P ldora de Espacios de Hilbert - UIS

Pıldora de Espacios de Hilbert

L. A. NunezGrupo de Investigacion en Relatividad y Gravitacion

Escuela de Fısica, Facultad de Ciencias,Universidad Industrial de Santander, Santander, Colombia

17 de abril de 2013

Indice

1. Espacios Vectoriales Lineales 2

2. Producto Interno y Espacios de Hilbert 52.1. Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. La desigualdad de Cauchy Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Dependencia, independencia lineal 9

4. Bases de un Espacio Vectorial 104.1. Ortogonalidad y Bases Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Ortogonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. Calentamiento con los Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Series y transformadas de Fourier 18

6. Condiciones de Dirichlet 22

7. Algunos ejemplos de expansiones en series de Fourier 237.1. Ondas Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2. Variedades de dientes de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8. Ejercicios 27

1

Pıldora de Espacios de Hilbert Abril 2013

1. Espacios Vectoriales Lineales

Sea el conjunto de objetos V = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vi〉 · · · } se denominara V un espaciovectorial lineal y sus elementos |vi〉 vectores, si existe definida una operacion suma, �,respecto a la cual los elementos |vi〉 ∈ V de forman un grupo abeliano y una operacionmultiplicacion por un numero escalar de un campo, K = {α, β, γ · · · } tal que:

1. La operacion suma � es cerrada en V : ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vk〉 = |vi〉� |vj〉 ∈ V

2. La operacion suma � es conmutativa y asociativa

a) ∀ |vi〉 , |vj〉 ∈ V⇒|vi〉� |vj〉 = |vj〉� |vi〉b) ∀ |vi〉 , |vj〉 , |vk〉 ∈ V⇒ (|vi〉� |vj〉)� |vk〉 = |vj〉� (|vi〉� |vk〉)

3. Existe un unico elemento neutro: ∃! |0〉 3 |0〉�|vj〉 = |vj〉�|0〉 = |vj〉 ∀ |vj〉 ∈ V

4. Existe un elemento simetrico para cada elemento de V :∀ |vj〉 ∈ V ∃ |−vj〉 3 |vj〉� |−vj〉 = |0〉

5. α (β |vi〉) = (αβ) |vi〉

6. (α + β) |vi〉 = α |vi〉+ β |vi〉

7. α (|vi〉� |vj〉) = α |vi〉� α |vj〉

8. 1 |vi〉 = |vi〉

Es inmediato notar que podemos definir subespacios vectoriales dentro de los espaciosvectoriales. Ellos seran aquellos conjuntos de vectores que cumplan con los requisitos ante-riores pero ademas sean cerrado dentro de los esos mismos conjuntos de vectores.

Ejemplos

Seran ejemplos de espacios vectoriales

1. Los numeros reales y complejos con el campo de reales o complejos y definidas lasoperaciones ordinarias de suma y multiplicacion. V ≡ R; �⇒ +; |v〉 ≡ x; K ≡R.V ≡ C; � ≡ +; |vi〉 ≡ x+ iy; K ≡ R.Si el campo K es el conjunto de los numeros reales se dira que es un espacio vectorialreal de numeros reales si V ≡ R y si V ≡ C se dira un espacio vectorial realde numeros complejos. Por su parte si K ≡ C diremos que es un espacio vectorialcomplejo de numeros reales ( si V ≡ R) o complejos ( V ≡ C ). Siempre se

Luis A. Nunez 2 Universidad Industrial de Santander


asociara el campo de escalares al espacio vectorial. Se dira que es un espacio vectorialsobre el campo de los escales. Si el campo es real (complejo) se dira que el espaciovectorial es real (complejo).

2. El espacio V ≡ Rn = R × R × · · · × R, vale decir el producto cartesiano de R, cuyoselementos son n−uplas de numeros, con la operacion suma ordinaria de vectores enn-dimensionales y la multiplicacion por escalares.

|x〉 = (x1, x2, x3, · · ·xn) ∧ |y〉 = (y1, y2, y3, · · · , yn)

|x〉� |y〉 ≡ (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, · · · xn + yn)

α |x〉 = (αx1, αx2, αx3, · · ·αxn)

Este espacio vectorial es de dimension finita. Igualmente, sera espacio vectorial Cn = C×C× · · · ×C para el cual los elementos xi ∈ C. Si para este caso el campo sobre el cualse define el espacio vectorial Cn es real, tendremos un espacio vectorial real de nume-ros complejos. Es obvio que el caso V ≡ R para el cual |x〉1 = (x1, 0, 0, · · · , 0) y|y〉1 = (y1, 0, 0, · · · , 0) o cualquier espacio de vectores formados por las componen-tes, i.e. |x〉i = (0, 0, 0, · · · , xi, · · · 0) y |y〉i = (0, 0, 0, · · · , yi, · · · 0) formaran subespaciosvectoriales dentro de Rn

3. El espacio E∞ constituido por vectores |x〉 = (x1, x2, x3, · · ·xn, · · · ) contables pero coninfinitas componentes.

|x〉 = (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) ∧ |y〉 = (y1, y2, y3, · · · , yn, · · · )|x〉� |y〉 ≡ (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, · · · , xn + yn, · · · )

α |x〉 = (αx1, αx2, αx3, · · · , αxn, · · · )

con la restriccion que

lımn→∞

n∑k=1

xi = L con L finito

4. Para el conjunto de la matrices n×n reales o complejas con el campo K real o complejo.

|x〉 = Mab ∧ |y〉 = Nab

|x〉� |y〉 ≡Mab +Nab = (M +N)abα |x〉 = αMab = (αM)ab

Es tambien obvio que se podran formar subespacios vectoriales cuyos elementos seanmatrices de dimension menor a n× n



5. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales P = {ao, a1x, a2x2, · · · , anxn, · · · }con � la suma ordinaria entre polinomios y la multiplicacion ordinaria de polinomioscon escalares

6. Espacios Funcionales (de los cuales lo polinomios son un caso particular) En estosespacios los vectores seran funciones, la suma sera la suma ordinaria entre funciones yla multiplicacion por un escalar tambien sera la multiplicacion ordinaria de una funcionpor un elemento de un campo

|f〉 = f (x) ∧ |g〉 = g (x)

|f〉� |g〉 ≡ f (x) + g (x) ≡ (f + g) (x)

α |f〉 = (αf) (x) ≡ αf (x)

Con este esquema vemos otros ejemplos

a) El conjunto de todas las funciones continuas e infinitamente diferenciables, defi-nidas en el intervalo [a, b] : C∞[a,b]

b) El conjunto de todas las funciones complejas de variable real, ψ (x) , definidas en[a, b] , de cuadrado integrable (es decir para las cuales

∫[a,b]

dx ‖ψ (x)‖2 sea finita).

Este espacio se denomina comunmente L2 y pueden ser definidas en un rango[a, b] finito o infinito y para mas de una variable.

