OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III … · 2019. 3. 18. · Otprnosto materijala 2 Analiza napona Ko²ijeve jedna£ine OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske

Otpornost materijala 2Analiza napona

Ko²ijeve jedna£ine

OTPORNOST MATERIJALA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof dr Stanko Br£i¢email: [email protected]

Departman za Tehni£ke nauke

Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Br£i¢ Otpornost materijala 2



Sadrºaj

1 Otpornost materijala 2Napomene o predmetuLiteratura

2 Analiza naponaPojam naponaStav o konjugovanosti naponaStanje napona u ta£ki

3 Ko²ijeve jedna£ineKo²ijeve jedna£ineNavijeove jedna£ine ravnoteºeGrani£ni povr²inski uslovi




Napomene o predmetuLiteratura

Sadrºaj








Otpornost materijala 2

Osnovni podaci o predmetu

Naziv: Otpornost materijala 2

Semestar: III

Fond £asova: 3+2

Studijski program: Gra�evinarstvo (OAS)

ESPB: 7

Status predmeta: obavezni







Uslov za sticanje potpisa:- Uredno poha�anje nastave- Uspe²no poloºena 3 kolokvijuma

Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Poloºeni ispiti iz Tehni£ke mehanike 1 i Otpornosti materijala 1







Na£in polaganja ispita:- Pismeni ispit u trajanju od 3÷ 4h

- Usmeni ispit

Informacije o nastavi i predmetu:- posle predavanja- www.np.ac.rs, Departman Tehni£kih nauka, Nastavni materijali- asistent Mirza Hadºimujovi¢





Sadrºaj








Otpornost materijala 2 - Literatura

Otpornost materijala 2 - Literatura (udºbenici)

V. Br£i¢: Otpornost materijala, VI izdanje, Gra�evinska knjiga,Beograd, 1989

�. Dunica: Otpornost materijala (uvod u mehaniku

deformabilnog tela), Gra�evinski fakultet i Grosknjiga,Beograd, 2005

B. Dereti¢-Stojanovi¢, �. Dunica: Otpornost materijala, IIIizdanje, Gra�evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2014

S.P. Timo²enko: Otpornost materijala, I deo (prevod saengleskog), Gra�evinska knjiga, Beograd, 1972





Otpornost materijala 2 - Literatura

Otpornost materijala 2 - Literatura (zbirke zadataka)

�. Dunica, �. Bojovi¢: Zbirka re²enih zadataka iz otpornosti

materijala sa izvodima iz teorije, III izdanje, Nau£na knjiga iGra�evinski fakultet, Beograd, 1989

B. Dereti¢-Stojanovi¢, N. Markovi¢: Otpornost materijala -

zbirka re²enih ispitnih zadataka, Gra�evinski fakultetUniverziteta u Beogradu, GP Dom, 1994





Literatura

Softverski paketi od interesa

Tower 7 (Demo) . . . Radimpex Software,URL: www.radimpex.rs

AxisVM (Student Study, Student Thesis - 180 dana). . . Structural Analysis & Design SoftwareURL: www.axisvm.eu

SAP2000, ETABS, CSiBridge . . . Computers & Structures, Inc.URL: www.csiamerica.com

MATLAB The Language of Technical Computing . . .URL: www.mathworks.com

itd . . .




Pojam naponaStav o konjugovanosti naponaStanje napona u ta£ki

Sadrºaj








Deformabilno telo u mirovanju

Spolja²nje i unutra²nje sile

Posmatra se deformabilno telo u mirovanju pod uticajemdatog sistema spolja²njih sila

U skladu sa Njutnovim aksiomama, ako telo miruje, spolja²njesile koje na njega deluju su u ravnoteºi (i obrnuto!)Spolja²nje sile koje deluju na deformabilno telo mogu da budu

- koncentrisane (u ta£ki tela)- linijske (duº linije po omota£u tela)- povr²inske (po nekoj povr²ini tela)- zapreminske (unutar zapremine tela)







Koncentrisane, linijske i povr²inske sile su obi£no rezultatme�usobnog kontakta posmatranog tela i nekog drugog tela

Kontakt moºe da se realizuje u ta£ki, duº linije ili po povr²inina omota£u posmatranog tela

Koncentrisane, linijske i povr²inske sile su nezavisne od maseposmatranog tela

Zapreminske sile deluju u svim ta£kama zapremine tela irezultat su delovanja ubrzanja zemljine teºe ili relativnogkretanja tela u odnosu na zemlju (inercijalne sile)

Zapreminske sile su zavisne od mase







Na elementarnu zapreminu tela dV deluje elementarna sila d~Q:

d~Q = ~f dV

Vektor ~f je vektor zapreminske sile (sila po jedinici zapremine)

~f =d~Q

dV= fx~ı+ fy~+ fz~k

pri £emu su ~ı,~ i ~k ortovi inercijalnog pravouglog koordinatnogsistema xyz desne orjentacije







Ukupna zapreminska sila (rezultanta zapreminskih sila za telokona£ne zapremine V ) data je sa

~Q =

∫V

~f dV

Gravitacione i inercijalne sile su karakteristi£ni pretstavnicizapreminskih sila

Na omota£u tela, na nekoj povr²ini As, deluju povr²inske sile

Posmatra se ta£ka M i neka mala, ali kona£na povr²ina ∆As uokolini ta£ke M







Raspodeljene sile koje deluju na maloj povr²ini u okolini ta£keM redukuju se na ta£ku M

Dobijaju se glavni vektor sila ∆~F i glavni vektor momenata∆ ~M (M)

Posmatra se grani£ni proces ∆As → 0, pri £emu je ta£ka Muvek sadrºana u ∆As

Sa smanjenjem povr²ine ∆As smanjuje se i krak sila, tako dagrani£na vrednost redukcionog momenta teºi ka nuli:

lim∆As→0

∆ ~M (M)

