрения кручения и изгиба. При этом можно использовать

известную в теоретической механике теорему Штейнера (Гюйгенса): момент

инерции фигуры относительно какой-либо оси, параллельной центральной (1x

I ),

равен моменту инерции относительно центральной оси ( xI ) плюс произведение

площади фигуры на квадрат расстояния между осями (отрезок а на рис. 3.1а):

2

1АaII xx . (3.6)

3.2. Внешне и внутренне крутящие моменты

Кручение вызывают противоположно направленные пары сил,

действующие в плоскостях, перпендикулярных оси бруса. Моменты этих пар

называются внешними крутящими моментами. На рис. 3.1б показан

простейший случай подобной нагрузки: к одному концу вала приложен момент от

двигателя МД. а к другому – момент от нагрузки МН. При этом МД = МН = М (Нм)

– внешние крутящие моменты, которые можно определить через потребляемую

мощность Р . Как известно, МР , причем угловая скорость

30/n п1,0 , где n – число оборотов вала в минуту. Отсюда MnP 1,0

Ватт и nPM /10 Нм.

При кручении в поперечных сечениях деформируемого тела возникают

внутренние крутящие моменты МК (рис. 3.1б). В общем случае внутренний

19

крутящий момент в сечении равен сумме всех внешних крутящих моментов,

действующих по одну сторону от этого сечения: ik MM .

3.3. Напряжения и деформации при кручении

Рассмотрим цилиндр радиуса r и высотой l, к которому приложен внешний

крутящий момент М. Предположим, что нижний конец цилиндра закреплён, а на

боковую его поверхность нанесена сетка так, как это показано на рис 3.1в.

Считая деформации бруса весьма малыми (упругое состояние материала),

примем следующие гипотезы: 1) плоские поперечные сечения цилиндра не

деформируются (гипотеза плоских сечений); 2) расстояния между поперечными

сечениями не изменяются, то есть кручение не вызывает ни растяжения, ни

сжатия; 3) продольная ось бруса остаётся прямой.

Как видно из рис.3.1в, нанесённые на поверхность цилиндра образующие

после приложения внешнего момента М превратились в винтовые линии с

большим шагом. Это свидетельствует о том, что поперечные сечения бруса при

кручении поворачиваются, сдвигаются друг относительно друга на некоторый

угол. Таким образом, можно считать, что кручение – это одновременный

множественный сдвиг бесконечно большого числа плоских поперечных сечений

бруса при их одновременном повороте вокруг продольной оси (оси кручения).

Углы поворота сечений относительно оси кручения пропорциональны их

расстояниям от закреплённого торца бруса. Угол поворота свободного концевого

сечения max называется полным углом закручивания.

Поскольку кручение можно свести к явлениям сдвига, то следует

предположить, что во всех сечениях бруса будут возникать касательные

напряжения, зависящие от внутреннего крутящего момента кМ . Найдём эти

напряжения.

Проведём через цилиндр, изображённый на рис. 3.1в, сечения 1-1 и 2-2,

перпендикулярные оси кручения и расположенные на расстоянии dx друг от

друга. Вырезанный таким образом диск, расположенный на расстоянии х от

закреплённого торца, показан на рис. 3.1г.

Пусть сечение 1-1 повернулось относительно закреплённого торца на угол

, а сечение 2-2 – на угол d . Угол d найдём, проводя bccb // : очевидно,

dcOc . Абсолютный сдвиг сечения 2-2 относительно сечения 1-1 можно

оценить величиной дуги rdcc .

Относительный сдвиг определяется углом cbc . Как было

показано в разделе 2.2, угловая деформация определяется тангенсом угла сдвига;

в данном случае

dxrdtg .

Здесь dxd - угол закручивания на единицу длины (удельный угол). С

учётом такого обозначения r .

20

Возьмём в сечении 2-2 элементарную площадку площадью dA ,

расположенную на расстоянии от оси кручения. Относительный сдвиг на этой

площадке – .

При сдвиге возникают касательные напряжения, которые можно найти по

закону Гука: GG . (3.7)

Элементарная касательная сила на площадке:

dAGdAdF .

Момент элементарной касательной силы относительно оси бруса:

dAGdFdMk2 . (3.8)

Интегрируя выражение (3.8) по всей площади сечения А, получим

выражение для внутреннего крутящего момента:

)(

2

A

k dAGM . (3.9)

Модуль сдвига G и удельный угол вынесены за знак интеграла, так как

обе эти величины являются постоянными. Третий сомножитель произведения

(3.9) – это полярный момент инерции площади сечения, рассмотренный в разделе

3.1 : действительно, по формуле 3.4 – )(

2

A

pIdA .

Найдем полярный момент инерции для круглого сечения.

Если при интегрировании принять в качестве элементарной площадки

кольцо радиуса толщиной d, то будем иметь ddA 2 . Для круглого

сечения диаметра D, интегрируя в пределах от нуля до 2D , получим:

2

0

443 1,0322D

P DDdI . (3.10)

Для кольцевого сечения с наружным диаметром D и внутренним

диаметром d полярный момент инерции равен

2/

2

44443 ).(1,0)(32

2D

d

P dDdDdI

(3.11)

Таким образом, уравнение (3.9) будет иметь вид PK IGM , откуда

можно определить удельный угол:

Pк GIM . (3.12)

Из уравнения (3.12) можно определить как напряжения при кручении, так и

абсолютные деформации.

Напряжения при кручении найдём, подставив выражение (3.12) в (3.7):

Pк IM / . (3.13)

Очевидно, касательные напряжения распределяются по сечению бруса

неравномерно: на оси кручения ( 0 ) они равны нулю, на наружной

21

поверхности бруса, где 2D , касательные напряжения максимальны

(рис.3.2.а):

Pк IDM 2/max .

Рис. 3.2

Обозначим через PW отношение полярного момента инерции к половине

диаметра бруса и назовём эту величину полярным моментом сопротивления:

DIW PP 2 .

Тогда Pк WM /max . (3.14)

Из уравнений (3.10) и (3.11) следует, что для круга – 33 2,016 DDWP . (3.15)

Для кольцевого сечения (рис.3.2б) –

)1(2,0)1(16 4

43

4

43

D

dD

D

dDWP

. (3.16)

Анализ выражений (3.15) и (3.16) показывает, что момент сопротивления

кольцевого сечения мало отличается от такой же характеристики сплошного

круглого сечения диаметром D . Это означает, что при кручении внутренняя

часть бруса наименее напряжена, и если изготовить полый вал, то момент его

сопротивления изменится по сравнению со сплошным валом несущественно, а вес

значительно уменьшится (рис.3.2б). И хотя изготовление полых валов сложнее и

дороже, чем производство валов сплошных, в некоторых отраслях техники

(авиация, космонавтика) применение облегченных валов практикуется.

Абсолютной деформацией в каждом сечении бруса является угол

закручивания . При длине бруса l угол закручивания определяется через

удельный угол: l . С учётом (3.12) имеем:

Pк GIlM / . (3.17)

Произведение модуля сдвига на полярный момент инерции сечения PGI

называется жёсткостью при кручении. Таким образом, абсолютная деформация

при кручении пропорциональна крутящему моменту, длине участка бруса и

обратно пропорциональна жёсткости.

22

На любом участке вала должно соблюдаться условие ][/ Pк GIlM ,

где ][ – допускаемый угол закручивания в радианах. В градусной мере:

][180

P

к

GI

lM, (3.18)

где 2][ – допускаемый угол закручивания в градусах.

3.4. Расчёт на прочность и жёсткость при кручении

В соответствии с уравнениями (3.14) и (3.15) условие прочности на

кручение сплошного вала диаметром Dd имеет вид:

][2,0/ 3 dMк (3.19)

Здесь ][ – допускаемые напряжения на кручение. Проверка угла закручивания

проводится по формуле (3.18).

Пример 3.1. Построить эпюру крутящих моментов для вала (рис. 3.3а), если

момент МВ = 600 Нм, который подается на шкив В, равномерно распределяется

между потребителями – шкивами А, С и D. Подобрать сечения участков вала,

если допускаемые напряжения кручения 80][ МПа. Проверить углы

закручивания вала, если длина каждого участка 4,0l м;.

По условию примера каждый из потребителей получает один и тот же

момент, то есть МА = МС = MD = 200 Нм. Условимся считать получаемый от

двигателя момент положительным, а отдаваемые моменты – отрицательными и

найдем внутренние крутящие моменты на всех участках вала.