La importancia de la conceptualizacion y la notacion

En los ejemplos antes mencionados hemos utilizado para representar un vector abs-tracto la notacion de |v1〉 y con ellos construimos un espacio vectorial abstracto V ={|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉} . Un espacio vectorial abstracto sera un conjunto de elementosgenericos que satisfacen ciertos axiomas. Dependiendo del conjunto de axiomas tendremosdistintos tipos de espacios abstractos. En matematica el concepto de espacios abstracto esreciente (1928) y, aparentemente, se le debe a Maurice Frechet1. La teorıa resulta de desa-rrollar las consecuencias logicas que resultan de esos axiomas. Los elementos de esos espaciosse dejan sin especificar a proposito. Ese vector abstracto puede representar, vectores en Rn,matrices n×n o funciones continuas. La notacion |v1〉, que se denomina un ket y al cual co-rresponde un bra 〈v2| proviene del vocablo ingles braket que significa corchete y sera evidentemas adelante cuando construyamos escalares braket 〈v2| |v1〉 . Esta util notacion la ideo PaulDirac2, uno de los fısicos mas influyentes en el desarrollo de la fısica del siglo pasado

1MAURICE FReCHET (1878 Maligny, Yonne, Bourgogne-1973 Parıs, Francia). Versatil MatematicoFrances, con importantes contribuciones en Espacios Metricos, Topologıa y creador del concepto de espaciosabstractos.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/2PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC (1902 Bristol, Inglaterra 1984-Tallahassee, EE.UU) Ademas de

contribuir de manera determinante en la comprension de la Mecanica Cuantica, es uno de los creadores de


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/


2. Producto Interno y Espacios de Hilbert

El siguiente paso en la construccion de espacios vectoriales mas ricos es equiparlo con ladefinicion de producto interno y a partir de esta definicion construir el concepto de normay con este el de distancia. La idea de producto interno generaliza el concepto de productoescalar de vectores en R3 en incorpora a los espacios vectoriales abstractos el concepto deortogonalidad y descomposicion ortogonal. Historicamente, la teorıa de espacios vectorialescon producto interno es anterior a la teorıa de espacios metricos y espacios de Banach y sele debe a D. Hilbert3. En su honor, los espacios vectoriales abstractos dotados de productointerno se denominan espacios de Hilbert. Adicionalmente, la semejanza entre la geometrıaeuclidiana y la geometrica de Rn ha hecho que espacios en los cuales de puedan definir,distancia, angulos, a partir de una definicion de producto interno, de denominen tambienespacio Euclidianos.

2.1. Producto Interno

En un espacio vectorial abstracto V = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vn〉} la definicion del pro-ducto interno de dos vectores se denota como 〈vi| vj〉 y es una funcion deV ×V→ C 3 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ V, es decir asocia a ese par de vectores con un elementodel campo escalar. Las propiedades que definen el producto interno son

1. 〈x| x〉 ∈R ∧ 〈x| x〉 ≥ 0 ∀ |x〉 ∈ V si 〈x| x〉 = 0⇒ |x〉 ≡ |0〉

2. 〈x| y〉 = 〈y| x〉∗ ∀ |x〉 , |y〉 ∈ V

3. 〈x| y + z〉 = 〈x| y〉+ 〈x| z〉 ∧ 〈x + z| y〉 = 〈x| y〉+ 〈z| y〉 ∀ |x〉 , |y〉 , |z〉 ∈ V

4. 〈x| αy〉 = α 〈x| y〉 ∧ 〈αx| y〉 = α∗ 〈x| y〉 ∀ |x〉 , |y〉 ∈ V ∧ α ∈ K

5. 〈x| 0〉 = 〈0| x〉 = 0

A partir de la definicion de producto interno se construyen los conceptos de norma ydistancia

‖|x〉‖ =√〈x| x〉 y d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ =

√〈x− y| x− y〉

la Mecanica Cuantica Relativista la cual ayudo a comprender el papel que juega el espın en las partıculassubatomicas. Por sus importantes trabajos compartio con Erwin Schrodinger el Premio Nobel de fısica en1933.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/3David Hilbert (1862 Kaliningrad, Rusia-1943 Gottingen, Alemania) Matematico aleman defensor de la

axiomatica como enfoque primordial de los problemas cientıficos. Hizo importantes contribuciones en distintasareas de la matematica, como invariantes, campos de numeros algebraicos, analisi funcional, ecuacionesintegrales, fısica matematicam y calculo en variaciones.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/





2.2. La desigualdad de Cauchy Schwarz

Todo producto interno 〈x| y〉 definido en un espacio vectorial abstracto V = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · |vn〉}cumple con la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|〈x| y〉|2 ≤ 〈x| x〉〈y| y〉 ⇐⇒ |〈x| y〉| ≤ ‖|x〉‖ ‖|y〉‖

Es claro que |x〉 = |0〉 ∧ |y〉 = |0〉 se cumple la igualdad y es trivial la afirmacion.Para |x〉 ∧ |y〉 cualesquiera procedemos construyendo |z〉 = α |x〉+ β |y〉 con |x〉 ∧ |y〉arbitrarios pero α y β tendran valores particulares, por lo tanto

〈z| z〉 ≡ 〈αx + βy| αx + βy〉 ≥ 0

〈αx + βy| αx + βy〉 = 〈αx| αx〉+ 〈αx| βy〉+ 〈βy| αx〉+ 〈βy| βy〉 ≥ 0

〈αx + βy| αx + βy〉 = |α|2 〈x| x〉+ α∗β 〈x| y〉+ β∗α 〈y| x〉+ |β|2 〈y| y〉 ≥ 0

si α = 〈y| y〉 se tiene que

〈y| y〉〈x| x〉+ β 〈x| y〉+ β∗ 〈y| x〉+ |β|2 ≥ 0

seguidamente seleccionamos β = −〈x| y〉 y por lo tanto β∗ = −〈y| x〉 y consecuentemente

〈y| y〉〈x| x〉 ≥ 〈x| y〉〈y| x〉 = |〈x| y〉|2

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la definicion de norma se desprende que

|〈x| y〉|2

‖|x〉‖2 ‖|y〉‖2≤ 1 ⇒ −1 ≤ |〈x| y〉|

‖|x〉‖ ‖|y〉‖≤ 1

por lo tanto podemos definir el “angulo” entre los vectores abstractos |x〉 ∧ |y〉 como

cos Θ =|〈x| y〉|‖|x〉‖ ‖|y〉‖

Mas aun, a partir de la definicion de norma se obtiene

‖|x〉+ |y〉‖2 = 〈x + y| x + y〉 = 〈x| x〉+〈x| y〉+〈x| y〉∗+〈y| y〉 = 〈x| x〉+2 Re (〈x| y〉)+〈y| y〉

con lo cual hemos generalizado para un espacio vectorial abstracto el teorema del coseno

‖|x〉+ |y〉‖2 = ‖|x〉‖2 + ‖|y〉‖2 + 2 ‖|x〉‖ ‖|y〉‖ cos Θ

y para el caso que los vectores |x〉 ∧ |y〉 sean ortogonales, esto es 〈x| y〉 = 0, tendremosel teorema de Pitagoras generalizado

‖|x〉+ |y〉‖2 = ‖|x〉‖2 + ‖|y〉‖2



Ejemplos

1. Espacios Euclidianos reales, Rn y Espacios Euclidianos Complejos Cn. Los vectoresde estos espacios pueden ser representados por |x〉 = (x1, x2, · · · xn) ∧ |y〉 =(y1, y2, · · · , yn) y el producto interno queda definido por

〈x| y〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3, · · · xnyn =n∑i=1

xiyi

es claro que esta definicion de producto interno coincide, para R2 y R3 con la idea deproducto escalar convencional, vale decir∣∣∣∣∣∣

axı+ ay + azk

bxı+ by + bzk

⇒ ~a ·~b = axbx + ayby + azbz

ahora bien, el lector puede comprobar que para vectores en R2 tambien se puede proveeruna definicion de producto interno

