UNIVERSITETI I GJAKOVËS “FEHMI AGANI”

FAKULTETI I EDUKIMIT

PROGRAMI PARASHKOLLOR

PUNIM DIPLOME

ZHVILLIMI DHE FORMIMI I NJOHURIVE FILLESTARE TEK

FËMIJËT E MOSHËS PARASHKOLLORE MBI BASHKËSITË

Mentori: Kandidatja:

Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha Genita Bunjaku

Gjakovë, 2017

Punim diplome

2

Ky punim diplome u mbrojt me datë _____________ para Komisionit vlerësues në përbërje:

1. ___________________ Kryetar

2. ___________________ Anëtar

3. ___________________ Anëtar

Komisioni vlerësues e vlerësoi punimin me notën __.

Nënshkrimet e anëtarëve të Komisionit vlerësues:

1. ___________________ Kryetar

2. ___________________ Anëtar

3. ___________________ Anëtar

Ky punim është realizuar në Fakultetin e edukimit, me qëllim të arritjes së titullit:

Bachelor i Edukimit-Programi parashkollor.

Punim diplome

3

MIRËNJOHJE

Rruga drejt përfundimit të fakultetit të edukimit ishte mjaft e gjatë dhe sfiduese. Në këtë

rrugë tatëpjetat nuk kalohen dot pa ndihmën, përkrahjen, mbështetjen dhe shtytjen e personave

të tjerë, të cilët, jam me fat që i kam.

Në këtë drejtim, dëshiroj të shpreh falënderimet e mia për profesorin tim udhëheqës,

profesorin e nderuar, Prof. Ass. Dr. Ilmi Hoxha, i cili me këshillat e tij profesionale e të vlefshme

bëri që ky punim të marrë këtë formë.

Një falenderim tjetër shkon për koleget, të cilat më përkrahën dhe më këshilluan, si dhe

për të gjithë profesoreshat dhe profesorët tjerë për këshillat dhe përvojat e tyre që i ndanë me ne,

të cilat do të jenë shembuj me vlerë në formimin tim si një edukatore shembull për brezat e rinj.

Falëndërimi për të cilin është e vështirë të gjej fjalët më me peshë, fjalët që shprehin

mirënjohjen time të pafund për përkrahjen, motivimin, mbështetjen e pakushtëzuar dhe ndihmën

sistematike, i dedikohet familjes time.

Pa të gjithë ju, çdo gjë do të ishte shumë më e vështirë.

Ju faleminderit!

Punim diplome

4

“Makina mund t’i zgjidhë të gjitha

problemet që i shtrohen, por ajo nuk mund të

formulojë, të mendojë asnjë. Këtë mund ta

bëjë vetëm Matematika.

Matematika është baza e çdo shkence”.

ALBERT EINSTEIN (1875-1954)

Punim diplome

5

ABSTRAKT

Të mësuarit e Matematikës në klasën parashkollore, siguron bazën për zotërimin

eshprehive dhe shkathtësive matematikore, si dhe i përgatitë fëmijët për të qenë të suksesshëm

në vitet e mëtejme të shkollimit. Fëmijët e kësaj moshe vijnë nga mjedise tëndryshme familjare

dhe me zhvillime jo të njëjtë, andaj është e rëndësishme që edhe programi i Matematikës të

sigurojënjë llojllojshmëri mundësish të të nxënit përmes materialeve të përshtatshme mësimore,

metodologjive adekuate të mësimdhënies dhe angazhimin e përhershëm për zhvillimin e aftësive

të fëmijëve.

Qëllimi kryesor i këtij studimi ështëtë hulumtojë mënyrën se si zhvillohen dheformohen

njohuritë e para nga fëmijët e moshës parashkollore, veçanërisht mbi bashkësitë, çfarëduhet të

bëjë edukatorja që të nxisë interesin e femijëve për të mësuar konceptin„bashkësi‟,metodat dhe

teknikat që duhet përdorur, si dhe aktivitetet e lojërat që duhet zhvilluar ashtu që fëmija ta

përvetësojësa më mirëkëtë koncept.

Një rol dhe rëndësi të veçantë tek fëmijët parashkollorë luan edhe loja si faktor esencial

për zhvillim tëgjithmbarshëm. Lojërat matematikore të organizuara dhe të udhëhequranëpërmjet

formave të punës grupore apo individuale zgjojnë interesim dhe kërshëri tëveçantë te të gjithë

fëmijët, pa përjashtim. Përmes tyre, reduktohen abstraksioni dhe monotonia, ndërsa përvetësohen

dituri, aftësi dhe shprehi të caktuara, të cilat ka mundësitë zbatohen drejtpërdrejt në jetën e

përditshme të fëmijës.

Fjalët kyçe: matematikë, koncept, bashkësi, lojëra matematikore

Punim diplome

6

PËRMBAJTJA

HYRJE ............................................................................................................................................................. 7

1. Bashkësitë ................................................................................................................................................. 8

1.1 Kuptimi i bashkësisë ...................................................................................................................... 8

1.1.1 Mënyrat e dhënies së bashkësive ......................................................................................... 9

1.1.2 Nënbashkësia ...................................................................................................................... 12

1.1.3 Bashkësia partitive .............................................................................................................. 13

1.2 Veprimet me bashkësi ................................................................................................................ 14

1.2.1 Unioni i bashkësive ............................................................................................................. 14

1.2.2 Prerja e bashkësive ............................................................................................................. 14

1.2.3 Diferenca e bashkësive ....................................................................................................... 15

1.2.4 Diferenca simetrike ............................................................................................................. 16

1.2.5 Komplementi ....................................................................................................................... 17

1.3 Vetitë e veprimeve me bashkësi ................................................................................................. 18

1.4 Çifti i renditur. Prodhimi kartezian ............................................................................................. 18

1.4.1 Prodhimi kartezian .............................................................................................................. 19

