11

Matemática para a vida Proporcionalidade directa

Grupo – Matilde, Elena, Miguel, António, Paulo

Matemática para a vida

2

Proporcionalidade direta – definição

Resumo

A proporcionalidade directa é um dos conceitos fundamentais da Matemática escolar,

constituindo um dos elementos mais importantes no desenvolvimento do pensamento

pré-algébrico dos alunos do ensino básico.

Sendo o manual escolar um importante instrumento de trabalho de alunos e

professores, analisamos em detalhe um exemplo com características inovadoras,

dando especial atenção às tarefas propostas segundo as dimensões de exigência

cognitiva, estrutura e contexto. Concluímos

que o manual constitui um bom exemplo de uma abordagem progressiva

do conceito de proporcionalidade directa, cujo estudo apoia

sobretudo na exploração de tarefas diversificadas, de nível cognitivo e

abertura variável, muitas das quais relacionadas com situações do dia-adia,

e onde se procura com frequência mobilizar os conhecimentos anteriores

do aluno sobre números racionais.

Matemática para a vida

3

Introdução

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é uma relação entre

grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente

difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra

de três".Quando existe proporcionalidade direta, ao resultado chama-se, constante de

proporcionalidade.

Chamamos constante de proporcionalidade directa quando duas grandezas são

directamente proporcionais. Se por acaso virmos numa loja que há uma promoção, por

exemplo, em que há 3 peças de roupa que fica a 15€. Se houvesse outra promoção

em vez de 3 peças serem 6 peças, supostamente seria o dobro do preço da promoção

anterior, que seria 30€. E assim sucessivamente. Conclusão a constante é 5€.

Podemos também dizer em casos destes que existe P.D ( Proporcionalidade Directa).

Uma razão é um quociente, que se apresenta com um antecedente e com o

consequente. Por exemplo: antecedente consequente Uma razão usa-se para

comparar valores correspondentes de duas grandezas.

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Uma proporção para ser uma

proporção tem que estar constituída por quatro termos: Os primeiros e os quartos

termos chamam-se de extremos. Os segundos e os terceiros termos chamam-se de

meios.

A percentagem é uma razão de consequente 100 e significa «por cada 100». Para se

poder representar uma percentagem utiliza-se o símbolo %. Por exemplo : 48% Pode

se também utilizar expressões diferentes para uma percentagem, mas que querem

dizer o mesmo.

Por exemplo: = o,48 = 48%

Exercício:

Sabe-se que a área total do distrito de Constância é de 80 km2 e que a área urbana

ocupa um total de 6,4%. Qual a área urbana de Constância, em km2?

RESOLUÇÃO: Pode-se usar um quadro de proporcionalidade directa

6,4 x

100

80

Matemática para a vida

4

Isto é .

Então, a área urbana de Constância é de 5,12 km2.

Vimos então, que aplicar uma percentagem traduz uma situação de proporcionalidade

directa.

Exercício:

Suponhamos que na cidade de Lisboa existe uma companhia de táxis que cobra 250

escudos por cada quilómetro percorrido. Imaginemos que se verifica a situação

seguinte:

Distâncias

em km. 5 10 15 20

Preço em

escudos 1250 2500 3750 5000

Chega-se à conclusão que: 1250/5=250, 2500/10=250, 3750/15=250, 5000/20=250.

Então, o quociente entre o preço a pagar e o número de quilómetros percorridos é

sempre o mesmo; é constante.Diz-se que o preço em escudos é directamente

proporcional ao número de quilómetros percorridos. 250 é a constante de

proporcionalidade e representa o preço a pagar por cada quilómetro.

Duas grandezas x e y dizem-se directamente proporcionais se a razão entre elas é

constante, isto é, se o quociente entre cada valor de y e o respectivo valor de x fôr

sempre igual. Esta razão escreve-se y/ x= k ou y = kx, em que k é a constante de

proporcionalidade.

A correspondência x kx representa uma função de proporcionalidade directa,

sendo k a constante de proporcionalidade. A função que está subjacente a esta

correspondência diz-se função linear e é representada geometricamente pelo

seguinte gráfico:

Matemática para a vida

5

Toda a função cujo gráfico é uma recta que passa pela origem do referencial é de

proporcionalidade directa.

Exercício:

Vamos construir um gráfico de proporcionalidade directa dada pela tabela, referente ao

número de bolos comidos pelo Tiago.

N.º de dias 1 2 3 5

N.º de bolos 2 4 6 10

Como se pode verificar estamos perante uma situação de proporcionalidade directa,

sendo a constante de proporcionalidade directa igual a 2.

Para construir o gráfico teremos que:

traçar um referêncial cartesiano;

no eixo das abcissas iremos marcar, neste exemplo, o número de dias;

no eixo das ordenadas iremos marcar, neste exemplo, o número de bolos;

escolhe-se uma unidade para graduar cada recta, tomando como origem o

ponto de intersecção de cada recta, neste exemplo, iremos escolher a graduação 1,

para ambos os eixos, todavia, podemos ter situações onde é conveniente utilizar

graduações diferentes.

marca-se cada par de valores fazendo corresponder a um ponto no

referêncial, neste exemplo, marca-se os pontos A(1,2); B(2,4); C(3,6); D(5,10) no

referencial cartesiano.

Matemática para a vida

6

Observando atentamente o gráfico, podemos reparar que todos os pontos encontram-

se sobre uma linha recta que contém a origem, ou seja, os pontos estão alinhados

com a origem.

Esta é uma característica dos gráficos de proporcionalidade directa.

Deste modo, obtemos o seguinte gráfico de proporcionalidade directa.