~a~~b = 2axbx + axby + aybx + ayby

igualmente valida, con lo cual es claro que en un mismo espacio vectorial puedencoexistir. Por su parte la norma

‖|x〉‖ =√〈x| x〉 =

√x21 + x22 + x23, · · ·+ x2n =

√√√√ n∑i=1

x2i

La distancia tambien recupera la idea intuitiva de distancia euclidiana

d (|x〉 , |y〉) ≡ ‖|x〉 − |y〉‖ =√〈x− y| x− y〉

d (|x〉 , |y〉) =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 + · · ·+ (xn − yn)2

El teorema del coseno queda como

n∑i=1

(xi + yi)2 =

n∑i=1

x2i +n∑i=1

y2i + 2

√√√√ n∑i=1

x2i

√√√√ n∑i=1

y2i

cos Θ

mientras que Pitagoras, queda como

n∑i=1

(xi + yi)2 =

n∑i=1

x2i +n∑i=1

y2i



obvio que para R2 tanto el teorema del coseno como el teorema de Pitagoras retomansu forma tradicional. Finalmente la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa

|〈x| y〉| ≤ ‖|x〉‖ ‖|y〉‖ ⇒

∣∣∣∣∣n∑i=1

xiyi

∣∣∣∣∣2

≤

(n∑i=1

x2i

)(n∑i=1

y2i

)

2. Para los Espacios de Funciones continuas C∞[a,b] una posible definicion de productointerno serıa

〈f | g〉 =

∫t∈[a,b]

dx f ∗ (x) g (x)

de la cual se deriva la expresion para la norma

‖|f〉‖2 = 〈f | f〉 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2

la distancia entre funciones quedara definida como

d (|f〉 , |g〉) ≡ ‖|f〉 − |g〉‖ ≡√〈f − g| f − g〉 =

√〈f | f〉 − 〈f | g〉 − 〈f | g〉∗ + 〈g| g〉

d (|f〉 , |g〉) =

√∫t∈[a,b]

dx |f (x)− g (x)|2 ⇒

d (|f〉 , |g〉) =

√∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 − 2 Re

(∫t∈[a,b]

dx f ∗ (x) g (x)

)+

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2

Los teoremas del coseno puede ser escrito como∫t∈[a,b]

dx |f (x) + g (x)|2 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 +

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2

+ 2

(∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2) 1

2(∫

t∈[a,b]dx |g (x)|2

) 12

cos Θ

donde

cos Θ =

∫t∈[a,b] dx f

∗ (x) g (x)(∫t∈[a,b] dx |f (x)|2

) 12(∫

t∈[a,b] dx |g (x)|2) 1

2

y como era de esperarse el teorema de Pitagoras queda∫t∈[a,b]

dx |f (x) + g (x)|2 =

∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2 +

∫t∈[a,b]

dx |g (x)|2



para funciones f (x) y g (x) ortogonales, mientras que para este caso, la desigualdadde Cauchy-Schwarz se expresa∣∣∣∣∫

t∈[a,b]dx f ∗ (x) g (x)

∣∣∣∣2 ≤ (∫t∈[a,b]

dx |f (x)|2)(∫

t∈[a,b]dx |g (x)|2

)

3. Dependencia, independencia lineal

Siguiendo la misma lınea de razonamiento generalizamos el concepto de dependencia eindependencia lineal de R2 y R3. Ası

|0〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn |vn〉 =n∑i=1

Ci |vi〉 ,

Podemos afirmar que

Si esta ecuacion se cumple para algun conjunto de {Ci} no nulos, se dira que el conjuntode vectores correspondiente {|vi〉} son linealmente dependientes.

por el contrario, si esta ecuacion solo puede ser satisfecha para todos los Ci = 0,entonces se dira que el conjunto de vectores correspondiente {|vi〉} son linealmenteindependientes.

Por ejemplo, dados tres vectores en R4

|v1〉 =

13−1

2

; |v2〉 =

2013

; |v3〉 =

−1

100

.

El criterio de independencia lineal se cumple si |0〉 = C1 |v1〉 + C2 |v2〉 + C3 |v3〉 y todoslos {Ci} son nulos. Esto es

C1 +2C2 −C3 = 03C1 +C3 = 0−C1 +C2 = 02C1 +3C2 = 0

de donde es claro ver que la unica solucion posible implica C1 = C2 = C3 = 0.



Ejemplos Si consideramos el espacio vectorial V = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉} seranejemplos de independencia lineal:

|vk〉 ≡ f (t) = tk para k = 1, 2, 3, · · · es claro que un polinomio de grado n + 1, nopodra ser expresado en terminos un polinomio de grado n. en otras palabras, tn+1 6=∑n

i=0 Ci ti

|vk〉 ≡ f (t) = eakt con a1, a2, a3, · · · coeficientes constantes. Tambien salta a la vistaque no podremos expresar una de esas funciones exponenciales como combinacion lineal

Si consideramos |v1〉 ≡ f (t) = cos2 t, |v2〉 = sen2 t y |v3〉 = 1 es claro que |v1〉 , |v2〉 ,y |v3〉 son linealmente dependientes por cuanto |v1〉+ |v2〉 = |v3〉 . Notese que si

|v1〉 = cos t, |v2〉 = sen t y |v3〉 = 1,

entonces |v1〉 , |v2〉 , y |v3〉 seran vectores linealmente independientes.Consideremos ahora otros ejemplos y determinemos ¿ cual o cuales de los siguientes

conjuntos de vectores en P3 son linealmente independientes ?

1. |x1〉 = 1; |x2〉 = x− 1; |x3〉 = x2; |x4〉 = x2 + 2x+ 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = 3|x1〉+2|x2〉+ |x3〉

2. |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2 + 1; |x3〉 = x+ 1; |x4〉 = x2 − 1;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = |x1〉+ |x2〉− 2|x3〉

3. |x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x; |x3〉 = x3; |x4〉 = 2x3 − x2;Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4〉 = −|x1〉+|x2〉+2|x3〉

4. Bases de un Espacio Vectorial

Ahora bien, dado un espacio vectorial V = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉}, encontramos queel conjunto de {|vn〉} es linealmente dependiente, entonces siempre es posible despejar unode los vectores en terminos de los demas, vale decir

|vn〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−1 |vn−1〉 =n−1∑i=1

Ci |vi〉 ,

seguidamente se procede a comprobar si {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−1〉} son linealmente inde-pendientes, es decir si C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−1 = 0. En caso de no serlo se procede



otra vez a despejar uno de los vectores en terminos de los anteriores y a aplicar el criteriode independencia lineal,

|vn−1〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−2 |vn−2〉 =n−2∑i=1

Ci |vi〉 ,

¿C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−1 = 0.?

se repite este procedimiento hasta encontrar un conjunto {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉} de

vectores linealmente independientes. Esto es ¡C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.! y por lotanto

|vn−j+1〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−j |vn−i〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 ,

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.?

