Phuong trinh

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh-bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

1

Lôøi noùi ñaàu

Trong caùc kì thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc, phöông trình chöùa caên laø moät

trong nhöõng phaàn quan troïng naèm trong caáu truùc ñeà thi moân Toaùn.

Ña soá caùc baøi ñöôïc ra thöôøng laø phöông trình caên thöùc khoâng maãu

möïc neân khoâng coù ñònh höôùng hay phöông phaùp giaûi cuï theå.

Tuy nhieân, ñoái vôùi töøng baøi toaùn thì vaãn coù theå tìm ra caùc phöông

phaùp giaûi, caùc maáu choát ñeå nhaän bieát ñöôïc nhöõng yeâu caàu ñeå giaûi moät

baøi phöông trình.

Vì theá, moät soá daïng thöôøng gaëp trong chuyeân ñeà sau tuy khoâng ñuû taát

caû caùc daïng nhöng noù ñaõ mang phaàn lôùn caùc daïng toaùn vaø caùc phöông

phaùp giaûi , coù theå giuùp taêng kó naêng nhaän bieát ñöôïc nhöõng maáu choát

cuûa moät baøi toaùn vaø nhöõng ñònh höôùng trong giaûi baøi taäp.

ÔÛ phaàn phöông trình, taäp trung saâu vaøo phöông trình voâ tæ, ngoaøi ra

coøn coù moät soá baøi toaùn phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái, phöông

trình baäc cao vaø moät soá daïng khoâng maãu möïc khaùc vôùi caùc phöông

phaùp giaûi nhö ñaët aån phuï, ñöa veà heä, ñaùnh giaù,..…

Hy voïng chuyeân ñeà seõ ñem laïi nhöõng kó naêng vaø phöông phaùp giaûi toát

hôn cho caùc baøi toaùn phöông caên thöùc khoâng maãu möïc ñeå phuïc vuï cho

kì thi tuyeån sinh ñaïi hoïc.



2

A . LYÙ THUYEÁT

* CAÙC PHÖÔNG PHAÙP THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:

- Bieán ñoåi töông ñöông : ÔÛ phöông phaùp naøy ta thöïc hieän caùc pheùp ñôn

giaûn nhö coäng, trö,ø nhaân, chia, luyõ thöøa, khai caên, log, nhaân lieân hôïp ...

ñeå giaûi tröïc tieáp baøi toaùn.

VD:

2 2

2 2 4 2

2 2 2 2 16 2 2 8 8

174 16 64 16 68

4

x x x

x x x x x x x

x x x x x tm

- Duøng haèng ñaúng thöùc hoaëc caùc coâng thöùc coù saün: Söû duïng caùc coâng

thöùc vaø haèng ñaúng thöùc coù saün bieàn ñoåi veà caùc daïng phöông trình

ñôn giaøn hôn, caùc coâng thöùc thöôøng söû duïng laø:

2 32 2 3 3

3 3 2 2 1 2

2 ; 3

; ...n n n n n

a b a b ab a b a b ab a b

a b a b a ab b a b a b a a b b

VD:

2 2

2 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 01 1 1 1 1 1 1 1 0

1 1

x x x x x

x x

xx x x x vn

x

- Coäng, tröø, nhaân, chia 2 veá vôùi cuøng moät soá : Sau khi thöïc hieän caùc

pheùp toaùn vôùi moät soá thích hôïp phöông trình coù theå giaûi tröïc tieáp

hoaëc söû duïng caùc phöông phaùp khaùc.

- Ñöa veà tích : Ñaây laø caùch khaù phoå bieán trong caùc baøi taäp, noù coù daïng :

1

2

1 2

0

0. .... 0

...

