МЕХАНИКА - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Yuganov_2.pdfББК В 2 я 7 Ю 15 Механика: сборник задач к практическим занятиям

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра конструкции и эксплуатации воздушных судов

и общепрофессиональных дисциплин

МЕХАНИКА

Сборник задач к практическим занятиям по разделу «Динамика»

Ульяновск 2008

ББК В 2 я 7 Ю 15

Механика: сборник задач к практическим занятиям по разделу «Динами-ка»/сост. В.С. Юганов. – Ульяновск: УВАУ ГА, 2008. – 49 с.

Составлен в соответствии с рабочими программами по дисциплине «Механика» с целью профессиональной подготовки специалистов авиационного профиля. Со-держание ряда задач связано с тематикой курсов аэродинамики, конструкции и эксплуатации летательных аппаратов, динамики полета.

Предназначен для курсантов всех специальностей. Рекомендовано Редсоветом училища.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Определение сил по заданному движению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки и твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Теорема о движении центра масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Теорема об изменении количества движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Теорема об изменении кинетического момента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6. Теорема об изменении кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 7. Моменты инерции твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 8. Работа и мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 10. Относительное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 11 Принцип Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 12. Приближенная теория гироскопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 13. Принцип возможных перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 14. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

© В.С. Юганов, составление, 2008. © Ульяновск, УВАУ ГА, 2008.

Механника

Содержание


© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г Составитель: В.С. Юганов. Разработчик: С. П. Пугин.

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Динамика – раздел теоретической механики, в котором устанавлива-

ется связь между движением тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

– определяют параметры движения по заданным силам;

– определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематиче-

ским параметрам движения.

Динамику делят на динамику точки и динамику материальной систе-

мы. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково,

поэтому тело можно принять за материальную точку, если размеры тела

малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как ма-

териальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинако-

во, в этом случае некоторые положения динамики можно применять

только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как

совокупность материальных точек.

Для успешного решения предложенных задач необходимо:

– иметь представление об основных понятиях динамики: «импульс

силы», «количество движения», «кинетическая энергия», «внутренние и

внешние силы системы» и т. д.;

– знать основные законы, теоремы и уравнения динамики при посту-

пательном и вращательном движениях твердого тела, формулы для рас-

чета моментов инерции некоторых однородных твердых тел;

– иметь навыки в решении дифференциальных уравнений различно-

го порядка.

Механника

Предисловие



3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ

1.1. Самолет массой m при посадке касается ВПП со скоростью V0 и двигается прямолинейно и равнопеременно, пробегает до остановки расстояние L при тяге двигателей, равной нулю. Найти силу сопротив-ления самолета, считая ее постоянной.

1.2. Самолет массой m = 5·104 кг движется при разбеге так, что рас-стояние его от точки начала движения изменяется в соответствии с

уравнением 32 002,02,1 tts −= . Определить тягу двигателей Pr

, считая ее

постоянной, силу сопротивления cPr

в момент отрыва 35=t с, скорость в

момент отрыва и длину разбега, если в начальный момент сила сопро-

тивления равна 2⋅104 Н.

1.3. Самолет массой m = 2·104 кг при посадке с момента включения тормозных устройств (обратная тяга, колесные тормоза) движется 10 с

при силе сопротивления движению cPr

, модуль которой изменяется по

закону ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=30

sin2,74,210P 4 tc

r, (Н). Скорость самолета в момент начала

торможения V0 = 180 км/ч. Определить уравнение движения самолета в указанный промежуток времени, скорость его через 5 с после начала торможения и пройденное за 10 с расстояние.

1.4 Свободная материальная точка, масса которой 5 кг, движется со-

гласно уравнению tts 2,048,0 2 += . Определить величину движущей силы.

1.5. На материальную точку действует систе-ма сил (рис. 1). Определить числовое значения ускорения, полученного материальной точкой m = 7 кг.

1.6. Самолет с вертикальным взлетом после от-рыва от ВПП вблизи поверхности имеет ускорение

a0, направленное вертикально вверх. Определить силу, прижимающую к

Рис. 1

H10F1 =r

H20F2 =r

H20F3 =r

х

у

Механника

1. Определение сил по заданному движению



4

сиденью пилота весом G, а также ускорение a1, с которым должен взле-тать самолет, чтобы перегрузка, действующая на пилота, не превышала n = 2.

1.7. Аэростат весом G = 10 кН (с балластом) опускается вертикально

с постоянным ускорением a = 1,09 м/с2. Определить массу балласта т,

которую необходимо сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое

же по величине ускорение, направленное вверх. Сопротивлением среды

пренебречь.

1.8. При выполнении «мертвой петли» самолет описывает окружность

радиуса R = 500 м в вертикальной плоскости, двигаясь по траектории со

скоростью V = 150 м/с. Вес пилота G = 800 Н. Определить максимальную

и минимальную силы, прижимающие пилота к сиденью.

1.9. Самолет выполняет «мертвую петлю», двигаясь в вертикальной

плоскости по окружности радиуса R с постоянной по величине скоро-

стью V = 100 м/с. Определить минимальный радиус, при котором сум-

марная сила, действующая на пилота, не превышает 4G (G – вес пило-

та). Как изменится радиус, если при тех же условиях скорость самолета

возрастет в четыре раза?

1.10. Самолет весом G = 50 кН совершает прямолинейный горизон-

тальный полет со скоростью V0 = 272,2 м/с. Тяга двигателей T = 30 кН.

Пилот резко уменьшает тягу (T = 0) и открывает воздушные тормоза.

Сила лобового сопротивления воздушных тормозов QВТ = 0,427 V 2 (Н).

Вес пилота G1 = 900 Н. Определить горизонтальную силу, действую-

щую на пилота.

1.11. Спортивный самолет совершает маневр в вертикальной плоско-

сти, двигаясь с постоянной скоростью V =100 м/с. В тот момент време-

ни, когда самолет занимает нижнее горизонтальное положение, пере-

грузка равна n = 2. Вес пилота G = 800 Н. Определить радиус кривизны

Механника




5

траектории r и величину силы давления N пилота на сиденье в рас-

сматриваемый момент времени. Примечание. Перегрузка – это отношение нормального ускорения центра масс

самолета к ускорению силы тяжести.

1.12. Самолет совершает правильный вираж со скоростью

V = 150 м/с, описывая в горизонтальной плоскости дугу окружности,

радиус которой R = 5683 м. Подъемная сила направлена перпендику-

лярно к плоскости крыла под углом γ к вертикали, а ее линия действия

проходит через центр масс самолета. Определить угол крена самолета γ.

1.13. Взлетный вес самолета G, а суммарная тяга двигателей Т. Аэро-

динамические силы, действующие на самолет, пропорциональны квад-

рату скорости и 2ρ21 VScY y= , a

21

=Q cx ρ SV2, где ρ – плотность возду-

ха, S – площадь крыла, а сх и су – аэродинамические коэффициенты ло-

бового сопротивления и подъемной силы. Пусть отношение этих коэф-

фициентов 10==x

y

cc

K , а ускорение самолета в точке отрыва

a1 = 4,9 м/с2. Все силы приложены в центре масс. Определить тягово-

оруженность самолета.

1.14. Тяговооруженность самолета в начале разбега, при V0 = 0,

==μ GТ0 = 0,54. Аэродинамическое качество крыла 10==x

y

cc

K , а аэро-

динамические силы задаются так же, как и в задаче 1.13. Для турбореак-

тивных двигателей, особенно при больших скоростях отрыва, учитыва-

ется некоторое уменьшение тяги Т с увеличением скорости. Пусть

Т = Т0·(1 – εV), где ε = 0,58·10–3 с/м, а ускорение в момент отрыва

a1 = 4,l м/с2. Определить скорость отрыва.

1.15. В шахте опускается равноускоренно лифт массой 280 кг. В пер-

вые 10 с он проходит 35 м. Найти натяжение каната, на котором висит

лифт.

Механника




6

1.16 Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массой

1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2. Найти силу

давления, производимого грузом на платформу во время их совместного

спуска.

1.17. К телу массой 3 кг, лежащему на столе, привязали нить, другой

конец которой прикреплен к точке А. Какое ускорение надо сообщить

точке А, поднимая тело вверх по вертикали, чтобы нить оборвалась, ес-

ли она рвется при натяжении Т = 42 Н?

1.18. Камень массой 0,3 кг, привязанный к нити длиной 1 м, описы-

вает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую

угловую скорость камня, при которой произойдет разрыв нити, если со-

противление ее разрыву равно 9 Н.

1.19. Груз М массой 0,102 кг, подве-

шенный на ните длиной 30 см в не-

подвижной точке О, представляет со-

бой конический маятник (рис. 2), т.е.

