DEFORMACIJE KOD SAVIJANJA RAVNOG NOSAČA 1

© Z. VNUČEC, 2008.

3. Primjer: Nosač na dva oslonca opterećen koncentriranom silom F

Za ravni nosač AB zadan i opterećen prema slici treba:

a) integriranjem diferencijalne jednadžbe elastične linije odrediti jednadžbe progiba i kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača, b) izračunati deformacije nosača u zadanim točkama, c) skicirati i kotirati elastičnu liniju opterećenog nosača.

Zadano: F , l , a, konst.=yIE , (a < l/2, b = l − a).

Rješenje: Reakcije u osloncima nosača su:

lbFF =A ,

laFF =B .

Momenti savijanja u presjecima nosača su:

1. za ax ≤≤0 : xlbFxFM y =⋅= A ,

2. za lxa ≤≤ : xlaFaFxlFM y −⋅=−⋅= )(B .

Nakon uvrštenja u diferencijalne jednadžbe elastične linije i integriranja slijedi: 1. Za dio AC ( ax ≤≤0 ):

∫⋅−=−=⋅ /dd

2

2x

lbFM

xwIE yy

∫+−= /2d

d1

2Cx

lbF

xwIE y (a)

21

3

6CxCx

lbFwIE y +⋅+−=⋅ (b)

2. Za dio CB ( lxa ≤≤ ):

∫⋅+⋅−=−=⋅ /dd

2

2x

laFaFM

xwIE yy

∫++⋅−= /2d

d3

2Cx

laFxaF

xwIE y (c)

43

32

62CxCx

laFxaFwIE y +⋅++⋅−=⋅ (d)

Konstante integracije određuju se iz rubnih uvjeta učvršćenja nosača: 1. Za 0=x je progib 0=w te iz (b) slijedi: 02 =C .

2. Za lx = je progib 0=w te iz (d) slijedi izraz:

062 43

22=+⋅++− ClClaFlaF ,

DEFORMACIJE KOD SAVIJANJA RAVNOG NOSAČA 2

© Z. VNUČEC, 2008.

3. Za ax = vrijedi jednakost izraza (a)=(c) te slijedi:

3

32

1

2

22C

laFaFCa

lbF ++⋅−=+− ,

4. Za ax = vrijedi jednakost izraza (b)=(d) te slijedi:

43

43

1

3

626CaC

laFaFaCa

lbF +⋅++−=⋅+− .

Sređivanjem izraza konstante integracije su:

)(6

221 bl

lbFC −= , )2(

622

3 allaFC += ,

6

3

4aFC −= .

Sređivanjem izraza (a) i (c) slijede jednadžbe kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača: 1. za dio AC: ax ≤≤0 :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22231

6)(

lx

lb

lb

EIlFx

yα ,

2. za dio CB: lxa ≤≤ :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

22

3626

)(lx

lx

la

EIalFxy

α .

Sređivanjem izraza (b) i (d) slijede jednadžbe elastične linije nosača (progibna linija):

1. za dio AC: ax ≤≤0 :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22

2

31

6)(

lx

lb

lxb

EIlFxw

y,

2. za dio CB: lxa ≤≤ :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

322

2

31

6)(

lax

lx

lb

lxb

EIlFxw

y

Maksimalni progib nosača je na mjestu mxx = : a) U primjeru kad je ba > :

3

22

mblx −

= , lEI

blbFw

y39)( 322

max−

= ,

b) U primjeru kad je ba < :

3

22

mallx −

−= , lEI

alaFw

y39)( 322

max−

= .

DEFORMACIJE KOD SAVIJANJA RAVNOG NOSAČA 3

© Z. VNUČEC, 2008.

Maksimalni kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju su na mjestima oslonaca A i B nosača:

)(6A bl

lEIbaF

y+−=α , )(

6B allEI

baF

y+=α .

U primjeru simetričnog opterećenja nosača je 2/lba == , te su izrazi za maksimalne kutove nagiba tangente na elastičnu liniju i maksimalni progib nosača:

yEI

lF16

2

BA −=−= αα , yEI

lFww48

3

Emax == .