“Optimización del diseño preliminar de una transmisión

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A1a Diseño Mecánico: Optimización del diseño de una transmisión mecánica

“Optimización del diseño preliminar de una transmisión mecánica mediante cúmulo de partículas”

S.V. Camacho Gutiérreza*, J.C. Jáuregui Correaa

aUniversidad Autonoma de Querétaro, Cerro de las Campanas S/N, Santiago de Querétaro, Querétaro, 76010, México

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

Este artículo presenta un método para optimizar el diseño preliminar de una transmisión mecánica con el objetivo de disminuir la sincronización no lineal entre sus componentes y por tanto, aumentar su vida útil. Esta optimización toma en

cuenta los principales parámetros que propician el solapamiento de las frecuencias de excitación y de esta forma se evitan

resonancias. Los resultados muestran que la metodología propuesta mejora la distribución de las frecuencias de excitación,

y de esta manera se evita que se produzcan efectos no deseados como la sincronización no lineal o el efecto de “beating”

entre frecuencias consecutivas.

Palabras Clave: Optimización, transmisión mecánica, cúmulo de partículas

A B S T R A C T

This article presents a method to optimize the preliminary design of a mechanical transmission in order to reduce the non-linear synchronization between its components and, therefore, increase its useful life. This optimization takes into account

the main parameters that lead to the overlapping of the excitation frequencies and in this way prevent resonances. The

results show that the proposed methodology improves the distribution of the excitation frequencies, thus avoiding

undesirable effects such as non-linear synchronization or the beating vibration effect between consecutive frequencies.

Keywords: Optimization, mechanical transmission, swarm particle

1. Introducción

El diseño de una transmisión mecánica comprende el

dimensionamiento de sus elementos con base en los

requerimientos de potencia y velocidad. Sin embargo, en

la práctica estos elementos se calculan de manera individual sin considerar su interacción dinámica. Estas

interacciones dinámicas pueden causar una carga

dinámica y excitaciones externas debidas a los defectos en

los elementos.

Existen algunas investigaciones que se han enfocado

en optimizar el diseño de transmisiones mecánicas y sus

componentes. Por ejemplo, Faggioni y otros [1] y Korta y

Mundo [2] optimizaron el diseño de engranes

minimizando el error de transmisión; Kumar y otros [3]

aumentaron la vida útil de rodamientos usando algoritmos

genéticos; otros investigadores desarrollaron

metodologías basadas en algoritmos de optimización para minimizar el volumen de trenes de engranes [4-6].

Sin embargo, ninguna de estas investigaciones toma en

cuenta las interacciones entre los componentes.

De acuerdo a Jáuregui [7], la rigidez de la carcasa

establece una condición que permite a las ondas no

lineales viajar entre engranes y rodamientos, induciendo

la sincronización no lineal de estos componentes, y su

efecto incrementa la carga dinámica entre ambos. Esta

sincronización dinámica puede ser minimizada si se

diseña una carcasa lo suficientemente rígida o se

optimizan las frecuencias de excitación de engranes y

rodamientos para evitar solapamientos.

Asimismo, Parey y otros [8] por medio de un modelo dinámico encontraron que las fuerzas de excitación

incrementan la frecuencia del engranaje. La mayoría de

las transmisiones mecánicas son diseñadas sin tomar en

consideración la sincronización no lineal y esto podría

aumentar el ruido o disminuir su vida útil.

Dado que las frecuencias de excitación de los engranes

y rodamientos descritas por [9] están en función de sus

parámetros de diseño (número de dientes, diámetro paso,

ISSN 2448-5551 DM 306 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


etc.), el problema de diseño consistirá en encontrar las

dimensiones adecuadas de engranes y rodamientos que

provean la vida útil más larga de acuerdo a los

requerimientos de potencia y velocidad.

Las variables a ser optimizadas son continúas y

discretas, y su espacio de solución varía abruptamente, por

ello, los métodos de optimización tradicional como los

basados en el gradiente no funcionan con este problema de optimización, pero los algoritmos de optimización

metaheurísticos han demostrado buenos resultados [10],

especialmente aquellos basados en la naturaleza como los

algoritmos evolucionarios y de inteligencia colectiva.

