Paper Dualitas Klp 5

8/20/2019 Paper Dualitas Klp 5

1/41

5.1 Definisi masalah dual

Masalah dual adala sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model

LP primal. Masalah dual dan primal sangat berkaitan erat sedemikian rupa sehingga rupa

sehingga pemecahan simpleks optimal dari salah satu masalah akan secara otomatis

menghasilkan pemecahan optimum untuk masalah lainnya.

Bentuk standar yang umum dari masalah primal didefinisikan sebagai

Maksimumkan atau minimumkan

dengan batasan


2/41

Tujuan Primal Standar Dual

TujuanBatasan Variabel

Maksimasi Minimisasi Tidak dibatasi

Minimisasi Maksimisasi ! Tidak dibatasi

1. "ntuk setiap batasan primal terdapat sebuah #ariabel dual.2. "ntuk setiap #ariabel primal terdapat sebuah batasan dual.3. $oefisien batasan dari sebuah #ariabel primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan

dual yang bersesuaian% dan koefisien tujuan dari #ariabel yang sama menjadi sisi kanan

dari batasan dual.

Bila masalah primal dan dual dibandingkan& terlihat beberapa hubungan sebagai berikut'

(. $oefisien fungsi tujuan primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual& sebaliknya& konstan

sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.

). Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya

*. Tujuan diubah dari minimalisasi +maksimalisasi, dalam primal menjadi maksimalisasi

+minimalisasi, dalam dual.

-. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris +batasan, dalam dual sehingga

banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya #ariable primal.

. Setiap baris +batasan, pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual& sehingga ada

satu #ariable dual untuk setiap batasan primal.

/. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.

"ntuk mengubah persoalan maksimasi0minimasi yang tidak normal menjadi persoalan normal&

dapat dilakukan dengan langkah1langkah sebagai berikut '


3/41

(. $alikan setiap pembatas bertanda +untuk maksimasi, atau ! +untuk minimasi, dengan

bilangan 1(.

). Setiap pembatas bertanda 2 diganti menjadi dua ketidaksamaan + bertanda dan !, kemudian

kembali melakukan langkah (.

*. Setiap #ariabel 3 j yang tidak terbatas dalam tanda dengan dimana dan

4ontoh

Maksimumkan

dengan batasan

Primal Standar

Maksimumkan

dengan batasan

Perhatikan bah5a adalah #ariabel slack dalam batasan pertama% jadi& #ariabel ini memiliki

koefisien nol dalam fungsi tujuan dan dalam batasan kedua.

DualMinimumkan

dengan batasan


4/41

+menyiratkan bah5a ,

tidak dibatasi

Perhatikan bah5a 6 tidak dibatasi7 didominasi oleh & batasan dual yang berkaitan

dengan . 8adi& untuk menyingkirkan batasan yang berlebihan ini& masalah dual tersebut

sebaiknya ditulis

Minimumkan

dengan batasan

tidak dibatasi

4ontohPrimal

Minimumkan

Dengan batasan

Masalah primal di atas dapat dipecahkan baik dengan metode simpleks primal atau secara

langsung dengan metode simpleks dual.Pemilihan metode pemecahan tertentu memiliki

pengaruh terhadap bagaimana pemecahan dual yang optimal diperoleh dari pemecahan optimal

dari masalah primal.

Model Standar Ketika Simpleks Primal Dipergunakan untuk Memecahkan Masalah Primal

Minimumkan

Dengan batasan

Dual

Maksimumkan

Dengan batasan


5/41

$edua masalah dual ini konsisten& karena koefisien dalam satu masalah dual memiliki

tanda yang berla5anan dengan koefisien yang sama dalam masalah dual lainnya. Tetapi&

perbedaan ini diperlukan karena hasil tabel simpleks +yang dipergunakan untuk

menginterpretasikan pemecahan masalah dual, secara langsung bergantung pada cara bagaimana

bentuk standar tersebut didefinisikan sebelum metode simpleks primal atau dual diterapkan.

Perincian yang halus ini kemungkinan akan hilang jika kita mencoba menggunakan definisi

umum yang diberikan dalam pembahasan LP lainnya.

