МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКРЫТЫХ …pnu.edu.ru/media/filer_public/2013/01/16/mat-mod_mu.pdf29. Особенности целочисленных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОТКРЫТЫХ РАЗРАБОТОК

Методические указания к изучению дисциплины «Математическое

моделирование открытых разработок» и выполнению

курсовой работы для студентов специальности 130403.65

«Открытые горные работы» очной и заочной форм обучения

Хабаровск

Издательство ТОГУ

2011

2

УДК 622.271:519.86 (076)

Математическое моделирование открытых разработок: методические

указания к изучению дисциплины «Математическое моделирование откры-

тых разработок» и выполнению курсовой работы для студентов специально-

сти 130403.65 «Открытые горные работы» очной и заочной форм обучения /

сост. Г. М. Вербицкий. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2012. – 54

с.

В методических указаниях приведён состав изучаемой дисциплины с

рекомендуемой литературой, контрольные вопросы к зачёту и указания к вы-

полнению курсовой работы. В последних приведены примеры решения задач

математического моделирования открытых горных разработок разных вари-

антов.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Транспортно-

технологические системы в строительстве и горном деле» и методического

совета транспортно-энергетического.

Главный редактор Л. А. Суевалова

Редактор Л. С. Бакаева

Оператор компьютерной вёрстки Е. А. Шишкин

Подписано в печать 29.03.11. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая.

Усл. печ. л. 1,62. Тираж 100 экз. Заказ .

Издательство Тихоокеанского государственного университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136

© Тихоокеанский государственный

университет, 2011

3

Курс “Математическое моделирование открытых разработок” имеет

целью способствовать выработке навыков у студентов как будущих руково-

дителей производства обоснованной выработки руководящих решений в об-

ласти организации, планирования и управления открытыми горными работа-

ми путём ознакомления и освоения методов математического моделирования

задач горной промышленности.

1. ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Тема 1. Основные принципы построения и решения

математических моделей

1. Назначение и значение курса.

2. Понятие о математических моделях задач.

3. Выбор модели и показатели эффективности задачи.

4. Методы решения моделей.

5. Порядок построения и решения моделей.

Литература

1. Резниченко С. С. Математические методы и моделирование в горной

промышленности : учеб. пособие / С. С. Резниченко, А. А. Ашихмин. – М. :

Изд-во Московского горного ун-та, 2001. – 404 с.

Тема 2. Оптимизация и линейное программирование

для её реализации

1. Формирование математической модели задачи оптимизации.

2. Некоторые графоаналитические сведения для графической интер-

претации задач оптимизации.

3. Графическое решение задач оптимизации.

4. Факторы, обусловливающие более сложные случаи задач оптимиза-

ции.

5. Формы записи задач линейного программирования.

6. Методы решения задач линейного программирования.


1. Вербицкий Г. М. Основы оптимального использования машин в

строительстве и горном деле : учеб. пособие / Г. М. Вербицкий. – Хабаровск :

Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2009. – 108 с.

Тема 3. Понятие о симплекс-методе линейного программирования

1. Запись задачи линейного программирования в стандартной форме.

4

2. Нахождение опорного решения.

3. Определение оптимального решения.

4. Выбор первого базиса.

5. Двойственная задача линейного программирования. Теоремы двой-

ственности.





Тема 4. Применение линейного программирования в задачах

планирования и управления горным производством

1. Условия применения и классификация линейных моделей.

2. Задачи о расстановке оборудования.

3. Задачи об оптимальном использовании ресурсов (оптимальном

плане выпуска продукции).

4. Планирование добычных работ в режиме усреднения качества.

5. Планирование перевозок грузов горных предприятий.

6. Модель задачи планирования работы группы горных предприятий

(добывающих и перерабатывающих).

7. Модели задач размещения.





Тема 5. Транспортная задача линейного программирования

1. Особенности транспортной задачи.

2. Построение опорного решения.

3. Условия и метод построения оптимального решения транспортной

задачи.

4. Алгоритм решения транспортной задачи на сети.

5. Постановка и решение транспортной задачи по критерию времени.





5

Тема 6. Целочисленное линейное программирование и его применение

при решении задач планирования горного производства

1. Особенности целочисленных линейных задач и методов их решения.

2. Использование булевых переменных при построении моделей цело-

численных задач планирования.

3. Модель планирования размещения углеобогатительных фабрик.

4. Модель оперативного планирования расстановки самоходного обо-

рудования по очистным блокам рудника.

5. Модель задачи о раскрое.

6. Решение целочисленных задач методом отсечений.

7. Решение целочисленных задач методом ветвей и границ.

8. Частичный перебор в задачах с булевыми переменными.





2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО КУРСУ

1. Назначение и значение курса.

2. Понятие о математических моделях задач.

3. Выбор модели и показатели эффективности задачи.

4. Методы решения моделей.

5. Порядок построения и решения моделей.

6. Формирование математической модели задачи оптимизации.

7. Некоторые графоаналитические сведения для графической интер-

претации задач оптимизации.

8. Графическое решение задач оптимизации.

9. Факторы, обусловливающие более сложные случаи задач оптимиза-

ции.

10. Формы записи задач линейного программирования.

11. Методы решения задач линейного программирования.

12. Запись задачи линейного программирования в стандартной форме.

13. Нахождение опорного решения.

14. Определение оптимального решения.

15. Выбор первого базиса.

16. Двойственная задача линейного программирования. Теоремы двой-

ственности.

17. Условия применения и классификация линейных моделей.

18. Задачи о расстановке оборудования.

6

19. Задачи об оптимальном использовании ресурсов (оптимальном

плане выпуска продукции).

20. Планирование добычных работ в режиме усреднения качества.

21. Планирование перевозок грузов горных предприятий.

22. Модель задачи планирования работы группы горных предприятий

(добывающих и перерабатывающих).

23. Модели задач размещения.

24. Особенности транспортной задачи.

25. Построение опорного решения.

26. Условия и метод построения оптимального решения транспортной

задачи.

27. Алгоритм решения транспортной задачи на сети.

28. Постановка и решение транспортной задачи по критерию времени.

29. Особенности целочисленных линейных задач и методов их реше-

ния.

30. Использование булевых переменных при построении моделей це-

лочисленных задач планирования.

31. Модель планирования размещения углеобогатительных фабрик.

32. Модель оперативного планирования расстановки самоходного обо-

рудования по очистным блокам рудника.

33. Модель задачи о раскрое.

34. Решение целочисленных задач методом отсечений.

35. Решение целочисленных задач методом ветвей и границ.

36. Частичный перебор в задачах с булевыми переменными.

3. СОСТАВ, СОДЕРЖАНИЕ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КУРСОВОЙ РАБОТЫ

3. 1. Состав курсовой работы

В соответствии с учебным планом специальности по дисциплине

предусмотрена курсовая работа. Курсовая работа предназначена для того,

чтобы научить выработке руководящих решений с оптимальными результа-

тами с помощью математических моделей и того или иного метода матема-

тического программирования.

Курсовая работа может быть выполнена только после ознакомления с

содержимым курса в соответствии с его тематикой.

Выбор метода математического программирования для решения моде-

ли зависит от её формы и содержания.

Решение задач курсовой работы предусматривает применение линей-

ного программирования, являющегося одним из универсальных методов по-

лучения оптимальных решений, основой для понимания и формирования бо-

лее сложных моделей.

7

Выбор варианта задачи курсовой работы производится по табл. 1 в со-

ответствии с последней и предпоследней цифрой шифра зачётной книжки

студента.

