Predavanja iz predmeta Poslovna matematika: IV dio

U okviru četvrtog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:1. Granična vrijednost funkcije.2. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija.3. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska.4. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko značenje izvoda funkcije.5. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna funkcija. Koeficijent elastičnosti.

IV.1. Granična vrijednost funkcije

Definicija 1. Neka je funkcija definisana u okolini neke tačke , osim eventualno

u samoj tački . Za broj kažemo da je granična vrijednost funkcije u tački i

pišemo ako za dat postoji koje zavisi samo od (to pišemo kao

) tako da vrijedi

.

Ovo možemo zapisati kao .

Ovdje po definiciji pretpostavljamo da je . Granična vrijednost funkcije ( ) može

da bude i beskonačnost (+ ili - ).

Sada ćemo dati deficiciju u slučaju da je granična vrijednsot .

Definicija 2. Neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke osim eventualno

u samoj tački . Tada je ako za proizvoljno veliko, pozitivno M

postoji broj koji zavisi samo od (dakle, ) takav da vrijedi

.

Napomenimo da funkcija u nekoj tački ne može primati vrijednost ili .

Pogledajmo primjer funkcije sa grafika:

29

Ova funkcija očigledno nema graničnu vrijednost kada . Međutim ima tzv. "desnu" i

"lijevu" graničnu vrijednost. S slike se vidi da je lijeva granična vrijednost neki konačan broj, dok je desna granična vrijednost .Sada ćemo dati definiciju desne i lijeve granične vrijednosti.

Definicija 3. Neka je funkcija definisana na intervalu ( ). Broj je

lijeva granična vrijednost funkcije f kad (ili kada , što znači da se

približava broju s lijeve strane) ako za svako postoji takvo da vrijedi

.

(lijevu graničnu vrijednsot analogno definišemo i kada je ).

Ovo pišemo kao .

Desna granična vrijednost funkcije (bila ona konačna ili beskonačna) analogno se definiše se

na isti način, samo je potrebno da funkcija bude definisana desno od tačke i treba vrijediti

.

Za desnu graničnu vrijednost koristimo oznaku (ili ).

Teorem. Funkcija f ima u tački graničnu vrijednost A (ili ) ako i samo ako postoje

limesi i i jednaki su A (ili ).

Na kraju, daćemo definiciju granične vrijednosti funkcije kada , odnosno kada .

Definicija 4. Neka je funkcija f definisana na intervalu ( ). Funkcija f ima

graničnu vrijednost kada ( ) ako za dato postoji

takvo da vrijedi

( ) .

30

(U slučaju ili imali bi ( ) za unaprijed dato .)

Primjer 1. Izračunajmo .

Direktnim uvrštavanjem u funkciju vidimo da je .

Analogno, zaključujemo da je .

Primjer 2. Ukoliko želimo direktnim uvrštavanjem izračunati , to nije moguće jer

za dobijamo da je , što nije definisano. Ukoliko bismo napisali da

je , također bismo napravili grešku, jer limes može biti samo ili , a

ne . To nas navodi da posmatramo posebno lijeve i desne granične vrijednosti, pa imamo:

, gdje nam znak "-" iznad broja 0 označava da je za (jer posmatramo

lijevi limes) izraz negativan. To znači da je količnik također negativan (jer je

eksponencijalna funkcija uvijek pozitivna), pa je .

Analogno, možemo zaključiti da je, za izraz uvijek pozitivan, pa je

.

Kako se lijevi i desni limesi funkcije , kad razlikuju, to ne postoji limes te funkcije

kad , nego samo lijevi i desni limesi.

Primjer 3. Izračunajmo . Pri izračunavanju limesa racionalne funkcije kada

, jednostavnije je podijeliti brojnik i nazivnik sa varijablom podignutom na najveći stepen koji se nalazi u nazinviku (u ovom primjeru je to 2). Imamo:

. (Koristili smo činjenicu da je ).

Analogno ćemo izračinati i . Imamo:

.

31

.

Na kraju, navedimo neke važne granične vrijednosti:

(po definiciji);

;

.

IV. 2. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija.

IV.2.1. Definicija neprekidnosti.

Definicija 1. Neka je funkcija f definisana u tački i u nekoj okolini tačke . Za funkciju f

kažemo da je neprekidna u tački ako postoji i jednak je .

Moguće je definisati neprekidnost s desna (s lijeva) na sljedeći način:

Neka je funkcija f definisana u intervalu ( ). Za funkciju f kažemo da je

neprekidna s desna (lijeva) u tački ako postoji ( ) i jednak je .

