На правах рукописи

Лужецкая Прасковья Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ, РАСЧЕТ ТЕЛЕТРАФИКА

И ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ

Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени

кандидата технических наук

Ростов-на-Дону − 2012

2

Работа выполнена на кафедре «Информатика» в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образова-

ния «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС) Научный руководитель: Бутакова Мария Александровна

доктор технических наук, профессор Официальные оппоненты: Боженюк Александр Витальевич доктор технических наук, профессор, Южный федеральный университет, профессор

Соколов Сергей Викторович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор

Ведущая организация: Северо-Кавказский федеральный университет Защита состоится _____ декабря 2012 г. в ______ часов на заседании диссертаци-онного совета Д 218.010.03 в Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУПС по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Опол-чения, 2. Автореферат разослан «___» ноября 2012 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д 218.010.03 доктор технических наук, профессор Бутакова М.А.

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность тематики исследования. В настоящее время процессы Ле-

ви используются при моделировании различных естественных явлений, таких как диффузия потоков в пористых средах и плазме, лазерное охлаждение, молеку-лярные столкновения, долговременные изменения климата, движение молекул в разреженном газе, помехи в каналах связи, модели телетрафика, флуктуации до-ходности финансовых активов и т.д. Процессам Леви посвящены многочислен-ные как аналитические так прикладные исследования. Среди зарубежных ученых, работающих с математическими моделями на базе процессов Леви, следует отме-тить S. Asmussen, O.E. Barndorff-Nielsen, J. Bertoin, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J.C. Cox, F. Delbaen, D. Lamberton, R. Merton, S.A. Ross, W. Sha-chermayer, M. Scholes, E. Schwartz другие. Исключительное влияние на развитие исследований в этой области оказал академик РАН А.Н. Ширяев и его ученики. Среди российских ученых следует отметить вклад К.А. Боровкова, Г.И. Белявско-го, А.А. Гущина, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, С.З. Левендорского, А.В. Мельникова, М.Л. Николаева, А.А. Новикова, И.В. Павлова, Э.А. Пресмана, Д.Б. Рохлина, В.Н. Тутубалина, В.М. Хаметова, А.С. Черного и других.

Хорошо развитый аналитический аппарат, включающий теорию мартинга-лов, стохастическое интегрирование, инфинитезимальное исчисление, позволяет находить решения разнообразных задач. По сравнению с гауссовскими процесса-ми негауссовские процессы Леви позволяют моделировать скачки траекторий за счет наличия скачкообразной составляющей, что существенно расширяет воз-можности математического моделирования временных рядов с последующим приложением моделей.

В последнее время многих авторов привлекают модели, основанные на процессах Леви, в которых происходят изменения параметров в случайные мо-менты времени под воздействием случайных факторов среды. Следует также от-метить неугасающий интерес к фрактальным (автомодельным) процессам. Хоро-шим средством моделирования является замена времени, детерминированная и стохастическая (субординация). Поэтому исследования связанные с приложения-ми моделей временных рядов под управлением процессов Леви являются акту-альными.

Цель диссертационного исследования. Диссертационное исследование посвящено математическим моделям временных рядов, полученных на базе про-цессов Леви, разработке эффективных методов вычисления специальных функ-ционалов на траекториях временных рядов, использующих вычислительные про-цессы с теплицевыми матрицами, быстрые преобразования и методы Монте-Карло, разработке программного обеспечения и приложениям для расчетов про-пускных возможностей информационных каналов при заданном трафике и опти-мальных портфелях.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: – с использованием структуры процессов Леви предложены новые модели

временных рядов: фрактальные модели с использованием произвольных безгра-нично делимых распределений, модели с использованием круговых устойчивых

4

распределений, модели с использованием семейства процессов Леви и стохасти-ческого автомата;

– предложены имитационные модели и алгоритмы генерации временных рядов рассматриваемого класса;

– на основе использования метода максимального правдоподобия и эмпи-рической плотности предложен метод идентификации кумулянты для широкого класса процессов Леви;

– разработано программное обеспечение, с помощью которого вычислены оптимальный портфель и оптимальная пропускная способность канала.

Научная новизна. Основными новыми результатами являются в области математического моделирования: – модели временных рядов на базе процессов Леви со стационарными, но

зависимыми приращениями; – модели, полученные в результате конкатенации траекторий процессов

Леви; – модели, полученные из составного процесса Пуассона детерминирован-

ной и случайной заменой времени; – имитационные модели данных временных рядов; в области численных методов: – метод идентификации параметров модели, использующий быстрое пре-

образование Фурье; – методы, связанные с теплицевыми матрицами, позволившие построить

имитационные модели фрактальных временных рядов; – использование метода Монте-Карло для вычисления функционалов на

траекториях временных рядов, математическими моделями которых являются процессы, использующие свойства процессов Леви;

в области программных комплексов: – программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникацион-

ного трафика на основе разработанных в диссертации моделей и вычислительных методов, и отличающийся возможностью генерации сетевых потоков данных че-рез сетевые интерфейсы компьютеров, соответственно, в режимах воспроизведе-ния сохраненных параметров и синтетической генерации в соответствии с анали-тическими моделями временных рядов, описывающих поведение телетрафика в телекомммуникационных сетях.

Практическая значимость. Результаты диссертации воплощены в про-граммном комплексе и использованы при вычислении оптимального портфеля при среднеквадратичном хеджировании и расчете оптимальной пропускной спо-собности канала при трафике с заданными статистическими характеристиками. Практическая ценность разработанного программного комплекса обусловлена возможностями измерения основных характеристик производительности теле-коммуникационных сетей на основе пакетной коммутации данных, что позволяет использовать комплекс программ при анализе, развертывании и проектировании телекоммуникационных сетей.