Рис. 3.3

Если на участке АВ произвольно провести сечение 1-1, то слева от него

будет действовать только отдаваемый потребителю момент МА. Крутящий момент

23

на этом участке МК1 = МА = –200 Нм. На участке ВС слева от любого

проведенного там сечения будет действовать разность внешних моментов,

приложенных к шкивам А и В. Крутящий момент на этом участке: МК2 = МВ – МА

= 400 Нм. Аналогично находим, что на участке CD действует внутренний

крутящий момент МК3 = МВ – МА – МС = 200 Нм. Эпюра крутящих моментов

показана на рис. 3.3б.

Диаметры участков вала 1d , 2d , 3d находим из условия прочности на

кручение по уравнению 3.19. На участке АВ крутящий момент МК1 = 200 Нм,

откуда

23802,0/10200][2,0/ 3 3311 КМd мм; принимаем 251 d мм.

Аналогично, 29802,0/10400][2,0/ 3 3322 КМd ; примем 2d 30

мм. На участке CD имеем МК3 = МК1 = 200 Нм, поэтому 2513 dd мм.

Проверим также углы закручивания на всех участках вала, подсчитав

вначале полярные моменты инерции. На участках АВ и СD – 34 1039)25(1,0

1PI мм

4. На участке ВC –

34 1081)30(1,02

PI мм4.

Подставляя в формулу (3.18) соответствующие крутящие моменты, 4108 G

Н/мм2, l = 400 мм, найдем углы закручивания 1 , 2 и сравним их с допустимым

значением ][ . Имеем: 246,11 , а также 242,12 . Очевидно,

жесткость вала на всех участках достаточна.

3.5.Расчет винтовой пружины

На рис. 3.2в показана винтовая пружина, широко применяемая в технике и в

быту. Обозначим через d – диаметр витка пружины, через D – её средний диаметр.

При эксплуатации на пружину действует сжимающее усилие F.

Перенесём усилие F на ось витка пружины: приложим в этой точке два

равных и противоположно направленных усилия FFF . Равновесие

системы при этом не нарушится, но, комбинируя все приложенные нагрузки,

можно видеть, что пара сил (F, F ) производит кручение витка, а сила F -

сдвиг.

При кручении и при сдвиге в материале пружины возникают однородные

касательные напряжения, которые при расчёте на прочность можно

суммировать алгебраически. Момент пары сил в данном случае равен

внутреннему крутящему моменту: 2FDMK . Касательные напряжения

кручения:

33

1 8)16/()2/( dFDdFD . (3.20)

Касательные напряжения сдвига:2

2 4 dF . Суммарно: 21 , или

)21()8( 3 DddFD . (3.21)

Обозначим СdD / – это так называемый индекс пружины. В расчётах

принимают С = 8…12. Выражение, стоящее в скобках уравнения (3.21),

24

обозначим через K . Этот коэффициент можно определять непосредственно либо

по таблицам справочников. Условие прочности витка пружины имеет вид:

][/8 2 dKFC . (3.22)

Здесь ][ – допускаемые напряжения на сдвиг для материала пружины,

которые приводятся в справочниках. Из (3.22) находим диаметр витка пружины:

]/[6,1 KFCd . (3.23)

Диаметр витка уточняется по сортаменту пружинной проволоки. Средний

диаметр пружины определяется через индекс: CdD . Прочие параметры

пружины можно определить, пользуясь соответствующей литературой.

Пружины растяжения рассчитываются так же, как пружины сжатия.

4. Изгиб прямолинейного бруса

4.1. Внутренние силовые факторы при изгибе и их эпюры

Изгиб производят силы и пары сил, перпендикулярные к продольной оси

бруса (балки) и лежащие в плоскостях, проходящих через эту ось. При этом

плоскости симметрии балки называются ее главными плоскостями, а

возникающая в них деформация характеризуется как плоский, или простой

изгиб.

Определим внутренние силовые факторы, которые возникают в сечениях

балки при изгибе.

На рис 4.1.а показана балка, симметрично нагруженная силами F; реакции

опор в этом случае FRR BA . Если сделать сечение 1-1 на расстоянии х от

опоры А и отбросить правую часть балки, то для уравновешивания оставшейся её

части в сечении следует приложить внутреннюю поперечную силу Q и

внутренний изгибающий момент FxМиз . Такие же внутренние силовые

факторы возникнут в любом сечении на участке АС, а также на участке DB

(рис.4.1.б).

Рис.4.1

25

Если провести секущую плоскость 2-2 через любую точку на участке CD, то

отсечённую левую часть балки уравновесит один изгибающий момент

постоянной величины: FaMиз (рис. 4.1.в).

Итак, при изгибе балки в её сечениях могут возникать два вида внутренних

силовых факторов: поперечные (перерезывающие) силы и изгибающие моменты.

При этом, если в сечениях балки возникают только изгибающие моменты, её

упругое состояние называется чистым изгибом (участок СD). Если помимо

изгибающих моментов изМ действуют также поперечные силы Q, имеем

поперечный изгиб (участки АС и DВ).

В общем случае поперечная сила в любом сечении балки численно равна

сумме проекций всех сил на ось, перпендикулярную продольной оси балки по

одну сторону от сечения: Q

n

kkyF

1

. Если эта сумма проекций сил слева от

сечения направлена вверх (справа от сечения – вниз), то поперечная сила

считается положительной. Отрицательную поперечную силу имеем в том

случае, когда указанная сумма слева от сечения направлена вниз, а справа от

сечения – вверх (рис. 4.2а).

Рис. 4.2

Изгибающий момент в каждом сечении балки численно равен сумме

моментов всех сил )(1

K

n

kOиз FmM

, действующих по одну сторону от

этого сечения относительно поперечной оси, проведённой в плоскости сечения

через центр его тяжести. На линейных расчётных схемах балок конец этой оси

совмещается с точкой О, через которую проведено сечение (рис. 4.2б).

Если указанная сумма моментов внешних сил слева от сечения направлена

по часовой стрелке, а справа от сечения – по часовой стрелке, то внутренний

изгибающий момент считается положительным. Изгибающий момент будем

считать отрицательным в том случае, если сумма моментов внешних сил слева

от сечения направлена против часовой стрелке, а справа от него – по часовой.

Изменение внутренних силовых факторов по оси балки представляют в виде

графиков, или эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Чтобы построить

26

эпюры, для каждого участка балки составляют уравнения Q = Q(x) и

)(хММ изиз , а затем придают аргументу х значения, характерные для данного

участка. Возникающие на эпюрах максимальные значения поперечных сил и

моментов служат основанием для расчёта балки на прочность.

Пример 4.1. Для балки (рис.

4.3а) построить эпюры

поперечной силы и

изгибающего момента.

Дано: qlP 3 , 22qlM .

Опорные реакции для

консольной балки можно не

определять, но эпюры в этом

случае следует строить от

свободного конца балки.

1.Эпюра поперечных сил

На каждом участке

проводим сечения через

точки О1, О2, О3 на

расстояниях х от точки А.

Участок АС: На этом

участке 0 <x< l; поперечная

сила отсутствует: Q = 0.

Участок СD: тут l <x<2l; поперечная сила составляет Q = P= 3ql.

Участок DB: 2l < x <3l;

Слева от сечения О3 действуют сила qlP 3 и распределенная нагрузка

интенсивностью q на участке lx 2 . Поперечная сила определяется уравнением

Q )2(3 lxqql . Если lx 2 , то Q = ql3 ; в точке B, где lx 3 , имеем Q =

ql2 . Эпюра Q )(x очерчена наклонной прямой.

2. Эпюра изгибающих моментов )(хМиз

Участок АС: здесь 0 <x < l. Принимая во внимание правило знаков, то есть

считая заданный момент М отрицательным, имеем на всем участке АС

изгибающий момент 22qlММиз .

Участок CD: расстояние от края балки до сечения О2 здесь меняется в

пределах l <x <2l. Изгибающий момент на данном участке:

)( lxPММиз . Если х = l, то 22qlММиз ; при x = 2l имеем

222 32 qlqlqlМиз .

Участок DB: на этом участке lxl 32 . Слева от сечения О3 действует

заданный момент 22qlM , момент от силы qlP 3 на плече lx , а также

момент от распределенной нагрузки. Равнодействующая распределенной

27

нагрузки на участке DB составляет )2( lxq , плечо этой силы относительно

точки О3 2/)2( lx ; таким образом, изгибающий момент от распределенной

нагрузки будет 2/)2( 2lxq . Суммарный изгибающий момент на участке DB

определяется выражением: 2/)2()(32 22 lxqlxqlqlМиз . При

lx 2 имеем 22qlМиз ; при lx 3 возникает изгибающий момент

25,3 qlМиз . Эпюра изгибающего момента очерчена параболой. Наибольший

момент имеем в заделке балки.

Пример 4.2. Для балки (рис. 4.3а) построить эпюры внутренних силовых

факторов, найти расчётные значения поперечной силы и изгибающего момента.

