Prosiding Pertemuan Ilmiah ,Yains Materi III,\'erpong, 20 -21 Oktober 1998 .ISSN 1410-2897

PENGARUH PERUBAHAN KOEFISIEN REDAMANDAN PERIODA GAY A DINAMIS

PADA MODEL STRUKTUR BETON BERTULANG

s~

Mulyo Harris Prado nolJPT -Laboratorium Uji Konstruksi, BPP Teknologi

Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314Telp. (021)7560562 pes. 1049 Fax. 7560903

ABSTRAKPENGARUH PERUBAHAN KOEFISIEN REDAMAN DAN PERIODA GAYA DINAMIS PADA MODEL

STRUKTUR BETON BERTULANG. Material yang paling banyak digunakan dalam bidang rekayasa teknik sipil adalah beton.[~eton diberi penulangan agar kelemahan beton dalain hal tank dapat diatasi. Struktur-struktur beton bertulang dalam masalayannya dapat mengalami gaya dinamis misalnya gaya angin, gaya gempa, clan lain-l~in. Respons dan struktur tersebut Selalumenarik untuk dianalisis, mengingat desain struktur tahan gempa didasarkati pada respons tersebut. Salah satu unsur pentingdalam analisis adalah redaman struktur. Oi dalam makalah ini, pengaruh dari redaman terhadap struktur berderajat kebebasantunggal yang mengalami rase plastis akibat gaya dinamis akan ditinjau. Hasilnya menunjukkan bahwa perubahan koefisienredaman mempunyai pengaruh yang tidak sedikit pada respons struktur. Hal ini dapat disebabkan pada saat terjadi plastis, gayaredaman menjadi besar, sehingga mempengaruhi respons dari struktur. Hal lain yang ditinjau adalah pengaruh perioda gayadinamis pada respons struktur. Hasil menunjukkan bahwa gaya dinamis yang berperioda pendek lebih aman terhadap struktur.Semua analisis di atas dilakukan pada program analisis dinamis yang dibuat oleh penulis. Oiharapkan program tersebut dapatdikembangkan untuk struktur yang lebih kompleks.

ABSTRACT

THE EFFECT OF DAMPING COEFFICIENTS AND DYNAMIC FORCE PERIODS ON REINFORCED CON-CRETE MODELS. The most common material in Civil Engineering is concrete. Reinforcement is added to the concrete in orderto overcome the small tension capacity of concrete and called reinforced concrete. Reinforced concrete structures can be affectedby dynamic loading such as wind load, seismic load, and so on. The response of the structures is always an interesting topic tostudy as the seismic design of a structure relies on the response. One important thing in the dynamic analysis is dampingbehaviour In this paper, the influence of damping on a one-degree-of-freedom structure on inelastic phase is presented. Theresults show that the change of damping coefficient has an influence to the response. The probable cause is that on the inelasticphase, the damping force is large and therefore influences the response. In this paper, the influence altering the period of thedinamic force is also presented. The results show that smaller peri ode of the dynamic force give is safer to the structure. Ail theabove analyses were carried out on a inelastic dynamic program developed by the author. It is hoped that the program can beextended for more complex structures.

mencoba mendekati dengan menggunakan programanalisis dinamis yang dapat mencapai kondisi plastis,yang dibuat oleh penulis .Penelitian dilakukan denganmerubah parameter-parameter berupa koefisien dampingdaD perioda gaya dinamis. Program yang dibuat olehpenulis ini dimaksudkan sebagai tahap awal dalampembuatan program selanjutnya untuk struktur yanglebih kompleks.

PENDAHULUAN

Sifat redarnan di dalarn analisis dinarnis rnern-punyai pengaruh yang cukup besar pada strukturkantilever sederhana, contohnya struktur berderajatkebebasan tunggal (single-degree-of-freedom system).Penyebabnya diduga berasal dari sifat kantilever yangpada saat terjadi leleh (plastis) pada dasar struktur, tidakada kornponen-kornponen lain yang rnenahan lajunyapergerakan selain gaya redarnan daD gaya inersia. Gayaredarnan juga rnenjadi besar karena persarnaan rnate-rnatis untuk rnenganalisis respons struktur rnengguna-kan redarnan liat (viscous damping) yang berbandinglurus dengan kecepatan. Akibat gaya redarnan yangbesar ini. pengaruhnya terhadap respons struktur jugadiharapkan akan besar. Selain itu, perioda gaya dinarnisdiprediksi jugaakan rnernpengaruhi respons struktur.

