Matemáticas Financieras Sesión 2

Fundamentos Matemáticos

Contextualización de la Sesión 2

Para concluir con la unidad introductoria a las matemáticas

financieras, en la que estamos revisando los fundamentos

matemáticos, repasaremos en esta sesión el cálculo de

logaritmos y las progresiones. Analizaremos cómo ambos

temas se relacionan con las matemáticas financieras. Si

deseas activar tus conocimientos previos, te invitamos a

revisar el material de la asignatura de Álgebra, en donde se

analizaron dichos conceptos.

Introducción al Tema de la Sesión 2

El logaritmo de un número, para una base dada, es la potencia a

la que se debe elevarse la base para obtener ese número. Hay

logaritmos de casi cualquier base aunque los logaritmos de base

10 que son las formas equivalentes a las potencias 10, son los

que sirven para calcular los logaritmos de otras bases.

Introducción al Tema de la Sesión 2

Progresiones aritméticas, es una sucesión de términos, cada uno de los cuales es igual al que le precede, mas un número llamado razón o diferencia común o diferencia común. Progresiones geométricas, Es una sucesión finita de números llamados términos.

Explicación: Cálculo de logaritmos

Igual que en el caso de los exponentes, los logaritmos corresponden a la forma y operación inversa de la ecuación potencial Y = ax; en este caso, el logaritmo se define como la operación que permite calcular el valor del exponente x al cual se está elevando la base a, de tal manera que su resultado sea Y.

La forma matemática en la cual se puede escribir la operación logarítmica es: X = log a Y; que se lee “X” es igual al logaritmo base “a” de “Y”. La forma potencial y la forma logarítmica son las dos operaciones inversas; en términos matemáticos, tienen una definición y sentido específico.

Explicación: Calculo de logaritmos

Habrá ocasiones que en operaciones de interés

compuesto cuya expresión matemática es m = c (1+r)n, y

en anualidades (las fórmulas a utilizar varían

dependiendo del tipo de anualidad) se quiera determinar

el número de periodos o pagos “n”, necesarios para

cubrir el precio o monto total de, por ejemplo, una casa

comprada a crédito.

Explicación: Calculo de logaritmos

En matemáticas financieras los logaritmos se aplican

utilizando las propiedades logarítmicas para los

despejes, éstas propiedades se enlistan a continuación:

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

En una progresión aritmética hay una diferencia entre cada término que se obtiene restando los términos consecutivos entre sí; mientras que en las progresiones geométricas el número llamado razón se obtiene dividiendo cada término entre su anterior.

Progresiones aritméticas

Para resolver progresiones aritméticas utilizamos las siguientes fórmulas:

El significado de las literales es el siguiente:

a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la

serie numérica.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica y como se mencionó anteriormente, se obtiene restando los términos.

S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.

n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Progresiones geométricas

Las progresiones geométricas se relacionan estréchamente con el comportamiento de sumas de dinero invertidas a interés compuesto y que tienen como característica distintiva que crecen o decrecen de manera acelerada.

Es posible calcular la suma de la progresión, el número de elementos que tiene una progresión y el dato o número que corresponde a una serie y un lugar en particular. Las ecuaciones con las cuales se trabajan éstas series son:

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Las literales que aparecen son las mismas con excepción de la letra r. A continuación se menciona la explicación de cada una:

a: se refiere al término, y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie numérica.

d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica

S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.

n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el número de términos que tiene la sucesión.

r: que significa razón de cambio de la progresión numérica y se obtiene dividiendo cada término entre su anterior.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Realicemos una aplicación de progresiones geométricas en un caso de finanzas. Supongamos que una empresa ofrece a una persona un sueldo de $35,000 y que éste aumentará durante los próximos 6 meses un 4% mensual. ¿Cuál será su salario para el quinto mes?

En este caso empezaremos por identificar los datos que nos proporciona el planteamiento:

a1 = 35,000

n = 5

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

La incógnita r es el valor que tendremos que determinar. Sin

embargo, recordemos que debemos tener por lo menos 2 términos

así que tendremos que determinar el segundo. Para ello, realicemos

lo siguiente:

Pago primer mes = 35,000 pesos

Pago segundo mes = 35,000 + incremento del 4% sobre los 35,000

[es decir: 0.04 35,000 = 1,400] = 36,400

Dividimos el segundo dato 36,400 entre el primero 35,000 y obtendrá

el valor de la razón 36,400/35,000 = 1.04 y éste el valor de la razón.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Ahora se busca el valor del dato número 5 con la primera

expresión:

a5 = 35,000 (1.04)5–1

Tras resolver la operación se obtiene: S5 = $40,945.04, es

decir, lo que se pagará en el quinto mes.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Progresiones infinitas

Hablamos de progresiones finitas

cuando contienen un número

limitado de términos, es decir que

tienen un último número. Cuando

existen progresiones que no tienen

un número último, nos referimos

entonces a las sucesiones infinitas.

Explicación: Progresiones: aritméticas,

geométricas e infinitas

Conclusión

Los logaritmos son importantes para las matemáticas financieras así como para las organizaciones ya que nos ayudan a la simplificación de operaciones, así como son de gran ayuda cuando no tenemos una calculadora cerca.

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada número es igual al anterior multiplicado por una constante. La progresión geométrica crece más rápidamente que la aritmética.