Таблица 1

Выбор варианта задачи для курсовой работы

Предпоследняя

цифра шифра

Последняя цифра шифра студента

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1.12 1.3 3.2 1.15 2.7 3.2 3.11 3.4 2.3 3.8

2 1.15 1.12 2.5 2.4 3.10 2.4 1.6 1.14 1.14 1.2

3 1.7 1.1 1.8 3.6 3.8 1.7 3.9 3.6 1.3 2.7

4 2.4 2.8 1.4 2.4 3.9 1.15 1.14 1.4 1.9 1.14

5 3.6 3.9 2.3 1.14 1.12 1.3 1.14 2.5 3.9 3.11

6 1.5 2.4 1.10 2.7 3.3 2.7 3.2 1.7 1.5 2.4

7 1.1 1.6 1.6 2.1 1.13 1.8 1.7 2.4 1.13 3.10

8 2.2 3.11 2.1 3.4 1.14 1.4 1.15 1.14 1.7 3.8

9 1.10 1.9 3.3 3.2 3.1 1.9 3.4 2.1 1.15 3.4

0 3.7 3.2 2.3 1.9 2.3 3.6 1.9 3.1 2.4 1.5

Примечание: шифр задачи, записанный в ячейке таблицы, состоит из двух частей:

до точки – номер задачи (1 – табл. 2, 2 – табл. 4, 3 – табл. 5), после точки – номер варианта

исходных данных задачи (табл. 2, 4, 5)

3. 2. Содержание задач курсовой работы

Задача №1. Определить объёмы поставок руды на обогатительную

фабрику с четырёх (или другого количества по варианту) рудников, обеспе-

чивающие выполнение задания по количеству металлов в концентрате при

минимальных затратах на транспорт и переработку руды.

Варианты задачи отличаются набором рассматриваемых (находящихся

в работе) рудников и заданием по количеству каждого вида металла в кон-

центрате (табл. 2). Исходные данные по содержанию металла в руде по руд-

никам и технико-экономические показатели рудников приведены в табл. 3.

Таблица 2

Данные для выбора задачи 1

Номер

варианта

Рассматриваемые

рудники

Задания по количеству металла в концентрате

по видам, т

1-й 2-й 3-й 4-й

1 2 3 4 5 6

1.1 1, 2, 3 490 300 – –

1.2 1, 2, 4 450 500 – –

1.3 1, 3, 4 500 – – 500

1.4 2, 3, 4 400 – 120 –

8

Окончание табл. 2

Номер

варианта


рудники


по видам, т

1.5 1, 2, 3, 4 500 500 140 1230

1.6 1, 2, 3 – 320 70 –

1.7 1, 2, 4 – 550 140 800

1.8 1, 3, 4 550 250 80 –

1.9 2, 3, 4 300 450 110 250

1.10 1, 2, 3, 4 500 500 – –

1.11 1, 2, 3 140 290 70 1220

1.12 1, 2, 4 300 – 100 -

1.13 1, 3, 4 – – 120 400

1.14 2, 3, 4 290 420 – –

1.15 1, 2, 3, 4 460 – 100 –

Таблица 3

Характеристики рудников

Вид металла Содержание металла в руде на рудниках, %

1 2 3 4

1-й

2-й

3-й

4-й

2,8

1,2

–

4,5

–

2,4

0,3

4,8

–

–

0,8

5,2

6,8

3,6

1,6

4,3

Затраты на транспортирова-

ние и переработку 1 т руды,

тыс. руб.

1,15 0,72 1,36 0,94

Максимальный объём поста-

вок с рудника, т

7000 12000 5000 6000

Задача 2. Определить месячную производительность рудников, обес-

печивающую план поставки сырой руды на обогатительную фабрику с за-

данным содержанием компонентов в руде и с минимальными суммарными

эксплуатационными затратами на её добычу.

Обогатительной фабрикой предъявлены следующие требования к каче-

ству исходного сырья:

среднее содержание 1-го компонента пл.1 ;

––––––––––––––––– 2-го –––––––––– maxmin 222 ;

––––––––––––––––– 3-го –––––––––– доп.33 .

Технико-экономические показатели рудников приведены в табл. 4, до-

полнительные данные, определяющие вариант задачи, – в табл. 5.

9

Таблица 4

Технико-экономические показатели рудников

№

рудни-

ка

Содержание компонента в руде, % Себестоимость

добычи,

тыс. руб.

Допустимая

нагрузка на рудник,

тыс. т 1-го 2-го 3-го

1 1,2 0,5 3,2 1,25 50

2 2,1 0,4 3,1 1,10 45

3 1,6 0,3 4,1 0,81 36

4 2,6 0,8 3,6 1,05 55

5 3,0 0,4 2,8 1,51 60

6 1,8 0,6 3,8 0,72 30

7 2,3 0,7 3,5 0,95 40

Таблица 5

Данные для выбора варианта задачи

№ вари-

анта

Рассматриваемая

группа рудников

Допустимые уровни содержания компонента

в усреднённой руде, %

Объём

поставок

руды,

тыс. т пл. min2 max2 доп.3

2.1 1, 2, 3, 4 1,3 0,4 0,5 – 160

2.2 1, 2, 3, 5 2,3 0,4 0,5 – 155

2.3 1, 2, 3, 6 1,9 0,6 0,7 – 140

2.4 1, 2, 3, 7 2,0 – 0,6 3,9 150

2.5 3, 4, 6, 7 1,9 – 0,7 3,9 125

2.6 3, 5, 6, 7 2,4 0,4 – 3,8 140

2.7 4, 5, 6, 7 2,5 0,5 0,7 – 130

Задача 3. На обогатительной фабрике имеются три склада сырья объё-

мом 1A , 2A и 3A , на которых в данный момент находится уголь средней

зольности 1Z , 2Z и 3Z . Уголь поступает на две технологические линии про-

пускной способностью 1П и 2П , рассчитанные на переработку угля средней

зольности 1Z и

2Z . Составить план переработки угля на следующие сутки,

обеспечивающий полную загрузку технологических линий для максимально-

го освобождения указанного угольного склада.

Исходные данные по вариантам приведены в табл. 6.

3.3. Содержание отчёта к курсовой работе

Отчёт по курсовой работе оформляется в виде расчётно-пояснительной

записки, имеющей следующее содержание:

Глава 1. Описание (например) симплекс-метода линейного программи-

рования:

1. 1. Классификация методов решения задач математического

моделирования;

10

Таблица 6

Исходные данные по вариантам для задачи 3

№ вари-

анта

Количество угля на

складах, тыс. т

Зольность угля

на складах, %

Производи-

тельность

линий,

тыс. т/ сут.

Расчётная

зольность

угля, %

№ макс.

осво-

бождае-

мого

склада 1A 2A 3A 1Z 2Z 3Z

1П 2П

1Z

2Z

3.1 5 6 4 12 18 27 3 3 15 20 3

3.2 4 2 5 13 19 27 3 2 15 22 2

3.3 6 5 5 12 19 27 2 2 15 24 2

3.4 4 5 6 14 18 25 3 4 16 23 1

3.5 8 10 3 15 20 25 2 4 16 23 3

3.6 4 3 2 13 20 25 2 1,5 15 22 3

3.7 2 5 1 14 21 30 2 2 17 25 3

3.8 1 4 4 15 21 27 1 2 19 24 1

3.9 3 2 4 16 22 30 2 1 19 27 1

3.10 1 2 5 16 22 30 2 2 18 25 2

3.11 6 7 4 13 19 28 2 4 16 21 2

1. 2. Понятие о симплекс-методе линейного программирования

(ЛП):

1. 2. 1. Запись задачи ЛП в стандартной форме;

1. 2. 2. Нахождение опорного решения;

1. 2. 3. Нахождение оптимального решения;

1. 2. 4. Выбор первого базиса;

1. 3. Двойственная задача ЛП.

Глава 2. Решение задачи планирования поставок руды с обеспечением

требуемого качества концентрата (либо определения месячной производи-

тельности рудников или составления плана переработки угля за сутки) ( в за-

висимости от заданного варианта задачи):

2. 1. Постановка задачи;

2. 2. Формирование экономико-математической модели;

2. 3. Запись модели в стандартной форме;

2. 4. Поиск опорного решения;

2. 5. Нахождение оптимального решения;

2. 6. Анализ результатов решения;

2. 7. Подготовка задачи к решению на ЭВМ;

2. 8. Получение решения на ЭВМ;

2. 9. Сравнение решения на ЭВМ с результатом ручного счёта.

Глава 1 должна содержать реферат одного из часто используемых ме-

тодов математического программирования (например, симплекс-метода ли-

нейного программирования) для получения оптимальных решений.

11

В главе 2 должна быть осуществлена постановка заданной задачи,

сформирована и реализована с помощью, например, симплекс-метода в таб-

личной модификации, описанного выше, математическая модель, а затем она

же решена на ЭВМ.

Реферат главы 1 может быть подготовлен после изучения используемо-

го метода математического программирования (например, симплекс-метода).

Для этого могут послужить источники [1, 2].

Методические указания для решения задачи (глава 2) приведены далее.

