Click here to load reader

Platonova Tela

  • View
    43

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sva Platonova tela ilustrovano i objašenjeno

Text of Platonova Tela

POLIEDRI

41

Matematiki fakultet

Univerzitet u Beogradu

SEMINARSKI RAD

PLATONOVA TELA

student

Prof. dr. Zoran Lui

Aleksandra Filipovi

ML 93/94

1. POLIEDRI U PREDHELENSKO DOBAPojam poliedar se ne nalazi u Euklidovim "Elementima"; on koristi pojmove (geometrijsko) "telo", oktaedar, dodekaedar, ali ne pominje uopteno geometrijsko telo ogranieno ravnima. Glavno interesovanje Grka vezano za figure ovog tipa odnosilo se na pet pravilnih poliedara, a to su tetraedar, oktaedar, heksaedar, ikosaedar i dodekaedar. Verovatno je da je Pitagora (540.g. p.n.e.) svoje znanje o kocki, tetraedru i oktaedru doneo iz Egipta ali da su se ikosaedar i dodekaedar razvijali u njegovoj koli.

Budui da se pet pravilnih poliedara javljaju u prirodi u pravilnom ili skoro pravilnom obliku kao kristali nekih hemijskih jedinjenja, izvesno je da su ljudima bili poznati i u praistorijsko doba. Postoje ostatci, pre svega tetraedra, kocke, oktaedra, a zatim i ikosaedra koji otprilike datira jo iz Ptolomejskog doba u Egiptu. Zatim, na planini kod Padove u severnoj Italiji otkriven je pravilan dodekaedar Etrurskog porekla za koji se smatra da datira iz prve polovine prvog milenijuma pre nove ere. Takoe, postoji izvestan broj (oko 26) zanimljivih prastarih Keltskih bronzanih figura u obliku pravilnog dodekaedra koji se uvaju u raznim muzejima. Verovatno da je postojao neki mistiki ili religijski znaaj koji se pripisivao ovim figurama. Poto kamen u obliku dodekaedra otkriven u severnoj Italiji, datira jo iz praistorije, mogue je da su Kelti svoju ideju dobili iz tih predela (juno od Alpa) i takoe je verovatno da je ovaj oblik ve bio poznat u Italiji kad su Pitagorejci poeli svoje uenje.

Meutim, istorija pravilnih poliedara ne poinje otkriem pojedinih pravilnih geometrijskih tela, ve saznanjem da ta pojedinana tela imaju neka zajednika svojstva koja ih karakteriu. U tom smislu pojam pravilnog poliedra u predhelensko doba nije postojao, kao to nije bilo ni geometrije, iako je bilo nekih praktinih geometrijskih znanja. Prvi pravi geometrijski pojmovi i prvi dokazi geometrijskih teorema su tekovine grke civilizacije. Tako je i pojam pravilnog poliedra ustanovljen u klasinoj Grkoj. Uvoenje ovog pojma imalo je pored kosmoloke i estetsku motivaciju. Od tog vremena pa do danas pravilni poliedri se prouavaju zajedno i yporeuju jedni sa drugima.

2. HELENSKO DOBA

2.1. GEOMETRIJA PITAGOREJACA

Pitagorin poseban doprinos geometriji ovako je opisan u Proklovom spisu:

"Posle Talesa, Pitagora je transformisao uenje o geometriji u slobodno obrazovanje, izuavajui principe nauke od njenih poetaka i ispitujui teoreme na nematerijalan i intelektualan nain; on je bio taj koji je otkrio teoriju iracionalnih brojeva i konstrukciju kosmikih figura."

Kao i obino, bilo je unih rasprava oko toga kako treba shvatiti ovu reenicu, kao i oko toga da li je Pitagora zaista uradio ono to mu se pripisuje. Pokazalo se da je Proklo (410-485 g.p.n.e.) sledio jednu od mnogih antikih legendi koje su se odnosile na rodonaelnika pitagorejskog bratstva. Ali, zahvaljujui upravo njemu, konstrukcija pet pravilnih poliedara nazvanih "kosmikim figurama" je veoma dugo pripisivana Pitagori.