4ontoh

P9:M;L

Maksimumkan

Dengan batasan

tidak dibatasi

P9:M;L ST;


6/41

D";L

Minimumkan

Dengan batasan

+menyiratkan bah5a

,

+menyiratkan bah5a ,

tidak dibatasi

tidak dibatasi +berlebihan,

;mati bah5a batasan pertama dan kedua dapat (tetapi tidak harus) digantikan dengan

persamaan . :ni akan selalu terjadi ketika #ariabel primal tidak dibatasi& yang

berarti bah5a #ariabel primal yang tidak dibatasi akan selalu mengarah pada persamaan dual

+daripada pertidaksamaan,. =asil ini berlaku baik masalah primal tersebut merupakan sebuahmaksimisasi atau minimisasi.

5.2 PEMECAHAN MASALAH DUAL

.).( ="B";< ;


7/41


8/41

A XI CI XI

XII CIIXII

8umlahkan kedua batasan tersebut sehingga menghasilkan '

$arena A XI ! XII 2 # dan CI XI ! CIIXII" z dapat disimpulkan bah5a

8adi terbukti untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak.

"ntuk membuktikan hasil yang kedua yaitu di pemecahan optimum untuk kedua

masalah& yang memperlihatkan bah5a di pemecahan optimum& z berkaitan dengan kasus

maksimisasi yang berarti bah5a z mengusahakan nilai tertinggi di antara XI,XIIyang layak&

sedangkan w berkaitan dengan kasus minimisasi yang berarti bah5a w mengusahakan nilai

terendah di antara semua yang layak. $arena z ≤ w untuk semua pemecahan yang layak

+termasuk pemecahan optimal,& kedua masalah tersebut akan mencapai optimalitas pada saat

ma3 z 2 min w.

4ontoh'

Maksimumkan z " 5&1 ! 12&2 ! '&(

dengan batasan

3( ? )3) ? 3* ! (@

)3( A 3) ? *3* 2

3(&3)&3* @

Bentuk standar '

Maksimumkan ' C 2 3( ? ()3) ? -3* ? @S(1 M9 )

berdasarkan pembatas ' 3( ? )3) ? 3* ? S( 2 (@

A XI ! XII CI XI ! CIIXII


9/41

)3( A 3) ? *3* ? 9 ) 2

3(&3)&3*&S(&9 ) @

a#el sim*le+s *es-alan *imal

Ieasi /asis ( ) * S( 9 ) S-lusi

1+)M?, +M1(), 1+*M?-, @ @ 1M

% ( ) ( ( @ (@

) 1( * @ (

1E0* 1-@0* @ @ -0*?M *)0*

1 (0* E0* @ ( 1(0* ))0*

)0* 1(0* ( @ (0* 0*

1*0E @ @ -@0E 1-0E?M */ 0E

2 (0E ( @ *0E 1(0E ))0E

0E @ ( (0E )0E )/0E

@ @ *0 )F0 1)0?M )E-0

( @ ( 1(0 )0 1(0 ()0


10/41

( @ E0 (0 )0 )/0

Dilihat dari :terasi * koefisien 9 ) pada persamaan C optimum +2 1)0 ? M1M 2 1)0,

Dual dari persoalan

Minimumkan

Berdasarkan pembatas '

Bentuk standar '

Minimumkan '

berdasarkan pembatas '


11/41


12/41

a#el Sim*le+ Pes-alan Dual

Itera

si

Basis Solusi

(4M-10) (4M-8) (-4M+8) -M -M -M 0 0 0 21M

1 2 -2 -1 0 0 1 0 0 5

0 2 -1 1 0 -1 0 0 1 0 12

1 3 -3 0 0 -1 0 0 1 4

8/3M-

22/3

0 0 -M -M (1/3M-8/3) 0 0 (-4/3M+

8/3)