опи-сывает окружность в горизон-

тальной плоскости, причем нить со-

ставляет с вертикалью угол 60°. Определить скорость V груза и натяжение

Т нити.

1.20. Масса поезда без локомотива равна 2·105 кг. Двигаясь по гори-

зонтальному пути равноускоренно, поезд через 60 с после начала дви-

жения приобрел скорость 15 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда.

Определить натяжение сцепки между поездом и локомотивом в период

разгона.

1.21. Спортивный самолет массой 2000 кг летит горизонтально с ус-

корением 5 м/с2, имея в данный момент скорость 200 м/с. Сопротивле-

ние воздуха пропорционально квадратy скорости и при скорости в 1

м/с равно 0,5 Н. Считая силу сопротивления направленной в сторону,

Рис. 2

Vr

Механника




7

обратную скорости, определить силу тяги винта, если она составляет

угол в 10° с направлением полета. Определить также величину подъем-

ной силы в данный момент.

1.22. Грузовой автомобиль массой 6000 кг въезжает на паром со ско-

ростью 6 м/с. Заторможенный с момента въезда на паром автомобиль

остановился, пройдя 10 м. Считая движение автомобиля равнозамед-

ленным, найти натяжение каждого из двух канатов, которыми паром

привязан к берегу. При решении задачи пренебречь массой и ускорени-

ем парома.

1.23. Самолет, пикируя отвесно, достиг скорости 300 м/с, после чего

летчик стал выводить самолет из пике, описывая дугу окружности ра-

диусом R = 600 м в вертикальной плоскости. Масса пилота 80 кг. Какая

наибольшая сила прижимает пилота к креслу?

1.24. Во избежание несчастных случаев, происходящих от разрыва

маховиков, устраивается следующее приспособление. В ободе маховика

помещается тело А (рис. 3), удерживаемое

внутри его пружиной S. Когда скорость ма-

ховика достигает предельной величины, те-

ло А концом своим задевает выступ В за-

движки CD, которая и закрывает доступ па-

ра в машину. Пусть масса тела А равна 1,5

кг, расстояние е выступа В от маховика рав-

но 2,5 см, предельная угловая скорость ма-

ховика – 120 об/мин. Определить необходи-

мый коэффициент жесткости пружины с

(т.е. величину силы, под действием которой пружина сжимается на 1

см), предполагая, что масса тела А сосредоточена в точке, расстояние

которой от оси вращения маховика в изображенном на рисунке положе-

нии равно 147,5 см.

Рис. 3

С D

В

Механника




8

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Самолет весом G = 75 кН движется прямолинейно с набором

высоты под углом α = 13° к горизонту. Суммарная тяга двигателей на-

правлена по скорости движения и равна Т = 35 кН. Силу лобового со-

противления будем считать постоянной и равной Q = 13 475 Н. Опреде-

лить ускорение самолета и скорость через 20 с после того, как его ско-

рость была равна V0 = 150 м/с.

2.2. Для сокращения пробега при посадке включаются тормозные дви-

гатели, развивающие усилие P = 0,25G, где G – вес самолета. Реверсивная

тяга направлена в противоположную сторону от движения самолета под

углом α к ВПП. Сила лобового сопротивления и подъемная сила пропор-

циональны квадрату скорости, отношение коэффициентов пропорцио-

нальности kx и ky равно kx / ky = n. Приведенный коэффициент трения при

движении по ВПП равен f. В момент посадки нормальная реакция ВПП и

реверсивная тяга отсутствуют. Определить ускорение самолета в тот мо-

мент, когда его скорость стала в два раза меньше посадочной.

2.3. Для сокращения пробега в момент касания

колесами ВПП истребитель цепляется за натяну-

тый упругий трос, который, растягиваясь, создает

тормозную силу T = kS, где k = 277,5 Н/м. Масса

истребителя m = 2500 кг. Общая сила сопротив-

ления F составляет 25% от веса самолета. До ос-

тановки самолет прошел 100 м. Определить поса-

дочную скорость (рис. 4).

Рис. 4

Fr

Tr

Vr

Механника 2. Дефференциальные уравнения движения

материальной точки и твердого тела



9

2.4. Самолет летит горизонтально. Суммарная тяга двигателей Т посто-

янна и направлена под углом α к направлению полета. Вес самолета G,

суммарная аэродинамическая сила P = k2V2 состоит из подъемной силы

Y и силы лобового сопротивления Q. Движение самолета происходит

под действием главного вектора внешних сил, приложенного в центре

масс. Определить максимальную скорость полета самолета.

2.5. При посадке самолета одним из участков траектории является

выдерживание, которое проводится с целью уменьшения скорости по-

лета до посадочной. На участке выдерживания полет происходит по

прямой на неизменной высоте. Тяга силовой установки практически

равна нулю. Скорость в начале выдерживания V1. С целью поддержания

прямолинейного полета пилот непрерывно увеличивает угол атаки, и

под действием силы лобового сопротивления скорость самолета умень-

шается. Выдерживание заканчивается по достижению величины поса-

дочной скорости V0. Так как в процессе выдерживания угол атаки не-

прерывно возрастает, то непрерывно изменяется и аэродинамическое

качество самолета K, равное отношению подъемной силы к силе лобо-

вого сопротивления. Предположим, что для K справедлива форму-

ла: 2109,4

VVVK = , где V – текущее значение скорости при выдерживании.

Определить время продолжительности выдерживания.

2.6. Движение точки весом G = 2500 Н происходит вдоль горизон-

тальной прямой в течение t1 = 50 с с момента, когда ее скорость была

равна 49 м/с. Сила сопротивления, действующая на точку, пропорцио-

нальна скорости Q = KV, где K = 2,5 (Н·с)/м. Определить расстояние,

которое пройдет точка за указанное время.

2.7. Материальная точка массой m брошена с поверхности Земли

вертикально вверх с начальной скоростью V0. Принимая во внимание,





10

что сила тяжести точек постоянна, и пренебрегая сопротивлением воз-

духа, найти закон движения точки.

2.8. Материальная точка массой m = 10 кг начинает двигаться из со-

стояния покоя вдоль некоторой прямой под действием силы Fr

, модуль

которой растет пропорционально времени, причем коэффициент про-

порциональности равен n = 6. Требуется найти закон движения точки.

2.9. Материальная точка массой m брошена с поверхности Земли

вертикально вверх с начальной скоростью V0. Пренебрегая сопротивле-

нием воздуха и принимая во внимание, что сила притяжения точки к

Земле изменяется по закону всемирного тяготения Ньютона, найти ско-

рость точки как функцию этого расстояния.

2.10. Тело массой m падает в воздухе с небольшой (по сравнению с

земным радиусом) высоты с начальной скоростью, равной нулю, и ис-

пытывает сопротивление воздуха. Найти закон поступательного движе-

ния, скорость тела в зависимости от времени и пройденного этим телом

пути и предельное значение скорости тела при неограниченно продол-

жающемся падении, считая силу сопротивления воздуха равной R = μV2,

где μ – коэффициент сопротивления, V – скорость падения.

2.11. Материальная точка массой m брошена с поверхности Земли с

начальной скоростью V0, образующей угол α с горизонтом. Принимая

во внимание, что сила тяжести постоянна, и пренебрегая сопротивлени-

ем воздуха, определить: 1) закон движения точки; 2) траекторию точки;

3) высоту полета точки при данном угле α; 4) угол α при котором высо-

та полета точки будет максимальной; 5) дальность полета при данном

угле α; 6) угол α, при котором дальность полета будет максимальной.

2.12. Материальная точка весом Р, брошенная с начальной скоро-

стью V0 под углом α к горизонту, движется под влиянием постоян-

ной силы тяжести G и силы сопротивления воздуха R . Определить





11

закон движения точки и наибольшую высоту Н этой точки над

уровнем начального положения, считая силу сопротивления равной

,kGVR = где k – коэффициент пропорциональности, V – скорость точки.

2.13. Материальная точка весом gG rrm= совершает прямолинейное

движение вниз по шероховатой плоскости, наклоненной под углом α к

горизонту. Определить закон движения точки, если в начальный момент

ее скорость направлена по наклонной плоскости и по модулю равна V0.

2.14. Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара

камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения.

Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты.

2.15. Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, наклоненной

под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь

9,6 м, если в начальный момент его скорость равнялась 2 м/с.

2.16. При выстреле из орудия снаряд вылетел с горизонтальной скоро-

стью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых

газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движет-

ся снаряд в стволе орудия, если давление газов считать постоянным?