1.5 Bashkësitë numerike ................................................................................................................... 20

2. Zhvillimi dhe formimi i konceptit bashkësi ......................................................................................... 22

2.1Paraqitja grafike e bashkësive........................................................................................................... 24

2.2Metodat mësimore në procesin e formimit të konceptit bashkësi ................................................... 25

2.2.1. Metodat verbale-tekstuale ................................................................................................. 25

2.2.2. Metodat ilustruese-demostruese ....................................................................................... 26

3. Aktivitetet matematike-logjike dhe lojërat në funksion të formimit të konceptit bashkësi .............. 28

3.2. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë ................................................................. 28

3.3. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë ................................................................. 32

3.4. Loja në funksion të zhvillimit të njohurive mbi bashkësitë ......................................................... 35

SHTOJCA ...................................................................................................................................................... 40

Literatura .................................................................................................................................................... 48

Punim diplome

7

HYRJE

Kuptimi i bashkësisë është kuptim themelor në matematikë në mbështetje të të cilit

ndërtohet pothuajse e tërë matematika bashkëkohore. Që në hapat e parë të njohjes me koncepte

matematikore fëmija vihet para një zgjedhjeje: ta njohë botën përmes numrave apo përmes

gjërave që janë të njohura për të. Përvoja tregon se kuptimi i bashkësisë është më i afërt për

fëmijën e moshës së hershme sesa kuptimi i numrit dhe i veprimit me numra. Kështu, bashkësia e

librave nuk është tjetër vetëm se një grumbull objektesh që ndodhen në çantën shkollore të secilit

nxënës, bashkë me grumbuj të tjerë si: bashkësia e fletoreve, bashkësia e ngjyrave të drurit,

bashkësia e lapsave etj. Kjo afërsi e kuptimit me situatën në të cilën ndodhet nxënësi bën të

mundur që pika nismëtare për ta njohur matematikën të jetë pikërisht kuptimi i bashkësisë.

Dallimi i vetive të përbashkëta të objekteve që do të quhen elemente të një bashkësie, nuk

është gjë tjetër vetëm se shfrytëzim i përvojës që ka akumular fëmija në vitet e para të rritës së

tij. Kjo bën të mundur të ndërlidhen në mes vete objektete që duam t‟i bëjmë bashkë për çfarëdo

arsye, si dhe ato që u takojnë bashkësive të ndryshme, por kanë veti të përbashkëta. Kështu,

veprimet me bashkësi i paraprijnë veprimeve me numra, sa do që fëmija mund t‟i bëj ato në

mënyrë të pavetëdijshme.

Ky punim diplome përmbanë tre kapituj kryesorë, disa nënkapituj dhe shembuj të

bollshëm për të dhënë sqarimet e nevojshme lidhur me bashkësitë dhe veprimet me to, metodat

dhe teknikat e përdorura, si dhe aktivitetet dhe lojërat adekuate matematiko-logjike që zhvillojnë

dhe formojnë tek fëmijët konceptin bashkësi.

Faza e parë e këtij studimi përfshinë fazën e hulumtimit, e cila është realizuar përmes

shqyrtimit dhe evidentimit të literaturës përkatëse.

Faza e dytë përfshinë mbledhjen e informacioneve të domosdoshme dhe relevante në

arritjen e objektivave të këtij studimi. Në këtë fazë është mbledhur literaturë në bibliotekën

universitare, burime të ndryshme nga interneti, si dhe janë bërë konsultime me edukatore

kopshtesh që punojnë me grupmoshat e fëmijëve 3-4 dhe 5-6 vjeç.

Literatura e përdorur përfshinë libra, dokumente zyrtare, udhëzues praktik për edukatore

kopshtesh, material nga interneti dhe aktivitete të ndryshme matematiko-logjike të realizuara me

fëmijët parashkollorë gjatë praktikës pedagogjike të realizuar gjatë këtyre viteve të studimeve.

Faza e fundit është konkretizimi i punës hulumtuese deri në realizimin e këtij punimi, të

cilin po e mbani sot në duart tuaja.

Punim diplome

8

1. Bashkësitë

1.1 Kuptimi i bashkësisë

Bashkësia konsiderohet si kuptim themelor në matematikë, andaj nuk përkufizohet, por

sqarohet me anë të shembujve. Kështu, mund të shqyrtohet:

a). Bashkësia e zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe;

b).Bashkësia e numrave natyrorë më të mëdhenj se 4 e më të vegjël se 10;

c). Bashkësia e shkronjave të fjalës “abetarja”;

ç). Bashkësia e ditëve të javës;

d). Bashkësia e muajve të vitit;

Objektet që e formojnë bashkësinë i quajmë elemente të asaj bashkësie. Bashkësitë i

shënojmë me shkronja të mëdha të alfabetit (A, B, C, D,...), kurse elementet e tyre me shkronja

të vogla të alfabetit (a, b, c,…). Në qoftë se objekti a i takon bashkësisë A, shkruajmë a ∈ A dhe

e lexojmë:

“a është element i bashkësisë A” ose “a i takon bashkësisë A”.

Faktin që objekti a nuk i takon bashkësisë A e shënojmë a ∉ A dhe e lexojmë: “a nuk

është element i A-së” ose “a nuk i takon A-së”.

Figura 1: Definicioni origjinal i një bashkësie nga George Cantor

Shembulli 1: Nëse me A, B, C, Ç, D i shënojmë, përkatësisht, bashkësitë nga shembulli i

mësipërm a),b),c), ç) dhe d),atëherë:

a). Elementet e bashkësisë A janë shkronjat a, e, ë, i, o, u, y, kështu që mund të shënojmë

a ∈ A, e ∈ A, ë ∈ A, i ∈ A, o ∈ A, u ∈ A, y ∈ A; por b ∉ A, d ∉A, f ∉ A.

