PROBLEMA DE ECUACIONES

Nombre: Jonathan AlexanderApellidos: Alvarado malagoncurso:902

igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2. Igualamos ambas expresiones:

3. Resolvemos la ecuación:

4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5. Solución:

eliminación

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación:

Y + 2X = 83X + 4Y = 17

PASO 1Ordenamos ambas ecuaciones, de modo que X y Y aparezcan en el mismo orden en ambas.

2X + Y = 83X + 4Y = 17

PASO 2Debemos decidir cuál variable vamos a eliminar. En este caso, eliminaremos la Y. Para eliminarla, necesitamos que esté en ambas ecuaciones acompañada por el mismo coeficiente, pero con signos opuestos (es decir, necesitamos que en una ecuación aparezca con signo positivo y en la otra con signo negativo)

PASO 3Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que acompañe a Y en la otra ecuación.

En este caso, observa que en la primera ecuación la Y está acompañada por un 1, mientras que en la segunda está acompañada por un 4, así que deberíamos multiplicar la primera ecuación por el 4 y la segunda ecuación por el 1. Sin embargo, necesitamos que una de las dos Y sea negativa, así que vamos a multiplicar la segunda ecuación por -1.

(2X + Y = 8) * 4 -> 8X + 4Y = 32(3X + 4Y = 17) * -1 -> -3X - 4Y = -17

PASO 4Sumamos ambas ecuaciones.

8X + 4Y = 32 +-3X - 4Y = -17_________________ 5X = 15

PASO 5Despejamos la variable que queda.

5X = 15 X = 15/5 = 3

PASO 6Ya tenemos una variable despejada. Ahora la reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos inicialmente, y despejamos la otra variable

Y + 2X = 8Y + 2*3 = 8Y + 6 = 8Y = 8-6Y = 2Y ya está resuelto el sistema de ecuaciones:

X = 3Y = 2

determinación

Para resolver el sistema donde x y y son las

son números reales.incógnitas y a, b, c, d, r, s,

Consideramos el arreglo que consta de los

coeficientes de las variables.

1.

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3.Con la notación observamos que la solución del sistema es

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

despejar

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

ecuación

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

ecuación ecuación

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

solución

5. Solución

solución

Gauss Jordán

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:d1 = xd2 = yd3 = zAhora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

GRAFICO

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades:

Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 6002x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600 y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600 y = 2xx y x y

200 400 100 200600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.