2.17. Тело массой т вследствие полученного толчка прошло по не-

гладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние 24,5 м и останови-

лось. Определить коэффициент трения f.

2.18. За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен

тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоро-

стью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможе-

нии, составляет 0,3 от веса вагона.

2.19. Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропор-

ционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила

тяги постоянна, равна 30 760 Н и составляет угол в 10° с направлением

полета. Определить наибольшую скорость самолета.





12

2.20. Самолет массой 104 кг приземляется на горизонтальное поле на

лыжах. Пилот подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости

и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового со-

противления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при ско-

рости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости и

равна 30 Н при скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега са-

молета до остановки, приняв коэффициент трения 0,1.

2.21. Самолет начинает пикировать без начальной вертикальной ско-

рости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скоро-

сти. Найти зависимость между вертикальной скоростью в данный мо-

мент, пройденным путем и максимальной скоростью пикирования.

2.22. Какова должна быть постоянная тяга винта Т при горизонталь-

ном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою

скорость с V0 до V1, (м/с). Тяга винта направлена по скорости полета. Си-

ла лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную

скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна αН при скорости

в 1 м/с. Масса самолета М, (кг). 2.23. Самолет А (рис. 5) летит на высоте

4000 м над землей с горизонтальной скоро-

стью 140 м/с. На каком расстоянии х, изме-

ряемом по горизонтальной прямой от данной

точки В, должен быть сброшен с самолета без

начальной относительной скорости какой-

либо груз для того, чтобы он упал в эту точку? Сопротивлением воздуха


2.24. Самолет А (рис. 6) летит над землей

на высоте h с горизонтальной скоростью V1.

Из орудия В произведен выстрел по самолету

4000

м

А

х

В

Рис. 5

Рис. 6

h

A

В α





13

в тот момент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием.

Найти: 1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость V0

снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет; 2) под каким углом α

к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха


2.25. Ведущее колесо автомашины радиусом r и массой M движется

горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент

т. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр

масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэффициент трения

скольжения колеса о землю равен f. Какому условию должен удовле-

творять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без

скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.

2.26. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если ко-

эффициент трения качения равен fк.

2.27. Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и

прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная

движущая сила F. Радиус инерции колеса относительно оси, проходя-

щей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэф-

фициент трения скольжения колеса о землю равен f. Радиус колеса ра-

вен r, масса колеса равна М. Какому условию должна удовлетворять ве-

личина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопро-

тивлением качения пренебречь.

2.28. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если ко-

эффициент трения качения равен fк.

2.29. Найти наибольшую скорость падения шара, имеющего массу

10 кг и радиус 8 см, зная, что сопротивление воздуха равно 2kSVR = ,

где V – скорость движения, S – площадь проекции тела на плоскость,





14

перпендикулярную направлению его движения, k – коэффициент, зави-

сящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 (Н·с2)/м4.

3. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

3.1. В грузовом отсеке самолета массой М, стоящего на земле, начина-

ют перемещать груз массой m. Перемещение осуществляется лебедкой,

установленной внутри самолета, причем скорость движения груза изменя-

ется по закону )1()( 0kteVtV −= . Определить величину горизонтальной ре-

акции Т шасси самолета, если перемещение осуществляется в направле-

нии продольной оси (рис. 7).

3.2. На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоско-

сти, положена однородная призма В (рис.

8). Поперечные сечения призм – прямо-

угольные треугольники. Масса призмы А

втрое больше массы призмы В. Предпо-

лагая, что призмы и горизонтальная

плоскость идеально гладкие, определить

длину l, на которую передвинется призма

А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.

Рис. 7

Рис. 8

ba

A

B

Механника

3. Теорема о движении центра масс



15

3.3. Два груза (рис. 9) массы M1 и М2, соединенные нерастяжимой

нитью, переброшенной через блок A,

скользят по гладким боковым сторо-

нам прямоугольного клина, опираю-

щегося основанием ВС на гладкую

горизонтальную плоскость. Найти пе-

ремещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза M1

на высоту h = 10 см. Масса клина М = 4M1 = 16M2. Массой нити и блока


3.4. По горизонтальной товарной платформе длиной 6 м и массой

2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих пере-

катывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый. В ка-

кую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая

масса груза и рабочих равна 1 800 кг? Силами сопротивления движению

платформы пренебречь.

3.5. Три груза массой М1 = 20 кг,

М2 = 15 кг и М3= 10 кг соединены не-

растяжимой нитью (рис. 10), перебро-

шенной через неподвижные блоки L и

N. При опускании груза М1 вниз, груз

М2 перемещается по верхнему основа-

нию четырехугольной усеченной пира-

миды ABCD массой М = 100 кг вправо, а груз М3 поднимается по боко-

вой грани АВ вверх. Пренебрегая трением между усеченной пирамидой

ABCD и полом, определить пере-

мещение усеченной пирамиды

ABCD относительно пола, если

груз М1 опустится вниз на 1 м.

Массой нити пренебречь.

Рис. 10

B

60° 90° D A

N L M2

M1 M3

C

Рис. 9

M1 M2

A

B C 30°

90°

Рис. 11

Механника

3. Теорема о движении центра масс



16

3.6. Подвижный поворотный кран для ремонта уличной электросети ус-

тановлен на автомашине массой 1 т. Люлька К крана, укрепленная на

стержне L, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис. 11),

перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент кран, зани-

мавший горизонтальное положение, и автомашина находились в покое.

Определить перемещение незаторможенной автомашины, если кран по-

вернулся на 60°. Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг,

а люльки К – 200 кг. Центр масс С люльки К отстоит от оси О на рас-

стоянии ОС = 3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.

4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

4.1. Автомобиль двигается со скоростью 54 км/ч. В результате резко-

го торможения автомобиль остановился. Определить время торможе-

ния, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами

автомобиля 0,36.

4.2. Груз весом Р = 8 кН спускается на парашюте с установившейся

скоростью V0 = 15 м/c. За 6 с до приземления включается тормозной

двигатель, вследствие чего груз приземляется со скоростью V1 = 0,3 м/c.

Какую тягу развивает тормозной двигатель?

4.3. Из сопла реактивного двигателя, работающего в стартовой пози-

ции, выходит струя продуктов сгорания. Скорости частиц газа на срезе

сопла одинаковы V = 600 м/c и направлены вдоль оси сопла. Площадь се-

чения сопла S = 0,2 м2. Плотность газовой струи ρ = 0,4 кг/м3. Определить

реактивную тягу двигателя.

4.4. Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и пря-

молинейному участку пути. При торможении развивается сила сопро-

тивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость

поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.

Механника

4. Теорема об изменении количества движения



17

4.5. По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с гори-

зонтом угол α = 30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости.

Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длиной

l = 39,2 м, если коэффициент трения f = 0,2.

4.6. Определить горизонтальную со-

ставляющую силы давления N на опору

колена трубы диаметром d = 300 мм, по

которой течет вода со скоростью V = 2 м/с

(рис. 12).

4.7. Поезд массой 4·105 кг входит на

подъем i = tgα = 0,006 (где α – угол подъ-

ема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарно-

го сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после

входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги

тепловоза.

4.8. Для определения массы груженого железнодорожного состава

между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее пока-

зание динамометра за 2 мин оказалось 106 Н. За то же время состав на-

брал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу со-

става, если коэффициент трения f = 0,02.

4.9. Каков должен быть коэффициент трения f колес заторможенного

автомобиля о дорогу, если при скорости движения V = 20 м/с он оста-

навливается через 6 с после начала торможения?

4.10. Пуля массой 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью

V = 650 м/с, пробегая канал ствола за время t = 0,00095 с. Определить

среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если пло-

щадь сечения канала S = 150 мм2.

4.11. Точка совершает равномерное движение по окружности со скоро-

стью V = 0,2 м/с, делая полный оборот за время t = 4 с. Найти импульс S

Рис. 12

d

V

V N

Механника




18

сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точ-

ки m = 5 кг. Определить среднее значение силы F.

4.12. Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус

Земли R = 6,37·106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось зем-

ной орбиты а = 1,49·1011 м, время обращения Земли вокруг Солнца

Т = 365,25 сут. Сила всемирного тяготения между двумя массами, рав-

ными 1 кг, на расстоянии 1 м считается равной m

gR2, где m – масса Зем-

ли. Из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем

равна 22

324rT

mаπ , где r – расстояние от Земли до Солнца.

4.13. Определить главный вектор количеств

движения маятника, состоящего из однородного

стержня ОА массой M1, длиной 4r и однородного

диска В массой М2, радиуса r (рис. 13), если угло-

вая скорость маятника в данный момент равна ω.