Punim diplome

9

b). Elementet e bashkësisë B janë numrat: 5, 6, 7, 8, 9, kështu që:

5 ∈ B, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ B, 9 ∈B; por 1∉ B, 3∉ B, 11∉ B, 15∉ B.

c). Elementet e bashkësisë C janë shkronjat: a, b, e, t, a, r, j, a. Prandaj,

a ∈ C, b ∈ C, e ∈ C, t ∈ C, r ∈ C, j ∈ C; por u ∉ C, z ∉ C, p ∉ C.

ç). Elementet e bashkësisë Ç janë: e hënë, e martë , e mërkurë, e enjte, e premte, e shtunë, e

dielë, d.m.th.

e hënë ∈ Ç, e martë ∈ Ç, e merkurë ∈ Ç, e enjte ∈ Ç, e premte ∈ Ç, e shtunë ∈ Ç, e dielë

∈ Ç; por janari ∉ Ç, maji ∉ Ç, korriku ∉ Ç.

d). Elementet e bashkësisë D janë: janari, shkurti, marsi, prilli, maji, qershori, korriku, gushti,

shtatori, tetori, nëntori, dhjetori. Kështu,

janari ∈ D, shkurti ∈ D, marsi ∈ D, prilli ∈ D, maji ∈ D, qershori ∈ D, korriku ∈ D, gushti ∈

D, shtatori ∈ D, tetori ∈ D, nëntori ∈ D, dhjetori ∈ D; por, e martë ∉ D, e enjte ∉ D, e

dielë∉ D.

1.1.1 Mënyrat e dhënies së bashkësive

1. Dhënia e bashkësisë me anë të emërtimit – bëhet duke shënuar (emërtuar) elementet e

saj brenda kllapave gjarpërore { } dhe duke i ndarë ato me presje.

Shembulli 2: Bashkësitë nga shembulli 1 shënohen kështu :

a). A = {a, e, ë, i, o, u, y };

b). B = {5, 6, 7, 8, 9};

c). C = {a, b, e, t, r, j};

ç). Ç = {e hënë, e martë, e mërkurë, e enjte, e premte, e shtunë, e diel};

d). D = {janari, shkurti, marsi, prilli, maji, qershori, korriku, gushti, shtatori, tetori, nëntori,

dhjetori}.

Kjo mënyrë e shënimit (dhënies) së bashkësive është e përshtatshme në rastin kur

bashkësia nuk ka numër të madh elementesh. Nëse dëshirojmë t'i shënojmë elementet e një

bashkësie të pafundme në mënyrë eksplicite (të dukshme), atëherë, pas shënimit të disa

elementeve të saj vendosim tri pika të cilat tregojnë se procesi i shënimit të elementeve të asaj

bashkësie (sipas një ligji (rregulle) ) vazhdon në pafundësi. Kështu p.sh. me:

{1, 2, 3, 4, …}, {1, 3, 5, 7, …}, {2, 4, 6, …}, {3, 6, 9, 12, …}

Punim diplome

10

shënohet, përkatësisht, bashkësia e të gjithë numrave natyrorë, bashkësia e të gjithë numrave tek,

bashkësia e të gjithë numrave çift dhe bashkësia e të gjithë shumëfishave të numrit 3.

Po ashtu, vërejmë që në shënimin e bashkësisë C të shkronjave të fjalës “abetarja”

shkronja a është shënuar vetëm një herë (e jo tri herë sa paraqitet në fjalën “abetarja”). Pra, në

shënimin e bashkësisë një element shënohet vetëm një herë (d.m.th. nuk bëhet përsëritja e

elementeve). Po ashtu, në shënimin e bashkësisë radhitja apo vendndodhja e

elementeve nuk ka rëndësi. Kështu, p.sh.

{a, b, e, t, r, j}, {a, b, e, t, a, r, j, a}, {b, e, r, a, j, t}, {t, e, a, r, j, b, a, e, r}

paraqesin të njëjtën bashkësi–bashkësinë C të të gjitha shkronjave të fjalës abetarja. Me

marrëveshje, bashkësinë e tillë do ta shënojmë C = {a, b, e, j, r, t} duke mos përsëritur shënimin

e elementeve të njëjtë dhe duke ruajtur radhitjen alfabetike të shkronjave.

2. Dhënia e bashkësive me anë të përshkrimit- bëhet duke shënuar brenda kllapave

gjarpërore një shkronjë (që shënon elementet e bashkësisë) pas të cilës vendosen dy pika

vertikale ose një vijë vertikale dhe pastaj përshkruhet vetia e përbashkët V e elementeve

të asaj bashkësie.

Shënimi i tillë ka këtë formë:

{x : V(x)} ose {x | V(x)}.

“:” ose “|” lexohet “të tillë që” kurse V(x) lexohet “(elementi) x e ka vetinë V ”, ndërkaq {x :

V(x)} ose {x | V(x)} lexohet “bashkësia e elementeve x (të tillë) që e kanë vetinë V ”. Në vend

të shkronjave x dhe V mund të shënohen çfarëdo shkronjash tjera.

Shembulli 3: Bashkësitë A, B, C, Ç, D nga shembujt e mëparshëm mund të shënohen kështu:

a). A = {x : x është zanore e alfabetit tonë};

a) B ={a : a ∈ N dhe 4 < a < 10} ose B = {a ∈ N : 4 < a < 10} (N është bashkësia e numrave

natyrorë).

b) C = {x | x është shkronjë e fjalës “abetarja”};

ç) Ç = {y : y është ditë e javës};

d) D = {x | x është muaj i vitit}

3. Dhënia e bashkësisë me anë të diagramit të Venit – bëhet duke shënuar elementet e

saj brenda një vije të mbyllur në rrafsh (p.sh. elipsi, rrethi, drejtkëndëshi, trekëndëshi, etj).

