PUNIM DIPLOME - edukimi.uni-gjk.org Binakaj.pdf · Punim |Diplome 4 Falënderime Fjalët janë të pakta për t’i shprehur mirënjohjet dhe falënderimet fillimisht familjes, e

UNIVERSITETI I GJAKOVËS “FEHMI AGANI”

FAKULTETI I EDUKIMIT

PROGRAMI - FILLOR

PUNIM DIPLOME

NUMRAT RACIONALË - THYESAT

Mentori: Kandidatja:

Dr. Sc. ILMI HOXHA ALBIONA BINAKAJ

Gjakovë, janar 2019

Punim Diplome | 2

UNIVERSITETI I GJAKOVËS “FEHMI AGANI”

FAKULTETI I EDUKIMIT

PROGRAMI - FILLOR

PUNIM DIPLOME

NUMRAT RACIONALË

Mbrojtja e punimit të diplomës bëhet më , para komisionit

të përbërë nga:

1. kryetar,

2. anëtar,

3. anëtar.

Gjakovë, janar 2019

Punim Diplome | 3

Përmbajtja

1 Hyrje .......................................................................................................................................... 5

2 Bashkësitë numerike ................................................................................................................ 6

3 Bashkësia e numrave racionalë ............................................................................................... 8

3.1 T h y e s a t ........................................................................................................................ 8

3.1.1 Kuptimi i thyesës ...................................................................................................... 8

3.1.2 Disa raste të vecanta të thyesave ........................................................................... 10

3.2 Llojet e thyesave ............................................................................................................. 11

3.3 Thyesat e barabarta. Zgjerimi dhe thjeshtimi ............................................................. 14

3.3.1 Thyesat e barabarta ............................................................................................... 14

3.3.2 Zgjerimi i thyesës ................................................................................................... 15

3.3.3 Thjeshtimi i thyesës ................................................................................................ 15

3.4 Kthimi i thyesave në thyesa me emërues të përbashkët .............................................. 16

3.5 Krahasimi i thyesave ...................................................................................................... 17

3.5.1 Krahasimi i thyesave që kanë numërues ose emërues të barabartë .................. 17

3.6 Veprimet me thyesa ........................................................................................................ 19

3.6.1 Mbledhja dhe zbritja e thyesave ........................................................................... 19

3.6.2 Shumëzimi i thyesave ............................................................................................. 22

3.6.3 Pjesëtimi i thyesave ................................................................................................ 25

4 Disa plane mësimore për shpjegimin e thyesave në shkollën fillore .................................. 27

4.1 Njësia mësimore: Thyesat .............................................................................................. 27

4.2 Njësia mësimore: Formimi i thyesave të barabarta ................................................... 31

4.3 Njësia mësimore: Krahasimi i dy a më shumë thyesa ................................................. 35

4.4 Njësia mësimore: Zbatimi i thyesave në detyrat e mësuara nga jeta e përditshme. 38

5 Përfundimi .............................................................................................................................. 41

6 Literatura ................................................................................................................................ 42

Punim Diplome | 4

Falënderime

Fjalët janë të pakta për t’i shprehur mirënjohjet dhe falënderimet fillimisht familjes, e cila

ka qëndruar prapa meje gjatë gjithë rrugëtimit tim universitar. Përkrahja e tyre e

vazhdueshme dhe e pakushtëzuar ishte burim energjie dhe forcë shtytëse që ndaj çdo lloj

situate e sidomos atyre sfiduese t’i tejkaloja me lehtësi. Asnjëherë dhe asgjë do të jenë koha

dhe veprimet që do të mund t’i kem për t’i shpërblyer ata, respektivisht prindërit e mi për

gjithçka që bënë deri më tani.

Nder dhe privilegj që kisha si mentor Prof. Dr. Sc. Ilmi Hoxha, i cili gjithmonë kishte

vullnetin e pashoq për të më dhënë sygjerime e këshilla si dhe për gatishmërinë që kishte për

ta pasuruar këtë punim materialisht me literaturë.

Falënderime dhe mirënjohje i dedikohen edhe gjithë shoqërisë sime dhe profesorëve

universitarë që në një formë ose tjetrën i dhanë kuptim këtij rrugëtimi.

Punim Diplome | 5

1 Hyrje

Matematika përbën një prej shkencave më influente, jo rastësisht është konsideruar

mbretëreshë. Aplikimi i saj në çdo sferë dhe lidhshmëria e saj me lëmitë tjera bën të mundur

që kjo shkencë të konsiderohet e tillë. Mund të themi se njëra ndër degët që i mundëson

matematikës epitete më të larta shkencore është algjebra. Si asnjë degë tjetër përbën bazën e

matematikës si dhe rëndësia e saj është e padiskutueshme.

Numrat konsiderohen “alfabeti i gjuhës matematikore” , komunikimi përmes tyre bën çdo

gjë më atraktike dhe më të lehtë. Dimë faktin që numrat që paraqiten përmes shifrave

përdoren për numërim dhe matje dhe si të tilla kemi një numër të pafundmë aplikimesh. Nëse

ndalemi vetëm tek aspekti teknologjik, sistemi binar i numrave dhe operacionet e shumta

binare kanë bërë “magji” në zhvillimin e teknologjisë në shpejtësi të paparë. E lë edhe

ndikimin apo aplikueshmërinë e numrave në përditshmërinë tonë.

Jo rastësisht e kam zgjedhur këtë temë! Më ka zgjuar kureshtje qysh në përfundim të ciklit

të ulët, kureshtje e cila ka mundësuar që shumë tema të tjera më të ndërlikuara algjebrike t’i

kuptoj më mirë. Për shumëkënd numrat racionalë, specifikisht numrat thyesorë konsiderohen

të vështirë për t’u kuptuar, pa zbatim në jetën e përditshme, asnjë lidhshmëri me konceptet

tjera sikurse edhe vetë shkenca e matematikës. Por e gjithë kjo është e gabuar! Se si vihet në

këtë konkludim është një çështje krejt tjetër që do kohë e mund për ta diskutuar dhe ka një

sërë faktorësh që ndikojnë në këto përceptime të gabuara.

Andaj, neve si mësimdhënës të rinj na mbetet që t’i largojmë këto perceptime të krijuara si

për lëminë e matematikës por edhe për konceptet themelore matematike. Kontributi jonë

duhet të shkojë rreth asaj që të punojmë maksimalisht që gjeneratat që po vijnë dhe që do të

vijnë të kuptojnë drejt rëndësinë e çdo gjëje, si dhe pse jo ne t’i vijmë në ndihmë pasi që e

kemi edhe për obligim. Të punojmë rreth asaj që çdo gjë ta thjeshtojmë e jo ta ndërlikojmë.

Të bazohemi te parimi prej konkretes deri te abstraktja si dhe te parimi shkak-pasojë si parim

thelbësor dhe do të shohim se do të ekzistojnë më pak paqartësi, më pak huti në zbatim të

njohurive në jetë të marra në cilindo nivel arsimor.

Se çka janë numrat racionalë, çka janë thyesat, cilat lloje të thyesave kemi, si i krahasojmë

ato, si i mbledhim, zbresim, shumëzojmë dhe i pjesëtojmë ato, janë pikëpyetje që të të gjitha

do t’i shtjellojmë në vijim, në këtë punim diplome!

Punim Diplome | 6

2 Bashkësitë numerike

Në përditshmëri ballafaqohemi me numra jashtëzakonisht shumë. Lëmia e matematikës i

klasifikon numrat në disa bashkësi numerike. Zbatimi i këtyre bashkësive numerike është i

padiskutueshëm. Për cilat bashkësi numerike bëhet fjalë vallë? Klasifikimi i tyre është dhënë

si në vijim:

1. Bashkësia e numrave natyrorë;

2. Bashkësia e numrave të plotë;

3. Bashkësia e numrave racionalë;

4. Bashkësia e numrave iracionalë.

Për secilën prej tyre do të paraqesim radhazi se cilat numra hyjnë dhe disa karakteristika

dalluese.

Bashkësia e numrave natyrorë – Këtu përfshihen numrat nga numri një e deri në pakufi.