0

n

n

f x

f xf x f x f x

f x



3

VD:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

02 2 1

; 1 2;

* 0

* 2; :

1 1 2 2 2 1 2 1 2 4

92 2 2 1 4 2 4 4 1

8

* ; 1 : 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4

92 2 2 1 4 2 4 4 1

8

xx x x x x

x

x tm

x

x x x x x x x

x x x x x x x x l

x x x x x x x x

x x x x x x x x n

- Ñöa veà toång : Ta ñöa veà toång caùc bình phöông hoaëc moät soá lôùn hôn 0

ñeå ñaùnh giaù nghieäm

1 2

2 2

22 2

1 2 1 2

2 2

0 0

... 0 ... 0

0 0

mnn n

m m

a b a b

a a a a a a

a b q q ptvn

VD:

2

2

22

3 2 1 4 0 1

4 4 2 1 0

2 1 1 0 2

x x x x

x x x x

x x x

- Ñaët aån phuï toaøn phaàn : khi nhìn thaáy nhöõng moái lieân heä giöõa caùc

phaàn töû trong phöông trình, ta ñaët aån phuï roài töø caùc lieân heä ñöa veà

phöông trình theo aån môùi ñôn giaûn hôn

VD:

2

2

2

13 1 2 2 2 5 3 9 2 1 2

3

3 1 2 0

2 2 3 1 2 3

3 2 2 3 1 2

x x x x x x

t x x

t x x x

t x x x

Khi ñoù phöông trình trôû thaønh :



4

2 2

2

22 2

33 9 12 0

4

* 3

3 1 2 3

2 3 2 3 1 2 9 2 5 3 3 3

1

2 5 3 3 4 11 7 0 7

4

tt t t t

t l

t

x x

x x x x x x x

x

x x x x xx

- Ñaët aån phuï khoâng toaøn phaàn : Gioáng nhö ñaët aån phuï toaøn phaàn, ta ñaët

aån phuï nhöng khoâng ñöa toaøn boä pt veà aån môùi maø chæ ñöa moät soá

phaàn töû lieân quan, sau ñoù söû duïng tam thöùc hoaëc ñaùnh giaù ñeå giaûi.

VD: 2 24 1 2 2 1x x x x

Ñaët:

2

2 2

2 2

2 2

2

2

1 1

1 4 1 1 2 1 2 1

4 1 2 2 1 2 4 1 2 1 0

1

4 1 8 2 1 4 3 2

2 1

* 2 1

1 41 2 1

33 4 0

t x t

x x x x

x t t x t x t x

t lx x x

t x

t x

xx x x

x x

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : 4

3x

- Ñaët nhieàu aån trong moät phöông trình ñöa veà tích hoaëc toång : Phöông

phaùp naøy cho pheùp ta ruùt goïn tính phöùc taïp cuûa phöông trình, khi ñoù

caùc aån môùi seõ taïo ra moät phöông trình hoaëc heä ñôn giaûn hôn. Tuy

nhieân khoâng phaûi baøi naøo cuõng laøm ñöôïc caùch naøy.

VD: Giaûi phöông trình :

2

1 3 2 3 2 2 1 1x x x x x



5

Ñaët

2

22

11 0

3 2 3

a xa x

b x b x

Phöông trình (1) trôû thaønh :

2 2

2 22 2

0 0 02 2

2 0

1 3 5

a b a b a ba b b a

a ba b a b a b

a b x x x

- Ñöa veà heä phöông trình: Sau khi ñaët caùc aån nhö treân ta ñöa veà heä.

Thöôøng thì seõ coù theâm moät phöông trình theå hieän moái lieân quan giöõa

caùc aån, coäng vôùi phöông trình ban ñaàu ta ñöôïc heä môùi.

VD: 3 32 21 18 5x x

Ñaët

3 2 3 2

3 3

3 23 2

1 119

1818

a x a xb a

b xb x

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh heä :

33 3 3

3 2 2

2

3 2

55

19 5 19

2 15 75 144 0 3 2 9 48 0

3

2 9 48 0

* 3 18 3 3

a ba b

b a b b

b b b b b b

b

b b vn

b x x

Vaäy phöông trình coù nghieäm 3x

- Löôïng giaùc hoaù: Neáu ñieàu kieän nghieäm 1;1x ta nghó ñeán phöông

phaùp löôïng giaùc hoaù, ñaët x = sint (hoaëc cost)

VD: Giaûi pt :

23 32 2 1

1 1 1 1 133

1 1

xx x x

x

Ñaët ; cos ;0 sin 0x t t t

Phöông trình (1) trôû thaønh :