Shembulli 4: Bashkësitë A, B, C, Ç dhe D nga shembujt paraprak të paraqitura me diagramin e

Venit duken kështu:

Punim diplome

11

A B C D

Bashkësia e cila nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët ose bashkësi boshe dhe

shënohet me ∅.

Shembulli 5:

a). Bashkësia A e të gjithë njerëzve të gjallë të lindur në vitin 1840 është e zbrazët, d.m.th A = ∅,

sepse asnjë njeri i lindur më 1840 nuk është i gjallë.

b). Bashkësia B e të gjitha qyteteve të Kosovës me më shumë se 1 000 000 banorë është e

zbrazët sepse asnjë qytet i Kosovës nuk i ka më shumë se 1 000 000 banorë; pra B = ∅.

c). Bashkësia C e muajve të vitit që kanë 25 ditë është bashkësi e zbrazët, C =∅, sepse asnjë

muaj nuk i ka 25 ditë.

ç) Bashkësia Ç e njerëzve që jetojnë në Hënë është e zbrazët; Ç = ∅.

Me n(A) do të shënojmë numrin e elementeve të bashkësisë A. Është e qartë që

n(∅) = 0.

A quhet bashkësi e fundme nëse A = ∅ (d.m.th. nëse n(A) = 0) ose nëse ekziston numri

natyror n i tillë që n(A) = n; në të kundërtën, nëse nuk ekziston asnjë numër natyror i tillë që

n(A) = n, A quhet bashkësi e pafundme. Me fjalë të tjera, A është bashkësi e fundme (e

pafundme) nëse përmban (nuk përmban) numër të fundëm elementesh.

Shembulli 6:

Bashkësitë A = {a, b, c, d}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} janë të fundme, sepse n(A) = 4 dhe

n(B) = 6.

Bashkësia C e numrave më të mëdhej se 7 dhe më të vegjël se 3 është e zbrazët (C = ∅)

dhe, si e tillë, është e fundme.

Ndërkaq, bashkësia N e të gjithë numrave natyrorë, bashkësia Z e të gjithë numrave të plotë,

bashkësia T e të gjithë numrave tek janë të pafundme, sepse nuk ekziston asnjë numër natyrorn i

tillë që n(N) = n, n(Z) = n, n(T) = n.

a

e

ë

i

o

u

y

Y

5

6

7

8

9

a

b

e

t

r

j

e hënë

e marte

e merkure

e enjte

e premte

e shtunë e dielë

Punim diplome

12

1.1.2 Nënbashkësia

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Bashkësia A është nënbashkësi e

bashkësisë B, atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo element i bashkësisë A është njëkohësisht edhe

element i bashkësisë B, simbolikisht e shënojmë:

A B { ∈ ∈ }.

Figura 2: Nënbashkësia

Shembulli 7:

a). Nëse A = {Agimi, Hana, Zana, Besniku} është bashkësia e fëmijëve të një çifti

bashkëshortor, atëherë bashkësia V = {Hana, Zana} e vajzave dhe bashkësia D =

{Agimi,Besniku} e djemve të atij çifti bashkëshortor janë nënbashkësi të bashkësisë A, d.m.th.

V Adhe D A.

b). Nëse A = {a, b, c} dhe B = {a, b, c, d, e}, atëherë A B sepse çdo element i bashkësisë A

është element edhe i bashkësisë B. Por, B nuk është nënbashësi e bashkësisë A sepse p.sh.

ekziston d ∈ B i tillë që d ∉ A (ose, ekziston e ∈ B dhe e ∉ A).

Në qoftë se A është nënbashkësi e B dhe B është nënbashkësi e A, atëherë themi se

bashkësitë A dhe B janëtë barabarta. Simbolikisht shënojmë:

( A ) A=B

Nëse A B dhe A B atëherë themi se A është nënbashkësi e vërtetë (e mirëfilltë) e

bashkësisë B dhe simbolikisht e shënojm A .

Bashkësia boshe është nënbashkësi e çdo bashkësie dhe çdo bashkësi është nënbashkësi e

vetvetes.

Punim diplome

13

Shembulli 8:

a). Në qoftë se A = {a, b, c, d, e} dhe B = {c, e, d, a, b} atëherë A = B, sepse çdo element i A

është element i B (d.m.th. A B ) dhe çdo element i B është element i A (d.m.th. B A ).

b). Nëse A = {2, 4, 5, 5, 6, 6}, B = {2, 2, 4, 5, 6} dhe C ={2, 4, 5, 6} atëherë që të tri këto

bashkësi përbëhen prej elementeve të njëjtë dhe, si të tilla, janë të barabarta, d.m.th. A = B = C.

c). Në qoftë se A = {a, b, c, 3, 4, 5} dhe B = {1, 3, 4, 5, a, b, c}, atëherë çdo element i

bashkësisë A është element edhe i bashkësisë B (që d.m.th. se A B ) por elementi 1∈ B dhe

1∉ A (që d.m.th. se B nuk është nënbashkësi e bashkësisë A); prandaj, A ≠ B.

1.1.3 Bashkësia partitive

Le të jetë A një bashkësi e çfarëdoshme. Bashkësia e të gjitha nënbashkësive të

bashkësisë A quhet bashkësi partitive dhe simbolikisht shënohet P(A).

P(A)= { }

Shembulli 9: Le të jetë A={a,b,c}, atëherë:

P(A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.

Në shembullin 9, bashkësia A ka tri elemente, ndërsa P(A) ka 8=23 elemente. Në

përgjithësi, vlen pohimi: Në qoftë se bashkësia e fundme A ka n-elemente, atëherë P(A) ka 2n

elemente. (n ∈ N)

Punim diplome

14

1.2 Veprimet me bashkësi

1.2.1 Unioni i bashkësive

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Union ose bashkim të bashkësive A

dhe B e quajmë bashkësinë e të gjitha elementeve të cilat ndodhen në bashkësinë A ose në B, ose

në të dyja bashkësitë A dhe B1. Simbolikisht shënojmë:

A U B = {x / ∈ ∈ }

Figura 3: Unioni i bashkësive

Shembull 10: Janë dhënë bashkësitë:A={1, 2, 3, 4} dhe B={3, 4, 5, 6, 7}. Të gjendet: A U B.