E dimë se numrat nuk kanë fund dhe si të tillë kemi shumë. Ndryshe themi se në numra

natyrorë bëjnë pjesë numrat pozitivë nga numri një deri në pafundësi. Kjo bashkësi shënohet

me simbolin ℕ={1,2,3,4,5,...}. Shtrohet pyetja a hyn këtu numri zero? Jo numri zero nuk

është numër natyror. Nëpër literaturë e hasim numrin zero në bashkësinë e ashtuquajtur

numrat natyrorë me zero që për dallim nga numrat natyrorë ka vetëm një element më tepër

e ajo është zeroja dhe zakonisht shkruhet kështu:

ℕo={0,1,2,3,4,5,...}

Bashkësia e numrave të plotë – Keni vërejtur aparatet për matjen e temperaturave që

përvec numrave pozitivë kemi numra me shenjë minus përpara? Atëherë këta numra me

shenjë pozitive1 së bashku me numrat negativë duke përfshirë edhe numrin zero përbëjnë

bashkësinë e numrave të plotë ose me shenjë. Kjo bashkësi, pra përfshin të gjithë numrat

negativë prej pafundësisë deri te numrat e pafundmë pozitivë. Simbolikisht shkruhet kështu:

ℤ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Bashkësia e numrave racionalë - Bashkësi e cila do të shtjellohet edhe në këtë punim

diplome andaj vetëm po e cek që hyjnë numrat thyesorë dhe numrat dhjetorë të fundmë. Kjo

bashkësi shkruhet me simbolin ℚ.

Bashkësia e numrave iracionalë – Në këtë bashkësi numerike bëjnë pjesë numrat dhjetorë

të pafundëm si dhe numrat 3, 5, 7 , pra numra të cilave rrënja katrore nuk është numër

i plotë. Po ashtu këtu bën pjesë edhe numri i shumënjohur π, vlera e përafërt e të cilit është

3.14. ...Tri pika paraqesin faktin që numrat pas pikës dhjetore janë të pafundmë si dhe

joperiodikë. Kjo bashkësi shkruhet simbolikisht me shkronjën I.

1 Shenja plus nuk u shënohet asnjeherë po nënkuptohet

Punim Diplome | 7

Karakteristikë e të gjithë këtyre bashkësive numerike është se vlen relacioni ,

pra numrat natyrorë janë

nënbashkësi e numrave

të plotë, si dhe numrat e

plotë janë nënbashkësi e

numrave racionalë.

Ndryshe mund të themi

se në numra të plotë

bëjnë pjesë edhe numrat

natyrorë, njëjtë mund të

themi edhe për numrat

racionalë, se në ta bëjnë

pjesë edhe numrat

natyrorë e numrat me

shenjë. Kurse bashkësia

e numrave iracionalë nuk

e ka të përbashkët asnjë numër me

numrat racionalë. (Shih figurën 1!)

Ndryshe shkruhet kështu ℚ ∩ I =∅. Mirëpo, të gjithë numrat racionalë së bashku me numrat

iracionalë përbëjnë bashkësinë e numrave realë ℝ, e cila shkruhet kështu në mënyrë

simbolike ℚ ∪ I = ℝ. Pr,a të gjithë bashkësitë numerike të përmendura janë numra realë.

Edhe numrat racionalë që tani e tutje do t’i elaborojmë janë numra realë.

Fig. 1 Bashkësitë numerike

Punim Diplome | 8

3 Bashkësia e numrave racionalë

Shumë herë për t’i krahasuar dy numra duhet gjetur raportin mes tyre. Raportin apo herësin

në matematikë e kemi asocuar me veprimin e pjesëtimit. Gjatë pjesëtimit të dy numrave p.

sh. të numrave 4:2 herësi na del numër i plotë 2, mirëpo gjatë pjesëtimit të numrave 1:2 na

del rezultati 0.5. Rezultati 0.5 është numër dhjetor i fundmë dhe si i tillë emërtohet si numër

racional. Po ashtu 0.5 është ekuivalente me thyesën 1

2 pasi që vija thyesore në vetvete do të

thotë herës. Andaj në numra racionalë përfshihen numrat thyesorë, numrat dhjetorë të

fundmë dhe ata periodikë.

Përveç numrave thyesorë e dhjetorë përkatës në numra racionalë hyjnë edhe bashkësia e

numrave natyrorë e atyre të plotë. Rrallëherë kemi dëgjuar numrat racionalë, pasi më së

shumti iu kemi referuar si numra thyesorë ose shkurtimisht thyesa. Se çka paraqesin thyesat,

çfarë lloje kemi dhe si kryhen veprimet me thyesa dhe shumëçka tjetër do t’i paraqesim

detajisht në vijim!

3.1 T h y e s a t

3.1.1 Kuptimi i thyesës

Marrim shembuj për ta kuptuar më mirë këtë koncept.

Shembulli 1. Lea me nënën shkojnë në një piceri dhe porosisin pica. Picat ishin të ndara në

tetë pjesë të barabarta të paraqitur si në figurën 2. Përkundër nënës që

konsumoi të gjithën, Lea nuk ishte e uritur duke ngrënë vetëm një pjesë të

saj. Për nënën mund të themi se ka ngrënë një picë të plotë kurse e bija një

të tetën e picës që shkruhet ndryshe kështu 1:8 ose .

Shembulli 2. Për të

përforcuar këtë shembull

po i marrim disa sipërfaqe rrethore të ndara

në pjesë të barabarta ku disa pjesë të tyre

janë të ngjyrosura. Gjithsej janë tetë rrathë

(fig.3), te rrethi i parë janë ngjyrosur katër

pjesë nga pesë sa janë gjithsej, te i dyti një

e katërta e sipërfaqes, te i treti dy nga tri

pjesët, te rrethi i katërt gjysma ose një e

dyta e rrethit, te i pesti tri nga gjashtë sa

1

8 Fig. 2

Fig. 3. Lloje thyesash

Punim Diplome | 9

janë në total, te i gjashti një e treta e sipërfaqes, te rrethi i shtatë është ngjyrosur një e pesta

e rrethit si dhe te i fundit dy e katërta e rrethit. Për secilin është shkruar edhe thyesa përkatëse

që i përket atij rrethi.

Shënim: Shembujt e mësipërm tregojnë se thyesa mund të kuptohet si pjesë e një tërësie,

numri apo gjësendi.

Gjithashtu nga shembujt e dhënë më parë vërejmë se pjesët e një tërësie nuk mund të

paraqiten me numra natyrorë. Mirëpo, ata mund të paraqiten si herës i dy numrave. Pra,

Herësin e dy numrave natyrorë a dhe b e shkruajmë me a

b dhe e quajmë thyesë.

Numri a quhet numëruesi, numri b quhet emëruesi dhe “—“ quhet vijë thyesore e thyesës

a

b. Kjo thyesë lexohet “a thye për b” ose “a pjesëtue për b”. Emëruesi b tregon që e plota

(njësia) është ndarë në b pjesë të barabarta, kurse numëruesi a tregon se sa pjesë të tërësisë

janë marrë për të formuar atë thyesë. Kështu p.sh thyesa 3

5, numri 5 është emëruesi i cili

tregon se tërësia është ndarë në 5 pjesë të barabarta, ndërsa numri 3 është numëruesi që

tregon se sa pjesë të tilla (të pestat) janë marrë për të formuar atë thyesë. Kjo thyesë mund

të lexohet si “tri të pestat” , “tre thye për pesë” ose “tre pjesëtue për pesë”.

Shembulli 3. Në një klasë janë 33 nxënës, ku 2

3e klasës janë vajza. Shtrohet pyetja: Sa

vajza ka klasa ?

Fillimisht numrin total të nxënësve 33 e ndajmë në 3 pjesë, marrim rezultatitn 11 që më pas

këtë rezultat e shumëzojmë me 2 , 11·2 = 22 duke na dhënë rezultatin 22. Pra rrjedh se në

klasën në fjalë janë gjithsej 22 vajza.

Me anë të këtij shembulli mund të aludojmë se për ta gjetur pjesën (thyesën) e një numri

(madhësie) duhet ta pjesëtojmë atë numër me emëruesin, dhe herësin e fituar duhet

shumëzuar me numëruesin.

Detyra:

1. Sa minuta bëjnë :

a) 3

4e orës; b)

1

6 e orës; c)

11

12e orës.

2. Gjeni vlerën e x-it nëse 2

3e x-it është e barabartë me 24.

Zgjidhje

1. Pasi që ora ka 60 minuta atëherë gjejmë se

a) 3

4e orës =

3

4e 60 min = (60:4)·3=15·3=45, pra

3

4e orës bëjnë 45 minuta;

Punim Diplome | 10

b) 1

6 e orës =

1

6 e 60 min = (60:6)·1=10·1=10, pra

1

6 e orës paraqesin 10 minuta;

c) 11

12e orës =

11

12e 60 min = (60:12)·11=5·11=55, pra

11

12 e orës i bie 55 minuta.

2. Të gjendet vlera e x-it te shprehja: 2

3e x-it = 24

224 ( :3) 2 24 36

3

(36 :3) 2 24 12 2 24 24 24

x x x

sepse

Pra, vlera e x-it është 36.