Дано: qlР 2 , 23qlM , общая длина балки – 5l.

Реакции в опорах балки

Составим уравнения равновесия системы (рис.4.3а):

0)( KA Fm ; 02425 MlРlqllRB , откуда qlRB 3 .

0)( KB Fm ; 0235 lqllРMlRA , откуда qlRA .

Проверка: 0KYF ; 02232 qlqlqlqlqlРRR BA .

Опорные реакции определены правильно.

Рис. 4.4

28

Эпюра поперечных сил (рис. 4.3б)

Участок АD ( )20 lx . В любом сечении на этом участке слева от точки

О2 0будем иметь: Q = qlRA .

Участок DE )32( lxl . В любом сечении слева от точки О3 имеем Q =

qlРRA . На участках AD и DE поперечные силы постоянны, эпюры имеют

вид прямых, параллельных нулевой линии

Участок BЕ, ход справа )20( lx . Справа от точки О4 действует

реакция RB и равнодействующая распределённой нагрузки qx. Поперечная сила с

учётом правила знаков для правой части балки; Q qxqlqxRB 3 . При

х=0 имеем Q = –3ql; при х=2l поперечная сила Q ql . Эпюра имеет вид

наклонной прямой. Ордината графика в точке Е имеет одно и то же значение как

при построении эпюры слева, так и при ходе справа, что подтверждает

правильность наших расчётов.

Эпюра изгибающих моментов (рис.4.3в)

Участок АС )0( lx . В любом сечении изгибающий момент равен

моменту реакции AR относительно точки 1O : xRM Aиз . При х=0 имеем

Миз=0; при lx , момент 2qlMиз . Эпюра имеет вид наклонной прямой

линии.

Участок СD ( )2lxl . На этом участке слева от точки 2O действует

реакция AR и заданная пара сил с моментом 23qlM . Изгибающий

момент:23qlqlxMxRM Aиз . При lx имеем

24qlMиз ; при х=2l

изгибающий момент будет 25qlMиз . Эпюра момента – наклонная прямая,

причём в точке С, где приложена пара сил с моментом М, имеем «скачок»

момента.

Участок DE )32( lxl .Слева от точки 3O , помимо указанных выше

нагрузок, действует ещё сила qlP 2 . Имеем:

)2( lxPMxRM Aиз )2(23 2 lxqlqlqlx .

Эпюра моментов – прямая линия: при х=2l изгибающий момент составляет 25qlMиз , при x=3l имеем

24qlMиз .

Участок ВЕ, ход справа )20( lx . Принимая во внимание правило

знаков для правой части балки и учитывая, что плечо равнодействующей

распределённой нагрузки относительно точки 4О на участке ВО4 составляет х/2,

получим: 22qxxRM Bиз 23 2qxqlx . Это уравнение параболы. При

х=0 имеем 0изM , при подстановке значения х=2l будем иметь момент

29

24qlMиз . При построении эпюры как слева, так и справа ординаты графика в

точке Е совпадают, что служит подтверждением правильности произведенных

расчётов.

На эпюре 4.1б имеем расчётное значение поперечной силы Qmax=3ql, на

эпюре 4.1в – расчётный изгибающий момент 25

maxqlMиз .

Эпюры, показанные на рис. 4.1, демонстрируют повышение порядка

кривых, очерчивающих графики нагрузки и внутренних силовых факторов:

)( 0xq Q )()( 21 xMx .

Это явление отражает дифференциальные зависимости между нагрузкой

и внутренними силовыми факторами при изгибе [1]-[3]:

q dQ/dx; Q = dM/dx; 22 dxMdq .

4.2. Нормальные напряжения при изгибе

Если на боковую поверхность балки нанести две параллельные риски, а

затем брус изогнуть, то можно заметить, что риски останутся прямыми, но

наклонятся друг к другу под некоторым углом. Проведём через эти риски

секущие плоскости АВ и СD; в соответствии с принятой выше гипотезой,

соответствующие сечения балки останутся плоскими (рис. 4.4.а).

Истолкуем факт взаимного наклона сечений следующим образом. Если

условно представить строение балки слоистым или волокнистым, что физически

имеет место для конструкций из дерева, а также современных композитных

материалов, то волокна на внешней стороне балки окажутся растянутыми, а на

внутренней – сжатой. Таким образом, изгиб можно определить как

одновременное множественное растяжение и сжатие бесконечно большого числа

продольных слоёв материала балки. И поскольку при растяжении и сжатии

возникают нормальные напряжения, правомерно ожидать появления таких же

напряжений в поперечных сечениях изгибаемого бруса.

Рис. 4.4

Найдем нормальные напряжения при изгибе, но предварительно дадим

некоторые дополнительные определения. Переход от растянутых волокон к

сжатым возможен через некоторый нейтральный слой 1nn , длина которого

при изгибе не изменяется (рис. 4.4а). Линия zz пересечения нейтрального слоя

30

с поперечным сечением балки называется нейтральной осью, или осью изгиба

(рис 4.4б). Можно доказать, что ось изгиба проходит через центр тяжести

сечения [1] – [3].

Рассмотрим произвольный слой волокон 1mm , расположенный на

расстоянии y от нейтрального слоя. Обозначим буквой радиус кривизны

нейтрального слоя, точка О – центр его кривизны (рис. 4.4а).

Проведём nmmn //21 , тогда отрезок (дуга большого радиуса) 12mm будет

представлять собой абсолютное удлинение слоя. Относительное удлинение:

121 nnmm . Составим условие подобия треугольников:

1121 Onnmmn , откуда

y

nn

mm

1

21 , или

y

. (4.1)

Подставим значение относительной деформации слоя mm1 в закон Гука для

растяжения (1.4) и получим напряжения, которые действуют в сечении слоя mm1:

yE

E

. (4.2)

В сечении, сделанном по линии СD, слой mm1 представляет собой

элементарную площадку dA, на которой будет действовать элементарная

нормальная растягивающая сила dAyE

dN

(рис. 4.4б). На площадке dA1,

симметрично расположенной ниже оси изгиба z-z, будет действовать

элементарная нормальная сжимающая сила такой же величины. Суммирование

элементарных нормальных сил по всей площади сечения даёт 0)(

AdNN :

нормальные силы в качестве внутренних силовых факторов при изгибе не

фигурируют, что вполне согласуется с выводами, сделанными раньше. Однако

можно найти интегральную сумму моментов элементарных нормальных сил

относительно оси изгиба по всей площади сечения и утверждать, что указанная

сумма представляет собой изгибающий момент в сечении.

Элементарный изгибающий момент: изdМ dAy

EydN 2

.

Интегрируем по всей площади сечения:

изМ = )( )(

2

A Aиз dAyE

dM

. (4.3)

Интеграл, входящий в выражение (4.3), это осевой момент инерции

поперечного сечения балки – характеристика площади, рассмотренная в разделе

3.1. В данном случае в соответствии с формулой 3.3 имеем момент инерции

поперечного сечения балки zI относительно оси zz .

)(

2

Az dAyI . (4.4)

31

С учётом выражения (4.4) имеем /zиз EIМ , откуда находим кривизну

нейтрального слоя: zиз EIМ //1 (4.5)

Полученное выражение (4.5) подставим в (4.2) и после соответствующих

сокращений получим формулу нормальных напряжений при изгибе:

zиз IyМ / (4.6)

Нормальные напряжения в каждой точке сечении балки

пропорциональны расстоянию от данной точки до нейтральной оси. На самой

оси изгиба при 0y напряжения равны нулю. У края сечения, где maxyy ,

имеем максимальные нормальные напряжения maxmax yI

M

z

из . На рисунке

4.4в показано распределение нормальных напряжений по высоте сечения для

прямоугольника, на рис. 4.4г – для трапеции. Напомним, что ось изгиба проходит

через центр тяжести сечения. Расчёт ведётся по наибольшим напряжениям, в

связи с этим введём следующее обозначение:

zz WyI max . (4.7)

Параметр zW носит название осевого момента сопротивления, или

момента сопротивления изгибу.. Подставив этот параметр в (4.6) получим:

zиз WMmax . (4.8)

Таким образом, при изгибе максимальные нормальные напряжения в любом

сечении равны отношению изгибающего момента к осевому моменту

сопротивления.

Определим значения осевых моментов инерции и моментов сопротивления

изгибу для некоторых простых сечений (рис. 4.5).