Zgjidhje:

A U B = {1, 2, 3, 4} U {3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

1.2.2 Prerja e bashkësive

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Prerje të bashkësive A dhe B e quajmë

bashkësinë e të gjitha elementeve që gjenden edhe në bashkësinë A, edhe në bashkësinë B.

Simbolikisht shënojmë:

A B = {x / ∈ ∈ }

1F. Kabashi, “Detyra të zgjidhura në Matematikë”, Prizren, 2012, f. 14

Punim diplome

15

Figura 4: Prerja e bashkësive

Bashkësitë që nuk kanë elemente të përbashkëta quhen bashkësi disjunkte.

Shembulli 11:Janë dhënë bashkësitë: A = {a, b, c, d, f} dhe B = {b, d, e, f, g, h, i}. Të gjendet:

A B.

Zgjidhje:

A B = {a, b, c, d, f} {b, d, e, f, g, h, i} = {b, d, f}

Shembulli 12: Në qoftë se A është bashkësia e shkronjave të fjalës abetarja, kurse B bashkësia

e shkronjave të fjalës dritarja, të gjendet prerja dhe unioni i tyre.

Zgjidhje: Meqë A = {a, b, e, t, r, j} dhe B = {d, r, i, t, a, j}, përfundojmë që:

A ∩ B = {a, t, r, j}= {a, j, r, t} dhe A ∪ B = { a, b, e, t, r, j, d, i }= {a, b, d, e, i, j ,r, t}.

1.2.3 Diferenca e bashkësive

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Diferencë ose ndryshim të bashkësive A

dhe B quajmë bashkësinë e të gjitha elementeve që janë në bashkësinë A dhe nuk janë në

bashkësinë B. Simbolikisht shënojmë:

A \ B={x : ∈ ∉ }

Punim diplome

16

Figura 5: Diferenca e bashkësive

Shembulli 13: Janë dhënë bashkësitë: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dhe B = {2, 4, 8, 9, 10}. Të

gjendet: A \ B.

Zgjidhje:

A \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {2, 4, 8, 9, 10} = {1, 3, 5, 6, 7}

1.2.4 Diferenca simetrike

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Diferencë simetrike të dy bashkësive A

dhe B quajmë bashkësinë, e cila përmban unionin e diferencave A \ B dhe B\ A. Simbolikisht

shënojmë:

A Δ B = (A \ B) U (B\ A)

Figura 6: Diferenca simetrike e bashkësive

Punim diplome

17

Shembulli 14: Janë dhënë bashkësitë:A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dhe B = {2, 4, 8, 9, 10}.Të gjendet:

A Δ B.

Zgjidhje:

A Δ B = (A \ B) U (B\ A) = {1, 3, 5, 6, 7} U {8, 9, 10} = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Shembulli 15: Në qoftë se A është bashkësia e nxënësve të një klase dhe B bashkësia e

djemve të asaj klase, atëherë: A \ B = V është bashkësia e vajzave të asaj klase dhe V A; A \

V = B është bashkësia e djemëve të asaj klase dhe B A; B ∪ (A \ B) = B ∪ V = A (unioni i

bashkësisë B të djemve dhe bashkësisë V të vajzave të një klase është bashkësia A e të

gjithënxënësve të asaj klase).

B ∩ (A \ B) = B ∩ V = ∅

(prerja e bashkësisë B të djemëve dhe bashkësisë V të vajzave të një klase është bashkësi e

zbrazët). Nënbashkësitë e tilla B, V të bashkësisë A (për të cilat vlen B ∪ V = A dhe B ∩ V =

∅) quhen nënbashkësi plotësuese të bashkësisë A.

1.2.5 Komplementi

Le të jenë A dhe B dy bashkësi të çfarëdoshme. Nëse A , atëherë diferenca B\ A quhet

komplement2 i bashkësisë A në bashkësinë B. Simbolikisht shënojmë: CBA ose AC

Figura 7: Komplementi i bashkësisë

Shembulli 16: Janë dhënë bashkësitë:

A = {a, b, c, d, f} dhe B = {b, d, e, f}. Të gjendet: AC.

Zgjidhje: AC= {e}

2Po aty, f. 15

Punim diplome

18

1.3 Vetitë e veprimeve me bashkësi

Le të jetë U bashkësi univerzale dhe A, B , C ∈ U. Nga përkufizimi i unionit, prerjes dhe

komplementit të bashkësive rrjedh se për nënbashkësitë e çfarëdoshme A, B, C vlejnë

vetitë(ligjet):

1) Ligji komutativ për unionin dhe prerjen

A U B = B U A

A B = B A

2) Ligji asociativ për unionin dhe prerjen

(A U B) U C = A U (B U C)

(A B) C = A (B C)

3) Ligji i absorbimit të prerjes ndaj unionit dhe anasjelltas

A (A U B) = A

A U (A B) = A

4) Ligji distributiv i prerjes ndaj unionit dhe anasjelltas

A (B U C) = (A B) U (A C)

A U (B C) = (AU B) (A U C)

5) Ligji i idempotencës për unionin dhe prerjen

A U A = A

A A = A

6) Ligjet e De Morganit

(A U B)C = A

C BC

(A B)C = A

C U B

C

1.4 Çifti i renditur. Prodhimi kartezian

Shpeshherë për elementet e një bashkësie është e rëndësishme të saktësohet renditja e

tyre (elementi i parë, i dytë, i tretë etj.). Që të arrihet kjo, në matematikë futet kuptimi i

çiftit(dyshes) të renditur. P.sh. (a,b) shënon çiftin e renditur. Elementi (komponenti, koordinata)

i parë është a, ndërsa elementi i dytë është b.