Actualmente hay una discusión acerca de cuál algoritmo

de optimización es el mejor, pero el algoritmo de cúmulo

de partículas es que ha obtenido mejores resultados [11,

12].

En este trabajo se propone un método de diseño para

minimizar la excitación dinámica producida por los

elementos rodantes mediante el uso del algoritmo de

optimización de cúmulo de partículas, el diseño obtenido tiene la mejor distribución de frecuencias de excitación.

En las siguientes secciones se presenta el método de

diseño y se ejemplifica con el diseño de una transmisión

mecánica simple.

2. Formulación del problema de optimización

2.1 Función objetivo

Para determinar el acercamiento o traslape de las

frecuencias se excitación se planteó maximizar la

diferencia mínima entre todas las frecuencias de

excitación consecutivas (ec. (1)).

nnf 1min (1)

Estas frecuencias de excitación dependen de los

parámetros de diseño de la transmisión mecánica [9]. Para el caso de una transmisión mecánica simple, compuesta

de un par de engranes montados sobre 4 rodamientos (2 se

consideran iguales) (Fig. 1), se tienen 11 frecuencias.

Cuatro frecuencias de excitación por cada rodamiento

debidas al contacto entre el elemento rodante y la pista

interna y externa (frecuencias ir y or , ec. (2) y (3)), y

a las frecuencias de giro de la carcasa y del elemento

rodante (frecuencias c y re , ec. (4) y (5)). Estas

frecuencias están en función de N que corresponde al

número de elementos rodantes, d es el diámetro del

elemento rodante, D el diámetro de paso del rodamiento,

α el ángulo de contacto axial y i es la frecuencia de giro del eje.

Adicionalmente, se consideran tres frecuencias de

excitación asociadas al desbalanceo de ejes, la frecuencia

del piñón 1 , de la corona 2 y del tren de engranaje

gm (ec. (6)-(8)) que a su vez son función de la relación

de reducción r , del número de dientes del piñón 1N y del

engrane 2N . Todas las frecuencias fueron usadas en

ciclos por minuto (CPM). Estas frecuencias no se obtienen

en este orden, por lo que el algoritmo contempla un paso

para acomodarlas de menor a mayor.

iirD

dN

)cos(1

2 (2)

iorD

dN

)cos(1

2 (3)

icD

d

)cos(1

2

1 (4)

ireD

d

d

D

2))cos((1 (5)

1 (6)

r

12

(7)

2211 NNgm (8)

2.2 Variables de diseño

Las variables de diseño corresponden a aquellos

parámetros que el algoritmo de optimización variará a fin

de encontrar la mejor distribución de las frecuencias de

excitación. De acuerdo a las ec. (2)-(5), las frecuencias de

excitación de los rodamientos están en función del número

de elementos rodantes, el diámetro de paso del elemento rodante y del rodamiento y del ángulo de contacto, sin

embargo, para obtener un diseño real estos parámetros de

diseño fueron tomados a partir de una base de datos

construida del catálogo de rodamiento de bolas de Timken

[13]. Los datos de los rodamientos fueron clasificados de

acuerdo a su número de catálogo, este número se

identifica como b . Por tanto, los rodamientos de entrada

se denotan como 1b y los de salida como 2b , y cada uno

asocia los cuatro parámetros de diseño mencionados.

El número de dientes del piñón y de la corona están

relacionados con la relación de reducción r (ec. (9)):

1

2

N

Nr (9)

Por ello, sólo el número de dientes de la corona 2N

fue considerado como variable de diseño, la relación de

Figura 1 Transmisión mecánica simple



reducción r generalmente se establece como parámetro

de entrada. Sin embargo, si esta relación de reducción

se deja fija para calcular el número de dientes del piñón

1N se limita el espacio de soluciones, por tal motivo se

agregó una variación k ,entre 0 y 1. La relación de

reducción también fue designada como variable de diseño.

El último parámetro de diseño es el paso diametral dP

de los engranes, aunque no está involucrado directamente con las frecuencias de excitación, interfiere de manera

muy importante con las restricciones. Los valores de esta

variable fueron tomados de una base de datos de pasos

diametrales estándar. Finalmente, el vector de variables de

diseño es (ec. (10)):

dPrNbbX ,,,, 221 (10)

2.2 Restricciones

Las restricciones de dominio se muestran en la tabla 1.