3.1.2 Disa raste të vecanta të thyesave

Thyesat me numërues 0

Thyesa 0

4, ç’kuptim ka? Sipas kësaj thyese tërësia është ndarë në 4 pjesë të barabarta dhe

prej tyre janë marrë 0 pjesë, që i bie se nuk është marrë asnjë pjesë. Atëherë, 0

4= 0. Kjo vlen

jo vetëm për këtë thyesë, por për të gjitha thyesat që kanë numërues zero dhe emërues numër

b që është i ndryshëm prej zeros (b≠0).

Pra, 0

b= 0.

Thyesat me emërues 0

Po thyesa 4

0, ç’kuptim ka? Sipas kësaj, tërësinë s’duhet ndarë aspak e duhet marrë 4 pjesë

të ndara. A ka mundësi të ndodhë kjo? Absolutisht JO! Andaj, themi se thyesat me emërues

0 nuk kanë kuptim.

Thyesat me emërues 1

Çdo thyesë me emërues 1 është vetë ai numër. Për shembull marrim thyesën 4

1, kjo thyesë

është ekuivalente me 4 sepse ndryshe 4

1shkruhet 4:1, dhe herësi i çdo numri me numrin 1

jep si rezultat atë numër. Cdo thyesë me emërues 1 është e barabartë me numëruesin e saj,

pra1

aa . Shpeshherë gjatë llogaritjeve me thyesa duhet numrin e plotë ta shndërrojmë në

Punim Diplome | 11

thyesë, andaj duhet ta shfrytëzojmë faktin që çdo numër mund të shkruhet si thyesë me

emërues 1, d.m.th 1

aa .

Thyesa me emërues dhe numërues të barabartë

Thyesat karakteristike 5 7 23

, ,5 7 23

, etj. kanë domethënien e asaj që të merren aq njësi të

tërësisë sa edhe është e ndarë ajo, që i bie që të merret e tërë tërësia. Andaj këto lloje thyesash

çdo herë do të jenë të barabarta me një.

Pra, për a≠0, 1a

a .

3.2 Llojet e thyesave

Në vijim janë dhënë disa sipërfaqe drejtëkëndëshe. I ndajmë ato në pjesë të barabarta si më

poshtë:

a) b) c)

Sipërfaqet e dhëna paraqesin thyesat, në rastin nën a) kemi thyesën 6

6, b) thyesën

5

6 si dhe

në c) kemi thyesën7

6.

Këto thyesa siç po shihet edhe nga pjesët e ngjyrosura, syprina e sipërfaqes me të kuqe

është e barabartë me një njësi, ajo vjollcë më e vogël se një tërësi, kurse syprina e sipërfaqes

së verdhë është më e madhe se një njësi dhe si rrjedhojë kemi këto relacione:

6

6=1,

5

6<1,

7

6>1

Thyesa e parë ka numëruesin të barabartë me emëruesin (për të cilën kemi diskutuar edhe

më parë) dhe këto thyesa janë të njëvlershme me numrin një, pasi që gjatë pjesëtimit të

numëruesit me emëruesin gjithmonë herësi do të dalë një.

Punim Diplome | 12

Thyesa e dytë 5

6 quhet thyesë e rregullt dhe karakterizohet me faktin që emëruesin e ka

më të madh se numëruesin. Për shembull thyesat1 9 24

, , ...6 13 100

janë thyesa të rregullta si dhe

të gjitha thyesat e tjera që e plotësojnë kriterin në fjalë. Thyesat e tilla janë më të vogla se

numri një sic u tregua edhe në figurën b) . Pra, të gjitha këto thyesa gjenden në intervalin

zero dhe një.

Thyesa e tretë7

6 që prezantonte edhe rastin e katërkëndëshit të ngjyrosur me ngjyrë të

verdhë, quhet thyesë e parregullt. Thyesat e parregullta janë të gjitha ato thyesa tek të

cilat numëruesi është më i madh se emëruesi. Të tilla kemi thyesat 5 9 32

, , ...3 6 27

, si dhe vlen

të përmendet fakti që të gjitha këto thyesa janë më të mëdha se numri një.

Shembulli 1. Le të jetë bashkësia

8 10 1 5 3 12 1234 5, , , , , , ,

3 10 2 7 3 9 321 1000A

.

Të gjenden këto nënbashkësi të A-së, të tillë që:

1 , C = 1 , D = 1B x A x x A x x A x

Zgjidhje:

Bashkësia B përbëhet nga thyesat që janë më të vogla se 1 e ato thyesa janë thyesat e

rregullta, e ato janë:

1 5 5, ,

2 7 1000B

.

Ndërsa bashkësia C përbëhet nga thyesat të barabarta me 1 dhe në këtë bashkësi përfshihen

thyesat që kanë të barabartë numëruesin me emëruesin,

10 3,

10 3C

.

Si dhe së fundmi bashkësia D përmban thyesat e parregullta pasi që vetëm ato janë më të

mëdha se 1,

8 12 1234, ,

3 9 321D

.

Thyesat e parregullta përndryshe mund të paraqiten edhe në formë të numrave të përzier.

Numrat e përzier përbëhen nga një numër i plotë dhe nga një thyesë e rregullt. Le ta marrim

thyesën e parregullt 7

6 dhe ta kthejmë atë në të përzier! Pjesëtojmë 7:6 dhe si rezultat kemi

herësin 1 dhe mbetjen 1. Ndryshe shënojmë 7 = 6 · 1 + 1. Nëse analizojmë drejtëkëndëshin

Punim Diplome | 13

në rastin c, shohim se thyesa në fjalë përbëhet nga një tërësi dhe një njësi që paraqet 1

6e asaj

tërësie.

Pra thyesa, 7

6=

11

6

Prandaj,

Thyesat e parregullta themi se janë të barabarta me numrat e përzier, pjesa e plotë e të

cilit është herësi i pjesëtimit të numëruesit me emëruesin e asaj thyese, kurse pjesa

thyesore e tij është thyesa që për numërues ka mbetjen e pjesëtimit dhe për emërues ka

emëruesin e thyesës së dhënë.

Ndodh që shohim shpesh që kemi njehësime me numra të përzier, në ato raste preferohet

që numrat e përzier të kthehen në thyesa të parregullta.

Si bëhet shndërrimi i numrave të përzier në thyesa të parregullta? Ekziston një rregull për

konvertimin e numrave të përzier në të parregullt dhe ajo është:

aa b kk

b b

(*)

Për shembull, të shndërrojmë thyesën 3

48

në thyesë të parregullt!

Sipas (*), rregullës së mësipërme kemi:

33 8 4 32 3

8

3 54

8 8 8

.

Pastaj, te thyesat karakteristike si 4 16 21

, ,2 4 3

kur emëruesi dhe numëruesi janë numra që

plotpjesëtohen në mes veti, mund të themi se ato i shndërrojmë në numra të plotë. Në thyesat

e dhëna shohim se ato thyesa janë të barazvlershme me numrat:

4 16 212, 4, 7

2 4 3

Punim Diplome | 14

3.3 Thyesat e barabarta. Zgjerimi dhe thjeshtimi

3.3.1 Thyesat e barabarta

Shembulli 1. Vizatojmë dy rrathë me

rreze të barabarta si në figurën 4.

Rrethin e parë e ndajmë në dy pjesë dhe

njërën pjesë të tij e ngjyrosim që i bie 1

2

. Kurse të dytin e ndajmë në gjashtë

pjesë dhe ngjyrosim tri pjesë të tij që i

bie thyesë

13

6. Siç po shihet edhe në figurë,

sipërfaqja e ngjyrosur e thyesës së parë është e barabartë me sipërfaqen e ngjyrosur të së

dytës. Nga kjo rrjedh se thyesat që prezantojnë ato sipërfaqe, edhe pse në pikëpamje të parë

nuk duken por janë të barabarta pasi që të dyja paraqesin gjysmërrethin.

Pra, 1 3

2 6 .

Të shohim se cka ndodh, nëse te thyesat 1

2 dhe

3

6 bëjmë shumëzimin e kryqëzuar :

1

2

3

6

1·6 = 2·3

6 = 6

Konkludojmë se dy thyesa të farëdoshme dhe a c

b d janë të barabarta nëse plotësohet

barazimi a · d = b · c.

Fig 4. Barazimi i thyesave

Punim Diplome | 15

3.3.2 Zgjerimi i thyesës

Të ndalemi te thyesat 1

2 dhe

3

6, që ishin të njëjta. Nëse analizojmë këto thyesa mund të themi

se thyesa 3

6 mund të fitohen nëse edhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës

1

2 e

shumëzojmë me numrin 3. Vizualisht është bërë kjo: 1

2

1 3

2 3

3

6.