∆As= 0





Povr²inske sile na maloj povr²ini

Redukcija na ta£ku: glavni vektor sila i glavni vektor momenata







Grani£na vrednost glavnog vektora sila ∆~F sa smanjenjempovr²ine ∆As je vektor povr²inskog optere¢enja:

lim∆As→0

∆~F

∆As=

d~F

dAs= ~p (m)

Prema tome, rezultanta povr²inskih sila na elementarnojpovr²ini dAs (elementarna povr²inska sila d~F ) data je sa

d~F = ~p (m) dAs







Speci�£no povr²insko optere¢enje ~p (m) u ta£ki M u kojoj je ~mort spolja²nje normale na elementarnu povr²inu omota£a tela,dato je sa

~p (m) =d~F

dAs

Vektor ~p (m) je vektor sile po jedinici povr²inePovr²inske sile su sile usled kontakta dva tela:

- kontakta dva £vrsta tela- kontakta £vrstog tela i tla (pritisak tla na telo)- kontakta £vrstog tela i te£nosti (hidrostati£ki pritisak)






Telo miruje ⇔ sile koje deluju na telo su u ravnoteºiStanko Br£i¢ Otpornost materijala 2





Unutra²nje sile veze - naponi

Deformabilno telo, ili sistem deformbilnih tela, nalazi se poduticajem ravnoteºnog sistema spolja²njih sila

Usled stati£kog delovanja spolja²njih sila na deformabilnisistem, posmatrani sistem se polako deformi²e

Posle zavr²ene deformacije uspostavi se ravnoteºnakon�guracija i mirovanje sistema (nema vi²e relativnogpomeranja za dati nepromenljiv sistem sila - ne menjaju serastojanja izme�u ta£aka)

Za takav sistem vaºe zakoni Mehanike krutog tela






Osnovna hipoteza Otpornosti materijala

Sva tela koja miruju pona²aju se kao kruta, jer im seme�usobna rastojanja ne menjaju

Uvodi se hipoteza da za svaki elementarni deo napregnutogdeformabilnog tela, koji je zami²ljeno izdvojen iz tela, za sveunutra²nje i spolja²nje sile koje deluju na taj izdvojenelemetarni deo tela, vaºe isti zakoni Mehanike kao i za krutotelo

Ovo je Osnovna hipoteza Otpornosti materijala







Posmatrano telo moºe da se posmatra kao sistem od dva tela,(I) i (II), koja su me�usobno vezana u nekoj ravni π

Na osnovu Aksioma o vezama i Aksioma akcije i reakcije, tela(I) i (II) mogu da se razdvoje u ravni π

U prese£nim ravnima tela (I) i (II) deluju povr²inske sile vezekoje su me�usobno u odnosu akcije i reakcije

Posmatra se neka ta£ka P u prese£noj ravni π, kao i neka malaokolina ta£ke P u ravni π, ozna£ena sa ∆A

Spolja²nja normala na ravan π tela (I) ozna£ena je sa ~n






Unutra²nje sile veze su povr²inske sile u ravni presekaStanko Br£i¢ Otpornost materijala 2






Povr²inske sile veza na povr²ini ∆A redukuju se na ta£ku P,koja je teºi²te male povr²ine ∆A

Redukcijom unutra²njih sila veze na ta£ku P dobija se- glavni vektor sila . . .∆~F- glavni vektor momenata . . .∆ ~M (P )

Posmatra se grani£ni proces kada ∆A→ 0

Zbog sve manjeg kraka, grani£na vrednost glavnog vektoramomenata teºi ka nuli:

lim∆A→0

∆ ~M (P )

∆A= 0







Grani£na vrednost glavnog vektora sila teºi kona£nom vektoru:

lim∆A→0

∆~F

∆A=d~F

dA= ~ρ (n)

Vektor ~ρ (n) je vektor napona (vektor totalnog napona) u ta£kiP za prese£nu ravan π sa normalom ~n

Vektor napona ima dimenziju sila / povr²ina (Pa, kPa, MPa)

Vektor napona je unutra²nja sila veze, koja se odnosi naizabranu prese£nu ravan i za izabranu ta£ku u prese£noj ravni







U nekoj drugoj ta£ki u ravni π, recimo u ta£ki Q, vektortotalnog napona je, u op²tem slu£aju, razli£it od vektoranapona u ta£ki P

Vektor napona u ta£ki P za neku drugu prese£nu ravan π1

razli£it je od napona u ta£ki P za ravan π

Vektor napona zavisi od izabrane prese£ne ravni i izabraneta£ke u prese£noj ravni:

~ρ (n) = ~ρ (n)(x, y, z)







Napon ~ρ (n) je rezultat uticaja dela (II) na deo (I) u ta£ki P

Mogu¢e je da se posmatra uticaj dela (I) na deo (II) u istojta£ki P, ali koja pripada telu (II)

Zbog Aksioma akcije i reakcije, uticaj tela (I) na telo (II) uta£ki P jednak je uticaju tela (II) na telo (I), ali suprotnogsmera (znaka)

Pri tome je i spolja²nja normala ravni π tela (II) suprotna odspolja²nje normale iste ravni π tela (I), tako da je

~ρ (−n) = −~ρ (n)







Vektor napona ~ρ (n) moºe da se razloºi na dve komponente:- u pravcu orta normale ~n na ravan π . . .~σ- u pravcu orta ~s u ravni π (u preseku ravani π i ravni odre�enesa vektorima ~n i ~ρ (n)) . . .~τ







Vektor napona ~ρ (n) razlaºe se na komponente:

~ρ (n) = ~σ + ~τ = σ ~n+ τ ~s

gde jeσ = ~ρ (n) · ~n τ = ~ρ (n) · ~s

kao iτ =

√|~ρ (n)|2 − σ2

Komponenta ~σ je normalni napon, a komponenta ~τ je totalnismi£u¢i (tangencijalni) napon







Normalni napon ~σ obeleºava se i kao ~σnTotalni smi£u¢i (tangencijalni) napon ~τ naj£e²¢e se razlaºe nadva ortogonalna pravca ` i m sa jedini£nim vektorima ~̀ i ~m:

