1

OSCILACIJE

Kretanje koje se ponavlja u jednakim vremenskim intervalima naziva se periodično kretanje. Pomeraj tela pri periodičnom kretanju uvek se može izraziti preko funkcija sinusa ili kosinusa. S obzirom na to da se termin harmonijski odnosi na ove funkcije, periodično kretanje se često naziva i harmonijsko kretanje.

Ukoliko se neka čestica neprekidno kreće istom putanjom izmeĎu dva položaja, kaže se da ona osciluje i takvo kretanje se naziva oscilatorno kretanje. Primeri oscilatornog kretanja: oscilatorno se kreću čestice vazduha prenoseći zvuk, žica na violini, klatno sata, tela obešena o oprugu, atomi u molekulu itd.

U zavisnosti od prirode fizičkog procesa koji se ponavlja, oscilatorna kretanja se dele na:

mehanička (žice muzičkog instrumenta, matematičko klatno...)

elektromagnetna (naizmenične struje, elektromagnetni talasi)

elektromehanička (oscilovanja atoma u kristalnoj rešetki)

Oscilatorno kretanje je periodično ako su njegove karakteristike – put, brzina i ubrzanje periodične funkcije vremena. Vremenski interval u kome se neko kretanje ponavlja naziva se period i označava se sa T. Periodičnost neke veličine se matematički opisuje funkcijom za koju važi f(t+T)=f(t).

U realnom životu usled delovanja sile trenja, čestice koje osciluju vremenom se umiruju. Takve oscilacije se nazivaju prigušenim harmonijskim oscilacijama, ali se mi njima ovde nečemo baviti.

Linearno harmonijsko oscilovanje

Najjednostavniji primer harmonijskog oscilovanja bilo bi linearno harmonijsko oscilovanje po pravoj

putanji pod dejstvom sile koja je srazmerna udaljenju tela od ravnotežnog položaja xkF

. Znak “minus” označava da je sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju (suprotnog je smera od smera kretanja tela ili čestice) i zato se zove restituciona sila. Ovaj tip sila se javlja kod elastičnih deformacija, tela na opruzi, matematičkog klatna (oscilacije nastaju pod dejstvom gravitacione sile), torzionog klatna (pod dejstvom momenta sprega elastičnih sila) itd.

Telo na opruzi

Telo mase m prikačeno na oprugu konstante elastičnosti k (koeficijent srazmernosti ovde je konstanta opruge ili krutost opruge) koje može da klizi bez trenja po horizontalnoj osnovi1

). Položaj označen sa (B)

predstavlja ravnotežni položaj – u tom položaju je opruga nedeformisana. IzvoĎenjem tela iz ravnotežnog položaja bilo desno (A) - istezanje ili levo (C) – sabijanje, opruga počinje da deluje na telo silom S obzirom na to da sila elastičnosti ima ovakav oblik, onda se sve druge sile koje se opisuju ovakvim oblikom nazivaju kvazielastične sile. Na osnovu prethodnog možemo reći da je harmonijski oscilator svaki fizički sistem koji se kreće pod dejstvom elastične ili kvazielastične sile. II Njutnov zakon napisan za telo na opruzi u odsustvu sile trenja glasi:

,(jer je kretanje duž x-ose),

Uvodi se smena 2= k/m i konačno se dobija 0

d

d 2

2

2

xt

x diferencijalna jednačina kretanja

linearnog harmonijskog oscilatora (LHO) II reda.

1)

U horizontalnom položaju je eliminisan uticaj sile gravitacije.

m

m

m

0

x

x

F

F

A

B

C

T 2 3 4

xkF

kxt

mxkt

m

Fam

d

d

d

d

0d

d

d

d

2

2

2

2

xm

k

t

xkx

t

xm

2

Rešavanje poslednje jednačine prevazilazi obim ovog kursa. Neka rešenja ove jednačine su sinusna

ili kosinusna funkcija, a ovde će biti dato samo njeno opšte rešenje:

x(t) = x0 sin( t+ 0)

x0 i 0 su proizvoljne konstante koje se odreĎuju iz početnih uslova oscilovanja.

