Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick

1) Mise en évidence de la diffusion

Définition :

Un phénomène de diffusion apparaît donc comme un phénomène de transport de particules sans mouvement macroscopique du support, ici l'air.

Propriété :

Ce transport se produit dans un système initialement hors équilibre, des régions riches en particules vers les régions pauvres en particules ;il tend à uniformiser irréversiblement la répartition des particules qui diffusent.

Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick

1) Mise en évidence de la diffusion

2) Courant de particules

a) Les échelles

Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick

1) Mise en évidence de la diffusion

2) Courant de particules

a) Les échelles

b) Le vecteur densité de flux de particules

Md

dN(t)

n(M,t)

dN(t) = n(M,t).d

Surface mésoscopique dS

dSM

Définition :

2N, le nombre élémentaire de particules diffusées à travers la surface élémentaire dS, centrée en M, ouverte, orientée dans le sens de dS entre les instants t et t + dt, est compris dans un cylindre oblique de base dS et de génératrice dr = v.dt :

2N = n(M,t).dS.dr = n(M,t).v(M,t).dS.dt

d = dS.dr = v.dS.dt

2N = n.d = n.v.dS.dt

dr = v.dt

dS

v

dSM

2N = jN.dS.dt

Surface mésoscopique dS

dSM

jN

2N = jN.dS.dt > 0dS

jN

2N : grandeur algébrique

2N = jN.dS.dt < 0dS

jN

2N = jN.dS.dtdS

jNux

2N’ = jN.dS’.dt

dS’

jN

ux

2N’ = 2N

dS’ dS

dS’.ux = dS.ux

A partir de ce vecteur jN nous pouvons définir le flux

élémentaire algébrique de particules diffusées :

Définition :

= jN.dS 2N = .dt

d

+

P

dS

MjN(M)

= Σ

Nj .dS

Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick

1) Mise en évidence de la diffusion

2) Courant de particules

3) Loi de Fick

Deux observations qualitatives :

• La diffusion cesse lorsque la densité particulaire n(M,t) est homogène ;M, jN(M,t) doit s'annuler lorsque gradn = 0

• Le transfert par diffusion appauvrit les zones riches en particules diffusées donc jN(M,t) est dirigé des régions riches vers les régions pauvres, i.e. dans le sens des n(M,t) décroissants ou dans le sens opposé à gradn

Loi de diffusion de Fick

En M, à la date t :

jN = – D.gradn

Ordres de grandeur :

• Pour un gaz

• Pour un liquide

• Pour un solide

: D 10–5 m2.s–1

: D 10–9 m2.s–1

: D 10–30 m2.s–1

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

a) Le cas unidimensionnel

Ne(x + dx,t)

Ne(x,t)

jNux

x + dx

dS2

S

dS1

S

x

1 2

Nc(t)

En M, à la date t :

Equation locale unidimensionnelle de la conservation du nombre de particules diffusées

σNj n

x t

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

a) Le cas unidimensionnel

b) Le cas tridimensionnel

) Bilan global

M

V

jN(M,t)

dS(P)

jN(P,t)

P

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

a) Le cas unidimensionnel

b) Le cas tridimensionnel

) Bilan global

) Bilan local

En M, à la date t :

Equation locale de la conservation du nombre de particules diffusées

σn

div tNj

σn

div(n. ) t

v

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

2) L'équation de diffusion

a) L’équation de diffusion

En M, à la date t :

Equation locale de diffusion de particules

Δ σn

D. n t

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

2) L'équation de diffusion

a) L’équation de diffusion

b) Linéarité et unicité de la solution

) La linéarité

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

2) L'équation de diffusion

a) L’équation de diffusion

b) Linéarité et unicité de la solution

) La linéarité

) L’unicité de la solution

Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules

1) Bilan de matière

2) L'équation de diffusion

a) L’équation de diffusion

b) Linéarité et unicité de la solution

c) Irréversibilité

Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0

1) Le régime stationnaire ou permanent

N0

jN(0) = 0jN(L) = 0

Régime stationnaire sans aide extérieure

n0.S.L = N0

0 L x

jN(L) 0

Régime stationnaire avec aide extérieure

0 L x

n(x) = n0 + (nL – n0) Lx

n0 nL

jN(0) 0

Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0

1) Le régime stationnaire ou permanent

2) Le régime d'homogénéisation

a) Expression de la solution

N0

t, n(x = ,t) = 0

Régime d’homogénéisation

0 x

n(x,t) =

Dt4x

expDt4S

N 20

Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0

1) Le régime stationnaire ou permanent

2) Le régime d'homogénéisation

a) Expression de la solution

b) Commentaires

Diffusion de particules

Densité volumique

0x

n(x)

largeur à mi – hauteur : 2 = 2 D.t.ln2