09 Redaman

3/30/2016

1

KL3102, Kelas 02Semester II 2015/2016

Persamaan gerak bebas teredam sistem MDOF:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0k&& &

Transformasi ke koordinat ragam {q} dan perkalian awal dengan [Φ]Tmenghasilkan:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0m u c u k u+ + =&& &

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0M q C q K q+ + =&& &

di mana[ ] [ ] [ ][ ]TC c= Φ Φ

2

3/30/2016

2

Tidak seperti matriks massa [M] dan kekakuan [K], matriks [C] belum tentu berupa matriks diagonal.[ ] p gSistem yang memiliki matriks [C] diagonal disebut memiliki redaman klasik (classical damping) atau redaman proporsional.Apabila matriks [C] tidak diagonal, sistem disebut memiliki redaman non‐klasik (nonclassical damping) atau redaman non‐proporsional.

3

Tinjau kembali struktur 2DOF pada contoh sebelumnya. Diketahui redaman tingkat 1 sebesar c, y g ,dan redaman tingkat 2 sebesar 4c.Periksa apakah struktur tersebut memiliki redaman proporsional atau tidak.

mu2

k 4c

2k

u12m

k 4c

c

4

3/30/2016

3

Frekuensi dan matriks ragam

Persamaan gerak:

1 1 1

2 2 2

2 0 5 4 3 00 4 4 0

u u um c c k ku u um c c k k

− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&& &

&& &

Frekuensi dan matriks ragam

[ ] [ ] [ ][ ] 1 2 5 4 1 1 5 7T c c c cC c

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ Φ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

[ ]1 2

1 12; ;2 12

k km m

ω ω⎡ ⎤

= = Φ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Periksa matriks [C]

[ ] [ ] [ ][ ]1 1 4 4 2 1 7 17

C cc c c c

= Φ Φ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Struktur memiliki redaman non‐proporsional.

5

Ulangi contoh 1 jika redaman tingkat 1 sebesar 4c, dan redaman tingkat 2 sebesar 2c.g

u12m

mu2

k 2c

2k

2m

4c

6

3/30/2016

4

Persamaan gerak:

P ik t ik [C]

1 1 1

2 2 2

2 0 6 2 3 00 2 2 0

u u um c c k ku u um c c k k

− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&& &

&& &

[ ] [ ] [ ][ ] 1 2 6 2 1 1 6 01 1 2 2 2 1 0 12

T c c cC c

c c c−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= Φ Φ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Periksa matriks [C]

Struktur memiliki redaman proporsional.

7

Matriks [C] diagonal pada sistem dengan redaman proporsional berupa:p p p

[ ]1

2

0 00 0

0 0 N

CC

C

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M O M

L

di mana

{ } [ ]{ }Ti i i

C cφ φ=

8

3/30/2016

5

Akibatnya, persamaan gerak:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }menjadi uncoupled:

atau

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0M q C q K q+ + =&& &

0i i i i i iM q C q K q+ + =&& &

22 0i i i i i iq q qζ ω ω+ + =&& &

di mana

2i

ii i

CM

ζω

=

i i i i i iq q qζ

disebut rasio redaman ragam (modal damping ratio).9

Respons persamaan gerak yang telah uncoupled:2

telah diperoleh sebelumnya (dari sistem SDOF) berupa:

22 0i i i i i iq q qζ ω ω+ + =&& &

( ) ( ) ( ) ( )0 00 cos sini i i i i it

i i Di Di

q qq t e q t tζ ω ζ ω

ω ω− ⎡ ⎤+= +⎢ ⎥

&( ) ( )0 cos sini i Di Di

Di

q t e q t tω ωω

+⎢ ⎥⎣ ⎦

10

3/30/2016

6

Tentukan respons struktur 2DOF pada contoh sebelumnya, jika diasumsikan rasio redaman y , jsebesar 2% untuk setiap ragam getar.Gunakan kondisi awal berikut:

{ } { }0 0

0.5 0;

1 0u u⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&(a)

{ } { }0 0

1 0;

1 0u u

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&

{ } { }0 0

0.5 0;

2 0u u

−⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

&

(b)