Ky proces i shumëzimit të numëruesit dhe emëruesit me një numër të ndryshëm prej zeros

quhet zgjerim i thyesës. Si pasojë e zgjerimit thyesa nuk e ndryshon vlerën.

3.3.3 Thjeshtimi i thyesës

Proces i anasjelltë i zgjerimit është thjeshtimi. Për një thyesë themi se është thjeshtuar nëse

numëruesin dhe emëruesin e saj e kemi pjesëtuar me një numër të ndryshëm prej zeros. Edhe

gjatë thjeshtimit thyesa nuk e ndryshon vlerën e saj. Marrim thyesën 6

8, shohim se kjo

thyesë mund të thjeshtohet me numrin 2, sepse përveç numrit një që është pjesëtues i gjithë

numrave, duhet gjetur numrin që edhe numëruesi me emëruesin të pjesëtohen me atë numër.

Andaj në rastin konkret vetëm numri 2 e thjeshton thyesën:

6

8

6 : 2

8 : 2

3

4

Për t’i thjeshtuar thyesat me numra të mëdhenj, si për shembull thyesën 288

720, duhet gjetur

pjesëtuesin më të madh të përbashkët ( PMMP) të numrave. Ta thjeshtojmë këtë thyesë dhe

ta shohim se si punohet me këto thyesa.

Gjejmë PMMP(288,720):

288 = 144 ·2 = 72 ·2·2 = 36 ·2·2·2 = 18 ·2·2·2·2 = 9 ·2·2·2·2·2 = 3 · 3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

720 = 80 ·9 = 40 ·2·3·3 = 8·5·2·3·3 = 4·2·5·2·3·3 = 2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 3 · 3

Pra, PMMP(288,720) = 3·3·2·2·2·2=144

Tani dimë se me cilin numër duhet thjeshtuar thyesën pasi që gjetëm pjesëtuesin e përbashkët

të numëruesit dhe emëruesit.

Thjeshtojmë thyesën288

720 me numrin 144,

288 288:144 2

720 720 :144 5 , si rezultat fituam thyesën

2.

5

Punim Diplome | 16

Po shtrohet pyetja cka ndodh nëse numëruesi dhe emëruesi nuk kanë pjesëtues të përbashkët

përvec numrit ? Si p.sh thyesa 27

41nuk mund të thjeshtohet më tej pasi që nuk ka numër të

përbashkët që mund ta pjestojë numëruesin dhe emëruesin. Andaj, si pasojë mund të themi

se këto thyesa konsiderohen të pathjeshtueshme.

Detyrë: Të gjendet numri i panjohur x te barazimet:

a) 4

5 10

x , b)

15 3

25 x

Zgjidhje:

a) Para së gjithash, shohim se kjo detyrë ka të bëjë me zgjerim pasi që thyesa e dytë e

fituar ka numrat më të mëdhenj. Analizojmë emëruesat ngase të dytë i kemi të dhënë

dhe vijmë në përfundim se thyesa është zgjeruar me numrin 2, ngase 5·2=10. Tani

duhet të gjejmë se cili numër kur të shumëzohet me dy na jep numrin 4. E kush mund

të jetë përvec numrit 2 dhe kështu gjetëm se x=2.

b) Ngjashëm shkon edhe te kjo, vetëm se këtu kemi punë me thjeshtim me numrin 5,

pasi që numëruesit i pjesëtojmë dhe gjejmë herësin 5 (15:3=5). Për ta gjetur

emëruesin e thyesës së dytë, pra për ta gjetur vlerën e x-it pjesëtojmë 25:5 që në fakt

na jep numrin 5.

Pra, x=5

3.4 Kthimi i thyesave në thyesa me emërues të përbashkët

Shpesh na nevojitet që thyesat me emërues të ndryshëm t’i kthejmë në thyesa me emërues

të njëjtë. E gjithë kjo realizohet përmes procesit të zgjerimit. Nëse thyesat i sjellim në thyesa

me emërues të përbashkët, emëruesi i tyre është shumëfishi më i vogël i përbashkët i

emëruesëve të thyesave të fillimit.

Shembulli 1: Të sillen në thyesa me emërues të përbashkët këto thyesa: 2 9 14 1

, , dhe 7 14 15 2

Pasi që emëruesit i kanë të ndryshëm, atëherë gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët

të emëruesave,

7 14 15 2 2

7 7 15 1 3

7 7 5 1 5 Shmvp (7, 14, 15, 2) = 2·3·5·7=210

7 7 1 1 7

1 1 1 1

Punim Diplome | 17

Gjetëm emëruesin e përbashkët të këtyre thyesave, tani zgjerojmë secilën thyesë në

mënyrë që emëruesi i tyre të jetë 210, atëherë:

2 60

7 210 , ( Thyesa është zgjeruar me numrin 30!);

9 135

14 210 , (Thyesa është zgjeruar me numrin 15!);

14 196

15 210 , ( Thyesa është zgjeruar me numrin 14!);

1 105

2 210 , ( Thyesa është zgjeruar me numrin 105!).

3.5 Krahasimi i thyesave

3.5.1 Krahasimi i thyesave që kanë numërues ose emërues të barabartë

Shembulli 1. Në figurën 5 janë dhënë dy rrathë me rreze të barabarta, ku i pari është i ndarë

në katër pjesë të barabarta dhe janë

ngjyrosur dy prej tyre, kurse i dyti

në pesë pjesë të barabarta si dhe janë

ngjyrosur njësoj si ai i pari dy pjesë.

Pjesa e sipërfaqes në rrethin e parë

paraqet thyesën 2

4dhe si e tillë

është më e madhe se pjesa e

sipërfaqes së ngjyrosur në rrethin e

dytë që paraqet 2

5e sipërfaqes së tij.

Pra,

2 2

4 5

Kështu konkludojmë se: Nga dy thyesa me numërues të barabartë, më e madhe do të jetë

ajo thyesë që ka emërues më të vogël.

Fig 5. Krahasimi i thyesave me numërues të njëjtë

Punim Diplome | 18

Shembulli 2. Tani do t’i krahasojmë thyesat me emërues të njëjtë. Si në shembullin paraprak

edhe këtu do t’i marrim dy rrathë

me rreze të barabarta.Të dytë janë

ndarë në pesë pjesë, prej të cilave

të parit i janë ngjyrosur tri pjesë që

paraqet thyesën3

5, kurse rrethi i

dytë ka të ngjyrosur katër pjesë të

tërësisë që prezanton thyesën 4

5.

Nga figura shohim qartë se

sipërfaqja e ngjyrosur e rrethit të

dytë është më e madhe se e atij të

parit dhe si rrjedhojë kemi: 3 4

5 5

Andaj vijmë në përfundim se:

Nga dy thyesa me emërues të barabartë, më e madhe do të jetë ajo thyesë që ka numëruesin

më të madh.

Po nëse ato dy thyesa nuk e kanë as numëruesin e as emëruesin e barabartë, si mund t’i

krahasojmë? Krahasimi i tyre bëhet përmes shumëzimit të kryqëzuar.

Le të jenë thyesat dhe , ku a, b, c, da c

b d :

a c

b d , atëherë dhe vetëm atëherë kur a · d < c · b;

a c

b d , atëherë dhe vetëm atëherë kur a · d > c · b;

a c

b d , atëherë dhe vetëm atëherë kur a · d = c · b;

Detyrë:

1. Caktoni bashkësitë e të gjitha vlerave të x-it x për të cilat :

a) 5

7 7

x , b)

6 6

7x

2. Cilat nga simbolet “<”, “>”, “=” duhet të vendosen në katrorët e zbrazët:

a) 7

8

8

9, b)

5

6

45

54

Fig 6. Krahasimi i thyesave me emërues të njëjtë

Punim Diplome | 19

Zgjidhje:

1. a). Te shprehja 5

7 7

x , për të qenë thyesa e parë më e vogël se e dyta duhet të marrim

parasysh faktin që këto dy thyesa kanë emërues të njëjtë, atëherë që të jetë një thyesë

më e madhe se tjetra duhet numëruesi të jetë më i madh. Kështu që x-i duhet të marrë

vlerat më të vogla se numri 5, pra numrat që e plotësojnë këtë relacion janë,

1,2,3,4 ,x x N .

b). Kurse te shprehja 6 6

7x , të dy thyesat i kanë numëruesit e njëjtë, andaj për të

qenë thyesa e dytë më e madhe se e para, emëruesi i saj duhet të jetë më i vogël se

emëruesi i thyesës së parë, kështu që vlerat x-it duhet të jenë më të mëdha se numri

7, pra 8,9,10,11,12,... ,x x N .

