Eliminación de Gauss-Jordán

Por:Hernández Castillo Leo ZurielSalinas Villaseñor Cesar Ivan

Definición

• - El Método de Gauss – Jordán o también llamado eliminación de Gauss – Jordán, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas

Resolver sistema de ecuaciones por el método de Gauss - Jordán

• Antes de resolver el sistema de ecuaciones, hay que convertirlo a una “Matriz Aumentada” que es la que se obtiene al combinar dos matrices (o un sistema de ecuaciones y sus resultados), tal y como se muestra aquí:

Transformaciones Básicas

• Existen 3 reglas o “pasos” que nos pueden ayudar a resolver las matrices aumentadas, y convertirlas en identidad:

• Multiplicar o dividir filas por escalaresFi (c)Fi

• Sumar o restar filasFj Fj + (c)Fi

• Intercambiar filas entre ellasFi Fj

Resolución de una Eliminación de Gauss – Jordán (paso a paso)

Resolver el sistema de ecuaciones:

-2x +4y +6z = 184x+5y +6z = 243x + y -2z = 4

Paso 1

• Primero, hay que pasar el sistema de ecuaciones a una matriz aumentada

2x +4y +6z = 184x +5y +6z = 243x + y -2z = 4

2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 -2 | 4

Paso 2

• Dividir la primer fila para hacer el coeficiente de X = 1

F1 (1/2)F1

1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 -2 | 4

Paso 3

• Eliminar los términos de X de las demás filas; multiplicando la primera fila por los números adecuados y sumándola/restándola a la segunda y tercer fila

F2 F2 – (4)F1F3 F3 – (3)F1

1 2 3 | 90 -3 -6 | -120 -5 -11 | -23

Paso 4

• Dividimos la segunda fila para hacer el coeficiente de Y = 1

F2 (-1/3)F2

1 2 3 | 90 1 2 | 40 -5 -11 | -23

Paso 5

• Hacemos 0 los coeficientes de Y en las filas 1 y 3

F1 F1 – (2)F2F3 F3 – (5)F2

1 0 -1 | 10 1 2 | 40 0 -1 | -3

Paso 6

• Multiplicamos la tercer fila para hacer el coeficiente de Z igual a 1

F3 (-1)F3

1 0 -1 | 10 1 2 | 40 0 1 | 3

Paso 7

• Hacemos 0 los coeficientes de Z en las filas 1 y 2

F1 F1 + F3F2 F2 – (2)F3

1 0 0 | 40 1 0 | -20 0 1 | 3

Resultado

• Observamos la ultima matriz que obtenemos

Matriz Identidad

ValoresIndependientes

Solución

“X” “Y” “Z”Ecuación 1 1 0 0 | 4Ecuación 2 0 1 0 | -2Ecuación 3 0 0 1 | 3

“X” = 4“Y” = -2“Z” = 3

Solución:

Resolución de una Inversa con Gauss- Jordán (Paso a Paso)

Los pasos son:

• Colocar junto a la matriz dada la matriz unidad• Conseguir hacer 0´s todos los elementos

debajo de la diagonal principal• Hacer 1´s en la diagonal principal• Hacer ceros todos los elementos por encima

de la diagonal principal

Transformaciones Básicas

• Las operaciones que se utilizan en este caso son:

• Intercambiar filasFi Fj

• Multiplicar una fila por un escalaraFi = (c)Fi

Encontrar la matriz inversa de:

1 2 10 1 12 1 0

A =

Paso 1

• Crear una matriz aumentada con la matriz original y una matriz identidad del mismo orden

1 2 1 | 1 0 00 1 1 | 0 1 02 1 0 | 0 0 1

Paso 2

• Volver “0” los terminos de la primera columna que no sean la primera fila

F3 F3 – (2)F1

1 2 1 | 1 0 00 1 1 | 0 1 00 -3 -2 | -2 0 1

Paso 3

• Convertir en 0´s los elementos de la segunda columna, a excepción del de la segunda fila

F1 F1 – (2)F2F3 F3 + (3)F2

1 0 -1 | 1 -2 00 1 1 | 0 1 00 0 1 | -2 3 1

Paso 4

• Convertir en 0’s los elementos de la tercera columna, excepto el de la fila 3

F1 F1 + F3F2 F2 – F3

1 0 0 | -1 1 10 1 0 | 2 -2 -10 0 1 | -2 3 1

Solución

• Para dar por concluido, la parte izquierda de la matriz aumentada debe ser una matriz identidad; y con esto podemos decir que la parte derecha es la matriz inversa de “A”

A | (Id) =

Id = Identidad

= (Id) | A-1