Untuk rnenyelesaikan rnasalah di alas penulis

TEORI

Dalam membahas sifat dinamis dari sistem

berderajat;;kebebasan tunggal (single degree offreedomsystem), dianggap bahwa gaya pemulihan selarasdengan perpindahan pada model yang mewakilistruktur. Juga dianggap terjadi kehilangap energi akibatmekanisme redaInan liat (viscous damping) di mana gayaredaman selaras dengan kecepatan. Sebagai tambahan,

249Mu(vo Harri.\' Pradono

Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi IIISerpong, 20 -21 Oktoher 1998 ISSN 1410-2897

massa pada mode! ditetapkan tidak bembah. Sebagaiakibat dari anggapan ini, persamaan gerak sistemmenjadi persamaan differensial !inier, orde kedua dengankoefisien konstan, seperti

(a)(I)m,v + cy +k>' = F(/)

(b)

Gambar 1. (a) Model sistem berderajat-kebebasantunggal. b) Diagram free body yangmenggambarkan gaya inersia, gay a re-daman, gaya regas, dan gaya luar.

dapat dinyatakan sebagai~ = m~jii

AFo ::: Ci~Yi

AFs = ki~Yi (6)

di mana pertambahan perpindahan ~Yi' pertambahankecepatan ~Yi' serta pertambahan percepatan 6Yi di-berikan oleh

~Yi =~ti + At)-.y(t;) (7)

~Yi = j-( ti + At) -j{ ti ) (8)

~ji; =.j;(ti +~t)- Y{ti) (9)

Koefisien kj pacta persamaan (6} didefinisikansebagai evaluasi arus (current evaluation)untukturunan (derivative) daTi gaya pegas terhadap perpin-dahan, yaitu

~),dyk;=(-

m : massa model ,v : percepatan massa

c : koefisien redaman j; : kecepatan mas."a

k : kekakuan pegas / struktury : perpindahan massa F(t) : gaya luar pada massa

Apabila gaya pegas atau gaya redaman tidakselalu proporsional linier terhadap perpindahan alaukecepatan. maka hasil persamaan gerak tidak linier danpada umumnya solusi matematisnya lebih rumit dansering memerlukan penyelesaian numerik untuk

integrasinya.Faktor non linier dalam struktur beton bertulang

dapat ter:iadi akibat tulangan tarik mengalami plastis(yield). sehingga hubungan antara gaya dan perpin-dallan mel1iadi tiillik linier lagi. Efek dari plastis terhadapstruktllT akan ditinjau pada model ini.

Salah saUl cont.oh penyelesaian model berderajat-kebebasan nmggal non tinier diuraikan sebagai berikut.Tinjau Gambar I(a) model untuk sistem berderajat-kebebasan tunggal dan pada Gambar 1 (b) adalah dia-gram free body-nya. Keseimbangan dinamis sistemdidapat dengan menyamakan dengan nol jumlah gayainersia f~(t) gaya redaman F D(t) , gaya pegas F s(t), daDgaya loaf F(t). Pada saat Ii, keseimbangan gaya-gaya

dinyatakan sebagai

FI(t;) + FD(tj) + Fs(t;) = F(t;)

dan pada suatu selang waktu pendek LJt berikutnya.

sebagaip](tj + ~t) + FD(tj + ~t) + Fs(t; + ~t) = F(tj +~t) (3)

Persamaan (3) dikurangi dengan persamaan (2)menghasilkan persamaan differensial gerak dalam

besaranpertambahan, yaitu~/;~ +~F[) +~Fs = ~ (4)

di mana pertambahan gaya-gaya da.lam persamaan inididefinisikan sebagai.

y=y,

Dengan cara yang sarna, koefisisen c didefinisikansebagai harga arus (current value)'dari turunan(derivative) dari gaya redarnan terhadap kecepatan., yaitu