Рис. 4.5

1. Прямоугольник с основанием b и высотой h (рис. 4.5а). Выберем

элементарную площадку в виде прямоугольника шириной b и высотой dy на

расстоянии у от основания: dybdA . Подставив это выражение в (4.4) и

проинтегрировав в пределах от 2h до 2h , получим:

32

12/3bhI z . (4.9)

Момент сопротивления изгибу при 2max hy в соответствии с (4.7):

6/2bhWz (4.10)

2. Прямоугольник высотой b, в основании которого лежит большая

сторона h (рис. 4.5б). Выбрав элементарную площадку dyhdA и интегрируя

в пределах от 2b и до 2/b , получим осевой момент инерции; по формуле 4.7

и при 2/max by найдем осевой момент сопротивления:

12/3hbI z ; 6/2hbWz . (4.11)

3. Квадрат со стороной а (рис.4.5в). Из (4.11) при ahb получим:

12/4aI z ; 6/3aWz . (4.12)

4. Круг диаметром D (рис. 4.5г). Легко доказать, что осевой момент

инерции для центрально-симметричных фигур составляет половину полярного

момента инерции сечения [1]-[4]. Учитывая, что для круга 324DIP (см.

разд.3.1), имеем 645,0 4DII Pz , а также, учитывая, что в данном случае

2max Dy , получим

33 1,032/ DDWz . (4.13)

5. Кольцевое сечение при внешнем диаметре D и внутреннем диаметре

d (рис. 4.5д). Руководствуясь соображениями, приведенными в разделе 3.1,

получим выражения для осевого момента инерции и момента сопротивления

кольца:

)1(64 4

43

D

dDIZ

; )1(1,0)1(

32 4

43

4

43

D

dD

D

dDWZ

. (4.14)

Анализируя выражения (4.10) – (4.12), замечаем, что из всех рассмотренных

сечений наибольший осевой момент сопротивления имеет прямоугольник,

расположенный так, что его большая сторона перпендикулярна оси изгиба.

Наиболее нагруженные слои материала балки в этом случае располагаются на

максимально возможном расстоянии от нейтральной оси. В связи с этим

появились «облегчённые варианты» прямоугольного сечения – это прокатные

профили: двутавр, швеллер и тавр (рис. 4.6а, 4.6б и 4.6в - соответственно).

Рис. 4.6

33

Несущие элементы этих прокатных профилей – полочки расположены на

максимальном расстояние от нейтральной оси, менее нагруженные области

вблизи оси изгиба частично удалены, что снижает вес балки. Тавровое сечение

применяется для балок из чугуна, материал которых плохо работает на

растяжение, лучше – на сжатие. Несимметричное расположение оси изгиба

приводит к тому, что несущая нагрузку полочка тавра работает при небольших

растягивающих напряжениях.

Сравнивая выражения (4.13) и (4.14), приходим к выводу, что момент

сопротивления изгибу кольцевого сечения мало отличается от характеристики zW

для сплошного круга с наружным диаметром D ; в то же время вес балки

кольцевого сечения существенно меньше. Поэтому в качестве балок часто

используют толстостенные или тонкостенные трубы промышленного

производства.

4.3. Касательные напряжения. Условие прочности при изгибе

При поперечном изгибе в сечениях балки наряду с нормальными возникают

касательные напряжения , зависящие от поперечных сил Q. Эти напряжения

определяются по формуле Журавского:

bIQS z/ . (4.15)

Здесь Q – поперечная сила в данном сечении, zI – осевой момент инерции

всего сечения, b – ширина сечения, S – статический момент площади сечения,

расположенной выше того уровня, для которого определяются напряжения, Эта

геометрическая характеристика определяется по формуле 3.2 (см. раздел 3.1). Так

для балки прямоугольного сечения cyAS , где A – площадь сечения, лежащая

выше указанного уровня, cy – координата центра тяжести этой части площади.

Расчеты показывают, что распределение касательных напряжений по

высоте сечения балки носит параболический характер. При этом касательные

напряжения максимальны на оси балки и равны нулю у края сечения. Как было

показано выше, нормальные напряжения, наоборот, максимальны на внешних

волокнах и равны нулю на нейтральной оси. Однако расчет на совместное

действие нормальных и касательных напряжений производится не всегда. Для

стальной балки, длина которой l более, чем в 10 раз превышает ее высоту h ,

касательные напряжения на порядок меньше нормальных, поэтому их влиянием

можно пренебречь. Касательные напряжения учитываются при расчете на

прочность конструкций из дерева и некоторых других неметаллических, в том

числе, композитных материалов. Для стальных балок расчёт на прочность

производят только по нормальным напряжениям; условие прочности в этом

случае имеет вид:

][/ zиз WМ . (4.16)

Здесь uзM – максимальный изгибающий момент с эпюры моментов, ][ –

допускаемые напряжения на изгиб.

34

Пример 4.3. Подобрать сечения балки круглое, квадратное и прямоугольное

с отношением сторон 1:2: bh по следующим данным: максимальный

(расчётный) изгибающий момент 1360max M Нм, допускаемое напряжение

изгиба можно принять равным ][ =160 МПа (Н/мм2).

Для круглого сечения 32/3

1DWz , для квадратного – 6/3

2aWz , для

прямоугольного сечения при h=2b имеем 3/2 3

3bWz . Подставляем каждое из

этих значений в условие прочности балки (4.16): 160/101360 3 zW . После

соответствующих вычислений получаем:

для круглого сечения 44D мм, принимаем D=45 мм;

для квадратного сечения – 36a мм;

для прямоугольника имеем: 23b мм, 46h мм.

4.4. Деформации при изгибе балки

4.4.1.Прогиб и поворот сечения балки Упругая линия балки

При изгибе. прямолинейная ось бруса деформируется и приобретает вид

некоторой кривой, называемой упругой линией балки. Искривление балки

вызывает линейные и угловые перемещения её поперечных сечений (рис. 4.7а).

Линейное перемещение центра тяжести сечения по направлению,

перпендикулярному оси балки, называется прогибом и обозначается через у.

Прогиб является функцией расстояния сечения от опоры балки: )(xyy .

Угловая деформация балки в любой её точки определяется углом поворота

соответствующего сечения по отношению к своему первоначальному положению

и обозначается буквой . Учитывая геометрический смысл производной и считая

прогибы и углы поворота поперечных сечений весьма малыми, примем

dx

dytg . (4.17)

Рис. 4.7

Приведем также дифференциальное уравнение упругой линии балки [1]:

MdxydEI 22 / , (4.18)

Где М – изгибающий момент, действующий на балку.

35

Выразим угол поворота сечений через геометрические параметры. При

чистом изгибе, когда в сечениях бруса действует изгибающий момент Миз

постоянной величины, упругая линия балки имеет вид дуги окружности радиуса

. Обозначим угол взаимного поворота концевых сечений балки через . Из рис.

4.7б видно, что

2

22sin

l , или l . Подставим значение кривизны

нейтрального слоя балки из выражения (4.5). Если длина балки l, то её

абсолютную деформацию при чистом изгибе можно определить формулой:

z

из

EI

lM . (4.19)

При поперечном изгибе величины изгибающих моментов переменны по

длине балки: )(xMM , поэтому деформация вычисляется для бесконечно

малого участка балки dx:

z

из

EI

dxxMd

)( . (4.20)

Произведение zEI носит название жёсткости при изгибе.

Таким образом, абсолютная деформация (угол поворота) пропорциональна

изгибающему моменту, длине балки и обратно пропорциональна жёсткости при

изгибе. Прогиб сечения в любой точке балки можно найти интегрированием.

Следует обратить внимание на идентичность выражения абсолютной

деформации при всех рассмотренных выше видах нагружения – формулы (1.5),

(2.4), (3.17) и (4.20): в числителе указанных выражений имеем произведение

внутреннего силового фактора на линейную величину, в знаменателе –

соответствующие жёсткости, причём термином «жёсткость» обозначается

произведение модуля упругости Е или G на ту или иную характеристику площади

( А , ,PI )zI .

4.4.2. Энергетические методы определения деформаций. Метод Мора,

Способ Верещагина..

Расчёт балочных конструкций на жёсткость играет существенную роль в

технике, поэтому методы определения деформаций при изгибе хорошо

разработаны и отличаются большим разнообразием Наиболее популярны

энергетические методы, один из которых – метод Мора –будет рассмотрен ниже.

Отто Христиан Мор (1835-1918) – великий немецкий ученый, теоретик и

практик, ученый-механик и инженер. Ему принадлежит графическая

интерпретация сложного напряженного состояния материала и теория

прочности хрупких материалов. Разработал расчет стержневых конструкций

методом сил, предложил удобный способ определения деформаций балок.