47/3M+

32/3

1/3 0 0 -1 0 2/3 1 0 -2/3 7/3

1 7/3 0 0 0 -1 -1/3 0 1 1/3 40/3

1/3 1 -1 0 0 -1/3 0 0 1/3 4/3

0 (-8M +22) (8M-22) -M -M (3M-10) 0 0 (-4M+ 10) (5M+40

0 -1 1 -1 0 1 1 0 -1 1

2 0 -7 7 0 -1 2 0 1 -2 4

1 3 -3 0 0 -1 0 0 1 4

0 0 0 -M -1/7M-22/7 (5/7M-26/7)0 (-8/7M (12/7M 3/7M+


13/41

+22/7) +26/7) 368/7

0 0 0 -1 1/7 5/7 1 -1/7 -5/7 3/7

3 0 -1 1 0 -1/7 2/7 0 1/7 -2/7 4/7

0 0 0 0 -3/7 -1/7 0 3/7 1/7 40/7

0 0 0 -26/5 -12/5 0 26/5-M 12/5-M -M 274/5

0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 -1/5 -1 3/5

4 0 -1 1 2/5 -1/5 0 2/5 1/5 0 2/5

0 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 1 29/5

Pada :terasi - nilai


14/41

Dari tabel simplek persoalan primal dan dual dapat disimpulkan bah5a hubungan primal

dengan dual adalah sebagai berikut '

(. Solusi fisibel persoalan minimasi adalah batas atas dari solusi fisibel persoalan

maksimasi.

). $edua persoalan sudah mencapai solusi optimum& maka maks C 2 min 5.

*.


15/41

). $urangi nilai1nilai simple3 multiplier ini dengan fungsi tujuan yang original

dari #ariabel1#ariabel basis a5al.

Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel nonbasis awal.

Pada setiap iterasi dari persoalan primal& koefisien fungsi tujuannya dapatditentukan dengan menyubstitusikan simple3 multiplier pada #ariabel1#ariabel pembatas

dari dual & kemudian mencari selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari pembatas dual

tersebut.

Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis.

Pada setiap iterasi& baik primal maupun dual& nilai ruas kanan +kolom solusi,

#ariabel1#ariabel basis pada iterasi yang bersangkutan dapat ditentukan dengan cara

sebagai berikut'

Sifat 4 : Menentukan koefisien e!batas

Pada setiap iterasi& baik primal maupun dual& koefisien pembatas dari setiap

#ariabel dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut'

4ontoh'

Maksimumkan '

Dengan batasan '


16/41

Salah satu iterasi dari persoalan di atas adalah sebagai berikut'

Basis Pemecahan

j M J /0)@ -0)@ @ g

k < r (0)@ -0)@ @ h

l P s 0)@ @ ( :

d I t a b c t

Tentukan nilai1nilai dari a&b&c&d&e&f&g&h&:&j&k&l&m&n&o&p&J&r&s dan t dengan menggunakan sifat1sifat

primal dan dualK

Penyelesaian '

(. Sifat ('

a 2 *0) A @ 2 *0)

b 2 ) A @ 2 )

c 2 @ 1 @ 2 @

). Sifat )'

-+*0), A+), A @ A - 2 @


17/41

d 2 @

+*0), ? /+), @ 2 @

e 2 @

@ )2

f 2

*. Sifat *

g 2 0)

h2 0-

i2 )0-

-. Sifat - '

j 2 (

k2 @

l2@


18/41

m2@

n2(

p2@

J2@

r2@

s2(

Dengan demikian& t dapat dicari dengan memasukkan nilai1nilainya g& h dan i ke dalam

persamaan C& sehingga diperoleh'

t 2 -+0), ? /+0-,1 @+)0-,

t 2 E@0-

.).) PIMI4;=;< D";L PT:M;L

Pemecahan dual yang optimal dapat ditentukan secara langsung dari tabel primal optimal.

Primal Standar

Maksimumkan z 2 CI XI ! CIIXII

dengan batasan '

A XI ! IXII " #

XI,XII$ %

Dual

Minimumkan w" #


19/41

dengan batasan '

A $ CI

$ CII

#ektor yang tidak dibatasi

/ dianggap basis primal yang optimal dan C/dianggap koefisien fungsi tujuan yang berkaitan

maka'" C//01 adalah pemecahan dual yang optimal.