Объектом исследования являются процессы передачи данных, рассматри-ваемые как случайные процессы с дискретным временем.

5

Предметом исследования являются математические модели временных рядов и численные методы, позволяющие реализовать имитационный экспери-мент с моделями.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения: – фрактальные модели временных рядов на базе произвольных безгранично

делимых распределений, модели временных рядов на базе семейства процессов Леви и стохастического автомата, модели временных рядов на базе составного процесса Пуассона с круговым устойчивым распределением скачка, имитацион-ные алгоритмы вычисления траекторий для данных временных рядов;

– вычислительные алгоритмы, использующие быстрое преобразование Фурье, теплицевы матрицы и метод Монте-Карло для фитинга моделей и вычис-ления функционалов на траекториях временных рядов;

– программное обеспечение, которое использовано для вычисления опти-мального портфеля и оптимальных характеристик информационного канала.

Достоверность полученных результатов обеспечена математическим ана-лизом алгоритмов, положительными вычислительными экспериментами как с модельными, так и с реальными данными, внедрением результатов диссертаци-онного исследования.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всерос-сийской конференции «Ряды Фурье и их приложения» (1999 г.), всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математик ( 2010, 2011 гг.).

Результаты диссертации внедрены в ООО «Альянс Телеком». Публикации. Результаты исследования опубликованы в 12 работах, 3 из

которых – в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 134 стра-

ниц содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы из 100 наименований, 40 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы

цели работы, приведены сведения о структуре диссертации. В первой главе диссертации «Математические модели временных ря-

дов» наряду с аналитическим обзором описываются основные математические факты, которые в дальнейшем будут использованы для построения моделей ин-формационных потоков и ряда моделей для постановки и решения прикладных задач, возникающих в финансовой математике. Рассматриваются два типа моде-лей. К моделям первого типа относятся модели со стационарными и независи-мыми приращениями. Второй тип моделей – это модели со стационарными, но зависимыми приращениями, обладающими свойствами автомодельности.

Поскольку модели первого типа достаточно представлены в литературе, то основное внимание в главе уделено моделям второго типа. Так, в диссертации подробно рассмотрен прием детерминированной и стохастической замены вре-мени.

Детерминированная замена времени. Пусть ( )tϕ – возрастающая функ-ция, ( ) 00 =ϕ . Пусть tY – процесс Леви. Определим новый процесс ( )t tX Yϕ= .

6

Вычислим ( ) ( )( ) ( ) ( )( )exp exp expt tE i X E i Y tϕθ = θ = ϕ ψ θ . Отсюда следует, что X будет процессом Леви тогда и только тогда, ( )t atϕ = , 0a > .

Детерминированная замена времени для составного процесса Пуассо-на. Представим составной процесс Пуассона как точечный процесс. Пусть после-довательность ξ состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин с ( ) ( )iP dx F dxξ ξξ ∈ = , последовательность ∆ состоит из независимых оди-наково распределенных случайных величин с ( ) ( )iP dx F dx∆ ∆∆ ∈ = . Положим 0 0τ = ,

1i i i−τ = τ + ∆ .Определим случайный процесс:

( )1

t i ii

X I t≥

= ξ τ ≤∑ (1)

Процесс tX является чисто скачкообразным процессом со случайной вели-чиной скачка и интенсивностью скачков, определяемой F∆ .

Является справедливой следующая теорема. Т е о р е м а . Процесс X , определяемый формулой (1), будет процессом Леви

тогда и только тогда, когда распределение F∆ является показательным. Заметим, что в этом случае процесс X является составным пуассоновским

процессом и может быть представлен в виде:

1

tN

t ii

X=

= ξ∑ , (2)

где tN – процесс Пуассона. Пусть tY – составной процесс Пуассона. Введем в рассмотрение новый про-

цесс ( )tt YX ϕ= . Замена времени приведет к изменению формулы (1)

( ) ( ){ }t i iti 1

X Y I tφ≥

= = ξ τ ≤ φ∑ (3)

Рассмотрим последовательность ∆ для процесса X . Обозначим через ( ) ( )1 1k k k k− −∆ = ϕ τ + ∆ −ϕ τ . Последовательность ∆ – порождающая последователь-

ность для составного процесса Пуассона – Y . Вычислим условную вероятность ( )1/k kP x z −∆ ≤ ( 1 1k kzτ − −= ) .

Искомая вероятность ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1/k k k k k k k k k kP x z P z z x z z P x z z− − − − − − −∆ ≤ = ϕ + ∆ −ϕ ≤ ϕ + −ϕ = ∆ ≤ ϕ + −ϕ .

Так как Y составной процесс Пуассона, то ( ) ( ) ( )( )( )1 1 1/ 1 expk k k kP x z x z z− − −∆ ≤ = − −λ ϕ + −ϕ , и плотность условного распределения

(при условии дифференцируемости функции ϕ ) ( )=−∆ 121 ,...,, kk xxxxp

k( ) ( )( ) ( )( )1 1 1expk k k k kz x z x z− − −′λφ + −λ φ + − φ , (4)

где 1

r

r ii

z x=

=∑ . Заметим, что k∆ зависит от 1

1

k

ii

−

=

∆∑ . Независимость возможна тогда и

только тогда, когда ( )t atϕ = . В этом случае

( ) ( ) ( )1 2 1, ,..., expk kk k k kp x x x x p x a a x∆ − ∆= = λ − λ . Следовательно, процесс X – со-

ставной процесс Пуассона.