2. Thyesat krahasohen në këtë mënyrë:

a) 7

8

8

9, “<” sepse 7 · 9 < 8 · 8 63 64

b) 5

6

45

54, “=” sepse 5·54 =6 · 45 720 720

3.6 Veprimet me thyesa

Dimë që veprimet themelore aritmetike në matematikë janë mbledhja, zbritja, shumëzimi

dhe pjesëtimi. Le të bëjmë këto veprime me thyesa!

3.6.1 Mbledhja dhe zbritja e thyesave

Shembulli 1. Dy motrat Earta dhe Blearta blen së bashku një çokollatë. Earta hëngri 5

16 të

çokollatës, kurse Blearta 7

16 e saj.

Shtrohen pyetjet:

a) Sa pjesë të çokollatës hëngrën të dy motrat?

b) Cila nga motrat hëngri më tepër dhe sa?

Për të patur më të qartë se çka do të bëjmë po e ilustrojmë me figurën e mëposhtme:

<

=

Earta 5

16 Blearta

7

16

Punim Diplome | 20

Fig. 7

a) 7

16?

5

16 Pasi çokollata është ndarë në 16 pjesë të barabarta, të dy motrat hëngrën

5+7=12 pjesë të çokollatës. Pra, ato së bashku hëngrën

7 5 7 12

16 16 1

5

616

e çokollatës.

b) 5

16?

7

16 Blearta hëngri 7 pjesë, kurse Earta 5 pjesë të çokollatës. Atëherë duket

qartë se Blearta hëngri 2 pjesë më tepër se Earta. Pra, themi se Blearta hëngri më

tepër:

5 7 5 2

16 16 1

7

16 6

e çokollatës.

Nga ky shembull mund të përfundojmë se:

1° Thyesat me emërues të barabartë mblidhen/zbriten duke mbledhur/zbritur

numëruesit, ndërsa emëruesi i përbashkët përshkruhet. Simbolikisht:

b

c

b

c c

a a , ( te zbritja a > b)

Shembulli 2. Njehsoni : 10 2

142 42

Numrin 1 mund ta shënojmë si thyesë me emërues dhe numërues të barabartë dhe si të tillë

do e bëjmë si 42

42 pasi që 42:42=1, prandaj do të kemi :

10 2 42 10 2 42 12 42 12 301

42 42 42 42 42 42 42 42

, e thjeshtojmë rezultatin me 6 dhe

përfundimisht kemi thyesën 5

7.

Shembulli 3. Një pishinë mbushet nga dy gypa. Gypi i parë për një orë e mbush 1

6 e

pishinës, kurse gypi i dytë për një orë e mbush 2

9e pishinës. Cila pjesë e pishinës mbushet

nga të dy gypat brenda një ore?

Punim Diplome | 21

Për të zgjidhur këtë problem nevojitet të kryejmë mbledhjen 1 2

6 9 . Mirëpo këto thyesa nuk

i kanë emëruesit e njëjtë dhe hapi i parë që duhet bërë është t’i sjellim në thyesë me emërues

të përbashkët. Meqenëse Shmvp (6,9) =18 atëherë:

2 1 3 2 2 3 4 7

9 18 8

1

6 18 1

Nga ky shembull themi se :

2° Për t’i mbledhur/zbritur thyesat me emërues të ndryshëm, së pari ato i sjellim në

emërues të barabartë, mandej i mbledhim/zbresim si thyesa me emërues të barabartë.

Shembulli 4. Tregoni se: 2 4 4 2

3 5 5 3

I zgjedhim të dyjat paralelisht dhe vërtetojmë barazimin duke pasur parasysh se

Shmvp (3,5)=15,

2 4 4 2

3 5 5 3

2 5 4 3 4 3 2 5

15 15

10 12 12 10

15 15

22 22

15 15

Pra, barazimi2 4 4 2

3 5 5 3 është i saktë dhe në bazë të këtij shembulli themi se vlen ligji i

ndërrimit të vendeve (vetia komutative).

Në mënyrë të përgjithësuar kemi:

a c c a

b d d b

Shembulli 5. Tregoni se: 2 4 5 2 4 5

3 5 6 3 5 6

. Duke i shfrytëzuar të gjitha

rregullat i njehsojmë thyesat paralelisht në të dy anët:

2 5 4 3 5 2 4 6 5 5

15 6 3 30

2 4 5 2 4 5

3 5 6 3 5 6

Punim Diplome | 22

22 5 2 49

15 6 3 30

22 2 5 5 2 10 49

30 30

69 69

30 30

Pra vërtetuam saktësinë e barazimit . Ky shembull tregon se për

mbledhjen e thyesave vlen ligji i shoqërimit (vetia asociative) që në mënyrë të përgjithësuar

e paraqesin kështu: a c e a c e

b d f b d f

.

Detyrë: Njehsoni 5

21 3

4 866 2

Zgjidhje:

5 1 6 2 5 31 3 4 6 8 2 2 15 19 25 37 17 22

6 6

196 2

4 8 4 8 4 8 12 86

109 19 109 2 19 3 161

12 8 24 24

.

3.6.2 Shumëzimi i thyesave

3.6.2.1 Shumëzimi i thyesave me numër natyror

Të shumëzosh një numër natyror x me një numër natyror n, do të thotë të merret n-fishi i

numrit x, që është shumë prej n mbledhorëve të barabartë me x. Kjo vlen edhe për

shumëzimin e një thyese me një numër natyror. Le ta sqarojmë me një shembull:

Shembulli 1. Nëna solli nga fshati 3 kavanozë me mjaltë, ku secili kishte nga 4

5kg. Sa kg

kishte gjithsej? Kjo detyrë mund të zgjidhet edhe me shumën4 4 4

5 5 5 , mirëpo le ta

zgjidhim me prodhim! Për ta llogaritur më më lehtësi na vie në punë figura në vijim.

Kavanozët i kemi paraqitur në formë të

shtyllave. Secilin prej tyre e kemi ndarë në

5 pjesë të barabarta dhe kemi paraqitur 4

5 e

tij. Pasi që i kemi 3 kavanozë ateherë themi

2 4 5 2 4 5

3 5 6 3 5 6

4

5

4

5

4

5

Punim Diplome | 23

se gjithsej janë 12 pjesë të pesta dhe kështu

mund të tregojmë rregullën se si mund të

shumëzohet ndryshe pa paraqitur në formë

vizuele :

4 3 4 12

35 5 5

Fig. 8

3° Thyesa shumëzohet me një numër natyror në atë mënyrë që numri e shumëzon

numëruesin e thyesës kurse emëruesi përshkruhet. Le të jetëa

b thyesë dhe k numër

natyror, simbolikisht kemi:

a k ak

b b

3.6.2.2 Shumëzimi i thyesës me thyesë

Për ta përcaktuar rregullën e shumëzimit të thyesave po elaborojmë shembullin e fundit të

shumëzimit të numrit 3 me thyesën 4

5. Kjo detyrë mund të zgjidhet ndryshe! E dimë që çdo

numër që s’ka emërues, emëruesi i tij është 1, pasi që çdo numër që pjesëtohet me numrin 1

është vetë ai numër prapë. Pasi që numëruesit janë shumëzuar, mbetet që edhe emëruesit të

shumëzohen që të japin rezultatin e njëjtë:

4 3 4 3 4 123

5 1 5 1 5 5

4° Prodhimi i thyesave është i barabartë me një thyesë që si numërues ka prodhimin e

numëruesve, kuse si emërues ka prodhimin e emëruesve të thyesave faktorë.

Le të jenë dy thyesaa

bdhe

c

d. Atëherë vlen barazimi:

a c a c

b d b d

Shembulli 2. Vërtetoni barazimin3 4 4 3

5 7 7 5

Duke përdorur përkufizimin 4° njehsojmë:

3 4 4 3

5 7 7 5

3 4 4 3

5 7 7 5

12 12

35 35

Punim Diplome | 24

Pasi që po vleka barazimi 3 4 4 3

5 7 7 5 , sikurse te mbledhja edhe te shumëzimi vlen ligji i

ndërrimit të vendeve (vetia komutative). Pra, a c c a

b d d b është barazim i saktë.

Shembulli 3. Tregoni se vlen :4 3 8 4 3 8

5 7 9 5 7 9

Në të dy anët të barazimit bëjmë njehsimet e nevojshme:

4 3 8 4 3 8

5 7 9 5 7 9

4 3 8 4 3 8

5 7 9 5 7 9

12 8 4 24

35 9 5 63

96 96

315 315

Pasi që të dy thyesat e fundit janë të barabarta rezultojmë se barazimi

është i saktë. Kjo i bie që vlen ligji i shoqërimit (vetia asociative) që në mënyrë të

përgjithësuar paraqitet kështu:

a c e a c e

b d f b d f

.