Приведем далее основные положения метода, предложенного Мором. Пусть

заданная балка под действием приложенных к ней нагрузок получила в точке С

прогиб, равный С . Элементарный угол поворота этого сечения при этом будет:

zx EIdxMd / (4.21)

36

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Далее отбросим все нагрузки, а вместо них приложим к балке в точке С

единичную силу, после чего дадим этой точке прежний прогиб С (рис. 4.8а)

Работа единичной силы при этом переходит во внутреннюю энергию

деформации: CUA 1 . (4.22)

Выразим внутреннюю энергию деформацию балки от единичной силы в

дифференциальной форме, и подставим значение угла d из формулы (4.19):

zx EIdxMMdMdU /11 . (4.23)

После интегрирования и подстановки значения внутренней энергии U из

(4.22) имеем: l

xz

с dxMMEI 0 1

1 . (4.24)

Выражение l

xdxMM0 1 носит название интеграла Мора. Здесь М1 –

изгибающий момент от единичной нагрузки, xM – изгибающий момент от всех

приложенных к балке нагрузок, zEI – жесткость балки. Таким образом,

деформация балки в любой точке равна интегралу Мора, деленному на

жесткость.

Примечание 1: формула (4.24) справедлива только для прямолинейного

бруса постоянного сечения.

Примечание 2: единичную силу прикладывают в заданной точке, если

нужно определить прогиб; если предполагают найти угол поворота, то в этой

точке следует приложить единичный момент.

37

Пример 4.4. Определить методом Мора прогиб конца консольной балки

АВ длиной l , нагруженной сосредоточенной силой P и распределенной

нагрузкой интенсивностью q (рис. 4.8б)

Находим изгибающий момент от заданной нагрузки: 2/2qxPxМиз (1)

Далее создаем единичную систему: прикладываем силу, равную единице,

на конце балки – в точке А, где требуется определить прогиб, а заданные нагрузки

сбрасываем. Изгибающий момент от единичной нагрузки: ххМиз 1 (2).

Подставляем значения моментов (1) и (2) в выражение (4.24):

l

z

l

zА dxqxPx

EIdxxqxPx

EI0

32

0

2 )2/(1

)2/(1

.

После интегрирования и соответствующих подстановок:

zzА

EI

ql

EI

Pl

83

43

.

В сложных случаях нагружения балки процесс интегрирования может

создавать большие трудности при расчетах. Существенное упрощение дает

предложенный А.К. Верещагиным (1896-1959) графоаналитический метод

определения прогибов и углов поворота сечений. Деформация, по Верещагину,

находится как деленное на жесткость произведение площади эпюры от

заданной нагрузки (грузовой эпюры) на ординату эпюры от единичной

нагрузки, лежащую под центром тяжести грузовой эпюры [3].

Покажем решение примера 4.4. способом Верещагина.

Изобразим заданную в примере 4.4 балку и построим эпюры от каждой из

приложенных к ней нагрузок (рис. 4.9а). Изгибающий момент от сосредоточенной

силы определяется уравнением РхМиз . Максимальный изгибающий момент:

PlМиз max

, эпюра момента имеет вид треугольника, площадь которого

2/2Plp ; положение центра тяжести С1 этой площади определяется

абсциссой 3/21

lxc (рис. 4.9б).

Изгибающий момент от распределенной нагрузки находим по уравнению

2/2qxМиз ; максимальный момент в заделке: 2/2

maxqlМиз . Эпюра

момента очерчена параболой, площадь которой составляет одну треть площади

прямоугольника, в который она вписана, то есть 6/3qlp . Центр тяжести C2

площади параболы 4/32

lxc [4]. Площадь этой эпюры отрицательна.

Изобразим единичную систему (рис. 4.9в), аналогичную изображенной на

рис. 4.8б. Максимальный изгибающий момент от единичной силы: lМ 11 ,

площадь единичной эпюры –треугольник. Отметим на этой площади ординаты,

лежащие под центрами тяжести грузовых эпюр: 3/21 lр ; 4/31 lр .

Прогиб в точке А находим перемножением эпюр:

38

)4

3

63

2

2(

1)(

1 32

11

lqllPl

EIEI zpрpp

zА . Окончательно:

zzА

EI

ql

EI

Pl

83

43

.

4.4.3. Статически неопределимые балки

Статически неопределимой называется балка, при расчете которой число

неизвестных опорных реакций превышает число уравнений статики. Так если для

системы (прим. 4.4) организовать дополнительную шарнирную опору в точке А,

то неизвестных реакций будет три: BBA MRR ,, . Уравнений же статики можно

составить только два: 0kyF и 0)( kA Fm . Задача один раз статически

неопределима.

Пример 4.5. Определить реакции статически неопределимой балки (рис.

4.10а). Построить эпюры поперечной силы и изгибающего моментов при qlP .

Отбросим опору А и заменим ее

реакцией 1X . Эквивалентная система

показана на рис. 4.1б. Под действием

активных нагрузок балка AB прогнулась

бы на величину

Р zzА EIqlEIPl 8/3/ 43 (см.

4.4). Под действием силы 1X балка

получит дополнительный прогиб ,

который можно представить как

произведение прогиба от единичной

силы (рис. 4.10в) на некоторый числовой

коэффициент 1X . Прогиб от единичной

силы найдем способом Верещагина.

Эпюра изгибающего момента от

единичной силы показана на рис 4.10г.

Площадь этой эпюры 2/21 l ,

ордината, проходящая через центр ее

тяжести 3/211 l . Перемещение от

единичной силы:

zz EIlEI 3// 311111 .

Перемещение точки А от силы 1X было

бы 111X . Но точка А неподвижна,

следовательно, 0111 PX . (4.25).

Имеем каноническое уравнение.

39

После соответствующих подстановок: 0833 4331 zzz EIqlEIPlEIlX ,

откуда 8/58/31 qlqlqlXRA .

Знак минус показывает, что реакция AR направлена против единичной

силы, то есть вниз. Построим далее эпюру поперечных сил по уравнению Q =

qxPRA . В точке А имеем Q = 8/3ql , в заделке (точка В): Q = 8/5ql

(рис. 4.10д). Эпюра изгибающих моментов построена по уравнению

2/2qxPxxRМ Aиз . В точке А имеем 0изМ , в заделке ( lx ) –

8/2qlМиз ; в точке 8/3lхэ – экстремум 207,0 qlМ э (рис. 4.10е).

Если число неизвестных реакций больше одной, следует составлять

систему канонических уравнений, подобных 4.25 [2], [4].

5. Сложное напряжённое состояние материала.

Расчеты на сложное сопротивление

5.1. Напряжения в наклонных сечениях бруса при его растяжении

При растяжении бруса напряжения возникают не только в сечениях,

перпендикулярных его продольной оси, но и во всех наклонных сечениях.

Рассмотрим, какие напряжения возникают на площадке 1-1, положение которой

определяется углом между нормалью к сечению и осью растяжения (рис. 5.1а).

Пусть площадь поперечного сечения бруса А , а напряжение на этой

площадке при растяжении силой F составляет AFAN . В наклонном

сечении рассматриваемого бруса 1-1 будем иметь cosAA и напряжение

cos/cos AFAFp .

Разложим напряжение p на нормальную и касательную составляющие:

p . Проектируя на нормаль и линию сечения 1-1, получим:

2cos – нормальные напряжения и

2sin

2sincos –

касательные напряжения в наклонном сечении (рис. 5.1а).

Рис. 5.1

40

При = 0 имеем max , а также 0 . То есть в поперечном

сечении бруса, перпендикулярном оси растяжения, касательные напряжения

отсутствуют, а нормальные напряжения максимальны (рис. 5.1б)

При 45 нормальные и касательные напряжения равны между собой:

245cos2 ; 2

90sin2

max

. Очевидно, касательные

напряжения на данной площадке максимальны. Тот же результат можно

получить, рассматривая сечение, расположенное под углом 135 к

продольной оси бруса.

При 90 имеем ,0 а также 0 : в продольных сечениях бруса

отсутствуют как нормальные, так и касательные напряжения.

5.2. Теория сложного напряженного состояния

и гипотезы прочности

Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок,

проходящих через данную точку деформируемого тела, называется

напряжённым состоянием материала в данной точке. Как было показано

выше, при растяжении и сжатии бруса через каждую его точку можно провести

только одно сечение, в котором не возникает касательных напряжений, но

действуют нормальные напряжения максимальной величины. Это сечение,

перпендикулярное линии действия деформирующих сил, называется главной

площадкой, а возникающие на нём напряжения – главными напряжениями.

Если через данную точку можно провести одну главную площадку, имеем

линейное, или одноосное напряжённое состояние (рис. 5.1б).

При некоторых условиях нагружения возможно возникновение в каждой

точке материала двух главных площадок, на которых действуют два главных

напряжения: max и min . При двух главных площадках, проходящих через

заданную точку, напряжённое состояние называется плоским, или двухосным

(рис. 5.1в). Если при этом в какой-либо точке имеем нормальное напряжение и

касательное , то главные напряжения можно определить по формулам:

2/42/ 22max ; 2/42/ 22

min . (5.1)

В самом общем случае приложения нагрузок, когда деформирование

материала происходит по некоторому объёму, например, при обработке металла

режущим инструментом или при резании горной породы, через любую точку тела

можно провести три главные площадки, на которых действуют три главных

напряжения, нумеруемых в порядке уменьшения величин: 321 .