6

23 32

3 3

2 sin1 1 cos 1 cos 1 cos

33

2 sin2 1 sin 2 cos sin

2 2 3 3

2 sin2 2 cos sin cos sin 1 cos sin

2 2 2 2 2 2 3

1 12 sin 6 cos 1 0 cos

6 6

tt t t

t t tt

t t t t t t t

t t t x

Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát 1

6x

- Phöông phaùp ñoái laäp : Noùi caùch khaùc laø chöùng minh bñt lieân quan roài

ñaùnh giaù

: :

1/

2 /

3 /

4 /

pt f x g x cm

f x g x

f x g x

f x A g x

f x A g x

5/ : &cm f x g x coù moät ñieåm chung

VD:

2 2

2 2

2 2

15 3 2 8 1

7 215 8 3 2 3 2

315 8

x x x

x x x x xx x

Ñaët ;f x VT g x VP

Deã thaáy VT giaûm treân 2

;3

, VP taêng treân

2;

3

neân ñoà thò haøm

&f x g x coù duy nhaát moät ñieåm chung.

Deã thaáy 1x laø nghieäm cuûa 1 .

Vaäy 1 coù nghieäm duy nhaát 1x

- Phöông phaùp haøm soá : söû duïng tính ñôn ñieäu ta cm phöông trình coù

nghieäm duy nhaát roài nhaåm nghieäm ñaëc bieät, hoaëc khaûo saùt haøm tìm

mieàn nghieäm



7

- Phöông phaùp ñoà thò : cm nghieäm duy nhaát hoaëc xaùc ñònh khoaûng giao

nhau giöõa 2 ñoà thò

- Phöông phaùp tam thöùc: thöôøng söû duïng vôùi pp ñaët aån khoâng toaøn phaàn

sau ñoù tìm moái lieân heä môùi giöõa aån ban ñaàu vaø aån phuï.

- Phöông phaùp vector: Söû duïng tính chaát vector ñaùnh giaù nhö :

1/ ;" "

0 _ _ 02 / ;" "

ab a b a b

a or ba b a b

a b

Ñöa phöông trình veà caùc bieåu thöùc daïng : 2 2a b ,choïn caùc vector roài

duøng caùc baát ñaúng thöùc treân.

VD: Giaûi pt:

2 2

2 2 1 3 1 31 1 2 2

2 4 2 4x x x x x x

Xeùt 2 vector:

2

2

1 3 1 3;

2 2 2 4

1 3 1 3;

2 2 2 4

1; 3 2

a x a x

b x b x

a b a b

Ta coù:

2 21 3 1 3

22 4 2 4

1 3

2 2" " 1 01 3

2 2

a b a b x x

x

a b x

x

- Ñaùnh giaù: Thöïc chaát laø toång hôïp nhieàu phöông phaùp treân nhö duøng

bñt, duøng tính chaát toång caùc bình phöông, duøng haøm, duøng ñieàu kieän

tröïc tieáp trong quaù trình giaûi ñeå ñaùnh giaù vaø choïn nghieäm hoaëc

chöùng minh voâ nghieäm



8

B . BAØI TAÄP

1/

2

22

2 2

22

2 2

1 2 2 1 ; 2 0 1;

* 0

* 1; :

1 1 2 2 2 1 2 1 2 4

4 2 2 1

94 4 8 4 4 1 8 9

8

* ; 2 :

1 1 2 2 1 2 2 1 2 4

4 2 2 1

4 4 8 4 4 1 0 9

x x x x x x

x n

x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

x x x

x x x x vn

2/

2 2

222

2 2

2 2

12 1 3 1 0 2 2 1 2 6 2 0

2

2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 1

2 1 2 1 1 1

2 1 1 2 1 2

1* 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 0

2 2

1* 2 2 2 3 1 1 2 3 2 2 0

2 2

x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

xx x x x x

x

xx x x x x

x

3/



9

2 2

2 2

2

2 2

3 1 3 1 1

3

3:

1 1 1 11 1 1

3 3 3 1

3 1 1 9 2 2

x x x x

x l

x

x x x xx x x x x

x x x x x

4/

2 5 5 5x x x

Ñieàu kieän

Ñaët

5/: (*)



10

Ñaët

Do ñoù (*)

Laáy (1) tröø (2) ta coù:

Vậy (*)

Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 3 nghieäm

6/ (*)

Ñaët

(*)