¡C1 = C2 = C3 = · · · = Cn−j = 0.! y por lo tanto

|0〉 = C1 |v1〉+ C2 |v2〉+ C3 |v3〉 · · ·+ Cn−j |vn−j〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 ,

En este caso diremos que {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉} es una base para V. La dimensionde V sera el conjunto de vectores linealmente independientes, que para este caso es n − j.Ası se puede comprobar que, dado |x〉 ∈ V entonces

|x〉 =

n−j∑i=1

Ci |vi〉 , ∀ |x〉 ∈ V

y el conjunto {C1, C2, C3, · · ·Cn−j} es unico. Diremos que el numero mınimo de vectores,

|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn−j〉

que expanden V conforman una base de ese espacio vectorial, y que el numero finitode escalares {C1, C2, C3, · · ·Cn−j} constituyen las componentes de |x〉 relativas a la base|v1〉 , |v2〉 , · · · , |vn−j〉 . Del ejemplo anterior se puede concretar la siguiente definicion

A un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial,

B = {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉} ∈ V,

se les denominara base de ese espacio V si los |v1〉 , |v2〉 , |v3〉 · · · , |vn〉 son linealmenteindependientes y expanden V. El espacio vectorial se denominara de dimension finita sı labase es finita y de dimension infinita sı, por el contrario su base es infinita.



Es facil darse cuenta que si V lo expanden n vectores linealmente independientes, cual-quier otro vector |x〉 ∈ V sera linealmente dependiente. Igualmente facilmente demostrableque todas las bases de un espacio vectorial V,de dimension finita, tendran el mismo numerode elementos y ese numero de elemento sera la dimension del espacio.

Adicionalmente, puede ser que dentro de un espacio vectorial V se puedan encontrarsubespacios y dentro de esos subespacios un conjunto de vectores base. Vale decir ∀ |x〉 ∈ V :

|x〉 = C1 |v1〉 · · ·+ Cn−j |vn−j〉︸︷︷︸S1

+Cn−j+1 |vn−j+1〉 · · ·Cn−k |vn−k〉︸︷︷︸S2

+Cn−k+1 |vn−k+1〉 · · ·Cn |vn〉︸︷︷︸S3

Entonces |x〉 = |x1〉 + |x2〉 + |x3〉 con |x1〉 ∈ S1; |x2〉 ∈ S2; |x3〉 ∈ S3, entonces diremosque V es la suma directa de S1,S2 y S3 y lo denotaremos como V = S1 ⊕ S2 ⊕ S3

4.1. Ortogonalidad y Bases Ortogonales

En una espacio con vectorial con producto interno, dos vectores |u1〉 ∧ |u2〉 seran ortogo-nales si su producto interno se anula

|u1〉 ⊥ |u2〉 ⇔ 〈u2 |u1〉 = 0

Se denomina un conjunto ortogonal de vectores {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉} si

〈ui |uj〉 = δij ‖|uj〉‖2 i, j = 1, 2, 3, · · · , n y con

{δij = 0 si i 6= jδij = 1 si i = j

y se denominara conjunto ortonormal si ‖|uj〉‖2 = 1.Un conjunto ortogonal de vectores {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉} ∈ V es linealmente inde-

pendiente, mas aun, para el caso particular de un espacio euclidiano, {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉}conforman una base ortogonal para V. La demostracion es sencilla. Para un determinadoespacio vectorial una combinacion lineal de los {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉} se anula.

n∑i=1

Ci |ui〉 = |0〉 ⇒

〈u1| [∑n

i=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒∑n

i=1Ci δ1i = 0 ⇒ C1 = 0〈u2| [

∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1Ci δ2i = 0 ⇒ C2 = 0

〈u3| [∑n

i=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒∑n

i=1Ci δ3i = 0 ⇒ C3 = 0...

. . ....

...〈un| [

∑ni=1 Ci |ui〉] = 0 ⇒

∑ni=1Ci δni = 0 ⇒ Cn = 0

con lo cual es claro que {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉} son linealmente independientes. Si ladimension de V, es n, dim V = n y tenemos n vectores linealmente independientes, entoncesesos n vectores {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉} forman una base ortogonal para V,y por lo tantolas componentes de un vector en esa base se pueden expresar de manera simple.

∀ |x〉 ∈ V |x〉 =n∑i=1

Ci |ui〉 ⇒ 〈uj |x〉 = 〈uj|

[n∑i=1

Ci |ui〉

]⇒ Cj =

〈uj |x〉〈uj |uj〉



En el caso de un conjunto ortonormal de vectores {|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 · · · , |en〉} ∈ Vn con‖|ej〉‖2 = 1, las componentes de cualquier vector quedan determinadas de una forma todavıamas simple y con consecuencias mucho mas impactantes

‖|ej〉‖2 = 1 ⇒ Cj = 〈ej |x〉 ⇒ |x〉 =n∑i=1

Ci |ei〉 =n∑i=1

〈ei |x〉 |ei〉 ≡

(n∑i=1

|ei〉〈ei|

)︸︷︷︸

1

|x〉

por lo tanto es bueno recalcar la relacion de cierre

n∑i=1

|ei〉〈ei| = 1

con lo cual es trivial demostrar la formula de Parseval.

∀ |x〉 |y〉 ∈ V 〈y |x〉 ≡ 〈y|

(n∑i=1

|ei〉〈ei|

)|x〉 =

n∑i=1

〈y| |ei〉〈ei| |x〉 =n∑i=1

〈y| |ei〉〈x| |ei〉∗

la cual se concreta para el caso de |x〉 ≡ |y〉 en la generalizacion del Teorema de Pitagoras

〈x |x〉 ≡ ‖|x〉‖2 =n∑i=1

|〈x| |ei〉|2

4.2. Ortogonalizacion

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman base para un espacio vec-torial. Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partirde un conjunto de vectores linealmente independientes. Es metodo de “ortogonalizacion” seconoce como el metodo de Gram-Schmidt4, en honor de estos dos matematicos alemanes queNO inventaron el metodo, el cual al parecer se le debe al matematico frances P.S. Laplace.

Dado un conjunto de vectores linealmente independientes, {|v1〉 , |v2〉 , |v3〉 , · · · , |vn〉}que expanden un espacio Euclidiano de dimension finita, En. Entonces siempre se puedeconstruir un conjunto ortogonal de vectores, {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · , |un〉} que tambien ex-pandan En de la siguiente forma:

4Erhard Schmidt (1876, Estonia-1959 Alemania). MatematicoAleman fundador del primer instituto dematematicas aplicadas de Berlın. Alumno de Hilbert, Schmidt hizo sus mayores contribuciones en EcuacionesIntegrales y Teorıa de Funciones en el Espacio de Hilbert.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians


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|u1〉 ≡ |v1〉

|u2〉 ≡ |v2〉 − 〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉 |u1〉 3 〈u2 |u1〉 = 0

|u3〉 ≡ |v3〉 − 〈v3 |u2〉〈u2 |u2〉 |u2〉 − 〈v3 |u1〉

〈u1 |u1〉 |u1〉 3{〈u3 |u1〉 = 0〈u3 |u2〉 = 0

|u4〉 ≡ |v4〉 − 〈v4 |u3〉〈u3 |u3〉 |u3〉 − 〈v4 |u2〉

〈u2 |u2〉 |u2〉 − 〈v4 |u1〉〈u1 |u1〉 |u1〉 3

〈u4 |u1〉 = 0〈u4 |u2〉 = 0〈u4 |u3〉 = 0

......

|un〉 ≡ |vn〉 −∑n−1

i=1〈vn |ui〉〈ui |ui〉 |ui〉 3

〈u4 |u1〉 = 0〈u4 |u2〉 = 0〈u4 |u3〉 = 0

...〈u4 |un−1〉 = 0

Ası siempre es posible construir una base ortonormal a partir de un conjunto de vectoreslinealmente independientes. Esta base ortogonal sera unica en En, si existe otra sus vectoresseran proporcionales, Mas aun, cada espacio vectorial Vn de dimension finita tendra unabase ortogonal asociada.