Такое сложное напряженное состояние называется объёмным, или трёхосным.

Для наглядности в этом случае главные площадки представляют в виде граней

элементарного куба, построенного в окрестностях рассматриваемой точки (рис.

5.1г).

Очевидно, при плоском напряженном состоянии max1 , 02 , min3

41

Определение главных напряжений при объемном напряженном состоянии

представляет известные сложности и подробно рассматривается в литературе [1]-

[3]. Несколько проще найти деформации по направлению каждого из

действующих главных напряжений путем обобщения закона Гука (1.4) и

соотношения продольной и поперечной деформаций – выражение (1.6).

Очевидно, что удлинение или укорочение по направлению одного из главных

напряжений вызывает укорочение (удлинение) по направлениям двух других

главных напряжений. Присвоив относительным деформациям индексы

соответствующих главных напряжений: 1 , 2 и 3 – составим уравнение

деформаций при одновременном действии всех трех главных напряжений: 1 ,

2 и 3 :

EE

EE

EE

/)(/

/)(/

/)(/

2133

3122

3211

(5.2)

Выражение (5.2) носит название обобщенного закона Гука.

Напряжённое состояние определяет механические свойства материала,

который в зависимости от условий нагружения может находится либо в упругом,

либо в пластическом состоянии. При достижении некоторого нагрузочного

максимума может начаться разрушение материала конструкции. Однако

установить, от чего происходит разрушение материала в каждом конкретном

случае весьма сложно. Причиной этого нежелательного явления могут быть как

нормальные, так и касательные напряжения, а также критические деформации в

напряжённой зоне или, например, концентрация особого рода внутренней

энергии. Возможно воздействие и некоторых других факторов. В связи с этим

существуют лишь гипотезы предельного напряжённого состояния и разрушения

материала, или теории прочности.

В зависимости от возможных причин разрушения материала Галилеем в

XVII веке была выдвинута теория наибольших нормальных напряжений,

одним из основоположников теории упругости Сен-Венаном в XIX веке – теория

наибольших деформаций, рядом ученых ХХ века – энергетическая теория

прочности. Каждая из этих теорий имеет свои достоинства и более или менее

подтверждается экспериментами. Но наибольшую популярность до настоящего

времени имеет теория наибольших касательных напряжений, предложенная в

конце XVIII века известным ученым Шарлем О. Кулоном. Распространенность

этой теории обусловлена тем, что она хорошо подтверждается при испытании

пластичных материалов. Эта гипотеза носит название третьей теории

прочности; в соответствии с ней имеем следующее проверочное условие для

пластичных материалов

][31 . (5.3)

То есть при сложном напряжённом состоянии разность наибольшего и

наименьшего из главных напряжений должна быть меньше нормального

напряжения, допускаемого при одноосном растяжении.

42

Распространил эту гипотезу на хрупкие материалы Отто Мор. Так как

хрупкие материалы, подобные чугуну, по-разному сопротивляются растяжению и

сжатию, то в уравнение (5.3) следует ввести коэффициент сжрК ][][ .

Здесь р][ – допускаемое напряжение на растяжение, cж][ – допускаемое

напряжение на сжатие. Условие прочности для хрупких материалов имеет вид:

][31 K . (5.4)

5.3. Принципы расчета конструкций на сложное сопротивление.

Примеры расчетов на сложное сопротивление

В процессе работы элементы механических устройств могут испытывать

влияние нескольких разнородных нагрузок, при этом в каждой точке материала

возникает то или иное напряжённое состояние. При расчёте на сложное

сопротивление, когда материал испытывает воздействие комбинированных

нагрузок, исходят из нескольких основных положений.

1) Принцип независимости действия сил: внутренние силовые факторы,

напряжения и деформации определяют от каждой нагрузки независимо

от всех остальных внешних сил.

2) Если при действии внешних нагрузок возникают однородные

напряжения: только нормальные или только касательные – то их

можно суммировать алгебраически.

3) Разнородные напряжения: нормальные и касательные – можно

суммировать только по одной из теории прочности.

Рассмотрим примеры работы конструкций на сложное сопротивление.

Пример 5.1. Расчет пружины растяжения и сжатия.

Как было показано в разделе 3.3, пружина испытывает воздействие

кручения и сдвига. При этом возникают только касательные напряжения, которые

можно суммировать алгебраически.

Пример 5.2. Расчет балки на изгиб с растяжением.

На рис. 5.2а изображена консольная балка, к которой в плоскости

продольной симметрии zoy (главной плоскости ABCD) под углом к оси Оy

приложена сила Р. Разложим эту силу на две составляющие, как это показано на

рисунке. Очевидно, сила cosP изгибает балку, а сила sinP – ее

растягивает.

Рис.5.2

43

Напряжения от изгиба переменны по длине балки, они максимальны в

защемлении и составляют там WPиз /cos , где 6/2bhW – осевой

момент сопротивления, b – ширина балки, h – ее высота. Эпюра напряжений из

по высоте балки показана на рис. 5.2б. Напряжения от растяжения одинаковы во

всех сечениях балки и равномерно распределены по высоте сечения. Величина

этих напряжений: bhPр /sin (рис. 5.2в).

Однородные нормальные напряжения можно сложить алгебраически,

поэтому суммарные напряжения составят изр , или, подробнее,

2max /cos6/sin bhPbhP ;

2min /cos6/sin bhPbhP . (5.4)

Возможная эпюра суммарных напряжений показана на рис. 5.2г.

Аналогично решается задача о совместном действии сжатия и изгиба в

одной из плоскостей симметрии балки: xoz или yoz . В этом случае суммарные

нормальное напряжение определяются выражением: изсж . (5.5)

Пример 5.3. Внецентренное сжатие.

Внецентренным сжатием называется такой случай сжатия, когда сила,

сжимающая брус, параллельна оси бруса, лежит в одной из главных плоскостей

балки, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести сечения (рис.

5.3а).

Рис.5.3

Пусть продольная сжимающая сила Р действует на брус в точке 1О . Если О

– центр тяжести сечения, то эксцентриситет ее действия составляет 1ООе .

Приложим в точке О две равные Р и противоположно направленные силы

44

Р и Р . Тогда сила РР будет сжимать брус по оси z, а пара сил

( РР , ) создаст изгибающий момент РеМиз . Момент этот действует в

главной плоскости симметрии балки и остается постоянным по всей ее

длине.

Напряжения сжатия: bhPсж / , изгиба: 2/6 bhPeиз (рис. 5.3б,в).

Суммарно 2/6/ bhPebhPизсж (рис. 5.3г,д). Очевидно, задачу

удалось свести к примеру 5.2 (см. формулу 5.5), так что при внецентренном

сжатии могут возникать как сжимающие, так и растягивающие напряжения в

случае, если сжиз . Однако, если брус сделан из хрупкого материала:

чугуна, камня, кирпича – то появление растягивающих напряжений

нежелательно. Особенно это актуально для строительных конструкций:

кирпичных или каменных кладок, материал которых плохо сопротивляется

растяжению, а кроме того, существует опасность разрушения швов, скрепляющих

элементы кладки.

Чтобы не возникали растягивающие напряжения, необходимо ограничить

эксцентриситет сжимающей силы, то есть точка ее приложения не должна

превышать некоторой предельной величины. Таким образом вокруг центра

тяжести сечения бруса можно очертить некоторую зону, в пределах которой

сжимающая сила не вызывает появление напряжений растяжения. Эта зона

называется ядром сечения [1]-[3].

Приведем примеры размеров этих зон для наиболее распространенных

видов сечения балки. Ядром сечения прямоугольного бруса со сторонами b и h

является ромб с диагоналями 3/b и h/3 (рис. 5.3ж). Ядро сечения круглого

бруса диаметра d имеет форму круга диаметра 4/d (рис. 5.3к).

Пример 5.4. Косой изгиб

Косой изгиб возникает в том случае, если действующая на брус сила не

лежит ни в одной из главных плоскостей симметрии балки. Такой случай показан

на рис. 5.4а: изгибающая сила Р составляет угол с вертикальной плоскостью

симметрии xoy.

Разложим силу Р на две составляющие: yx PPP , причем sinPPx ,

cosPPy . Составляющая xP изгибает балку в ее главной горизонтальной

плоскости xoz, составляющая yP – в главной вертикальной плоскости yoz .