"ntuk membuktikannya dapat memeriksa dua persyaratan berikut '

(. " C//01adalah pemecahan dual yang layak.

). Ma3 z dalam primal sama dengan min w dalam dual.

Pemecahan dual " C//01

disebut layak apabila pemecahan tersebut memenuhi batasan dual

A CIdan CII . Dengan optimalitas masalah primal& memiliki C j A c j @ untuk semua j yaitu '

C//01A 0 CI $ % dan C//

010 CII $ %

Dengan menganggap " C//01&maka dapat dilihat bah5a kedua batasan dual ini terpenuhi.

Persyaratan kedua di#erifikasi dengan memperlihatkan bah5a z 2 w untuk " C//01.=al ini

langsung berlaku karena

w " # " C//01#

z " C/X/ "C//01#

Pemecahan dual yang optimal dapat diperoleh secara langsung dari baris tujuan dari tabel

primal optimal

Dasar XI XII Pemecahan

C//01A0CI C//010CII C//01#

X/ /01A /01 /01#

$oefisien XII dalam baris z diketahui berdasarkan C//010CII.8adi& jika #ektor dasar a5al ::

terdiri dari semua #ariable slack& CII " %dan koefisien baris z dari XIIakan menghasilkan nilai1


20/41

nilai dual secara langsung.8ika tidak& maka harus menambahkan CII pada C//010CIIuntuk

memperoleh pemecahan dual.

C-n-h

Pimal

Maksimumkan z " 3( ? ()3) ? -3*

dengan batasan

3( ? )3) ? 3* ! (@

)3( A 3) ? *3* 2

3(&3)&3* @

Tabel primal

Dasa

XI XII

Pemeahan3( 3) 3* 3- 9

@ @ *0 )F0 1)0 ? M )E-0

3)

3(

@ ( 1(0 )0 1(0

( @ E0 (0 )0

()0

)/0

$arena XII 2 + 3-& 9,T dan CII2 +@& 1M,& dari tabel diatas didapat'

C//01 3 CII " +)F0& 1)0 ? M,

Sehingga memperoleh

" 41, 2) " C//01" +)F0& 1)0 ? M, ? +@&1M,

2 +)F0& 1)0,

=asil yang sama akan diperoleh jika menggunakan perhitungan simpleks yang dire#isi sebagai

berikut

( )

−=

−== −

.

)&

.

)F

.

)

.

(.

(

.

)

.&()(

BC Y B


21/41

5.( INE6P6EASI E78N8MI DA6I MASALAH DUAL

Secara spesifik& kita menyatakan bah5a harga dual me5akili nilai per unit dari sumber

daya LP. Sebaliknya pengurangan ia!a me5akili kenaikan dalam pengembalian marginal atau

penurunan dalam biaya per unit sumber daya yang diperlukan untuk membuat sebuah kegiatan LP +#ariabel, sekedar menguntungkan.

Pada bagian ini kita menggunakan masalah primla A dual untuk menerangkan makna

ekonomi yang pasti dari harga dual dan pengurangan biaya. :nterpretasi ini akan terbukti berguna

dalam dua aspek'

(. Memberikan pemahaman mendasar akan model LP sebagai sistem masukan A keluaran

ekonomi.). Memungkinkan implementasi analisi sensiti#itas atau analisis pasca optimal secara

efisien

;spek pertama dibahas dalam bab ini. ;nalisis sensitifitas akan diliput dalam bagian berikutnya.

"ntuk maksud penyediaan interpretasi ekonomi dari masalah dual& kita menggunakan definisi

+nonmatriks, berikut ini untuk masalah primal dan dual.

Pimal Dual

Maksimumkan

dengan batasan

Minimumkan

dengan batasan

j 2 (&)& ..... & n

tidak dibatasi& i 2 (&)&....& m


22/41

Secara ekonomi kita dapat memandang model primal dengan cara demikian. $oefisien

me5akili laba mrginal dari kegiatan " yang tingkat kegiatannya sama dengan unit. 8adi fungsi

tujuan me5akili laba dari semua kegiatan. Model tersebut memiliki m sumber

daya.Sumber daya i memiliki tingkat yang dialokasikan dengan tingkat unit per unit

kegiatan ". Sisi kiri me5akili penggunaan sumber daya i oleh semua kegiatan.$ita

sekarang menggunakan definisi di atas untuk menerangkan makna indikator ekonomi harga dual

dan penggunaan biaya.