Los valores mínimos y máximos de las variables 1b y 2b están limitados por el tamaño de la base de datos, del

mismo modo que el paso diametral dP . En cuanto al

número de dientes de la corona 2N , el mínimo se

estableció con base en una relación para asegurar que no

ocurra interferencia entre dientes de engranes rectos para

un ángulo de presión de 20° de acuerdo a [14], el número

máximo se dejó en 200, ya que en la práctica es inusual

tener un número más grande. Finalmente, la relación de

reducción está limitada por un factor k y la relación de

reducción u (parámetro inicial que da el diseñador).

Tabla 1 – Restricciones de dominio.

Variable de diseño Límite inferior Límite superior

1b 1 47

2b 1 47

2N 18r 200

r u-ku u+ku

dP 1 16

Por otra parte, también se incluyeron restricciones de

desigualdad. Para aplicarlas a la función objetivo, se

utilizó el método de penalización, por lo que la ec. (1) se

convierte en:

jnn Pf 1min (11)

Donde es la función de penalidad y jP representa los

coeficientes de penalización, los cuales son aplicados cada

vez que una restricción de desigualdad es violada. La

primera restricción de desigualdad está asociada con la

diferencia entre frecuencias consecutivas, esta debe ser más grande que cierto porcentaje s de (ec. (12)):

snn 1min (12)

El primer coeficiente de penalización es (ec. (13)):

sw

sP

nn

1

1 (13)

Las otras restricciones están asociadas con la vida útil

de los engranes y rodamientos. Siguiendo la norma AGMA 908-B89 [15], se tomaron los factores que

relacionan la vida de los engranes con los ciclos de

esfuerzos NZ y NY tal como se muestra en las ec. (14) y

(15):

N

acH

RTHC ZSC

KKSS (14)

N

at

RTFt YS

KKSS (15)

Donde cS es el número de esfuerzo de contacto, HSes el factor de seguridad por picadura, RK es el factor de confiabilidad, TK es el factor de temperatura, HC es el

factor de relación de durezas, acS es el número de

esfuerzo de contacto permisible, tS es el número de

esfuerzo flexionante, FS es el factor de seguridad y atS

es el número de esfuerzo flexionante admisible. Estos

factores corresponden a datos de entrada del diseño [16].

El lado izquierdo de la ec. (14) se denominará NxZ y el

lado izquierdo de ec. (15) NxY . Las constantes de

penalización para mejorar la vida de los engranes son ecs.

(16) - (18)

Nx

NNx

Z

ZZP

2 (16)

1

113

Nx

NNx

Y

YYP

(17)

2

224

Nx

NNx

Y

YYP

(18)

La última restricción (ec. 19) se calcula para los

rodamientos de entrada y salida, donde es la carga

dinámica base, equivale a 3 para rodamientos de bola y es

la carga dinámica radial equivalente [14].

66 101101 xxP

Ce

r

(19)

La vida esperada de los rodamientos se calcula para un

millón de ciclos, el lado izquierdo de ec. (19) se nombró

diL . Las constantes de penalización asociadas a esta

restricción son:

6

1

6

5101

101

x

LxP d (20)

6

2

6

6101

101

x

LxP d (21)



Si las restricciones no son violadas, los coeficientes de

penalidad correspondientes se convierten en cero.

3. Algoritmo de optimización: Cúmulo de partículas

El algoritmo de optimización por cúmulo de partículas

(PSO) fue publicado por primera vez en 1995 por [17].

Este algoritmo está basado en el comportamiento de las

parvadas o en cualquier otro grupo de animales con

inteligencia colectiva. Está definido por el número de

partículas swarmN , que son soluciones candidatas,

por lo tanto, el tamaño de cada partícula equivale al

número de variables de optimización y representa una posición. Estas partículas se mueven en el espacio de

búsqueda iterativamente al ajustar sus velocidades. Como

la velocidad depende de los valores pasados tanto de

velocidad como posición, cada partícula guarda su mejor

posición P y del mismo modo, guardan la mejor posición

de todas las partículas [18]. El diagrama de flujo se

muestra en la Fig. 1.