Таким образом, косой изгиб можно свести к двум простым, или плоским

изгибам, рассмотренным в разделе 4. В любом сечении на расстоянии z от торца

балки в главной ее вертикальной плоскости имеем cos1

PzМиз , в главной

горизонтальной плоскости sin2

PzМиз . При этом возникают нормальные

напряжения 2

1 /cos bhPz , а также hbPz 22 /sin6 , где b и h –

параметры сечения балки. Эпюры напряжений 1 и 2 показаны на рис. 5.4б и

45

5.4в. Напряжения достигают максимума в заделке, причем в каждой точке

сечения ABCD будем иметь алгебраическую сумму напряжений 1 и 2 .

Рис. 5.4

Очевидно, наибольшие растягивающие напряжения имеем в точке В:

)/sin/(cos6 22max hbbhP , наибольшие сжимающие напряжения – в

точке D: )/sin/(cos6 22min hbbhP . На рис. 5.4г показана эпюра

суммарных напряжений в заделке балки. Нейтральная линия при этом проходит

через центр тяжести поперечного сечения балки и составляет с положительным

направлением оси ox угол , тангенс которого определяется уравнением

yx IItgtg / , где 6/2bhIx , 6/2hbI y [3].

Пример 5.5. Расчет зубчатой передачи на изгиб.

На рис. 5.5 показан зуб колеса, на который под некоторым углом

действует нормальное усилие nF . Перенесём это усилие на ось колеса и разложим

его на направление оси симметрии зуба и по перпендикуляру к этой оси.

Очевидно, зуб колеса работает на изгиб и сжатие. Усилие, изгибающее зуб –

cosnF , усилие, сжимающее зуб, – sinnF . В курсе деталей машин [5]

показано, что нормальное усилие определяется выражением cos/2 dMFn ,

где М – крутящий момент на колесе, d – диаметр делительной окружности колеса,

46

причем zmd t , где z – число зубьев колеса, tm – модуль зубчатой передачи,

равный отношению шага зубьев к числу последних; угол 20 – нормальный

угол зацепления.

Опасное для прочности зуба сечение находится несколько выше

окружности впадин колеса, параметры опасного сечения: sb , где b – ширина

колеса. Момент сопротивления изгибу – 62bsWz ; плечо изгиба – расстояние

от точки приложения нагрузки до опасного сечения обозначим через l (рис. 5.5).

Найдём напряжения изгиба:

из 22

cos6

cos

2

6cos

cos2

s

l

db

M

bsd

Ml

W

M

z

из

. (5.6)

Напряжения сжатия определяются выражением:

сж=sdb

M

bsd

M

sin

cos

2

cos

sin2

. (5.7)

Эпюры нормальных напряжений изгиба из и сжатия сж показаны на рис. 5.5

Рис.5.5 Рис. 5.6

Учтём, что разрушение начинается на растянутой стороне зуба, где

однородные нормальные напряжения в соответствии с выражениями (5.5) и (5.6)

можно суммировать алгебраически: сжиз . Далее можно сгруппировать

параметры зуба, характеризующие его форму: функции угла γ, плечо l, ширину

опасного сечения s, угол . Выражение, включающее в себя все эти величины, называется коэффициентом формы зуба – YF. Введем также

коэффициент нагрузки FK = 1,3…1,4 и после несложных преобразований

получим условие прочности зуба на изгиб и сжатие:

][2

2

zbm

KMY

t

FF . (5.8)

47

Здесь F][ - допускаемые напряжения изгиба. Для углеродистых сталей

марок 35, 40, 45, 50 можно принимать )190...160(][ F МПа; для

легированных сталей типа 15Х, 20Х, 40ХН – )330...190(][ F МПа.

Пример 5.6. Расчет вала зубчатой передачи.

На рисунке 5.6 показан вал с закрепленным на нем прямозубым колесом .

Опорами вала являются шариковые подшипники . На правом конце вала

предусмотрена установка соединительной муфты.

Нагрузочный момент М, закручивает вал на участке СD. Верхний график на

рис. 5.6 – это эпюра крутящего момента. Напряжения кручения: в соответствии с

формулой (3.14) – PK WM , где MMK - крутящий момент, 32,0 dWP

– полярный момент сопротивления вала диаметра d.

Нагрузку на вал создают также усилия, возникающие в зацеплении

зубчатых колёс Радиальное усилие rF изгибает вал в вертикальной плоскости.

При этом в случае симметричного расположения колеса реакции в опорах вала

будут составлять rF /2. Примем, что длина вала на участках АС и СВ равна l, и

построим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.6, второй график сверху).

Максимальный изгибающий момент от радиального усилия 21

lFM rиз .

Окружное усилие tF при переносе его на ось колеса. будет изгибать вал в

горизонтальной плоскости. Реакции в опорах будут равны половине окружного

усилия, максимальный изгибающий момент от этой нагрузки 22

lFM tиз .

Эпюра изгибающего момента от нагрузки tF показана на рис. 5.6 (нижний

график).

Суммарный изгибающий момент можно найти геометрическим сложением

моментов, действующих во взаимно перпендикулярных плоскостях:

22

21 изизиз MMM . (5.9)

Напряжение изгиба в соответствии с формулой (4.8): = zиз WМ / , где

31,0 dWz – осевой момент сопротивления вала.

В данном случае имеем совместное действие кручения и изгиба.

Суммирование возникающих при этом нормальных и касательных напряжений

возможно только по одной из теорий прочности. Учтем, что в данном случае

имеем плоское напряженное состоянии, рассмотренное в разделе 5.1, причем

главные напряжения: max1 и min3 – определяются формулами (5.1).

Подставим эти значения в условие прочности (5.3), соответствующее теории

наибольших касательных напряжений:

2/42/( 22 ][)2/42/ 22 , и ли

][4 22 . (5.10)

48

Выражение 22 4 называется приведенным, или эквивалентным

напряжением. Подставляя в формулу (5.10) значения (4.8) и (3.14), а также

учитывая, что в соответствии с формулой (3.5а) zp WW 2 , получим:

][)/( 22 zkиз WMM .

Обозначим: 22kиз MM = эM – и назовём эту величину эквивалентным

моментом нагрузки. Введем также принятые при расчете валов из

конструкционных сталей допускаемые напряжения )70...40(][ МПа. Тогда

условие прочности вала будет иметь вид [5]:

zэ WМ / ][ . (5.11)

По условию (5.11) можно определить диаметр вала под втулкой

колеса либо проверить прочность спроектированного ранее вала в

наиболее нагруженном сечении С.

6. Продольный изгиб

При сжатии длинного и тонкого стержня продольной силой этот стержень

может внезапно потерять устойчивость – изогнуться и даже разрушиться. Такое

явление носит название продольного изгиба.

Стержень сохраняет прямолинейную форму, пока приложенная к нему сила

не достигнет некоторого критического значения крР . Однако стержням,

работающим на сжатие, следует придавать такие размеры, при которых

критическая сила значительно превышала бы нагрузку, фактически действующую

на стержень, то есть была больше некоторой допускаемой силы дР . Отношение

указанных сил называется запасом устойчивости стержня и обозначается

литерой к ; эта величина должна превышать единицу:

1/ кРР дкр . (6.1)

Для стали 3...8,1к , для дерева 3...5,2к , для чугуна 6...5к .

Определение критической силы в зависимости от способа закрепления

концов стержня было предложено Леонардом Эйлером (1707-1783). Им были

рассмотрены четыре основных случая.

Случай 1 – стержень с шарнирно-закрепленными концами (рис.6.1а).

Под действием критической силы стержень изогнется, причем изгибающий

момент в любом его сечении будет составлять

PyММиз . (6.2)

Эйлером принято, что по форме упругая линия балки (раздел 4.4.1)

представляет собой синусоиду. Если l – длина стержня, f – прогиб его середины,

то уравнение упругой линии можно выразить формулой:

xl

fy

sin . (6.3)

49

На концах стержня при 0x и при lx прогиб 0y ; на середине

стержня при 2/lx имеем прогиб fy . Изгибающий момент с учетом (6.2):

xl

PfМ

sin . (6.4)

Подставим это значение момента в уравнение упругой линии балки (4.18):

xl

Pfdx

ydEI

sin

2

2

. (6.5)

После двукратного интегрирования формулы (6.5) и определения

произвольных постоянных находим силу Р, которая в данном случае является

критической:

22 / lEIРкр . (6.6)

Выражение (6.6) называется формулой Эйлера.

Рис. 6.1

Случай 2 – стержень защемлен одним концом, а другой его конец свободен.

Этот случай показан на рис. 6.1б, причем можно видеть, что стержень

находится в таких же условиях, как половина шарнирно опертого стержня (рис.

