Matemática Básica para Economistas MA99

Tema: Composición de FuncionesFunción Inversa

UNIDAD 6

Clase 14.1

Ejemplo: El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos de determinado modelo es una función de la demanda “x” del mercado. Si una función ingreso mensual y la demanda dependieran del precio “p” por par,tal como se muestra : I= 300p - 2p2 y p=300 – x/2.¿Cómo depende I de x?

Composición de FuncionesComposición de Funciones

Definición: Sean f y g dos funciones. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la composición fog (f compuesta con g) se define por:

(f o g)(x) = f(g(x))

Composición de FuncionesComposición de Funciones

Por ejemplo:

Composición de FuncionesComposición de Funciones

xxf 2xxg

2 xxfog

0 2

-2

2x

y

x

y

f(x)

g(x)

(fog)(x)

Dom(f) = R Dom(g) = [0, ∞[ Dom(fog) = [2, ∞[

g

Dom de gRan de g

f

Dom de f Ran de f

x . .g(x) .f(g(x))

fog

Composición de FuncionesComposición de Funciones

La función compuesta fog, de dos funciones, f y g se define así:

(fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(x) esté en el dominio de f.

)()( )(/)( fDomxgygDomxxfogDom

Composición de FuncionesComposición de Funciones

EjemploEjemplo:

Sean las funciones :

xxgyxxf )(16)( 2

a) Determinar la regla de correspondencia (fog)(x) y el dominio de fogb) Determinar la regla de correspondencia (gof)(x) y el dominio de gof.

EjemploEjemplo:

Sean las funciones :

xxgyx

xf

)(2

1)(

Evalúe:a) (fog)(9)

b) (fog)(4)

c) fog

d) (gof)(6)

e) (gof)(1)

c) gof

EjemploEjemplo:

Sean las funciones :( ) 2 4 ; 5 7f x x x

( ) 5 3 ; 3 4g x x x

a) Determine fog.b) Determine fog(-1).

Composición de FuncionesComposición de FuncionesAplicaciónAplicación

Un estudio ambiental de cierta comunidad señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: partes por millón cuando la población es de p miles. Se estima que dentro de t años, la población de la comunidad será de: miles.a) Grafique en un plano coordenado la función C(p) indicando su dominio y rango.b) Calcule e interprete la función (CoP)(t)

175.0 2 ppC

21.01.3 ttP

Introducción:Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como:

p = -3q + 8¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?

Función InversaFunción Inversa

Definición previa: función biunívocaDefinición previa: función biunívoca

• Una función f , con dominio D es una función biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes:

- Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D

Si es biunívoca

Ejemplo 1: ¿Es biunívoca la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1?

f

x

f(x)

No es biunívoca

Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1?

f

x

f(x)

f

x

f(x)

f

x

f(x)

x[0; [x -; 0

¿En qué dominio será biunívoca?

1. Una función f es biunívoca si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto.

2. Una función creciente es biunívoca.3. Una función decreciente es …………biunívoca

Observaciones:Observaciones:

La función inversa de f se denota por f-1

Función Inversa:Función Inversa:

Definición:

Si f-1 es inversa de f:(fof-1)(x) = x

Dom (f-1) = Ran (f)Ran (f-1) = Dom (f)

Para determinar la función inversa (f-1):

Función Inversa:Función Inversa:

1. Verificar que f es biunívoca.2. Despejar x en términos de y.3. Cambiar x por y.

Ejemplo:Ejemplo:Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5]

34 xy

43 yx

43xy

Dom f-1 = Ran f

52 x2048 x

173411 x

17,11 , 4

31 xxxf

Regla: la función inversa fRegla: la función inversa f-1-1 es simétrica es simétrica con f, respecto a la recta con f, respecto a la recta y = xy = x

x

f(x) y = xf(x)

f-1(x)

Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano:

1. Es biunívoca en x>0

2. x = f -1(x) = , x > -11y 1x

3. Composición:

•f -1(x2 - 1) = , x>0xxx11)(x 22

1x 1x •f ( ) = ( )2 - 1= x , x>-1

Graficando f y f -1 en un mismo plano:

y

x

f(x)

f –1(x)

y

x

¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa?

No sería una función

Ejercicios:Ejercicios:

Hallar y graficar:

0, 66)( :si .1 21 xxxxfxf

2, 212)(

0, 32)( :si .2 1

xxxxg

xxxfxfog