Shembulli 4. Tregoni se vlen barazimi : 1 2 12 4 2 4

3 5 3 52 3 2

Radhazi duke përdorur përparësinë e veprimeve matematikore njehsojmë:

1 2 12 4 2 4

3 5 3 52 3 2

2 4 2 1 5 8 2

3 10 15 6

26 26

30 30

Barazimi i fillimit vlen dhe si pasojë e kësaj vlen ligji i

shpërndarjes i shumëzimit ndaj mbledhjes së thyesave (vetia distributive) :

4 3 8 4 3 8

5 7 9 5 7 9

1 2 12 4 2 4

3 5 3 52 3 2

Punim Diplome | 25

e a ea c a c

b d b df b f

3.6.3 Pjesëtimi i thyesave

3.6.3.1 Pjesëtimi i thyesës me numër natyror

Shembulli 1. Të pjesëtojmë thyesën 6

7me numrin 2. Nëse analizojmë këtë i bie që thyesën

në fjalë ta ndajmë në dy pjesë. Që të llogaritet ky pjesëtim shërbehemi me figurën 7, si më

poshtë:

6

7

3

7 Fig. 9 3

7

Sipas figurës 7, shohim se 6

7: 2 =

3

7. Po ta analizojmë shohim se numëruesi është

pjesëtuar me numrin 2 kurse emëruesi është përshkruar.

Nga shembulli përfundojmë se:

5° Thyesa pjesëtohet me një numër natyror, duke pjesëtuar numëruesin e thyesës me

atë numër natyror.

Shembulli 2. Përgjigjuni pyetjeve vijuese:

a) Me cilën thyesë duhet shumëzuar thyesën 7

8që të fitohet numri 1.

b) Me cilën thyesë duhet të shumëzohet numri 8 që të fitohet numri 1.

Te rasti a) thyesa7

8 duhet të shumëzohet me vlerën reciproke të saj

8

7 për ta fituar numrin

1. Kemi: 7 8 56

18 7 56

Kurse te b) numri 8 duhet të shumëzohet me thyesën 1

8. Pra,

1 8 1 88 1

8 1 8 8 .

Punim Diplome | 26

Nga shembulli 2 vërejmë se për cdo thyesë a

b, prodhimi 1

a b

b a . Për thyesën

b

athemi se

është vlera reciproke e thyesës a

b.

3.6.3.2 Pjesëtimi i thyesës me thyesë

Për pjesëtimin e thyesave me thyesë ekziston një rregullë e cila është kjo: Pjesëtimi i

thyesës a

b me thyesën

c

d, shprehet me barazimin :

a c a d

b d b c . Që i bie:

6° Herësi i dy thyesave është i barabartë me prodhimin e thyesës së parë me vlerën

reciproke të thyesës së dytë.

Shembulli 3. Njehsoni 1 1

:2 6

Ky herës është paraqitur shumë mirë edhe në figurën e

anëshkruar dhe sipas saj respektivisht rregullës së pjesëtimit

thyesa e parë përshkruhet, pjesëtimi shëndërrohet në shumëzim

kurse merret vlera reciproke e thyesës së dytë.

Në mënyrë algjebrike kemi bërë këto njehsime:

1 1 1 6 6: 3

2 6 2 1 2

Detyra:

1) Shumën e thyesave 21

6 dhe

5

12zvogëloje për thyesën

72

10!

2) Njehsoni: 1 3 2

1 : 32 4 3

Zgjidhje:

1) Shprehja që fitohet është:21 5 7

26 12 10

. Le ta njehsojmë,

21 5 7 21 2 5 1 27 42 5 27 47 27 47 5 27 62

6 12 10 12 10 12 10 12 10 60

235 162 73 131

60 60 60

2) Duke respektuar radhën e veprimeve matematikore kemi :

1 3 2 3 3 11 3 4 11 12 11 12 1 11 2 12 22 341 : 3 :

2 4 3 2 4 3 2 3 3 6 3 6 6 6

Fig. 10 Rregulla e pjesëtimit

Punim Diplome | 27

4 Disa plane mësimore për shpjegimin e thyesave në shkollën

fillore

4.1 Njësia mësimore: Thyesat

ASPEKTET E PËRGJITHSHME TË PLANIT TË ORËS MËSIMORE

Fusha kurrikulare: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla e kurrikulës: II Klasa: IV

Tema (nga plani dymujor): Thyesat

Rezultati i të nxënit të temës (nga plani dymujor): Njohuri për thyesat nga jeta e

përditshme.

Rezultatet e të nxënit për kompetencat kryesore të shkallës (të synuara): II.4; II.7; III.2;

III.4;

Rezultatet e fushës së kurrikulës (të synuara): 1.1; 1.3; 2.1;

ASPEKTET SPECIFIKE TË PLANIT TË ORËS MËSIMORE

Njësia mësimore: Njohuri fillestare për thyesat fq.144

Fjalët kyçe: Thyesa, emërues, numërues, vija thyesore.

Rezultatet e të nxënit për orë mësimore:

1. Përcakton elementet e thyesës.

2. Ngjyros aq pjesë sa tregon thyesa në figurë.

3. Shpreh me thyesë pjesët e ngjyrosura të figurës.

Kriteret e suksesit:

1. Dallo elementet e thyesës.

2. Demostro shembuj të ndryshëm që tregojnë thyesë.

Burimet, mjetet e konkretizimit dhe materialet mësimore: Teksti, fletorja, tabela,

shkumësat me ngjyra, fletët A4 me fotografi të ndryshme.

Lidhja me lëndët tjera mësimore dhe/apo me çështjet ndërlikulare dhe situate jetësore:

Gjuhë shqipe, edukatë figurative dhe njeriu dhe natyra.

Punim Diplome | 28

PËRSHKRIMI I METODOLOGJISË DHE VEPRIMTARITË E PUNËS ME

NXËNËS GJATË ORËS MËSIMORE

Evokim: Stuhi mendimesh 10 min’

Mësuesi/ja në tabelë vendos disa fletë A4 me fotografi të ndryshme, pastaj pyet nxënësit:

1. Çfarë jeni duke parë në këto fotografi?

Nxënësit u përgjigjen: Në fotografi po shohim një mollë dhe portokall, si dhe nga një gjysmë

të tyre. Tani kërkoj nga ju nxënës që të më tregoni se a kemi gjëra në klasë që mund t’i

ndajmë në gjysmë. Nxënësit u përgjigjen: Po. Kemi bankën, tabelën dhe dritaren.

Një nxënës ngriti dorën dhe tha: Mësues/e ne mund të ndajmë edhe librin dhe fletoren.

Punim Diplome | 29

Ndërsa një nxënës tjetër tha: Mësues/e edhe trupin e njeriut

mund ta ndajm në dy pjesë nga lart deri poshtë.Tani më tregoni

se çfarë bëjmë nëse i ndajmë gjërat siç i përmendëm deri tani?

Një nxënës me zë të ulët tha: Po krijojmë thyesa.

E keni dëgjuar ndonjëherë fjalën thyesë?

Disa nxënës thonin po, ndërsa për shumicën e nxënsve ishte

një fjalë e re.

Realizim kuptimi: Mendo/ Analizo/ Zgjidh 25 min’

Mësuesi/ja në tabelë shkruan titullin e njësis mësimore – Njohuri fillestare për thyesat.

Pastaj, në tabelë vizaton një rreth dhe e ndan në tetë pjesë të barabarta.

Pasi që mësuesi/ja vizaton rrethin në tabelë, atëherë kërkon nga nxënësit që të numërojnë se

në sa pjesë është ndarë rrethi. Pra, së pari e bëjmë një vijë të drejtë të cilën e quajmë vijë

thyesore − , poshtë saj e shkruajmë numrin se në sa pjesë është i ndarë rrethi, ndërsa lart e

shkruajmë numrin se sa pjesë të atij rrethi ne dëshirojmë t’i marrim.

Numrin lart thyesës e quajmë numëruesi, ndërsa numri poshtë thyesës e quajmë emëruesi.

𝟑

𝟖

Pra për të pasur një thyesë, e tëra duhet të ndahet në pjesë të barabarta. Çdo pjesë ndarëse

është një njësi thyesore.

Në librin e matematikës fq. 144 tek kjo njësi mësimore punojmë detyrën numër 2, e cila

kërkon që të ngjyrosen pjesët që tregojnë thyesa.

Emëruesi tregon

në sa pjesë të

barabarta është

ndarë tërësia.