7

Стохастическая замена времени. Второй способ получения нового про-цесса X является субординацией эталонного процесса Y с помощью субордина-тора Леви. Поскольку в диссертации показано, что составной процесс Пуассона после субординации остается процессом Пуассона, то основное внимание уделя-ется винеровской составляющей процесса Леви.

Далее в главе рассматриваются автомодельные процессы Леви и их дис-кретные аналоги в качестве моделей временных рядов.

В главе изучается дискретизация автомодельных процессов со стацио-нарными и зависимыми приращениями.

Приводится следующее определение. О п р е д е л е н и е .

Назовем последовательность X автомодельной в широком смысле, если ,00 =X

1

i

i kX = ε∑ и последовательность ε стационарная в широком смысле по-

следовательность с ковариационной функцией, определяемой равенством

( ) ( )2

2 22cov( , ) ( ) 1 2 1 , где 2

HH HHhi j k k k k k i j = ρ = + − + − = − .

Данное определение позволяет существенно расширить класс моделей вре-менных рядов, например, следующим образом. Рассмотрим последовательность ξ независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым мате-матическим ожиданием и единичной дисперсией. Назовем эту последователь-ность обновляющей последовательностью. Введем ряд обозначений

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., , , ,..., .N N NN N NX X X X= ε = ε ε ε ξ = ξ ξ ξT T T Рассмотрим представле-

ние: ( ) ( )N NAε = ξ , (5)

где A – невырожденная матрица. Из (5) следует, что для матрицы A выполняется равенство:

C AA= T , (6)

где

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 ... 11 0 ... 2

... ... ... ...1 2 ... 0

NN

C

N N

ρ ρ ρ − ρ ρ ρ − = ρ − ρ − ρ

– симметричная теплицева матрица. Равенству (6) удовлетворяет множество не-вырожденных матриц, поэтому мы можем потребовать, чтобы матрица обладала дополнительными полезными свойствами. Например, была нижнетреугольной. Благодаря (5) мы можем выразить вектор ( )NX непосредственно, через вектор ( )Nξ :

( ) ( )N NX GA= ξ , (7)

где

1 0 ... 01 1 ... 0... ... ... ...1 1 ... 1

G

=

.

8

Возможно и другое представление: ( ) ( )N NAε = ξ . (8)

Из (8) следует: ( )1 1C A A− −=

T , (9)

и ( ) ( )1N NX GA−= ξ . (10)

Равенство (10) эквивалентно равенству (6), однако соотношения (5) и (8) имеют разный вероятностный смысл. Первое из них называют моделью скользя-щего среднего, второе – моделью авторегрессии.

Рассмотрим еще одно представление, использующее диагональное пред-ставление ковариационной матрицы. Поскольку ковариационная матрица C – симметричная теплицева матрица, то возможно диагональное представление

TC U U= Λ , где U – ортогональная матрица, Λ – положительная диагональная мат-рица. В связи с этим:

( ) ( )N NTX GU= Λξ . (11) Существуют эффективные алгоритмы диагонализации симметричных теп-

лицевых матриц. Поэтому представление (11) является весьма эффективным средством имитационного моделирования.

Далее в главе рассматривается дискретизация процессов с переключени-ем параметров.

Определим марковскую цепь по процессу U :i ihU U= , (12)

для которой матрица переходных вероятностей L определяется равенством: ( )( ), ,

expk l k ll h= Λ . (13)

Определим ( ) ( )i in nYε = ∆ , тогда дискретизация процесса с переключением параметров

модели определяется равенством: ( )

1

in

Un i

iX

=

= ε∑ . (14)

Вычислим характеристическую функцию случайной величины ( )iUiε

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0exp /U jj

Tk jj jEE i U k q L r

εϕ θ = θε = = . (15)

В (15) компоненты вектора ( )0q ( ) ( )00kq P U k= = , компоненты вектора r

( )( )expl lr h= ψ θ , где ( )lψ θ – кумулянта случайной величины ( )ljε .

Допустим, матрица Λ представима в виде: TVSVΛ = , где

1

2

0 ... 00 ... 00 0 ... ...0 ... ... d

ss

S

s

=

,

тогда: TL VSV=

, (16)

9

где

( )( )

( )

1

2

exp 0 ... 00 exp ... 0... ... ... ...0 0 ... exp d

hshs

S

hs

=

.

Отсюда матрица

( )( )

( )

1

2

exp 0 ... 00 exp ... 0... ... ... ...0 0 ... exp

j T

d

jhsjhs

L V V

jhs

=

,

следовательно, характеристическая функция ( ) ( ) ( )expU jj

i i ii

jhs a bε

ϕ θ =∑ ,

(17)

где ( )0, ,,i l l i i l l i

l la q v b rv= =∑ ∑ . В этом случае выражение для характеристической

функции имеет более простой сепарабельный вид. Во второй главе диссертации «Имитационные модели и статистиче-

ский анализ временных рядов» рассматриваются имитационные модели вре-менных рядов, полученные на основе анализа математических моделей, прове-денного в первой главе. При решении задач фильтрации сигналов, расчета и про-гнозирования трафика, расчета справедливых цен и риска, то есть задач, связан-ных с вычислением функционалов на траекториях случайного процесса, суще-ствует два альтернативных метода. Первый метод – это метод Монте-Карло и второй – численное решение интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Для реализации метода Монте-Карло существенным моментом является разработка эффективных численных методов генерации траекторий случайного процесса или временного ряда.