(c)11

di mana

Persamaan gerak dalam koordinat ragam2

1 1 1 1 1 12

2 2 2 2 2 2

2 0

2 0

q q q

q q q

ζ ω ω

ζ ω ω

+ + =

+ + =

&& &

&& &

di mana

1 2 1 22; ; 2%

2k km m

ω ω ζ ζ= = = =

Kondisi awal dalam koordinat ragam (telah dihitung pada contoh terdahulu):

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0.5 ; 0 0 ; 0 0 0q q q q= = = =& &

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0 ; 0 1; 0 0 0q q q q= = − = =& &

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0.5 ; 0 1; 0 0 0q q q q= = − = =& &

(a)

(b)

(c)12

3/30/2016

7

Respons dalam koordinat ragam

( ) ( ) ( )

[ ]

1 1

1 1

1 1 1 11 1 1 1

1

1 1

0 00 cos sin

0.5cos 0.01sin

tD D

D

tD D

q qq e q t t

e t t

ζ ω

ζ ω

ζ ωω ω

ω

ω ω

−

−

⎡ ⎤+= +⎢ ⎥

⎣ ⎦= +

&

(a)

Respons perpindahan

[ ]1 1

2

0.5cos 0.01sin0

D De t tq

ω ω+

=

{ } [ ]{ } 11 12 1

qu q

q⎧ ⎫⎡ ⎤

= Φ = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭

[ ][ ]

1

1

2

0.021 1 1

0.022 1 1

2 1

0.5cos 0.01sincos 0.02sin

tD D

tD D

q

u e t tu e t t

ω

ω

ω ωω ω

−

−

⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎧ ⎫+⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎩ ⎭ ⎩ ⎭

13


[ ]2 2

1

2 2 2

0

cos 0.02sintD D

q

q e t tζ ω ω ω−

=

= − −

(b)

Respons perpindahan

{ } [ ]{ }

[ ]2

1

2

0.02

1 12 1

0 02 it

qu q

q

u t tω−

⎧ ⎫⎡ ⎤= Φ = ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎧ ⎫⎧ ⎫ [ ]

[ ]2

2

0.021 2 2

0.022 2 2

cos 0.02sincos 0.02sin

tD D

tD D

u e t tu e t t

ω

ω

ω ωω ω−

⎧ ⎫− −⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎩ ⎭ ⎩ ⎭

14

3/30/2016

8


[ ][ ]

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

0.5cos 0.01sin

cos 0.02sin

tD D

tD D

q e t t

q e t t

ζ ω

ζ ω

ω ω

ω ω

−

−

= +

= − −

(c)

Respons perpindahan

{ } [ ]{ }

[ ]1

1

2

0.021 1 1

1 12 1

0.5cos 0.01sintD D

qu q

q

u e t tω ω ω−

⎧ ⎫⎡ ⎤= Φ = ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭= +

[ ][ ][ ]

2

1

2

0.022 2

0.022 1 1

0.022 2

cos 0.02sin

cos 0.02sin

cos 0.02sin

tD D

tD D

tD D

e t t

u e t t

e t t

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

−

−

−

+ − −

= +

+ +

15

Matriks redaman [c] yang menghasilkan matriks diagonal [C] adalah matriks yang proporsional g [ ] y g p pterhadap matriks massa [m] dan/atau matriks kekakuan [k].

[ ] [ ] [ ]c a m b k= +

16

3/30/2016

9

[ ] [ ]c a m=[ ] [ ]

{ } [ ]{ }Ti ii i

C a m aMφ φ= =

2ζ aζ2 i ia ζ ω=2i

i

aζω

=atau

17

Sebuah bangunan geser tiga tingkat diketahuimemiliki karakteristik dinamik sebagai berikut:g

[ ] 2

400 0 01 0 400 0 kips-s /in.

386.40 0 200

m⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1 0−⎡ ⎤⎢ ⎥

1

2

3

12.5734.33 rad/s46.89

ωωω

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭⎩ ⎭

[ ] 610 1 2 1 kips/in.0 1 1

k ⎢ ⎥= − −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]0.401 0.803 0.4010.695 0 0.6950.803 0.803 0.803

⎡ ⎤⎢ ⎥Φ = −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦18

3/30/2016

10

Tentukan matriks redaman [c] jika redamandianggap proporsional terhadap massa dan rasiogg p p p predaman ragam pertama adalah 5%.Tentukan pula nilai rasio redaman untuk ragamgetar kedua dan ketiga.