~τ = ~τnl + ~τnm = τnl ~̀+ τnm ~m

gde jeτnl = ~τ · ~̀ τnm = ~τ · ~m







Prema tome, vektor totalnog napona se razlaºe na trikomponente u pravcima tri me�usobno ortogonalna orta:

~ρ (n) = σn ~n+ τnl ~̀+ τnm ~m (1)

Projekcije σn, τnl i τnm su pozitivne ako su u pozitivnimsmerovima ortova ~n, ~̀ i ~mKomponente smi£u¢eg napona τnl i τnm obeleºavaju se sa dvaindeksa:

- prvi indeks, n, ozna£ava normalu prese£ne ravni- drugi indeks, ` ili m, ozna£avaju pravac u ravni sa kojim jekomponenta smi£u¢eg napona paralelna





Komponente vektora napona





Analiza napona

Homogenost napona u okolini ta£ke

Deformabilno telo je kontinuum, odn. smatra se da jematerijal tela kotinualno raspore�en unutar zapremine tela (nerazmatra se stvarna molekularna struktura tela)

Zato se u dvema bliskim ta£kama, za dve paralelne ravni,vektori napona veoma malo razlikuju

Ako se posmatra in�nitezimalna okolina ta£ke P, moºe da sepretpostavi da je za paralelne prese£ne ravni veli£ina napona usvim ta£kama pribliºno jednaka

Drugim re£ima, u ∞ maloj okolini ta£ke stanje napona jehomogeno





Sadrºaj









Stav o konjugovanosti napona

Na osnovu Osnovne hipoteze Otpornosti materijala, na svakielementarni deo napregnutog tela (u mirovanju), koji jeizdvojen iz tela u skladu sa Aksiomama Mehanike (statike),mogu da se primene zakoni koji vaºe za kruto telo

To su, pre svega, uslovi ravnoteºe sila koje deluju na izdvojenielementarni deo (telo miruje - sile su u ravnoteºi)

Iz napregnutog tela koje miruje izdvaja se elementarnitetraedar OABC u ∞ maloj okolini neke ta£ke O.

Poloºaji temena A,B,C tetraedra u odnosu na teme O dati susa ∞ malim vektorima ~e1, ~e2, ~e3, a spolja²nje normale nastranice tetraedra date su sa ortovima ~ni (i = 1, 2, 3, 4)





Izdvajanje elementarnog tetraedra iz tela







Na osnovu pretpostavke o homogenosti stanja napona uokolini ta£ke, zaklju£uje se da su naponi na stranicamatetraedra jednaki, ili skoro jednaki, sa naponima u posmatranojta£ki O za paralelne prese£ne ravni.

Prema tome, posmatraju¢i tetraedar, mogu da se uspostaveveze izme�u napona u jednoj ta£ki za razli£ite prese£ne ravni

Na stranicama izdvojenog tetraedra deluju unutra²nje sile veze,odn. naponi ~ρ (i) (i = 1, 2, 3, 4)

Rezultuju¢a sila na svakoj stranici tetraedra jednaka jeproizvodu vektora napona u teºi²tu stranice tetraedra ipovr²ine te stranice (elementarnog trougla)







Rezultuju¢e sile na stranicama tertaedra OAB, OBC i OAC, nakojima u teºi²tima stranica deluju vektori napona ~ρ (1), ~ρ (2) i~ρ (3), jednake su, redom:

1

2~ρ (1) |~e2 × ~e3|;

1

2~ρ (2) |~e3 × ~e1|;

1

2~ρ (3) |~e1 × ~e2|

U teºi²tu £etvrte stranice tetraedra ABC deluje napon ~ρ (4),koji pomnoºen sa povr²inom ABC, daje rezultuju¢u silu na tojstranici







Uslovi ravnoteºe sila dati su sa

~FR = 0 ~M(P )R = 0 (2)

(glavni vektor sila i glavni vektor momenata za nekuredukcionu ta£ku P moraju da budu jednaki nuli)

Posmatra se (u ovom trenutku!) samo uslov da je glavnivektor momenata jednak nuli, a za redukcionu ta£ku se birateºi²te S4 stranice ABC elementarnog tetraedra







Posle malo transformisanja uslova da je ~M(S4)R = 0, moºe da

se do�e do relacije

~n2 · ~ρ (1) − ~n1 · ~ρ (2) = 0

odnosno,

~n2 · ~ρ (1) = ~n1 · ~ρ (2) (3)

Ova relacija pretstavlja Osnovni stav analize napona, ili Stav okonjugovanosti napona







Ako kroz ta£ku P tela prolaze dve prese£ne ravni sa ortovimanormala ~n1 i ~n2, tada je projekcija vektora napona ~ρ (1), zaravan sa normalom ~n1, na normalu ~n2 jednaka projekcijivektora napona ~ρ (2), za ravan sa normalom ~n2, na normalu ~n1

~n2 · ~ρ (1) = ~n1 · ~ρ (2)






Stav o konjugovanosti smi£u¢ih napona

Posmatra se specijalan slu£aj kada su dve prese£ne ravnime�usobno ortogonalne:

- ravan (π1) sa ortom normale ~n1 i vektorom napona ~ρ (1)

- ravan (π2) sa ortom normale ~n2 i vektorom napona ~ρ (2)

(pri £emu je ~n1⊥~n2)Primenjuje se relacija konjugovanosti napona (3) za ovaj slu£aj





Konjugovanost smi£u¢ih napona






Stav o konjugovanosti smi£u¢ih napona

Kako je ~n1⊥~n2, to je projekcija vektora napona ~ρ (1) na ort ~n2

jednaka komponenti napona smicanja u ravni sa normalom ~n1

na pravac normale ~n2, odn. smi£u¢em naponu τ12

Prema tome, relacija konjugovanosti napona

~n2 · ~ρ (1) = ~n1 · ~ρ (2)

u ovom slu£aju postaje

τ12 = τ21 (4)