3. 4. Методические указания к решению задач курсовой работы

Методические указания будут показаны в виде примеров решения каж-

дой из задач, возможных в том или ином варианте курсовой работы. Изложе-

ние примеров будет подчинено требованиям к содержанию главы 2 отчёта.

Задача 1

Вариант 1

Постановка задачи

Определить объёмы поставок руды на обогатительную фабрику с че-

тырёх рудников, обеспечивающие выполнение задания по количеству метал-

лов в концентрате при минимальных затратах на транспорт и переработку

руды.

Исходные данные с характеристиками рудников приведены в табл. 7 (в

отчёте к курсовой работе номера таблиц должны быть соответствующими по

порядку в главе 2), а задание по количеству металлов в концентрате – в табл. 8.

Таблица 7



1 2 3 4

1-й

2-й

3-й

4-й

2,8

1,2

–

4,5

–

2,4

0,3

4,8

–

–

0,8

5,2

6,8

3,6

1,6

4,3



тыс. руб.

1,15 0,72 1,36 0,94


вок с рудника, т 7000 12000 5000 6000

Таблица 8


рудники


по видам, т

1, 2, 3, 4 500 500 140 1230

12

В соответствии с заданием в качестве целевой функции следует вос-

пользоваться затратами на транспорт и переработку руды с их минимизаци-

ей.

Поставленная цель должна быть достигнута при ограничении возмож-

ных поставок руды рудниками и получении требуемых количеств металлов в

концентрате, что должно быть оговорено в математической модели соответ-

ствующими условиями.

Для формализации и решения задачи располагаем следующими исход-

ными данными и искомыми результатами:

m – количество рассматриваемых рудников;

mi ,1 – порядковые номера рудников;

n – количество видов металлов в концентрате;

nj ,1 – порядковые номера металлов в концентрате обогатительной

фабрики;

miQimax

,1, –максимально возможный объём поставки руды с рудни-

ка i , т;

njQj

,1, – количество металла j в концентрате, т;

miCi

,1, – затраты на транспортирование и переработку 1 т руды из

рудника i , тыс. руб./ т;

mixi

,1, – искомый объём поставки руды с рудника i , т;

njmiij

,1;,1, – содержание металла j в руде рудника i , %.

Формирование экономико-математической модели

Экономико-математическая модель задачи выглядит следующим обра-

зом:

минимизировать

i

m

iixCL

1 (1)

при условиях:

miQximaxi

,1, (2)

njQ

x

j

m

iiij

,1,100

1

(3)

mixi

,1,0 (4)

13

Физический смысл модели:

(1) – целевая функция, имеющая следующее содержание: общие затра-

ты на транспортирование и переработку руды из всех рудников должны быть

минимальны;

(2) – искомый объём поставки руды из рудника i должен быть не более

возможной выработки imax

Q ;

(3) – количество металла j в концентрате должно быть равно требуе-

мому j

Q ;

(4) – искомые объёмы поставок руды с рудников mi ,1 должны быть

неотрицательны.

Запись модели в стандартной форме

С учётом исходных данных задачи математическая модель будет вы-

глядеть следующим образом:

minxxxxL 4321

94,036,172,015,1


1

x 7000

2

x 12000

3

x 5000

60004x

500068,0028,041 xx

500036,0024,0012,0421 xxx

140016,0008,0003,0432 xxx

1230043,0052,0048,0045,04321 xxxx

4,1,0 ixi

В ограничения типа “” необходимо добавить дополнительные пере-

менные 4,1, iyi

, а в ограничения типа “” – искусственные переменные

4,1, jj

.

Модель задачи будет выглядеть так:

minxxxxL 4321

94,036,172,015,1

14


700011 yx

1200022 yx

500033 yx

600044 yx

500068,0028,0141 xx

500036,0024,0012,02421 xxx

140016,0008,0003,03432 xxx

1230043,0052,0048,0045,044321 xxxx

2370163,0060,0075,0085,043214321

xxxxl

4,1,0 ixi

; 4,1,0 iyi

; 4,1,0 jj

Стандартная форма записи модели

minxxxxL )94,036,172,015,1(04321


)(700011

xy

)(1200022

xy

)(500033

xy

)(600044

xy

)068,0028,0(500411

xx

)036,0024,0012,0(5004212

xxx

)016,0008,0003,0(1404323

xxx

)043,0052,0048,0045,0(123043214

xxxx

)163,0060,0075,0085,0(23704321

xxxxl

4,1,0 ixi

; 4,1,0 iyi

; 4,1,0 jj

Стандартная таблица симплекс-метода представлена в табл. 9.

Поиск опорного решения

Поиск опорного решения выполнен итерациями, представленными в

табл. 9 – 12. Прежде всего осуществлён обмен искусственных переменных на

свободные и столбцы, им соответствующие, уничтожены.

15

Таблица 9

Стандартная таблица симплекс-метода на первой итерации поиска опорного

сечения

1

Свободный

член 1x

2x

3x

4x

l 2370

-1518

0,085 0,075

0

0,06

0

0,163

-0,206 -3,036

L 0

20535,5

-1,15 -0,72

0

-1,36

0

-0,94

2,793 41,071

1

y 7000

-17857

1 0

0

0

0

0

-2,429 -35,714

2

y 12000

0

0 1

0

0

0

0

0 0

3

y 5000

0

0 0

0

1

0

0

0 0

4

y 6000

0

0 0

0

0

0

1

0 0

1x

1 500 0,028 0 0 0,068

17857 35,714 0 0 2,429

2

500

-214,5

0,012 0,024

0

0

0

0,036

-0,029 -0,429

3 140

0

0 0,003

0

0,008

0

0,016

0 0

4

1230

-803,5

0,045 0,048

0

0,052

0

0,043

-0,109 -1,607

Таблица 10

Первая итерация поиска опорного решения

2

Свободный

член 2x

3x

4x

l 852

-892,188

0,075 0,06

0

-0,043

-0,022 -3,125

L 20535,5

8565

-0,72 -1,36

0

1,853

0,21 30

1

y -10857

0

0 0

0

-2,429

0 0

2

y 12000

-11895,929

1 0

0

0

-0,292 -41,667

3

y 5000

0

0 1

0

0

0 0

4

y 6000

0

0 0

0

1

0 0

1

x 17857

0

0 0

0

2,429

0 0

16


Свободный

член 2x

3x

4x

2x

2

285,5 0 0,007

11895,833 41,667 0 0,292

3 140

-35,688

0,003 0,008

0

0,016

-0,0009 -0,125

4

426,5

-571 0,048

0,052

0

-0,066

-0,014

Таблица 11

Третья итерация поиска опорного решения

3

Свободный

член 3x

4x

l -40,188

-782,34

0,06 -0,065

-0,113 -7,5

L 29100,5

17733,04

-1,36 2,063

2,567 170

1

y -10857

0

0 -2,429

0 0

2

y 104,071

0

0 -0,292

0 0

3

y 5000

-13039

1 0

-1,888 -125

4

y 6000

0

0 1

0 0

1

x 17857

0

0 2,429

0 0

2

x 11895,833

0

0 0,292

0 0

3x

3

104,312 0,0151

13039 125 1,888

4

-144,5

-678,028

0,052 -0,08

-0,098 -6,5

Таблица 12

Четвёртая итерация поиска опорного решения

4

Свободный член 4

x

l -822,528

822,528

-0,178

-1

L 46833,54

-21394,776

4,63

26,011

0,008

0,024

17



x

1

y -10857

11224,217

-2,429

-13,646

2

y 104,071

1348,946

-0,292

-1,64

3

y -8039

8724,554

-1,888

-10,607

4

y 6000

-4620,962

1

5,618

1

x 17857

-11224,217

2,429

13,646

2

x 11895,833

-1348,946

0,292

1,64

3

x 13039

-8724,554

1,888

10,607

4x

4 -822,528

4620,944 -5,618

После обмена искусственных переменных, количество которых оказа-

лось равным количеству основных переменных, получилась следующая

стандартная таблица (табл. 13):

Таблица 13

Результат обмена

искусственных переменных

Нахождение оптимального решения

В связи с замеченным выше табл. 13 содержит оптимальное решение

задачи по данному варианту, где в столбце свободных членов приведён оп-

тимальный результат.