Поэтому первая цель, которая достигается во второй главе – это разработка генераторов временных рядов, позволяющих вычислять различные функционалы от временных рядов с использованием методов Монте-Карло. Вторая цель – это разработка численных методов оценки параметров моделей по наблюдаемой вы-борке или фитинг моделей, для того чтобы получить законченный программный комплекс.

Основная трудность аналитического характера при построении генератора процесса Леви заключается в том, что для большинства процессов Леви закон распределения приращений не известен в явном виде.

В связи с этим, представляется оправданным разбить проблему генерации траекторий процесса Леви на несколько подзадач.

1. Моделирование составного процесса Пуассона. Траектории составного процесса Пуассона являются кусочно-постоянными

с конечным числом скачков на ограниченном интервале, поэтому эти траектории могут быть промоделированы достаточно точно. Мы предлагаем алгоритм, в ко-тором использован тот факт, что на достаточно малом временном интервале мо-жет произойти максимум один скачок. Кроме этого, в данной главе рассматрива-

10

ется алгоритм, который учитывает возможность детерминированной замены вре-мени.

2. Аппроксимация процесса Леви составным процессом Пуассона. Про-стейшая аппроксимация заключается в том, что удаляются скачки, по модулю непревосходящие ε . Такая аппроксимация сходится медленно в случае высокой концентрации скачков в окрестности нуля. Для описания скачков по модулю меньших ε предложено использовать соответствующим образом нормализован-ное броуновское движение.

3. Представление процесса с помощью ряда дает еще один способ модели-ровать процесс Леви с помощью взвешенной суммы процессов Пуассона.

4. В главе также рассматривается моделирование процесса Леви, получаю-щегося в результате субординации винеровского процесса.

5. Рассматривается генератор фрактального в широком смысле процесса с использованием рекуррентного обращения теплицевой матрицы.

6. Для моделирования нестационарных процессов предлагается алгоритм, ядром которого является стохастический автомат.

Из-за ограниченности объема автореферата остановимся на описании алго-ритма моделирования нестационарных процессов.

Рассмотрим автомат без входов 0 , , , ,SA p S M P= ϕ , где 0p – начальное рас-пределение вероятностей на S, S – конечное множество состояний, P – стоха-стическая матрица переходов, { }1,...,M N= – конечный выходной алфавит, ϕ – сюръективное отображение : S Mϕ → . Каждый элемент множества M является меткой модели. Данный автомат является генератором марковских цепочек. Дли-на такта стохастического автомата { }1,2,....τ∈ является случайной величиной с известным законом распределения Q .

Рассмотрим семейство процессов Леви ( ); 1,2,...,jX j N= и семейство при-ращений случайного процесса ( ) ( )

( )( )

1j j j

i ih i hX X −ε = − . Пусть вероятностный автомат генерирует выходную последовательность

{ }1 2, ,..., lu u u . Используя эту последовательность, получим временной ряд прира-щений конкатенацией отрезков временных рядов 1 2 ( )( ) ( )... luu uΕ = Ε Ε Ε . В результате получаем процесс 1 2 ( )( ) ( ) ... luu uX X X X= . Отрезки имеют длину, равную длине такта iτ стохастического автомата. При 1iτ = получаем модель, которая была исследована аналитически в первой главе. Если τ – случайная величина, то аналитический анализ затруднен, однако генератор такого процесса можно реализовать в виде следующего алгоритма.

Процедура Con(F,Φ ,N,SA,ε ) 1. : 1k = 2. Генерация τ с помощью Φ 3. Генерация u с помощью стохастического автомата SA 4. : 1n = 5. Генерация ( )kε с помощью ( )uF 6. : 1, : 1n n k k= + = +

11

7. Если k N> то 10 8. Если n ≤ τ , то 5 9. Перейти к 2 10. Возврат В процедуре Con ( )( )

1

u

uF F

≥= – семейство безгранично делимых распределе-

ний, Φ – распределение периода τ , SA – стохастический автомат без входов В качестве примера рассмотрим конкатенацию процессов Пуассона. Рас-

смотрим случайный процесс, у которого с течением времени интенсивность скачков изменяется. Допустим, что с увеличением времени интенсивность скач-ков возрастает. Последовательность состояний автомата образуют Марковскую цепь с k состояниями и матрицей переходных вероятностей

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... 0 1

p pp p

P

− − =

.

Последнее состояние является поглощающим. Множество моделей опреде-ляет алфавит меток моделей { }1 2, ,..., kM m m m= . Метке im соответствует Пуассо-новский процесс с интенсивностью скачков iλ . Причем выполняется неравенства

1i i+λ < λ . Начальное состояние 0 1s s= . такты 1iτ = . Если матрица переходных ве-

роятностей

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ... ...

1 0 ... 0

p pp p

Pp p

− − = −

, то получим процесс с периодическим

нарастанием интенсивностей скачков. Результаты моделирования приведены на рис. 1.

Далее в главе рассматривается алгоритм идентификации параметров моде-ли по наблюдаемому временному ряду с использованием кумулянты процесса Леви и метода максимального правдоподобия.

Основным достоинством предлагаемого метода является использование вычислительной схемы, в которой применяется быстрое преобразование Фурье, что делает метод вычислительно эффективным. В главе приводятся результаты вычислительного эксперимента по фитингу модели. Результаты позволяют утверждать, что предлагаемый метод находит неизвестные параметры модели с достаточной степенью точности.