4.14. Масса ствола орудия равна 11 т. Масса

снаряда 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза V0 = 900 м/с. Опреде-

лить скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда.

4.15. По горизонтальной

платформе А, движущейся

по инерции со скоростью V0,

перемещается тележка В

(рис. 14) с постоянной отно-

сительной скоростью V1. В некоторый момент времени тележка была

заторможена. Определить общую скорость V платформы с тележкой по-

сле ее остановки, если М – масса платформы, а m – масса тележки.

Рис. 13

В

А

О4r

r

Рис. 14

V0

V1

А

В

Механника




19

5. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

5.1. Ротор гироскопа массой 30 кг в момент выключения имел угловую

скорость, равную 400π рад/с. Определить момент сил сопротивления,

приложенных к ротору, относительно оси вращения, считая их постоян-

ными, если ротор остановился через 30 мин. Осевой радиус инерции ро-

тора равен 0,1 м.

5.2. Турбина раскручена с помощью стартера до угловой скорости

ω 45π рад/с. Вес вращающихся частей G = 3 кН, их радиус инерции от-

носительно оси вращения ρ = 0,068 м, а коэффициент трения в подшип-

никах f = 0,03. Диаметр вала d = 0,12 м. Определить время выбега тур-

бины и количество оборотов, сделанных валом до полной остановки.

5.3. Через блок, массой которого пренебрегаем,

перекинута веревка. В точках А и В находятся два

человека (рис. 15), одинакового веса. Что произой-

дет с человеком В, если человек А станет подни-

маться с относительной по отношению к веревке

скоростью V.

5.4. Для определения момента инерции J махового

колеса (рис. 16) радиусом r = 50 см относительно оси

вращения z, проходящей через центр тяжести, колесо

обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю

массой m1 = 8 кг, и наблюдали, что гиря опустилась на

высоту h = 2 м за t1 = 12 с. Для исключения трения в

Рис. 15 A

B

C r

Рис. 16

C r

h

Механника

5. Теорема об изменении кинетического момента



20

подшипниках проделали второй опыт с гирей массой m2 = 4 кг, причем про-

должительность опускания оказалась равной t2 = 25 с при прежней высоте.

Предполагая момент силы трения постоянным и не зависящим от веса гири,

вычислить момент инерции махового колеса.

5.5. Шкив массой m, имеющий радиус инерции ρ, за-

тормаживается за счет прижатия к нему с силой N двух

колодок. Коэффициент трения между колодками и

шкивом f. Определить время затормаживания шкива,

если в момент наложения колодок угловая скорость

шкива равна ω0 (рис. 17).

5.6. В процессе виража самолет движется в горизон-

тальной плоскости по окружности радиусом 1000 м со

скоростью 100 м/с. Воздушный винт самолета весом 320 Н имеет угло-

вую скорость 80π рад/с, радиус инерции его относительно оси вращения

0,5 м. Найти гироскопическое давление на подшипники А и В, в которых

закреплена ось винта, если расстояние между ними 1 м.

5.7. Скорость самолета в процессе уборки шасси после отрыва от по-

верхности аэродрома V = 80 м/с, средняя угловая скорость шасси при их

уборке ω1 = 0,8 рад/с, вес колеса G = 1000 H, радиус колеса r = 0,44 м,

осевой момент инерции колеса Iz = 6,47 кг·м2. Определить гироскопиче-

ский момент, который возникает при уборке шасси.

5.8. Определить гироскопические реакции турбины двигателя, кото-

рые возникают в подшипниках турбины при выполнении самолетом

петли Нестерова, если скорость полета на участке равна 250 м/с, сред-

ний радиус кривизны траектории петли R = 2900 м, осевой момент

инерции турбины Ix = 9,005 кг·м2. Угловая скорость вращения турбины

3103

2πω = рад/с, расстояние между подшипниками турбины 0,65 м.

N

Рис. 17

Nr

Nr

Механника




21

5.9. Однородный круглый диск массой М = 50 кг и радиусом R = 30

см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг

своей оси 60 об/мин. Вычислить главный момент количества движения

диска относительно осей, проходящих: 1) через центр диска перпенди-

кулярно плоскости движения; 2) относительно мгновенной оси.

5.10. Натяжения ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего во

вращение шкив радиусом r = 20 см, массой М = 3,27 кг, соответственно

равны Т1 = 100 Н, T2 = 50 Н. Чему должен быть равен момент сил сопро-

тивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением ε = 1,5

рад/с2? Шкив считать однородным диском.

5.11. Для определения момента трения в цапфах на вал насажен ма-

ховик массой 500 кг; радиус инерции маховика ρ = 1,5 м. Маховику со-

общена угловая скорость, соответствующая п = 240 об/мин. Предостав-

ленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент

трения, считая его постоянным.

5.12. Круглая горизонтальная платформа может вращаться без тре-

ния вокруг неподвижной оси Z, проходящей через ее центр О. По плат-

форме на неизменном расстоянии от оси Z, равном r, идет с постоянной

относительной скоростью человек, масса которого равна М1. С какой

угловой скоростью ω будет при этом вращаться платформа вокруг оси,

если массу ее М2 можно считать равномерно распределенной по площа-

ди круга радиуса R? В начальный момент платформа и человек имели

скорость, равную нулю.

5.13. Круглая горизонтальная

платформа вращается без трения во-

круг вертикальной оси, проходящей

через ее центр масс с постоянной уг-

ловой скоростью ω0; при этом на

платформе стоят четыре человека

V V

2V

2V

Рис. 18

R R/2

A

B C

D

ω0

Механника




22

одинаковой массы: два – на краю платформы, а два – на расстояниях от

оси вращения, равных половине радиуса платформы (рис. 18). Как из-

менится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, бу-

дут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной ли-

нейной скоростью, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от

оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сто-

рону с относительной линейной скоростью 2V? Людей считать точеч-

ными массами, а платформу – круглым однородным диском.

5.14. Решить предыдущую задачу, предположив, что все люди дви-

гаются в сторону вращения платформы. Радиус платформы R. Ее масса

в четыре раза больше массы каждого из людей и равномерно распреде-

лена по всей ее площади. Выяснить , чему должна быть равна относи-

тельная линейная скорость и для того, чтобы платформа перестала вра-

щаться.

5.15. Горизонтальная трубка CD может

свободно вращаться вокруг вертикальной оси

АВ (рис. 19). Внутри трубки на расстоянии

МС = а от оси находится шарик М. В некото-

рый момент времени трубке сообщается на-

чальная угловая скорость ω0. Определить уг-

ловую скорость ω трубки в момент, когда ша-

рик вылетит из нее. Момент инерции трубки

относительно оси вращения равен J, L – ее

длина. Трением пренебречь. Шарик считать материальной точкой мас-

сой m.

5.16. Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда

он протянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость,

соответствующую 15 об/мин. При этом момент инерции человека и

скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кг·м2. С какой угловой

С

Рис. 19

М D

ω

А

В

Механника




23

скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив ру-

ки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы от 0,12 кг·м2?

5.17. Для быстрого торможения больших маховиков применяется

электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположен-

ных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током.

Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полю-

сов, создают тормозящий момент M1, пропорциональный скорости V на

ободе маховика: M1 = kV, где k – коэффициент, зависящий от магнитно-

го потока и размеров маховика. Момент М2 от трения в подшипниках

можно считать постоянным. Диаметр маховика D. Момент инерции ма-

ховика относительно оси вращения J. Найти промежуток времени, через

который остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью ω0.

6. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

6.1. При движении по ВПП из состояния покоя самолет достиг ско-

рости V1. Скорость отрыва самолета V = 2V1. Сравнить величины со-

вершаемой работы на первом и втором участках с общей работой А, за-

траченной при взлете.

6.2. Скорость отрыва самолета, движущегося прямолинейно по ВПП,

V = 70 м/с. Начальная скорость равна нулю. Определить скорость само-

лета в той точке ВПП, для достижения которой затрачена половина всей

совершенной при движении по ВПП работы.

6.3. При разбеге самолета по ВПП его центр масс движется согласно

уравнению х = 0,9t2. От начала движения до момента отрыва прошло

t1 = 30 с. Сравнить величины работ, совершаемых от начала движения

до середины пути А1 и от середины пути до момента взлета А2.

6.4. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол

α = 30°, спускается без начальной скорости (V0 = 0) тело. Определить

Механника

6. Теорема об изменении кинетической энергии



24

скорость тела в конце пути, длина которого равна s = 2 м, если коэффи-

циент трения тела о наклонную плоскость равен f = 0,1.