Свободный член

L 25438,764

1y 367,217

2y 1453,017

3y 685,554

4y 1379,038

1x 6632,783

2x 10546,887

3x 4314,446

4x 4620,944

-0,178

18

Анализ результатов решения

Поскольку количество искусственных переменных оказалось равным

количеству основных переменных, то после обмена последних получено оп-

тимальное решение задачи:

основные переменные – искомые поставки руды из рудников на обога-

тительную фабрику

764,66321x т; 887,10546

2x т; 446,4314

3x т; 944,4620

4x т;

дополнительные переменные – недогрузка рудников по порядку их ну-

мерации

217,3671y т; 017,1453

2y т; 554,685

3y т; 038,1379

4y т;

минимальные затраты на транспорт и переработку руды

438,76425minL тыс. руб. 76443825 руб.

Вариант 2


Определить объёмы поставок руды на обогатительную фабрику с че-

тырёх рудников, обеспечивающие выполнение задания по количеству метал-

лов в концентрате при минимальных затратах на транспорт и переработку

руды.

Исходные данные с характеристиками рудников приведены в табл. 14

(в отчёте к курсовой работе номера таблиц должны быть соответствующими

по порядку в главе 2), а задание по количеству металлов в концентрате – в

табл. 15. Таблица 14



1 2 3 4

1-й

2-й

3-й

4-й

2,8

1,2

–

4,5

–

2,4

0,3

4,8

–

–

0,8

5,2

6,8

3,6

1,6

4,3



тыс. руб.

1,15 0,72 1,36 0,94


вок с рудника, т 7000 12000 5000 6000

19

Таблица 15


рудники


по видам, т

1, 2, 3, 4 500 500 – –


пользоваться затратами на транспорт и переработку руды с их минимизаци-

ей.

Поставленная цель должна быть достигнута при ограничении возмож-

ных поставок руды рудниками и получении требуемых количеств металлов в

концентрате, что должно быть оговорено в математической модели соответ-

ствующими условиями.





n – количество видов металлов в концентрате;


фабрики;

miQimax

,1, –максимально возможный объём поставки руды с рудни-

ка i , т;

njQj

,1, – количество металла j в концентрате, т;

miCi

,1, – затраты на транспортирование и переработку 1 т руды из

рудника i , тыс. руб./ т;

mixi

,1, – искомый объём поставки руды с рудника i , т;

njmiij

,1;,1, – содержание металла j в руде рудника i , %.



зом;

Минимизировать

i

m

iixCL

1 (1)


miQximaxi

,1, (2)

20

njQ

x

j

m

iiij

,1,100

1

(3)

mixi

,1,0 (4)


(1) – целевая функция, имеющая следующее содержание: общие затра-

ты на транспортирование и переработку руды из всех рудников должны быть

минимальны;

(2) – искомый объём поставки руды из рудника i должен быть не более

возможной выработки imax

Q ;

(3) – количество металла j в концентрате должно быть равно требуе-

мому j

Q ;

(4) – искомые объёмы поставок руды с рудников mi ,1 должны быть

неотрицательны.




minxxxxL 4321

94,036,172,015,1


1

x 7000

2

x 12000

3

x 5000

60004x

500068,0028,041 xx

500036,0024,0012,0421 xxx

4,1,0 ixi

Так как в руде 3-го рудника отсутствует как 1-ый, так и 2-ой металл,

модель следует упростить следующим образом:

minxxxL 421

94,072,015,1


21

1

x 7000

2

x 12000

60004x

500068,0028,041 xx

500036,0024,0012,0421 xxx

4,2,1,0 ixi


менные 4,2,1, iyi


2,1, jj

.


minxxxL )94,072,015,1(0421


)(700011

xy

)(1200022

xy

)(600044

xy

)068,0028,0(500411

xx

)036,0024,0012,0(5004212

xxx

)104,0024,0040,0(1000421

xxxl

4,2,1,0 ixi

; 4,2,1,0 iyi

; 2,1,0 jj


Таблица 16

Стандартная таблица симплекс-метода на первой итерации поиска

опорного сечения

1


x 2

x 4

x

l 1000

-714,5

0,04 0,024

0

0,104

-0,097 -1,429

L 0

20535,5

-1,15 -0,72

0

-0,94

2,793 41,071

1

y 7000

-17857,143

1 0

0

0

-2,429 -35,714

2

y 12000

0

0 1

0

0

0 0

4

y 6000

0

0 0

0

1

0 0

22



x 2

x 4

x

1x

1

500 0 0,068

17857,143 35,714 0 2,429

2

500

-214,5

0,012 0,024

0

0,036

-0,029 -0,429



табл. 16 – 19. Прежде всего осуществлён обмен искусственных переменных

на свободные и столбцы, им соответствующие, уничтожены.

Таблица 17

Вторая итерация поиска опорного решения

2

Свободный член 2x

4x

l

285,5

-285,5

0,024 0,007

-0,007 -1

L 20535,5

8565

-0,72 1,853

0,21 30

1

y -10857,143

0

0 -2,429

0 0

2

y 12000

-11895,833

1 0

-0,292 -41,667

4

y 6000

0

0 1

0 0

1

x 17857,143

0

0 2,429

0 0

2x

2

285,5 0,007

11895,833 41,667 0,292

Таблица 18


1

y


L 29100,5

-9217,714

2,063

0,849

4x

1y -10857,143

4469,8 -0,412

2

y 104,167

1302,857

-0,292

-0,12

0,024

-2,429

0,028

23



4

y 6000

-4473,143

1

0,412

1

x 17857,143

-10857,143

2,429

1

2

x 11895,833

-1302,857

0,292

0,12

После обмена искусственных переменных получилась следующая

стандартная таблица (табл. 19): Таблица 19

Итерация поиска оптимального решения

4

y


y

L 19882,786

-3146,852

0,849

-2,061

4

x 4469,8

1526,857

-0,412

1

2

y 1407,024

444,315

-0,12

0,291

1y

4y 1526,857

3705,964 2,427

1

x 7000

-3705,682

1

-2,427

2

x 10592,976

-444,315

0,12

-0,291


Табл. 19 соответствует опорному решению задачи, т. к. все свободные

члены неотрицательны. Анализ признака минимума целевой функции свиде-

тельствует об отсутствии оптимального решения. В табл. 19, используя алго-

ритмы нахождения оптимального решения и обмена переменных, проведена

итерация нахождения оптимального решения. Одного обмена оказалось до-

статочно. В табл. 20 приведено оптимальное решение задачи.

Таблица 20

Оптимальное решение задачи

Свободный

член 4y

L 16735,934 -2,061

4x 5996,657 1

0,412

24


Свободный

член 4y

2y 1851,339 0,291

1y 3705,964 2,427

1x 3294,318

-2,427

2x 10148,661 -0,291


Оптимальное решение задачи:

основные переменные – искомые поставки руды из рудников на обога-

тительную фабрику

318,32941x т; 661,10148

2x т; 657,5996

4x т;


мерации

964,37051y т; 339,1851

2y т; 0

4y т;

минимальные затраты на транспорт и переработку руды

934,73516minL тыс. руб. 93473516 руб.

Все ограничения экономико-математической модели задачи выполня-

ются (за исключением некоторых незначительных погрешностей счёта).

Задача 2

Вариант 1


Определить месячную производительность рудников, обеспечиваю-

щую план поставки сырой руды на обогатительную фабрику с заданным со-

держанием компонентов в руде и с минимальными суммарными эксплуата-

ционными затратами на её добычу.

Обогатительной фабрикой предъявлены следующие требования к каче-

ству исходного сырья:

среднее содержание 1-го компонента: пл1 ;

25

" " 2-го " max22min2

.

Данные, определяющие вариант задачи, приведены в табл. 21, а техни-

ко-экономические показатели рудников – в табл. 22.

Таблица 21

Исходные данные задачи

Рассматриваемая

группа рудников

Допустимые уровни содержания компонента в усреднённой

руде, % Объём поставок

руды, тыс. т пл min2

max2

1, 2, 3, 4 1,3 0,4 0,5 160

Таблица 22

Технико-экономические показатели рудников

№ руд-

ника

Содержимое компонента в руде, % Себестоимость

добычи, тыс. руб.

Допустимая

нагрузка на руд-

ник, тыс. т 1-го 2-го

1

2

3

4

1,2

2,1

1,6

2,6

0,5

0,4

0,3

0,8

1,25

1,10

0,81

1,05

50

45

36

55


пользоваться суммарными эксплуатационными затратами на добычу руды с

их минимизацией.