Pitagorejci su tetraedar posvetili vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, kocku zemlji, a dodekaedar, koji je oigledno poslednji otkriven, je posveen vasioni. Izgleda da su oni znali da se svih pet geometrijskih tela mogu upisati u sferu. Svoje uenje o ovim geometrijskim telima oni su preneli na Platonovu (380.g. p.n.e.) kolu u kojoj su ova tela privukla toliku panju da su kasnijim piscima bila poznata pod imenom "Platonova tela" ili "kosmike figure". Ipak, malo je verovatno da je Pitagora ili rani Pitagorejci zaista konstruisali figure uz pomo kompletne teorijske konstrukcije na nain na koji su ih Euklid (300.g. p.n.e.) i Papus (300.g. p.n.e.) konstruisali. Ali nema razloga zbog kojih Pitagorejci ne bi sastavili pet figura onako kako ih je Platon sastavio u "Timeju", tj. spajajui izvestan broj uglova jednakostraninih trouglova, etvorouglova ili petouglova u jednoj taki tako da nastane rogalj geometrijskog tela i zatim na isti nain sastavio sve ostale rogljeve. injenica da su rani Pitagorejci otkrili pet pravilnih geometrijskih tela na ovaj elementaran nain se dobro poklapa sa onim to mi znamo o tome kako su oni postavili uglove odreenih pravilnih geometrijskih figura oko neke take i pokazali da e samo tri vrste ovakvih uglova ispuniti prostor u jednoj ravni oko postavljene take. Zaista, Platonov elementarni metod moemo tretirati kao znak da je ovo ustvari bila metoda kojom su se bavili rani Pitagorejci.

Spajajui tri po tri kvadrata, koji prave osam rogljeva neke figure, i jednakostranine trouglove tri po tri, etiri po etiri ili pet po pet koji prave etiri, est ili dvanaest rogljeva neke figure, odmah se dobija kocka, tetraedar, oktaedar ili ikosaedar, ali peta pravilna geometrijska figura dodekaedar zahteva novi element - pravilni petougao. Koji je dokaz da su rani Pitagorejci mogli da konstruiu i da su konstruisali pravilne petouglove? To da su ih zaista konstruisali stoji kao dokaz u prii o Hipasusu "koji je bio Pitagorejac, ali zbog toga to je on bio prvi koji je objavio i zapisao konstrukciju sfere sa 12 petouglova, postao je sujetan i poginuo je zbog svoje sujete. Ali mu je ipak odato priznanje zbog otkria, jer mu je to otkrie zaista i pripadalo. Upravo zbog njegove sujete svi se pozivaju na Pitagoru a njega ne imenuju." Veza izmeu Hipasusovog imena i ove konstrukcije teko da je neko otkrie i pria verovatno ukazuje na njegov pozitivan poduhvat, dok su za priu o njegovoj sujeti i moralu odgovorni uvreeni Pitagorejci, zbog pokuaja drugih (pa i Hipasusa) da dostignu njihovog uitelja.

Oni su verovatno mogli da konstruiu pravilan petougao poto ova konstrukcija zavisi od konstrukcije jednakokrakog trougla u kojem su uglovi na osnovici duplo vei od treeg ugla, a ovo opet zavisi od podele dui zlatnim presekom. Zato moemo s razlogom pretpostaviti da je konstrukcija pravilnog petougla nastala na ovaj nain. Iz toga sledi da su se reenjem problema analizom ve bavili Pitagorejci, uprkos tome to se otkrie analitike metode (po Proklu) pripisuje Platonu. Kako je ova konstrukcija praktino izneta u IV Euklidovoj knjizi moemo pretpostaviti da je sadraj ove knjige takoe delom pitagorejski.