Punim diplome

19

Dy dyshe të renditura (a1,b1) dhe (a2,b2) janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë

nëqoftë se komponentet në vende të njëjta i kanë të barabarta.3 Pra:

(a1,b1) = (a2,b2) (a1=a2) (b1=b2)

a˙

b˙

Figura 8: Çifti i renditur

Shembulli 17:

a). (x, y) = (1,3), atëherë dhe vetëm atëherë, kur x = 1 dhe y = 3;

b).(2x – 1, 3y -2) = (x + 3, y - 4), atëherë dhe vetëm atëherë, kur 2x – 1 = x + 3 dhe 3y -2 = y -

4 d.m.th., atëherë dhe vetëm atëherë, kur

x = 4 y = -1.

1.4.1 Prodhimi kartezian

Le të jenë dhënë dy bashkësi A dhe B. Prodhim kartezian quhet bashkësia e të gjitha

dysheve të renditura (a,b) ashtu që elementi i parë i takon bashkësisë A (a ∈ A) dhe elementi i

dytë i takon bashkësisë B (b ∈ B). Simbolikisht shënojmë:

A x B = {(a,b) / a ∈ A b ∈ B}

Shembulli 18: Janë dhënë bashkësitë:A = {a, b, c} dhe B = {x, y, z}.Të gjendet: A x B.

Zgjidhje:

A x B = {(a,x), (a,y), (a,z), (b,x), (b,y), (b,z), (c,x), (c,y), (c,z)}.

Shembulli 19: Në qoftë se A = {1, 2, 3} dhe B = {a ,b} atëherë:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} dhe B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2),

(b, 3)}.

Prodhimi kartezian i bashkësisë A me vetveten quhet katrori (kartezian) i bashkësisë A

dhe shënohet me A2, d.m.th. A × A = A

2. Prodhimi kartezian A × B mund të paraqitet me anë të

3I. Shehu/R. Gjergji/ M. Kadriu, “Matematika 10”, Prishtinë, 2004, f. 32

Punim diplome

20

diagramit të Venit duke bashkuar me shigjetë çdo pikë të bashkësisë A me çdo pikë të bashkësisë

B. P.sh. bashkësia A × B nga shembulli 19 paraqitet me diagramin vijues të Venit:

Figura 9: Diagrami i Venit për shembullin 19

Shembulli 20: Një person i ka tri palë pantollona – një palë të zi (z), një palë të kaltër (k), një

palë të hirtë (h) dhe tri këmisha – një të bardhë (b), një të verdhë (v) dhe një të gjelbër (g). Në sa

mënyra të ndryshme mund të vishet ai person dhe cilat (kombinime) janë ato?

Zgjidhje: Shënojmë me P = {z, k, h} bashkësinë e pantollonava dhe me K = {b, v, g}

bashkësinë e këmishëve të atij personi. Atëherë,

P × K = {(z, b), (z, v), (z, g), (k, b), (k, v), (k, g), (h, b), (h, v),(h, g)}

është bashkësia e të gjitha mënyrave (kombibimeve) të mundëshme të veshjes së atij personi;

p.sh. (z,b) shënon kombinimin e pantallonave të zi me këmishën e bardhë. Meqë n(P) = 3 dhe

n(K) = 3, përfundojmë që personi në fjalë mund të vishet në:

n(P × K) = n (P)·n(K) = 3×3 = 9 mënyra të ndryshme.

1.5 Bashkësitë numerike

Janë disa bashkësi numerike të cilat kanë rëndësi të madhe në matematikë. Ato janë4:

Bashkësia e numrave natyralë:

= {1, 2, 3, … , , +1, …}

Bashkësia e numrav të plotë:

= {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, , , 1, …}

4 https://sq.wikipedia.org/wiki/Bashk%C3%ABsit%C3%AB

1

2

3

a

b

Punim diplome

21

Bashkësia e numrave racional:

={

| ∈ ∈ }

Bashkësia e numrave real:

={ }

Bashkësia e numrave kompleks:

={ ∈ ∈ √ }

Bashkësia e numrave qift:

+= {2 ∈ } }

Bashkësia e numrave tek:

-={ | ∈ } = {1, 3, 5, 7, 9,…}

Punim diplome

22

2. Zhvillimi dhe formimi i konceptit bashkësi

Në formimin e koncepteve fillestare matematike, në shkallën e edukimit formal

(parashkollor), pikënisje e arsimit tradicional ishte aftësimi i fëmijëve për të numëruar. Mirëpo,

ecuria e tillë nuk ishte në pajtim me strukturën intelektuale të fëmijëve. Fëmija i moshës 4-5

vjeçare nuk është i aftë t‟i kuptojë konceptet abstrakte plotësisht. Deri te këto përfundime arriti

Pijazhe.5

Në pajtim me zhvillimin e natyrshëm mendor të fëmijës, mësimi i matematikës para-

numerike u shndërrua në domosdoshmëri. Kështu, para se të fillojë formimi i konceptit numër u

shtrua kërkesa e njohjes së një vargu të tërë konceptesh të matematikës elementare, mbështetur

në teorinë e bashkësive. Duke pranuar faktin se “ndërmjet botës reale dhe botës së numrave është

bota e bashkësive”6 u pranua që koncepti „bashkësi‟ paraqet “shkallën e parë” nëtë cilën qëndron

fëmija, para se të formojë koncepte të tjera matematike.

Me nocionin bashkësi njeriu është shërbyer përpara se t‟i njohë numrat. Sa interesant, po

aq edhe i çuditshëm mbetet fakti: Edhe pse njeriu që nga lashtësia e njohu konceptin bashkësi,

(duke vështruar grumbullin e sendeve dhe gjallesave rreth vetes, pikërisht si fëmija në fazën e

njohurive paramatematikore), megjithatë “Teoria e bashkësive” filloi të zhvillohet në fund të

shek. XIX.