19

Solusi:

( )( )1 12 2 0.05 12.57 1.257a ζ ω= = =

1.301 0 0⎡ ⎤[ ] [ ]

.30 0 00 1.301 00 0 0.651

c a m⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )22

1.257 1.83%2 2 34.33aζω

= = =( )

( )

2

33

1.257 1.34%2 2 46.89aζω

= = =

20

3/30/2016

11

[ ] [ ]c b k=[ ] [ ]

{ } [ ]{ } 2Ti i ii i

C b k b Mφ φ ω= =

2 ib ζibωi

i

b ζω

=2

ii

bωζ =atau

21

Ulangi contoh 4 jika redaman dianggap proporsionalterhadap kekakuan.pTentukan matriks [c] untuk rasio redaman ragampertama 5%, dan kemudian tentukan nilai rasioredaman untuk ragam getar kedua dan ketiga.

22

3/30/2016

12

Solusi: ( )1

1

2 0.052 0.00795512.57

b ζω

= = =

9.706 4.853 0−⎡ ⎤[ ] [ ]

9.706 4.853 04.853 9.706 4.853

0 4.853 4.853c b k

⎡ ⎤⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )22

0.007955 34.3313.66%

2 2bωζ = = =

( )( )33

2 20.007955 46.89

18.65%2 2

bωζ = = =

23

[ ] [ ] [ ]c a m b k= +[ ] [ ] [ ]

( )2i i iC a b Mω= +

11i

ia ωω ζ−

⎡ ⎤⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎢ ⎥ba ω

21

i i

jjj

ab

ω ζζωω

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦2 2

ii

i

ba ωζω

= + atau

24

3/30/2016

13

Ulangi contoh 4 jika matriks redaman berupaRayleigh damping dan rasio redaman ragamy g p g gpertama dan kedua diketahui sebesar 5%.Kemudian tentukan nilai rasio redaman untukragam getar ketiga.

25

Solusi:11 12.57 0.05 0.920112.572

1 0.05 0.002134.3334.33

ab

−⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]3.554 1.301 01.301 3.554 1.301

0 1.301 1.777c a m b k

−⎡ ⎤⎢ ⎥= + = − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )( )

( )( )33

3

0.0021 46.890.9201 5.98%2 2 2 46.89 2

ba ωζω

= + = + =

26

3/30/2016

14

[ ] [ ] [ ] [ ]( )1

1

0

N j

jj

c m a m k−

−

=

= ∑0j=

di mana N adalah jumlah derajat kebebasan.

Penjumlahan di atas tidak harus dilakukan sepenuhnya, tetapi dapat diambil beberapa suku pertama saja.

1 suku: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]

010 0

0 11 10 1

0 1

c m a m k a m

c m a m k a m k

a m a k

−

− −

= =

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦= +

2 suku:

27

Modal damping ratio:1

2 1

0

12

Nj

i j ij

aζ ω−

−

=

= ∑

28

3/30/2016

15

Konstruksi matriks redaman klasik dapat dimulai dari: T

di mana [C] matriks diagonal berisikan

Dengan demikian matriks redaman [c] dapat

[ ] [ ] [ ][ ]TC c= Φ Φ

2i i i iC Mζ ω=

Dengan demikian matriks redaman [c] dapat diperoleh dari

[ ] [ ]( ) [ ][ ]1 1Tc C

− −= Φ Φ

29

Untuk menghindari perhitungan invers matriks:

[ ] [ ] [ ][ ]TM Φ Φ

Sehingga

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]( ) [ ][ ][ ]

1 1

1 1

T

T

M m

M m

m M

− −

− −

= Φ Φ

Φ = Φ

Φ = Φ

Sehingga

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]1 1 Tc m M C M m− −= Φ Φ

30

3/30/2016

16

Karena [M] diagonal, inversnya [M]–1 juga matriks diagonal dengan anggota 1/Mi , sehingga:g g gg / i , gg

Penjumlahan di dalam kurung merupakan kontribusi ragam ke‐i dengan rasio redaman ζi

[ ] [ ] { } { } [ ]1

2NTi i

i ii i

c m mMζ ω φ φ

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

g g ζiterhadap matriks redaman [c].

31

Documents

09 Redaman