Univerzitet u Nišu

Prirodno-matematički fakultet

Departman za matematiku

PRERASPODELA RIZIKA – REOSIGURANJE I

KOOSIGURANJE

Master rad

Student: Mentor:

Jovanović Marina Prof. dr Krstić Marija

Niš, 2019

1

Sadržaj

1 Osnovni pojmovi i definicije 4

1.1 Elementi teorije verovatnoće i slučajnih procesa ................................................................ 4

1.2 Elementi teorije rizika …………………………………………………………………………………………………….. 5

1.3 Optimalno plaćanje sa stanovišta osiguravača ……………………………………………………………….. 8

2 Reosiguranje sa stanovišta cedenta 10

2.1 Neka razmatranja za optimizaciju ………………………………………………………………………………….. 10

2.1.1 Maksimizacija očekivane korisnosti ……………………………………………………………………….. 10

2.1.2 Varijansa kao mera rizika ………………………………………………………………………………………. 12

2.2 Proporcionalno reosiguranje. Dodavanje novog ugovora postojećem portfoliju ……………. 14

2.2.1 Slučaj fiksiranog sigurnosnog koeficijenta opterećenja ………………………………………….. 14

2.2.2 Slučaj određivanja premije principom standardne devijacije …………………………………. 17

2.3 Dugoročno osiguranje. Verovatnoća propasti kao kriterijum ………………………………………… 18

2.3.1 Primer sa proporcionalnim reosiguranjem …………………………………………………………….. 19

2.3.2 Primer excess-of-loss osiguranja (osiguranja viška štete) ………………………………………. 21

3 Preraspodela rizika i reciprocitet kompanija 23

3.1 Uopštenje i neki primeri ………………………………………………………………………………………………… 23

3.2 Dva primera sa maksimizacijom očekivane korisnosti ………………………………………………….. 30

3.3 Slučaj kriterijuma srednje varijanse (mean-variance) ……………………………………………………. 34

3.3.1 Minimalizovanje varijanse ……………………………………………………………………………………… 34

3.3.2 Razmena portfolija ………………………………………………………………………………………………… 37

4 Tržište reosiguranja 42

4.1 Model tržišta razmene slučajne imovine ……………………………………………………………………….. 42

4.2 Primer reosiguranja ………………………………………………………………………………………………………. 45

5 Koosiguranje 48

5.1 Osnovni pojmovi ……………………………………………………………………………………………………………. 48

Literatura 51

2

Uvod

Prirodne sile koje pružaju neograničene mogućnosti za razvoj društvene zajednice i za

napredak svakog pojedinca u njoj ujedno su i činilac koji može svojom snagom uništiti

decenijske napore ljudi. Nesrećni slučajevi su takođe uzrok velikih opasnosti za samog čoveka,

tako da je ljudsko društvo već na samim počecima svog postojanja uvidelo neophodnost zaštite

svojih članova, kao i ekonomskih vrednosti koje je mukotrpno stvaralo. Osnovna pretpostavka

postojanja osiguranja jeste prisustvo rizika.

I osiguranje i reosiguranje evoluirali su iz veće porodice upravljanja rizicima. U ovom radu će

biti reči o nastanku i razvoju osiguranja i reosiguranja.

Pojam osiguranja označava poverenje, zaštitu i sigurnost. Osiguranje je institucija koja

nadoknađuje štete nastale nad osiguranim stvarima, odnosno licima, a te štete se javljaju kao

posledica delovanja rušilačkih sila ili nesrećnih slučajeva.

U osnovi osiguranja je rizik da će doći do gubitka imovine ili dela imovine usled realizacije

nekog događaja čiji ishod nije unapred poznat, kao i rizik da će doći do narušavanja zdravlja ili

gubitka života, takođe usled delovanja nepredvidivih faktora. Da nije rizika, osiguranje ne bi ni

postojalo.

Osiguranje se bavi proučavanjem delovanja rizika, posledicama rizika, kao i načinima

upravljanja rizikom kako bi se smanjile njegove neželjene posledice. Ono predstavlja

udruživanje svih onih lica koja su potencijalno izložena posledicama realizacije određenog rizika,

pri čemu će samo neki od njih pretrpeti štetu. Svrha udruživanja je zajedničko učešće u naknadi

šteta koje će zadesiti samo neke od njih.

Reosiguranje je nastalo iz potrebe osiguravajućih kompanija da redukuju rizik koje su preuzele

od osiguranika sklapanjem ugovora. U tom smislu, one sklapaju ugovore o udruživanju svog

učešća kako u premijama, tako i u preuzimanju rizika od nastanka štete.

Reosiguranje je u osnovi osiguranje za osiguravajuće kompanije. James Park, pišući 1799.

godine, objasnio je da se za reosiguranje može reći da je ugovor koji prvi osiguravač zaključuje,

kako bi se oslobodio od onih rizika koje je on oprezno preduzeo, prenoseći ih na druge

osiguravače, koji se nazivaju reosiguravačima.

Rani sporazumi, koji se mogu smatrati ugovorima o reosiguranju, razvijeni su zajedno sa

ugovorima o osiguranju u 14. veku. Gerathewhol navodi sporazum od 12. jula 1370. godine, kao

najraniji poznati sporazum koji sadrži elemente reosiguranja. Taj sporazum se odnosio na teret

broda koji je plovio iz Đenove do Sluisa, za koji je direktni “osiguravač” preneo opasniji deo

putovanja iz Cadiza (u Andaluziji) do Sluisa na drugog “osiguravača” koji je na taj način pružio

“pokriće za reosiguranje”. Ovaj ugovor ispunjava karakteristike stvarnog ugovora o reosiguranju

po tome što se rizik prenosi sa prvobitnog osiguravača na reosiguravača, bez uključivanja

3

originalnog osiguranika u transakciju. Činjenica je da je ovaj ugovor bio čist prenos rizika, a ne

kapaciteta.

Kako se osiguranje nastavilo razvijati, mnogo veliki rizici premašili su sposobnosti bilo kojeg

osiguravača, a umesto reosiguranja, koosiguranje se pojavilo kao preovladavajuće rešenje.

Često bi broker kupio rizik za brojne potencijalne osiguravače, a oni koji su bili zainteresovani bi

potpisali svoje ime pod opisom rizika i na taj način uistinu bili “pod zapisom rizika”. Takođe bi

odredili udeo preuzetog rizika. Ovo nije reosiguranje po tome što, umesto da ima jednog

osiguravača i jednog ili više reosiguravača, postoji višestruki broj koosiguravača.

Tema ovog master rada je “Preraspodela rizika – reosiguranje i koosiguranje”. Prvi nivo

procesa preraspodele rizika predstavlja sklapanje ugovora o osiguranju između klijenata i

osiguravajuće kompanije. Zatim se proces nastavlja tako što osiguravajuće kompanije

međusobno vrše preraspodelu rizika. Takva preraspodela rizika može biti fleksibilnija od one na

prvom nivou u smislu da osiguravajuće kompanije mogu na različite načine vršiti preraspodele

individualnih rizika ili ukupnog akumuliranog rizika. Uobičajna praksa je da se zaštiti portfolio od

preteranih zahteva, iako postoje i druge metode reosiguranja.

Kompanija koja reosigurava deo svog rizika ima ulogu cedenta, dok kompanija koja preuzima

na sebe taj deo rizika ima ulogu reosiguravača. U Glavi 2 se govori o optimalnim formama

reosiguranja i iznosima koje treba zadržati sa stanovišta cedenta.

U Glavi 3 razmatra se proces pregovaranja između dve kompanije koje dele rizik. U ovom

slučaju, svaka kompanija je istovremeno i cedent i reosiguravač. Rezultat pregovaranja je

baziran na principu podjednake prihvatljivosti za obe kompanije.

Barem teorijski, ovi principi nisu nužno povezani sa uplatama reosiguranja. Pregovori mogu

biti direktni i kompanije se mogu slagati sa određenim oblikom preraspodele rizika bez plaćanja

reosiguranja jedni drugima. Međutim, kada je mnogo kompanija istovremeno uključeno u

reosiguranje, mehanizmi tržišnih cena su najviše, ako ne i jedini, realistični mehanizmi za

preraspodelu rizika.

Prava primena reosiguranja sadrži razne kombinacije oblika reosiguranja: međusobni

sporazumi o direktnom reosiguranju, trgovački rizici, neki finansijski derivati kao posebne

opcije, fjučersi, obveznice… U svakom slučaju, ovo je tržište na kome rizik predstavlja robu koja

se razmenjuje. O ovome se govori u Glavi 4.

U Glavi 5 se razmatra koosiguranje i osnovni pojmovi vezani za tu vrstu raspodele rizika.

Ovaj master rad je urađen pod rukovodstvom Profesorke dr Marije Krstić. Zahvaljujem joj se

na velikoj i stručnoj pomoći koju mi je pružila u toku izrade master rada prateći ceo tok izrade.

4

Glava 1 Osnovni pojmovi i definicije

1.1 Elementi teorije verovatnoće i slučajnih procesa

Definicija 1.1.1 Verovatnoća je preslikavanje koje ima sledeće osobine:

1. nenegativnost : ( ,

2. normiranost: ( )=1,

3. -aditivnost: za svako , … , tako da je za , sledi da je

.

Uređena trojka predstavlja prostor verovatnoća.

Definicija 1.1.2 Preslikavanje : je slučajna promenljiva ako je:

1. finitno (konačno) preslikavanje, to jest ako je ;

2. -merljivo preslikavanje, to jest ako ( ) .

Definicija 1.1.3 Preslikavanje : je -dimenzionalna slučajna promenljiva ako je -

merljivo preslikavanje, to jest ako ( ) . Pritom je:

.

Definicija 1.1.4 Funkcija raspodele verovatnoća je funkcija koja za svaki realan broj ,

određuje verovatnoću da je slučajna promenljiva uzela vrednost ne veću od , to jest

.

Teorema 1.1.1 Slučajne promenljive , ,…, su nezavisne akko je zajednička funkcija

raspodele jednaka proizvodu marginalnih raspodela:

.

Definicija 1.1.5 Matematičko očekivanje proizvoljne slučajne promenljive je Lebegov

integral na skupu -merljive funkcije u odnosu na meru , to jest

.

Očekivanje postoji pod uslovom da je , to jest da je

< .

Definicija 1.1.6 Neka je slučajna promenljiva definisana na prostoru verovatnoće

Tada je moment reda slučajne promenljive .

Definicija 1.1.7 Očekivanje naziva se centralni moment reda slučajne

promenljive .

Od posebnog značaja je slučaj kada je . Tada je centralni

moment reda 2 slučajne promenljive , odnosno njena varijansa.

Standardna devijacija slučajne promenljive se definiše kao .

5

Cauchy-Schwarz-ova nejednakost: Za bilo koje dve slučajne promenljive i , za koje važi

i , sledi da je

.

Centralna granična teorema: Neka je niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom

raspodelom i ograničenim momentima drugog reda i neka je . Tada važi da je:

,

to jest

, gde je slučajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom.

Definicija 1.1.8 Kovarijansa predstavlja meru zavisnosti između dve slučajne promenljive.

Neka su i slučajne promenljive sa konačnim momentima drugog reda, gde je i

. Kovarijansa između i je:

.

Definicija 1.1.9 Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih i se definiše kao:

.

Definicija 1.1.10. Laplasova transformacija slučajne promenljive sa funkcijom raspodelom

je funkcija

,

definisana za svako za koje ovo očekivanje postoji. Ako je realan broj, Laplasova

transformacija se naziva funkcija generatrise momenata.

Definicija 1.1.11 Neka je dati prostor verovatnoće i skup vrednosti parametra

. Realan jednodimenzionalan slučajan proces na prostoru je familija -merljivih

funkcija , u oznaci .

Definicija 1.1.12 Za svako fiksirano , dobija se slučajna promenljiva , koja

opisuje razmatranu slučajnu pojavu u trenutku . Ako se fiksira ishod , dobija se jedna

realna funkcija definisana na skupu , koja se naziva realizacija (trajektorija) slučajnog procesa.

1.2 Elementi teorije rizika

Definicija 1.2.1 Stohastički proces je proces prebrojavanja ako ima sledeće

osobine:

1. s.i.

2.

3. neopadajuće trajektorije: .

6

Sa aspekta osiguravajuće kompanije, od velikog je značaja proces ukupne štete , koji je

definisan kao:

s.i. i ,

pri čemu je niz iznosa šteta.

Prema tome, slučajna promenljiva predstavlja ukupan rashod osiguravajuće

kompanije na ime naknada šteta koje se realizuju do trenutka , zaključno sa njim.

Definicija 1.2.2. Slučajan proces je homogeni Puasonov proces sa

intezitetom ako zadovoljava sledeće uslove:

1. s.i. ,

2. su nezavisni i

stacionarni priraštaji,

3. ,

4. sa verovatnoćom 1 trajektorije procesa su neprekidne zdesna

i imaju konačnu graničnu vrenost sleva za svako .