Numëruesi tregon

sa pjesë të barabarta

janë marr nga tërësia.

Punim Diplome | 30

Figurat që janë paraqitur dhe thyesat poshtë tyre tregojnë se duhet t’i ngjyrosim pjesët që

janë marrë nga ajo figurë gjeometrike, pra numri lart thyesës tregon sa pjesë janë marrë nga

ajo figurë, në këtë rast kemi të bëjmë me rrethin dhe katrorin. Gjatë punës mësuesi/ ja

vazhdimisht përcjell punën e nxënësve dhe në rast nevoje edhe u jep ndihmë nxënësve që

kanë problem në zgjidhjen e detyrave.

Nga gjithë kjo që ne punuam sot kuptuam se thyesat janë të njëjta me vetinë e shumëzimit.

Reflektim: Zgjidhje detyrash 10 min’

Në tekst do të punojmë në zgjidhjen e detyrës numër 3, e cila kërkon që figurat e

ngjyrosura t’i shprehim me thyesa.

Detyrë shtëpie: Në librin e matematikës në fletore pune në fq. 100 duhet të zgjidhni

detyrat 1, 2, 3, 4 dhe 5.

Punim Diplome | 31

4.2 Njësia mësimore: Formimi i thyesave të barabarta



Tema (nga plani dymujor): Formimi i thyesave të barabarta

Rezultati i të nxënit të temës (nga plani dymujor): Formon thyesa te barabarta

Rezultatet e të nxënit për kompetencat kryesore të shkallës (të synuara): II.4; II.7;

III.4; III.8

Rezultatet e fushës së kurrikulës (të synuara): 1.4; 2.1; 3.1


Njësia mësimore: Si formohen thyesat e barabarta fq. 148.

Fjalët kyçe: Thyesa, emërues, numërues, thyesa të barabarta.


1. Dallo thyesat e barabarta.

2. Njehso thyesat e dhëna.

3. Plotëso vargun me thyesa të barabarta.

4. Duke njehsuar plotësoni thyesat me anë të shumëzimit dhe pjesëtimit.


1. Demostro shembuj me thyesa të barabarta.

2. Formo një varg me thyesa të barabarta.

3. Thyesat e dhëna shprehi në thyesa të barabarta.


shkumësat me ngjyra dhe katrorë të vegjël.

Lidhja me lëndët tjera mësimore dhe/apo me çështjet ndërkurrikulare dhe situatë

jetësore: Edukatë figurative.

Punim Diplome | 32



Evokim: Demostrim 10 min’

Në fillim të orës bëjmë kontrollimin e detyrave të shtëpisë dhe pastaj mësuesi/ja zhvillon

këtë veprimtari: Secili nxënës pajiset me një katror letre. Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit që

të bëjnë palosjen përgjysmë të katrorit të tyre dhe të tregojnë pjesën 1

2 .

Pastaj, mësuesi/ja pyet nxënësit: “Nga e dini ju që katrori është palosur saktësisht në dy pjesë

të barabarta? Nxënësit i krahasojnë të dy anët e katrorit që janë të palosura njësoj.

Mësuesi/ja demostron para nxënësve se palosja në dy pjesë e atij katrori mund të bëhet në

mënyra të ndryshme (sipas diagonales, horizontalisht, vertikalisht ). Kemi raste të ndryshme

nga jeta e përditshme si p.sh ndarja e pemëve në dy pjesë të barabarta që e mësuar edhe me

herët. Kemi raste të ndryshme që mund ta praktikojmë edhe në klasën tonë si p.sh e marrim

një vizore plastike 20 cm dhe mund ta ndajmë në dy pjesë të barabarta.

Nga kjo kuptuam se kemi shumë gjëra apo gjësende që mund t’i ndajmë në pjesë të barabarta

dhe mësimi apo njësia e re mësimore për sot është: Si formohen thyesat e barabarta?

Realizim kuptimi: Punë individuale 25 min’

Mësuesi/ja shkruan titullin në tabelë dhe kërkon nga nxënësit që të hapin tekstin e

matematikës faqe 148. Në detyrën e parë janë paraqitur dy mënyra se si mund të fitojmë një

thyesë të barabartë.

Për të fituar një thyesë të barabartë me thyesën e dhënë, pjestojmë si numëruesin edhe

emëruesin me të njejtin numër të ndryshëm nga zero.

Nxënësit punojnë në mënyrë individuale të pavarur në plotësimin e librit, sipas kërkesave në

detyrat e dhëna. Gjatë punës mësuesi/ ja vazhdimisht përcjell punën e nxënësve dhe në rast

nevojë edhe u jep ndihmë nxënësve që kanë problem në zgjidhjen e detyrave.

Punim Diplome | 33

Detyra 2: Në këtë detyrë nxënësit me anë të veprimit të shumëzimit duhet të gjejnë thyesat

e barabarta:

Detyra 3: Në këtë detyrë kërkohet nga nxënësit që të plotësojnë vargun me thyesa që janë

të barabarta me thyesën në fillim të atij vargu:

Në shembullin e parë: a) Thyesën 1

2 e shumëzojmë me numrin 2, si numëruesin ashtu edhe

emëruesin e saj. Pastaj, njëjtë veprojmë edhe me thyesat e tjera në varg me radhë duke

shumëzuar prapë me numrin 2.

Në shembullin e dytë: b) Thyesën 1

3 e shumëzojmë me numrin 2, si numëruesin ashtu edhe

emëruesin e saj. Pastaj, njëjtë veprojmë edhe me thyesat e tjera të fituara me radhë në varg,

duke shumëzuar prapë me numrin 2.

Reflektim: Mendo/ shkruaj/ argumento 10 min’

Në këtë pjesë nxënësit do të punojnë në teks detyrën e 4-të.

Detyra 4: Në këtë detyrë kërkohet nga nxënënsit që duke njehsuar të plotësojnë thyesat e

dhëna: Në rreshtin e parë kemi të bëjmë me zgjerimin e thyesës, pra për të parë se kemi

thyesa më të mëdha që janë të barabarta me atë thyesë të dhënë. Ndërsa në rreshtin e dytë

kemi të bëjmë me thjeshtimin e thyesave të dhëna, pra për të pare se kemi thyesa më të vogla

se ajo thyesë e dhënë e që është e barabarta me atë thyesë.

Punim Diplome | 34

Detyrë shtëpie: Në fletorn e matematikës, në shtëpi, krijoni disa vargje që tregojnë thyesa

të barabarta si në detyrën numër 3 që e punuam në klsaë.

Punim Diplome | 35

4.3 Njësia mësimore: Krahasimi i dy a më shumë thyesa




Rezultati i të nxënit të temës (nga plani dymujor): Krahaso dy a më shumë thyesa

Rezultatet e të nxënit për kompetencat kryesore të shkallës (të synuara): II. 4,7 III. 4

Rezultatet e fushës së kurrikulës (të synuara): 1,5; 2,1; 2,4; 3,1; 3,4; 3,7; 4,3; 7,1.


Njësia mësimore: Krahasimi i thyesave fq. 152

Fjalët kyçe: Thyesa, emërues, numërues, krahasimi


4. Nxirr rregullat për krahasim të thyesave.

5. Krahaso dy thyesa sipas rregullave të nxjerra.

6. Përcakto numëruesin dhe emëruesin e thyesës.


1. Respekto rregullën për krahasim të thyesave me numërues të njëjtë.

2. Krahaso dy thyesa të dhëna me anë të boshtit numerik.

3. Krahaso thyesat me emërues të njëjtë.


shkumësat me ngjyra, fletët me figura lidhur me njësin mësimore.

Lidhja me lëndët tjera mësimore dhe/apo me çështjet ndërkurrikulare dhe situatë

jetësore: Edukatë figurative.

Punim Diplome | 36



Evokim: Brainstorming (stuhi mendimesh) 10 min’


këtë veprimtari:

Mësuesi/ja ka përgatitur disa fletë A4 me vizatime të ndryshme lidhur me thyesat.

Në fletën e parë mësuesi/ja ka paraqitur një thyesë:

Mësuesi/ja u drejtohet nxënësve me disa pyetje:

1. Çka paraqet një thyesë?

2. Cilat janë elementet e thyesës?

Nxënësit përgjigjen:

1. Thyesat janë rezultat i pjesëtimit të dy

numrave të plotë.

2. Elementet e thyesës janë numëruesi dhe

emëruesi.

Realizim kuptimi: Ditari dypjesësh 25 min’

Mësuesi/ja në bankat e secilit nxënës vendos fletë A4 në mënyrë që nxënësit ta kenë më të

qartë ecurin e punës.