Funkcija je neprekidna u tački ako i samo ako je neprekidna i s desna i s lijeva u toj tački.

Primjer 1.

Neprekidna funkcija u Funkcija neprekidna s lijeva u

32

Funkcija neprekidna s desna u

Geometrijski, funkcija je neprekidna u tada je grafik te funkcije kriva koja se "ne prekida"

pri prolasku kroz .

Elementarne funkcije, o kojima ćemo više reći u trećem dijelu, su neprekidne u svim tačkama u kojima su definisane.

Funkcija f definisana u tački i nekoj njenoj okolini je u toj tački prekidna ako i samo ako

nije .

Zavisno od toga da li gornji limesi postoje ili ne postoje razlikujemo nekoliko vrsta prekida funkcije.

1. Tačka je tačka prekida funkcije f s konačnim

skokom ako postoje konačne vijednosti lijevog i

desnog limesa funkcije u , ali je

. Skok je jednak vrijednosti

izraza .

2. Ako funkcija ima u konačnu graničnu

vrijednost različitu od tada je tačka otklonjivog prekida funkcije . (Prekid

otklanjamo tako da definišemo .)

Primjer. Funkciju u tački

definišemo tako da bude jednaka jedan. Tada dobijamo neprekidnu funkciju.

Tačke prekida koje su navedene pod 1. i 2. nazivamo tačke prekida I vrste.

33

3. Za funkciju kažemo da u tački ima prekid II vrste ako bar jedna od graničnih

vrijednosti ili ne postoji ili je beskonačna.

IV.2.1. Osobine neprekidnih funkcija

Teorem 1. Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , onda je ona na

tom intervalu ograničena i prima svoju najmanju i najveću vrijednost.

Teorem 2. Ako je funkcija neprekidna na i ako su i različitog

znaka, tad funkcija ima na segmentu barem jednu nulu.

Teorem 3. Funkcija neprekidna u otvorenom ili zatvorenom intervalu prolazi u tom intervalu

sve vrijednosti između ma koje dvije vrijednosti i za i iz tog intervala.

IV.3. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska.

U elementarne funkcije stadaju stepena funkcija, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije i sve funkcije koje se sa konačno mnogo algebarskih operacija i operacijom kompozicije funkcija mogu dobiti iz navedenih funkcija. Mi se nećemo baviti trigonometriskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama, jer one nemaju široku primjenu u ekomoniji.

1. Stepena funkcija je funkcija oblika ( ).Mi ćemo posmatrati samo neke

specijalne slučajeve stepene funkcije. To su:a) .

Funkcija , gdje je prirodan broj definisana je za svako i neprekidna za svako

.

, kada za n neparno i , kada za n parno.

Za neparno n funkcija može biti pozitivna i negativna, dok je za parno n funkcija uvjek pozitivna.

Na intervalu funkcija je strogo rastuća i neprekidna.

Na intervalu funkcija je strogo rastuća za neparno n a za parno n je opadajuća i

neprekidna. Na intervalu funkcija ima inverznu funkciju

koja je strogo rastuća i neprekidna. Ako je parno inverzna funkcija postoji samo na

,dok za neparno n funkcija ima inverznu funkciju koja je

definisana na , rastuća i neprekidna na .Na slici je prikazano nekoliko stepenih funkcija.

34

b) , za prirodan broj .

Funkcija , , to jest , definisana je

za svako , . Ova funkcija je parna kada je parno i neparna kada je neparno. Za parno

je:funkcija rastuća na intervalu ,

opadajuća na intervalu .

Vrijedi ; .

Za neparno je: funkcija uvjek opadajuća,

, .

Također, i funkcija je neprekidna svuda

gdje je deifinisana.

c) Mogu se posmatrati i slučajevi kada je ali to nećemo činiti.

35

Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , pri čemu uzimamo da je . Ova

funkcija je definisana za svako i pozitivna za sve .

Razlikujemo dva slučaja: i . U slučaju funkcija je konstanta (jednaka je 1 za

svako x).

a) Za , funkcija je rastuća i neprekidna

na cijelom definicionom području. Vrijedi , .

b) Za , funkcija je opadajuća i neprekidna na cijelom definicionom području i

vrijedi , .