Relacija (4) se zaove Stav o konjugovanosti smi£u¢ih napona





Sadrºaj








Analiza napona

Stanje napona u ta£ki

Pojam napona vezan je za izabranu ta£ku i za prese£nu ravankroz tu ta£ku

Kako kroz posmatranu ta£ku moºe da se provu£e ∞ mnogoprese£nih ravni, to u ta£ki P ima ∞ mnogo vektora napona~ρ (n)

Skup svih napona ~ρ (n) u ta£ki P, za sve prese£ne ravni,odre�uje stanje napona u ta£ki P

Za odre�ivanje vektora napona za proizvoljnu ravan krozdatu ta£ku, potrebno je i dovoljno da se poznaju vektorinapona za tri me�usobno ortogonalne ravni (za trinekomplanarne ravni) u toj ta£ki





Analiza napona


Neka je u ta£ki P usvojen pravougli koordinatni sistem desneorjentacije xyz

Sistem osa xyz de�ni²e koordinatne ravni za koje su ose x, y iz spolja²nje normale

Pretpostavlja se da su poznati vektori napona u ta£ki P za svetri koordinatne ravni

To su vektori napona ~ρ (x), ~ρ (y) i ~ρ (z)





Vektori napona za koordinatne ravni





Vektori napona za koordinatne ravni

Vektori napona za koordinatne ravni su razloºeni na komponente





Analiza napona


Imaju¢i u vidu ralaganje vektora napona na tri ortogonalnekomponente, dato sa (1), vektori napona za tri kordinatneravni razlaºu se na koordinatne ose xyz:

~ρ (x) = σx~ı+ τxy~+ τxz~k

~ρ (y) = τyx~ı+ σy~+ τyz~k

~ρ (z) = τzx~ı+ τzy~+ σy~k

(5)

gde su ~ı,~,~k ortovi osa koordinatnog sistema xyz

Skalari σx, τxy, . . . , τyz, σz nazivaju se komponentalni naponi





Analiza napona


Devet skalara σx, τxy, . . . , τyz, σz zajedno pretstavljajukomponente tenzora napona u ta£ki P

To je tenzor drugog reda (veli£ina de�nisana sa devet skalara)

Vektor (u 3D prostoru) odre�en je sa tri skalara i pretstavljatenzor prvog reda, dok je skalar odre�en sa jednim podatkom ipretstavlja tenzor nultog reda

Tenzor napona u ta£ki P pogodno se prikazuje kao kvadratnamatrica reda tri (matrica napona)





Analiza napona


Matrica tenzora napona u ta£ki P, ili kra¢e, matrica napona,prikazuje se u obliku

S =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

(6)

Dijagonalni elementi matrice napona σx, σy, σz su normalninaponi

Vandijagonalni elementi matrice napona su smi£u¢i naponi





Analiza napona


Komponentalni naponi σx, σy, σz imaju pravac normale naprese£nu ravan u posmatranoj ta£ki P, pa se zato i zovunormalni naponi

U oznaci normalnih napona indeks x, y, z (ili n) ozna£avanormalu prese£ne ravni u ta£ki P

Vandijagonalni komponentalni naponi τxy, τxz, . . . , τzx, τzydeluju u prese£nim ravnima (prvi indeks ozna£ava pravacnormale na prese£nu ravan) i zato se zovu tangencijalni(smi£u¢i) naponi

U oznaci smi£u¢ih napona prvi indeks ozna£ava normalu naprese£nu ravan, a drugi indeks koordinatnu osu u prese£nojravni u pravcu koje deluje smi£u¢i napon





Analiza napona

Simetrija tenzora napona u ta£ki

Imaju¢i u vidu Stav o konjugovanosti smi£u¢ih napona (4):τ12 = τ21, izme�u komponentalnih smi£u¢ih napona vaºerelacije:

τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy (7)

Na osnovu toga sledi da je tenzor napona simetri£an:

ST = S (8)

gde je (. . .)T transpozicija matrice (tenzora napona)

Prema tome, tenzor napona u ta£ki odre�en je, zbog simetrije,sa ²est skalara, a ne sa devet





Analiza napona

Konvencija o znaku napona

U ravni sa spolja²njom normalom u pozitivnom smerukoordinatne ose, pozitivni komponentalni naponi deluju upozitivnim smerovima koordinatnih osa

U ravni sa spolja²njom normalom u negativnom smerukoordinatne ose, pozitivni komponentalni naponi deluju unegativnim smerovima koordinatnih osa





Konvencija o znaku napona




Ko²ijeve jedna£ineNavijeove jedna£ine ravnoteºeGrani£ni povr²inski uslovi

Sadrºaj








Analiza napona


Stanje napona u nekoj ta£ki P u potpunosti je odre�eno ako jepoznata matrica napona za tu ta£ku (t.j. ako su poznatikomponentalni naponi σx, τxy, . . . , τzy, σz)

Drugim re£ima, vektor napona ~ρ (n) za proizvoljnu prese£nuravan sa normalom ~n jednozna£no je odre�en ako su poznatikomponentalni naponi (odn. ako je poznat tenzor napona)

Iz napregnutog tela u mirovanju izdvaja se elementarnitetraedar u okolini ta£ke P

Ta£ka P je jedno teme (vrh) tetraedra, a tri stranice kojesadrºe ta£ku P paralelne su sa koordinatnim ravnima, dok je£etvrta stranica (osnova) "kosa" ravan sa normalom ~n





Izdvojen elementarni tetraedar





Izdvojen elementarni tetraedar





Analiza napona


Ort spolja²nje normale te kose stranice tetraedra dat je sa

~n = { nx, ny, nz } = { cosαn, cosβn, cos γn } (9)

Na stranicama elementarnog tetraedra koje su paralelne sakoordinatnim ravnima spolja²nje normale su u suprotnimsmerovima od koordinatnih osa xyz

Zato su naponi u teºi²tima tih koordinatnih stranica dati sa−~ρ (x),−~ρ (y) i −~ρ (z), dok je napon u teºi²tu kose stranicetetraedra dat sa ~ρ (n)





Analiza napona


Neka je sa dh ozna£eno rastojanje temena P od osnove (odkose ravni sa normalom ~n)