( dFo)Cj = ~ ..(II)

y=y,

Substitusi persarnaan (6) ke persarnaan (4)rnenghasilkan suatu bentuk yang tepat untuk pertarn-bahan, yaitu

mAti +cAiJ +kA1J = AF ( 12):1', ,:1', ,:1', ,

di mana koefisien c; dan k; dihitung untuk harga kecepatandaD perpindahan yang sesuai waktu t; dan dianggap tetapkonstan selarna pertarnbahan waktu At. Karena padaurnurnnya kedua koefisien ini tidak konstan selarna

AFj = Fj (t, + ~t) -Fj(t;)

AFo = Fo(t; + ~t) -Fo(t;)

AFs = ~o;(ti + ~t)- Fs(t;)

AI'; = F(t; + ~t)- F(tj) (5)

Jika dianggap gaya redaman adalah fungsi darikecepatan dan gaya pegas adalah fungsi dari perpin-dahan. di mana gaya inersia tetap proporsional terhadappercepatan. maka pertambahan gaya pad-'! persamaan (5)

Mulyo Harris Pradono250

Pro.\'iding Pertemuan Ilmiah Sain.\' Materi 1//Serpong, 20 -21 Oktoher 1998 ISSN 1410-2897

6Yj =Yj6f+t6Yj6f

A °AlooA2 IAo.A2UY; =Y;Uf+Ty;uf +6U.Y;ufdaD

dimana A.Yi daD A.Yi didefinisikan sekaligus pactapersamaan (7) daD persamaan (8). Sekarang digunakan

pertambahan perpindahan A.y sebagai variabel dasardalam analisa daD persamaan (17) dirposes untuk

mendapatkan pcrtambahaJl perccpatan A.Yi. Kcmudiandisubstitusi ke dalam persaJnaan (16) untuk menda~tkan

A ..6 A 6. 3 "uYi = ":;;:(2"UYi -MY; -Yi (18)

'A' 3. A 3 .A.t..daD uYi = MUYi -Yi -TYi (19)

Substitusi persamaan (18) daD (19) ke dalampersamaan (12) untuk mendapatkan persamaan gerakdalam bentuk

{ 6. 6. 3" } { 3 . 3' &" } kIn -"'" -- y - Y' +c -"'y - Y --v. + ~,,= /!.F;,&2"'&' "~t' '2",,1 "'"

pertambahan waktu. maka persamaan (12) adalah suatu

persamaan pendekatan.Persamaan (12) di alas akan diintegrasi dengan

menggunakan metoda integrasi langkah demi langkall.Pacta cara ini. jawaban didapat dari evaluasi pacta setiappertaJnbahan waktu LIt yang diaJnbil sebesar waktu yangcukllp untllk perhitungan yang tepat. Mulanya pactasetiap selang waktu. kondisi keseimbangan dinamisditetapkan daD kemudian jawaban untuk selang waktuLIt dievaluasi dengan dasar bahwa koefisien k(y) daDc(.i.) tetap konstan selama selang waktu LIt. Karak-teristik non linier dari koefisien-koefisien ini akandipertimbangkan dalam analisa dengan cara mengeva-luasi kembali koefisien-koefisien in pacta pennulaansetiap pertambahan waktu. Respons didapat denganmenggllnakan perpindahan dan kecepatan yang di-hitung pacta akhir selang waktu sebagai kondisi awaldari selang waktu berikutnya.

Ada berbag.'1i cara unulk men~akan integrasilangkall-demi-langkall dari persaInaan (12) di mana duacara yang populer adalah metoda percepatan konstandaD metoda percepataJl linier. Berikut ini akan diballasmetoda percepatan linier. di mana diketahui akanmemberikan hasil yang baik dengan hanya mem-blltllhkan perhitungan yang relatif singkat.

Pacta mctode percepatan linier dianggap bahwapcrcepatan dapat dinyatakan oleh fungsi linier terhad.:'1pWakUI selama selang waktu LIt (Gambar 2).