Bashkësia si nocion mund të trajtohet në aspektin cilësor dhe sasior. Duke u nisur nga

koncepti i thjeshtë i krahasimit të bashkësive, Cantor-it i përket merita, që i pari mori në

shqyrtim aspektin sasior të bashkësive7.

Themelues i Teorisë së bashkësive konsiderohet matematikani gjerman, Georg Cantor, i

cili pas vetes ka lënë këtë përkufizim: “Bashkësia është bashkimi i objekteve të ndryshme në një

tërësi.” Megjithatë, bashkësia është koncept themelor dhe nuk përkufizohet, prandaj ai nuk mund

të shndërrohet në koncepte më të thjeshta. Për ta theksuar që çfarëdo objekte të grumbulluara në

një tërësi sajojnë bashkësinë, Rasel në pyetjen: “Çka është bashkësia?” është përgjigjur:

“Bashkësia është një kokë lakër, një gomar dhe një ministër.” Duke ironizuar, Rasel ka qartësuar

që lidhja ndërmjet elementeve të bashkësive nuk është e domosdoshme.8

Bashkësia është një nga kuptimet themelore në matematikë. Kuptimi i saj jepet me anë të

shembujve konkretë. Mu në fillim për kuptimin e bashkësisë përdoren terma nga jeta e

përditshme, si p.sh. “grupi” , “grumbulli”, “klasa” , “koleksioni” etj. Koncepti bashkësi përdoret

në të folurën e përditshme dhe në mësimin e matematikës. Në këto dy rrafshe bashkësia nuk e ka

kuptimin e njëjtë. Deri sa në përditshmëri, me konceptin bashkësi mund të nënkuptohet një

5Jean Pijaget,( 1899-1980), psikolog zviceran

6 M. Latkovic “Metodika pocetnih matematickih pojmova”, Beograd, 1984, f. 86

7 B. Jaka “Metodika e mësimit elementar të matematikës”, Prishtinë, 2003, f. 265

8B. Jaka “Lojërat matematike me metodikë”, Prizren, 2013, f. 93

Punim diplome

23

grumbull i pacaktuar i objekteve, në matematikë bashkësia është e përcaktuar mirë.

Me fjalën „bashkësi‟ kuptojmë tërësinë me shumë, me pak, me një dhe madje me asnjë element.

Nocionet bashkësi, element dhe i përket janë tri koncepte themelore, të cilat nuk

përkufizohen.

Me fjalë të tjera, bashkësia paraqet tërësinë e objekteve të ngjashme apo të ndryshme të

jetës reale ose imagjinare, ashtu që çdo element i saj mund të dallohet nga elementet e tjerë, të

emërtohet dhe shënohet.9

Shembulli 1: Emërto bashkësitë e dhëna në figurën 10.

Figura 10

Zgjidhje:

a). Kope delesh

b).Tufë zogjsh

c).Grumbull njerëzish

d).Grumbull nxënësish

e).Bashkësi lapsash

f).Bashkësi topash

9 Xh.Thaçi, S.Tahiri, “Metodika e koncepteve fillestare matematike”, Prishtinë, 2002, f. 161

Punim diplome

24

2.1Paraqitja grafike e bashkësive

Duhet theksuar se veçoria e përbashkët e elementeve të një bashkësie futet në një qarkim

përkatës, nëpërmjet një vije të mbyllur që quhet Diagrami i Venit. Përdorimi i Diagramit të

Venit fëmijën e çon në paraqitjen grafike të bashkësive. Me marrëveshje është pranuar që

elementet e bashkësisë ndodhen brenda rrethimit (vijë e thjeshtë e mbyllur), ndërsa elementet të

cilët nuk i përkasin bashkësisë, duhet kërkuar jashtë rrethimit. Lidhur me paraqitjen grafike të

bashkësisë ekziston e dhëna që figura ose skica përmban disa veçori, të cilat bashkësia nuk i

përmban. Kështu për shembull, bashkësia përmban vetëm elemente, ndërsa figura përmban edhe

vijën e mbyllur dhe një sipërfaqe të kufizuar. Gjatë punës, edukatorja do t‟i theksojë vetëm

veçoritë kryesore.

Formimin e konceptit bashkësi e mundëson edhe materiali didaktik i strukturuar: blloqet

logjike, thuprat e ngjyrosura, trupat dhe figurat gjeometrike. Fillimisht fëmija formon bashkësi

me një veti të përbashkët, më pas me dy e tri veti të përbashkëta. Puna me bashkësi duhet të jetë

e përzgjedhur, me veti të caktuara të elementeve, të cilat nuk janë me dy kuptime.

Shembulli 2: Formo bashkësi duke rrethuar figurat e të njëjtit lloj.

Figura 11

Punim diplome

25

2.2Metodat mësimore në procesin e formimit të konceptit bashkësi

Nocioni metodë mësimore përfaqëson tërësinë e mjeteve mësimore, të aparateve të

prodhuara nga teknologjia bashkëkohore, së bashku me metodat mësimore, në kërkim të nxënies.

Filozofia nëpërmjet të cilës ndërtohen metodat mësimore bashkëkohore mbështesin supozimin:

“Fëmijët mësojnë më mirë kur marrin njohuri duke vepruar.”