6.5. Вагон массой 16 т наталкивается со скоростью 1 м/с на два

упорных буфера. Определить наибольшее сжатие буферов при ударе ва-

гона, если известно, что пружина буфера сжимается на 1 см под дейст-

вием силы в 5 т.

6.6. Телу весом G, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщи-

ли начальную горизонтальную скорость V0. Определите, через какой

промежуток времени тело остановится? Какой путь оно пройдет до ос-

тановки, если коэффициент трения тела о плоскость равен f?

6.7. Камень, находящийся на вершине гладкого полусферического

купола радиуса r, получает начальную горизонтальную скорость V0. В

каком месте камень покинет купол? При каких значениях V0 камень

сойдет с купола в начальный момент?

6.8. Скорость центра масс самолета при движении по ВПП из со-

стояния покоя изменяется по закону V = 0,08 t2 м/с. Вес самолета

G = 196 кН, а скорость отрыва V1 = 50 м/с. Определить суммарную

мощность двигателей, развиваемую при движении по ВПП.

6.9. Груз массой m = 1000 кг спускается вертикально на парашюте с

постоянной скоростью V0 = 9 м/с. На высоте h = 10 м от поверхности

включается тормозной двигатель, развивающий тягу F = 13,8 кН. Какую

скорость будет иметь груз при приземлении? За сколько секунд до при-

земления был включен тормозной двигатель (g = 9,8 м/с2)?

6.10. Самолет совершает посадку, имея некоторую вертикальную ско-

рость снижения. Вес самолета G = 450 кН. Жесткость амортизационной

системы с = 2·103 кН/м. Предполагаем, что за время срабатывания амор-

тизационной системы горизонтальная скорость самолета остается неиз-

менной, а среднее значение подъемной силы Y = 416 кН. Наибольшая

осадка самолета h = 0,2 м. Определить вертикальную скорость посадки.

Механника




25

6.11. Самолет совершает посадку на палубу корабля. Вес самолета

G = 20 кН. Посадочная скорость V0 = 30 м/с. Для сокращения пробега в

момент касания палубы самолет цепляется за натянутый трос, который,

растягиваясь, создает тормозную силу. Суммарная сила сопротивления

изменяется по закону T = kS, где k = 2,5 кН/м, s – тормозной путь. Оп-

ределить длину пробега самолета по палубе.

6.12. Кресло с манекеном общей массой m = 180 кг взлетает вследст-

вие катапультирования на высоту h по вертикальной натравляющей.

Общее сопротивление R движению составляет 20% общего веса. От-

стреливающее устройство работает в течение t = 0,5 с. За это время по-

роховой заряд развивает среднюю тягу Т = 6 кН. Определить высоту h.

6.13. Выравнивание представляет собой участок собственно посадки,

в процессе которого самолет, двигаясь по криволинейной траектории,

переходит от снижения по глиссаде к полету по траектории с малым

или вообще с нулевым наклоном к поверхности ВПП. Пусть скорость

полета в начале режима выравнивания была V0. Потеря высоты самоле-

том в этом режиме составила ΔН. Предположим, что тяга силовой уста-

новки и сила лобового сопротивления направлены по касательной к тра-

ектории и уравновешивают друг друга, а подъемная сила направлена по

нормали. Определить скорость самолета в конце режима выравнивания.

6.14. Тягач развивает мощность 456 кВт, тянет по ВПП самолет ве-

сом 760 кН, со скоростью 4 м/с. Определить коэффициент трения колес

самолета о ВПП.

6.15. Вал двигателя, установленного на вертолет, вращается с угло-

вой скоростью ω = 85 рад/с. Через редуктор с передаточным числом i= 9

вращение передается на несущий винт вертолета. Винт имеет три лопа-

сти. Вес каждой G = 9,8 кН. Радиус инерции относительно оси враще-

ния ρ = 5 м. Определить кинетическую энергию винта.

Механника




26

6.16. Вес ротора гироскопического указателя поворота самолета

G = 20 H. Осевой радиус инерции равен ρ = 0,07 м. После включения

ротор раскручивается из состояния покоя до угловой скорости

ω = 314 рад/с. Определить кинетическую энергию ротора и суммарную

дополнительную работу, которую нужно затратить, чтобы увеличить

угловую скорость на 50%.

6.17. Для проверки выбега турбины ее раскручивают с помощью

стартера до угловой скорости ω = 125,6 рад/с. Радиус инерции вращаю-

щихся частей относительно оси вращения ρ = 0,18 м. Коэффициент тре-

ния в подшипниках f = 0,03. Диаметр вала d = 0,12 м. Определить,

сколько оборотов сделал вал до полной остановки.

6.18. Колесо основной опоры шасси тяжелого самолета раскручива-

ется перед посадкой специальным электродвигателем до угловой скоро-

сти, обеспечивающей качение колеса без проскальзывания, начиная с

момента соприкосновения его с ВПП. Мощность электродвигателя

W = 0,8 кВт, а общие потери на сопротивление при раскрутке колеса со-

ставляют 20% мощности. Вес колеса G = 588 Н, радиус инерции его при

вращении вокруг оси, проходящей через центр колеса ρ = 0,4 R, где R –

радиус колеса. Посадочная скорость самолета V0 = 70 м/с. Определить

время раскрутки колеса.

6.19. Тело К находится на шероховатой наклонной плоскости в по-

кое. Угол наклона плоскости к горизонту α и f0 > tgα, где f0 – коэффици-

ент трения покоя. В некоторый момент телу сообщена начальная ско-

рость V0, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь s, прой-

денный телом до остановки, если коэффициент трения при движении

равен f.

6.20. Снаряд массой 24 кг вылетает из ствола орудия со скоростью

500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее значение давления газов

на снаряд?

Механника




27

6.21. Поезд массой 200 т идет по горизонтальному участку пути с ус-

корением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях составляет 0,01 веса

поезда и считается не зависящим от скорости. Определить мощность,

развиваемую тепловозом в момент t = 10 с, если в начальный момент

скорость поезда равнялась 18 м/с.

6.22. Железнодорожная платформа имеет массу 6 т и при движении

испытывает сопротивление от трений в осях, равное 0,0025 ее веса. Ра-

бочий уперся в покоящуюся платформу и покатил ее по горизонтально-

му и прямолинейному участку пути, действуя на нее с силой 250 Н.

Пройдя 20 м, он предоставил платформе катиться самой. Вычислить,

пренебрегая сопротивлением воздуха и трением колес о рельсы, наи-

большую скорость платформы во время движения, а также весь путь,

пройденный ею до остановки.

6.23. Упавший на Землю метеорит массой 39 кг углубился в почву на

1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения метеорита оказывает

проникающему в нее телу сопротивление 5·105 Н. С какой скоростью

метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты он должен был

упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести

указанную скорость? Силу тяжести считать постоянной. Сопротивлени-

ем воздуха пренебречь.

6.24. Главную часть установки для испытания

материалов ударом составляет тяжелая стальная

отливка М (рис. 20), прикрепленная к стержню, ко-

торый может вращаться почти без трения вокруг

неподвижной горизонтальной оси О. Пренебрегая

массой стержня, рассматриваем отливку М как ма-

териальную точку, для которой расстояние

ОМ = 0,981 м. Определить скорость V этой точки в

нижнем положении В, если она падает из верхнего Рис. 20

О

М

А

В

ϕ

Механника




28

положения А с ничтожно малой начальной скоростью.

6.25. Шахтный лифт движется вниз со скоростью V0 = 12 м/с. Масса

лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен

развить предохранительный тормоз, чтобы остановить лифт на протя-

жении пути s = 10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу

трения считать постоянной.

6.26. На вал диаметром 60 мм насажен маховик диаметром 50 см, де-

лающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения скольжения f ме-

жду валом и подшипниками, если после выключения привода маховик

сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно

распределенной по его ободу. Массой вала пренебречь.

6.27. Цилиндрический вал диаметром 10 см и массой 0,5 т, на кото-

рый насажено маховое колесо диаметром 2 м и массой 3 т, вращается в

данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен

самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если ко-

эффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать

равномерно распределенной по его ободу.

6.28. Транспортер приводится в

дви-жение из состояния покоя приво-

дом, присоединенным к нижнему

шкиву В (рис. 21). Привод сообщает

этому шкиву постоянный вращающий

момент М. Определить скорость ленты транспортера V в зависимости от

ее перемещения s, если масса поднимаемого груза А равна М1, а шкивы

В и С радиусом r и массой M2 представляют собой однородные круглые

цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, об-

разует с горизонтом угол α. Скольжение ленты по шкивам отсутствует.