5.(.1 HA69A DUAL

Pada pemecahan optimal dari masalah primal maupun dual& kita memiliki

z # w

atau 2

:nterpretasi ekonomi dari #ariabel dual !idengan menggunakan analisis dimensional berikut ini.

$arena sisi kiri dari persamaan tersebut me5akili nilai uang +pengembalian, dan ime5akili unit

+jumlah, sumber i& maka !i& berdasarkan persamaan diatas& pastilah me5akili nilai uang per unit

sumber daya iseperti diperlihatkan analisis dimensional berikut ini'

N +pengembalian,

8adi #ariabel dual !i me5akili nilai per unit sumer da!a i. Dalam literatur& !i biasanya disebut

sebagai ha:a dual+kadang A kadang istilah ha:a #aan:an juga dipergunakan,.

;nalisis dimensional di atas mengarahkan kita pada sebuah obser#asi menarik. $ami

telah menerangkan bah5a untuk pemecahan primal dan dual yang layak dan tidak optimal& kita

memiliki

C O 5


23/41

Berdasarkan interpretasi ekonomi yang diberikan untuk nilai dual diatas& pertidaksamaan ini

menunjukkan bah5a

;tau

+laba, O +nilai sumber daya,

Pertidaksamaan ini mengatakan bah5a selama pengembalian total dari semua kegiatan adalah

lebih kecil dari nilai sumber daya dari model tersebut& pemecahan +primal dan dual, yang

bersangkutan tidak dapat optimal. ptimalitas +pengembalian maksimum, dicapai hanya

bilamana sumber daya dimanfaatkan sepenuhnya' yaitu& ketika pengembalian total sama dengan

nilai total dari sumber daya +C 2 5,. Model LP ini dianggap sebagai sebuah sistem masukan A

keluaran dengan sumber daya dan pengembalian yang secara berturut A turut me5akili unsur A

unsur masukan dan keluaran.Sistem ini tetap tidak stail +tidak optimal, selama masukan +nilai

sumber daya, melebihi keluaran +pengembalian,& dengan stabilitas terjadi ketika keduanya setara.

4ontoh soal .*.(

(. Sebuah perusahaan memproduksi celana dan rok. $etersediaan kain untuk membuat

celana dan rok adalah batasnya sampai dengan batas 5aktu kerja (@@ jam.

Laba penjualan celana dan rok masing1masing N(*/ dan N)/. $ebutuhan kain dan 5aktu

kerja disajikan dalam tabel berikut'

Tentukan harga pembelian maksimum yang harus dibayar untuk kain dan tenaga kerja

Penyelesaian

4elana 9ok $etersediaanmaksimum

$ain

+ *

()@@

Qaktu kerja+jam, () -

(@@


24/41

Gungsi tujuan

Maksimumkan +primal,

dengan batasan

Bentuk standar

Gungsi tujuan

Maksimumkan +primal,

dengan batasan

:ni menggunakan metode simpleks +primal, dire#isi

Pemecahan a5al

:terasi Pertama

Langkah ( ' Perhitungan


25/41

Vektor masuknya adalah

Langkah ) ' Penentuan #ektor keluar dengan diketahui bah5a memasuki basis

Dalam bentuk tabel dalam Bab *& perhitungan untuk langkah ( dan ) dapat diringkaskan sebagai

berikut'

Dasar

PemecahanRasio (

-136 0 -

8 1200 150

12 1800 150

Vektor keluarnya adalah yang akan digantikan oleh


26/41

Langkah *' Penentuan in#ersi basis berikutnya. $arena menggantikan dan

& kita memiliki

dan

Basis baru ini berkaitan dengan #ektor dasar

:terasi kedua

Langkah ( ' perhitungan untuk #ariabel nondasar


27/41

$arena semua & basis terakhir ini optimal

=arga dual memberikan nilai per unit kulit dan 5aktu kerja masing1masing

adalah N(E dan N@. =arga dual tersebut jadi menunjukkan bah5a untuk setiap kenaikan satu unit

kulit& nilai laba C akan meningkat dengan N(E. Sebaliknya& menaikkan satu jam 5aktu kerja tidak

memberi manfaat& karena nilai per unitnya N@. 8adi mau dinaikkan atau diturunkan& tidak

berpengaruh pada laba.