Në tabelë mësuesi/ja vizaton të njëjtën figurë si në fletët që nxënësit kanë në bankat e tyre.

Mësuesi/ja pyet nxënësit:

1. Çfarë kanë të njejtë këto dy thyesa?

2. Ku dallojnë ato?

3. Ku kemi më shumë të ngjyrosura?

Nga gjithë kjo nxjerrim rregullat:

Nga dy thyesa me numërues të njëjtë më

i madh është ai që e ka emëruesin më të

vogël.

Punim Diplome | 37

Nga dy thyesa me emërues të njëjtë më

i madh është ai që e ka numëruesin më

të madh.

Pastaj, mësuesi/ja udhëzon nxënësit që ta hapin tekstin e matematikës në faqe 152 dhe

sqarohet se çka kanë për të punuar. Nxënësit punojnë në mënyrë individuale të pavarur në

plotësimin e librit, sipas kërkesave në detyrat e dhëna. Gjatë punës mësuesi/ ja vazhdimisht

përcjell punën e nxënësve dhe në rast nevojë edhe u jep ndihmë nxënësve që kanë problem

në zgjidhjen e detyrave.

Nxënësi i pavarur, ngjyros dhe më pas i krahason thyesat tek detyra 2, ndërsa tek detyra 3

nxënësit ngjyrosin pjesët e rrathëve dhe krahasojnë thyesat.

Reflektim: Mendo (krahaso) 10 min’

Detyra 4: Vrojtoni paraqitjen e thyesave në boshtin numerik dhe krahasoni thyesat.

Detyra 5: Plotësoni katrorët me numra që të fitoni jobarazi të sakta.

Detyrë shtëpie: Në librin e matematikës, fletore pune, faqe 102 plotësoni detyrat 1,2,3 dhe

4.

Punim Diplome | 38

4.4 Njësia mësimore: Zbatimi i thyesave në detyrat e mësuara nga jeta e

përditshme.




Rezultati i të nxënit të temës (nga plani dymujor): Zbatimi i thyesave në detyrat e mësuara

nga jeta e përditshme.

Rezultatet e të nxënit për kompetencat kryesore të shkallës (të synuara): II. 4,7 III.

2,4,5

Rezultatet e fushës së kurrikulës (të synuara): 1,1; 1,2; 2,2; 3,2; 3,3; 4,3; 7,1.


Njësia mësimore: Detyra të ndryshme lidhur me thyesa fq. 153.

Fjalët kyçe: Thyesë, emërues, numërues, krahasim, një pjesë e një numri.


7. Njyros figurën sipas thyesave të dhëna.

8. Shprehim me thyesa pjesët e ngjyrosura.

9. Paraqet thyesat që u përgjigjen pikave përkatëse në boshtin numerik.

10. Krahason thyesat e dhëna.

11. Paraqet thyesën e numrit kur është e dhënë shprehja.


1. Thyesat e dhëna shprehi në figura.

2. Figurat e dhëna shprehi në thyesa.

3. Thyesat paraqiti në boshtin numerik.

4. Krahaso thyesat e dhëna.

5. Shprehjet e dhëna shëndrroni në thyesa dhe numër.

Burimet, mjetet e konkretizimit dhe materialet mësimore: Teksti, ngjyrat, lapsi, tabela.

Lidhja me lëndët tjera mësimore dhe/apo me çështjet ndërlikulare dhe situate jetësore:

Edukatë figurative, njeriu dhe natyra.

Punim Diplome | 39



Evokim: Mendo/ ngjyros/ shkruaj 10 min’


këtë veprimtari: Mësuesi/ja kërkon nga nxënësit të hapin tekstin në faqe 153 dhe të pavarur

të plotësoni kërkesat e detyrëss 1 dhe 2.

Detyra 1: Në këtë detyrë nxënësit duhet të ngjyrosin figurën në bazë të thyesave që janë

paraqitur.

Detyra 2: Në këtë detyrë nxënësit duhet të shprehin me thyesa pjesët e ngjyrosura të figurës.

Realizim kuptimi: Punë individuale 25 min’

Mësuesi/ja këtë pjesë e fillon duke vizatuar një bosht numerik në tabelë të njejtë si në tekst.

Punim Diplome | 40

Kërkon nga nxënësit me radhë të dalin në tabelë, që t’i plotësojnë fushat e zbrazëta në boshtin

numerik. Pastaj, nxënësit duhet ta plotësojnë detyrën e 3-të në tekst. Ndërsa në detyrën e 4-

t, kërkohet që nxënësit në mënyrë të pavarur t’i krahasojnë thyesat e dhëna:

Reflektim: Mendo/ shkruaj/ argumento 10 min’

Në këtë pjesë nxënësit do të punojnë në teks detyrën e 5-të. Detyra e 5-të është detyrë logjike,

ku në bazë të shprehjes numerike të dhënë, nxënësi duhet të tregojë (shkruajë) cilën pjesë të

cilit numër e paraqet shprehja e dhënë:

- Nxënësi argumenton zgjidhjen e detyrës.

- Puna dhe saktësia e tyre vlerësohet.

Detyrë shtëpie: Nxënësit në fletoret e tyre të krijojnë shprehje të ndryshme si në detyrën e

5-të që e punuam në tekst faqe 153.

Punim Diplome | 41

5 Përfundimi

Në këtë punim jam munduar t’i shtjelloj numrat thyesorë edhe pse ndoshta në mënyrë jo

edhe të zgjeruar, duke marrë parasysh materialet voluminoze dhe të shumta që kanë qenë në

dispozicion. Kjo sepse siç është përmendur edhe gjatë rrjedhës së këtij punimi këto lloj

numra gjenden pothuajse kudo.

Fillimisht i është dhënë hapësirë kategorizimit të bashkësive numerike dhe për secilën prej

tyre është përcaktuar karakteristika e tyre dalluese. Më pas i është dhënë kuptim thyesës,

janë treguar llojet e thyesave, rregullat e krahasimit të tyre, kthimi i thyesave në emërues të

njëjtë, si dhe janë elaboruar veprimet matematikore me thyesa, si: mbledhja, zbritja,

shumëzimi dhe pjesëtimi. Të gjitha këto janë shtjelluar në mënyrë të detajuar duke

shfrytëzuar përkufizime, shembuj e detyra të llojllojshme, figura e tabela shumëngjyrshe me

të vetmin qëllim që leximi dhe kuptimi i këtij punimi aq me vlerë të jetë i kuptueshëm dhe

domethënës për lexuesin. Gjithcka që është përdorur është bërë në mënyrë unike deri në

imtësi, ashtu edhe siç duhen trajtuar këto lloj punimesh e sidomos në profilin matematikor.

Nëse marrim në përgjithësi, përkundër përpjekjeve të bëra, asnjëherë nuk do të mund të

shtrojmë problemet matematikore aq thjesht sa mendojmë, ngase brenda tyre ka ende

hapësira që lënë vend për hulumtime. Përkundër tentativave që e gjithë lëmia e matematikës

të thjeshtohet në mënyrë që “absorbimi” i saj të jetë më i lehtë e sa më praktik, kemi ende

punë të madhe për të bërë. Kjo ngase matematika ka një gjuhë, që të shumtë janë ata që e

cilësojnë vështirë për ta kuptuar. E si të mësohet kjo gjuhë? , pyetje mjaft e shpeshtë.

Sipas një matematikani të njohur:

“ E vetmja mënyrë që ta mësosh matematikën është të bësh matematikë” – Paul Halmos.

Punim Diplome | 42

6 Literatura

Qamil Haxhibeqiri; Melinda Mula; Ramadan Limani “Matematika dhe mësimdhënia

e matematikës”, Prishtinë, 2012.

Ramadan Zejnullahu; Regjep Gjergji; Eda Vula; Sejdi Bilalli, “Matematika 6”,

Prishtinë, 2009.

Lulia Gugoiu; Teodoru Gugoiu, “The book of fractions”, Kanadë, 2006.

https://sq.wikipedia.org/wiki/Thyesa

http://www.akademiaedijes.net/mesimet/matematike/aritmetike/thyesat

https://www.mathsisfun.com/fractions.html

http://www.aaamath.com/fra.html

https://sq.wikipedia.org/wiki/Thyesa

http://www.akademiaedijes.net/mesimet/matematike/aritmetike/thyesat

https://www.mathsisfun.com/fractions.html

http://www.aaamath.com/fra.html

Documents

PUNIM DIPLOME - edukimi.uni-gjk.org Binakaj.pdf · Punim |Diplome 4 Falënderime Fjalët janë të pakta për t’i shprehur mirënjohjet dhe falënderimet fillimisht familjes, e