Da bi neko lice steklo pravo na osiguranje od posledica nekog rizičnog događaja, ono bi

trebalo da prilikom zaključivanja ugovora o osiguranju plati određeni novčani iznos. Taj iznos se

naziva premija osiguranja i predstavlja cenu rizika. Ukoliko ne pretrpi štetu, za klijenta se može

reći da je uplatom premije zaštitio svoju imovinu od rizika za vreme trajanja ugovora o

osiguranju. Na drugoj strani, ako se realizuje šteta, klijent, na osnovu uplaćene premije, stiče

pravo na naknadu pretrpljene štete koju isplaćuje osiguravajuća kompanija.

Jedno od osnovnih pitanja je kako odrediti premije tako da one pokriju rashode osiguravajuće

kompanije, imajući u vidu da su ti rashodi opisani procesom ukupne štete . Pretpostavlja se da

je prihod osiguravajuće kompanije na ime premija u toku vremena opisan determinističkom

funkcijom . Pritom je, ukupna premija do trenutka , zaključno sa njim.

Postoji više principa izračunavanja premija. U nastavku teksta biće izložena dva principa koja

su od značaja za dalji rad:

1) princip očekivane vrednosti:

Ovaj princip sugeriše da bi premija trebalo da bude oblika:

,

gde je relativni koeficijent opterećenja osiguranja.

2) princip standardne devijacije:

U skladu sa ovim principom, premija je oblika:

,

gde je “težina” dodeljena standardnoj devijaciji.

7

Definicija 1.2.3 Proces rizika se definiše na sledeći način: , pri

čemu je početni kapital, je ukupan iznos premijskih uplata do trenutka , zaključno sa njim i je ukupan rashod do trenutka , zaključno sa njim, osiguravajuće kompanije na ime

obeštećenja osiguranika. Prema tome, je kapital osiguravača u trenutku .

Definicija 1.2.4 Slučajan događaj da proces uzima negativnu vrednost naziva se propast.

Definicija 1.2.5 Neka je događaj -“osiguravajuća kompanija je doživela propast”. Tada je

. Trenutak kada proces rizika prvi put dostiže

negativnu vrednost naziva se trenutak propasti i definiše se: .

Definicija 1.2.6 Verovatnoća propasti se definiše kao

.

Definicija 1.2.7 Neka je početni kapital i neka je proces sa nezavisnim

priraštajima. Definiše se proces . Za vremenski interval neka je

priraštaj procesa po . Neka je funkcija generatrise

momenta od . Tada je koeficijent prilagođavanja ako za bilo koje , .

Lundbergova nejednakost: Neka je koeficijent prilagođavanja. Tada za svako važi

da je .

Definicija 1.2.8 Preferenca na nepraznom skupu jeste binarna relacija, koja je refleksivna,

tranzitivna i kompletna. Drugim rečima:

1.

2. ,

3. .

Za oznaka znači da nije lošije od , ili nije bolje (preferiranije) od .

Definicija 1.2.9 Neka je preferenca na nepraznom skupu . Realna funkcija je

funkcija korisnosti za preferencu , ako važi ekvivalencija:

D. Bernoulli je pošao od jednostavnog zapažanja da “stepen zadovoljstva” posedovanja

kapitala, ili drugim rečima, “korisnost kapitala” zavisi od određenog iznosa kapitala na

nelinearan način. Na primer, ukoliko jedna osoba dobije sa bogatstvom od i

druga osoba dobije istih koja je bez kapitala, prva osoba će biti mnogo manje

zadovoljnija od druge.

Za modeliranje ovog fenomena, Bernuli je pretpostavio da zadovoljstvo posedovanja kapitala

, ili korisnost od , može biti mereno funkcijom korisnosti , koja nije linearna.

Funkcija korisnosti, ukoliko postoji, može se posmatrati kao karakteristika pojedinca. Za neki

opseg, može se pričati i o funkciji korisnosti kompanija. U ovom slučaju, ona reflektuje

prioritete kompanije.

8

Razmatra se sada slučajan prihod . U ovom slučaju, korisnost prihoda je slučajna promenljiva

Bernulijev predlog je bio krenuti od očekivane korisnosti .

Glavne pretpostavke su da je rastuća (neopadajuća) funkcija, koja odražava pravilo “veće je

bolje ili bar nije lošije”.

1.3 Optimalno plaćanje sa stanovišta osiguravača

Pojedinac sa kapitalom suočen je sa slučajnim gubitkom sa srednjom vrednošću .

Da bi zaštitio barem deo svog kapitala, on se obraća osiguravaču. Osiguravač, koji ima mnogo

klijenata, prilikom određivanja odgovarajuće premije polazi samo od srednje vrednosti budućeg

plaćanja. Na primer, ako je srednja vrednost uplate , osiguravač pristaje da proda pokriće za

premiju za fiksirano . Koeficijent se naziva koeficijent opterećenja. Ako je,

na primer, osiguravač dodaje 10% srednje vrednosti uplate. Važno je samo da postoji

stroga veza između i i kada je jednom dato, premija je fiksirana.

Ako je pokrivenost kompletna (sve je obuhvaćeno), srednja vrednost uplate je jednaka

srednjoj vrednosti gubitka, tako da je . Ako kompanija pođe od koeficijenta opterećenja

, tada je premija jednaka

.

Međutim, takva premija može biti velika za pojedinca. U ovom slučaju, pojedinac kupuje

nepotpuno pokriće za srednju vrednost uplate . Tada je polisa određena funkcijom

plaćanja , iznos koji će osiguravač platiti ako gubitak preuzima vrednost . Budući da

pokriće nije kompletno, važi da je .

Kao što je pretpostavjeno, osiguravač zahteva samo jedan uslov za funkciju plaćanja

(1.3.1)

U ovom slučaju, premija će biti i pojedinac može birati bilo koje pod

uslovom da je (1.3.1) tačno. Pitanje je koje je najbolje.

Ukoliko se pretpostavi da je neopadajuća, i neka je funkcija raspodele

slučajne promenljive , tada je:

.

Značaj diferencijala je isti kao i . Prema tome, (1.3.1) se može napisati kao:

(1.3.2)

Neki primeri funkcija plaćanja:

proporcionalno osiguranje ili quota share (kvotno) osiguranje: funkcija plaćanja jednaka

je . Tada je

, odakle sledi da je ;

excess-of-loss i stop-loss osiguranje: funkcija plaćanja je data sa

9

(1.3.3)

gde je odbitak. Uplata će se izvršiti samo ako gubitak premaši nivo i ako se to desi

osiguravač plaća prekoračenje.

Zamenom (1.3.3) u (1.3.2) dobija se

(1.3.4)

Poslednja relacija je jednačina za kada je dato .

osiguranje sa ograničenom pokrivenošću:

gde je maksimum koji će osiguravač platiti. Korišćenjem (1.3.2), restrikcija (1.3.1) može se

napisati

što predstavlja jednačinu za .

Označimo sa funkciju raspodele slučajne promenljive koja

prestavlja bogatstvo pojedinca po izboru funkcije plaćanja . Cilj je pronaći funkciju za

koju je najbolja.

10

Glava 2 Reosiguranje sa stanovišta cedenta

2.1 Neka razmatranja za optimizaciju

U nastavku se identifikuju rizici i slučajne promenljive budućih plaćanja, a ponekad se čak

koristi termin “rizik” kada se govori o slučajnim promenljivama.

2.1.1 Maksimizacija očekivane korisnosti

Neka je slučajna promenljiva koja se odnosi na buduća plaćanja kompanije u vezi bilo koje

polise ili portfolija rizika, i neka je premija koja odgovara riziku . Postupak reosiguranja je

određen funkcijom retencije (zadržavanja) na sledeći način. Kompanija zadržava iznos

i reosigurava ostali deo rizika = . Funkcija predstavlja određenu vrstu

reosiguranja.

Pretpostavlja se sledeće:

Očekivana vrednost

E { }=E { }=λ, (2.1.1)

gde je λ fiksirana vrednost. Na primer, reosiguravač pristaje da reosigura rizike samo sa

datom srednjom vrednošću λ.

Kompanija plaća premiju reosiguranja

= =( ) ,

gde je fiksni koeficijent opterećenja reosiguranja.

Optimalno reosiguranje odgovara maksimizaciji očekivane korisnosti suficita (ili

bogatstva) kompanije za datu funkciju korisnosti i početnog suficita .

Tada je očekivana korisnost budućeg suficita kompanije

. (2.1.2)

Upoređujući (2.1.2) sa veličinom

(2.1.3)

koja je razmatrana u Glavi 1, može se videti, iako ove veličine predstavljaju različitu ekonomsku

situaciju, one su matematički jednake. Dovoljno je uspostaviti korespodenciju između = ,

= i

. (2.1.4)

Štaviše, restrikcija (2.1.1) podudara se sa restrikcijom (1.3.1).

11

Dokazano je u Glavi 1 da ako je (·) rastuća i konkavna funkcija, maksimum u (2.1.3) se dobija

za:

(

(2.1.5)

gde je određeno uslovom (1.3.1) (ili uslovom (2.1.1), što je isto). Kombinovanjem (2.1.4) i

(2.1.5), može se videti da se maksimum od (2.1.2) dobija za:

(

(2.1.6)

Prema tome, zadržani rizik je rezultat smanjivanja originalnog rizika na nivo . Ova vrsta

reosiguranja se naziva excess-of-loss reosiguranje (reosiguranje viška štete) ako se odnosi na

svaki ugovor individualno, i stop-loss reosiguranje (reosiguranje viška gubitka) ako se primenjuje

na celokupni portfolio rizika. U oba slučaja, kompanija utvrđuje određeni nivo potraživanja i

reosigurava količinu potraživanja koja prevazilaze ovaj nivo.

Pravilo (2.1.6) je isto za sve konkavne funkcije korisnosti. Dakle, da bi se odredila posebna

polisa reosiguranja, nije potrebno znati funkciju korisnosti kompanije; bilo bi prilično naivno da

takva funkcija postoji. Samo treba pretpostaviti da su prioriteti kompanije bliski onima koje se

zasnivaju na maksimiziranoj očekivanoj korisnosti za neku funkciju korisnosti, možda različitu u

različitim situacijama.

Primer 1. Razmatra se homogeni portfolio od nezavisnih rizika. Uplata za svaki rizik ima

eksponencijalnu raspodelu za koju se pretpostavlja, bez gubljenja opštosti, da je standardna.

Opterećenje osiguranja je 5%, opterećenje reosiguranja je 10.5%.

Kompanija odlučuje da potroši 20% premije na stop-loss reosiguranje. Ovo podrazumeva da,

ako je X totalni rizik (uplata), i je rizik koji treba reosigurati, tada =

, gde su 0.05 i 0.105 odgovarajući koeficijenti opterećenja. Prema

tome, = , iz čega sledi

E { } ,gde je 0.19. (2.1.7)

U skladu sa dokazanim, optimalni rizik koji treba reosigurati je = ( ).

Da bi se odredio nivo potrebno je napisati direktno očekivanu vrednost od kao što sledi:

E { (X)}

+ ·

+ ( ), (2.1.8)

gde je funkcija raspodele slučajne promenljive .

U ovom slučaju, , gde je uplata koja odgovara -tom riziku i ima

standardnu eksponencijalnu raspodelu. Stoga, funkcija ima Gama raspodelu sa parametrima

i

=

+ ·

12

=

·

+ ·

= , (2.1.9)

gde je

,

funkcija raspodele za Gama raspodelu sa parametrima .

Od = do (2.1.7), sledi da je =( ) }=( . U

kombinaciji sa (2.1.9), dobija se jednačina za

+ . (2.1.10)

Korišćenjem dobrog softvera, nije teško proceniti rešenje Na primer, .

(U Excel-u je na listi funkcija; u Maple-u koristi se funkcija

).

Očekivani profit nakon reosiguranja je

–

Dakle, nakon operacije reosiguranja, prosečni prinos (profit) je smanjem sa 5% (od ) na

3%. Ovo je uplata za stabilizaciju.

Interesantno je uporediti ovaj rezultat sa rezultatom za excess-of-loss osiguranje, gde

posmatramo slučajne promenljive uplata za svaki rizik posebno. U ovom slučaju, treba

razmotriti jednakost (2.1.10) za , koja odgovaraja standardnoj eksponencijalnoj raspodeli.

Jednostvanom računicom se dobija da je rešenje . Može se uvideti da je

, što se i očekivalo. Na isti način se može pokazati da ovo važi za svako .