=arga unit maksimum dari kulit dan 5aktu kerja masing1masing adalah N) dan N(E

5.(.2 PEN9U6AN9AN /IAA

Dari perincian metode simpleks yang dire#isi bah5a koefisien persamaan tujuan dari

#ariabel dalam setiap iterasi diketahui

;lternatif lain dengan menggunakan sebagai nilai dual yang berkaitan kita memiliki

=ubungan ini mengatakan bah5a koefisien persamaan tujuan 1 dari #ariabel dalam tabel

primal sama dengan selisih antara sisi kiri dan sisi kanan dari batasan dual ke1 ". Persamaan

tersebut menghasilkan interpretasi ekonomi yang menarik dalam model LP tersebut& yang akan

diungkapkan dengan analisis dimensional.


28/41

$arena dari masalah primal me5akili pengembalian per unit kegiatan j& unit dari

#ariabel ini kemungkinan di5akili dengan dollar per unit kegiatan j. "ntuk konsistensi& jumlah

juga harus memiliki dimensi dollar per unit kegiatan ". Tetapi karena dan

tampil dengan tanda yang berla5anan& jumlah harus berarti 6biaya7. Sekarang&

berdasarkan definisinya& adalah jumlah sumber daya i yang dipakai oleh ( unit kegiatan ".

Sebagai hasilnya pastilah me5akili biaya bayangan per unit sumber daya i dan dapat

dipandang sebagai biaya bayangan total dari semua sumber daya yang dipergunakan

untuk memproduksi satu unit kegiatan "$ Sekarang & bergantung pada biaya 2

melebihi pengembalian & penjelasan di atas mengarah pada analisis dimensional berikut ini dari

persamaan untuk 1 '

N +laba atau rugi,0unit 2 N+biaya,0unit 1 N+pengembalian,0unit

$ondisi optimalitas maksimisasi dari metode simpleks +yang dire#isi, menyatakan bah5a

tingkat kegiatan yang tidak dipergunakan saat ini +yaitu&nondasar 2 @, harus dinaikkan

mele5ati tingkat nol hanya jika koefisien tujuannya 1 adalah negatif. $ondisi ini dapat

dibenarkan secara ekonomi sebagai berikut' Dari interpretasi ini 1 & kondisi optimalitas

menetapkan bah5a


29/41

;tau

8adi selama pengembalian per unit melebihi biaya bayangan dari sumber daya yang

dipergunakan& lebih banyak sumber daya harus dialokasikan untuk kegiatan tersebut untuk

memanfaatkan potensi laba tersebut.Pada intinya& ini berarti bah5a tingkat kegiatan "% harus

dinaikkan mele5ati tingkat nol.

;kan terlihat bah5a ketika menerima sebuah kegiatan " ke dalam pemecahan

+membuatnya menjadi #ariabel dasar,& menaikkannya sampai ke titik di mana 1 menjadi nol.

:ni adalah setara dengan memanfaatkan profitabilitas dari kegiatan ini sebanyak mungkin& karena

kenaikan lebih lanjut akan semata A mata menghasilkan kenaikan dalam biaya bayangan

mele5ati potensi pengembalian dari kegiatan tersebut.

"ntuk kegiatan A kegiatan yang berada di tingkat nol di pemecahan optimal +#ariabel

nondasar,& jumlah 1 disebut dalam literatur disebut sebagai *en:uan:an #iaa +reduced

cost, per unit kegiatan ". Sesuai penjelasan yang diberikan di atas& jumlah ini me5akili jumlah

seberapa banyak posisi ekonomi dari kegiatan tersebut harus diperbaiki untuk membuatnya lebih

menarik secara ekonomi +yaitu& menaikkan tingkatnya dari nol ke satu nilai positif tertentu,.