Ako je povr²ina osnove (kose strance) ozna£ena sa dA, ondasu povr²ine stranica tetraedra koje su || sa koordinatnimravnima date, redom, sa

dAx = dAnx dAy = dAny dAz = dAnz

(dobijaju se kao projekcije osnove na koordinatne ravni)

Na izdvojeni elementarni tetraedar deluje zapreminska sila ~f , ana stranicama tetraedra deluju sile veze, odn. naponi





Analiza napona


Na osnovu Osnovne hipoteze Otpornosti materijala, kakoizdvojeni elementarni tetraedar miruje, to su sve sile koje nanjega deluju u ravnteºi

Postavlja se uslov ravnoteºe ~FR = 0:

~ρ (n) dA− ~ρ (x) dAx − ~ρ (y) dAy − ~ρ (z) dAz + ~f dV = 0 (10)

gde je dV zapremina tetraedra

dV =1

3dAdh





Analiza napona


Uzimaju¢i u obzir povr²ine stranica tetraedra (dAx = dAnx,itd), jedna£ina (10), posle skra¢ivanja sa dA, postaje

~ρ (n) − ~ρ (x) nx − ~ρ (y) ny − ~ρ (z) nz +1

3~f dh = 0

Uz zanemarivanje zapreminskih sila, dobija se relacija

~ρ (n) = ~ρ (x) nx + ~ρ (y) ny + ~ρ (z) nz (11)





Analiza napona


Kao ²to se vidi, vektor napona za proizvoljnu "kosu" ravan uta£ki P, sa normalom ~n, izraºava se preko vektora napona zakoordinatne ravni u ta£ki P

Ako se vektori napona u koordinatnim ravnima napi²u kaorazloºeni na koordinatne ose xyz, videti (5), dobija se

~ρ (n) = (σx~ı+ τxy~+ τxz~k)nx

+ (τyx~ı+ σy~+ τyz~k)ny

+ (τzx~ı+ τzy~+ σz~k)nz

(12)





Analiza napona


Ako su komponente u odnosu na ose xyz vektora napona zakosu ravan sa normalom ~n ozna£e sa

~ρ (n) = { ρ(n)x , ρ

(n)y , ρ

(n)z }

relacija (12) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku

ρ(n)x = σx nx + τyx ny + τzx nz

ρ(n)y = τxy nx + σy ny + τzy nz

ρ(n)z = τxz nx + τyz ny + σz nz

(13)





Analiza napona


Relacije (12) i (13) su Ko²ijeve jedna£ine (Cauchy) uvektorskom i u skalarnom obliku

Matri£ni oblik Ko²ijevih jedna£ina dat je sa

ρ(n) = ST n (14)

gde su ρ(n) i n matri£ni prikazi vektora napona i vektoranormale

ρ(n) =

ρ

(n)x

ρ(n)y

ρ(n)z

n =

nxnynz

=

cosαn

cosβncos γn





Analiza napona


Imaju¢i u vidu simetriju tenzora napona (8), zbogkonjugovanosti komponentalnih smi£u¢ih napona, Ko²ijevejedna£ine mogu da se prikaºu i u obliku

ρ(n)x = σx nx + τxy ny + τxz nz

ρ(n)y = τyx nx + σy ny + τyz nz

ρ(n)z = τzx nx + τzy ny + σz nz

(15)

ili u matri£nom obliku kao

ρ(n) = S n (16)





Analiza napona


Ko²ijeve jedna£ine izvedene su posmatraju¢i ravnoteºu sila u∞maloj okolini ta£ke u telu, izdvajanjem elementarnog tetraedra

Na osnovu homogenosti napona u ∞ maloj okolini ta£ke,naponi na stranicama tetraedra u okolini ta£ke, jednaki sunaponima u paralelnim prese£nim ravnima u samoj ta£ki

Na osnovu Ko²ijevih jedna£ina mogu da se odrede komponentevektora napona za proizvoljnu prese£nu ravan u ta£ki, ako supoznati komponentalni naponi u ta£ki (t.j. ako je poznattenzor napona u ta£ki)





Analiza napona


Izdvajanje tetraedra iz napregnutog tela: tri stranice su || sakoordinatnim ravnima, a £etvrta je "kosa"

Na stranicama izdvojenog tetraedra deluju sile veze - naponi

Sile koje deluju na izdvojen tetraedar nalaze se u ravnoteºiUslovi ravnoteºe:

- ~MR = 0 ⇒ Stav o konjugovanosti napona

~n2 · ~ρ (1) = ~n1 · ~ρ (2)

- ~FR = 0 ⇒ Ko²ijeve jedna£ine

ρ(n) = S n





Analiza napona


Prema tome, stanje napona u ta£ki u potpunosti je odre�enoako je poznat tenzor napona u toj ta£ki

Kada su odre�ene projekcije vektora napona ρ(n) na pravcekoordinatnih osa, dakle, kada su odre�eni skalari ρ(n)

x , ρ(n)y i

ρ(n)z , intenzitet vektora napona ~ρ (n) odre�uje se na standardan

na£in (kao i za svaki vektor u 3D):

|~ρ (n)| = ρ(n) =

√(ρ

(n)x

)2+(ρ

(n)y

)2+(ρ

(n)z

)2





Analiza napona


Pravac vektora napona odre�en je kosinusima uglova izme�upravca vektora i koordinatnih osa:

cosαn = cos(~ρ (n),~ı) =ρ

(n)x

ρ(n)

cosβn = cos(~ρ (n),~) =ρ

(n)y

ρ(n)

cos γn = cos(~ρ (n),~k) =ρ

(n)z

ρ(n)





Sadrºaj








Analiza napona

Navijeove jedna£ine ravnoteºe

Iz napregnutog tela koje miruje izdvaja se elementarna kockastranica dx dy dzNa izdvojenu elementarnu kocku deluju slede¢e sile:

- unutar zapremine kocke . . . zapreminske sile- na stanicama kocke . . . povr²inske sile (naponi)