OVO SE MORA ZNATI:

x (t) – pomeraj tela od ravnotežnog položaja u nekom trenutku (elongacija) x0 – maksimalno udaljenje od ravnotežnog položaja (amplituda),

t + odreĎuje položaj i smer kretanja tela u bilo kom trenutku vremena (faza oscilovanja)

kružna frekvenca oscilovanja m

k

0 položaj tela u početnom trenutku vremena (početna faza oscilovanja).

Rečeno je da harmonijsko oscilovanje predstavlja periodično kretanje tela sa periodom T. Period

sinusne funkcije je 2 , pa je:

x0 sin (t+T)+ 0 = x0 sin t+ 0+2 , odakle se

izjednačavanjem argumenata dobija da je

Ovoliko iznosi period oscilovanja kod LHO. Iz poslednje jednačine vidi se da period zavisi samo od fizičkih karakteristika samog oscilatora i da ne zavisi od početnih uslova oscilovanja.

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija ili učestanost oscilovanja i

21T .

ZAPAMTITI: i T se odreĎuju iz diferencijalne

jednačine kretanja, a x0 i 0 se odreĎuju iz početnih uslova oscilovanja (t = 0).

Brzina i ubrzanje kod LHO

Brzina predstavlja prvi izvod pomeraja po vremenu Pokažite sami da se dobija

Maksimalna brzina je za vrednosti kosinusa 1 i iznosi

Kosinus je jednak 1 za vrednosti argumenta , što znači da telo ima maksimalnu brzinu pri prolasku kroz ravnotežni položaj.

t

a

2x0

2x0

2 3

t

x0

x0

2 3

t

x

T

x0

x

x=xo sin( t)

x=xo sin( t+ 0)

xo sin( 0)

2 3

)t(x 00 cos

))t(x(tt

x00sin

d

d

d

d

00max x

k

mT 2

2

3

Ubrzanje predstavlja prvi izvod brzine po vremenu (ili drugi izvod pomeraja po vremenu):

a ))t(x(tt

00 cosd

d

d

d

Samostalno izvesti gornji izraz. Rešenje je oblika

a = 2 x0 sin( t+ ) = a0 sin( t+ );

Maksimalno ubrzanje je za vrednosti sinusa 1 i iznosi

amax = a0 = ± 2 x0

Sinus je jednak 1 za vrednosti argumenta /2, što znači da telo ima maksimalno ubrzanje pri prolasku kroz amplitudni položaj.

PRIMER:

MATEMATIČKO KLATNO

Matematičko klatno osciluje pod dejstvom gravitacione sile. Cilj je da se odredi period oscilovanja matematičkog klatna. Najpre se izvrši identifikacija sila koje na njega deluju. Može da se smatra da je u pitanju kružno kretanje materijalne

tačke mase m po kružnici poluprečnika .

II Njutnov zakon: gmFam z

Projekcija na x-osu i y-osu:

x-osa: )1(sin0 mgma

y-osa: )2(cosmgFma zn

Klatno osciluje pod dejstvom komponente sile gravitacije F = mg sin , dok druga komponenta sile gravitacije samo vrši zatezanje u koncu.

Sa slike je sin = x/ pa je xmgx

mgF

Za male uglove otklona( sin ) je sx (s je stvarno preĎeni put klatna), 0na - problem se svodi

na translatorno kretanje, a m, g i su konstante pa je

x-osa: sinsin0 mgmamgma

y-osa: coscos0 mgFmgF zz

Po analogiji sa linearnim harmonijskim oscilatorom za period oscilovanja matematičkog klatna se dobija:

x

mg

mg cos

mg sin

zF

ij

x

y

mgk,kxF jegde

gk

mT

22