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SEMANA 2
Propagacin de Incertidumbres:
Suma Diferencia producto cociente. Incertidumbres
independientes. Incertidumbre de una funcin
arbitraria de una variable.
Propagacin de incertidumbre para
funciones de ms de una variable
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SUMA = =
Se realizan dos medidas con sus respectivas
incertidumbres:
El valor probable mas alto de
+ = + + + el valor ms bajo
+ = +
Por lo tanto la mejor estimacin de + = + Y su incertidumbre
+
+ = + ( + ) En general: Si varias cantidades , . . se miden con
incertidumbres , ,
+ + + = + + ( + +. . )
+ = + + ( + ) + = + ( + )
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DIFERENCIA
El valor probable mas alto de
= + () El valor ms bajo
= ( + )
Por lo tanto la mejor estimacin de = Y su incertidumbre +
= ( + )
En general: Si varias cantidades , . . se miden con
incertidumbres , ,
+ + ( + ) = + + + . ( + +. . )
= + ( + ) = ( + )
-
PRODUCTO
= +
y = +
()= +
. +
()= +
. +
+
. +
= +
+
+
Como
<
<
-
Entonces: +
. +
= +
+
Por lo tanto:
()= ( +
+
)
()= ( +
+
)
()= + (
+
)
-
PRODUCTO
=
y =
()=
.
()=
.
.
=
+
Como
<
<
-
Entonces:
.
=
Por lo tanto:
()= (
+
)
()= (
)
()= (
+
)
Por lo tanto
= (
+
)
= (
+
)
Demostrar para el caso del cociente
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Se realizan las siguientes medidas
= 200 2, = 5,5 0,1 = 10,0 0,4
Hallar: =
=
+
+
= 1 + 2 + 4 % = 7%
= 110 8
0 =200 5,5
10,0= 11 101
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Error del producto por una constante
: = A= constante (no tiene incertidumbre)
Hallar = con su incertidumbre
Aplicamos la regla del producto
+
=
=
=
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POTENCIA APLICANDO LA REGLA
DEL PRODUCTO
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Ejercicio: MRUV
Un mvil parte con velicidad inicial =0 y recorre (46,2 0,3 ) en
(1,6 0,1), cul es la aceleracin del mvil si tiene un MRUV.
=1
22 =
2
2
=2 46,2
1,62= 36m/2
=
0,3
46,2= 0,6%
=
0,1
1,60= 6,3%
=
+ 2
= 0,6% + 2(6,3%) = 13,2%
= 36,1 13,2
100% = 4,77 4,8 5 /2
= (36 5) /2
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EN RESUMEN
Cuando se suman o restan las cantidades medidas, las
incertidumbres se suman.
Cuando se multiplican o dividen las cantidades medidas, las
incertidumbres fraccionarias se aaden.
Bajo ciertas condiciones, las incertidumbres calculadas usando
las reglas anteriores pueden ser innecesariamente grandes.
Si las incertidumbres originales son independientes y
aleatorios, una estimacin ms realista (y ms pequeo) a la
incertidumbre final est
dado por reglas similares en los que se aaden las incertidumbres
(o
incertidumbres fraccionarias) en cuadratura
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ERRORES INDEPENDIENTES Y ALEATORIOS
Las reglas anteriores suponen una sobreestimacin del error,
puesto que siempre nos situamos en el caso ms
desfavorable.
En el caso de la suma
q= + = + ( + )
+
Sin embargo: El mximo valor posible de q, q q se alcanza cuando
nos equivocamos simultneamente x en x y y en y , lo que es
altamente improbable si las medidas son aleatorias e
independientes.
Una sobreestimacin (o subestimacin ) de x no viene
necesariamente acompaada de una sobreestimacin (o
subestimacin) de y .
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Si las medidas son independientes
La hiptesis pesimista es exagerada.
Los errores se cancelan parcialmente.
Los errores se propagan cuadrticamente.
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INCERTIDUMBRE DE LA SUMA Y DIFERENCIA
Supongamos que tenemos:
, , . , . .
Si hallamos = + + ( + )
Si las medidas son independientes, la incertidumbre de
q la suma cuadrtica
= ()+ . + +. . ()
+ . + +
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INCERTIDUMBRE DEL PRODUCTO Y COCIENTE
Supongamos que tenemos
x, , . , . .
Si hallamos =
Si las incertidumbres son independientes y aleatorias
=
+ .
+
+. . (
)
+
+
+ . .
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ERRORES EN FUNCIONES DE UNA
VARIABLE
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Analticamente
El error absoluto de es: =()
= +
Usando la aproximacin de calculo:
+ =
= + =
Entonces
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Si
=
= (20 3) 0
=()
= = 0,34 0,05 = 0,02 ()
200 = 0,94
= , ,
-
SI MEDIMOS EL NDICE DE REFRACCIN =
=
+
Para un ngulo
=()
= cos
= ( )
-
i (grad) r (grad) seni senr n ()
()
20 13 0,342 0,225 1,52 5% 8% 9%
Verificar
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ERROR EN FUNCIN DE VARIAS VARIABLES
Sean x, y con errores ,
Calcular = (, )
Mediante el desarrollo en serie para el caso de varias
variables
+ , + = , +
+
+ . .
Por lo tanto:
= + , + ,
+
+ . .
-
: = 2 2
= 3,0 0,1 = 2,0 0,1
=
= = , = ,
=
= = , = ,
= +
= , + , = ,
= , ,