Поставленная цель должна быть достигнута при ограничении требуе-

мых месячных производительностей рудников, соблюдении требований к ка-

честву исходного сырья и обеспечении суммарного объёма поставок руды,

что должно быть оговорено в математической модели соответствующими

условиями.





mixi

,1, – месячная производительность рудника i , тыс. т;

n – количество видов компонентов в руде;


фабрики;

njmiij

,1;,1, – содержание компонента j в руде рудника i , %;

miQimax

,1, – допустимая нагрузка на рудник i , тыс. т;

Q – суммарный объём поставок руды с рудников, тыс. т;

пл – допустимый уровень содержания 1-го компонента в усреднённой

руде, %;

26

max2min2, – минимально возможный и максимально допустимый

уровни содержания 2-го компонента в усреднённой руде, %;

miCi

,1, – себестоимость добычи 1 т руды на руднике i , тыс. руб./ т.



зом:


i

m

iixCL

11000 (1)


miQximaxi

,1, (2)

Qxm

ii

1 (3)

пл

1

11

m

ii

m

iii

x

x

(4)

min2

1

12

m

ii

m

iii

x

x

(5)

max2

1

12

m

ii

m

iii

x

x

(6)

mixi

,1,0 (7)


(1) – целевая функция, выражающая суммарные эксплуатационные за-

траты в тыс. руб. на добычу руды, которые должны быть минимальными;

(2) – месячная производительность рудника i не должна превышать

допустимой нагрузки, тыс. т;

27

(3) – суммарный объём поставок руды должен быть;

(4) – содержание 1-го компонента в усреднённой руде должно быть

равно заданному;

(5) – содержание 2-го компонента в усреднённой руде не должно быть

меньше минимально возможного;

(6) – содержание 2-го компонента в усреднённой руде не должно быть

больше максимально допустимого;

(7) – искомые месячные производительности рудников неотрицатель-

ны;




minxxxxL 4321

05,181,01,125,1


1

x 50

2

x 45

3

x 36

554x

1604321 xxxx

3,16,26,11,22,1

4321

4321

xxxx

xxxx

4,08,03,04,05,0

4321

4321

xxxx

xxxx

5,08,03,04,05,0

4321

4321

xxxx

xxxx

4,1,0 ixi

Необходимо провести некоторые математические преобразования в

модели и привести её к смешанной форме:

minxxxxL 4321

05,181,01,125,1


1

x 50

28

2

x 45

3

x 36

554x

04,01,01,0431 xxx

03,02,01,0432 xxx

1604321 xxxx

03,13,08,01,04321 xxxx

4,1,0 ixi


менные 6,1, iyi


2,1, jj

.

Модель задачи будет выглядеть так:

minxxxxL 4321

05,181,01,125,1


1

x 501 y

2

x 452 y

3

x 363 y

5544 yx

04,01,01,05431 yxxx

03,02,01,06432 yxxx

16014321 xxxx

03,13,08,01,024321 xxxx

4,1,0 ixi

; 6,1,0 iyi

; 2,1,0 jj


minxxxxL )05,181,01,125,1(04321


)(5011

xy

)(4522

xy

)(3633

xy

)(5544

xy

29

)4,01,01,0(04315

xxxy

)3,02,01,0(04326

xxxy

)(16043211

xxxx

)3,13,08,01,0(043212

xxxx

)3,23,18,19,0(1604321

xxxxl

4,1,0 ixi

; 6,1,0 iyi

; 2,1,0 jj


Таблица 23



1

Свободный

член 1x

2x

3x

4x

l 160

-144

0,9 1,8

-0,9

1,3

-0,9 2,3

-0,9 -0,9

L 0

200

-1,25 -1,1

1,25

-0,81

1,25 -1,05

1,25 1,25

1

y 50

-160

1 0

-1

0

-1 0

-1 -1

2

y 45

0

0 1

0

0

0 0

0 0

4

y 55

0

0 0

0

0

0 1

0 0

5

y 0

16

-0,1 0

0,1

0,1

0,1 -0,4

0,1 0,1

6

y 0

0

0 -0,1

0

-0,2

0 0,3

0 0

1x

1 160 1 1 1

160 1 1 1 1

2

0

16

-0,1 0,8

0,1

0,3

0,1 1,3

0,1 0,1



табл. 23 – 26. Прежде всего осуществлён обмен искусственных переменных

на свободные и столбцы, им соответствующие, уничтожены.

1

30

Таблица 24

Стандартная таблица симплекс-метода на второй итерации поиска


2

Свободный

член 2x

3x

4x

l 16

16

0,9 0,4

-0,4

1,4

-1,4 -1

L 200

-2,672

0,15 0,44

-0,0668

0,2

-0,234 -0,167

1

y -110

17,776

-1 -1

0,444

-1

1,555 1,111

2

y 45

-17,776

1 0

-0,444

0

-1,555 -1,111

3

y 36

0

0 1

0

0

0 0

4

y 55

0

0 0

0

1

0 0

5

y 16

-1,776

0,1 0,2

-0,0444

-0,3

-0,155 -0,111

6

y 0

1,776

-0,1 -0,2

0,0444

0,3

0,155 0,111

1

x 160

-17,776

1 1

-0,444

1

-1,555 -1,111

2x

2

16 0,4 1,4

17,778 1,111 0,444 1,556

Таблица 25


3

y

Свободный

член 3x

4x

L 197,328

-13,428

0,373 -0,034

0 -0,373

1

y -92,224

20,016

-0,556 0,555

0 0,556

2

y 27,224

15,984

-0,444 -1,555

0 0,444

3x

3y 36 0

36 1 0

4

y 55

0

0 1

0 0

5

y 14,224

-5,616

0,156 -0,455

0 -0,156

6

y 1,776

5,616

-0,156 0,455

0 0,156

0,9

1

31


Свободный

член 3x

4x

1

x 142,224

-20,016

0,556 -0,555

0 -0,556

2

x 17,778

-15,984

0,444 1,556

0 -0,444

Таблица 26

Промежуточная таблица поиска опорного решения

Свободный

член 3y

4x

L 183,9

-0,373

-0,034

1y -72,208

0,556

0,555

2y 43,208

0,444

-1,555

3x 36

1

0

4y 55

0

1

5y 8,608

-0,156

-0,455

6y 7,392

0,156

0,455

1x 122,208

-0,556

-0,555

2x

1,794

-0,444

1,556

В соответствии со сложившимся на последней итерации (табл. 26) по-

иск опорного решения следует прекратить, т. к. соблюдается признак 1. В

строке с базисной переменной 1

y имеется отрицательный свободный член и

нет ни одного отрицательного элемента. Это означает, что ограничения в мо-

дели несовместны. Условие с 1

y соответствует ограниченной возможности

поставки первого рудника и невозможности вцелом обеспечить заданный

объём поставок руды с определённым содержанием компонентов.

Следует в этой ситуации попробовать ограничить мощность первого

рудника снизу при минимизации затрат на добычу. Математическая модель

при этом будет следующей:


m

iii

xCL11000 (8)


32

max1 iQx (9)

miQxii

,2,max

(10)

Qxm

ii

1 (11)

пл

1

11

m

ii

m

iii

x

x

(12)

2min

1

12

m

ii

m

iii

x

x

(13)

2max

1

12

m

ii

m

iii

x

x

(14)

mixi

,1,0 (15)

Ограничение типа “” обращается прежде всего в ограничение типа

“”, а последние – в равенства добавлением в левые части дополнительных

переменных 41

,, yy .

minxxxxL 4321

05,181,01,125,1


1

x 501

y

2

x 452 y

3

x 363 y

5544 yx

04,01,01,05431 yxxx

03,02,01,06432 yxxx

16014321 xxxx

33

03,13,08,01,024321 xxxx

4,1,0 ixi

; 6,1,0 iyi

; 2,1,0 jj

Модель в стандартной форме:

minxxxxL )05,181,01,125,1(04321


)(5011

xy

)(4522

xy

)(3633

xy

)(5544

xy

)4,01,01,0(04315

xxxy

)3,02,01,0(04326

xxxy

)(16043211

xxxx

)3,13,08,01,0(043212

xxxx

)3,23,18,19,0(1604321

xxxxl

4,1,0 ixi

; 6,1,0 iyi

; 2,1,0 jj

Поиск опорного и оптимального решений осуществлён в табл. 27 – 30.