12

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

4.89.6

14.419.2

2428.833.638.443.2

4852.857.662.467.2

7276.881.686.491.2

96100.8105.6110.4115.2

120120

0

xl

1002 l Рис. 1 – Траектория конкатенации процессов Пуассона

с поглощающим состоянием, с интенсивностями, изменяющимися по закону 1 10.05 ; 1,2,...,30; 0.1i i i i−λ = λ + = λ = с переходной вероятностью 0.5p = . Интервал моделирования [0,1], 100 значений

Содержание третьей главы диссертации «Экспоненциальные процессы

Леви и типа Леви в задачах оптимального управления трафиком и хеджиро-вания», связано с приложениями теоретических исследований, проведенных в первой и второй главе диссертации.

Чтобы продемонстрировать определенную универсальность рассмотренных в первой и второй главе математических и имитационных моделей временных рядов, в третьей главе приводится решение двух различных задач.

Первая задача связана с моделированием финансовых индексов с помощью экспоненциального временного ряда.

Вторая задача связана с моделированием пиковых нагрузок, возникающих в информационных потоках в компьютерных сетях.

Основной исследуемой моделью временного ряда является модель ( )1 expk k k k kY Y −= α +β ε . (18)

Случайные величины kα и kβ предсказуемы относительно естественной фильтрации ( )1 2, ,...,k kF = σ ε ε ε . Случайные величины kε независимые и одинако-во распределенные безгранично-делимые случайные величины с характеристиче-ской функцией ( ) ( )Xy h yεϕ = ψ , где ( )X yψ – кумулянта порождающего процесса Леви X .

Преобразование Эшера, которое используется для замены исходной меры на мартингальную меру, для процесса (18) будет иметь вид:

( )( )( )1

expexp

k kk k

k

bZ Z

h ib−

ε=

ψ −, 0 1Z = . (19)

Для вычисления kb используем мартингальное равенство ( )1 1 1/k k k k kE Z Y F Z Y− − −= . Из мартингального равенства получим уравнение:

13

( )( ) ( )( ) 0k k k kh i b ibα + ψ − β + −ψ − = . (20)

Далее приводится ряд примеров вычисления преобразования Эшера. При-ведем один из них в автореферате.

Пример. Круговые α -устойчивые распределения. Рассмотрим модель (18), в которой распределение kε – круговое α – устойчивое распределение.

При описании функций и плотностей распределений в этом случае исполь-зуют подход, основанный на «закручивании» значений случайных величин, име-ющих распределение на действительной прямой, по окружности с некоторым ра-диусом. Технически это означает, что каждой «линейной» случайной величине ξ ставится в соответствие «круговая» случайная величина η по правилу:

( )mod 2η = ξ π . (21) В результате [ ),η∈ −π π . Функция распределения круговой случайной вели-

чины η

[ ]( ) ( ) ( 2 ) (2 )сk

F y P y F y k F k∞

=−∞

= η ≤ = + π − π∑ , (22)

следовательно, функция плотности распределения, если существует, будет иметь вид:

( ) ( )2 ,ck

f y f y k∞

=−∞

= + π∑ y−π ≤ < π . (23)

Формулы (22) и (23) позволяют вводить круговые аналоги для известных распределений.

Предположим, что плотность ( )cf y разложима в ряд Фурье:

( ) ∑∞

−∞=

−=n

inynс ecyf . Используя (23), получим, что

( ) ( )( )

==+= ∑ ∫∑ ∫∞

−∞=

+

−

∞

−∞= − k

k

k

iny

k

inyn dyeyfdyekyfc

12π

)12(π

π

π π21π2

π21

( ) ( )∫∞

∞−

== ndyeyf iny φπ2

1π2

1 ,

где ( )yϕ – характеристическая функция распределения F . Следовательно, для плотности кругового распределения справедлива формула:

( ) ( )∑∞

−∞=

−ϕπ

=n

inyc enyf

21 . (24)

Допустим, что носителем плотности cf является интервал [ ),a b . В этом

случае формула (24) приобретает вид: ( )1 .2 2 2

inyc

n

b a b af y n e∞

−

=−∞

− + − = φ π π ∑

Пусть ξ – устойчивая симметричная случайная величина с характеристиче-ской экспонентой

( ) .x h x ααψ = − σ (25)

Из (24) и (25) следует, что характеристическая функция

14

( )( ) ( )

2 21

1 expsin 1 2k

k

h kxx xx x k

α α∞

=

− − σπ ϕ = +π −

∑ (26)

и плотность

1

1 1( ) exp( )cos2c

kf y k ky

∞α α

=

= + −σπ π∑ .

(27)

На рис. 2 приведены графики плотностей кругового устойчивого распреде-ления при различных значениях индекса устойчивости и 0.5σ = .

4 3.2 2.4 1.6 0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4

0.14

0.28

0.42

0.56

0.7

0.84

0.98

1.12

1.26

1.41.305

0.016

y

z

v

3.1423.142− x Рис. 2 – Графики плотности кругового устойчивого распределения для случаев

0.5α = , 1α = , 1.5α =

Из рис. 2 следует, что чем меньше индекс устойчивости α , тем толще хво-сты распределения вероятностей при 0.5σ = .