Na stranicama kocke x = 0, y = 0 i z = 0 deluju odgovaraju¢ikomponentalni naponi

Na stranicama dx, dy i dz deluju isti ti naponi, ali saodgovaraju¢im prira²tajima prvog reda





Analiza napona


Na primer, u pravcu ose y (dakle na stanicama y = 0 iy = dy) deluju vektori napona

−~ρ (y), ~ρ (y) +∂~ρ (y)

∂ydy

a sli£no je i na ostalim paralelnim stranicama elementarnekocke

Kako su vektori napona zavisni od poloºaja ta£ke gde seodre�uje napon, to se funkcija vektora napona ~ρ (y)(x, y, z)razvija u odgovaraju¢i Taylor-ov red i zadrºavaju se samo£lanovi prvog stepena





Izdvojena elementarna kocka





Izdvojena elementarna kocka





Analiza napona


Postavljaju se uslovi ravnoteºe sila koje deluju na elementarnukocku u obliku ~FR = 0

Uslov ravnoteºe∑Fx = 0 glasi(

σx +∂σx∂x

dx

)dydz − σxdydz+(

τyx +∂τyx∂y

dy

)dzdx− τyxdzdx+(

τzx +∂τzx∂z

dz

)dxdy − τzxdxdy + fx dxdydz = 0





Analiza napona


Posle skra¢ivanja i sre�ivanja, dobija se jedna£ina

∂σx∂x

+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

+ fx = 0

Postavljaju¢i uslove ravnoteºe sila za druga dva pravca, y i z,dobijaju se sli£ne jedna£ine

Na taj na£in se dobija sistem od tri parcijalne diferencijalnejedna£ine u kojima su date veze izme�u komponentalnihnapona i zapreminskih sila

Ovaj sistem se naziva Navijeove jedna£ine ravnoteºe (Navier)napregnutog tela





Analiza napona


Navijeove jedna£ine ravnoteºe glase

∂σx∂x

+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

+ fx = 0

∂τxy∂x

+∂σy∂y

+∂τzy∂z

+ fy = 0

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σz∂z

+ fz = 0

(17)





Analiza napona


Imaju¢i u vidu simetriju tenzora napona, Navijeove jedna£ineravnoteºe glase tako�e i u obliku

∂σx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

+ fx = 0

∂τyx∂x

+∂σy∂y

+∂τyz∂z

+ fy = 0

∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂σz∂z

+ fz = 0

(18)





Analiza napona

Normalni napon σn i smi£u¢i naponi τn` i τnm

Ko²ijevim jedna£inama odre�en je vektor napona ~ρ (n) zaproizvoljnu prese£nu ravan sa spolja²njom normalom ~n, kada jepoznat tenzor napona u posmatranoj ta£ki

Sa odre�enim vektorom napona ~ρ (n) od interesa je da seodredi odgovaraju¢i normalni napon σnTako�e je od interesa i da se odredi ukupni smi£u¢i napon uravni sa normalom ~n, kao i komponentalni smi£u¢i naponi uravni ~n, razloºeni na dva izabrana ortogonalna pravca u ravni ~̀

i ~m: smi£u¢i naponi τn` i τnm





Analiza napona


Dakle, sa odre�enim vektorom napona ~ρ (n) potrebno je da seizvr²i razlaganje

~ρ (n) = σn ~n+ τn` ~̀+ τnm ~m

gde su ~̀ i ~m dva izabrana ortogonalna pravca u ravni ~n

Normalni napon σn dat je sa

σn = ~ρ (n) · ~n = ρ(n)x nx + ρ(n)

y ny + ρ(n)z nz





Analiza napona

Normalni napon σn i smi£u¢i naponi τn` i τnmUno²enjem Ko²ijevih jedna£ina (15) u izraz za normalni naponσn, dobija se

σn = (σxnx + τxyny + τxznz)nx

+ (τyxnx + σyny + τyznz)ny

+ (τzxnx + τzyny + σznz)nz

(19)

Posle sre�ivanja, dobija se kona£an izraz za normalni naponσn:

σn = σx n2x + σy n

2y + σz n

2z

+ 2(τxy nxny + τyz nynz + τzx nznx)(20)





Analiza napona

Normalni napon σn i smi£u¢i naponi τn` i τnmNa sli£an na£in moºe da se odredi ukupan smi£u¢i napon τ uravni sa normalom ~n, projektovanjem vektora napona ~ρ (n) najedini£ni vektor ~s u ravni:

τ = ~ρ (n) · ~s = ρ(n)x sx + ρ(n)

y sy + ρ(n)z sz

Vektor ukupnog smi£u¢eg napona ~τ dat je sa

~τ = τ ~s

Na sli£an na£in se odre�uju i komponente ukupnog smi£u¢egnapona u ravni sa normalom ~n na dva me�usobno ortogonalnajedini£na vektora u ravni ~̀ i ~m





Analiza napona


Ako su koordinate orta ~̀ date sa ~̀= {`x, `y, `z}, onda sedobija slede¢i izraz za smi£u¢i napon τn`:

τn` = σx nx `x + σy ny `y + σz nz `z

+ τxy (nx `y + ny `x)

+ τyz (ny `z + nz `y)

+ τzx (nz `x + nx `z)

(21)

Analogni izraz dobija se i za smi£u¢i napon τnm





Analiza napona

Normalni napon σn i smi£u¢i naponi τn` i τnmMatri£ni prikaz ovih relacija je pogodniji

Neka je S matrica tenzora napona u ta£ki P i ako je njedini£ni vektor normale neke izabrane prese£ne ravni u ta£ki P,a s, ` i m jedini£ni vektori u toj ravni:

s =

sxsysz

` =

`x`y`z

m =

mx

my

mz





Analiza napona

Normalni napon σn i smi£u¢i naponi τn` i τnmNormalni napon σn, dat sa (20), prikazuje se u matri£nomobliku kao

σn = nTS n (22)

Ukupni smi£u¢i napon u ravni dat je sa

τ = nTS s

dok su smi£u¢i naponi τn` i τnm dati sa

τn` = nTS ` τnm = nTSm (23)





Sadrºaj








Analiza napona

Grani£ni povr²inski uslovi

Na nekom delu povr²ine tela moºe da deluje zadato povr²inskooptere¢enje ~p (n)

Iz tela se izdvoji elementarni tetraedar tako da su tri straniceparalelne sa koordinatnim ravnima, a £etrvrta je deo povr²inetela na kome deluje optere¢enje ~p (n)

Neka je spolja²nja normala osnove tetraedra koja je na povr²initela data sa ~n = {nx, ny, ny} ili ~n = {cosα, cosβ, cos γ}





Izdvojen elementarni tetraedar na povr²ini tela





Analiza napona


Ako je veli£ina kose povr²ine jednaka dF , onda su povr²ineostale tri stranice tetraedra jednake dF cosα, dF cosβ idF cos γ.