=asil seperti itu dapat terjadi dalam dua cara'

(. Menaikkan pengembalian marginal dari kegiatan tersebut& c ".

). Menurunkan konsumsi sumber daya yang terbatas oleh kegiatan tersebut&

Pilihan pertama tidak selalu layak& karena margin laba biasanya ditentukan oleh pasar dan

kondisi persaingan.Pilihan kedua sebenarnya mencerminkan komitmen kesatuan ekonomi

tersebut pada peraikan operasi terutama melalui penurunan penggunaan sumber daya yang

terbatas.Pada intinya& pilihan kedua berkaitan dengan penyingkirkan inefisiensi yang mungkin

dalam operasi sistem yang bersangkutan.


30/41

sumber daya i per unit kegiatan "% sumber daya yang memiliki nilai yi yang relatif tinggi harus

memperoleh prioritas dalam studi peningkatan efisiensi.

4ontoh

Pertimbangkan masalah bauran produk di mana masing1masing dari ketiga produk diolah di tiga

operasi yang berbeda. Batas atas 5aktu yang tersedia untuk ketiga operasi itu adalah -*@& -/@&

dan -)@ menit per hari dan laba per unit untuk ketiga produk adalah N*&N)&dan N. Qaktu dalam

menit per unit di ketiga operasi tersebut diketahui sebagai berikut'

P-du+ 1 P-du+ 2 P-du+ (

8*easi 1 ( ) (8*easi 2 * @ )8*easi ( ( - @

4ontoh soal

Pertimbangkan masalah bauran produk di mana masing1masing dari ketiga produk diolah di tiga operasi

yang berbeda. Batas atas 5aktu yang tersedia untuk ketiga operasi itu adalah -*@& -/@& dan -)@ menit per

hari dan laba per unit untuk ketiga produk adalah N*&N)&dan N. Qaktu dalam menit per unit di ketiga

operasi tersebut diketahui sebagai berikut'

Produk ( Produk ) Produk *

perasi ( ( ) (

perasi ) * @ )

perasi * ( - @

Model LP ini ditulis sebagai

Maksimumkan

Dengan batasan

perasi ('

perasi )'

perasi *'


31/41

Bentuk standar

Maksimumkan

Dengan batasan

Penyelesaian dengan menggunakan simpleks primal yang dire#isi

Pemecahan a5al

:terasi pertama

Perhitungan untuk non dasar

Dipilih sebagai #ektor masuk


32/41

dasar pemecahan 9asio

1* 1) 1 @ @ @ @ 1

( -*@ -*@

) -/@ )*@

@ -)@ 1

Sehingga sebagai #ektor keluar digantikan oleh

Basis baru dengan #ektor dasar

:terasi kedua



33/41

Dipilih sebagai #ektor masuk

dasar pemecahan 9asio

F0) 1) @ @ 0) @ 1

) )@@ (@@

@ )*@ 1

- -)@ (@

Sehingga sebagai #ektor keluar digantikan oleh


34/41

:terasi ketiga


$arena semua & basis terakhir ini optimal

Pemecahan optimal

Terlihat bah5a bauran optimal tidak mencakup produk ( + . :ni berarti bah5a produk (

tidak menguntungkan& yang terjadi karena harga bayangan dari produk ( adalah lebih besar daripada laba

per unitnya& yaitu . $arena dan & dapat membuat menguntungkan

dengan menurunkan nilai . =asil ini dapat dicapai dengan mengurangi penggunaan ketiga 5aktu operasi

oleh produk (. Penggunaan ini diketahui berdasarkan koefisien dalam penyajian untuk .


35/41

=arga dual berarti bah5a penurunan penggunaan operasi * tidak

akan efektif& karena biaya bayangan per unitnya& adalah nol. 8adi dengan mempertimbangkan operasi (

dan )& terlihat bah5a adalah lebih besar daripada . Sebagai hasilnya akan lebih menarik

untuk memberikan prioritas yang lebih tinggi untuk usaha mengurangi penggunaan operasi ).