М

АС

α В

r

Рис. 21

Механника




29

6.29. С помощью электромотора лебедки к валу барабана A радиуса

r и массы М1 приложен вращающий момент Mвр, пропорциональный

углу поворота ϕ барабана, причем коэффициент пропорциональности

равен а (рис. 22). Определить скорость поднимаемого груза В массой

М2 в зависимости от высоты его подъема h.

Барабан А считать сплошным цилиндром. Мас-

сой троса пренебречь. В начальный момент ба-

рабан А вращался против часовой стрелки с

угловой скоростью ω0.

6.30. Два цилиндра одинаковой массы и

радиуса скатываются без скольжения по на-

клонной плоскости. Первый цилиндр сплош-

ной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределен-

ной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс

цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный мо-

мент цилиндры находились в покое.

6.31. Какой путь проедет велосипедист, не вращая педалями, до ос-

тановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч?

Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Масса каждого из

колес равна 5 кг. Массу каждого из колес считать равномерно распреде-

ленной по окружности радиусом 50 см. Коэффициент трения качения

колес о землю равен 0,5 см.

6.32. К грузу А массой M1 прикреп-

лена нерастяжимая нить, переброшен-

ная через блок D массой М2 и намотан-

ная на боковую поверхность цилинд-

рического катка В массой М3 (рис. 23).

При движении груза А вниз по наклон-

Рис. 22

А r h

В

Мвр

В

D

α

β

A

Рис. 23

Механника




30

ной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, вращается

блок D, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоско-

сти, образующей с горизонтом угол β.

6.33. Определить скорость груза A в зависимости от пройденного им

пути s, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и

каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и

массой нити пренебречь.

6.34. Решить предыдущую задачу, предположив, что коэффициенты

трения скольжения и качения соответственно равны f и fК. Радиус катка В

равен r.

7. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

7.1. Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска

массой М и радиуса r относительно оси, проходящей вдоль диаметра,

ограничивающего полудиск.

7.2. Вычислить осевые Jx и Jу моменты

инерции изображенной на рис. 24 однород-

ной прямоугольной пластинки массой М от-

носительно осей х и у.

7.3. В тонком однородном круглом диске радиуса

R высверлено концентрическое отверстие радиуса r

(рис. 25). Вычислить момент инерции этого диска

относительно оси z, проходящей че-

рез его центр масс перпендикулярно

плоскости диска. Масса диска М.

7.4. Маятник состоит из тонкого однородного

стержня АВ, имеющего массу m, к концу которого при-

0 у

х

2а

2b

Рис. 24

R

z

r

Рис. 25

С

Рис. 26

В

А

О

r 3r

r

Механника

7. Моменты инерции твердых тел



31

креплен однородный диск С массой М2 (рис. 26). Длина стержня равна

4r, где r – радиус диска. Вычислить момент инерции маятника относи-

тельно его привеса О, перпендикулярной плоскости маятника и отстоя-

щей на расстоянии r от конца стержня.

7.5. Однородный круглый диск массой

М и радиусом r прикреплен к оси АВ, от-

стоящей от центра масс С на расстоянии

ОС = r/2 (рис. 27). Вычислить осевые и цен-

тробежные моменты инерции диска.

7.6. Однородный круглый диск массой М экс-

центрично насажен на ось z, перпендикулярную

его плоскости. Радиус диска равен r, эксцентри-

ситет ОС = а, где С – центр масс диска. Вычис-

лить осевые Jx, Jy, Jz и центробежные Jxy, Jxz, Jyz моменты инерции диска. Оси

координат показаны на рис. 28.

7.7. Определить момент инерции одно-

родного полого шара массой М относи-

тельно оси, проходящей через его центр

тяжести. Внешний и внутренний радиусы со-

ответственно равны R и r.

8. РАБОТА И МОЩНОСТЬ

8.1. При посадке движущегося по

ВПП самолета массой т = 12,5·103 кг

на скорости V0 = = 160 км/ч включают

и на скорости V1 = 110 км/ч выклю-

чают реверсивное устройство средне-

Рис. 28

y

x

zO

С

С

Рис. 27

В

y O

x

z

А

r

Рис. 29

ГVr

ГVr

обрPr

Механника

8. Работа и мощность



32

го двигателя. Расход воздуха через двигатель составляет Gдв = 42 кг/с, а

струя газов на выходе из реверсивного устройства, имеющая относи-

тельно двигателя скорость Vг = 230 м/с, образует с направлением дви-

жения самолета угол ϕ = 45° (рис. 29). Найти среднее значение обратной

тяги двигателя обр.Р , ее работу и мощность за время действия реверсив-

ного устройства. Найти длину пробега самолета L за это время, прини-

мая равнодействующую силу cP других сил сопротивления движению

равной силе обр.Р .

8.2. Бетонный блок ABCD, размеры которого

указаны на рис. 30, имеет массу 4000 кг. Опреде-

лить работу, которую надо затратить на опроки-

дывание его вращением вокруг ребра D.

8.3. Определить наименьшую работу, которую

надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м те-

ло массой 2 т, двигая его по наклонной плоскости,

составляющей с горизонтом угол в 30°. Коэффи-

циент трения – 0,5.

8.4. Для того, чтобы поднять 5000 м3 воды на высоту 3 м, поставлен

насос с двигателем в 2 л.с. Сколько времени потребуется для выполне-

ния этой работы, если коэффициент полезного действия насоса 0,8? Примечание Коэффициентом полезного действия называется отношение по-

лезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе

движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вред-

ных сопротивлений.

8.5. Как велика мощность в лошадиных силах и киловаттах машины,

поднимающей 84 раза в минуту молот массой 200 кг на высоту 0,75 м,

если коэффициент полезного действия машины 0,7?

8.6. Вычислить мощность турбогенераторов на станции трамвайной

сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого вагона 10 т, сопро-

Рис. 30

6 м

8 м

С

D

B

A

Механника




33

тивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя скорость вагона 3,3 м/с

и потери в сети 5%.

8.7. Вычислить работу, которая производится при подъеме груза

массой 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м, если угол, об-

разуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а коэффициент трения

равен 0,01.

8.8. Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, турбина его разви-

вает мощность 3 800 кВт. Определить силу сопротивления воды движе-

нию турбохода зная, что коэффициент полезного действия турбины и

винта равен 0,41, а 1 узел = 0,5144 м/с.

8.9. Найти в лошадиных силах и киловаттах мощность двигателя

внутреннего сгорания, если среднее давление на поршень в течение все-

го хода равно 49 Н/см2, длина хода поршня 40 см, площадь поршня

300 см2, число рабочих ходов 120 в минуту, коэффициент полезного

действия 0,9.

8.10. К концу упругой пружины подвешен груз массой М. Для рас-

тяжения пружины на 1 м надо приложить силу в 1 Н. Составить выра-

жение полной механической энергии груза на пружине. Движение отне-

сти к оси х, проведенной вертикально вниз из положения равновесия

груза на пружине.

8.11. Посредством ремня передается мощность 14,71 кВт. Радиус ре-

менного шкива 0,5 м, угловая скорость шкива соответствует 150 об/мин.

Предполагая, что натяжение Т ведущей ветви ремня вдвое больше на-

тяжения t ведомой ветви, определить натяжение Т и t.

8.12. Тело массой 200 кг поднимается по наклонной плоскости со-

гласно уравнению s = 0,16t2. Определить работу при перемещении на

10 м с постоянной скоростью, если коэффициент трения о плоскость

f = 0,15, а угол наклона плоскости α = 45°.

Механника




34

8.13. Определить работу силы

тяжести при перемещении груза из

точки А в С по наклонным плоско-

стям (рис. 31). Сила тяжести тела

G = 1 500 Н, АВ = 6 м, ВС = 4 м.

8.14. Определить работу силы

резания за 3 мин. Скорость вра-

щения заготовки 120 об/мин, диаметр обрабатываемой заготовки 40 мм,

сила резания 1 кН.

8.15. Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема

груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с. КПД механизма лебедки –

0,75.

8.16. Судно развивает скорость 56 км/ч. Двигатель развивает мощ-

ность 1200 кВт. Определить силу сопротивления воды движению судна.

КПД машины – 0,4.

9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

9.1. После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой

700 кг имело частоту вращения 300 об/мин. Определить момент трения

в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение

принять равнопеременным, колесо считать сплошным цилиндром.

9.2. Шкив приводится во вращение ременной передачей. Натяжение

ведущей ветви ремня F1 = 120 Н, ведомой – F2 = 50 Н. Масса шкива

20 кг, диаметр 300 мм, момент сопротивления в подшипниках 1,2 Н·м.