Treba imati na umu da je u excess-of-loss slučaju prosečan prinos isti kao i u stop-loss slučaju:

( )}

,

gde je . Dakle, razlika je nivo stabilnosti. ◻

2.1.2 Varijansa kao mera rizika

Interesantno je da se dolazi do iste strategije reosiguranja (2.1.6) ako se minimalizuje

varijansa zadržanog rizika, sa datom srednjom vrednošću . Treba imati na

umu da pod uslovom (2.1.1) važi , gde je

Propozicija 1. Za svaku funkciju sa osobinom i

(2.1.11)

za fiksirano ,

,

13

gde je definisano u (2.1.6), a određeno uslovom .

Način traženja parametra je dat u (2.1.8).

U nastavku, uloga varijanse je drugačija od onoga što je do sada izloženo, što će dovesti do

drugačije optimalne strategije.

Pretpostavlja se da cedent na neki način određuje koliki bi prosečan zadržani rizik trebao biti i

koja varijansa zadražanog rizika je prihvatljiva. Preciznije, cedent određuje:

, (2.1.12)

, (2.1.13)

gde su i fiksirani brojevi izabrani od strane cedenta. (Indeks “ret” je skraćenica reči

“retained”-zadržati).

Zauzvrat, reosiguravač naplaćuje premiju reosiguranja koja je određena očekivanom

vrednošću rizika reosiguranja i njegovom varijansom. Drugim rečima, premija reosiguranja

je funkcija koja zavisi od i

U ovom slučaju,

(2.1.14)

i isto je fiksirano. Stoga, kako bi se minimizirali troškovi reosiguranja za dato i , cedent

treba minimizirati .

Propozicija 2. Na osnovu uslova (2.1.12), (2.1.13) i (2.1.14), postiže svoj minimum

na funkciji

, gde je neki nenegativan broj. (2.1.15)

Reosiguranje tipa (2.1.15) se naziva propocionalno ili quota share (kvotno) reosigiranje. Kako je

, za koeficijent zadržavanja važi .

Slede dokazi propozicija.

Dokaz Propozicije 1. Kako je i je fiksirano,

umesto minimiziranja , može se minimizirati . Sada,

= =

=

=

Poslednja dva člana su fiksirana, a je određeno uslovom . Stoga, dovoljno je

pronaći minimum od .

(2.1.16)

. (2.1.17)

Iz (2.1.16) i (2.1.6) sledi da je

.

14

Iz (2.1.17) važi da je

,

za bilo koje tako da .

Upoređujući levu i desnu stranu , može se uvideti da minimalizuje od

svih koje se razmatraju.◼

Dokaz Propozicije 2. Važi da je

= =

= +

2 ,

gde je = , a je koeficijent korelacije. dostiže svoj

minimum onda kad koeficijent korelacije dostiže svoj maksimum. Kako važi da je

, najveća moguća vrednost koeficijenta korelacije je 1. U tom slučaju

slučajne promenljive i su u linearnoj vezi, tj. maksimum se dostiže kada je za

neko .◼

2.2 Proporcionalno reosiguranje.

Dodavanje novog ugovora postojećem portfoliju

2.2.1 Slučaj fiksiranog sigurnosnog koeficijenta opterećenja

Posmatra se portfolio čiji rizik je predstavljen slučajnom promenljivom sa očekivanjem i

varijansom Neka je sa označena ukupna premija portfolija. Pretpostavlja se da je

(2.2.1)

i još se pretpostavlja da je navedeni sigurnosni koeficijent opterećenja isti za sve portfolije ili

individualne rizike koji se razmatraju.

Pretpostavlja se da je portfolio već prošao kroz sva preliminarna prilagođavanja kao što je

reosiguranje, sporazum rezervnog fonda... , pa je kompanija koja je zadužena za ovaj portfolio

zadovoljna nivoom sigurnosti (ili je kompanija barem optimizovala rizičnost portfolija).

Verovatnoća da uplata ne premašuje ukupnu premiju je data sa:

= =

=

gde je standardizovana slučajna promenljiva i koeficijent varijacije.

Koeficijent opterećenja je fiksiran. Ako je slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom,

verovatnoća koja se razmatra je u potpunosti određena koeficijentom . Stoga, u ovom slučaju

može se posmatrati kao mera rizika: manje ukazuje na veću verovatnoću u gore navedenom

izrazu.

15

Ako nema normalnu raspodelu, ali predstavlja veliki portfolio, može se pretpostaviti da

teži slučajnoj promenljivoj koja ima normalnu raspodelu u skladu sa centralnom graničnom

teoremom. Tada se može posmatrati kao karakteristika rizičnosti do normalne aproksimacije.

Može se slično obrazložiti ukoliko ima neku standardnu raspodelu koja je različita od

normalne. Međutim, takva generalizacija bi bila prilčno formalna, tako da se glavni argument za

izbor kao mere rizika zasniva na pretpostavci o približnoj normalnosti.

Pretpostavlja se sada da je novi rizik sa slučajnom budućom uplatom dodat u portfolio.

Neka je = = i premija koja odgovara novom riziku. Kao što je već

pretpostavljeno = , gde je isto kao u (2.2.1).

Kompanija će zadržati rizik i reosigurati ostatak , gde je koeficijent retencije

(zadržavanja). Cilj je pronaći „odgovarajuće“ . Ako se pokaže da je ovo odgovarajuće

manje od 1: , tada bi kompanija trebala da reosigura deo novog rizika.

Pretpostavlja se da su i nezavisne slučajne promenljive. Takođe se pretpostavlja da

kompanija treba da obezbedi tačno odgovarajući udeo premije, a to je , kako bi se

osigurao iznos .

U ovom slučaju, uplata za novi portfolio je slučajna promenljiva sa očekivanom

vrednošću i varijansom

. Premija novog portfolija je:

.

Stoga, očekivani profit nakon reosiguranja je jednak: = = i povećava

se sa .

Prema tome, u pogledu srednje dobiti, kompanija želi da bude što je moguće veće. Princip

koji se prihvata sastoji se u odabiru najvećeg za koje rizičnost novog portfolija nije veća od

rizičnosti originalnog portfolija. Rizičnost u ovoj šemi je kompletno opisana pomoću novog

koeficijenta varijacije

. (2.2.2)

Stoga, bira se najveće za koje je .

Elementarnim proračunima se pokazuje da je:

,

;

za

, i za ;

jednačina ima pozitivno rešenje ako i samo ako i to rešenje je

·

. (2.2.3)

Posmatraju se tri slučaja.

Slučaj 1: : U ovom slučaju važi da je za svako . Prema tome, uzima se najbolje

i reosiguranje nije ni potrebno (Slika 1.).

16

Slučaj 2: i : U ovom slučaju bira se da je . Tada je i je najveće

za koje je . Dakle, rizičnost novog portfolija je ista kao pre, ali zato što je >0, nakon

dodavanja odgovarajućeg dela novog rizika, prosečan profit portfolija se povećao (Slika 2.).

Slučaj 3: i : U ovom slučaju, uzima se da je , tako da reosiguranje ponovo

nije potrebno (Slika 3.).

Primer 1. Neka se originalni portfolio sastoji od nezavisnih i jednako raspodeljenih rizika

sa , Zatim neka je ,

kada

. Stoga,

za dovoljno veliko . Koeficijent retencije

·

. (2.2.4)

Prema tome, za veliko , reosiguranje je potrebno ako je .

Neka sad novi rizik ima iste parametre kao rizik originalnog portfolija: , . Tada

se može direktno izračunati da je

1 i nema potrebe za reosiguranjem. ◻

Primer 2. Neka novi rizik uzima dve vrednosti: (osigurana suma) i 0 sa verovatnoćama

i , respektivno. Osiguravač želi da reosigura deo od uplate . U ovom slučaju, zadržani

rizik odgovara slučajnoj promenljivoj koja uzima vrednosti i 0 sa verovatnoćama

i , respektivno. Deo je reosiguran. Tada je , ,

“odgovarajući” koeficijent retencije i s obzirom na (2.2.4)

.

Tada je zadržana moguća uplata

(2.2.5)

za malo .

Veličina se interpretira kao neto premija originalnog portfolija i ponekad se označava sa .

Dakle, formula postaje

. ◻

Slika 1. Slika 2. Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 1. Slika 2.

17

2.2.2 Slučaj određivanja premije principom standardne devijacije

Treba razmotriti isti problem sa sledeće dve promene. Prvo, za rizik sa srednjom vrednošću

i varijansom , prihvata se pravilo da je

(2.2.6)

gde ima ulogu opterećenja. Drugo, ne pretpostavlja se da je isto za sve rizike.

Da bi se razumeo nastavak teksta, dovoljno je posmatrati (2.2.6) kao definiciju koeficijenta

.

Kao i do sada, neka je rizik originalnog portfolija. Tada

.

Služeći se istom logikom, prihvata se kao stabilna karakteristika i kao mera rizika.

Razmatra se novi rizik sa srednjom vrednošću i varijansom . Neka je sa označena

premija koja odgovara novom riziku. U skladu sa (2.2.6), neka je ( )/ . Tada je

.

Zadržavaju se sve pretpostavke o slučajnim promenljivama i , kao i o trošku reosiguranja,

koje su pomenute u prethodnom poglavlju. Tada se za rizik ponovo pretpostavlja

da ima srednju vrednost , varijansu

i premiju

+ + + + + +

+ ,

gde je

. (2.2.7)

Neka je . Kako bi se lakše objasnio izraz (2.2.7), neka je . Tada, deljenjem

brojioca i imenioca u (2.2.7) sa dobija se

.

Slika 4.

(a) (b)

18

Neka je funkcija sa desne strane označena sa . Tada je

=

Može se direktno dokazati da važi

, kada i

za

ako je .

Veće povlači manju rizičnost novog portfolija. Potrebno je naći najveće za koje važi

. Neka je

.

Slučaj 1: : Tada je za svako . Stoga, najbolje je jednako 1, i reosiguranje nije

potrebno (Slika 4.a).

Slučaj 2: : U ovom slučaju, ako je , bira se , a ako je , tada se bira

(Slika 4.b).

Primer 1. Neka se originalni portfolio sastoji od nezavisnih i jednako raspodeljenih rizika

sa , Pretpostavlja se da je za svaki rizik posebno premija jednaka

, gde je opterećenje za posebne rizike. Kako je , može se

napisati

. Tada je

(2.2.8)

za veliko . Prema tome, za veliko , reosiguranje je potrebno ako je .

Neka je opterećenje za novi rizik isto kao za zasebne rizike originalnog portfolija: . Tada

je reosiguranje potrebno ako je . Međutim, ako je standardna devijacija novog rizika

jednaka standardnoj devijaciji zasebnih rizika u originalnom portfoliju, tada nema potrebe za

reosiguranjem.◻

2.3. Dugoročno osiguranje. Verovatnoća propasti kao kriterijum

U slučaju dugoročnog osiguranja, sigurnosni zahtevi treba da se odnose na ponašanje procesa

osiguranja na duži rok. Na primer, kao karakteristika rizičnosti može se odabrati verovatnoća

propasti za velike ili beskonačne horizonte.

Svakako, koja god mera rizika da se odabere, ne mora se postupiti samo sa tom merom.

Obično je određena strategija upravljanja rizičnog portfolija kompromis između sigurnosti i

budućeg profita. Ako bi verovatnoća propasti bila jedini kriterijum koji kompanija sledi, tada

uopšte ne bi preuzela nikakav rizik. Tada bi verovatnoća propasti bila jednaka nuli, ali bi i profit

bio nula takođe.

19

Ako se odabere verovatnoća propasti kao mera rizika, cilj reosiguranja bi bio da smanji ovu

verovatnoću na određeni izabrani nivo. Postoje dve poteškoće, jedna suštinska i jedna tehnička,

u ovom problemu.

Prvo, troškovi reosiguranja mogu biti visoki. U ovom slučaju, budući da uplata za reosiguranje

ide od prvobitne premije, deo preostale premije može biti mali. Tada kupovina reosiguranja

može dovesti ne do manje, već do veće verovatnoće propasti. To će se pokazati u primeru

ispod. Stoga bi prvo trebalo utvrditi granice razumnog reosiguranja.

Drugo, verovatnoća propasti zavisi od unutrašnjih karakteristika procesa osiguranja i od

početnog suficita. Kada se kupuje reosiguranje, menja se prvobitno stanje; međutim, umesto

kupovine reosiguranja, može se povećati početni suficit. Shodno tome, kupovina reosiguranja

predstavlja dodatni kompromis između nivoa suficita i veličine zadržanog rizika. Da bi se

problem pojednostavio i rešenja objedinila za sve moguće veličine početnog suficita, ne treba

poći od verovatnoće propasti, već od Lundbergove gornje granice , gde predstavlja

početni sufucit, a koeficijent prilagođavanja. Tada se može odabrati, kao karakteristika

sigurnosti, koeficijent prilagođavanja i raditi sa njim nezavisno od .