;nggaplah bah5a kita tertarik untuk menentukan jumlah penurunan dalam penggunaan operasi )

yang akan membuat produk ( sekedar menguntungkan. "ntuk melakukan hal ni& anggaplah me5akili

penurunan dalam menit per unit produk ( berada dalam operasi ). Dalam kasus ini&

Produk ( menjadi sekedar menguntungkan ketika tepat mele5ati % yaitu atau

& yang menghasilkan . :ni berarti bah5a penggunaan operasi ) harus dikurangi dengan

lebih dari ) menit untuk membuat produk ( menguntungkan.

Latihan'

Dalam contoh kasus sebelumnya& anggaplah bah5a penggunaan per unit operasi ) tidak dapat dikurangi

dengan lebih dari (&E menit. Tentukan pengurangan tambahan dalam penggunaan operasi ( yang akan

membuat tepat menguntungkan.

Penyelesaian'

"ntuk membuat produk sekedar menguntungkan& yaitu dengan menurunkan konsumsi per unit dari

operasi1operasi pada


36/41

Produk ( menjadi sekedar menguntukan ketika tepat mele5ati % yaitu atau &

yang menghasilkan . :ni berarti bah5a penggunaan operasi ( harus dikurangi dengan lebih dari

@& menit untuk dapat membuat produk ( menguntungkan.

5.' NILAI SLAC7 78MPLEMENE6

Berdasarkan #ersi matriks dari tabel simpleks& didapatkan hasil yang berhubungan

dengan pemecahan primal dan dual optimal.

(. 8ika dipemecahan optimum sebuah #ariabel primal memiliki & maka

pastilah nondasar dank arena itu berada ditingkat nol.

). 8ika di pemecahan optimum sebuah #ariabel dual memiliki nilai positif& batasan

primal ke1 pastilah dipenuhi karena dalam bentuk persamaan karena

nilai slack yang berkaitan dengannya pastilah nol.

"ntuk penjelasan mengenai pernyataan diatas secara matematis.Telah diketahui bah5a

me5akili selisih antara sisi kiri dan sisi kanan dari batasan dual dan karena itu pastilah me5akili

#ariabel surplus dual. 8ika diasumsikan bah5a adalah #ariabel surplus dan slack untuk

batasan dual dan primal & maka

=asil tersebut dapat diringkas menjadi '

• $etika .

• $etiak

"ntuk pemecahan primal dan dual optimal&


37/41

dan untuk semua i dan "

Dengan cara setara& didapatkan

Dengan pengamatan diatas dapat menunjukan teorema ini '

e-ema Nilai Sla+ 7-m*lemene sepasang pemecahan primal dan dual yang layak

adalah optimal untuk masalah masing1masing jika dan

hanya jika kondisi ini terpenuhi '

Dimana

C-n-h s-al

Pertimbangkan model dalam contoh .*1). $ita dapat meggunakan teorema nilai senggang

komplementer untuk memeriksa bah5a #ector dasar adalah optimal


38/41

#en$elesaian '

Pemecahan primal dari permasalahan tersebut adalah

2

Sesuai dengan hasil nya maka +

Pemecahan dual dari pemasalahan tersebut adalah

Sesuai dengan penyelesaian pemecahan dual

maka&

Dan didapatkan

"ntuk selanjutnya kita akan memriksa apakah pemecahan ini layak dengan mencari hasil dari

Dengan asumsi '


39/41

$ita akan mencari . $arena i 2 (&)&* maka&

Setelah mencari nilai slack selanjutnya kita mencari nilai surplusnya dengan +j 2 (&)&*, yaitumenggunakan asumsi '

$ita akan mencari Maka&


40/41

Hang semua nonnegatif. Pemecahan dan

adalah optimal& karena memenuhi kondisi nilai senggang komplementer

dan

PEM6896AMAN LINIE6

DUALIAS

8leh 7el-m*-+ 5

Valeria Trisna Hunita +(-@-@@@(,


41/41

;uusan Maemai+a

Documents

Paper Dualitas Klp 5