Osim toga, postoje dokazi o veoma ranom postojanju dodekaedra (etrurskog porekla) na Apeninskom poluostrvu. Tako se moe desiti da su Pitagora ili Pitagorejci videli dodekaedar ove vrste, ali njihova zasluga je u tome to su ih tretirali kao matematike figure i uveli ih u svoju teorijsku geometriju. Dakle, bilo da su otkrili ili samo bili svesni da pet pravilnih geometrijskih tela postoje, oni su u svakom sluaju mogli empirijski da ih konstruiu tako to su spajali kvadrate, jednakostranine trouglove i petouglove.

2.2. TEETET

Pronalazak centra sfere u koju je upisan dodekaedar, bez njihove konstrukcije, na komplikovan nain je prikazan u Euklidovoj XIII knjizi, kao i pronalazak odnosa izmeu ivice dodekaedra i poluprenika sfere. Za ovo poslednje istraivanje je verovatno zasluan Teetet (414.-369.g.p.n.e.), Sokratov sledbenik, uenik Teodora iz Kirene i, uz svog uitelja, jedan od uesnika Platonovog dijaloga koji je po njemu i dobio ime. Ovde treba pomenuti osvrt u prvoj sholiji XIII knjige Euklidovih elemenata nepoznatog autora (koji je verovatno sledio Geminija) da "pet tzv. Platonovih tela ipak ne pripadaju Platonu, jer za tri od pet figura zasluga pripada Pitagorejcima i to kocka, piramida i dodekaedar, dok je za oktaedar i ikosaedar zasluan Teetet." Ovo moda potie iz injenice da je Teetet bio prvi koji je pisao o dvema figurama koje su poslednje pomenute, kao i da je bio prvi koji je teorijski konstruisao svih pet figura i u potpunosti ispitao njihove meusobne odnose i sfere koje su opisane oko njih. Mogue je da je Teetet prvi dao ove konstrukcije, jer u Suidavom zapisu stoji da je "on bio prvi koji je konstruisao" ili "pisao o pet geometrijskih figura". Da je Teetet, kasnije uenik Platonove Akademije, zaista pisao o pravilnim poliedrima, potkrepljuje se i injenicom da postoji njegov prilog teoriji iracionalnih brojeva, iji je znaaj u konstrukciji Platonovih tela vidljiv i u XIII knjizi Euklidovih Elemenata. Zato se smatra da je pojam pravilnog poliedra u geometriju prvi uveo Teetet.

Dakle, osim toga to je postavio osnovu teorije o iracionalnim brojevima, kakvu pronalazimo u Euklidovoj X knjizi, Teetet je ne manje znaajno doprineo i XIII knjizi Elemenata, koja je nakon 12 uvodnih delova posveena konstrukciji pet pravilnih geometrijskih tela, opisivanju sfere oko njih i

pronalaenju odnosa izmeu njihovih dimenzija i opisanih sfera. Skoro da nema sumnje da je Teetetova konstrukcija ili teza o pravilnim geometrijskim figurama dala isto onoliko teorijske konstrukcije kao to pronalazimo kod Euklida.

2.3. PLATON, KONSTRUKCIJA PRAVILNIH POLIEDARA

Takozvana Platonova tela naravno da nisu Platonovo otkrie, ali su oigledno nazvana Platonovim zbog njihove upotrebe koja je prikazana u "Timeju" gde su pojedinanim pojavama etiri elementa dodeljeni oblici prva etiri geometrijska tela. Tetraedar je bio dodeljen vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, a kocka zemlji, dok je sam Tvorac koristio dodekaedar za vasionu. U Timeju Platon pie:

"Treba sada da kaemo koja su ta etiri najlepa tela, meusobno nejednaka, pa ipak sposobna da se uzajamnim razlaganjem raaju jedna iz drugih. Jer ako pronaemo odgovor na ovo, imaemo pred sobom istinu o postanku zemlje i vatre kao i onih tela koja se usrazmerena nalaze izmeu njih. Jer nikome neemo dati saglasnost da su vidljiva tela lepa nego ova od kojih je svako pojedinano jedinstven rod."

T.L. Heath u svom delu Istorija grke matematike ne pridaje vanost problemu u kojem Platon po

Search related