U nastavku slede dva konkretna primera.

2.3.1 Primer sa proporcionalnim reosiguranjem

Posmatra se slučajna promenljiva , gde je zaseban rizik, ,

i neka je odgovarajuća premija. Tada je Koeficijent prilagođavanja slučajne

promenljive predstavlja jedinstveno pozitivno rešenje jednačine , što je

ekvivalentno sa

, (2.3.1)

gde je funkcija generatrise momenata slučajne promenljive . Ukoliko ima normalnu

raspodelu, tada je funkcija generatrise momenata jednaka

.

Uslov (2.3.1) je ekvivalentan sa

Prema tome, koeficijent prilagođavanja predstavlja pozitivno rešenje poslednje jednačine i

jednak je:

(2.3.2)

Posmatra se proporcionalno reosiguranje, gde je sa označen koeficijent retencije. Zadržani

rizik je predstavljen slučajnom promenljivom . Treba primetiti da ako je slučajna

promenljiva sa normalnom raspodelom, tada ima isto normalnu raspodelu, pa se može

koristiti (2.3.2).

20

Pretpostavlja se da je cena reosiguranja određena pomoću opterećenja reosiguranja

Tada za dato , kompanija plaća reosiguranje, za svaki zahtev , cenu

.

Prema tome, ako je sigurnosno opterećenje originalnog osiguranja, premija zadražana posle

reosiguranja je

. (2.3.3)

Lako je proveriti da se (2.3.3) može zapisati u obliku

,

gde je .

Prirodno je pretpostaviti da je U suprotnom, osiguravač bi prepustio ceo rizik

reosiguravaču, zadržavajući premiju kao čist profit.

Dato je da je , i iz svojstva (2.3.2) može se zaključiti da je

koeficijent prilagođavanja zadržanog osiguranja jednak

. (2.3.4)

Za (nema reosiguranja), koeficijent prilagođavanja je

.

Kombinacijom sa (2.3.4), može se napisati

(2.3.5)

gde je funkcija

·

.

Jasno je da je . Funkcija dostiže svoj jedinstveni maksimum u tački

, (2.3.6)

i je opadajuća funkcija u tački ako i samo ako je .

Relacija je ekvivalentna sa

. (2.3.7)

Ovaj slučaj se tumači kao visok trošak reosiguranja. Ovde je za svako , pa

reosiguranje ne dovodi do veće stabilnosti.

Ako je , uzimajući između , dobija se veći koeficijent prilagođavanja, što se

tumači kao slučaj veće stabilnosti. Maksimum se dostiže za , ali ovo je takođe slučaj

najniže (za iz ) očekivanog prihoda.

Primer 1. Neka je . S obzirom na (2.3.6), reosiguranje ima smisla samo ako je

. Recimo, za , biće da je , pa bi jedna trećina mogla biti

21

reosigurana. Izbor odgovarajućeg između 2/3 i 1 bi trebao biti određen kompromisom između

stabilnosti zahteva i srednjeg profita. ◻

2.3.2 Primer excess-of-loss osiguranja (osiguranja viška štete)

Posmatra se proces , gde je

,

je Puasonov proces sa intezitetom i su nezavisne slučajne promenljive sa istom

raspodelom i ne zavise od . Tada je i , gde je .

Neka su i priraštaji odgovarajućih procesa na intervalu . Sledi da je

i .

Funkcija generatrise momenata priraštaja je

,

gde je funkcija generatrise momenata slučajne promenljive .

Neka je premija data sa . Ukoliko se posmatra priraštaj

premije na intervalu , tada je , pa je funkcija generatrise momenta priraštaja

.

Prema tome, akko je , što se može zapisati kao

ili

U ovom slučaju, koeficijent prilagođavanja je jedinstveno pozitivno rešenje jednačine

, (2.3.8)

gde je premija jednog zahteva i je slučajna promenljiva koja odgovara jednom

zahtevu.

Neka je slučajna promenljiva sa uniformnom raspodelom na segmentu . Ovo je

poseban slučaj, ali činjenica da je odabran jedinični interval ne ograničava uopštenost.

Pretpostavlja se slučaj excess-of-loss osiguranja sa nivoom , što znači sledeće:

za svaki zahtev kompanija pokriva deo iznosa koji je jednak slučajnoj promenljivoj

kompanija plaća za reosiguranje po jednom ugovoru.

Kako slučajna promenljiva ima uniformnu raspodelu na , slučajna promenljiva uzima

vrednost sa verovatnoćom . Nije teško proveriti da je uslovna raspodela od , za dato

, uniformna na segmentu . Koristeći taj podatak, može se izračunati

22

, (2.3.9)

,

. (2.3.10)

Prema tome, premija jednog zahteva nakon reosiguranja je jednaka

= . (2.3.11)

Funkcija generatrise momenata je

+ ( )

( 1). (2.3.12)

Za dato , koeficijent prilagođavanja je rešenje jednačine

.

Zamenom (2.3.11) i (2.3.12), dolazi se do jednačine

. (2.3.13)

Leva strana jednačine je neka eksponencijalna funkcija pomnožena sa linearnom funkcijom, a

desna strana jednačine je kvadratna funkcija. Stoga se ova jednačina ne može rešiti analitički, ali

njeno numeričko rešavanje za određene vrednosti parametara ne zadaje poteškoće. Procedura

bi bila sledeća.

Za date vrednosti i , razmatra se niz vrednosti polazeći od 1 do 0 u malim koracima.

Za svako , pronalazi se numeričko rešenje za (2.3.13). Proces se zaustavlja kada niz

počinje da opada.

Prema tome, koristi se aproksimacija

(2.3.14)

gde je

(0.5

).

Poslednja formula sledi iz (2.3.9), (2.3.10) i (2.3.11).

Funkciju je lako izračunati. Tabela ispod sadrži vrednosti za i .

1 0.9 0.8 0.7 0.69 0.68 0.67 0.66 0.65 5 5.11 5.37 5.60 5.6125 5.6207 5.6247 5.62338 5.617

Može se videti da počinje da pada od .

Međutim, ovo je gruba aproksimacija. Aproksimacija (2.3.14) je dobra za malo . U ovom

slučaju, ima red od 24·0.056=1.344, koje nije malo. Dakle, za precizniji rezultat

treba koristiti (2.3.13). ◻

23

Glava 3 Preraspodela rizika i reciprocitet kompanija

3.1 Uopštenje i neki primeri

Kao što je napomenuto na početku, kada se govori o raspodeli rizika, treba izdvojiti dva

različita pristupa (koji se takođe mogu i kombinovati). U prvom pristupu, rizik (ili slučajni prihod)

se smatra robom kojom se može trgovati. Mehanizam razmene u ovom slučaju je

decentralizovani tržišni mehanizam koji se čini efikasnijim u slučaju ravnoteže. Klasičan primer

je tržište berzi, ali se može razgovarati i o tržištu reosiguranja na kojem osiguravajuće

kompanije razmenjuju rizike.

Drugi pristup se odnosi na situaciju kada kompanije vode direktne pregovore o mogućnostima

razmene rizika. Proces takvih pregovora je povezan sa konceptom non-zero-sum igre (igre bez

nulte sume) ili kooperativne igre.

Zero-sum igra (igra sa nultom sumom), u situaciji dva igrača, je igra u kojoj za bilo koju

kombinaciju strategija igrača, jedan igrač dobija tačno onaj iznos koji njegov protivnik izgubi. U

non-zero-sum igri (igri bez nulte sume), dobitak jednog igrača ne mora nužno da odgovara

gubitku drugog. Postoje stategije u kojima oba igrača mogu imati koristi u poređenju sa onim

što su imali u početnim pozicijama. Ovde se problem sastoji u određivanju takvih strategija i

izboru jedne od njih. Odgovarajuća teorija se obično naziva teorija pregovaranja.

Pregovori između dve ili više kompanija o podeli rizika mogu se smatrati kooperativnom igrom

ili non-zero-sum igrom. Kompanije analiziraju moguće ishode i uspostavljaju principe koji bi sa

stanovišta svih kompanija vodili do posebne razmene rizika, neke razumne (“fer”).

Primer 1. Nastavak šeme iz Poglavlja 2.2.1. Dve kompanije imaju početne portfolije čiji su rizici

predstavljeni slučajnim promenljivama i sa sredinama i i varijansama i

,

respektivno. Kompanije su odlučile da podele novi rizik sa srednjom vrednošću i

varijansom . Opterećenje je isto za sva moguća osiguranja.

Neka je udeo novog rizika koji odlazi prvoj kompaniji i, shodno tome, je udeo novog

rizika koji odlazi drugoj kompaniji. Kompanije pregovaraju o razumnom izboru veličine .

Sa datim , novi rizici kompanija su , .

Pretpostavlja se, kao u Poglavlju 2.2.1, da kompanije biraju koeficijent varijacije (2.2.2) kao

meru rizika. Nakon toga, kompanije polaze od odgovarajućih koeficijenata

( )

, ( )

(3.1.1)

24

Slika 5.

Jedno od prirodnih pravila ovde može se sastojati u principu jednake rizičnosti za obe

kompanije, što dovodi do jednačine

( ( ), (3.1.2)

pod uslovom da postoji rešenje . Pogledati Sliku 5.

Neka je, na primer, . Zatim, budući da su u ovom slučaju imenioci u (3.1.1) jednaki,

izraz (3.1.2) je ekvivalentan jednačini

.

Jednostavnom računicom dolazimo do rešenja

. (3.1.3)

Ukoliko dva portfolija imaju iste parametre (to jest, ako je

, pored jednakosti srednjih

vrednosti), tada je 0.5, što je i prirodno.◻

Razmatra se sad opšta šema. Da bi se naglasilo da se ne odnosi samo na osiguranje, već i na

sasvim opštu situaciju, ponekad će se koristiti termin “učesnik” umesto termina “kompanija”.

U šemi je uključeno učesnika. Budući slučajni prihod koji karakteriše -tog učesnika je .

Kada je učesnik osiguravajuća kompanija, je budući suficit kompanije i neka je ,

gde je buduća uplata koju obezbeđuje kompanija i prikupljena premija, . U

opštem slučaju, struktura za je proizvoljna.

Neka je . Ovo je vektor početnih (slučajnih) prihoda. Pretpostavlja se da

učesnici razmenjuju neke delove njihovih rizika. U slučaju osiguranja, to znači da kompanije

razmenjuju delove svojih portfolija.

Neka je oznaka za prihod -tog učesnika nakon razmene. Slučajni vektor

određuje ovu razmenu. Pretpostavlja se da nisu sve vrste razmena dozvoljene ili moguće.

Prema tome, vektor pripada nekom skupu koji predstavlja sve prihvatljive vrste razmene.

Na primer, u mnogim situacijama je prirodno pretpostaviti da se ukupni prihod ne menja, pa bi

za sve trebalo da važi

. (3.1.4)

25

Međutim, ovaj uslov možda ne obuhvata sve moguće uslove za razmenu portfolija.

Primer 2. Posmatraju se dve kompanije sa originalnim rizicima i i premijama i ,

respektivno. Kompanije pregovaraju oko zajedničkog reosiguranja njihovih rizika. Pretpostavlja

se da se kompanije odlučuju za proporcionalno reosiguranje. Neka su sa i označeni

koeficijenti retencije za prvu i za drugu kompaniju, respektivno. Preciznije, prva kompanija

zadržava udeo sopstvenog rizika, cedira (reosigurava) udeo svog rizika, i prihvata

udeo rizika druge kompanije. Slično, druga kompanija zadržava udeo sopstvenog

rizika, reosigurava udeo svog rizika, i prihvata udeo rizika prve kompanije.

Slika 6.

U ovom slučaju, procedura reosiguranja je određena parom koji predstavlja tačku

na jediničnom kvadratu , što se može videti na Slici 6.

Za dato , prva kompanija pokriva iznos i iznos koji predstavlja udeo druge

kompanije. Dakle, totalni iznos koji pokriva prva kompanija je . Za

drugu kompaniju odgovarajući iznos je .

Svakako, trebalo bi da kompanije nekako preraspodele premije koje imaju. Postoje različiti

načini da se to uradi. Neki od njih će biti razmotreni u daljem tekstu, ali za sada, ne precizira se

pravilo po kojem je raspodeljena premija. Neka je premija koju -ta kompanija zadržava

nakon reosiguranja, odnosno

.

Tada, profit -te kompanije nakon razmene je slučajna promenljiva

, ,

i skup se sastoji od slučajnih vektora ( , ), gde je . ◻

Pretpostavlja se da svaki učesnik, kada procenjuje kvalitet svog položaja, polazi od funkcije

, koja je definisana na skupu slučajnih promenljivih i razlikuje se za različite učesnike.

