Grandezas

Grandeza

É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o

volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas.

Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra também

aumenta na mesma proporção.

x 2X 3 x 4 x 6

x 2X 3 x 4

x 6

1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇ (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

500

3 000

2 500

1 000

1 500

2 000

1 65432

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se ao representa-las graficamente obtemos uma linha

reta que passa pela origem.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)

PREÇO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

P

N=

500

1=

1 000

2=

1 500

3=

2 000

4=

3 000

6= 500 = k

P

N= k P = k N

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se estão ligadas por um

quociente constante.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra diminui na

mesma proporção, e vice-versa.

÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6

x 2X 3 x 4

x 6

X = 120 km

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

20

120

100

40

60

80

1 65432

Duas grandezas são inversamente proporcionais, se ao representar-as graficamente obtemos uma

curva chamada hipérbola.

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

= k

k

t=VV · t = k

Duas grandezas são inversamente proporcionais, se estiverem ligadas por um produto constante.

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Grandezas diretamente

proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais

kQ

P = kQP =⋅

Compondo Proporções

Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?

Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê-las com uma única equação.

Começaremos com o clássico problema:

Sr. José precisava consertar

uma cerca quebrada

em sua fazenda.

Pesquisa google(23/06/2008)

501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com

Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo.

Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas.

Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?

• O número de homens é inversamente proporcional ao tempo

• O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo

• O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens

• Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:

Homens Tempo Tamanho

24 2 semanas 100m

X 1 semana 25m

Exercícios1) Em cada um dos casos abaixo, verifique se há ou não proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade.

a) A altura a de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?

b) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?

c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional a seu lado a?

d) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?

e) O comprimento c de uma circunferência é diretamente proporcional a seu diâmetro d?

2) Um prêmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considere P = 400.000 reais e preencha a tabela abaixo.

n 1 2 3 4 5 8 10 20

x

3) A tabela abaixo relaciona os valores de três grandezas x, y, e z, que variam de modo inter-relacionado.

x 1 3 4 5 10 15 40 50 60 75 120 150

y 7 21 28 35 70 105 280 350 420 525 840 1050

z 300 100 75 60 30 20 7,5 6 5 4 2,5 2

Verifique se os diversos pares de grandezas ( x e y, x e z, y e z) são direta ou inversamente proporcionais. Justifique sua resposta.