Рис. 31

Vr

Gr

A

B

C

30° 45°

Механника 9. Дифференциальное уравнение вращения

твердого тела вокруг неподвижной оси



35

Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив счи-

тать тонкостенным цилиндром.

9.3. Упругую проволоку, на которой подвешен однородный шар с

радиусом r, массой m закручивают на угол ϕ0, а затем предоставляют ей

свободно раскручиваться. Момент, необходимый для закручивания

проволоки на один радиан, paвен с. Определить движение, пренебрегая

сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закрученной

проволоки пропорциональным углу кручения ϕ.

9.4. Для определения ускорения силы тяжести поль-

зуются оборотным мятником, который представляет со-

бой стержень, снабженный двумя трехгранными ножами

А и В (рис. 32). Один из ножей неподвижен, а второй мо-

жет перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень

то на один, то на другой нож и меняя расстояние AB меж-

ду ними, можно добиться равенства периодов качаний

маятника вокруг каждого из ножей. Чему равны ускорение силы тяже-

сти, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний ма-

ятника равны, АВ = l, а период качаний равен T?

10. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

10.1. Точка привеса математического маятника длины l движется по

вертикали равноускоренно. Определить период Т малых колебаний ма-

ятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки привеса направлено

вверх и имеет какую угодно величину р; 2) когда это ускорение направ-

лено вниз и величина его р < g.

10.2. Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам,

проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. Опре-

делить боковое давление поезда на рельсы: 1) если он пересекает в дан-

l

Рис. 32

А

В

Механника

10. Относительное движение



36

С

Рис. 33

М D

ω

А

В

ный момент северную широту 60°; 2) если он идет в этом же месте с се-

вера на юг.

10.3. Материальная точка свободно падает в северном полушарии с

высоты 500 м на Землю. Принимая во вни-

мание вращение Земли вокруг своей оси и

пренебрегая сопротивлением воздуха, опре-

делить, насколько отклонится на восток

точка при падении. Географическая широта

места равна 60°.

10.4. Горизонтальная трубка CD равно-

мерно вращается вокруг вертикальной оси

АВ с угловой скоростью ω0 (рис. 33). Внутри трубки находится тело М.

Определить скорость V тела относительно трубки в момент его вылета,

если в начальный момент V = 0, х = x0, длина трубки равна L. Трением


10.5. Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимо-

сти от широты места ϕ вследствие вращения Земли вокруг своей оси.

Радиус Земли R = 6370 км.

10.6. Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения

Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся на поверх-

ности Земли на экваторе, не имела бы веса? Радиус Земли R = 6370 км.

11. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

11.1. Найти усилие в замке рабочего колеса турбины, удерживающем

лопатку массой m = 0,1 кг, расположенную на радиусе R = 0,3 м, при по-

стоянной частоте вращения колеса n = 12 500 об/мин.

Механника

11. Принцип даламбера



37

11.2. Самолет делает правильный разворот с креном γ = 25° со скоро-

стью V = 360 км/ч. Определить радиус разворота и возникающую при

его выполнении перегрузку.

11.3. Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости со-

гласно уравнению s = 0,16t2. Определить величину движущей силы,

если коэффициент трения о плоскость f = 0,15, а угол наклона плоско-

сти α = 30°.

11.4. Материальная точка весом G, подвешенная на невесомой не-

растяжимой нити длины l к неподвижной точке О, описывает окруж-

ность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертика-

лью угол α. Определить скорость V точки и натяжение N нити.

11.5. График изменения скорости лифта при подъеме известен

(рис. 34). Масса лифта с грузом – 2800 кг. Определить натяжение кана-

та, на котором подвешен лифт, на всех участках подъема.

11.6. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 м/с, ради-

ус петли 1000 м, масса пилота 75 кг. Определить величину давления те-

ла на кресло в верхней точке «мертвой петли».

11.7. Самолет выходит из пи-

кирующего полета на горизон-

тальный по окружности радиуса

r (рис. 35). Скорость самолета в

момент выхода на горизонталь-

t, с

V, м/с

0 4 12 18

5

Рис. 34

Рис. 35

r

y

Механника




38

ный полет равна V. Определить, какой должен быть радиус r, чтобы си-

ла реакции N, действующая на пилота, равнялась бы по модулю пG, где

G – вес пилота.

11.8. На арочный мост АВ, имеющий в точках А и В неподвижные

опоры (рис. 36), расположенные на одной горизонтали, въезжает авто-

мобиль весом G с постоянной скоростью V. Проезжая часть моста опи-

сана по дуге окружности ра-

диуса r. Определить наи-

большее давление автомоби-

ля на мост для двух случаев:

когда проезжая часть моста

направлена выпуклостью

вверх и вниз. При какой ско-

рости автомобиля возможно

его отделение от проезжей части моста?

11.9. Найти центробежную силу инерции, возникающую при враще-

нии неуравновешенного груза весом 0,5 H, находящегося на конце ло-

пасти винта вертолета, если угловая скорость винта π60 рад/с, а диа-

метр винта 3,2 м.

11.10. Самолет весом G делает правильный вираж. Скорость самоле-

та на вираже 200 м/с. Угол крена 45°. Найти радиус виража и время t

виража.

11.11. Самолет весом G = 15·105 H делает вираж, при котором траек-

торией центра масс самолета является дуга окружности, лежащая в го-

ризонтальной плоскости. Скорость самолета на вираже постоянна и

равна 60 м/с. Угол крена γ равен 15°. Определить радиус виража R и

подъемную силу Y.

11.12. Определить силу тяжести, действующую на круглый однород-

ный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону ϕ = 3t2. Ось

Рис. 36

Механника




39

проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости. Главный

момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н·см.

11.13. Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной l и мас-

сой М вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню

через его конец, по закону ϕ = at2. Найти величины и направления рав-

нодействующих Jn и Jт центробежных и вращательных сил инерции час-

тиц стержня.

11.14. Колесо массой М и радиусом r катится без скольжения по

прямолинейному горизонтальному рельсу. Определить главный вектор

и главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через

центр масс колеса перпендикулярно плоскости движения. Колесо счи-

тать сплошным однородным диском. Центр масс С движется по закону

xC = at2/2, где а – постоянная положительная величина. Ось х направлена

вдоль рельса.

11.15. Для экспериментального определения замедления троллейбуса

применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой труб-

ки, наполненной маслом и распо-

ложенной в вертикальной плоскости

(рис. 37). Определить величину замед-

ления троллейбуса при торможении, ес-

ли при этом уровень жидкости в конце

трубки, расположенном в направлении движения, повышается до вели-

чины h2, а в противоположном конце понижается до h1. Положение ак-

селерометра указано на рисунке: α1 = α2 = 45°, h1 = 25 мм, h2 = 75 мм.

11.16. С каким ускорением должна двигаться по горизонтальной

плоскости призма, боковая грань которой образует угол α с горизонтом,

чтобы груз, лежащий на боковой грани, не перемещался относительно

призмы?

Рис. 37

h 2

h 1

α2 α1

а

Механника




40

11.17. На паром, привязанный к берегу двумя параллельными кана-

тами, въезжает грузовик массой 7 т со скоростью 12 км/ч. Тормоза ос-

танавливают грузовик на протяжении 3 м. Предполагая, что сила трения

колес о настил парома постоянна, определить натяжение канатов. Мас-

сой и ускорением парома пренебречь.

11.18. Автомобиль массой М движется прямолинейно с ускорением

а. Определить вертикальное давление передних и задних колес автомо-

биля, если его центр масс С находится на высоте h от поверхности грун-

та. Расстояния передней и задней осей автомобиля от вертикали, прохо-

дящей через центр соответственно равны а и b. Массами колес пренеб-

речь. Как должен двигаться автомобиль, чтобы давления передних и

задних колес оказались равными?

11.19. Груз А массой М1, опускаясь вниз,

приводит в движение посредством нерастя-

жимой нити, переброшенной через непод-

вижный блок С (рис. 38), груз В массой М2.

Определить силу давления стола D на пол,

если масса стола равна М3. Массой нити


11.20. В центробежном тахометре два тонких

однородных прямолинейных стержня длины а и b

жестко соединены под прямым углом, вершина

которого О шарнирно соединена с вертикальным

валом. Вал вращается с постоянной угловой ско-

ростью ω (рис. 39). Найти зависимость между ω и

углом отклонения ϕ, образованным направлением

стержня длины а и вертикалью.

11.21. Однородный стержень массой М и дли-

ной l вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной

Рис. 38

Рис. 39

d b

O

ϕ

ω

Механника




41

вертикальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его

конец. Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня,

отстоящем от оси вращения на расстоянии а.

12. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА

12.1. Вертолет разворачивается в режиме висения, делая поворот за 10 с.