El primer paso para correr el algoritmo consiste en

establecer el tamaño de la población swarmN , el número

de iteraciones que se ejecutará el algoritmo iterN , las

constantes 1C y 2C y los datos de entrada de los

engranes. De acuerdo [18], los valores de 1C y 2C no deben asignarse independientemente; para este problema

de optimización se utilizaron los valores recomendados

por este mismo autor. El siguiente paso consiste en

generar posiciones aleatorias de las partículas dentro de

los límites inferiores y superiores. Posteriormente el

algoritmo itera hasta que alcance el número de iteraciones

establecido.

El PSO se aproxima a la mejor posición con la

información de cada partícula. La velocidad iV y

posición iX de las partículas es determinada por ecs. (22)

y (23), respectivamente. Donde iP representa la mejor

posición visitada por cada partícula y G es la mejor posición de todas las partículas.

))(1,0())(1,0( maxmax11 iiiii XGrandCXPrandCVCV (22)

11 iii VXX (23)

Para evaluar iX y actualizar iP y G , se deben seguir

estos pasos:

Encontrar las frecuencias de excitación ecs. (2) – (8)

de cada partícula.

Ordenar las frecuencias de excitación.

Obtener la diferencia entre frecuencias consecutivas Obtener el costo ec. (1).

Aplicar penalidades ecs. (11)-(21)

Si la posición actual de la partícula es superior que su

mejor posición iP , entonces se actualiza su valor, del

mismo modo se actualiza la mejor posición G de todas

las partículas.

4. Resultados y discusión

Los parámetros para ejecutar la optimización por cúmulo

de partículas se muestra en la Tabla 2. Los datos de

entrada fueron definidos de acuerdo a la norma AGMA

908-B89 [15] y AGMA 2001-D04 [16] y se muestran en

la Tabla 3. Asimismo, se estableció como separación

mínima entre frecuencias consecutivas 11. s .

Tabla 2– Parámetros para el algoritmo de cúmulo de partículas.

Parámetro Valor

swarmN 25

iterN 300

1C 0.8

2C 1.62

El algoritmo fue programado en el software Matlab, en

una computadora equipada Core-i5 4200-U y fue

ejecutado cinco veces para comparar la velocidad de

convergencia y el óptimo global. Estos resultados se

Figura 2 Diagrama de flujo del algoritmo de optimización

"cúmulo de partículas"



muestran en la tabla 4. En las tabla 5 se muestran los

valores de las variables de diseño de la primera iteración

y última iteración del mejor resultado del PSO (de acuerdo

a tabla 4, corrida 4). Finalmente, las tablas 6 y 7 muestran

las frecuencias de excitación optimizadas después de la

primer y última iteración, respectivamente.

Tabla 3- Datos de entrada de engranes

Dato de entrada Piñón Engrane

Distancia operative entre centros 9

Velocidad 1500 500

Relación de reducción u 3

Angulo de presión 20°

Factor espesor orilla 𝑲𝒃 1

Factor de temperatura 𝑲𝑻 1

Factor de confiabilidad 𝑲𝑹 1

Factor de sobrecarga 𝑲𝒐 1

Factor de condición de superficie 𝑪𝒇 1

Factor relación de durezas 𝑪𝑯 1

Factor seguridad por picadura 𝑺𝑯 1.1

Factor seguridad por flexión 𝑺𝑭 1.1

Número de esfuerzo de contacto

permisible 𝑺𝒂𝒄 1.75 𝑥 105

Número de esfuezo flexionante admisible

𝑺𝒂𝒕 4.5 𝑥 104

Carga tangencial transmitida 𝑾𝒕

Potencia transmitida 2

Factor dinámcio 𝑲𝒗

Grado de precisión 𝐴𝑣 7

Desviación de paso 0

Relación de Poisson 0.3

Modulo de elásticidad 3 𝑥 107

Factor de distribución de carga 𝑲𝒎

Factor de corrección de carga 𝐶𝑚𝑐 1

Factor de alineamiento 𝐶𝑒 1

Offset del piñón 1.4

Distancia entre rodamientos 5

Clase de caarcasa Unidad comercialmente

sellada

Factor por ciclos de carga

𝑍𝑛 1

𝑌𝑛 1

Tabla 4– Resultados generales de optimización por cúmulo de

particular.