U skladu sa Osnovnom hipotezom Otpornosti materijala, silekoje deluju na izdvojeni elementarni tetraedar moraju da buduu ravnoteºi

Postavljaju¢i uslov ravnoteºe da je glavni vektor sila jednaknuli, ~FR = 0, dobija se jedna£ina (kao i kod izvo�enjaKo²ijevih jedna£ina)

~p (n) = ~ρ (x) cosα+ ~ρ (y) cosβ + ~ρ (z) cos γ





Analiza napona


Skalarni oblik jedna£ina ravnoteºe dat je u obliku

p(n)x = σx nx + τxy ny + τxz nz

p(n)y = τyx nx + σy ny + τyz nz

p(n)z = τzx nx + τzy ny + σz nz

(24)

U matri£nom obliku povr²inski grani£ni uslovi glase

p = STn ili p = S n (25)

(zbog simetrije tenzora napona)





Analiza napona


Jedna£ine (24) ili (25) su Ko²ijevi povr²inski uslovi

U jedna£inama (24) ili (25), poznate su povr²inske sile, anaponi u ∞ maloj okolini povr²ine moraju da zadovolje tegrani£ne uslove

Tri diferencijalne Navijeove jedna£ine ravnoteºe (18) i grani£niuslovi (24) nisu dovoljni da bi se odredilo stanje napona uta£kama tela, jer je potrebno da se odredi ²est komponentinapona

Odre�ivanje stanja napona u ta£kama tela je, u op²temslu£aju, stati£ki neodre�en problem





Analiza napona

Promena napona pri rotaciji koordinatnog sistema

U ta£ki P napregnutog tela poznat je tenzor napona koji jeizraºen u odnosu na izabran (prvobitni) koordinatni sistem xyz

�esto je potrebno da se tenzor napona izrazi u odnosu na nekidrugi koordinatni sistem x′y′z′, koji je rotiran u odnosu nasistem xyz

Veza izme�u novog i prvobitnog koordinatnog sistema data jesa matricom rotacije A = [aij ] (i, j = 1, 2, 3)

Elementi matrice rotacije £esto se izraºavaju preko Ojlerovihuglova





Analiza napona


Neka su jedini£ni bazni vektori prvobitnog i rotiranogkoordinatnog sistema dati sa e i e′:

e =

~ı~~k

e′ =

~ı ′

~ ′

~k ′

Veza izme�u jedini£nih baznih vektora data je preko matricerotacije:

e′ = Ae ⇔ e = A−1 e′





Analiza napona


Ako je S tenzor napona izraºen u odnosu na sistem xyz, a S′

tenzor napona izraºen u odnosu na rotiran koordinatni sistemx′y′z′, onda je zakon transformacije tenzora napona iz jednogu drugi sistem dat sa

S′ = ASAT S = ATS′A (26)

Matrica rotacije A je ortogonalna matrica, tako da je

AT = A−1

(transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici)





Analiza napona

Prostorno, ravno i linearno stanje napona

Vektori napona za sve mogu¢e prese£ne ravni kroz datu ta£kuobrazuju, u op²tem slu£aju, jedan prostorni skup vektora

Zbog toga se najop²tije stanje napona naziva prostorno sanjenapona

U nekim slu£ajevima je mogu¢e da vektori napona za sveprese£ne ravni u ta£ki leºe u jednoj ravni

Takvo sanje napona naziva se ravno sanje napona

U nekim slu£ajevima vektori napona za sve prese£ne ravni udatoj ta£ki mogu da imaju isti pravac

Takvo stanje napona naziva se linearno stanje napona





Analiza napona - Linearno stanje napona


Stanje napona u nekoj ta£ki je LINEARNO ako naponi za bilokoju prese£nu ravan imaju isti pravac (kolinearni su)

Potrebni i dovoljni uslovi da su naponi ~ρ (x), ~ρ (y) i ~ρ (z)

kolinearni dat je sa

~ρ (y) = λ~ρ (x) ~ρ (z) = µ~ρ (x) (27)

gde su λ i µ proizvoljni skalari

Posmatra se relacija (11) za vektor napona za proizvolnjuravan sa normalom ~n kroz ta£ku P:

~ρ (n) = ~ρ (x) nx + ~ρ (y) ny + ~ρ (z) nz (28)







Imaju¢i u vidu kolinearnost (27), vektor napona za proizvolnjuravan sa normalom ~n kroz ta£ku P dobija se u obliku:

~ρ (n) = ~ρ (x) nx + ~ρ (y) ny + ~ρ (z) nz

= (nx + λny + µnz) ~ρ(x)

= ν ~ρ (x)

(29)

Drugim re£ima, ako su vektori napona za koordinatne ravnime�usobno kolinearni, onda je i vektor napona za bilo kojuprese£nu ravan kolinearan sa njima

Prema tome, stanje napona u ta£ki je LINEARNO







Za pravac ose x sistema xyz usvaja se pravac u kome delujume�usobno kolinearni naponi

Vektor napona ~ρ (x), u ravni £ija je normala osa x, deluje upravcu ose x

Komponente vektora napona ~ρ (x) date su sa

~ρ (x) = {σx, 0, 0}

Projekcije vektora napona ~ρ (x) na pravac normale ~m bilo kojeprese£ne ravni π1 koja prolazi kroz osu x jednake su nuli(~ρ (x)⊥~m)