Рассмотрим преобразование Эшера для кругового α -устойчивого распре-деления kε в модели (18). Вначале вычислим

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

2 21

exp1exp exp exp 12

jkk k k k

jk k

jbE b b bb j b

α∞

=

− σ ε = π − − π + − π π +

∑ (28)

Введем обозначения ( ) ( )exp expk k ka E b− = ε . Отсюда

( ) ( )( ) ( )( )( )

2 21

exp1ln exp exp 12

jkk k k

jk k

jba b bb j b

α∞

=

− σ = − π − − π + − π π + ∑ . (29)

15

Для вычисления kb воспользуемся уравнением:

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )221

exp exp

exp1 1 exp ,2

k k k k k k

jk kk k

jk k k k

b b

jba

b j b

α∞

=

α + β + π − α − β + π

− σβ + + − = − α + π β + π + β +

∑ (30)

которое вытекает из того, что процесс ZY – мартингал. В результате возникает система нелинейных алгебраических уравнений (29), (30) относительно неизвест-ных параметров преобразования Эшера. В таблице 1 приведены результаты вы-числений с параметрами 0, 0.1k kα = β = , с индексом устойчивости 0.5,1.0,1.5α = и 1σ = .

Таблица 1. Расчет параметров процесса плотности. alfa a b 0,5 -2,577 9,847 1 -2,965 9,015 1,5 -3,297 8,410

Далее рассматривается задача вычисления цены финансового обязательства и оптимального портфеля. Пусть функция ( ) 0G x ≥ определена на [ )0,+∞ и

( )TEG Y < ∞ . Требуется найти ( )

0 ,min T TV

E G Y Vγ

−

при 00

T

T t tV V dY= + γ∫ , где γ предсказуемый процесс.

(31)

Дополнительно предположим, что ( )2TEG Y < ∞ и 2

TEY < ∞ , тогда из нера-венства Коши-Буняковского следует оценка

( ) ( )( )2

2

1T T T T

T

E G Y V E E G Y VZ

− ≤ − . В результате будем решать задачу:

( )( )0

2

,min T TV

E G Y Vγ

−

при 00

T

T t tV V dY= + γ∫ , где γ предсказуемый процесс.

(32)

То есть следует искать минимум оценки сверху. Численный метод решения задачи (32) начинается с нанесения сетки с ша-

гом, равным ThN

= и замене интеграла конечной суммой. В результате возникает

дискретная задача: ( )( )

0

2

,min N NV

E G Y Vγ

−

при 01

N

N j jj

V V Y=

= + γ ∆∑ , где 1j jF −γ ∈ .

(33)

16

Решение (33):

( )( ) ( )( )( )( )

10 2

1

/,

/N i i

N j

i i

E G Y Y FV E G Y

E Y Fγ −

−

∆= =

∆. (34)

Рассмотрим следующую интерпретацию задачи (32). Процесс S – процесс стоимости рискового актива, процесс B – процесс стоимости безрискового акти-ва, предсказуемый процесс ( ),π = γ β – портфель, причем γ – число единиц рис-кового актива, β – число единиц безрискового актива. Капитал портфеля

t t t t tU S B= γ + β . Процесс SYB

= – дисконтированная стоимость рискового актива,

UVB

= дисконтированный капитал портфеля, G – дисконтированное финансовое

обязательство. Если мы рассмотрим европейский опцион call , дающий право ку-пить в конце периода рисковый актив по контрактной цене K , то дисконтиро-

ванное финансовое обязательство ( ) max ,0N NN

KG V VB

= −

. Ограничение задачи

(33) или (34) означает, что портфель π является самофинансируемым. Формулы (34) позволяют вычислить оптимальный в среднеквадратическом смысле порт-фель. При этом начальный капитал портфеля 0 0 0U B V= , безрисковая составляю-щая портфеля 1 1j j j jV Y− −β = − γ .

Перейдем с помощью процесса плотности к исходной мере и в результате получим формулы для вычисления оптимального портфеля:

( )( )( )

( )

11

02

11

/,

/

NN k k

kN N k

Nk k

k

ZE G Y Y FZ

V E Z G YZE Y FZ

−−

−−

∆

= γ =

∆

. (35)

Рассматриваются два численных варианта решения задачи: 1. Метод, использующий преобразование Фурье. 2. Метод Монте-Карло. В главе приводятся вычислительные примеры на реальных данных, которые

подтверждают высокую эффективность предлагаемой технологии. Далее рассматривается задача расчета оптимальной пропускной способности

телекоммуникационного канала при заданном трафике. Пропускная способность канала определяется как детерминированная функция от времени ( )tB R t= . Тра-фик определяется как случайный процесс tS . Дисконтированным трафиком будем

называть процесс tt

t

SYB

= . Естественно предположить, что процесс tS обладает

стохастическим дифференциалом t t tdS S dX−= или является стохастической экс-понентой. При выполнении условия: ( )inf 1X s∆ > − существует процесс Леви, для которого tS является экспоненциальным процессом Леви. Для процесса tB

17

естественным выглядит уравнение: t tdB rB dt= или ( )0 exptB B rt= . Следователь-но, дисконтированный трафик Y является экспоненциальным процессом Леви. Показано, что кумулянта показателя экспоненты дисконтированного трафика бу-дет иметь вид:

( ) ( ) ( ) ( )0

exp( ) 1Yx

y i m r y iyx dx≥

ψ = − + − ν∫ . (36)

Задача заключается в выборе r и рассматривается в следующей постановке: min r

при ограничении { }1TP Y ≤ ≥ α , где 0supt s

s tY Y

≤ ≤= .

(37)

Параметр α выбирается в зависимости от требований в каждой конкретной ситуации. Например, если имеется определенный резерв, позволяющий увели-чить пропускную способность канала, и временная задержка при обработке дан-ных некатастрофична, то параметр α можно взять поменьше. Показано, что зада-ча может быть решена в результате применения следующего алгоритма.