Ejemplos

El subespacio de V4 expandido por los siguientes vectores

|v1〉 =

13−1

2

; |v2〉 =

2013

; |v3〉 =

−1

100

.



Tendra una base ortogonal asociada dada por

|u1〉 ≡ |v3〉 =

−1

100

;

|u2〉 ≡ |v2〉 −〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 =

2013

− (−1)

−1

100

=

1113

|u3〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u2〉〈u2 |u2〉

|u2〉 −〈v1 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 =

|u3〉 ≡

13−1

2

− ( 9

12

)1113

− (1)

−1

100

=

54

54

−74

−14

;

y la base ortonormal asociada sera

|e1〉 =|u1〉√〈u1 |u1〉

=

(√2

2

)−1

100

.; |e2〉 =|u2〉√〈u2 |u2〉

=

(√12

12

)1113

;

|e3〉 =|u3〉〈u3 |u3〉

=

(2√

3

9

)

54

54

−74

−14

Para el caso de R2 es muy claro. Si tenemos dos vectores |v1〉 y |v2〉 linealmente



independientes,

|v1〉 =

(11

); |v2〉 =

(01

);

elegimos |u1〉 ≡ |v2〉 entonces, |u2〉 vendra dado por

|u2〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 ⇒ |u2〉 ≡(

11

)−(

01

)=

(10

)tal y como se esperaba, el otro vector ortogonal es el canonico.

Si consideramos el espacio de polinomios, Pn, de grado g ≤ n definidos en el inter-valo [−1, 1] Este espacio vectorial tendra como una de las posibles bases al conjunto

{1, t, t2, t3, · · · , tn} con el producto interno viene definido por 〈f | g〉 =∫ 1

−1 dx f (x) g (x) .Por lo tanto, se procede a construir una base ortogonal de la forma|u0〉 ≡ |v0〉 = 1

|u1〉 ≡ |v1〉 −〈v1 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t

〈v1 |u0〉 =∫ 1

−1 dx t = 0; 〈u0 |u0〉 =∫ 1

−1 dx = 2

|u2〉 ≡ |v2〉 −〈v2 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 −〈v2 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t2 − 13

〈v2 |u0〉 =∫ 1

−1 dx t2 = 23; 〈v2 |u1〉 =

∫ 1

−1 dx t3 = 0;

〈u1 |u1〉 =∫ 1

−1 dx t2 = 23

|u3〉 ≡ |v3〉 −〈v3 |u2〉〈u2 |u2〉

|u2〉 −〈v3 |u1〉〈u1 |u1〉

|u1〉 −〈v3 |u0〉〈u0 |u0〉

|u0〉 = t3 − 35t

〈v3 |u0〉 =∫ 1

−1 dx t3 = 0; 〈v3 |u1〉 =∫ 1

−1 dx t4 = 25

〈v3 |u2〉 =∫ 1

−1 dx t3(t2 − 1

3

)= 0; 〈u2 |u2〉 =

∫ 1

−1 dx(t2 − 1

3

)2= 8

45...

Podemos resumir



|v1〉 |u1〉 |e1〉1 1

√12

t t√

32t

t2(t2 − 1

3

)12

√52

(3t2 − 1)

t3(t3 − 3

5t)

12

√72

(5t3 − 3t)

t4(t4 − 6

7t2 + 3

35

)18

√92

(35t4 − 30t2 + 3)...

......

4.3. Calentamiento con los Polinomios de Legendre

Uno de los ejemplos tıpicos lo constituye los llamados polinomios de Legendre. PolinomiosPn(x) definidos en el intervalo [−1, 1] y generados a partir de la Formula de Rodrigues5

Pn(x) =1

n!2ndn

dxn(x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, .....

con P0(x) = 1. Los polinomios de Legendre son solucion de la ecuacion diferencial

(1− x2) y′′ − 2x y′ + λ(λ+ 1) y = 0

λ Ecuacion de Legendre Solucion

0 (1− x2) y′′ − 2x y′ = 0 y0(x) = 11 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 2 y = 0 y1(x) = x2 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 6 y = 0 y0(x) = 1− 3x2

3 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 12 y = 0 y1(x) = x− 53x3

4 (1− x2) y′′ − 2x y′ + 20 y = 0 y0(x) = 1− 10x2 + 353x4

Es facil comprobar que los polinomios de Legendre |Pα〉 = Pα(x) son mutuamente ortogo-nales con un producto interno definido como

〈Pn|Pm〉 =

∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)dx =

2

2n+ 1δnm

con norma definida por

‖Pn‖2 = 〈Pn|Pn〉 =

∫ 1

−1P 2n(x)dx=

2

2n+ 1

5Benjamin Olinde Rodrigues (1794 Burdeos, Francia - 1851, Parıs Francia) Banquero, Matematico yactivista polıtico solcialista Frances durante la Revolucion Francesa. De origen judıo, y cuyas contribucionesfundamentales como la formula para la generacion de Polinomios de Legendre, permanecieron olvidadas pormucho tiempo.

Mas detalles http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians


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Cualquier funcion en el intervalo [−1, 1] puede ser expresada en esa base.

f(x) = |F〉 =∞∑k=0

ak |Pk〉 =∞∑k=0

〈Pk|F〉〈Pk|Pk〉

|Pk〉

Varios ejemplos ilustraran esta aplicacion. Si f(x) es un polinomio

f(x) =m∑n=0

bnxn =

∞∑k=0

ak |Pk〉 =∞∑n=0

anPn(x)

no se requiere hacer ninguna integral por cuanto los coeficientes an se determinan a travesde un sistema de ecuaciones algebraicas. Para el caso de f(x) = x2 tendremos

f(x) = x2 = a0P0(x) + a1P1(x) + a2P2(x)

f(x) = x2 = a0 + a1x+1

2a2(3x

2 − 1)

f(x) = x2 =1

3P0(x) +

2

3P2(x)

Quedara como ejercicio demostrar que para el caso de

f(x) =

√1− x

2=∞∑k=0

〈Pk|F〉〈Pk|Pk〉

|Pk〉 =2

3P0(x)− 2

∞∑n=1

Pn(x)

(2n− 1) (2n+ 3)

con

〈Pk|F〉 =

∫ 1

−1f(x)Pk(x)dx =

∫ 1

−1

√1− x

2Pk(x)dx

5. Series y transformadas de Fourier

Otro de los casos de expansion en una base completa de funciones lo constituyen la basede Fourier. En este caso la serie de Fourier la constituyen funciones continuas, reales devariable real y definidas en [0, 2π], C∞[0,2π], en termino de funciones trigonometricas.