(20)Akhirnya, pindahkan semua besaran pertambahan dariperpindahan ~Yi yang tidak diketa1mi pada persamaan(20) ke bagian sebelah kiri, didapat

vk~ .y = t1F

" , (21)

k = k + 6m 3c.I i -+--.!.-

~t2 ~t'di mana

~

:iamhar 2 Anggapan varia..i linier dari percepalan selama..elang waktu tertentu

Percepatan dapat dinyatakan sebagai

.it ) = V +~ ( t-t ).V\ .I L\t r

(13)di mana ~.iii diberikan oleh persamaan (9). Integrasipersamaan (13) sebanyak dua kali terhadap waktu antarabatas Ii dan I menghasilkan

~ii 2.iI(t)=.Vi +.Yj(t-ti)++--At(t-tj) (14)

AF; = L\F; +m{~Yi +3Yi}+Ci{3Yi +TYi} (23)

Perlu dicatat bahwa persamaan (2 t) ekivalendengan persamaan pertambahan keseimbangan statisdan diselesaikan untuk mendapatkan pertambahan dari

perpindahan dengan membagi pertambahan beban L\F;dengan konstanta pegas ekivalen k, ' yaitu

AF~Yi = ~ (24)

k,Untuk mendapatkan perpindahan Yi+1 = y(/, + L\/) pactawaktu 1;+\ = Ii + M, harga L\Yi disubstitusikan ke

dalam persamaan (7) ct.'!n didapat

Yi+l = Yi +~Yi (25)

Kemudian pertambahan kecepatan L\Yi didapat daripersamaan (19) daD kecepatan pacta waktu li+1 = Ii + ~Idari persamaan (8) sebagai

Yi+i=Yi+L\Yi (26)Akhirnya, percepatan Yi+l pacta akhir tahapan untuk

Mu~vo Harr;.\' Pradono 251

Evaluasi persamaan (14) dan (15) pada waktu t = ti + fitmemberikan

Pro...iding Pertemuan llmiah Sain... Materi IIISerpong, 20 -21 Oktoher 1998 ISSN1410-2897

,vaktu did.1pat langsung dari persamaan gerak persamaan(1), di mana pcrsamaan tersebut. ditulis untuk waktutj+l = Ii +M. Sclanjutnya sesudah mengaturFJ = m.Vi'l pacta persamaan (2)didapat

berulang menurut siklus pembebanan. Energi yanghilang pada setiap siklus selaras dengan luas dalamlengkungan ikal rusteresis (hysteresis loop) seperti padaGambar 3(a). Sifat ini sering disederhanakan denganmenganggap suatu titik leleh (yield point) tertentu, dimana setelah melampaui titik ini perpindahan terjaditanpa ada penambahan beban. Sifat ini dikenal sebagaisifat elastoplastis. Lengkungan gaya-perpindahannyaterlihat pada Garnbar 3(b).

STUDIKASUS

(;aya pc,mlllh.1nI?

r

Pada studi kasus ini digunakan struktur seder-hana terdiri dari bangunan satu lantai yang dapatdianggap idealisasidari struktur berderajat kebebasantunggal. Model dari struktur tersebut dapat dilihat padaGambar 4(a). Anggap bahwa kolom struktur tersebutmemiliki sifat elastoplastis seperti terlihat pada Gambar4(c). Lantai diberi beban dinamis seperti terlihat padaGambar 4(b). Dianggap rasio redaman adalah x = 2%, 5%,dan 10%. Maksud daTi rasio redaman ini adalah untukmendekati harga yang selama ini diasumsikan oleh (3)untuk bangunan dari beton bertulang. Pengaruh dariperbedaan redaman tersebut terhadap respons strukt.urmenjadi bahasan pada makalah ini. Koefisien redaman

dihitung sebagai:

c= I:)ccr = .;2.[k;;;=0.05 x2.J4500 x 710000

= 5652.4 Nm / det.ik , unt.uk C; = 5%.

Untuk~=2%dan 10%, berturut.-turut.c=2261 daD 11305Nln/detik.

(a) PI",.i,

kN+71

~-..YRtai m~4mkg f{t)

.i:::".,:.:~.. ~. 7':'.~ ' -T ~

I ~ SO/.

.k1imr

k~710kNlnl

ft

t

-

-L001

~yY

-.

PI7pincIiHlI...ai (m)

(;aya pemllliha"f?