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. To je funkcija oblika , pri

čemu smatramo da je i . Ova funkcija je definisana samo za pozitivne realne brojeve, i slično kao kod eksponencijalne funkcije, razlikovat ćemo dva slučaja:

a) Za funkcija raste na cijelom definicionom području, neprekidna je, ima nulu u tački

i vrijedi , te .

b) Za tada funkcija opada na cijelom definicionom području, neprekidna je, ima nulu u

tački i vrijedi , te .

Važan specijalni slučaj eksponencijalne i logaritamske funkcije je kada je ( ) tako da

tada funkcije i spadaju u klasu .

Napomenimo još da je i .

36

IV. 4. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko značenje izvoda funkcije.

U ispitivanju ekonomskih pojava do sada smo se bavili tzv statičkom analizom, tj određivali smo stanje ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se nismo bavili pitanjem koliko se taj ekvlibrijum mijenja ukoliko promijenimo početne uvjete. Time se bavi dinamička analiza. U dinamičkoj analizi bavit

ćemo se tzv stepenom promjene određene varijable pri nekoj promjeni varijable . Taj

stepen promjene možemo ispitivati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom - sa dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena.

Pretpostavimo sada da naša varijabla y zavisi samo od x..

Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od do ,

tada y mijenja svoju vrijednost od do

. Razmjera, ili stepen promjene y po jedinici

promjene x-a je . Vidimo da

je funkcija i (za dato f).

Ako je ugao označen na slici, vidimo da je

.

Definicija. Ako postoji kažemo da je funkcija diferencijabilna u

tački (odnosno da ima izvod u ). Izvod funkcije u označavamo sa .

Pišemo još i .

Dakle, za malo . (ovdje je ¨oznaka za približnu vrijednost).

Geometrijski gledajući, prvi izvod funkcije u tački (dakle, ) jednak je koeficijentu

pravca tangente na krivu u tački .

Prvi izvod nam određuje smjer promjene funkcije. Ako je tu je promjena pozitivna (s

rastom x-a raste i y), a ako je tu je promjena negativna (s rastom x-a y opada).

Proces nalaženja izvoda zovemo diferenciranjem.

Vidjeli smo ranije da ne mora postojati. Međutim mogu postojati lijevi i desni limesi. Takvi

limesi su desni i lijevi izvod funkcije u tački (tu funkcija nije diferencijabilna). ( Slučaj kada

postoje dvije različite tangente (lijeva i desna), tj. kada su desni i lijevi izvod funkcije u tački

različiti prikazan je na slici dole lijevo).

37

y

Ox

0f x

0f x x

0x x 0x

x

x

yy

Ukoliko je tu funkcija nije

diferencijabilna, ali to geometrijski znači da je tangenta

u tački okomita na x osu.

Možemo reći da izvod funkcije označava "brzinu njene promjene".

IV.5. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna funkcija. Koeficijent elastičnosti.

Kao što smo vidjeli, izvod funkcije nam govori kojom se brzinom i kako funkcija mijenja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitivan broj, to znači da funkcija brzo rasle, ukoliko je malen (po apsolutnoj vrijednosti) negativan broj, to znači da funkcija sporo opada i sl.

Ukoliko je riječ o funkciji koja ima neko ekonomsko značenje, tada nam prvi izvod predstavlja graničnu ili marginalnu funkciju te funkcije.

Primjer 1. Ako je funkcija troškova (gdje smo sa označili količinu proizvodnje) , u

ekonomiji se definiše tzv. funkcija marginalnog ili graničnog troška, koju označavamo sa MC(Q) sa

.

Ako sa označimo funkciju prosječnog troška, tj. , tada je

za male Q.

Primjer 2. Koeficijent elastičnosti pojave u odnosu na promjenu pojave se definiše sa

. Ekonomski, to znači da, ako se promijeni za 1% (tj. ) tada se varijabla y

promijeni za . Ako je tada je y elastična na promjenu x, a za

kažemo da je y neelastična na promjenu x. Zapravo kad je riječ o malim promjenama (u ekonomiji su

uglavnom takve u vremenu) , možemo smatrati da je .

(U mikroekonomiji se definišu različite elastičnosti, npr. elastičnost supstitucije proizvodnih faktora – skupljeg faktora jeftinijim, ili elastičnost potražnje u odnosu na dohodak, ...).

Nešto kasnije ćemo vidjeti kako pomoću izvoda možemo, za datu funkciju ukupnih troškova proizvodnje izračunati nivo proizvodnje na kome su jedinični troškovi proizvodnje minimalni.

38

x

21 0x