Učesnik posmatra kao karakteristiku „kvaliteta“ slučajne promenljive (sa učesnikove

tačke gledišta). Na primer, ako učesnik maksimizuje očekivanu korisnost, tada je

, (3.1.5)

gde je funkcija korisnosti učesnika. Drugi primer se odnosi na mean-variance kriterijum

(kriterijum srednje varijanse) za koji važi

, (3.1.6)

26

gde je koeficijent tolerancije na rizik (tolerance-to-risk), “težina” koju učesnik dodeljuje

očekivanju. Različiti učesnici mogu imati različito . Kriterijum (3.1.6) nije primenljiv u opštem

slučaju, ali kada ima normalnu raspodelu, ovaj kriterijum ima smisla primeniti.

Vrednost ) se naziva indeks kvaliteta od .

Neka je funkcija mere kvaliteta za -tog učesnika. Tada, pre razmene, indeks kvaliteta -

tog učesnika je jednak broju , a nakon razmene je jednak .

Neka je , . Vektor je određen izborom vektora . Ako se

sa predstavi funkcija vektora , tada je

. (3.1.7)

Prema tome, svaki slučajni vektor iz skupa svih

dozvoljenih razmena generiše tačku

u .

Neka je sa označen skup svih mogućih tačaka

generisanih u (3.1.7). Skup je slika od , i predstavlja sve

moguće pozicije koje učesnik može zauzeti. Tipičan primer je

prikazan na Slici 7.

Tačka , koja predstavlja početni položaj učesnika, naziva

se status-quo tačka. Obično je to unutrašnja tačka skupa ,

kao što je prikazano na Slici 7.

Primer 3. Ovaj primer je pomalo veštački, ali je ilustrativan. Kasnije će biti objašnjen realniji

primer. Posmatra se slučaj kada je zbog jednostavnosti. Svaki učesnik maksimizuje svoju

korisnost sa funkcijom korisnosti , početni prihodi i su pozitivne slučajne

promenljive, pri čemu je konačno za .

Kako bi primer bio jednostavniji, pretpostavlja se da učesnici imaju pravo da odbiju deo

prihoda, recimo, bira se da je , . Ovo sigurno neće odgovarati optimalnom

ponašanju i čak će takva rešenja biti odbačena, ali je prikladno uključiti ove mogućnosti u

prvobitno razmatranje. Takva pretpostavka znači da se umesto uslova ,

razmatra uslov

. (3.1.8)

Pretpostavlja se da se klasa sastoji od svih pozitivnih slučajnih

vektora za koje je (3.1.8) tačno.

U ovom slučaju, predstavlja četvrtinu diska. Preciznije, je skup

, , (3.1.9)

gde je ; Pogledati Sliku 8.

Slika 8.

Slika 7.

27

Zaista, neka je , . Iz Cauchy-Schwarz-ove nejednakosti sledi

.

Tada, kako je ,

.

Da bi se pokazalo da je granica

(3.1.10)

dostižna, neka je , za konstantu . Tada

.

Status-quo tačka je . Može se pokazati da se u

nekim uslovima nalazi unutar .

Posmatra se sada poseban primer. Neka su i nezavisne

slučajne promenljive sa uniformnom raspodelom na segmentu .

Tada je

i =

.

Slučajna promenljiva ima trouglastu raspodelu sa gustinom

za .

Prema tome,

. Pogledati Sliku 9.◻

Primer 4. U Primeru 2, se sastoji od svih tačaka , gde je

i . Status-quo tačka odgovara , tako da je

. Kasnije će biti obrazložen ovaj primer sa više detalja. ◻

U nastavku se razmatra opšta šema. Učesnici stupaju u pregovore kako bi se dogovorili o

nekom pravilu razmene koje je prikladno za sve učesnike.

Učesnici bi postupili racionalno ako bi odbacili bilo kakav drugi sporazum, ukoliko postoji

sporazum koji će svim učesnicima istovremeno dati više indekse kvaliteta.

Shodno tome, kaže se da je tačka iz Pareto optimalna ako nema tačke iz čije su

koordinate manje od odgovarajućih koordinata , a bar jedna koordinata je strogo veća. Neka

je sa označen skup svih Pareto optimalnih tačaka, a skup odgovarajućih slučajnih vektora sa

.

Slika 9

28

Na Slici 7, je „North-East“(severoistočna) granica od . U Primeru 3, ovo je granica (3.1.10):

četvrtina kružnice na Slici 8.

Naravno, može se posmatrati ograničenje samo na tačke iz skupa , a shodno tome i na

razmene (rešenja) iz .

Sada, ako je status-quo tačka unutrašnja tačka skupa , postoje tačke čije su koordinate

strogo veće od odgovarajućih koordinata . To znači da svi učesnici mogu istovremeno da

poboljšaju svoje indekse kvaliteta u poređenju sa njihovim početnim pozicijama.

Neka je sa označen skup svih takvih tačaka (područje “to the North-East” od na Slici 10),

a sa skup odgovarajućih slučajnih vektora . Svaka tačka iz generiše tačku iz . Drugim

rečima, je slika od .

Jasno je da se svi učesnici mogu istovremeno složiti samo o tački iz .

Sa druge strane, razumno je razmotriti samo tačke iz skupa , pa bi

trebalo razmotriti presek tih skupova, odnosno skup svih Pareto

optimalnih tačaka iz .

Neka je ovaj skup označen sa , a skup odgovarajaućih slučajnih

vektora sa . Na Slici 10, skup

je deo granice “North-East” od .

Tačke iz se nazivaju Pareto optimalna rešenja problema pregovaranja koja se razmatraju.

Primer 5. Razmatra se numerički nastavak Primera 3. Već je određeno da su u ovom slučaju

Pareto optimalna rešenja vektori za . Pareto optimalne

tačke = = . Sa druge strane,

da bi pripadalo , obe koordinate bi trebalo da budu veće od 2/3. Dakle, treba da važi

,

,

čiji je rezultat

1

.

Iz

, dolazi se do rešenja

za .

Skup u ovom slučaju je prikazan na Slici 11. ◻

Prema tome, za svaki određeni problem, zadatak je odrediti skup , a zatim, polazeći od

nekih dodatnih zahteva, odabrati jedno određeno Pareto rešenje.

Ti dodatni zahtevi mogu biti različiti i snažno su povezani sa prirodom konkretnog problema koji

se razmatra. U sledećim odeljcima razmatra se nekoliko primera.

Sledeće, razmatra se jedan opšti pristup određivanja skupa . To će biti učinjeno na

heurističkom nivou, preskačući neke formalnosti. Pristup se sastoji u maksimiziranju funkcije

, (3.1.11)

Slika 10.

Slika 11.

29

gde su pozitivne konstante. Posmatra se skup svih za koje je jednako nekoj konstanti

. Slika svake tačke iz ovog skupa je tačka za koju je

(3.1.12)

Prema tome, tačka leži u -dimanzionalnoj ravni definisanoj sa (3.1.12).

U dvodimenzionalnom slučaju, ovo je linija, kao što je prikazano na

Slici 12. Da bi konstanta (i prema tome vrednost ) bila što

veća, trebalo bi pomeriti ovu liniju na severoistok (“North-East”) do

momenta kada ona postane linija za potporu skupa , a to znači kada

je čitav skup ispod prave. To je moguće kada je skup konveksan.

Na Slici 12, to je linija .

Presek ove najviše linije sa će ležati u , Pareto optimalnoj granici

od . Dakle, za fiksirani vektor koeficijenata , dobiće se

Pareto optimalna tačka iz . Ako je konveksan skup, sa obzirom na sve moguće vektore ,

doći će se do svih mogućih Pareto optimalnih tačaka u . Slučaj ili odgovaraće

krajnjim tačkama Pareto optimalnog skupa.

Slično je i u -dimenzionalanom slučaju. Jedina razlika je u tome što se u ovom slučaju ne

koriste linije za potporu, već -dimenzinalne ravni.

Primer 6. Razmatra se šema iz Primera 2 i 4. Svi vektori u ovom slučaju se mogu

identifikovati sa vektorom koeficijenata retencije . Za svako , posmatra se tačka

, kao što je određeno u Primeru 4.

Neka je sa označen skup koji odgovara skupu . Skup određuje skup svih Pareto

optimalnih rešenja. Ovo je kriva u , kao što je prikazano na Slici 13. Da bi se pronašao ovaj

skup, treba maksimizirati funkciju

za sve nenegativne vrednosti i .

Pretpostavlja se da su , , diferencijabilni. Tada se mogu iskoristiti gradijenti

(nagibi) funkcija , i ( , odnosno vektori parcijalnih izvoda

Slika 12.

(a) (b) Slika 13.

30

,

.

Kao što je poznato, gradijent ukazuje u kom pravcu se treba kretati od tačke , da bi

se funkcija , najbrže promenila. Konkretno, ako se kreće u pravcu u kom je projekcija

u ovom smeru pozitivna, tada se , povećava.

Ako je maksimum postignut u tački i ako je ta tačka unutrašnja tačka kvadrata ,

tada je

(3.1.13)

Ako tačka ne odgovara krajnjoj tački Pareto optimalnog skupa, oba su pozitivna i

. Tako se dolazi do uslova

za neko . (3.1.14)

Uslov (3.1.14) znači da ukoliko je neka unutrašnja tačka Pareto optimalna, vektori i

imaju suprotne smerove, što se može videti na Slici 13.a.

Može se takođe doći do uslova (3.1.14) na sledeći način. Pretpostavlja se da je ,

unutrašnja tačka, vektori , su nenula vektori, a uslov (3.1.14) nije tačan. Trebalo bi se

kretati u pravcu da bi se obe vrednosti , i , povećale (Slika 13.b). To

bi značilo da , nije Pareto optimalno rešenje. Treba imati na umu da u gornjem

obrazloženju nije korišćena konveksnost od .

Još dve napomene. Prvo, i ne moraju biti tangente na . Drugo, uslov

(3.1.14) se bavi samo prvim izvodima i to nije dovoljan uslov, odnosi se samo na unutrašnje

tačke skupa . ◻

3.2. Dva primera sa maksimizacijom očekivane korisnosti

Posmatra se učesnika sa funkcijama korisnosti . Pretpostavlja se da su sve

funkcije dovoljno glatke, i

za svako . Dakle, učesnici žele da spreče

rizik.

U skladu sa šemom iz prethodnog poglavlja, da bi se našlo Pareto optimalno rešenje, treba

maksimizirati funkciju

,

u zavisnosti od uslova

. (3.2.1)

Propozicija 3. (K. Borch) Neka zadovoljava (3.2.1) i neka je

. (3.2.2)

Tada, za svako koje zadovoljava (3.2.1) važi

(3.2.3)

31

Dokaz. Neka je sa označen broj koji, u skladu sa (3.2.2), ne zavisi od . Kako su

funkcije konkavne i glatke, za svako i važi

.

Dakle,

( ( ) ( ),

pa je

(

–

)

,

jer i zadavoljavaju (3.2.1). Posmatrajući očekivane vrednosti dolazi se do (3.2.3). ◼

Primer 1. Neka je . U skladu sa (3.2.2),

,

gde je broj koji ne zavisi od . Iz ove jednakosti je i

, (3.2.4)

gde je ,

je proizvoljan pozitivan broj, a je proizvoljan broj,

pozitivan ili negativan, za svako .

Treba se podsetiti da je , gde je

. Sumiranjem leve i desne strane

jednakosti (3.2.4), dobija se

.

Rešavajući po i zemenom u (3.2.4), dolazi se do

= , (3.2.5)

gde je

=

, (3.2.6)

= . (3.2.7)

Očigledno je >0, i =1. Sada,

=

(

)=0.

Prema tome,

0. (3.2.8)

Štaviše, budući da su proizvoljni brojevi, su proizvoljni brojevi za koje (3.2.8) tačno. Zaista,

ako se odaberu proizvoljni za koje je , na osnovu (3.2.7), .

Prema tome, može se zaboraviti na brojeve i tvrditi da je skup svih Pareto optimalnih

rešenja opisan sa (3.2.5), gde

je siguran neslučajni udeo totalnog prihoda koji će -ti učesnik imati, pri čemu je

Udeo kompletno određen sa u skladu sa (3.2.6),

brojevi su proizvoljni brojevi za koje (3.2.8) važi.

32

Neka je, na primer, , . Zatim, lako je proveriti, sva Pareto optimalna rešenja se

mogu predstaviti na sledeći način:

= ,

gde je proizvoljna konstanta.

Da bi se izabralo jedno Pareto optimalno rešenje, učesnici bi trebali da izaberu broj . Pre

razmene, učesnici možda neće imati jednake pozicije, jer će i možda imati različite

raspodele. Budući da u ovom slučaju učesnici dele ukupni slučajni prihod u jednakim

proporcijama, isplata je jedini način nadoknađivanja pomenutih nejednakosti. Na primer,

učesnici mogu da se sporazumeju da oni neće ostvariti profit u proseku tokom razmene. Ovo je

predstavljeno zahtevom , . Stoga učesnici treba da izaberu

. ◻

Razmatra se sada model proporcionalnog uzajamnog (zajedničkog) reosiguranja koji je

konstruisan u Primerima 4 i 6 u Poglavlju 3.1, zadržavajući isti zapis. Tako su funkcije indeksa

kvaliteta dveju kompanija:

, ,

gde je

, .