,.:1

(0)

71

--

5 t(th;k)05=t,

075=\,

Gambar 4 (a) Model Struktur, (b) PembehanalDinamis, (c) Ikal Histeresis Kolom

Perioda natural adalah T = 27rJ;;7"""k = 0.5detik, sehingga untuk kestabilan perhitungan numerik,dipilih Dt = T 110 = 0.05 detik.

Perhitungan selanjutnya dilakukan dengan pro-:;amhar J. Model Struktllr Ela1'to-Pla..ti1' (a) Sifat Pla1'tis{Imum (h) Sifat Ela1'toplastis

di mana gaya redaman F[).i+1 dan gaya pegas FS.i+1telah terevaluasi pacta waktu ti+1 .

Setelah menentukan perpindahan, kecepatan,dan percepatan pacta saat li"l = t; + ~t , proses di alas

diulang kembali untuk menghitung besaran-besarantersebut pacta saat 1'+2 = li+l +~t, kemudian prosestersebul diulang hingga pacta waktu yang ditentukan.

Jika stmktur dengan model sistem berderajat-kebebasan-tunggal dapat mencapai keadaan plastis,maka penggunaan gaya pemulihan mempunyai bentukseperti pacta Gambar 3(a). Ada satu bagian darilengkungan di mana dicapai sifat elastis di mana untukdefomlasi selanjutnya mempakan daerah terjadinyaleleh plastis (pla,.tic yieldin,I,7). Jika beban dikurangi(dibalik arahnya) dari stmktur, maka sifatnya menjadielastis kembali hingga mencapai leleh plastis tertekan

(compres.sive plasticyieldinR) pacta pembebanan yangberlawanan tandanya dengan beban sebelumnya.

Dengan cara ini, stmktur dapat dibebani secara

P,lJ.'iiding Perlemuan Ilmiah ,\'ains Materi /II,\'erpong, 20 -21 Oktober 1998 ISSN 1410-2897

untuk mewakili sifat redaman beton bertulang [2].Pemodelan redaman liat (vi."cous damping) adalah untukkemudahan matematis.

Percobaan kedua dilakukan untuk mengetahuipengamh daTi perioda gaya dinamis terhadap responsstmktur. Hal ini dilakukan dengan membah t pada

pGatllW 4(b) sehingga bertumt-tumt menjadi 0.75, 0.35,dan 0.20 detik. Pada Gambar 7 terlihat bahwa pada

gram komputer yang melakltkan semua perhitungandengan metoda integrasi langkah-demi-langkah sepertiditerangkan sebelumnya. Program ini dibuat olehpenulis sebagai tahap awal menuju progrmn selanjutnyauntltk struktur yang lebih kompleks.

Hasil perhitungan berupa grafik-grafik yangdapat dilihat pacta Gambar 5. Pad.1 gambar tampak bahwaperubahan rasio redaman mempunyai pengaruh yangcukup besar terhadap perpindahan maksimum lantaistruktur. Pacta rasio redaman 2%. 5%. daD 10%.perpindahan maksimum adalah bertumt-turut 0.092 m,0.078 m. dan 0.061 m. Perpindahan tersebut dapatdinyatakan sebagai daktilitas daTi struktur yaitumembaginya dengan perpindahan leleh (yield displace-ment).v = 0.0 I m (Gambar 4(c)). Untuk rasio redaman

Kcto"to~cB.G;Go

~

"~'~'~',""~l~,. !

-_-'~--I---~--R_~ ---R_~-R_-

-,. I" --, ---1- --I 1

"'1~35 ~ "'(~I "'

.I~~...,"1-"J

~I,

~I~

.5li-

t cJ -I~ ,.

--1-,

J,/

o~~452 25

Waklu «E\ik)

perioda gaya dinamis yang pendek yaitu 0.20 detik,respons dari stmktur menjadi baik, ini ditandai denganberkurangnya perpindahan maksimmn lantai.

Fenomena ini menunjukkan bahwa pada daerahyang jauh dari smnber gempa di mana perioda gayagempa pendek, maka stmktur akan lebih arnan. Sedang-kan pada daerah yang dekat dengan sumber gempa dilnana perioda gaya gempa panjang, makadesain strukturhams membuat struktur marnpu mengalarni perpindahanlantai yang besar tanpa kehilangan kekuatan. Hal iniyang menjadi tujuan dari desain bangunan tahan gempa.