Esto es el conjunto de funciones {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 , · · · , |un〉 · · · } representadas por

|u0〉 = 1, |u2n〉 = cos(nx) y |u2n−1〉 = sen(nx), con n = 1, 2, 3, · · ·

Es claro que {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉 · · · , |un〉 , · · · } es un conjunto de funciones ortogonales por



Figura 1: Expansiones de Varias funciones en sumas parciales de Series de Fourier. Tomadode Eric W. Weisstein. Fourier Series. MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://

mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

cuanto

〈un |um〉 = δnm| |un〉 |2 ⇒

0 si n 6= m

∫ 2π

0dx sen(nx) sen(mx) = 0∫ 2π

0dx cos(nx) sen(mx) = 0∫ 2π

0dx cos(nx) cos(mx) = 0

||un〉|2 si n = m

∫ 2π

0dx = 2π∫ 2π

0dx cos2(nx) = π∫ 2π

0dx sen2(nx) = π

Por lo tanto, podremos construir una base ortonormal de funciones{|e1〉 , |e2〉 , |e3〉 , · · · , |en〉 , · · · } de la forma

|e0〉 =1√2π, |e2n〉 =

1√π

cos(nx) y |e2n−1〉 =1√π

sen(nx)


http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

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Tal y como se muestra en la figura 1 distintas funciones pueden ser expandidas con sumasparciales de Fourier. A diferencia de las series de potencias, que imponen que las funciones aser expandidas deben ser contınuas y contınuamente diferenciables en el intervalo, la seriesde Fourier pueden representar funciones contınuas a trozos, siempre y cuando cumplan conalgunas condiciones.

Por lo tanto cualquier funcion definida en el intervalo [0, 2π] puede expresarse en terminosde esta base como

|f〉 =∞∑i=0

ci |ei〉 ⇒ ci = 〈ei |f〉 =

1√2π

∫ 2π

0dx f(x) = c0 ≡ a0 si i = 0

1√π

∫ 2π

0dx f(x) cos(nx) = c2n ≡ am si i = 2n

1√π

∫ 2π

0dx f(x) sen(nx) = c2n−1 ≡ bm si i = 2n− 1

donde los ci son los coeficientes de Fourier, con lo cual podemos escribir

F (x) =a02

+∞∑n=1

[an cos(nx) + bnsen(nx)]

el termino a0 es colocado fuera de la sumatoria, y multiplicado por 1/2, solo por conveniencia.De manera equivalente, si el perıodo es T y para un un t0 generico

F (t) =a02

+∞∑n=1

[an cos

(2πnt

T

)+ bnsen

(2πnt

T

)]con

a0 = 2T

∫ t0+Tt0

dt f(t)

an = 2T

∫ t0+Tt0

dx f(t) cos(2πntT

)bn = 2

T

∫ t0+Tt0

dt f(t) sen(2πntT

)La figura 1 muestra la aproximacion de las distintas sumas parciales para distintas fun-

ciones, a medida que aumentamos el numero de terminos la aproximacion mejora.Podemos expresar la expansion de una serie de Fourier de manera mas compacta aten-

dendiendo a las expresiones anteriores. Esta expresion se conoce en algunos ambitos comola expresion integral para la series de Fourier

F (x) =1√2π

∫ 2π

0

dt f(t)

+∞∑n=1

{[∫ 2π

0

dt f(t) cos(nt)

]cos(nx) +

[∫ 2π

0

dt f(t) sen(nt)

]sen(nx)

}

F (x) =1√2π

∫ 2π

0

dt f(t) +∞∑n=1

∫ 2π

0

dt f(t) cos(n[t− x]) .



Tambien es muy comun expresar una serie de Fourier en termino de una base compleja.Vale decir

{· · · |φk〉 · · ·

}↔ {· · · e−ikx · · · } con k = 0,±1,±2, · · · . Con lo cual

|f〉 =∞∑

k=−∞

Ck|φk〉 ≡∞∑

k=−∞

Cke−ikx con Ck =

〈φk|f〉〈φk|φk〉

=1

2π

∫ π

−πdx e−ikxf(x) .

Podremos reescribir (una vez mas) la expresion de una suma parcial de la Serie de Fourier,dado que

an cos(nx) + bn sen(nx) =1

π

∫ π

−πdt f(t) cos(n[t− x])

tendremos que

Fn(x) =a02

+n∑k=1

[ak cos(kx) + bksen(kx)] =a02

+n∑k=1

[1

π

∫ π

−πdt f(t) cos(n(t− x))

]

= <

[∫ π

−πdt f(t)

{1

2+

n∑k=1

(e−i(t−x)k

)}]

y al sumar la progresion geometrica que representa una serie de exponenciales llegamos a

Fn(x) =1

2π

∫ π

−πdt f(t)

[sen((n+ 1

2

)(t− x)

)sen(12(t− x)

) ]≡ 1

2π

∫ π

−πdt f(t) K(x, n, t)

la cual siempre es convergente y el termino

K(x, n, t) =

[sen((n+ 1

2

)(t− x)

)sen(12(t− x)

) ]

se conoce como el nucleo de la transformacion de F , el Kernel de Dirichlet.La pregunta basica que sigue es, en todos estos casos: ¿ como se relaciona la expansion

de Fourier |f〉 ⇔ F (x) con la funcion f(t) que genera los coeficientes de la expansion? Noteseque es una forma de mirar una relacion entre F (x)↔ f(t). Pasamos de f(t) a F (x) medianteuna “transformacion”

Fn(x) =1

2π

∫ π

−πdt f(t) K(x, n, t)

Este tipo de relaciones se denomina transformacion integral y en particular esta es una delas expresiones de las llamadas Transformaciones de Fourier.



6. Condiciones de Dirichlet

Las condiciones que una determinada funcion f(x) debe cumplir para poder ser repre-sentada como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones de Dirichlet6

las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos:

la funcion f(x) debe ser periodica

la funcion f(x) debe se univaluada y contınua a trozos (contınua menos, en un numerofinito de puntos) con un numero finito de maximos y mınimos

la integral∫ T/2−T/2 dx|f(x)| debe ser convergente. Donde [−T/2, T/2] quiere indicar el

intervalo de definicion de una funcion con perıodo T .

Podemos formalizar un poco mas las condiciones de Dirichlet en el llamado Teorema deFourier.

Teorema de Fourier Sea f(x) una funcion en el intervalo −π ≤ x ≤ π y definida para elresto de la recta real tal que cumpla con f(x + 2π) = f(x). Es decir f(x) es 2π−periodica.Supongamos ademas que existe la integral∫ π

−πdx f(x) , y que Ck =

1

2π

∫ π

−πdx e−ikxf(x) con k = 0,±1,±2, · · · .

y si |f(x)| esta acotada para un intervalo [a, b] con −π < a ≤ x ≤ b < π, entonces

F (x) =∞∑

k=−∞

Cke−ikx es convergente al valor F (x) =

1

2

(lımε→0+

f(x+ ε) + lımε→0−

f(x− ε))

y si f(x) es contınua en x = x0 entonces F (x0)→ f(x0).

En este punto se pueden puntualizar varias cosas:

1. El valor F (x) = 12

(lımε→0+ f(x+ ε) + lımε→0+ f(x− ε)

)al cual converge la expansion

de Fourier, cobra particular importancia cuando el punto x = x0 es una discontinuidad.Tal y como veremos mas adelante (seccion ??) y expresa este teorema, las series deFourier son particularmente apropiadas para expandir funciones discontınuas (en un

6Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 - 1859. Matematico Aleman con importantes contri-buciones en Teorıas de numeros Algebraica, Series y aproximaciones de funciones y ecuaciones diferencialesparciales.



numero finito de puntos en el intervalo), sin embargo, por ser una base de funcionescontınuas no puede reproducir la discontinuidad como tal. La expansion de Fourieralrededor de un punto de discontinuidad x → x±0 tendera al valor F (x) → F (x±0) ≡Fm donde Fm = F (x+0)+F (x−0)

2. Es decir, tendera al valor medio de los valores de la

discontinuidad por la izquierda F (x−0) y por la derecha F (x+0).