Определить суммарный гироскопический момент обоих двигателей и силы

давления каждого ротора на подшипники, если частота вращения ротора

n = 13 000 об/мин, его момент инерции J = 0,21 кг·м2, а расстояние между

подшипниками b = 0,4 м.

12.2. Волчок вращается по часовой

стрелке вокруг своей оси ОА с постоянной

угловой скоростью ω = 600 рад/с. Ось ОА

наклонена к вертикали; нижний конец оси

О остается неподвижным; центр масс С

волчка находится на оси ОА на расстоянии

ОС = 30 см от точки О (рис. 40); радиус

инерции волчка относительно оси равен 10 см. Определить движение

оси волчка ОА, считая, что главный момент количеств движения волчка

относительно оси ОА равен Jω.

12.3. Волчок, имея форму диска, вращается с угловой скоростью

80 рад/с вокруг своей оси симметрии. Диск насажен на ось длиной

20 см, расположенную вдоль оси симметрии волчка. Определить угло-

вую скорость регулярной прецессии волчка, полагая, что его главный

момент количества движения равен Jω, а диаметр 30 см.

12.4. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает

1500 об/мин. Масса вращающихся частей 6 т, радиус инерции ρ = 0,7 м.

Определить гироскопические давления на подшипники, если судно опи-

Рис. 40

А

С

0

z

Механника

12. Приближенная теорема гироскопа



42

сывает циркуляцию вокруг вертикальной оси, поворачиваясь на 10° в

секунду. Расстояние между подшипниками l = 2,7 м.

12.5. Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось которой па-

раллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что и колеса, делая 1500

об/мин. Момент инерции вращающихся частей турбины относительно оси

вращения J = 200 кг·м2. Как велика добавочная сила давления на рель-

сы, если газотурбовоз идет по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15

м/с? Ширина колеи 1,5 м.

12.6. В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу М = 1200 кг,

радиус инерции относительно его оси ρ = 0,4 м, радиус R = 0,5 м

(рис. 41), мгновенная ось вращения

бегуна проходит через середину

линии касания бегуна с дном чаши.

Определить cилу давления бегуна

на горизонтальное дно чаши, если

частота вращения бегуна вокруг вертикальной оси составляет п = 60

об/мин.

13. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

13.1. Элерон может поворачиваться вокруг шарнира А. Действующая

на него воздушная нагрузка Y = 7,92 кН перпендикулярна АС, а тяга

управления параллельна АС. Линейные размеры указаны на рисунке,

причем a = 3h. Пренебрегая массовыми силами от веса конструкции

элерона, определить усилие в тяге управления (рис. 42).

Рис. 41

Рис. 42

Механника

13. Принцип возможных перемещений



43

13.2. На лонжерон киля действует сила Р = 80 кН, а на лонжерон ста-

билизатора несимметричная нагрузка Y1 = 40 кН, Y2= 70 кН, а = 2,2 м,

r = 2,4 м. Лонжерон киля можно считать однородной балкой, жестко за-

щемленной в точке А. Определить реакцию заделки (рис. 43).

13.3. Элерон отклонен от направления горизонтального полета на

угол α = 15° и находится под действием равномерно распределенной

нагрузки интенсивности q = 7,5 кН/м, перпендикулярной хорде элерона

(рис. 44). Вес элерона G = 0,9 кН. Линейные размеры: b = 0,6 м,

h = 0,15 м, а = 0,06 м, d = 0,1 м. Тяга управления параллельна оси АХ.

Определить усилие в тяге управления.

Рис. 43

Рис. 44

Тяга

управ-ления

Механника

13. Принцип возможных перемещений



44

13.4. На балку АВ, лежащую на двух опорах А и В, действует система

вертикальных сил: P1 P2 и Р3 (рис. 45). Определить реакцию связи в шар-

нире В.

14. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

14.1. Тяжелая отливка массой m прикреплена к

стержню, который может вращаться без трения во-

круг неподвижной оси О и отклонен от вертикали

на угол ϕ0. Из этого начального положения отливке

сообщают начальную скорость V0 (рис. 46). Опре-

делить усилие в стержне как функцию угла откло-

нения стержня от вертикали, пренебрегая массой

стержня. Длина стержня l.

14.2. Сферический маятник состоит из

нити ОМ длиной l, прикрепленной одним

концом к неподвижной точке О, и тяже-

лой точки М весом Р, прикрепленной к

другому концу нити (рис. 47). Точку М

отклонили из положения равновесия так,

Р1 Р2 Р3В

а а b b

А

Рис. 45

Рис. 46

V0

О

ϕ0

Р

l

m

Рис. 47

х

у

О

О1

z P

M (x,y,z)

Механника

14. Смешанные задачи



45

что ее координаты при t = 0 стали х = x0, у = 0, и сообщили ей началь-

ную скорость: 0,,0 0000 === zVух &&& . Определить, при каком соотношении

начальных условий точка М будет описывать окружность в горизонтальной

плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружно-

сти.

14.3. Лыжник при прыжке с

трамплина спускается с эстака-

ды АВ, наклоненной под углом

α = 30° к горизонту (рис. 48).

Перед отрывом он проходит

небольшую горизонтальную

площадку ВС, длиной которой

при расчете пренебрегаем. В

момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную состав-

ляющую скорости Vy = 1 м/с. Высота эстакады h = 9 м, коэффициент

трения лыж о снег f = 0,03, линия приземления CD образует угол β = 45°

с горизонтом. Определить дальность l полета лыжника, пренебрегая со-

противлением воздуха. Примечание . Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отры-

ва С до точки приземления лыжника на линии CD.

14.4. Парашютист массой 70 кг выбросился из самолета и, пролетев

100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых

человек был подвешен к парашюту если в течение первых пяти секунд с

момента раскрытия парашюта при постоянной силе сопротивления

движению скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивле-

нием воздуха движению человека пренебречь.

14.5. За 500 м до станции, стоящей на пригорке, высотой 2 м, маши-

нист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормо-

зить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое

Рис. 48

А

В С

Dβ

α

h

Механника




46

постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда

равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН?

14.6. При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная

от места катастрофы, оказалась на расстоянии s = 280 м от первоначаль-

ного положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении

указанной части из первоначального положения в конечное, лежащее в

той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значе-

ние угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус ма-

ховика R = 1,75 м.

14.7. Точка М массой m движется по гладкой

поверхности полусферического купола радиуса

R (рис. 49). Считая, что на точку действует сила

тяжести, параллельная оси z, и зная, что в на-

чальный момент точка имела скорость V0 и на-

ходилась на высоте h0 от основания купола, оп-

ределить давление точки на купол, когда она

будет на высоте h от основания купола.

14.8. По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы по-

мещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к труб-

ке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоро-

стью ω вокруг оси Оу?

Рис. 49

О

z

x

y h

М

N

R V

Механника




47

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: в 2 т/

М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – М.: Государственное из-

дательство физико-математической литературы, 1961. – 1088 с.

2. Механика. Практикум по решению задач: учебное пособие / В.П.

Соколовская. – Минск: Новое знание, 2006. – 316 с.

3. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике: учеб.

пособие/И.В Мещерский. – . 35-е изд., перераб. – М.: Наука, Главная ре-

дакция физико-математической литературы, 1981. – 480 с.

4. Сахарный, Н.Ф. Курс теоретической механики/Н.Ф. Сахарный. –

М.: Высшая школа, 1964. – 844 с.

5. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие для ву-

зов гражданской авиации/В.А. Закревский, В.А. Касьянов, Э.В. Лузик. –

М.: Машиностроение, 1988. – 200 с.

6. Олофинская, В.П. Техническая механика: курс лекций с варианта-

ми практических и тестовых заданий: учеб. пособие/В.П. Олофинская. –

2-е изд. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. – 349 с.

7. Чернов, К.И. Основы технической механики/К.И. Чернов. – М.:

Машиностроение, 1986. – 256 с.

Механника

Библиографический список



48

МЕХАНИКА

Сборник задач

к практическим занятиям по разделу «Динамика»

Составитель: ЮГАНОВ

Владимир Сергеевич

Редактор Н.В. Алейнова

Компьютерная верстка Ю.Ю. Романова Подписано в печать 2008. Формат 60 х 90 / 16 Бумага газетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,06. Уч.-изд.л. 2,33. Тираж Заказ

РИО и УОП УВАУ ГА . 432071, г . Ульяновск , ул . Можайского , 8 /8

Механника



49

Documents

МЕХАНИКА - ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Yuganov_2.pdfББК В 2 я 7 Ю 15 Механика: сборник задач к практическим занятиям