Таблица 27



1

Свободный

член 1x

2x

3x

4x

l 160

-144

0,9 1,8

-0,9

1,3

-0,9 2,3

-0,9 -0,9

L 0

200

-1,25 -1,1

1,25

-0,81

1,25 -1,05

1,25 1,25

1

y -50

-160

-1 0

1

0

1 0

1 1

2

y 45

0

0 1

0

0

0 0

0 0

3

y 36

0

0 0

0

1

0 0

0 0

4

y 55

0

0 0

0

0

0 1

0 0

5

y 0

16

-0,1 0

0,1

0,1

0,1 -0,4

0,1 0,1

6

y 0

0

0 -0,1

0

-0,2

0 0,3

0 0

34


Свободный

член 1x

2x

3x

4x

1x

1

160 1 1 1

160 1 1 1 1

2

0

16

-0,1 0,8

0,1

0,3

0,1 1,3

0,1 0,1

Таблица 28

Стандартная таблица симплекс-метода на второй итерации поиска


2

Свободный

член 2x

3x

4x

l 16

16

0,9 0,4

-0,4

1,4

-1,4 -1

L 200

-2,672

0,15 0,44

-0,067

0,2

-0,234 -0,167

1

y 110

-17,776

1 1

-0,444

1

-1,555 -1,111

2

y 45

-17,776

1 0

-0,444

0

-1,555 -1,111

3

y 36

0

0 1

0

0

0 0

4

y 55

0

0 0

0

1

0 0

5

y 16

-1,776

0,1 0,2

-0,0444

-0,3

-0,155 -0,111

6

y 0

1,778

-0,1 -0,2

0,044

0,3

0,156 0,111

1

x 160

-17,776

1 1

-0,444

1

-1,555 -1,111

2x

2

16 0,4 1,4

17,778 1,111 0,444 1,555

Таблица 29


3

y

Свободный

член 3x

4x

L 197,328

-13,428

0,373 -0,034

0 -0,373

1

y 92,224

-20,016

0,556 -0,555

0 -0,556

2

y 27,224

15,984

-0,444 -1,555

0 0,444

0,9

1

35


3x

3y

36 0

36 1 0

4

y 55

0

0 1

0 0

5

y 14,224

-5,616

0,156 -0,456

0 -0,156

6

y 1,778

5,616

-0,156 0,456

0 0,156

1

x 142,224

-20,016

0,556 -0,555

0 -0,556

2

x 17,776

-15,984

0,444 1,555

0 -0,444

Таблица 30

Оптимальное решение

Свободный

член 3y

4x

L 183,9 -0,373 -0,034

1y 72,208 -0,556 -0,555

2y 43,208 0,444 -1,555

3x 36 1 0

4y 55 0 1

5y 8,606 -0,156 -0,456

6y 7,394 0,156 0,456

1x 122,208 -0,556 -0,555

2x 1,792 -0,444 1,555


основные переменные – искомые месячные производительности руд-

ников

208,1221x тыс. т; 792,1

2x тыс. т; 36

3x тыс. т; 0

4x тыс. т;

дополнительные переменные – перегрузка первого рудника и недо-

грузка остальных по порядку их нумерации

208,721y тыс. т; 208,43

2y тыс. т; 0

3y тыс. т; 55

4y тыс. т ;

1

36

превышение оптимального количества руды необходимого для обеспе-

чения минимально содержания 2-го компонента в усреднённой руде

606,85y тыс. т;

запас количества руды до необходимого для обеспечения максималь-

ного содержания 2-го компонента в усреднённой руде

394,76y тыс. т;

минимальные суммарные эксплуатационные на добычу руды

9,183minL тыс. руб. 900183 руб.



Ещё одна модификация модели с целью получения максимально воз-

можного количества месячных поставок руды при соблюдении заданных ко-

личеств компонентов в усреднённой руде и возможных мощностей рудников

представлена ниже. При этом в качестве целевой функции может быть при-

нята максимально возможная суммарная месячная производительность руд-

ников.

maxxxxxL 4321


1

x 50

2

x 45

3

x 36

554x

04,01,01,0431 xxx

03,02,01,0432 xxx

1604321 xxxx

03,13,08,01,04321 xxxx

4,1,0 ixi

Стандартная форма записи модели:

maxxxxxL )(04321

37


)(5011

xy

)(4522

xy

)(3633

xy

)(5544

xy

)(16043215

xxxxy

)4,01,01,0(04316

xxxy

)3,02,01,0(04327

xxxy

)3,13,08,01,0(04321

xxxx

4,1,0 ixi

; 7,1,0 iyi

; 0

Опорное и оптимальное решения получены итерациями в табл. 31 – 34.

Таблица 31

Стандартная таблица симплекс-метода на итерации поиска


Свободный

член 1x

2x

3x

4x

L

0

0

-1 -1

-8

-1

-3 -1

-13 -10

1x

0 0,8 0,3 1,3

0 -10 -8 -3 -13

1

y 50

0

1 0

8

0

3 0

13 10

2

y 45

0

0 1

0

0

0 0

0 0

3

y 36

0

0 0

0

1

0 0

0 0

4

y 55

0

0 0

0

0

0 1

0 0

5

y 160

0

1 1

8

1

3 1

13 10

6

y 0

0

-0,1 0

-0,8

0,1

-0,3 -0,4

-1,3 -1

7

y 0

0

0 -0,1

0

-0,2

0 0,3

0 0

-0,1

38

Таблица 32

Опорное решение и первая итерация нахождения

оптимального решения

7

y

Свободный

член 2x

3x

4x

L 0

0 -9

-4,666

-4

-9,332

-14

46,662

1

x 0

0 -8

-4,333

-3

-8,666

-13

43,329

1

y 50

0 8

4,333

3

8,666

13

-43,329

2

y 45

0 1

0

0

0

0

0

3

y 36

0 0

0

1

0

0

0

4

y 55

0 0

0,333

0

0,667

1

-3,333

5y

160

0 9

4,666

4

9,332

14

-46,662

6

y 0

0 -0,8

-0,567

-0,2

-1,1330,393

-1,7

5,666

4x

7y

0 -0,1 -0,2

0 -0,333 -0,667 3,333

Таблица 33

Вторая итерация нахождения оптимального решения

1

y

Свободный

член 2x

3x

7y

L 0

55,35

-13,666 -13,332

12,914

46,662

-47,965 1,107

1

x 0

50

-12,333 -11,666

11,666

43,329

-43,329 1

2x

1y 50 11,666 -43,329

4,054 0,081 0,945 -3,51

2

y 45

-4,054

1 0

-0,945

0

3,51 -0,081

3

y 36

0

0 1

0

0

0 0

4

y 55

-1,35

0,333 0,667

-0,315

-3,333

1,17 -0,027

5

y 160

-55,35

13,666 13,332

-12,914

-46,662

47,965 -1,107

6

y 0

5,55

-1,367 -1,333

1,295

5,666

-4,81 0,111

4

x 0

1,35

-0,333 -0,667

0,315

3,333

-1,17 0,027

0,3

12,333

39

Таблица 34

Третья итерация нахождения оптимального решения

4

x

Свободный

член 1y

3x

7y

L 55,35

0,813 1,107

0,016

-0,418

-0,213

-1,303

0,602

1

x 50

0 1

0

0

0

0

0

2

x 4,054

2,19 0,081

0,044

0,945

-0,571

-3,51

1,622

2

y 40,946

-2,19 -0,081

-0,044

-0,945

0,571

3,51

-1,622

3

y 36

0 0

0

1

0

0

0

4

y 53,65

1,35 -0,027

0,027

0,352

-0,352

-2,163

1

5

y 104,65

-0,813 -1,107

-0,016

0,418

0,213

1,303

-0,602

6

y 5,55

-0,533 0,111

-0,011

-0,038

0,139

0,856

-0,395

7y

4x

1,35 0,027 -0,352

0,624 0,012 -0,163 0,462

Таблица 35

Четвёртая итерация нахождения оптимального решения

2

x

Свободный

член 1y

3x

4x

L 56,163

10,534 1,123

0,211

-0,631 0,602

2,736 1,687

1

x 50

0 1

0

0 0

0 0

3x

2x

6,244 0,125 1,622

16,696 0,334 2,674 4,337

2

y 38,756

6,244 -0,125

0,125

-0,374 -1,622

1,622 1

3

y 36

-16,696 0

-0,334

1 0

-4,337 -2,674

4

y 55

0 0

0

0 1

0 0

5

y 103,837

-10,534 -1,123

-0,211

0,631 -0,612

-2,736 -1,687

6

y 5,017

-1,667 0,1

-0,033

0,1 -0,395

-0,433 -0,267

7

y 0,624

2,722 0,012

0,055

-0,163 0,462

0,707 0,436

2,163

0,374

40

Таблица 36

Оптимальное решение

Свободный

член 1y

2x

4x

L 66,697 1,334 1,687 3,338

1x 50 1 0 0

3x 16,696 0,334 2,674 4,337

2y 45 0 1 0

3y 19,304 -0,334 -2,674 -4,337

4y 55 0 0 1

5y 93,303 -1,334 -1,687 -3,338

6y 3,35 0,067 -0,267 -0,828

7y 3,346 0,067 0,436 1,169


основные переменные – искомые месячные производительности руд-

ников

501x тыс. т; 0

2x тыс. т; 696,16

3x тыс. т; 0

4x тыс. т;