6.1.а). Поэтому для получения критической силы в этом случае достаточно в

формуле (6.6) заменить длину l на 2l. Имеем:

22 )2/( lEIРкр . (6.7)

Случай 3 – Оба конца стержня защемлены (рис 6.1в).

Из рисунка можно видеть, что упругую линию стержня можно представить

состоящей из четырех частей, по длине примерно равных 4/l , причем каждая

часть находится в тех же условиях, что и защемленный одним концом стержень

(случай 2). Заменив в формуле (6.7) длину l на l/4, получим:

22

22

2/

42/

lEI

lEIРкр . (6.8)

50

Случай 4 – Стержень одним концом закреплен шарнирно, а другим жестко

защемлен (рис. 6.1г). Опытным путем установлено, что в этом случае упругую

линию условно можно разделить на три участка равной длины, каждый из

которых находится в тех же условиях, что и стержень в случае 2. Подставив в

формулу (6.7) длину l/3, получим:

22

32/

l

EIРкр . (6.9)

Полученные выше формулы (6.6)-(6.9) можно обобщить, если заменить

выражение в знаменателе этих формул через произведение l :

22 )/( lEIРкр . (6.10)

Произведение, стоящее в скобках знаменателя этой формулы, называется

приведенной, или расчетной длиной стержня пl , а величина носит

название коэффициента приведения длины и легко определяется из указанных

формул: для случая 1 имеем 1 , для случая 2 – 2 , для случая 3 – 2/1 ,

и для случая 4 – 3/2 . Таким образом, имеем окончательно:

22 / nкр lEIР . (6.11)

Введем далее условие прочности стержня при продольном изгибе. Если

кр – критические напряжения, соответствующие силе крР , а ][ –

допускаемые напряжения, то

][ кр . (6.12)

Найдем критические напряжения при продольном изгибе стержня. Если А –

площадь поперечного сечения стержня, то критические напряжения в материале

стержня составляют

22 // nкркр AlEIAР . (6.13)

При расчетах на продольный изгиб принято выражать площадь сечения

стержня через момент его инерции I и радиус инерции i . Как известно [1],

AIi / , откуда 2/ iIA . Подставим полученное выражение в (6.13):

22

2

22

2

// il

E

iIl

EI

nn

кр

. (6.14)

Выражение, стоящее в знаменателе формулы (6.14), называется гибкостью

стержня и обозначается литерой , то есть

iln / . (6.15)

Подставив это выражение в (6.14) получим:

22 / Eкр . (6.16)

Откуда критическое значение гибкости стержня:

51

крЕ /2 . (6.17)

Формула Эйлера выведена из предположения, что материал сжимаемого

стержня при деформации следует закону Гука, следовательно эта формула

справедлива только до тех пор, пока критическое напряжение не превзойдет

предела пропорциональности материала. Границу применимости формулы

Эйлера можно найти, если в уравнение (6.17) вместо критического напряжения

кр подставить предел пропорциональности материала п , а затем выразить

предельную гибкость стержня пр . В этом случае вместо уравнения (6.17)

получим

ппр Е /2 . (6.18)

Так для стали 30 при 5102 Е МПа и 200п МПа имеем 100пр .

Если гибкость стержня, вычисленная по формуле (6.15), равна или больше

предельного значения, то критическое напряжение можно выбирать по формуле

(6.16). Если гибкость окажется меньше, то можно воспользоваться какой-либо

эмпирической зависимостью. Так, например, известна формула профессора

Петербургского института путей сообщения Ф. Ясинского:

bакр . (6.19)

Коэффициенты а и b определяются экспериментально.

Что же касается допускаемых напряжений, то их можно

определять в зависимости от гибкости стержня как некоторую часть

от допускаемого напряжения на простое сжатие сж][ :

сж][][ . (6.19)

Параметр называется коэффициентом уменьшения допускаемого

напряжения для сжатых стержней. Таблицы коэффициентов в

зависимости от гибкости стержня (стойки) приводятся в литературе.

Библиографический список 1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1998. – 544 с.

2. Арсентьев Ю.А., Булгаков Е.С. Прикладная механика. Ч.1. Сопротивление

материалов. Учеб. Пособие. – М.: РУДН, 2006. – 302 с.

3. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов. Краткий учебник. – М.: Наука,

1995. – 384 с.

4. Арсентьев Ю.А., Булгаков Е.С., Сердюк Н.И. Сборник задач по приклад.

механике. Сопротивление материалов. – М.: Изд. РГГРУ, 2008. – 302 с.

5. Детали машин. Под редакцией О.А. Ряховского. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана,

2005 г. – 544 с.

52

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

1. Основные понятия науки о сопротивлении материалов: внутренние

силовые факторы, деформации, напряжения. Метод сечений.

2. Растяжение и сжатие. Нормальные силы и напряжения. Диаграмма

растяжения и механические характеристики материалов.

3. Продольная и поперечная деформации. Закон Гука при растяжении.

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Условие прочности и допускаемые

напряжения при растяжении.

4. Принцип расчета статически неопределимых систем, работающих на

растяжение.

5. Сдвиг. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука при сдвиге.

Модуль упругости второго рода. Расчёты на прочность при сдвиге.

6. Геометрические характеристики плоских сечений: статический момент

площади, полярный, осевой и центробежный моменты инерции. Моменты

инерции прямоугольника, квадрата, круга , кольца. Теорема Штейнера.

7. Кручение круглых стержней. Напряжения при кручении и их

распределение по сечению бруса. Деформации при кручении.

8. Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе: поперечная сила и

изгибающий момент. Дифференциальные зависимости между распределённой

нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом.

9. Нормальные напряжения при изгибе и характер их распределения по

сечению балки. Обоснование применения прокатных профилей балок – швеллера,

двутавра, тавра. Условие прочности балки на изгиб по нормальным напряжениям.

10. Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского.

11. Деформации при изгибе. Упругая линия балки. Прогиб и поворот

сечений балки. Угол поворота сечений при чистом и при поперечном изгибе.

12. Определение деформаций методом Мора. Правило Верещагина.

13. Понятие о сложном напряжённом состоянии. Напряжения в наклонных

сечениях при растяжении бруса. Главные площадки и главные напряжения.

Линейное, плоское и объёмное напряженное состояние материала. Обобщенный

закон Гука.

14. Гипотезы прочности материала.

15. Принципы расчёта конструкций на сложное сопротивление. Примеры

расчетов на сложное сопротивление: растяжение с изгибом, внецентренное

сжатие, косой изгиб.

16. Расчет вала на сложное сопротивление изгибу и кручению.

17. Продольный изгиб. Расчет критической силы в зависимости от способов

закрепления концов стержня (формулы Эйлера). Условие прочности при

продольном изгибе. Выбор критических и допускаемых напряжений при

продольном изгибе.

53

54

Содержание

Введение. Основные понятия и методы сопротивления материалов. . . . . 3

1. Растяжение и сжатие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.Внутренние силы и напряжения при растяжении и сжатии.

Влияние собственного веса бруса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Механические характеристики материала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Закон Гука при растяжении и сжатии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.4. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Сдвиг. Расчет деталей крепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Внешние и внутренние силовые факторы при сдвиге. . . . . . . . . . . . . . .14

2.2. Деформации и закон Гука при сдвиге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.3. Расчет на прочность деталей крепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Кручение круглых стержней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

3.1. Некоторые дополнительные характеристики площади сечений. . . . . . 16

3.2. Внешние и внутренние крутящие моменты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Напряжения и деформации при кручении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4. Расчет на прочность и жесткость при кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5. Расчет винтовой пружины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Изгиб прямолинейного бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

4.1. Внутренние силовые факторы при изгибе и их эпюры. . . . . . . . . . . . 24

4.2. Нормальные напряжения при изгибе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.Касательные напряжения. Условие прочности при изгибе. . . . . . . . . . .33

4.4. Деформации при изгибе балок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4.4.1. Прогиб и поворот сечения балки. Упругая линия балки . . . . . . . . 34

4.4.2. Энергетические методы определения деформаций.

Метод Мора. Способ Верещагина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.3. Статически неопределимые балки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Сложное напряженное состояние материала. Расчеты

на сложное сопротивление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1. Напряжения в наклонных сечениях бруса при его растяжении. . . . . . .39

5.2. Теория сложного напряженного состояния и гипотезы прочности. . . .40

5.3. Принципы расчета конструкций на сложное сопротивление.

Примеры расчетов на сложное сопротивление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Продольный изгиб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Экзаменационные вопросы по сопротивлению материалов . . . . . . . . . . .52

Таблица основных расчетных формул по сопротивлению материалов . . 53

55

Для заметок

56

Менькова Надежда Марковна

Сопромат-минимум

к экзамену

Учебное пособие

Книга издана в авторской редакции