Com 12 quadradinhos iguais, com 1 cm de lado, constrói vários retângulos, todos com a mesma área.

Área do retângulo = base x altura

Preenche a seguinte tabela:

Área base altura

Assim,

Que relação existe entre a variação da base e da altura

de cada retângulo?

Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se à terça parte,...

Ao aumento da base corresponde uma diminuição da altura na mesma proporção e vice-versa

O produto das duas dimensões é constante:

base x altura =12

Grandezas desta forma dizem-se inversamente proporcionais.

Designando:

x medida da base e

y medida da altura

A relação x x y = 12 é uma proporcionalidade inversa

12 é a constante de proporcionalidade

Uma Função é uma correspondência entre dois conjuntos A e B, tal que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B

Pela observação do gráfico e da tabela verificámos que a cada valor de x corresponde um único valor de y.

Logo, y é função de x.

Área base altura

12 1 12

12 2 6

12 3 4

12 4 3

12 6 2

12 12 1

Podemos “arrumar” os retângulos de área 12 e dimensões inteiras num gráfico:

Verificamos que os pontos estão sobre uma curva a que se chama hipérbole.

Será que com as coordenadas de outros pontos do gráfico é possivel

descobrir mais retângulos de área 12?

Conhecendo a base, a altura é dada por:

xy

12=

Û=yx 12´

Vejamos alguns exemplos:

base altura retângulo coordenadas

x = 1,5 (1,5;8)

x = 2,5 (2,5;4,8)

x = 7,5 (7,5;1,6)

8

1,5

2,5

4,8

7,51,6

85,1

12y

8,45,2

12y

6,15,7

12y

Vamos “arrumar” estes novos retângulos no nosso gráfico:

Atividade:Já representámos gráficamente

a função de proporcionalidade inversa

x

sabendo que x é um número positivo (representa uma medida de comprimento).

xy 12=

Representa gráficamente a função sabendo que x é um número relativo qualquer diferente de zero.

Resolução:

Como x é um número relativo qualquer, diferente de zero vamos-lhe atribuir valores positivos e negativos.

x-1 -12

-2 -6

-4 -3

-6 -4

-12 -1

1 12

2 6

4 3

6 2

12 1

xy 12=

De um modo geral,

O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é sempre uma hipérbole.

Repara que a hipérbole passa pelo ponto (1,k).

K é a constante de proporcionalidade.

Numa função cujo domínio é apenas o conjunto dos números positivos ou apenas o conjunto dos números negativos, o gráfico é apenas um ramo da hipérbole.

No gráfico de uma proporcionalidade inversa, o produto das coordenadas de qualquer ponto é sempre o mesmo – a constante de proporcionalidade.

Uma função de proporcionalidade inversa pode ser representada por uma expressão analítica, por uma tabela ou por um gráfico.

De um modo geral,

Duas variáveis x e y são

inversamente

proporcionais quando o

produto de quaisquer dois

valores correspondentes é

constante e diferente de

zero.

x x y = k ou y=k/x (k

constante diferente

de

zero)

K é a constante de

proporcionalidade inversa.