11

Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm

7/ x


8/

ÑK :

1 1 0 1 2x x

(TM)

1 1 0 2x x

(TM)


9/



12

Ñieàu kieän


10/ 2 23 10 12x x x x (*)

Ñieàu kieän

(*) 23 10 3 4x x x x

2

3

10 4

x n

x x l

Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát

11/ 3 2 1 1 1x x x

Ñaët

323

3 2

121 1

11 0

u vu xu u

u vv x v



13

3 2

0 2

2 0 1 1

2 10

u x

u u u u x

u x

12/ (*)

Ñaët

Phöông trình trôû thaønh (*)

(*)

Vaäy ta coù

Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát

13/



14

33 33

2 33

2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 16

4 3 16 4 1 16

x x x x x x x

x x x x

Giải (**) : Đặt

(**)

Thay vaøo ta coù

vaäy phöông trình coù 5 nghieäm phaân bieät

14/ (*)

Ñ K :



15

(*)

*) Với thì :

(loaïi)

* laø nghieäm

*

(*)

Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät

15/



16

3 2 3

3 3 2

3 3

33 23

3 32 2

2 4 7 3 28 0 7

2 2 4' 7 3

3 2 73

2 1 3 181 3

3 2 7

2 1 2 2 9* 3 0

3 3

3 18 3* 0

2 7 2 7

x x x x x x

f x VT

xf x x

x xx

x

x x x

x x x

x x

x

x x

'f x nghòch bieán 0f x coù nghieäm duy nhaát.

Deã thaáy 8x laø nghieäm.

Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát 8x

16/1

5x

17/

Ñaët ta coù phöông trình .

Vôùi t=2x ta coù phöông trình hay .

vaäy phöông trình voâ nghieäm

18/

Ñieàu kieän:

Ñaët



17

Phöông trình trôû thaønh

+ vôùi ta coù phöông trình

(vn)

+ Vôùi ta coù phöông trình

(thoaû maõn)

Vaäy phöông trình coù nghieäm

19/

Ñieàu kieän

Ñaët

phöông trình trôû thaønh



18

(vô lí vì )

Từ

(thoaû maõn ñk)Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm

20/

Bieán ñoåi pt veà daïng:

Laïi coù

vaø

vaäy . Daáu ñaúng thöùc khi: x=11;y=5.

Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm (x=11;y=5).

21/

Ñ K



19

Ta coù

vaäy phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm

22/

Ñieàu kieän

Pt ñaõ cho2 24 2 4x y y x y

Deã thaáy VT coøn VP do ñoù ta suy ra VT=VP=0 ,ñieáu naøy cuõng ñoàng

nghóa vôùi:



20

Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm .

23/

Ñaët ta có:

Vì neân coù . Töø ñoù coù caùc tröôøng hôïp

0, 0, 1

0, 1, 0 1

1, 0, 0

a b c

a b c x

a b c

24/

2 2

2 2

222

22

22 2 2

2 2

2

22 4 2

12 1212 0

1212

122 112

1212

42 1 1 0 1 12 0

3

x x xx x

a a b xa b xx

b xxxb a x b a

b x xx

xb b b b x x

x

25/

Vieát phöông trình veà daïng:

Khi x=1 phöông trình voâ nghieäm

Khi x khaùc1 ta coù phöông trình



21

Ñaët ta coù phöông trình: . Giaûi phöông trình ñöôïc

+vôùi t=7 có: coù nghieäm: x=2; x=4.

+vôùi ta coù phöông trình: . Pt voâ nghieäm.

Vậy PT có nghiệm: x=2; x=4.

26/

27/

Đk:

ñaët

phöông trình

(loại)

Vaäy

(đk: )



22

(tmđk)

Vaäy

27/

Ñieàu kieän 0x

2

6 1 4 2 2 6 1 4 2 8 2 3 2 8 2 3

6 1 4 2 8 2 3 8 8 2 0

pt x x x x x x x x

x x x x x x

1

2x ( thoaû maõn)

28 /

Ñaët

hoặc

* vôùi thì

* vôùi thì

phöông trình coù 2 nghieäm vaø

29/

Ñ K



23

ñaët

(thoaû maõn)

30/:

Ñk

2 2 2 2

2 4 2 4 2

0

2 6 1 2 1 6 1 1

6 1 2 1 4 0

x

pt x x x x x x

x x x x x

31/3

41

16 12

x x

3 34 4

24

1 1 116 1 16 1

2 8 2

1 1 1 116 1

2 2 4 2 2

1

2

x x x x

xx x x x

x

32/

Aùp duïng bñt coâ si

Do ñoù

33/



24

Ñk

ñaët

phöông trình ñaõ cho trôû thaønh

Vì

vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát

34/:

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

Töø ñoù suy ra pt coù nghieäm

35/



25

Ta coù x=0 laø nghieäm. Vôùi x khaùc 0 :

hoặc x=-1.

Vaäy phöông trình coù nghieäm

36/

ñieàu kieän

(thoaû maõn ñieàu kieän)

37/

(*) (ĐKXĐ: )

Ñaët . Khi ñoù



26

* thì pt (*) voâ nghieäm

* thì (TM (*))

* thì (loại)

Vaäy pt coù nghieäm duy nhaát x = -1.

38/ (*)

Ñaët . Khi ñoù(*) trôû thaønh:

* vôùi thì

* vôùi thì

Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm và .



27

39/ x3-3x

2+2 )2( 06)2( 3 xxx

043

41298126)1(

)2( 43)2(

)3

2-(x 23)2(

)1(31)2(

)1(31)2(

)1(91)2(

)1(91)2(2)2(

23

223

3

3

3

3

22

3

233

xx

xxxxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xxx t

Xét y=x3 - 3x

2+4=0

Y’=3x2-6

Xét hàm y’(x) tren [-2/3,+ )

Vậy VT 0)12(2 (Vô nghiệm)

(2) <=> x3+6x

2+12x+8=9x

2 +24x/+16

x3-3x

2-12x-8=0

<=> (x-1)(x2-2x+8)=0

<=>x=1

x

y’

y

-2/3 2 +

- +

2( 12 )

40/

Ta coù neân coù

coù phöông trình: a+b=1+ab hay: (a-1)(b-1)=0.

TH1: a=1: x-2=1 hay: x=3



28

TH2: b=1: . Phöông trình voâ nghieäm vì . Vaäy

phöông trình coù nghieäm duy nhaát x=3

41/

Ñ K

42/

Ñ k

ñaët

Töø ñaây ta coù


Thay vaøo (2) ta coù



29

Vaäy taäp nghieäm phöông trình laø

43/

Ta coù Pt ->

22

2

22 37 20 4 2 2

37 19 6

xx x x x x

x x vn

44/

Ñaët ->phöông trình töông ñöông heä

Vì neân coù x=y thay vaøo (1) ta

coù nghieäm cuûa phöông trình

45/

laø nghieäm (1).

Vôùi thì neân veá traùi lôùn hôn 1

Vôùi thì neân veá traùi nhoû hôn 1

Vaäy laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (1).



30

46/

(1)

Veá traùi .

Veá phaûi

Vaäy 2 veá pt ñeàu baéng 5 khi vaø chæ khi

Keát luaän

47/

:

Ñieàu kieän

+ vôùi , phöông trình (1) trôû thaønh

Do vôùi moïi neân phöông trình (2) voâ nghieäm

+Vôùi




31

Keát hôïp ñieàu kieän , ta coù 2 nghieäm 1 5; 1 13x x

48/

Roõ raøng x=0 khoâng laø nghieäm

Chia caû 2 veá cho ta ñöôïc

Đặt

Ta có:

3 2

3

2 0 1 2 0 1

1 1 1 51 1

2

t t t t t t

x x xx x

49/

ñieàu kieän x>=1 hoặc -1<=x<0 .

Chia 2 veá cho ta ñöôïc

Ñaët ta coù t =1 hoaëc t=-3 (loaïi vì t>=0).

Giaûi hoặc x=

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø và x=

50/

ÑK:



32

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

Giaûi (1) ta coù x=0.

Giaûi (2) ta coù x=1.

51/

Phöông trình töông ñöông vôùi

Giaûi(1) ta coù (voâ nghieäm)

Giaûi (2) ta coù:x=0.

HOÏC – HOÏC NÖÕA – HOÏC MAÕI



33

Documents

Phuong trinh