Olimpijada

Nemanja Milovanovi VII razredO.. ore Jovanovi SelevacSelevac

1. a) Obeleimo novie brojevima od 1 do 10. Ako novi sa brojem 1 stavimo pored novia sa brojem 8, novi sa brojem 4 pored novia sa brojem 9 i novi sa brojem 10 ispod novia sa brojevima 2 i 3 dobiemo traenu figuru.

b) Obeleimo novie brojevima od 1 do 10.

Ako oduzmemo na primer novi sa brojem 5 ostae nam tri jednakostranina trougla sa centrima u : 1,2,3; 4,7,8 i 6,9,10.U bilo kom drugom sluaju oduzimanja jednog novia ostaenam barem tri jednakostranina trougla.

U sluaju da oduzmemo dva novia, na primer 4 i 5, onda e nam ostati dva jednakostranina trougla sa centrima u brojevima1,2,3 i 6,9,10.Ako oduzmemo bilo koja druga dva novia uvek e nam ostati barem dva jednakostranina trougla.Nemanja Milovanovi VII razredO.. ore Jovanovi SelevacSelevac

Ako sklonimo tri novia, recimo 1,2 i 3 ostae petjednakosraninih trouglova sa centrima u brojevima: 4,7,8; 4,8,5; 8,5,9; 5,9,6; i 6,9,10.Ako sklonimo ma koja tri novia uvek e nam ostatijednakostranini trouglovi.

Usluaju da oduzmemo etiri novia, na primer 1,4,5 i 6, nee nam ostati ni jedan jednakostranini trougao.Takoe nee ostati ni jedan jednakostranini trougaoako uklonimo novie sa brojevima 10,3,5 i 8 ili novie7,2,5 i 9.

Znai najmanje moemo da uklonimo 4 novia da bi bio ispunjen uslov zadatka.

2. To su na primer brojevi:

a) - zbir

b) - razlika

v) - proizvod

g) - kolinik


3. To su brojevi 1,5,7 i 11. t.j.:

1+5+7=13

1+5+11=17

1+7+11=19

5+7+11=23

4. Pretpostavimo da je broj a deljiv sa 24, t.j. deljiv je sa 8 i sa 3.Ako je deljiv sa 8 tada je deljiv i sa 4 i sa 2, a ako je deljiv sa 4 i sa 3 onda je deljiv i sa 12. Meutim obrnuto to ne mora da vai, jer su na primer brojevi 36, 60, 84 i 108 deljivi i sa 2 i sa 4 i sa 12 ali nisu deljivi sa 24.Znai netano je etvrto tvrenje.

5. Pretostavimo da je kod prve reenice drugi deo taan, znai B je trei a C nije drugi.Kako smo uzeli da je u prvoj reenici B trei onda u drugoj reenici E ne moe da bude trei, to znai da je D peti jer je onda drugi deo druge reenice taan.U treoj reenici imamo da je E bio drugi to moe, jer smo ve uzeli da je D peti, pa D ne moe da bude prvi.Kako smo u prvoj reenici uzeli da C nije bio drugi onda ni u etvrtoj reenici ne moe da bude drugi, to znai da je A etvrti.U petoj reenici imamo da je B bio prvi to ne moe jer smo u prvoj reenici uzeli da je B bio trei, a kako smo u etvrtoj reenici uzeli da je A etvrti to se poklapa sa tvrenjem u petoj reenici.Znai dobili smo da je E bio drugi, B trei, A etvrti i D peti pa je onda C prvi.


6. a) Zbir prvih 5 prirodnih brojeva je 15 pa nam jo do 22 fali 7. Tako da su nam traeni brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 7.Ne postoje drugi jer je zbir prvih 6 prirodnih brojeva:

Ukoliko bi poveali posednji sabirak, npr. da umesto 7 bude 8, onda bi morali da smanjimo za 1 neki od prvih 6 sabiraka pa bi smo dobili dva jednaka sabirka, to nije po uslovu zadatka.

b) Zbir prvih 99 prirodnih brojeva je 4950 i do 5051 nam fali jo 101, to znai da su brojevi koji se trae ustvari prvih 99 prirodnih brojeva i broj 101.Ne postoje drugi jer je zbir prvih 100 prirodnih brojeva:

U koliko bi poveali posednji sabirak, npr. da umesto 101 bude 102, onda bi morali da smanjimo za 1 neki od prvih 99 sabiraka pa bi smo dobili dva jednaka sabirka, to nije po uslovu zadatka.

7. Ako je zbir u vrsti jednak 1 onda je zbir u tablici M1=M.Ako je zbir u koloni jednak 1 onda je zbir u tablici K1=K.

Iz toga sledi da je: M=K.

8. Trougao DAG je jednakokrako-pravougli, t.j. ugao G=45, AD=AG, odakle je AG=AB+BG=AB+CD odavde sledi da je BG=CD.Posmatrajmo trouglove CDE i BEG:

CDEBEG Nemanja Milovanovi VII razredO.. ore Jovanovi SelevacSelevac

Odavde sledi CE=EB pa je E sredina dui BC, t.j. BE:BC=1.

9. a) =5

b) =


3

v)

uslov:

- - uslov

/


=49=49+2=51==17

Oba su reenja jer zadovoljavaju uslov.

g)

==7=7

=2

d)

uslov:

=3/3==3=3+2014

=2017 to jeste reenje jer zadovoljava uslov

)

uslovi:


3/=9=9=4/

=16 to jeste reenje jer ispunjava oba uslova.

10. Neku figuru moemo nacrtati iz jednog poteza ako nemamo ni jedan vor sa neparnim brojem ivica, t.j. ako su svi vorovi parni, ili ako imamo dva neparna vora a ostali su svi parni.

a) Slika 1. se ne moe nacrtati jer imamo etiri vora sa neparnim brojem ivica. Slika 2. se moe nacrtati jer imamo tano dva vora sa neparnim brojem ivica a svi ostali vorovi su parni.

b) Muva ne moe proi po svim ivicama kocke tano po jednom jer imamo osam vorova sa neparnim brojem ivica,t.j. svi vorovi su neparni.

Documents

Olimpijada