2. Si los coeficientes de Fourier tienen variaciones acotadas en el intervalo y |Ck| → 0 conk →∞. Entonces

∞∑k=−∞

|Ck|2 =1

2π

∫ π

−πdx |f(x)|2 ⇔ 1

2a20 +

∞∑n=1

|a2n + b2n| =1

π

∫ π

−πdx |f(x)|2

que no es otra cosa que la expresion de la completitud de esta base de funciones.

7. Algunos ejemplos de expansiones en series de Fou-

rier

Para ilustrar esta relacion entre la funcion f(x) y su expansion en serie de Fourier F (x)analicemos algunos ejemplos tıpicos

7.1. Ondas Cuadradas

Para empezar, el caso de una funcion muy conocida en el ambito de los circuitos electrico.Una onda cuadrada

f(t) =

−1 si − 1

2T ≤ t < 0

+1 si 0 ≤ t ≤ 12T ,

En este caso se puede integrar entre [0, T/2] y luego multiplicar todo por 2.

a0 =2

T

∫ T2

0

dt = 1 , an =2

T

∫ T2

0

cos

(2πnt

T

)dt =

sen (nπ)

nπ= 0 ,

bn =2

T

∫ T2

0

sen

(2πnt

T

)dt =

1− cos (nπ)

nπ=

1− (−1)n

nπ,

Entonces solo sobreviven los b2n+1 ya que coeficientes pares se anulan: b2n = 0.

f(t) = a0+2∞∑n=1

bnsen

(2πnt

T

)= 1+

4

π

(sen(ωt) +

sen(3ωt)

3+

sen(5ωt)

5+

sen(7ωt)

7+ · · ·

)



Figura 2: Un par de funciones, definidas con un perıdo T , a ser expresadas en como ex-pansiones en Series de Fourier. En los cuadrantes I y II, encontramos una onda cuadrada.La primera (cuadrante I) definida en un intervalo

(−T

2, T2

)y en el cuadrante II la misma

funcion definida en un intervalo (0, T ). El cuadrante III ilustra las aproximaciones de la seriede Fourier para n = 3, 7, 20, mientras que el espectro de potencia se presenta en el cuadranteIV. La onda “diente de sierra”, definida en un intervalo (0, T ), se presenta en el cuadrante V.Sus aproximaciones en series de Fourier para n = 3, 7, 10 se pueden observar en el cuadranteVI, mientras que el espectro de potencia en el cuadrante VII.



donde hemos denotado ω = 2π/T .Al definir la funcion ω podemos interpretar los coeficientes de Fourier an, bn como las

contribuciones de cada uno de los armonicos an, bn → ωn = 2nπT

. A partir de estas contribu-ciones se construye el espectro de potencia, el cual esta relacionado con la energıa que aportacada uno de estos armonicos. Por ello construimos un cantidad En =

√a2n + b2n y graficamos

En vs n tal y como se puede comprobar en la figura 2, cuadrantes IV y VII. Se encuentraque se puede asociar un espectro de potencia a cada se nal y con lo cual realizar una especiede identificacion.

En este punto podemos hacernos algunas preguntas:

¿que hubiera pasado si en vez de considerar el intervalo(−T

2, T2

)hubieramos conside-

rado (0, T )?

¿tendrıamos el mismo desarrollo en serie de Fourier?

¿el mismo espectro?

Justifique sus respuestas.

7.2. Variedades de dientes de sierra

Otra funcion muy comun es la denominada dientes de sierra

f(t) = at si 0 ≤ t ≤ T , con a constante

los coeficientes son los siguientes:

a0 =2

T

∫ T

0

atdt = aT ,

an =2

T

∫ T

0

at cos

(2πnt

T

)dt =

a T

π2n2

[nπsen (2nπ)− sen2 (nπ)

]= 0 ,

bn =2

T

∫ T

0

at sen

(2πnt

T

)dt = − aT

nπ.

Tenemos entonces que

f(t) = at =a02

+∞∑n=1

bnsen

(2πnt

T

)=aT

2− aT

π

∞∑n=1

sen (ωnt)

n, para 0 ≤ t ≤ T

En el caso particular de hacer a = 3 y T = 2→ ωn = nπ, entonces:

f(t) = 3t = 3− 6

π

∞∑n=1

sen (nπt)

n= 3−6sen (π t)

π−3sen (2π t)

π−2sen (3π t)

π−3sen (4π t)

2π−6sen (5π t)

5π+· · ·



La figura 2 (cuadrantes V y VI) muestra la construccion de esta funcion y su representacionen Series de Fourier.

A partir de esta funcion podemos hacer unas variaciones. Por ejemplo considerese lafuncion

f(t) = at si−T2≤ t ≤ T

2, con a constante ⇒

a0 = 2T

∫ T/2−T/2 atdt = 0

an = 2T

∫ T/2−T/2 at cos

(2πntT

)dt = 0

bn = 2T

∫ T/2−T/2 at sen

(2πntT

)dt = −aT (−1)n

nπ.

Claramente es una funcion impar f(−x) = −f(x) y ası lo refleja su expansion en seriesde Fourier. Si hacemos a = 3 y T = 2 → ωn = nπ tendremos que la expresion para de laserie es

f(t) = 3t =6sen (π t)

π−3sen (2π t)

π+

2sen (3π t)

π−3sen (4π t)

2π+

6sen (5π t)

5π+· · · con

−T2≤ t ≤ T

2

la cual, si bien es parecida no es igual a la anterior, debido que estamos expandiendo otrafuncion.

Otra variacion posible de la funcion “diente de sierra” puede ser la version completamentepar del “diente”, f(−x) = f(x). Esta es

f(t) =

−at si −T

2≤ t ≤ 0

at si 0 ≤ t ≤ T2

El calculo de los coeficientes resulta en:

a0 =2

T

∫ 0

−T/2(−at)dt+

2

T

∫ T/2

0

atdt =aT

2,

an =2

T

∫ 0

−T/2(−at) cos

(2πnt

T

)dt+

2

T

∫ T/2

0

at cos

(2πnt

T

)dt =

a T

π2n2[(−1)n − 1] ,

bn =2

T

∫ 0

−T/2(−at) sen

(2πnt

T

)dt+

2

T

∫ T/2

0

at sen

(2πnt

T

)dt = 0 .