мерации

01y тыс. т; 45

2y тыс. т; 304,19

3y тыс. т; 55

4y тыс. т ;

Максимально возможный суммарный объём поставок руды при задан-

ной максимально возможной загрузке рудников и при условии обеспечения

заданного объёма компонентов равен

697,66maxL тыс. т



41

Задача 3


. На обогатительной фабрике имеются три склада сырья объёмом 1A ,

2A и 3A , на которых в данный момент находится уголь средней зольности

1Z , 2Z и 3Z . Уголь поступает на две технологические линии пропускной

способностью 1П и 2П , рассчитанные на переработку угля средней зольно-

сти 1Z и

2Z . Составить план переработки угля на следующие сутки, обеспе-

чивающий полную загрузку технологических линий для максимального

освобождения указанного угольного склада.

Исходные данные по вариантам приведены в табл. 37.

Таблица 37

Исходные данные для задачи 3

Количество угля на

складах, тыс. т

Зольность угля

на складах, %

Производи-

тельность

линий,

тыс. т/ сут.

Расчётная

зольность

угля, %

№ макс.

осво-

бождае-

мого

склада 1A 2A 3A 1Z 2Z

3Z

1П 2П 1Z

2Z

5 6 4 12 18 27 3 3 15 20 3


пользоваться суммарной суточной перевозкой угля на обогатительную фаб-

рику с заданного максимально освобождаемого склада с её максимизацией.

Поставленная цель должна быть достигнута при использовании задан-

ной полной пропускной способности технологических линий и соблюдении

средней зольности угля для них. Перевозку угля для переработки осуще-

ствить в пределах объёмов складов.



m – количество складов угля на обогатительной фабрике;

mi ,1 – порядковый номер склада;

n – количество технологических линий;

nj ,1 – порядковый номер технологической линии обогатительной

фабрики;

miAi

,1, –количество угля на складе i , тыс. т;

miZi

,1, – зольность угля на складе i , %;

njПj

,1, – производительность технологической линии j , тыс. т /

сут.;

42

j

Z , nj ,1 – расчётная зольность угля на технологической линии j ;

k – номер максимально освобождаемого склада, mk ,,1 .

Искомыми данными являются:

njmixij

,1;,1, – количество угля, перерабатываемого за следующие

сутки, со склада i технологической линией j .



зом:


kj

n

jxL

1 (1)


miAxi

n

jij

,1,1

(2)

njПxj

m

iij

,1,1

(3)

njZ

x

xZ

jm

iij

m

iiji

,1,

1

1

(4)

njmixij

,1;,1,0 (5)


(1) – целевая функция, имеющая следующее содержание: суммарная

доставка угля со склада k на переработку в следующие сутки должна быть

максимально возможной (т. е. склад k должен быть максимально освобож-

дён);

(2) – суммарная доставка угля со склада i на технологические линии

nj ,1 не превышает количество угля i

A на складе;

(3) – производительность технологической линии j должна быть обес-

печена соответствующими доставками угля со складов mi ,1 ;

(4) – требуемая зольность угля на перерабатывающей линии j должна

быть обеспечена;

43

(5) – искомый объём доставки руды на следующий день со склада i на

технологическую линию j неотрицателен.




maxxxL 3231


11211

Axx

22221

Axx

33231

Axx

1312111

Пxxx

2322212

Пxxx

1312111

313212111 Zxxx

xZxZxZ

2322212

323222121 Zxxx

xZxZxZ

2,1;3,1,0 jixij

Модель в математическом виде:

maxxxL 3231


51211

xx

62221

xx

43231

xx

3312111

xxx

3322212

xxx

15271812

312111

312111

xxx

xxx

44

20271812

322212

322212

xxx

xxx

2,1;3,1,0 jixij


maxxxL )(03231


)(512111

xxy

(62

y )2221

xx

(43

y )3231

xx

(31

)312111

xxx

(32

)322212

xxx

(03

11

3x )1233121

xx

(04

)728322212

xxx

)813472(6323122211211

xxxxxxl

2,1;3,1,0 jixij


Таблица 38

Стандартная таблица симплекс-метода и первая итерация поиска опорного

решения

1

Свободный

член 11x

12x

21x

22x

31x

32x

l 6

6

-2 -7

0

4

2

-1

0

13

2

8

0 2

L 0

0

0 0

0

0

0

0

0

-1

0

-1

0 0

1

y 5

-3

1 1

0

0

-1

0

0

0

-1

0

0 -1

2

y 6

0

0 0

0

1

0

1

0

0

0

0

0 0

3

y 4

0

0 0

0

0

0

0

0

1

0

1

0 0

11x

1 3 0 1 0 1 0

3 1 0 1 0 1 0

1

45


Свободный

член 11x

12x

21x

22x

31x

32x

2

3

0

0 1

0

0

0

1

0

0

0

1

0 0

3 0

9

-3 0

0

3

3

0

0

12

3

0

0 3

4

0

0

0 -8

0

0

0

-2

0

0

0

7

0 0


Поиск опорного решения осуществлён шестью итерациями обмена пе-

ременных в табл. 38 -43.

Таблица 39

Вторая итерация поиска опорного решения

2

Свободный

член 12x

21x

22x

31x

32x

l

12

21

-7 6

0

-1

7

15

0

8

7 7

L

0

0

0 0

0

0

0

-1

0

-1

0 0

1

y 2

-3

1 -1

0

0

-1

-1

0

0

-1 -1

2

y 6

0

0 1

0

1

0

0

0

0

0 0

3

y 4

0

0 0

0

0

0

1

0

1

0 0

11

x 3

0

0 1

0

0

0

1

0

0

0 0

12x

2 3 0 1 0 1

3 1 0 1 0 1

3 9

0

0 6

0

0

0

15

0

0

0 0

4

0

24

-8 0

0

-2

8

0

0

7

8 8

Таблица 40


3

Свободный

член 21x

22x

31x

32x

l

33

-9

6 6

0

15

-15

15

0 -1

1

46


L

0

0

0 0

0

-1

0

-1

0 0

1

y -1

1,5

-1 -1

0

-1

2,5

-1

0 0,167

2

y 6

-1,5

1 1

0

0

-2,5

0

0 -0,167

3

y 4

0

0 0

0

1

0

1

0 0

11

x 3

-1,5

1 0

0

1

-2,5

0

0 -0,167

12

x 3

0

0 1

0

0

0

1

0 0

21x

3

9 0 15 0

1,5 0,167 0 2,5 0

4

24

0

0 6

0

0

0

15

0 0

Таблица 41

Четвёртая итерация поиска опорного решения

4

Свободный

член 22x

31x

32x

l

24

-24

6 0

0

15

-15 -1

L

0

0

0 -1

0

-1

0 0

1

y 0,5

4

-1 1,5

0

-1

2,5 0,167

2

y 4,5

-4

1 -2,5

0

0

-2,5 -0,167

3

y 4

0

0 1

0

1

0 0

11

x 1,5

0

0 -1,5

0

0

0 0

12

x 3

-4

1 0

0

1

-2,5 -0,167

21

x 1,5

0

0 2,5

0

0

0 0

22x

4 24 0 15

4 0,167 0 2,5

6

6

47

Таблица 42

Пятая итерация поиска опорного решения

21

x

Свободный

член 31x

32x

L

0

0,6

-1 -1

0 0,4

1

y 4,5

-0,9

1,5 -1

2,5 -0,6

2

y 0,5

1,5

-2,5 -2,5

0 1

3

y 4

-0,6

1 1

0 -0,4

11

x 1,5

0,9

-1,5 0

0 0,6

12

x -1

0

0 -1,5

0 0

31x

21x

1,5 0

0,6 0,4 0

22

x 4

0

0 2,5

0 0

Таблица 43

Шестая итерация поиска опорного решения

12

x

Свободный

член 21x

32x

L

0,6

0,667 0,4

0

-1

-0,667

1

y 3,6

-1 -0,6

0

1,5

1

2

y 2,0

1,667 1

0

-2,5

-1,667

3

y 3,4

-0,667 -0,4

0

1

0,667

11

x 2,4

0 0,6

0

0

0

32x

12x

-1 0

0,667 0 -0,667

31

x 0,6

0 0,4

0

0

0

22

x 4

-1,667 0

0

2,5

1,667

2,5

-1,5

48


Оптимальное решение найдено выполнением итерации обмена пере-

менных в табл. 44 и представлено в табл. 45.