(ako ravan π1 sadrºi osu x, onda je vektor normale na ravanupravan na osu x: ~m⊥~ı)







Na osnovu Osnovnog stava analize napona (~ρ (1)~n2 = ~ρ (2)~n1 )vektor napona ~ρ (m) ne moºe da ima komponentu koja je upravcu ose x

Kako je pretpostavljeno da je stanje napona u ta£ki P linearno,to vektor napona ~ρ (m) ne moºe da ima ni komponentu koja jeupravna na osu x, dakle vektor ~ρ (m) = 0

Prema tome, sve ravne koje prolaze kroz osu x sunenapregnute

To zna£i i da su vektri napona ~ρ (y) i ~ρ (z) jednaki nuli





Linearno stanje napona: nenapregnute ravni







Drugim re£ima, za linearno stanje napona i za ovako usvojenkoordinatni sistem (~ρ (x) = {σx, 0, 0}), stanje naponaodre�eno je samo sa jednim skalarom σx

U tenzoru napona svi elementi tenzora, osim σx, jednaki su nuli

S =

σx 0 00 0 00 0 0







Kako vektor napona za proizvoljnu prese£nu ravan sanormalom ~n, za linearno satanje napona ima pravac ose x, toje |~ρ (n)| = ρ

(n)x , a prema Ko²ijevim jedna£inama (15) sledi

|~ρ (n)| = ρn = σx nx

Imaju¢i ovo u vidu, izraz za normalni napon σn (20) zaproizvoljnu prese£nu ravan sa normalom ~n 6=~ı dat je sa

σn = ρ(n)x nx = σx n

2x = σx cos2 α (30)

gde je nx kosinus ugla α izme�u ortova vektora normala ~n i ~ı







Totalni smi£u¢i napona za ravan sa normalom ~n, τn, u op²temslu£aju dat je sa relacijom

τn =√ρ2n − σ2

n

U slu£aju linearnog stanja napona dobija se

τn = σx cosα sinα (31)

gde je α = ∠(x, n)





Analiza napona - Ravno stanje napona


Ako svi vektori napona u nekoj ta£ki pripadaju jednoj ravni,stanje napona je RAVNO

Potreban i dovoljan uslov za ravno stanje napona je da suvektori napona ~ρ (x), ~ρ (y) i ~ρ (z) komplanarni

Ako vektori napona ~ρ (x) i ~ρ (y) nisu kolinearni, uslovkomplanarnosti dat je sa

~ρ (z) = λ ~ρ (y) + µ ~ρ (y) (32)







Alternativno, uslov komplanarnosti vektora napona za trikoordinatne ravni dat je i u obliku uslova da je me²ovitiproizvod tih vektora jednak nuli:

~ρ (x) · (~ρ (y) × ~ρ (z)) = [~ρ (x) ~ρ (y) ~ρ (z)] = 0 (33)

Najzad, uslov kompatibilnosti moºe da se prikaºe i uslovom daje determinanta matrice (tenzora) napona jednaka nuli:

detS =

∣∣∣∣∣∣σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

∣∣∣∣∣∣ = 0 (34)







Ako se u Ko²ijeve jedna£ine (11) unese uslov komplanarnosti(32), dobija se

~ρ (n) = ~ρ (x) nx + ~ρ (y) ny + ~ρ (z) nz

= (nx + λnz) ~ρ(x) + (ny + µnz) ~ρ

(y)(35)

Dakle, vektor napona za proizvoljnu prese£nu ravan sanormalom ~n tako�e je komplanaran sa vektorima napona zakoordinatne ravni x i y

Drugim re£ima, vektori napona za sve prese£ne ravni u ta£ki ukojoj vlada ravno stanje napona me�usobno su komplanarni







Usvaja se da je ravan sa kojom su svi vektori naponakomplanarni ravan xy sistema xyz

Kako je stanje napona ravno, to su projekcije vektora napona~ρ (x) i ~ρ (y) na pravac ose z jednake nuli:

τxz = 0 i τyz = 0

Tako�e, na osnovu stava o konjugovanosti smi£u¢ih napona (ilina osnovu simetrije tenzora napona) sledi i da je

τzx = 0 i τzy = 0







Vektor napona ~ρ (z) nema komponentu u pravcu ose z, jer je upitanju ravno stanje napona u ravni xy, tako da je σz = 0

Zna£i, sve tri komponente vektora napona ~ρ (z) jednake sunuli, odn. napon ~ρ (z) je jednak nuli

Ravno stanje napona (u ravni xy) odre�eno je sa dva vektoranapona u xy ravni, dakle sa 4 skalara (4 koordinate 2 vektorau ravni)

Me�utim, zbog stava o konjugovanosti smi£u¢ih napona vaºi

τxy = τyx = τ

tako da su samo tri komponenete napona nezavisne







Tenzor napona za ravno stanje napona ima oblik

S =

[σx ττ σy

](36)

Ko²ijeve jedna£ine za slu£aj ravnog stanja napona imaju oblik

ρ (n)x = σx cosα+ τ cosβ

ρ (n)y = τ cosα+ σy cosβ

(37)

gde je vektor normale za proizvoljnu ravan dat sa

~n = {nx, ny} = {cosα, cosβ}







Relacijama (37) date su koordinate vektora napona ~ρ (n) zaproizvoljnu "kosu" ravan u odnosu na ose x i y

Od interesa su vi²e normalni napon σn i smi£u¢i napon τn zatu kosu ravan nego komponentalni naponi

Dobijaju se izrazi:

σn = σx cos2 α+ σy cos2 β + 2τ cosα cosβ

τn = σx cosα cosα1 + σy cosβ cosβ1

+ τ(cosα cosβ1 + cosβ cosα1)

(38)





Ravno stanje napona: naponi σn i τn


Documents

OTPORNOST MATERIJALA 2 - Osnovne akademske studije, III … · 2019. 3. 18. · Otprnosto materijala 2 Analiza napona Ko²ijeve jedna£ine OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske