propedeutico2013-1

8/17/2019 propedeutico2013-1

http://slidepdf.com/reader/full/propedeutico2013-1 1/150

MCISE

Dr. Fernando Salazar Posadas

Dr. Eliel Carvajal QuirozGrupo de Investigación en Nanociencias



Temario Algebra elemental

Multiplicación de polinomios Desarrollo de potencias de

polinomios

Trigonometría elemental Relaciones trigonométricas Formulas de suma y resta

Geometría analítica Ecuaciones de la recta, plano, elipse,

esfera Distancia entre un plano y una recta y

entre dos planos

Vectores Suma y resta

Producto escalar y vectorial Sistemas de ecuaciones lineales

Matriz inversa determinantes

Cálculo diferencial

Series de potencias Derivadas de funciones elementales

Cálculo integral Integral de funciones algebraicas Integral de funciones trigonométricas Integrales de dos y tres dimensiones

Ecuaciones diferenciales Homogéneas de primer orden Homogéneas de segundo orden No homogéneas de segundo orden Transformada de Laplace Transformada de Fourier





( )

( )

−

−

− −

= = = =

1 22 1 2

1 2 2 14

7 7 5 25

5 7 75

( ) ( ) ( )= = = = −

−− −

3 3 6 632 21 1 1 1

1 x x x x

= = = = =

2

22

2 21 1 4 4 16

3 3 3 9344

− −+ − + − −

− −

= =

1 1 13 1/3 1/23 6 4

3 3 21/3 6 4

93

3

a b c a b c

a b c

−= 10 3 17 3 9 23a b c

Ejemplo 1

−

1 22

4

7

5

Ejemplo 2 ( )−

−

32x

Ejemplo 3

−

2

34

Ejemplo 4− −

− −

3 1/3 1 2

1 3 6 4

9

3

a b c

a b c



Leyes de los radicales

Los radicales se rigen por las leyes de losexponentes, porque:

=

m m n n

a a



( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )− − −

= − = − = −

1 3 1 31 31 3 1 3 1 33 1 1 1z z z

( ) −

= − = −1 9

1 9

11 z

z

( ) + +

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

1 12 11 2

5 3 5 3 5 2 3 2 2 1 2 1 1 22 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3

( )= ⋅ ⋅ ⋅ =

1 222 3 2 3 12 6

( ) ( ) ⋅

= = = = = =

= = = =

232 32 3

3 2 3 23

3 3 3 3 13

8 8 2 2 2 4

64 4 4 4 4

Ejemplo 5 3 64

Ejemplo 6 864

Ejemplo 7 −

−

3 1 3z



( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

− − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅

1 32 2

3 3 6 4 3 3 6 4

32 2

3 4 3 4

2 10 2 10 2 10 2 10

2 10 2 10

( )−

− −

⋅= = ⋅ = ⋅ =

⋅

1 312 10

1 36 18 2 6

6 8

2 102 10 2 10 0.000004

2 10

( ) ( )= = = ⋅ = ⋅ =

1 32 3 3 33 33 24 24 2 3 2 3 2 3

( )( )

= = = =

1 31 3 66 1 3 2 2

1 33 1 33

88 8 2

27 27 327

a a a a

b b b b

x x x x

y y y y Ejemplo 8

6

33

8

27

a

b

x

y

Ejemplo 9( ) ( )

( )

2

32

0.008 0.0064

80000

Ejemplo 10 3 576



El Binomio de Newton

Expresión (a + b)p

Expansión de un binomio

mm p p

m

pba

m

pba

−

=

∑

=+

0

)(

!

!( )!

p p

m m p m

=

− donde



El Triángulo de Pascal

mm p p

m

pba

m

pba

−

=

∑

=+

0

)(



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 5

5 5 5 5 5 52 2 2 2 2 2 2

0 1 2 3 4 5

32 5 16 10 8 10 4 5 2

32 80 80 40 10

x y x y x y x y x y x y x y

x x y x y x y x y y

x x x y x y xy y

− − − − − − − = − + − + − + − + − + −

= − + − + −

= − + − + −

( )( )

4

4

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4

4 3 2 2 3 4

1 1

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

1

4 6 4

m nm n

m n m n m n m n m n

m m n m n mn n

−

+ = = +

+ + + +

=

+ + + +

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

4

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4

0 1 2 3 44 3 2 1 0

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

4 6 4

4 6 4

x y x y

x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x x y x y xy y

x x y x y xy y

+ +=

− −

+ + + + =

− + − + − + − + −

+ + + +

= − + − +



Productos notables

(x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2

(x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz

(x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 y + y 3

(x + y) (x - y) = x 2 - y 2



Funciones trigonométricas

Fórmulas fundamentales







Identidades TrigonométricasIdentidades Recíprocas

θ=θ

θ=θ

sen1csc

csc

1sen

θ=θ

θ=θ

cos1sec

sec

1cos

θ=θ

θ=θ

tan1cot

cot

1tan

θ

θ

=θ cos

sen

tan θ

θ

=θ sen

cos

cot

Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo θ para el cual el

denominador no sea cero.



Identidades TrigonométricasRelaciones Pitagóricas

θ=θ+

θ=+θ

=θ+θ

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cossen





Ejemplo 1Verifica la siguiente identidad:

1seccos =θθ

1cos

1cosseccos =

θθ=θθ

2

1(1 )(1 )

secsen senθ θ

θ + − =

θ−=θ−θ+2sen1)sen1)(sen1(

θ=

θ=

2

2

sec

1

cos

§ Ejemplo 2Verifica la siguiente identidad

Solución

Solución

Usando las identidades reciprocas









Ejemplo 3

Verifica la siguiente identidad

θθ=θ cossen22sen

)(sen2sen θ+θ=θ

θθ=

θθ+θθ=

cossen2

sencoscossen

§ Ejemplo 4

Verifica la siguiente identidad

θ−=θ2sen212cos

Solución)cos(2cos θ+θ=θ

θ−=

θ−θ−=

θ−θ=

θθ−θθ=

2

22

22

sen21

sen)sen1(

sencos

sensencoscos

Solución















Lugares geométricos Recta:

lugar geométrico de los puntos tales que,

tomados dos cualesquiera, el valor de lapendiente siempre resulta constante.

0 0

0

( )

1

Ax By C y mx b

y y m x x x y

a b

+ + =

= +

− = −

+ =

2 1

2 1

y y

m x x

−

=

−



Lugares geométricos

Circunferencia:

( ) ( )2 2 2

2 2

2 2 2

0,

2 , 2 ,

x h y k r

x y Dx Ey F

D h E k F h k r

− + − =

+ + + + =

= − = − = + −

( ){ }, x y PC r =




Parábola: P K PF PM ∈ ⇔ =

( ) ( )2

2

4

0, 0 y D 0

y k p x h

Ay Dx Ey F A

− = −

+ + + = ≠ ≠




Parábola: P K PF PM ∈ ⇔ =

( ) ( )2

2

4

0, B 0 y E 0

x h p y k

Bx Dx Ey F

− = −

+ + + = ≠ ≠



Lugares geométricos Elipse: ( ) 1 2, 2P x y K PF PF a∈ ⇔ + =

( ) ( )2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0,

0 y A

y k x h

a b

b a c

Ax Cy Dx Ey F

AC C

− −

+ =

= −

+ + + + =

> ≠

c

aε =



Lugares geométricos Elipse: ( ) 1 2, 2P x y K PF PF a∈ ⇔ + =

( ) ( )2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0,

0 y A

x h y k

a b

b a c

Ax Cy Dx Ey F

AC C

− −

+ =

= −

+ + + + =

> ≠

c

aε =




Hipérbola: ( ) 1 2, 2P x y K PF PF a∈ ⇔ − =

( ) ( )2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0,

0

x h y k

a b

b c a

Ax Cy Dx Ey F

AC

− −

− =

= −

+ + + + =

<




Hipérbola: ( ) 1 2, 2P x y K PF PF a∈ ⇔ − =

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0,

0

y k x h

a b

b c a

Ax Cy Dx Ey F

AC

− −

− =

= −

+ + + + =

<



2

2

2 2

2

2 2

2 2

1) 2 4 9 0

2) 3 4 6 8 03) 6 4 4 0

4) 4 48 12 159 0

5) 4 6 16 21 0

6) 7 6 42 0

7) 4 9 32 36 64 0

y y x

x x y x y x y

x y x

x y x y

x y

y x y x

+ − + =

− − + =

+ + − + =

+ + − =

+ − + + =

− + =

− + + + =

ejemplos



2

2

2 2

2

2 2

2 2

1) 2 4 9 0

2) 3 4 6 8 03) 6 4 4 0

4) 4 48 12 159 0

5) 4 6 16 21 0

6) 7 6 42 0

7) 4 9 32 36 64 0

y y x

x x y x y x y

x y x

x y x y

x y

y x y x

+ − + =

− − + =

+ + − + =

+ + − =

+ − + + =

− + =

− + + + =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

2

2 2

2 2

1) 1 4 2

2 102) 23 9

3) 3 2 9

3 74) 122 2

3 25) 1

4 1

6) 16 7

4 27) 1

9 4

y x

x y

x y

x y

x y

x y

y x

+ = −

− = −

− + − =

+ = − −

− ++ =

− + =

+ −− =

ejemplos



Distancia entre un punto y una recta

Forma normal:x cos + y sen – p = 0

Forma general:Ax + By + C = 0

Distancia al punto P1 (x1, y1):d= (Ax1 + By1 + C) / +√(A2 + B2)























Ecuación de la recta 3D

( )( ) ; vectorial

( ) , , , paramétrica

simétrica

j j

y x z

x y z

l t a t b a v b a

j t a tv j x y z

y a x a z a

v v v

= + − = −

= + =

−− −= =

r r r

r r r r

ya l v l∈

r r

r r





( )0

0 0 0 0

0 0 0

0; vectorial

( , , ), ( , , ) y ( , , )

, lineal

N

N

R R R

R x y z R x y z K R a b c K

ax by cz d d ax by cz

− =

∈ ⊥

+ + = = + +

r r r

r r r





11 12

21 22

a a A

a a

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

B a a a

a a a

=

11 12

21 22

31 32

a aC a a

a a

=

11 12 13 14

21 22 23 24

a a a aF

a a a a

=



Matriz Aumentada

7x+3y-4z=-35

3x-2y+5z=38

x+y-6z=-277 3 4 35

3 2 5 38

1 1 6 27

− −

− − −

7 3 43 2 5

1 1 6

A−

= − −



11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= −

( ) ( ) ( )11 12 13

1 1 1 2 1 3

21 22 23 11 12 13

31 32 33

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

1 1 1 ,

, ,

a a aa a a M M M

a a a

a a a a a a M M M

a a a a a a

+ + +

= − + − + −

= = =



Regla de Cramer

det( )det( )

j j

A x A

=

7x+3y-4z=-35

3x-2y+5z=38x+y-6z=-27

1

35 3 4

38 2 527 1 6

7 3 4

3 2 5

1 1 6

x

− −

−

− −

=

−

−

−

2

7 35 4

3 38 5

1 27 6

7 3 4

3 2 5

1 1 6

x

− −

− −

=

−

−

−

3

7 3 35

3 2 38

1 1 27

7 3 4

3 2 5

1 1 6

x

−

−

−

=

−

−

−



Regla de Cramer7 3 4

3 2 5 98

1 1 6

−

− =

−

35 3 438 2 5 98

27 1 6

− −

− =

− −

7 35 4

3 38 5 -980

1 27 6

− −

=

− −

7 3 35

3 2 38 294

1 1 27

−

− =

−

981

98

98010

98

2943

98

x

y

z

= =

−

= = −

= =



Inversas

Una matriz G es una matriz inversa izquierda de la

matriz H si GH es la matriz identidad. Será unamatriz inversa derecha si HG es la matriz identidad.

Una matriz H con una inversa a ambos lados es una

matriz invertible . Esa inversa a ambos lados esllamada la matriz inversa y se denota por H-1.



Inversas

Una matriz es invertible si y sólo si es no-singular.



Inversas

Una matriz es invertible si y sólo si es no-singular.

Un producto de matrices invertibles es invertible: siG y H son invertibles y GH está definido entonces

GH es invertible y (GH)-1=H-1G-1.



Inversas

Encontrar la inversa de



Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Inversas




Calculo Diferencial



( ), 1,2,3,4,nu f n n= = K

1

2

3

( ) 2 5( 1)

2

7

12

nu f n n

u

u

u

= = + −

=

=

=

{ } { }2,7,12,17,22,27, nu=L

2

2 1 2

1

j

j

S u u u=

= = +∑

Sumas parciales:

12

12 1 12

1

j

j

S u u u=

= = + +∑ L

1

1

n

n j n

j

S u u u=

= = + +∑ L

Notación de suma:

1 2

1

n

j n

ju u u u

=

= + + +∑ L



{ } { }, 1,2,3,4,5, , , 1,n nu n u n n= = +L L

1 2 3 4nS n= + + + + +L

1 2 1nS n n n= + − + − + +L

( ) ( ) ( )2 1 1 1nS n n n= + + + + + +L

( )2 1n

S n n= +

( )1

2n

n nS

+

=

Considere la sucesión

determinar nS



Sucesiones aritméticas

1

1 ( 1)

n n

n

u u d

u u n d

+ = +

= + −

[ ]

( )

1

1

2 ( 1)2

2

n

n n

nS u n d

nS u u

= + −

= +

1 2n nS u u u= + +L

( ) ( ) ( )1 1 1 12 1n

S u u d u d u n d = + + + + + + − L

( )1 1 2 3 1nS nu d n= + + + + + − L

1

( 1)

2n

n nS nu d

−= +

[ ]1 1 ( 1)2

n

nS u u n d = + + −



Sucesiones geométricas

1

1

1

n

n

r S u

r

−

=

−

1 2

2 1

1 1 1 1

n n

n

n

S u u u

S u u r u r u r −

= + +

= + + + +

L

L

2 31 1 1 1

nnrS u r u r u r u r = + + + +

L

1 1

n

n nS rS u u r − = −

( ) ( )11 1 n

nS r u r − = −

1 1

1

1

, 0n n

n

n

u u r u

u u r

+

−

= ≠

=



( )

( )

20

1

12

1

18

1

10

1

1) 3 5

2) 7 4

13) 7

2

1

4) 34

k

k

k

k

k

k

k

k

=

=

=

=

−

−

+

+

∑

∑

∑

∑

[ ]

[ ]

20 2( 2) 19(3) 5302

122(3) 11( 4) 228

2

18 15 1 4232( ) 17( )

2 2 2 2

10 13 1 1752( ) 9( )

2 4 4 4

= − + =

= + − =

= + =

= + =



( )

10

1

9

1

19

0

7

1

5) 3

6) 5

17)

2

8) 3

j

j

j

j

j

j

j

j

=

=

+

=

−

=

−

−

∑

∑

∑

∑

( )

( )

( )

10

99

812

12

713

13

1 33 885721 3

1 ( 5) 1 5( 5) 5

1 ( 5) 1 5

11 1 255

2 1 2 256

11 2186

3 1 4374

−= =

−

− − += − = −

− − +

− −

= − = −

− −

−

= =

−



0

( ) ( )limh

dy f x h f x

dx h→

+ −=



1

2

( )

( )

n n

du dv

dx dx

dy dy dudx du dx

d duu nu

dx dxd dv du

uv u vdx dx dx

v ud udx v v

−

=

=

= +

− =

2

(sin ) cos

(cos ) sin

(tan ) sec

1(ln )

( )u u

d duu udx dx

d duu u

dx dx

d duu udx dx

d duu

dx u dx

d due e

dx dx

=

= −

=

=

=



( )5

36 45 3 2 9d

x x xdx

−

− + +

235 5 5

3(5)(6 ) (3)( 4 ) (2)( ) x x x

−

= − − +

235 5 10

3

30 12 x x x−

= + +

( )3 23 8 2d

x x

dx

− +

( )7

3 5 1d

x xdx

− + ( ) ( )6

3 37 5 1 5 1d

x x x xdx

= − + − +

( )6

3 27 5 1 (3 5) x x x= − + −

( )2

23

2(3 4)

3 3 8 2

x

x x

−=

− +

( )2

321(3 8 2) 6 8

3 x x x

−

= − + −

13 12 21

(3 8 2) (3 8 2)

3

d x x x x

dx

−

= − + − +

132

(3 8 2)d

x x

dx

= − +



2 3 3 2sin ( )cos ( )d

x xdx

−

3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 36 sin ( )cos ( )sin( ) 6 cos ( )sin( )cos( ) x x x x x x x x

− − − −

= +

2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3

sin ( ) 3cos ( )sin ( ) cos ( ) 2sin( )cos ( )

d d

x x x x x x x xdx dx

− − − −

= − +

2 3 2 2 2 3 2 3 3sin ( ) 3cos ( ) (cos ) cos ( ) 2sin( ) (sin )d d

x x x x x xdx dx

− − −

= +

2 3 3 2 3 2 2 3sin ( ) cos ( ) cos ( ) sin ( )

d d x x x x

dx dx

− −

= +



3 2

3

11) ( ) f x x= −

3 82) ( )

2 5

x f x

x

+=

+

4) ( ) 1 1 2 f x x= + +

2 443) ( ) 9(4 5) f x x x= + +

3 5

2 3

3 2 x x

= −

3

3 3 8

2 (3 8)(2 5) (2 5)

x

x x x

+= −

+ + +

3 24

2 34

(4 5)(4 5) 16 9

2 ( 9)

x x x x

x

+= + + +

+

2 1 2 1 1 2

x

x x=

+ + +

Ejercicios



6) ( ) sin sin f x x x= +

7) ( ) sin cos f x x x x= −

48) ( ) cos(2 3) f x x= +

23 29) ( ) x x f x e −

=

3425) ( ) (15 2)( 2) f x x x= + −

310) ( ) ln( sin ) f x x x=

2 34

24

2 (15 2)15 ( 2)

2

x x x

x

+

= + −

−

cos cos

2 sin

x x

x x= +

sin x x=

3 48(2 3) sin(2 3) x x= − + +

23 2(6 2) x x x e

−

= −

3cot x

x= +

Ejercicios



Calculo Integral



0 1

lim ( ) j x j

f x x∞

∆ →=

= ∆

∑ ( )

b

a A f x dx=

∫



1

, 11

1ln

sin cos

cos sin

nn

u u

u

u du c nn

du u cu

e du e c

u du u c

u du u c

udv uv vdu c

+

= + ≠ −

+

= +

= +

= − +

= +

= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫



4 3(10 6 5) x x dx− +∫ 4 1 3 110 64 1 3 1

5 432

5

2 5

x x x c

x x x c

+ +

+ += − + +

= − + +

3 82

x dx x

+

+∫

3

2 7 x

dx x

−

∫

2

2 3 213

( 2)( 2 4)

2

( 2 4) 4

x x x dx x

x x dx x x x c

+ − +=

+

= − + = − + +

∫

∫

2 3 2 1 3 172

2 1 3 1

1 272

(2 7 )2

x x dx x x c

x x c

− − − + − +

− + − +

− −

= − = − +

= − + +∫



Cambio de variable

3 7 2(2 1) x x dx+∫ 7 8 3 81 1 1 1

(2 1)

5 6 8 48

u du u c x c= = + = + +∫ 3

2

2 1

6

u x

du x dx

= +

=

(2 1)(5 2) x x dx+ −∫ 2

3 210 13 2

(10 2)

2

x x dx

x x x c

= + −

= + − +

∫

3 2

7 6 x x dx−∫ ( )

431 4

23 31 1 1

7 612 12 4 3 16

uu du c x c= − = − + = − +

∫ 27 6

12

u x

du xdx

= −

= −



10

2

3

5 1dx

x −∫

491

249 12

192

9

3 3 6 24( 49 9)

5 5 5 5

5(2) 1, 5(10) 1i f

uu du

u u

−

= = = − =

= − = −

∫

5 1, 5u x du dx= − =

2

3 5

xdx

x −

∫ 21 1 1ln ln 3 5

6 6 6

duu c x c

u

= = + = − +∫

23 5, 6u x du xdx= − =

sin 5 x dx

∫

1 1 1sin cos cos5

5 5 5u du u c x c= = + = +

∫ 5 , 5u x du dx= =



321

322

(ln )

3 2 3

uu du c x c= = + = +∫

1ln ,u x du

x= =

32

21

xedx

x∫ ( )3 3 3

2 32 2

33

1 1 1

3 3 3

3 3 3,

1 2

u u

i f

e du e e e

u u

= − = − = − −

= = =

∫

2

3 3,u du dx

x x

= = −

ln xdx

x

∫



4

2

3

2

2

6

1

9 2

(2 ln )

cos

(1 sin )

sin

cos

1 sin

cos

sin cos

x

dx x

edx

x

xdx

x

x

dx x

xdx

x

xdx

x x

x xdxπ

π

−

+

−

−

+

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

4

2

53

1

4 3

3

2

3 2

12 3

0

(3 1)

9

2 1

(3 )

1 11

(3 )

x

x dx

x x dx

x dx

x x dx

dx x x

x xdx

e dx

−

+

+

−

−

−

+

−

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

451

∫



44

22

34

2

2

2

66

1 1 1ln 9 2 ln5

9 2 2 2

2

(2 ln ) 1(2 ln )

4

cos 1

(1 sin ) (1 sin )

sinsec

cos

1 sinln coscos

1 1sin cos sin

2 8

x x

dx x x

edx e c

x

xdx x c

x

x

dx c x x

xdx x c

x

xdx x x c x x

x xdx x

π

π

π

π

= − − =

−

= +

+= + +

= +

− −

= − +

−

= + ++

= = −

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

( )

4 5

32 2

5 35

43 3

11

4 3 4 2

3 2

2

3 2 8 4

11

2 3 2 3 5 3

00

1(3 1) (3 1)

15

19 9

3

3 3(9 9 1)2 1 (2 1)

8 8

1

(3 ) (3 )8

1 1 1 11 1

2

1 6(3 ) 98 5

1 1( )

2 2

x x

x dx x c

x x dx x c

x dx x

x x dx x c

dx c x x x

x xdx x x x c

e dx e e e

− −

+ +

+ = + +

− = − − +

−− = − =

− = − − +

+ = + +

− = − + +

= = −

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫



Integración por partes:

[ ( ) ( )] ( ) '( ) ( ) '( ) x D u x v x u x v x v x u x= +

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −

∫ ∫

( ) '( ) [ ( ) ( )] ( ) '( ) x

u x v x dx D u x v x dx v x u x dx= −

∫ ∫ ∫

( ) '( ) [ ( ) ( )] ( ) '( ) xu x v x D u x v x v x u x= −



2 x

xe dx∫

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 4

x x x x xe e dx c xe e c= − + = − +

∫ 2

2

,

1,

2

x

x

u x dv e dx

du dx v e

= =

= =

ln xdx∫ 1

ln ln x x x dx x x x c x

= − = − +∫ ln ,

1,

u x dv dx

du dx v x x

= =

= =



cos xe xdx

∫ sin sin

sin cos cos

x x

x x x

e x e xdx

e x e x e xdx

= −

= − − +

∫ ∫

2 cos sin cos

cos (sin cos )2

x x x

x x

e xdx e x e x

ee xdx x x c

= +

= + +

∫

∫

, sin

, cos

x

x

u e dv xdx

du e dx v x

= =

= = −

, cos

, sin

x

x

u e dv xdx

du e dx v x

= =

= =

sin cos cos

x x x

e x e x e xdx= + −

∫



1 2

1 2

sin ( 1) sin cos sin ( 1) sin

1 ( 1)sin cos sin sin

n n n n

n n n

xdx n xdx x x n xdx

n xdx x x xdx

n n

− −

− −

+ − = − + −

−= − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1

2

sin , sin

( 1)sin cos , cos

n

n

u x dv xdx

du n x xdx v x

−

−

= =

= − = −

sinn xdx =∫

1 1 2 2

1 2 2

1 2

sin sin cos sin ( 1) sin cos

cos sin ( 1) sin (1 sin )

cos sin ( 1) sin ( 1) sin

n n n

n n

n n n

x xdx x x n x xdx

x x n x x dx

x x n xdx n xdx

− − −

− −

− −

= − + −

= − + − −

= − + − − −

∫ ∫

∫

∫ ∫

1sin sin sinn n xdx x xdx

−

=∫ ∫



2

2

2

cos

sin 4

cos

x

n

x xdx

x x dx

x e dx

xdx

−

∫ ∫

∫ ∫

Ejercicios



2 2

2 2

2 2

1 2

cos sin 2 cos 2sin

1 1 1sin 4 cos 4 sin 4 cos4

4 8 32

( 2 2)

1 1

cos cos sin cos

x x

n n n

x xdx x x x x x c

x x dx x x x x x c

x e dx e x x c

n

xdx x x xdxn n

− −

− −

= + − +

= − + + +

= − + + +

−

= +

∫

∫ ∫

∫ ∫

Ejercicios



Calcular el área acotada por las gráficas de2

6 y 2 3 0 y x y x+ = + − =

Solución:26 y 3 2 y x y x= − = −

2

2

1 2

6 3 2

2 3 0( 3)( 1) 0

3 y 1

x x

x x x x

x x

− = −

− − =

− + =

= = −

Los puntos de intersección son:

(3, 3) y ( 1,5)− −

32

1

33

2 3 2

11

(6 ) (3 2 )

1 5 32( 2 3) 3 9

3 3 3

x x dx

x x dx x x x

−

−

−

− − −

− + + = − + + = + =

∫

∫



[ ]2

0lim ( )

k k x

k

V f w xπ ∆ →

= ∆∑

[ ]2

( )b

aV f x dxπ = ∫



Ecuaciones Diferenciales



Ecuaciones Diferenciales



( 1) ( ), , ', '', , ,n n

x y y y y y−

LUna ecuación en la que aparecen , donde y lan-ésima derivada de y con respecto de x, es una ecuación diferencialordinaría de orden n

( ) y f x=( )n

y

322

2

4 2 5

24

3

4

' 2

15 0

( ''') ( '') 4

1

x

y x

d y dy

x ydx dx

y x y xy xe

d y dy xdx dx

=

+ − =

− + =

− =

2

2

2

dy xdx

dy xdx

y x c

=

=

= +

∫ ∫

2dy

xdx

=



4 2 0 x dy y e

dx+ =

4 2

4 2

3 21

3

x

x

x

y dy e dx

y dy e dx

y e

−

−

− −

= −

= −

− = −

∫ ∫

Transformadas Integrales



Transformadas Integrales

Series de FourierD ll ió d f ió i d



0

1 1( ) cos sin2 n nn n

a

f x a nx b nx

∞ ∞

= =

= + +

∑ ∑

Desarrollo o representación de una función en una serie de senos y cosenos

Condiciones:

Tener un número finito de discontinuidades

Tener un número finito de valores extremos, máximos y mínimos.









Dos integrales útiles:

2

0

2

0

0sin sin

0 0

0cos cos2 0

mn

mn

mmx nxdx

m

mmx nxdxm n

π

π

πδ

πδ

π

≠=

=

≠= = =

∫

∫

Series de Fourier



Series de Fourier

2 2 2 20

0 0 0 01 1

2 20

0 0

2

0

2

01

( )sin sin cos sin sin sin2

sin 0 impar cos sin 0 impar2

sin sin

( )sin

n n

n n

n

n n mn

n mn

n

a f x mxdx mxdx a nx mxdx b nx mxdx

amxdx a nx mxdx

b nx mxdx b

f x mxdx b

π π π π

π π

π

π

π δ

π δ

∞ ∞

= =

∞

=

= + +

= =

=

=

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∑∫ mbπ =

Determinación de coeficientes:

2

0

1( )sinmb f t mtdt

π

π

= ∫

Series de Fourier



Series de Fourier

2 2 2 20

0 0 0 01 1

2 2

0 0

2 0

00

2

01

( )cos cos cos cos sin cos2

cos cos sin cos 0

0 0cos 02

( )cos

n n

n n

n n mn n

n mn

n

a f x mxdx mxdx a nx mxdx b nx mxdx

a nx mxdx a b nx mxdx

ma mxdxa m

f x mxdx a

π π π π

π π

π

π

π δ

π

π δ

∞ ∞

= =

=

= + +

= =

≠= =

=

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ maπ

∞

=∑

Determinación de coeficientes:

2

0

1( )cosma f t mtdt

π

π

= ∫ 2

00

1( )a f t dt

π

π

= ∫



( )

( )

2 2 2

0 0 01

2 2

0 01

1 1( ) ( ) cos ( )cos sin ( )sin

2

1 1( ) ( ) ( )cos

2

n

n

f x f t dt nx f t ntdt nx f t ntdt

f x f t dt f t n t x dt

π π π

π π

π π

π π

∞

=

∞

=

= + +

= + −

∑∫ ∫ ∫

∑∫ ∫

Onda de Diente de Sierra:

, 0( )

2 , 2

x x f x

x x

π

π π π

≤ <=

− < ≤

Su equivalente [ ]( ) , , f x x π π = −



0

1

00

10

1cos 0

1 2 2 2 2sin cos cos ( 1) ( 1)

n

n n

n

a xdx

a x nxdx

xb x nxdx nx nxdx

n n n n

π

π

π

π

π

π π

π

π

π

π π

−

−

+

−

= =

= =

= = − + = − − = −

∫

∫

∫ ∫

1

1 1

1

2( ) sin ( 1) sin

sin 2 sin3 ( 1)2 sin sin

2 3

n

n

n n

n

f x x b nx nxn

x x x x nx

n

∞ ∞

+

= =

+

= = = −

−= − + − + +

∑ ∑

L L



( ) ( ) f x f x L= +

0

1

( ) cos sin2

1( )cos , 0,1,2,

1( )sin , 1,2,3,

n n

n

L

n L

L

n L

a n x n x f x a b

L L

n t a f t dt n

L L

n t b f t dt n L L

π π

π

π

∞

=

−

−

= + +

= =

= =

∑

∫

∫

K

K

Cambio de intervalo

( ) ( ) ( , )b

g f t K t dt α α = ∫



a∫ La función g (α) es la transformada (integral) de f (t ) por el nucleo K (α,t )

0

1( ) ( ) Transformada de Fourier

2

2( ) ( )cos Transformada de coseno de Fourier

2( ) ( )sin Transformada de seno de Fourier

g( )= ( )

i t

t

g f t e dt

g f t tdt

g f t tdt

f t e dt

α

α

α

π

α α

π

α α

π

α

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞−

=

=

=

∫

∫

∫

∫ 0

0

Transformda de Laplace

( ) ( ) ( ) Transformada de Hankel (Fourier-Besel)

( ) ( ) Transformada de Mellin

n

t

g f t tJ t dt

g f t e dt α

α α

α

∞

∞−

=

=

∫

∫



[ ]1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )b b b

a a ac f t c f t K t dt c f t K t dt c f t K t dt α α α + = +∫ ∫ ∫

Propiedad de linealidad:

Transformada inversa:

1 1

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

g f t

g f t f t

f t g

α

α

α

− −

−

= ℑ

ℑ = ℑ ℑ =

= ℑ





1( ) ( )

2

i t g f t e dt ω

ω

π

∞

−∞

≡ ∫

0

1( ) ( )

2

i x i t f x d e f t e dt

ω ω

ω

π

∞ ∞−

−∞

= ∫ ∫

( )

0 0

0

1 1 1( ) ( )

2 2 21

( )2

( )

i x i t i x

i x i t

g e d f t e dt e d

e d f t e dt

f x

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

π π π

ω

π

∞ ∞ ∞− −

−∞

∞ ∞−

−∞

=

=

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Donde usamos

Transformada inversa



Si f(x) es una función par, i.e., f(x)=f(-x)

[ ]

[ ]

0

0

1 2( ) ( ) cos sin ( )cos2

1 2( ) ( ) cos sin ( )cos

2

g f t t i t dt f t tdt

f x g x i x d g xd

ω ω ω ω

π π

ω ω ω ω ω ω ω

π π

∞ ∞

−∞

∞ ∞

−∞

≡ + =

= − =

∫ ∫

∫ ∫

Si f(x) es una función impar, i.e., f(-x)=-f(x)

[ ]

[ ]

0

0

1 2( ) ( ) cos sin ( )sin

21 2

( ) ( ) cos sin ( )sin2

g f t t i t dt f t tdt

f x g x i x d g xd

ω ω ω ω

π π

ω ω ω ω ω ω ω

π π

∞ ∞

−∞

∞ ∞

−∞

≡ + =

= − =

∫ ∫

∫ ∫

D fi i ió



{ } 0( ) ( ) ( )st f s F t e F t dt ∞

−

= ℑ ≡ ∫

Definición

Linealidad

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )aF t bF t a F t b F t ℑ + = ℑ + ℑ

Funciones elementales

0

( ) 1, ( 0)

1(1) st

F t t

e dt s

∞−

= >

ℑ = =∫ ( )

0

( ) , ( 0)

1( ) , para

kt

kt k s t

F t e t

e e dt s k s k

∞−

= >

ℑ = = >−

∫





( )

[ ]

( )

[ ]

2 2

2 2

1cosh ,

21 1 1 1 1

cosh , para2 2 2

1sinh ,

21 1 1 1 1

sinh , para2 2 2

kt kt

kt kt

kt kt

kt kt

kt e e

skt e e s k

s k s k s k

kt e e

k kt e e s k

s k s k s k

−

−

−

−

= +

ℑ = ℑ + ℑ = + = > − + −

= −

ℑ = ℑ − ℑ = − = > − + −

Encuéntrese la solución de:




La ecuación característica será:









Así que la solución general será:






Así que la solución general será:

Al considerar las condiciones iniciales:

Derivadas



[ ] [ ][ ] [ ]

0 00

0 0

1 1( ) ( ) '( )

( ) (0) '( )

( ) (0) '( )'( ) ( ) (0)

st st st

st st

e f t dt e f t e f t dt s s

s e f t dt f e f t dt

s f t f f t f t s f t f

∞

∞ ∞− − −

∞ ∞− −

= − +

= +

ℑ = + ℑ

ℑ = ℑ −

∫ ∫

∫ ∫

[ ] [ ][ ] [ ]2

''( ) '( ) '(0)

''( ) ( ) (0) '(0)

f t s f t f

f t s f t sf f

ℑ = ℑ −

ℑ = ℑ − −


Ahora se resuelve recurriendo a la transformada de



Laplace:





Laplace:





Laplace:

expresando las transformadas de la primera y segunda

derivadas de la función, en términos de la transformadade la función misma,








Reemplazando las condiciones iniciales y resolviendopara Y(s), tendremos que:

siendo y=φ(t) basta encontrar la función cuya

transformada es Y(s).


Escribiendo las fracciones parciales:







debemos tener que





debemos tener que

así que entonces




Como

entonces


































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propedeutico2013-1