Corrida

Iteración

donde

convergen

Tiempo de

ejecución

(s)

Diferencia

mínima entre

frecuencias

optimizada

(CPM)

1 29 7.41 187.2755

2 49 7.39 187.2755

3 176 7.38 187.2755

4 7 7.37 187.2755

5 15 7.44 187.2755

Tabla 5– Variables de diseño 1° y última iteración PSO

Iteración Variables de diseño

𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝑵𝒈 𝑷𝒅 𝒓

1 29 10 58 6 3.0689

300 43 40 54 2 3.1764

Tabla 6– Frecuencias de excitación optimizadas después de la 1°

iteración

Frecuencia de excitación CPM

ir (rodamiento entrada) 15251.62

or (rodamiento entrada) 11748.37

c (rodamiento entrada) 652.68

re (rodamiento entrada) 10978.77

ir (rodamiento salida) 3214.26

or (rodamiento salida) 2162.13

c (rodamiento salida) 196.55

re (rodamiento salida) 1840.00

Frecuencia de tren de engranaje gm 87000

Frecuencia piñón 1 1500

Frecuencia corona 2 488.76

Tabla 7– Frecuencias de excitación optimizadas después de la

última iteración

Frecuencia de excitación CPM

ir (rodamiento entrada) 15969.54

or (rodamiento entrada) 12530.45

c (rodamiento entrada) 659.49

re (rodamiento entrada) 11101.92

ir (rodamiento salida) 3894.18

or (rodamiento salida) 2716.93

c (rodamiento salida) 194.07

re (rodamiento salida) 2489.28

Frecuencia de tren de engranaje gm 25500

Frecuencia piñón 1 1500

Frecuencia corona 2 472.22



De acuerdo a los resultados mostrados en las Tabla 4,

tenemos que el promedio del tiempo de ejecución es de

7.39 s, las diferencias mínimas entre frecuencias de

excitación optimizadas en las 5 corridas que se ejecutaron

fueron iguales, aunque en la corrida 3, el algoritmo tardó

más en converger (176 iteraciones). Esto se debe a que el

algoritmo trabaja con aleatoriedad, de ahí el nombre de la

categoría de algoritmos metaheurísticos, dado que las posiciones iniciales son aleatorias y que las ecuaciones

(22) y (23) son afectadas también por número aleatorios.

De la tabla 5 podemos observar que existe un cambio

significativo entre los modelos de rodamientos, pasos

diametrales y relación de reducción entre la primera

iteración y la última, mostrando así que el algoritmo hace

una exploración diversificada en el espacio de solución.

De acuerdo a las frecuencias mostradas en la Tablas 6

y 7 la diferencia mínima entre frecuencias de excitación

consecutivas fue de 163.92 CPM y 187.2755,

correspondientes a los valores optimizados después de la

primera y última iteración, respectivamente, de tal manera que se obtuvo una mejora del 14% con respecto al diseño

inicial. Asimismo, es importante mencionar que desde la

primera iteración, los diseños no violan alguna restricción

descrita en las secciones anteriores, por lo que se cumple

con las condiciones de diseño y vida útil dadas por el

usuario y las normas AGMA [15, 16]

5 Conclusión

El algoritmo de cúmulo de partículas es un método idóneo

para la resolución de problemas complejos como el

requerido para el diseño de la transmisión mecánica,

puesto que sus variables de diseño están íntimamente

relacionadas en las ecuaciones de vida útil, asimismo, los

parámetros de diseño contemplan tanto números discretos

como continuos, de tal manera que el espacio de

soluciones se vuelve complejo, pero al utilizar este

algoritmo fue posible agregar bases de datos de compontes reales para lograr un diseño práctico.

Asimismo, se logró el objetivo de incluir las

aportaciones de cada componente a la dinámica del

sistema al optimizar la distribución de las frecuencias de

excitación que pueden propiciar el fenómeno de

sincronización no lineal.

Este trabajo representa una metodología que puede ser

aplicada en el proceso de diseño preliminar de una

trasmisión mecánica, puesto que el diseñador debe

confirmar que las frecuencias de excitación están lo

suficientemente separadas una de otra para evitar

resonancias o el efecto beating entre las frecuencias, ambas condiciones disminuirían notablemente la vida útil

de la transmisión si llegaran a presentarse.

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