Алгоритм. 1. Выбираем начальное значение 0r m= . 2. Вычисляем 1n n rr r h+ = + . 3. Процесс продолжаем до тех пор, пока первый раз выполнится ограниче-

ние задачи. Ограничение задачи (36) может быть представлено в виде { }0TP X ≤ ≥ α . Основ-ная вычислительная сложность этого алгоритма заключается в вычислении веро-ятности { } { }0 0T TP X EI X≤ = ≤ . Для вычисления математического ожидания применим метод Монте-Карло. В качестве основного модельного процесса рас-смотрим субординированный процесс Пуассона с детерминированной заменой времени (гл. 1). Для детерминированной замены времени использовано устойчи-вое круговое распределение на интервале [ )0,1 , с параметрами 1, 2α = σ = (рис. 3).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.41.313

0.762

yu

10 xx Рис. 3 – График плотности кругового устойчивого распределения на интервале

[ )0,1 с параметрами 1, 2α = σ =

18

Для расчета была выбрана интенсивность скачков 100λ = . Вычислитель-ный процесс изображен на рис. 4, на котором представлено изменение { }1TP Y ≤ (ось ординат) от r (ось абсцисс).

140 142 144 146 148 1500.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.9

0.91

0.916

0.858

1 Er−

150140 r Рис. 4 – График зависимости вероятности { }1TP Y ≤ от r

Выбор оптимального значения r зависит от заданного значения α . На рис. 5 представлены графики показателей экспонент пропускной спо-

собности канала и трафика (одна из возможных траекторий) при 144r = (сплош-ная линия) соответствует каналу, прерывистая – трафику).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

50

100

150144

0

u

vv

10 z Рис. 5 – Канал (сплошная линия), трафик (прерывистая линия)

19

Прерывистая линия не пересекает сплошную. Это означает, что вычисли-тельных возможностей канала для данного трафика достаточно. При вычислении использовалось 1000 траекторий.

Следует отметить, что вычислительные эксперименты при разных значени-ях параметров, один из которых представлен на рисунках, позволяют сделать за-ключение об эффективности подхода.

Содержание четвертой главы диссертации «Программный комплекс моделирования и генерации телекоммуникационного трафика» связано с од-ной из практически востребованных задач, которую можно решить, основываясь на предложенных методах – генерация потоков данных, то есть телекоммуника-ционного трафика. Рассмотрены области применения и задачи, решаемые генера-торами телекоммуникационного трафика (рис. 6)

Рис. 6 – Задачи, решаемые синтетическими генераторами трафика

Также дан анализ программного обеспечения для генерации телекоммуни-

кационного трафика. Методы, пригодные для генерации телекоммуникационного трафика, мож-

но разделить на две группы: 1) основанные на трассировке трафика; 2) основанные на аналитической генерации траекторий трафика. Генераторы трафика, базирующиеся на трассировке трафика, имеют в сво-

ем составе средства, которые выполняют захват трафика, сохранение его харак-теристик в базах данных, а затем точно воспроизводят значения трафика через сетевые интерфейсы системы.

Рассмотрена архитектура программного комплекса. Для практической реа-лизации численных методов и алгоритмов, предложенных в предыдущих главах диссертации, разработан программный комплекс, предназначенный для генера-ции телекоммуникационного трафика. Программный комплекс разработан в кроссплатформенной среде программирования версии 1.2.1 с библиоте-ками и средой визуальной разработки на языке программирования высокого уровня в операционной системе

20

7Windows . Программный комплекс, архитектура которого представлена на рис. 7, имеет возможности воспроизведения трассировочных данных трафика и гене-рации синтетического трафика.

Разработанный программный комплекс имеет многоуровневую структуру формирования потоков данных. На различных уровнях задаются настроечные па-раметры трафика:

– на уровне каналов связи задаются сетевые адреса для организации прие-ма-передачи трафика;

– на сетевом уровне задаются IP -адреса, а также характеристики сетевых сообщений, например, TTL – время жизни сообщения, Packet Size – длина сете-вого пакета и другие далее рассматриваемые параметры;

– на транспортном уровне задаются параметры сетевых портов приложе-ний, а также тип транспортного потока для сеанса приема передачи данных TCP либо UDP ;

– на уровне формирования потока данных задается тип аналитической мо-дели случайного процесса генерации, а также необходимые характеристики мо-дели, включающие параметры случайного процесса, время моделирования, число генерируемых сетевых сообщений и другие параметры.

Модуль чтения файлов трассировок трафика

Модуль синтетического генератора трафика

Модуль препроцессинга потоков данных

Protocol Buffers (Google),функции сериализации данных

Модуль передачи данных

WinPcap, функции приема

данных

Wireshark, функции

визуализации

Канал связи Рис. 7 – Общая архитектура программного комплекса

Рассмотрены функции воспроизведения трафика в программном комплек-

се.

21

В заключении проведен анализ основных результатов работы, выносимых на защиту.

Процессы Леви, моделирующие траектории со скачками, весьма востребо-ваны при использовании и исследовании моделей временных рядов. Однако свойства стационарности и независимости приращений, независимости и одина-ковой распределенности по экспоненциальному закону приращений моментов скачков iτ∆ не всегда наблюдаются на практике. Поэтому в диссертации рас-смотрены модели, построенные на базе процессов Леви, в которых учитывается зависимость приращений (фрактальные процессы на базе безгранично делимых распределений). Изучены процессы с зависимыми приращениями моментов скачков (процессы с детерминированной заменой времени, полученные на основе круговых устойчивых распределений). Исследованы процессы с нестационарны-ми приращениями (процессы, в которых параметры модели изменяются в слу-чайные моменты времени, в соответствии с поведением стохастического автома-та).