Pretpostavlja se da deo reosiguranog rizika dolazi sa odgovarajućim delom premije. Tačnije, ovo

znači da, pri ustupanju dela , prva kompanija plaća premiju , a isto tako i

što se tiče druge kompanije. Dakle, kompanije pre dele njihove portfolije nego njihove rizike.

Stoga,

, . (3.2.9)

Sledeći primer pokazuje šta se može očekivati u ovom slučaju.

Primer 2. Neka su i nezavisne slučajne promenjive koje imaju Gama raspodele sa

parametrima i respektivno. Neka je . Pretpostavlja se da je

.

Razmatra se jedino slučaj

zato što inače ( ), ( ) ne bi postojale,

što će se videti u nastavku. Važi da je

( , )=

=

=

=

.

Slično,

( , )=

.

33

Treba primetiti sada, da bi se odredile Pareto optimalne tačke, ne moraju se poznavati

vrednosti razmatranih funkcija, već samo delovi gde ove funkcije rastu ili opadaju. Stoga, ako se

umesto funkcija razmatraju indeksi kvaliteta ,

gde je striktno rastuća funkcija, Pareto optimalna rešenja bi bila ista. Dakle, može se

pojednostaviti problem, uzevši i umesto , mogu se razmatrati funkcije:

, (3.2.10)

. (3.2.11)

Ako se uzme u obzir (3.2.9), nakon jednostavnog računanja, dolazi se do

,

.

Kao što je pokazano u Poglavlju 3.1, da bi bila Pareto optimalna tačka, vektori i

treba da imaju suprotne smerove. U ovom slučaju, odnos koordinata za oba vektora treba

da bude jednak, što vodi ka jednakosti:

=

. (3.2.12)

(Leva strana jednakosti sadrži proizvod prve koordinate prvog vektora i druge koordinate

drugog vektora, a desna strana jednakosti je proizvod druge koordinate prvog vektora i prve

koordinate drugog vektora. Treba podeliti obe strane sa ).

Ovo je jednakost za Da bi se razumelo kako odgovarajući primer može da izgleda,

razmatra se sledeći slučaj

, i .

Onda će se i poništiti, te se (3.2.12) može zapisati kao

. (3.2.13)

Prvo, neka je . Zamenom u (3.2.12), dolazi se

do jednakosti. Dakle, skup

, , (3.2.14)

je jedno od rešenja jednačine (3.2.13), Slika 14. Preskače se računanje

Slika 14.

34

preostalih rešenja, ako ih i ima, koja ne ispunjavaju uslove problema.

Ako je , problem postaje interesantniji. Prikazani su grafici skupa (3.2.13), kreiranih u

Maple, na Slici 15.a za , , , i na Slici 15.b za , , .

U zaključku, može se primetiti da budući da je korišćenja “analiza prvog izvoda”, strogo

govoreći, još nije dokazano da je skup iznad Pareto optimalan. (Ovo je slično problemima

jednodimenzionalne optimizacije: činjenica da je prvi izvod jednak nuli u nekoj tački ne implicira

da je to tačka maksimuma ili minimuma). Da bi se kompletirao dokaz treba razmotriti ili drugi

izvod funkcija (3.2.10) i (3.2.11), ili ponašanje gradijenta (nagiba) u okolini skupa iznad. ◻

3.3. Slučaj kriterijuma srednje varijanse (mean-variance)

U ovom delu se razmatra slučaj proporcionalnog reosiguranja opisanog u primerima 2, 4 i 6 u

Poglavlju 3.1. Pretpostavlja se da su i nezavisne slučajne promenljive. Neka je

, , . Pretpostavlja se da je .

Počinje se sa relativno jednostavnim problemom koji odgovara slučaju za u (3.1.6).

3.3.1 Minimalizovanje varijanse

Ovde se pretpostavlja da kompanije pokušavaju da minimalizuju varijansu njihovih budućih

profita.

Ovakva pretpostavka može biti razumna ako se, na primer, kompanije slože da ne ostvaruju

profit u razmeni, bar u proseku, i pod ovim uslovom kompanije žele da smanje rizičnost svojih

portfolija. Nekreiranje profita u proseku dovodi do uslova za svako i . U

ovom slučaju, ovo je tačno ako pri podeli rizika , -ta kompanija plaća neto premiju

koja je očekivana buduća naplata za dodeljeni rizik. Zapravo, za prvu kompaniju sve

se završava sa premijom (budući da će druga kompanija

plaćati neto premiju prvoj kompaniji). Onda je:

Isto važi i za drugu kompaniju.

Prema tome, kompanije pokušavaju da minimalizuju vrednosti funkcija

( ,

(a) (b) Slika 15.

35

Formalno, ako se postavi da je u (3.1.6), dolazi se do . U ovom slučaju,

pogodno je izostaviti minus i posmatrati odgovarajući problem minimizacije. Izvesno, problemi

maksimizacije i minimizacije su jednaki. U nastavku se koristi simbol za

odgovarajuće varijanse.

Budući da su i nezavisne slučajne promenljive i da važi: ,

, sledi da je

,

. (3.3.1)

Da bi se pronašle Pareto optimalne tačke, ponovo se mora primeniti metod koji je predložen u

Poglavlju 3.1. U ovom slučaju, on se sastoji od minimizacije linearne kombinacije

, + ( , za pozitivne vrednosti , . Dakle, pojavljuje se prosta kvadratna

funkcija koja je konveksna i ima jedinstveni minimum. Iz tog razloga, treba se ograničiti na

problem analize prvog izvoda, tražeći tačke gde , imaju suprotne smerove.

Za gradijente (nagibe) važi

,

.

Ako je (3.1.14) tačno, odnos koordinata i je jednak, i iznosi

,

odnosno

, (3.3.2)

što se može videti na Slici 14.

Neka je . Onda iz (3.3.2) važi da je i

, (3.3.3.)

. (3.3.4)

Za prvu kompaniju, što je manje to je bolje. U status-quo tački, koja je za

vrednost . Stoga, prva kompanija bi prihvatila reosiguranje samo ako je

. U smislu (3.3.3), ovo odgovara

.

(a) (b)

Slika 16.

36

Slično, druga kompanija bi prihvatila reosiguranje ako je

. Prema tome,

kompanije treba da izaberu koeficijente retencije, iz segmenta

,

. (3.3.5)

Slika 16.a prikazuje skup (3.3.5), a Slika 16.b odgovarajući skup Pareto optimalnih tačaka u

oblasti Budući da su sada minimizirane vrednosti i Pareto optimalne tačke

odgovaraju jugozapadnoj (“South-West”) granici na Slici 16.b.

Primer 1. (a) Neka je , . Onda je (3.3.5) ekvivalentno sa

; (3.3.6)

(b) Međutim, ako je , , onda je skup Pareto optimalnih rešenja

, (3.3.7)

i ne uključuje centralnu tačku

. ◻

Jednom kada su Pareto optimalna rešenja određena, kompanije treba da utvrde dodatne

principe koji bi doveli do izbora jednog rešenja iz skupa pomenutih. Takvi principi mogu

zahtevati da obim razmene bude u nekom smislu izbalansiran.

Pretpostavlja se, na primer, da je trošak reosiguranja proporcionalan srednjoj vrednosti

reosiguranog rizika. Preciznije, za rizik koji treba da bude reosiguran, prva kompanija

treba da plati drugoj kompaniji iznos , gde je koeficijent

opterećenja reosiguranja. Respektivno, druga kompanija treba da plati prvoj kompaniji iznos

. Da bi razmena bila izbalansirana, može se zahtevati da ova dva iznosa

budu jednaka (što je jednako uslovu da kompanije ne plaćaju jedna drugoj). Budući da se u

ovom slučaju faktori poništavaju, važi da je

( ( . (3.3.8)

Zajedno sa uslovom , dobija se jedinstveno rešenje

,

. (3.3.9)

Bitno je naglasiti dve stvari.

Prvo, pravilo (3.3.8) nije uspostavljeno na samom početku, već na kraju kada je skup Pareto

optimalnih tačaka bio određen, uslov (3.3.8) je postavljen kao dodatni zahtev.

Drugo, uslov (3.3.8) možda ne dovede do odgovarajućih rešenja.

Primer 2. Neka je , i neka je i . U situaciji iz Primera 1a, tačka

pripada skupu Pareto optimalnih rešenja (3.3.6), tako da se može odabrati ova tačka

kao posebno rešenje.

37

Međutim, u situaciji iz Primera 1b, tačka ne pripada skupu (3.3.7), tako da u ovom

slučaju (3.3.8) ne može poslužiti kao dodatno rešenje. ◻

Poslednji primer ističe nedostatak principa očekivane vrednosti premije, koji ne uzima u obzir

rizik koji snosi reosiguravač.

Pretpostavlja se sada da, pri ustupanju rizika , -ta kompanija treba da plati neto

premiju od ( kao što je konstatovano, i još dodatnu sigurnosnu premiju reosiguravaču,

koja je proporcionalna standardnoj devijaciji reosiguranog rizika. Preciznije, ova dodatna isplata

je jednaka ( , gde je koeficijent opterećenja. Takvo pravilo se odnosi na

određivanje premije principom standardne devijacije.

Pretpostavlja se da se kompanije slažu da se te dve dodatne premije međusobno kompenzuju

(nadoknađuju), te da nijedna kompanija ne treba da plati dodatnu premiju reosiguranja. Ovo je

jednako uslovu

,

što zajedno sa vodi ka

,

. (3.3.10)

Ovo rešenje izgleda prirodno. Treba primetiti da, za razliku od slučaja (3.3.9), rešenje (3.3.10)

uvek pripada Pareto optimalnom skupu (3.3.5).

3.3.2. Razmena portfolija

Neka je -ti portfolio određen premijom i budućim plaćanjem . Sada se pretpostavlja da

reosigurani deo rizika dolazi sa odgovarajućim delom premije. Drugim rečima, kao u Poglavlju

3.2, prihvata se pravilo (3.2.9).

U ovom slučaju, profit prve kompanije je slučajna promenljiva

.

Prema tome,

. (3.3.11)

Slično, profit nakon reosiguranja druge kompanije je

. (3.3.12)

Usvaja se kriterijum srednje varijanse (3.1.6), pretpostavljajući zbog jednostavnosti da je

koeficijent tolerancije rizika jednak za obe komapnije. Pretpostavlja se da su i , a samim

tim i i nezavisne slučajne promenljive. Onda je

i .

Iz (3.3.11) i (3.3.12),

,

. (3.3.13)

38

Ako je , funkcije ne uključuju premije, tako da se svaka preraspodela premija može

pretpostaviti, uključujući i preraspodelu koja je razmotrena u Poglavlju 3.3.1.

Kao u Poglavlju 3.3.1, treba se ograničiti na analizu prvog izvoda, precizirajući skup gde i

imaju suprotne smerove.

Diferenciranjem i dobija se

,

.

Pogodno je koristiti karakteristike

,

, (3.3.14)

i predstaviti gradijente formulama

,

. (3.3.15)

Neka je najpre = =1. Tada je

,

Prema tome, u ovom slučaju, i za

. Stoga, obe

funkcije, i dostižu svoj maksimum u istoj tački

.

U ovom slučaju skup Pareto optimalnih rešenja sadrži jednu tačku

i za obe kompanije je

najbolje rešenje da podele rizik na jednake delove. Ovo je ekstremni slučaj.

Pretpostavlja se sada da je najmanje jedno različito od 1. Ako je (3.1.14) tačno, odnos

koordinata od i treba da bude isti, što implicira

. (3.3.16)

Jednostavnom računicom pokazuje se da je (3.3.16) ekvivalentno jednakosti

(1 )+ (1 )

( + ). (3.3.17)

Prema tome, skup Pareto optimalnih rešenja je podskup od (3.3.17). U nastavku se razmatraju

neki konkretni slučajevi.

3.3.2.1 Simetrični slučaj. Neka je 1. Nije teško proveriti da se u ovom slučaju

poništavaju u (3.3.17), pa se ponovo dolazi do segmenta

. (3.3.18)

Iz (3.3.14), u ovom slučaju,

,

. (3.3.19)

Neka je . Tada, u skladu sa (3.3.13), (3.3.15) i (3.3.19), u segmentu (3.3.18),

, (3.3.20)

39

, (3.3.21)

, (3.3.22)

(3.3.23)

Rešenja koja se biraju iz (3.3.18) treba da zadovolje sledeća dva uslova:

1) i treba da imaju suprotne smerove,

2) pozicije obeju kompanija ne bi trebale da budu gore nego što su bile u status-quo tački,

naime

,

). (3.3.24)

S obzirom na (3.3.22) i (3.3.23), prvi uslov je ispunjen ako i , kao funkcije

od , imaju isti znak. Nije teško primetiti (recimo, ako se ove linearne funkcije predstave

grafički), da je za :

1) ako je , ovo je uvek tačno;

2) ako je , ovo je tačno za

;

3) ako je , ovo je tačno za

.