Pada Gambar 8 terlihat bahwa pada saat gayadinmnis mencapai 10.65 kN, gaya geser di dasar stmkturtetap bertahan pada 7.1 kN (terjadi plastis). Gaya dinamisyang tidak ditahan oleh kolom diambil alih oleh gayainersia dan gaya redaman. Tampak ballwa gaya redaman

(iamhar 5. Cirafik perpindahan lallt."\i terhadap waktu

:~~~? t6: t

..~~2,;j

~~

~

~+

4000+

I -,--,: I~ ;:;~j t 1 ~ c0-

t-- ~ -'+:- -~ -R_WI t ~, 1

..JI',- ~.- --1- --'- -'11 I I

Z .'1 t.~2fXMI -~>-

i 0 f\~ ...~ \-'

.2fXMI .,.. -I .,

t, 1 ! r I;i! ., ..lilt

.4IXX): : :--J-.8m I

0 05 t. 35(cobalxll)

I I I

t5 2 25

Waktu (detik)45

Crambar 8. Gaya-Gaya Yang Terjadi Pada Struktur SelamaBeban Oinamis

2%. 5%. dan 10%. daktilitas berturut-turut adalah 9,2 ,7.8 .daD 6.1 , atau secara grafik dapat dilihat pactaGalnbar 6.

Oari gambar terlihat bahwa perubahan sedikitrasio redaman mengakibatkan perubahan yang cukupbesar pacta kebutuhan daktilitas struktur. Hal ini dapatmempengaruhi desain daktilitas struktur tersebut. Olehkarena itu. walaupun rasio redaman adalah kecil,penganlhnya terhadap perpindahan struktur tak dapatdiabaikan.

Sampai &1at ini belum diketahlli model yang tepat

253Mu(vo Harri.~ Pradono

01

:f007 t

OMro~i

Oo.t003t-

\~!-';i..;J;;;;.; , .'." I

"1~"'~'-1)O..Daktl"t3-~ &.rllktur

II -+-.~---I.--1.0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Rasio Red.,man (%) (~ktiI1.xls)

(jamhar 6. Pengaruh Ra.~io Redaman Terhadap Daktilita,,!Struktur

Pro.'iiding PertenrUlln Ilmiah .\'ain.'i Materi III.\'erpong, 20 -21 ()ktoher 1998 ISSN 1410-2897

terbesar terjadi pacta saat plastis ini terjadi. Inimenunjukkan bahwa pacta saat plastis terjadi, gayaredaman men,jadi sangat penting.

5.

Stmktur tidak Jx:rlu didesain secara kuat sekali dalammenerima gaya gempa, akan tetapiyangjuga Jx:ntingadalah daktilitas stmktur.

UCAPAN TERIMA KASmKESIMPULAN

Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekanOgi Ivano, MoSco yang telah membantu kornpilasi

pemrogramano

DAFTARPUSTAKA

[ I). HARlANDJ A, M (Editor) (1990), Dinamika Struk-tuf; Teori dan Perhitungan, Alih bahasa: Ir. ManuA.P., cetakan kedua, Penerbit Erlangga.

[2). CARR, A. J. (1996) Ruaumoko Users Manual, De-partmentofCivil Engineering, University of Can-terbury, New Zealand.

[3).. PAULAY, T. andPRIES11..EY, M. J. N. (1992) Seis-mic Design of Reinforced Concrete and MasonryBuildings, John Wiley & Sons, Inc., New York.

Dari analisis di atas dapat disimpulkan hal-halsebagai berikut:I. Besarnya asumsi redaman pada struktur berderajat

kebebasan tunggal dapat mempengaruhi responsdaTi stnlklllr.

2. Penelitian terhadap sifat redaman bet on bertulangperlu dilakukan IIntuk mendapatkan model redamanyang lebih tepat.

3. Gaya redaman terbesar tcrjadi pada saat struktur

mengalami plastis.4. Perioda gaya dinamis mempengaruhi respons

struktur. Implikasinya adalah gaya gempa yangmempunyai pcrioda gaya lebih panjang akan lebihberbahaya (llmumnya di dekat sumber gcmpa).

Mulyo Harris Pradono254