Для решения задач, математическая природа которых заключается в вы-числении функционалов на траекториях временных рядов, рассмотрены имита-ционные модели, которые позволяют далее использовать вычислительный метод Монте-Карло. В некоторых исследованиях утверждается, что сходимость метода Монте-Карло для процессов Леви достаточно медленная. На наш взгляд, это обу-словлено наличием большого числа «маленьких» скачков. В диссертации принята достаточно стандартная аппроксимация «маленьких» скачков винеровским про-цессом. Отметим, что предложенные алгоритмы генерации временных рядов на базе процессов Леви отличает простота реализации, полученная за счет ограни-чения числа скачков на элементарном интервале моделирования. За счет исполь-зования детерминированной замены времени в алгоритмах генерации временных рядов получен класс моделей, которые не являются процессами Леви. В резуль-тате использования субординации винеровского процесса предложены простые алгоритмы для широкого класса «сложных» процессов Леви (в частности, на базе гауссовского \\ обратно гауссовского распределения). Применение технологии скользящего среднего для безгранично делимых распределений позволило полу-чить алгоритмы для генерации фрактальных временных рядов, которые отлича-ются от фрактального винеровского процесса. Использование стохастического автомата, семейства процессов Леви и конкатенации временных рядов позволило разработать алгоритм генерации нестационарного временного ряда. Исследова-ние было бы неполным, если бы не был предложен метод подгонки параметров модели по наблюдаемой траектории. Оригинальный метод подгонки параметров основан на методе максимального правдоподобия и реализован в алгоритме, ко-торый использует быстрое преобразование Фурье.

Как приложение рассмотрены две задачи. В первой задаче об оптимальном портфеле необходимо было вычислять условные математические ожидания по мартингальной мере, что потребовало расчета преобразования Эшера для широ-кого класса экспоненциальных моделей. В реальных примерах были применены две модели. Для вычисления в первой модели использовалось быстрое преобра-зование Фурье, во второй был применен метод Монте-Карло. Вторая задача за-

22

ключалась в выборе оптимального канала при заданном трафике. Задача была сведена к вычислению вероятности первого касания. При ее решении был ис-пользован метод Монте-Карло.

Список публикаций по теме диссертации:

Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Статистика направленных значений и мо-дели поведения финансовых индексов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. Серия «Технические науки», 2009. – 10(24). – С. 112-116.

2. Лужецкая П.А. О расчёте мартингальной меры для условно-круговых α-устойчивых распределений // Обозрение прикладной и промышленной математи-ки. – 2010. – Т. 17. – № 1. – С. 123-124

3. Лужецкая П.А., Бутакова М.А. Дискретное преобразование Гирсанова для Гауссовской модели финансовых индексов // Вестник Ростовского государ-ственного университета путей сообщения, 2008. – № 2. – С. 112-115.

Другие издания, в которых опубликованы результаты диссертации 4. Лужецкая П.А., Белявский Г.И. Настройка параметров процессов Леви с

использованием быстрого преобразования Фурье // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. – Т.18. – Вып. 5. – С. 744-745.

5. Лужецкая П.А., Кондратьева Т.Н. Алгоритм конкатенации процессов Леви для построения неоднородных моделей // Обозрение прикладной и про-мышленной математики, 2011. – Т.18. – Вып. 5. – С. 790-791.

6. Лужецкая П.А. Моделирование составного процесса. Замена времени. // Известия Ростовского государственного строительного университета, 2011. – Т.15. – C. 293-297.

7. Белявский Г.И., Лужецкая П.А. Дискретное преобразование Гирсанова для фрактальной модели финансовых индексов. / Сб. науч. тр. «Строительство-2008». – Ростов н/Д: РГСУ, 2008. – С. 172-173.

8. Лужецкая П.А. О расчете мартингальной меры для условно-круговых α-устойчивых распределений финансовых индексов / Сб. науч. тр. «Строитель-ство-2010». – Ростов н/Д: РГСУ, 2010. – С 247-249.

9. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора типа потенциала с особенностями его ядра на сфере // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Ряды Фурье и их приложения», 1999. – С. 66-67.

10. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Об L-характеристике одного оператора ти-па потенциала с особенностями его ядра на сфере // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, 1999. – Вып. № 4.. – С. 64-68.

11. Ногин В.А., Лужецкая П.А. Обращение и описание образа мультипли-каторных операторов типа Стрихарца-Пераля-Мияси // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, 1998. – Вып. № 3. – C. 76-79.

23

12. Nogin V., Luzhetskaya P. Inversion and description of the ranges of multi-plier operators of Strichartz-Peral-Miyachi type // Fractional Calculus & Applied Anal-ysis . V.3. № 1. 2000. P. 87-96.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве

В [1] разработан алгоритм генератора случайного процесса. В [2] построена модель ( )1 exp ,n n n n nS S −= µ + σ ε в которой распределение nε – круговое α -устойчивое распределение. В [3, 8] получено дискретное преобразование Гирса-нова для Гауссовской модели финансовых индексов. В [5, 6] проведена оценка параметров модели по методу наибольшего правдоподобия. В [10, 11] построена L-характеристика оператора типа Мияси. В [12, 13] построено обращение для мультипликаторных операторов.

24

ЛУЖЕЦКАЯ ПРАСКОВЬЯ АЛЕКСЕЕВНА

Математические и имитационные модели случайных процессов с дискретным временем, расчет телетрафика и оптимальных стратегий

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 19.11.2012.

Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5

Тираж 100. Заказ №

Ростовский государственный университет путей сообщения Ризография РГУПС

Адрес университета: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового

полка Народного Ополчения, 2.