Таблица 44


22

x

Свободный

член 21x

12x

L

1,267

0,933 0,4

0

-0,667

0,4

1

y 2,6

-1,4 -0,6

0

1

-0,6

2

y 3,667

2,333 1

0

-1,667

1

3

y 2,733

-0,933 -0,4

0

0,667

-0,4

11

x 2,4

0 0,6

0

0

0

32

x 0,667

0,933 0

0

-0,667

0,4

31

x 0,6

0 0,4

0

0

0

12x

22x

2,333 0

1,4 0 0,6

Таблица 45

Оптимальное решение задачи

Свободный

член 21x

22x

L 2,2 0,4 0,4

1y 1,2 -0,6 -0,6

2y 6 1 1

3y 1,8 -0,4 -0,4

11x 2,4 0,6 0

32x 1,6 0 0,4

31x 0,6 0,4 0

12x 1,4 0 0,6

1,667

49


Оптимальное решение следующее:

целевая функция – максимально возможное освобождение склада №3

(по заданию) при условии обеспечения заданных средних зольностей угля на

технологических линиях

2,2maxL тыс. т;

оптимальные отгрузки угля на технологические линии обогатительной

фабрики

4,211x тыс. т; 4,1

12x тыс. т; 0

21x тыс. т; 0

22x тыс. т;

6,031x тыс. т; 6,1

32x тыс. т;

остатки угля на складах

2,11y тыс. т; 6

2y тыс. т; 8,1

3y тыс. т.

3. 5. Подготовка задачи к решению на ЭВМ

Подготовленную математическую модель (например на стр. 13) в виде

матрицы коэффициентов в ограничениях, столбца свободных членов следует

перенести на лист Microsoft Excel (рис. 1) в ячейки C2:F9 и A2:A9. Ячейки

C1:F1 должны быть проинициализированы нулём. В ячейке G1 в режиме Ex-

cel набирается формула для определения значения целевой функции. Форму-

ла целевой функции может выглядеть следующим образом (по примеру мо-

дели на стр. 13):

=1,15*C1+0,72*D1+1,36*E1+0,94*F1

Рис. 1. Подготовка исходной информации на листе Excel

50

В ячейке B2 следует набрать формулу для определения значения левой

части условия модели:

=$C$1*C2+$D$1*D2+$E$1*E2+$F$1*F2

С помощью процедуры «протягивания» формула ячейки B2 копируется

в ячейки B3:B9. При этом абсолютные адреса ячеек (помеченные символами

«$») остаются неизменными, а относительные адреса (без символа «$») изме-

няются в соответствии с номером строки принадлежности формулы. Так как

в ячейках C1:F1 – нули, результаты вычислений в ячейках G1 и B2:B9 тоже

нулевые.

3. 6. Решение задачи на ЭВМ

Для решения задачи следует воспользоваться командой Поиск решения

всплывающего списка команд меню Сервис. На экране дисплея отображается

диалоговое окно команды (рис. 2), содержание которого, воспользовавшись

данными рис. 1, необходимо отредактировать для решения задачи линейного

программирования.

В качестве целевой ячейки следует воспользоваться ячейкой G1. По-

скольку модель содержит минимизацию целевой функции, необходимо по-

ставить флажок Равной • минимальному значению. В поле Изменяя ячей-

ки: нужно набрать диапазон ячеек C1:F1. Если на листе Excel (рис. 2) иници-

ализирована ячейка G1, то нажатие клавиши Предположить приводит к

автоматическому отображению диапазона ячеек $C$1:$F$1.

В поле Ограничения: следует отобразить типы отношений между зна-

чениями левых частей ограничений в ячейках B2:B9 и значениями свобод-

ных членов в ограничениях в ячейках A2:A9 по группам ограничений модели

(рис. 1). Для этого нужно нажать клавишу Добавить. При этом появится

диалоговое окно (рис. 3), имеющее три поля данных. В левом поле должен

быть диапазон ячеек, содержащих значения вычисляемых левых частей огра-

ничений (например, B2:B5 по примеру на стр.12), в среднем поле нужно

отобразить знак отношения, выбираемый из всплывающего списка отноше-

ний, в правом поле должен быть диапазон ячеек, содержащий значения сво-

бодных членов ограничений (например, A2:A5).

Данная задача содержит три группы ограничений (рис. 1): ограничения

– неравенства типа «≤», ограничения – равенства типа «=», условия неотри-

цательности переменных (с отношениями типа «≥»). Каждая из указанных

групп готовится так же, как и первая после очередного нажатия клавиши

Добавить. После подготовки последней группы ограничений в диалоговом

окне (рис. 3) следует нажать клавишу Ок .

После проведения вышеизложенных операций диалоговое окно проце-

дуры Поиск решения приобретает вид, аналогичный рис. 4. После нажатия

клавишы Выполнить задача перейдёт в режим исполнения.

51

Рис. 2. Диалоговое окно процедуры Поиск решения Excel

Рис. 3. Диалоговое окно процедуры Добавления ограничения

По окончании решения на экране дисплея отобразится окно сообщений

о результатах решения (рис. 5). Если система ограничений задачи корректна

(т. е. ограничения совместны), целевая функция ограничена, то сообщения о

результатах будут аналогичны тем, что отображены на рис. 5. В противном

случае будет сообщаться о невозможности нахождения оптимального реше-

ния, что вызовет необходимость редактирования модели и исходных данных

задачи.

3. 7. Анализ результатов расчёта на ЭВМ

При корректности подготовки исходных данных и математической мо-

дели решение задачи на ЭВМ с помощью процедуры Поиск решения одним

из методов линейного программирования (симплекс-метод) гарантирует по-

лучение оптимального результата (рис. 6).

52

Рис. 4. Диалоговое окно процедуры Поиск решения задачи,

подготовленной к решению

Рис. 5. Результаты решения задачи с помощью

процедуры Поиск решения

Результаты решения задачи фиксированы на листе Excel (рис. 6 для

примера модели на стр. 13). Значения искомых переменных 41

xx и целевой

функции отображены в первой строке листа Excel в ячейках C1:F1 соответ-

ственно. В ячейках B2:B9 листа Excel приведены результаты вычислений ле-

вых частей ограничений (стр. 13), которые можно соотнести со значениями

свободных членов ограничений в ячейках A2:A9 и убедиться в соблюдении

знаков отношений между ними.

Рис. 6. Оптимальное решение задачи

53

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК







Оглавление

1. ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА………………………… 3

2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО КУРСУ……………… 5

3. СОСТАВ, СОДЕРЖАНИЕ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КУРСОВОЙ РАБОТЫ………………………………………………… 6

3. 1. Состав курсовой работы………………………………………… 6

3. 2. Содержание задач курсовой работы……………………………. 7

3. 3. Содержание отчёта к курсовой работе...……………………….. 9

3. 4. Методические указания к решению задач курсовой работы…11

Задача 1…………………………………………………………..11

Задача 2…………………………………………………………..24

Задача 3…………………………………………………………..41

3. 5. Подготовка задачи к решению на ЭВМ…………..…………..49

3. 6. Решение задачи на ЭВМ……………………………………….50

3. 7. Анализ результатов расчёта на ЭВМ………………………….51

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………...53

Documents

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКРЫТЫХ …pnu.edu.ru/media/filer_public/2013/01/16/mat-mod_mu.pdf29. Особенности целочисленных