Treba primetiti, ako je , dobija se samo jedna tačka

, što je već uočeno iznad.

S obzirom na (3.3.20) i (3.3.21), uslov (3.3.24) se svodi na kvadratne nejednačine

. (3.3.25)

Primer 1. (a) Neka je , , . Ovi brojevi određuju sve neophodne informacije

oko , i . Budući da je , uslov 1) je automatski ispunjen, a potrebno je rešiti uslov

(3.3.25) , koji je jednak

.

Rešenje ove jednačine je

,

pa aproksimativno se radi sa segmentom

(b) Neka je , , . Zatim treba rešiti nejednačine

.

Približno rešenje je . Međutim, treba uzeti u obzir i uslov

,

koji je u ovom slučaju . Stoga, rešenje je

Izbor jedne tačke zahteva dodatni uslov, sličan onom koji je rađen u Poglavlju 3.3.1.◻

40

3.3.2.2. Rešenje u opštem slučaju. Razmatra se slučaj kada je . Smisao ovoga je da,

zahvaljujući (3.3.17), Pareto optimalna rešenja leže na liniji različitoj od dijagonale kvadrata .

Treba primetiti takođe da se, s obzirom na (3.3.14), uslov (3.3.13) može zapisati kao

, (3.3.26)

. (3.3.27)

Opšte formule su vrlo glomazne, pa se posmatra restrikcija na primeru.

Primer 2. Neka je , . Zamenom u (3.3.17), dolazi se do

prave

. (3.3.28)

Dakle, treba razmotriti segment koji povezuje tačke

i

,

Slika 17.

Granične tačke iz segmenata

i

(Slika 17), su takođe

Pareto optimalne. (Uslov važi samo za unutrašnje tačke, granične mogu biti

Pareto optimalane i bez tog uslova). Da bi se to pokazalo, treba razmotriti nagibe duž tih

segmenata. Međutim, to se neće raditi, budući da ti segmenti treba da budu isključeni iz

razmatranje, što će se uskoro videti.

Razmatra se treći, centralni, segment. Neka je . Sada

. U skladu sa (3.3.15),

zamenom iz (3.3.28), dobija se

,

Primećuje se da , imaju suprotne smerove za svako

.

Pretpostavlja se sada da je , . Onda iz (3.3.26), (3.3.27) sledi da na pravoj (3.3.28)

,

U status-quo tački,

,

. Zbog toga, restrikcije

, su ekvivalentne jednačinama

.

Rešenje ovog sistema kvadratnih nejednačina je

Slika 17.

41

–

Prema tome, skup prihvatljivih rešenja za obe kompanije je dat aproksimativno sa

(ponovo videti Sliku 17). Rešenje je blisko tački , tako da su u ovom slučaju dodatna

razmatranja nepotrebna. ◻

42

Glava 4 Tržište reosiguranja

4.1 Model tržišta razmene slučajne imovine

Dok se u prethodnim glavama diskotovao direktan rizik razmene kao rezultat pogodbe

kompanija, ovaj deo se bavi decentralizovanim mehanizmima razmene. U tom slučaju, učesnici

na tržištu ne razmenjuju rizike diriktno, već trguju njima.

Konstrukcije ovog dela služe samo da ilustruju neke osnovne ideje i koncepte, tako da

rezultati koji su dobijeni ne bi trebalo da budu smatrani praktičnim preporukama. Moderna

tržišta su kompleksna i to su sofisticirani mehanizmi koji koriste različite finansijske alate. Čist

model razmene može da služi samo kao prva aproksimacija.

Klasični model koji se dalje diskutuje postoji zahvaljujući K. Arrow-u.

Razmatraju se zapažanja iz Poglavlja 3.1. Pretpostavlja se da tržišni učesnici nastoje da

maksimiziraju korisnost i da -ti učesnik ima funkciju korisnosti ( ), kao i početni kapital .

Tada je za dodatni prihod (pozitivan ili negativan) korisnost -tog učesnika je jednaka

( ). Neka je ( ) ( ). Funkcija ( ) je funkcija korisnosti koja uključuje

početno bogatstvo.

Kao i obično, posmatra se uzorački prostor i mera verovatnoće koja je definisana nad

događajima iz . Sve razmatrane slučajne promenljive su funkcije definisane na .

Kako bi se pojednostavila računica, pretpostavlja se da je prostor diskretan: ,

premda, rezultati do kojih se dolazi su tačni i u nekim opštim slučajevima.

Ako je verovatnoća ishoda označena sa , onda za slučajnu promenljivu ,

važi

. (4.1.1)

Kao u Poglavlju 3.1, posmatra se fiksirani vektor originalnih slučajnih

promenljivih budućih prihoda. Stoga, budući kapital -tog učesnika je i njegova korisnost

je ( ) ( ). Slučajna promenljiva se može nazvati početna sredstva -tog učesnika

(bez fiksnog početnog kapitala ).

Učesnici na tržištu razmenjuju slučajne promenljive svojih budućih prihoda. Prema tome,

dobra na tržištu su slučajne promenljive i glavni koncept koji treba razjasniti i definisati je cena

slučajne promenljive. Pretpostavlja se da je ona predstavljena funkcijom koja je definisana

na klasi slučajnih promenljivih koje se razmatraju.

Ne isključuju se slučajne promenljive sa negativnim vrednostima, već se one tretiraju kao

slučajevi u kojima dolazi do gubitka. Takođe se ne isključuje slučaj kada cena pretpostavlja

43

negativnu vrednost. Ako investitor prihvata rizik koji nosi samo gubitke, onda taj investitor

treba da bude plaćen za to. To znači da je cena tog rizika negativna.

Nasuprot ceni običnih dobara, ono što bi trebalo da bude nazvano cenom slučajnog prihoda

(recimo, slučajna imovina) je netrivijalno pitanje.

Pretpostavlja se da je funkcija cene linearna, a to znači da za bilo koje dve slučajne

promenljive i i bilo koje brojeve i važi:

. (4.1.2)

Ovaj uslov deluje razumno, iako sadrži neka pojednostavljenja. Činjenica je da funkcija cene

nije linearna: što više nečega kupite, manja je cena po jedinici proizvoda.

Pretpostavlja se takođe

, za svaku nenegativnu slučajnu promenljivu , i (4.1.3)

; preciznije, , za svaku slučajnu promenljivu . (4.1.4)

Takva funkcija cene može da se predstavi na sledeći način. Neka je mera

verovatnoće definisana na događajima iz . Ova mera može biti različita od originalne mere

verovatnoće . Neka je sa označena očekivana vrednost od u odnosu na meru .

Ako je diskretan prostor i ( ) verovatnoća ishoda u odnosu na meru , onda

( ). (4.1.5)

Razmatra se funkcija

. (4.1.6)

Ova funkcija zadovoljava uslove (4.1.2)-(4.1.4) kao očekivanje u odnosu na meru verovatnoće.

Štaviše, može biti pokazano pod nekim blažim uslovima da svaka funkcija sa svojstvima

(4.1.2)-(4.1.4) je jednaka za neko . Posebno, ovo je tačno ako je uzorački prostor

konačan.

Dakle, usvaja se, kao definicija cene, reprezentacija (4.1.6).U ovom slučaju, postupak

određivanja cene na tržištu svodi se na određivanje mere . Ako je diskretan prostor, u

smislu (4.1.5), da bi se odredilo , dovoljno je da se navedu “verovatnoće” ( ).

Potrebno je ponovo naglasiti da su brojevi ( ) različiti od stvarne verovatnoće .

Neko može reći da ( ) reflektuje kako tržišni učesnici procenjuju verovatnoću ishoda , ili,

drugim rečima, ( ) ukazuje na učesnikova uverenja po pitanju ishoda Ta uverenja mogu

biti različita od realnosti.

Za datu funkciju cene , -ti učesnik prodaje početna sredstva po ceni i kupuje

drugu slučajnu promenljivu po ceni . Ovo je jednako razmeni za po ceni od

Treba primetiti da je , budući da je funkcija

linearna.

Ne pretpostavlja se da je i vrednost može imati bilo koji znak. Ako

je , interpretira se kao slučaj u kojem je učesnik pozajmio sredstva da bi kupio

44

ili je uzeo novac iz početnog kapitala. Na drugoj strani, može biti negativno, što

bi značilo da je nakon razmene učesnik primio dodatni novac.

Najzad, budući prihod -tog učesnika je

, (4.1.7)

i očekivana korisnost je

( . (4.1.8)

Razmena treba da bude izbalansirana, tako da je

. (4.1.9)

Kako je funkcija cene linearna funkcija, iz (4.1.9) sledi da je

, ili

=0. (4.1.10)

Ovo znači i da su ukupna plaćanja takođe izbalansirana. Recimo, ako je , jedan učesnik

plaća, a drugi prihoduje.

Iz (4.1.10) sledi da je uslov (4.1.9) jednak balansu za :

. (4.1.11)

Zaista, na osnovu (4.1.7) sledi da je

, dok je poslednja

suma jednaka nuli prema (4.1.10).

Prema datoj funkciji cene , -ti učesnik određuje slučajnu promenljivu koja maksimizira

očekivanu korisnost (4.1.8). Neka je označen taj rezultat maksimizacije sa . Slučajna

promenljiva je potražnja učesnika .

Treba primetiti da nije ono što će učesnik kupiti. To je pre ono što on/ona želi da kupi; to

je potražnja. Poenta je da ako procedura određivanja cene ne oslikava realnu situaciju na

tržištu, potražnja možda neće biti jednaka ponudi. Stoga, ne treba očekivati da za proizvoljnu

cenu potražnja zadovoljava uslov balansa (4.1.9).

Funkcija i vektor

se mogu nazvati funkcija cene ekvilibrijuma i

vektor potražnje ekvilibrijuma, resprektivno, ako

a) = za svako , što predstavlja za svakog učesnika optimalnu potražnju u

odnosu na funkciju cene *,

b) ponuda i potražnja su izbalansirane, tako da je

.

Poslednje svojstvo je jednako jednačini balansa

,

gde je =

*( ). Dakle, može se govoriti o vektoru ekvilibrijuma

.

Može se dokazati da rešenje * postoji i Pareto je optimalno. Ovo je značajna činjenica. Prvo,

značilo bi da pod ekvilibrijumom cena, mehanizam određivanja tržišne cene vodi do rešenja

45

koje ne može biti poboljšano istovremeno za sve učesnike. Drugo, mehanizam određivanja cene

je decentralizovan. Da bi se dostiglo ravnotežno rešenje, učesnici ne moraju da ulaze u direktne

pregovore. Svaki učesnik može da donese odluku odvojeno od ostalih, maksimiziranjem

sopstvene očekivane korisnosti budućeg prihoda.

4.2 Primer reosiguranja

Klasični primer koji se ovde razmatra je kreirao K. Borch.

Pretpostavlja se da su učesnici na tržištu osiguravajuće kompanije i da je , gde je

originalno potraživanje -te kompanije. Interpretira se količina iz opšte šeme iznad kao suma

koja je dovoljna da pokrije potraživanje . Posebno, pretpostavlja se da uključuje plaćenu

premiju. Onda je + budući suficit -te kompanije.

Neka je sa označeno potraživanje zadržano od stane -te kompanije. (U zapisu prethodnog

dela, ). Ovo znači da kompanija kupuje reosiguranje za i plaća ga po ceni

, (4.2.12)

gde je funkcija cene. Treba primetiti da slučajna promenljiva može da ima

negativnu vrednost (kompanija reosigurava nečiji rizik). Slično, može biti negativna

(uopšteno, kompanija se ponaša kao reosiguravač).

Očekivana korisnost -te kompanije je

. (4.2.13)

Razmena je izbalansirana ako je

. (4.2.14)

Pretpostavlja se da je funkcija cene generisana merom verovatnoće na način kao u

prethodnom delu. Tako da je, u skladu sa (4.1.5),

{ } ( ) ) ,

gde je , i ( ).

Neka je = , tada se (4.2.13) može zapisati kao

. (4.2.15)

Cilj je pronaći cenu ekvilibrijuma i potražnju ekvilibrijuma. Budući da je kompletno

određeno merom , posmatraju se brojevi i .