En este caso son los coeficiente bn los que se anulan. Adicionalmente, notese que para npar, los coeficientes an tambien se anulan, Otra vez, si hacemos a = 3 y T = 2 → ωn = nπtendremos la serie:

f(t) =3

2− 12 cos (π t)

π2− 4 cos (3 π t)

3π2 − 12

25

cos (5π t)

π2+ · · · con

−T2≤ t ≤ T

2



7.3. Funcion cuadratica

Otro caso, complementario al anterior por sus propiedades de simetrıa, es la expansionen series de Fourier de la funcion f(x) = x2 para −π < x < π. Entonces los coeficientes sela expansion seran

f(x) = x2 ⇒

a0 = 1

π

∫ π−π x2dx = 2π2

3

an = 2π

∫ π0x2 cos(nx)dx = 4(−1)n

n2

ya que los coeficientes correspondientes a los terminos impares bn se anulan. Con lo cual

x2 =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n cos(nx)

n2

Notese que como un resultado particular, al evaluar en x = π, se tiene la funcion zeta deRiemann ζ(2)

π2 =π2

3+ 4

∞∑n=1

1

n2⇒ ζ(2) ≡

∞∑n=1

1

n2=π2

6

Pero este caso se presta tambien para considerar funciones no periodicas. Supongamosque queremos desarrollar la expansion de Fourier para f(t) = t2 pero en este caso con0 < t < 2. Si este fuera el caso, empezamos por suponer que la funcion tienen un perıodo,digamos T = 4. Esto es −2 ≤ t ≤ 2. Con lo cual

a0 =2

4

∫ 2

−2t2dt =

4

4

∫ 2

0

t2dt =8

3

an =2

4

∫ 2

−2t2 cos

(2πnt

4

)dt =

4

4

∫ 2

0

t2 cos

(πnt

2

)dt =

16

π2n2cosnπ =

16

π2n2(−1)n

Con lo cual tendremos que

t2 =4

3+ 16

∞∑n=1

(−1)n

π2n2cos(πnx

2

)para 0 < t ≤ 2

8. Ejercicios

1. Sea Pn el conjunto de todos los polinomios de grado n, en x, con coeficientes reales:

|pn〉 p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ an−1x

n−1 =n−1∑i=0

aixi



a) Demostrar que Pn es un espacio vectorial respecto a la suma de polinomios y a lamultiplicacion de polinomios por un escalar (numero real).

b) Si los coeficientes ai son enteros, ¿ Pn sera un espacio vectorial ?¿ Porque ?

c) ¿ Cual de los siguientes subconjuntos de Pn es un subespacio vectorial ?

1) El polinomio cero y todos los polinomios de grado n− 1.

2) El polinomio cero y todos los polinomios de grado par.

3) Todos los polinomios que tienen a x como un factor (grado n > 1).

4) Todos los polinomios que tienen a x− 1 como un factor.

d) ¿ Cual de los siguientes polinomios pertenece al subespacio de P generado por:|x1〉 = x3 + 2x+ 1; |x2〉 = x2 − 2; |x3〉 = x3 + x;

1) x2 − 2x+ 1;

2) x4 + 1;

3) −12x3 + 5

2x2 − x− 1;

4) x− 5;

e) ¿ Cual de los siguientes conjunto de vectores en P4 son linealmente independientes?

1) |x1〉 = 1; |x2〉 = x− 1; |x3〉 = x2; |x4〉 = x2 + 2x+ 1;

2) |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2 + 1; |x3〉 = x+ 1; |x4〉 = x2 + 1;

3) |x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x; |x3〉 = x3; |x4〉 = 2x3 − x2;4) |x1〉 = 1; |x2〉 = x; |x3〉 = x2 + x3; |x4〉 = x2 + 2x+ 1;

f ) Probar que los polinomios

|x1〉 = 1; |x2〉 = x; |x3〉 =3

2x2 − 1

2; |x4〉 =

5

2x3 − 3

2x;

Forman una base en P4. Expresar |p〉 = x2; |q〉 = x3 en funcion de esa base.

g) Sean |pn〉 = p(x)=∑n−1

i=0 aixi, |qn〉 = q(x) =

∑n−1i=0 bix

i ∈ Pn. Considerese lasiguiente definicion:

〈qn|pn〉 a0b0 + a1b1 + a2b2 + ...+ an−1bn−1 =n−1∑i=0

aibi

1) Muestre que esta es una buena definicion de producto interno.

2) Con esta definicion de producto interior ¿ se puede considerar Pn un subes-pacio de C[a,b] ? ¿ Por que ?



h) Considerando estas definiciones de producto interior en Pn1) 〈qn|pn〉 =

∫ 1

−1 p(x)q(x)dx

2) 〈qn|pn〉 =∫ 1

0p(x)q(x)dx

Encontrar la distancia y el angulo entre los siguientes pares de vectores en P3

1) |x1〉 = 1; |x2〉 = x;

2) |x1〉 = 2x; |x2〉 = x2;

3) |x1〉 = x(x− 1); |x2〉 = x;

i) Muestre que las siguientes operaciones, son transformaciones lineales Pn 7−→ Pny, en cada caso, indicar el dominio y el rango de la transformacion, encontrar elespacio nulo y (cuando sea posibles) su inversa.

1) A|p〉 =(D2 − 2D)p(x); con D = ddx.

2) A|p〉 =xp(x).

3) A|p〉 =p(x)− p(0).

4) A|p〉 =p(x)q(x); con q(x) un polinomio cualquiera en Pnj ) Encontrar la proyeccion perpendicular de los siguientes vectores en C[−1,1] (espa-

cio de funciones continuas en el intervalo [-1,1]) al subespacio generado por lospolinomios 1, x, x2 − 1. Calcular la distancia de cada una de estas funciones alsubespacio mencionado.

1) f(x) = xn; n entero

2) f(x) = sen x;

3) f(x) = 3x2;

2. Sea una transformacion lineal A : V1 7−→ V2 y seanB1 = {|b1〉, |b2〉, |b3〉, .. .., |bn〉} y B2 = {|β1〉, |β2〉, |β3〉, .. .., |βm〉}los conjuntos de vectores ortogonales base de V1 y V2, respectivamente. Los vectores|bi〉 base de V1 transforman como

A|bi〉 =m∑j=1

αij|βj〉 donde αij = 〈βj|A|bi〉

Se denomina representacion matricial αij del operador lineal A:

αij =

〈β1|A|b1〉〈β2|A|b1〉〈β3|A|b1〉 · · · 〈βm|A|b1〉〈β1|A|b2〉〈β2|A|b1〉〈β3|A|b1〉 · · · 〈βm|A|b1〉

... · · · · · · . . ....

〈β1|A|bn〉〈β2|A|bn〉〈β3|A|bn〉 · · · 〈βm|A|bn〉



a) Sea D : Pn 7−→ Pn la diferenciacion, D = ddx., y B1 = {1, x, x2, .. .., xn−1} la

base canonica asociada. Expresar la representacion matricial de operador D enesa base.

b) Expresar la representacion matricial de operador A :P3 7−→ P4;A|p〉 = (x2 − 4)p′(x) en las siguientes bases:

1) B1 = {1, x, x2} y B2 = {1, x, x2, x3};2) B1 = {1, x, x2} y B2 = {1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3};3) B1 = {1, x− 1, (x− 1)2} y B2 = {1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3};

3. Los polinomios de Legendre pueden ser generados por la formula de Rodrıguez,

|Pn〉 = Pn(x) =1

n!2ndn

dxn(x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, .....

a) Muestre que los cinco primeros polinomios de Legendre forman una base de P5

con un producto interno definido por

〈Pn|Pm〉 =

∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)dx.

b) Expresar cada uno de los siguientes polinomios como una combinacion lineal delos polinomios de Legendre, base de P5.

1) 3x4 − 2x2 + 3x+ 1;

2) 53x3 + 2x2 + x+ 1

3) 4x2 + 4x+ 1


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