Prvo, treba razmotriti jednu kompaniju, fiksira se indeks , a onda se maksimizira (4.2.15) u

odnosu na vektor ( . Za fiksirano , parcijalni izvod po je

+

(

= +

( ( )

=

( )

46

= { ( )}

( ).

Postavljanjem parcijalnih izvoda da budu jednaki nuli, dolazi se do sistema jednačina za cenu

ekvilibrijuma i vektor potražnje ekvilibrijuma, odnosno

{ ( )}

( ) za svako i . (4.2.16)

Primer 1. Neka je

(

.

Funkcija iznad je rastuća za , te treba pretpostaviti da su sve slučajne promenljive i

ograničene jedinicom.

Takođe se pretpostavlja, radi jednostavnosti, da je svako .

Budući da je u ovom slučaju ( i , jednačine (4.2.16) se mogu napisati kao

( ,

ili

( . (4.2.17)

Treba primetiti, u skadu sa (4.2.14), da je

. (4.2.18)

Neka je

,

i pretpostavlja se da je, na osnovu (4.2.14),

, gde je vrednost

za . Sumiranjem po obe strane jednačine (4.2.17) i uzimajući u obzir

(4.2.18), dobija se

,

ili

. (4.2.19)

Dakle,

( )

. (4.2.20)

Prema tome, pronađena je mera cene ekvilibrijuma . Za takvu meru, cena bilo koje slučajne

promenljive je

( )

.

Dakle,

. (4.2.21)

Treba primetiti da je pretpostavljeno da je diskretan prostor radi pojednostavljenja dokaza.

Formula (4.2.21) važi i u opštem slučaju.

S obzirom na cenu ekvilibrijuma (4.2.21) proizilazi da je optimalna slučajna promenljiva

, (4.2.22)

47

gde je

. (4.2.23)

Da bi se ovo dokazalo, treba pokazati da takvo rešenje zadovoljava (4.2.17). Najpre, prema

(4.2.21), za svaku slučajnu promenljivu (4.2.22),

,

s obzirom na (4.2.23).

Dakle, i može se zapisati (4.2.17) kao jednakost . Korišćenjem

(4.2.19), dobija se , odnosno

.

Zamenom iz (4.2.22), dolazi se do identiteta.

Prema tome, u ovom modelu, reosiguranje ekvilibrijuma korespondira sa proporcionalnim

reosiguranjem (4.2.22). Budući da je , dobija se

), (4.2.24)

što znači da svaki učesnik zadržava potraživanje, verovatno različito od originalnog potraživanja,

ali po istoj ceni kao potraživanje .

Poslednje svojstvo postoji zbog posebnih izbora funkcije korisnosti i parametara . Nije teško

pokazati da u slučaju proizvoljne kvadratne funkcije korisnosti, (4.2.22) nastavlja da bude tačno

(sa različitim ), ali (4.2.24) možda neće važiti.

Detaljnija analiza dobijenih rešenja: Pretpostavlja se da su nazavisne slučajne promenljive i

neka je = +...+ ,

= +...+

. Tada će cena

ekvilibrijuma originalnog potraživanja biti

( )

(4.2.25)

(

+ ) +

, (4.2.26)

što izgleda jednostavno. Što je veće, neko mora da plati više da bi reosigurao određeni rizik.

Koristeći već izračunato, za koeficijent retencije , dobija se

, (4.2.27)

što je takođe smisleno. ◻

48

Glava 5 Koosiguranje

5.1 Osnovni pojmovi

Koosiguranje predstavlja učešće dva ili nekoliko osiguravača neposredno u zaključivanju

ugovora o osiguranju tako da svaki osiguravač preuzima pokriće određenog dela rizika.

Koosiguranje je u suštini raspodela jednog rizika na nekoliko delova, koje svaki od

koosiguravača preuzima u direktno pokriće iz zajedničkog ugovora ili zajedničke polise

osiguranja. Kod koosiguranja radi se o polisi osiguranja koja sadrži obavezu dva ili više

osiguravača za isti rizik jednog osiguranika.

Kod koosiguranja nastaje neposredni odnos između osiguranika i svakog pojedinog

koosiguravača. Za koosiguravača je prema tome taj odnos isti, kao i u ugovoru o osiguranju;

obaveza se ograničava na određeni deo rizika, odnosno osiguranog predmeta.

U ugovoru ili polisi koosiguranja stvara se direktna, lančano povezana obaveza nekoliko

koosiguravača prema istom koosiguraniku. Dakle, reč je o neposrednoj horizontalnoj raspodeli

jednog rizika između koosiguravača koji individualno preuzimaju svoj deo obaveze.

Neposredna obaveza koosiguravača podrazumeva direktnu naknadu štete kada se ostvari

osigurani slučaj. Nijedan od koosiguravača ne odgovara za obavezu drugog koosiguravača.

Osiguravač koji je pokretač obaveze iz osiguranja ili koji vodi naziva se vodeći osiguravač. Ako

nastupi osigurani slučaj, koosiguravači obično ovlaste vodećeg osiguravača da izvrši likvidaciju

štete i rasporedi odštetu na sve koosiguravače. Svaki koosiguravač, međutim, ima pravo da sam

izvrši u potpunosti likvidaciju svog dela štete, ali se to u praksi obično ne radi zbog troškova koji

na taj način nastaju, tim pre što svaki koosiguravač ima pravo uvida i kontrole svih dokumenata

kojima je utvrđeno postajanje obaveze iz osiguranja i visina štete. Troškovi likvidacije štete se u

tom slučaju dele proporcionalno učešću svakog koosiguravača u ukupnoj šteti.

Samostalnost i neizvesnost obaveze svakog koosiguravača je u skladu sa osnovnim načelom

izravnanja rizika i pokrića dela rizika koji prelaze raspoloživa sredstva osiguravača. Osiguravač

nudi deo rizika u pokriće upravo zato što nema uslova da sam preuzme obavezu u celini. Zato je

u klasičnom tipu koosiguranja obaveza svakog koosiguravača isključivo njegova i za nju ni u kom

slučaju ne odgovaraju drugi koosiguravači, isto kao da je osiguranik zaključio sa svakim

koosiguravačem poseban ugovor o osiguranju.

Ugovor o koosiguranju zbog samostalnosti obaveze svakog o koosiguravača može u

određenom momentu biti nepovoljan za osiguranika, ako neki koosiguravač nije u mogućnosti

da ispuni svoju obavezu. Zato u praksi postoje i drugačija rešenja kojima je predviđena solidarna

odgovornost svih koosiguravača, to jest kada koosiguravači jamče osiguraniku za ispunjenje

celokupne obaveze iz ugovora o osiguranju.

49

Koosiguranje se danas primenjuje samo u izuzetnim slučajevima kada se radi o velikim i teškim

rizicima, kao što su osiguranje brodova, vazduhoplova, atomskih centrala i elektrana. Naime,

postupak u koosiguranju je vrlo složen i zahteva relativno mnogo vremena da se takav ugovor

zaključi. Za svaki pojedini slučaj treba pronalaziti osiguravače koji su spremni i imaju potrebna

sredstva za preuzimanje dela rizika u koosiguranju.

50

Zaključak

U ovom radu se razmatra preraspodela rizika, kao što su reosiguranje i koosiguranje. Ukoliko

je pojedinac sa određenim kapitalom suočen sa slučajnim gubitkom, on se obraća

osiguravajućoj kompaniji, kako bi se zaštitio od rizika. Dalji proces preraspodele rizika

predstavlja preraspodelu izmedju osiguravajućih kompanija.

Postupak reosiguranja je određen funkcijom retencije (zadržavanja), koja određuje koji iznos

cedent treba da zadrži, a koji da reosigura, kako se ne bi suočio sa gubitkom. Postoji više

strategija određivanja ove funkcije koje su razmatrane u ovom radu. Cilj je bio pronaći

odgovarajuću funkciju kako bi se smanjio rizik.

Postoje dva pristupa raspodele rizika. U prvom pristupu kompanije vode direktne pregovore o

mogućnostima razmene rizika. Pregovori između kompanija o podeli rizika se mogu smatrati

kooperativnom igrom ili non-zero-sum igrom (igrom bez nulte sume). Određene su strategije u

kojima bi kompanije mogle imati korist u poređenju sa onim što su imale u početnim

pozicijama. Analizirani su mogući ishodi i uspostavljeni principi koji bi sa stanovišta svih

kompanija vodili do “fer” razmene rizika. U drugom pristupu rizik se smatra robom kojom se

može trgovati. Učesnici na tržištu razmenjuju slučajne promenljive svojih budućih prihoda.

Prema tome, dobra na tržištu su slučajne promenljive i glavni koncept koji je razmatran i

definisan je cena slučajne promenljive.

Koosiguranje predstavlja raspodelu rizika u početnoj fazi. Razlika kod koosiguranja, u odnosu

na reosiguranje, je ta što postoji direktna veza između osiguranika i svakog pojedinog

koosiguravača, dok je strategija raspodele rizika slična kao kod reosiguranja.

Današnja vremena ispunjena su pitanjima kao što su rezerve zasnovane na principima, kredit

za reosiguranje, prenos rizika, transakcije na tržištu kapitala, ekonomski kapital, upravljanje

rizikom preduzeća i slično. Međutim, osiguranje i reosiguranje uveliko pomažu modernom

društvu. Avioni i sateliti zamenili su rizike povezane sa ranim jedrenjacima. Uragani, zemljotresi

i terorizam predstavljaju rizike koji prelaze velike požare iz prošlosti. Životna reosiguranja

pomažu u pružanju finansijske sposobnosti i stabilnosti. Reosiguranje i koosiguranje će biti

dugotrajno i trajno važni, ne samo za posao osiguranja, već i za upravljanje rizicima širom sveta.

51

Literatura

H. Buhlmann, Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag Berlin Hiedelberg,

2005.

Jelena Kočović, Osiguranje, Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.

Marija Milošević, Teorija verovatnoća, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,

Prirodno-matematički fakultet, Niš

Marija Milošević, Stoahstički procesi, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-

matematički fakultet, Niš

Marija Milošević, Teorija rizika, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-

matematički fakultet, Niš

V. I. Rotar, Actuarial Models, The Mathematics of Insurance, Taylor&Francis Group, LLC,

2007.

52

Biografija

Marina Jovanović je rođena 11. avgusta 1995. godine u Nišu. Završila je osnovnu školu “Stojan

Novaković” u Blacu, kao nosilac Vukove diplome. Nakon toga, završila je Gimnaziju u Blacu,

opšti smer, takođe kao nosilac Vukove diplome.

Osnovne akademske studije na Departmanu za matematiku Prirodno-matematičkog fakulteta

u Nišu upisala je školske 2014/15. godine i završila ih 2017. godine. Iste godine je upisala master

akademske studije na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu, smer Verovatnoća, statistika i

finansijska matematika. Poslednji ispit položila je oktobra 2019. godine.

53

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Марина Јовановић

Ментор, МН: Марија Крстић

Наслов рада, НР: ПРЕРАСПОДЕЛА РИЗИКА – РЕОСИГУРАЊЕ И

КООСИГУРАЊЕ

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2019.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

53 стр.

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: примењена математика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Осигурање, реосигурање, коосигурање, ризик,

коефицијент ретенције

УДК 519.21

519.86

368.029 Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

54

Извод, ИЗ: У овом раду се разматра процес прерасподеле

ризика. Први ниво тог процеса представља склапање

уговора о осигурању између клијента и осигуравајуће

компаније. Затим се процес наставља тако што

осигуравајуће компаније међусобно врше

прерасподелу ризика. Таква прерасподела ризика

може бити флексибилнија од оне на првом нивоу у

смислу да осигуравајуће компаније могу на различите

начине вршити прерасподеле индивидуалних ризика

или укупног акумулираног ризика.

Датум прихватања теме, ДП: 05.12.2018.

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: др Миљана Јовановић

Члан: др Јасмина Ђорђевић

Члан, ментор: др Марија Крстић

Образац Q4.09.13 - Издање 1

55

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: master thesis

Author, AU: Marina Jovanović

Mentor, MN: Marija Krstić

Title, TI: RISK EXCHANGE – REINSURANCE AND COINSURANCE

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2019.

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

53 p.

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: applied mathematics

Subject/Key words, S/KW: Insurance, reinsurance, coinsurance, risk, retention

coefficient

UC 519.21

519.86

368.029

Holding data, HD: library

Note, N:

56

Abstract, AB: In this thesis is consider process of redistribution of risk. First

level of the process starts with purchasing insurances by

individual clients, continues at the next level: insurance

companies redistribute the risk they incurred between

themselves. Sush a risk redistribution may be even more

flexible than at the first level: the companies may share

individual risks in different ways or redistribute total

accumulated risk.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: 05.12.2018.

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President: dr Miljana Jovanović

Member: dr Jasmina Đorđević

Member, Mentor: dr Marija Krstić

Образац Q4.09.13 - Издање 1