Në mësimin elementar të matematikës, deri në fund të shek. XX është aplikuar ky grup i

metodave mësimore:

I. Verbale-tekstuale

II. Demonstruese-ilustruese

III. Teknike-punuese

Aplikimi i grup-metodave mësimore në procesin e formimit të koncepteve fillestare

matematike, duhet të jetë në funksion edhe të:

Ritmit të lojës dhe punës së vet fëmijëve

Zënies fill të punës individuale

Evidencimit të fëmijëve të prapambetur, në lojëra dhe nxënie

Aplikimit praktik dhe politeknik të lojës

Shpërblimit të interesimeve dhe preferencave të fëmijëve

Loja në procesin e formimit të koncepteve fillestare matematike është funksion praktik me

shumë ndryshore. Edukatorja ka për detyrë, për orët e caktuara mësimore dhe pjesët e saj , të

hulumtojë, të kërkojë, të aplikojë dhe të kombinojë ato metoda, teknika, lojëra dhe strategji

mësimore, të cilat nxisin admirim dhe kërshëri te fëmijët, duke shtuar interesimin e tyre për

mësimin fillestar të matematikës.10

2.2.1. Metodat verbale-tekstuale

Për fëmijët e moshës parashkollore, shpjegimi më shpesh paraqitet si rrëfim(kallëzim), i

cili reflekton efekte të shumta në punën edukative-arsimore. Rrëfimi mund të shërbejë si themel

për shtjellimin e koncepteve fillestare, veçanërisht po që se përcillet me demonstrim (film,

diafilm ose material tjetër didaktik).

10B.Jaka “Lojërat matematike me metodikë”, Prizren, 2013, f.134

Punim diplome

26

Forma më e shpeshtë e kësaj metode është sqarimi, i cili është më i shkurtër se rrëfimi

dhe ndërlidhet me pyetje të cekëta e të ngushta. Duhet theksuar se në punën me fëmijët e moshës

parashkollore, ligjërimi nuk shfrytëzohet.

Gjatë aplikimit të metodave verbale-tesktuale, edukatorja nuk duhet t‟iu largohet

shprehjeve: bashkësi, nënbashkësi, element, graf, anëtar, i përket, diagram, vizatim, skicë,

simbol, shenjë, relacion, figurë, ndërtim, konstruktim.

2.2.2. Metodat ilustruese-demostruese

Demonstrimi dhe ilustrimi pranohen si dy nocione të veçanta, të cilat dallohen në

mbështetje të karakterit dinamik, përkatësisht statik të tyre.

Formimi dhe përvetësimi i koncepteve fillestare matematike, zakonisht vete me këtë

radhitje:

1. Loja dhe puna me gjësende konkrete

2. Loja dhe puna me objekte të vizatuara

3. Loja dhe puna me simbole konkrete

4. Loja dhe puna me simbole të vizatuara

5. Loja dhe puna me mjete didaktike.11

Metodat demonstruese-ilustruese ndihmohen dhe plotësohen në mënyrë të ndërsjellë.

Fillimisht, koncepti bashkësi shtjellohet nëpërmjet elementeve konkrete (bashkësisë së fëmijëve,

librave, fletoreve, ... të cilat fëmija mund t‟i prekë me dorë.) Në hapin pasues, mund të

skicohen(vizatohen) elementet (të cilat më parë i preknin me dorë) dhe së fundi, vizatohen

simbolet e tyre.

Me anë të demonstrimit zënë fill konceptet elementare matematike: bashkësia, elementet

e një bashkësie, bashkësia boshe, nënbashkësia, sendet, gjallesat, si dhe shumë koncepte të tjera.

Vlera reale e demonstrimit varet nga:

-gatishmëria dhe shkathtësia e edukatores për të demonstruar

-shkathtesia dhe aftësia e fëmijëve për t’i mbajtur në mend ato, me shumë detaje

-koha e mjaftueshme për demonstrim

-pozita ballore e demonstrimit

-gatishmëria dhe pjesëmarrja e fëmijëve për të demonstruar, me dorën e vet.

11

Po aty, f.142

Punim diplome

27

Demonstrimi këndell, nxitë, zhvillon dhe përparon të menduarit funksional. Ekziston material

i panumërt didaktik, përmes të cilit mund të demonstrohet, ku bëjnë pjesë edhe blloqet logjike

dhe thuprat e ngjyrosura. Përmes tyre zhvillohet, zgjohet dhe shtohet shumë shpejtë

inteligjenca e fëmijëve.12

Figura 12: Blloqet logjike dhe thuprat e ngjyrosura

12

Po aty, f.144

Punim diplome

28

3. Aktivitetet matematike-logjike dhe lojërat në funksion të formimit

të konceptit bashkësi

3.2. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë

(Grupmosha 3-4 vjeç)

Kuptimi i bashkësisë është abstraksioni i parë matematik të cilin fillojnë ta formojnë fëmijët

e moshës 3 dhe 4 vjeçare. Gjatë zhvillimit të kuptimit të bashkësisë, preferohet që aktivitetet në

lidhje me bashkësitë të bëhen duke u nisur nga situatat e zakonshme, nga mjedisi ku jetojnë

fëmijët, siç janë: familja, kopshti dhe nga objektet që e rrethojnë, siç janë: lodrat, mobiliet e

fëmijëve në shtëpi dhe kopsht, objekte të ndryshme në natyrë, materiali didaktik etj.

Edukatorja duhet të përqëndrojë kureshtjen e fëmijëve në faktet e shumta si: “bashkohen” fëmijët

në kopsht, “bashkohen” anëtarët e familjes në shtëpi, mund “të mblidhen” të gjitha lodrat në

këndin e tyre, “mblidhen” pemët në shportë, “mblidhen” zogjtë nëpër tela etj.

Koncepti i bashkësisë, i cili kryesisht zhvillohet me anë të aktiviteteve të orientuara në

kopshtet e fëmijëve, mund të zhvillohet edhe në mënyra të tjera, si p.sh. gjatë aktiviteteve të lira,

në kopsht, gjatë shëtitjeve etj. Grupimet e objekteve, e në këtë kontekst edhe veprimet e formimit

dhe të zbërthimit të bashkësive, kanë vlerë të madhe si pedagogjike, ashtu edhe arsimore. Aftësia

e të hetuarit të ndonjë cilësie të veçantë të një objekti dhe aftësia e bashkimit të objekteve në

bazë të cilësive të përbashkëta të objekteve, është hap i rëndësishëm i zhvillimit logjik të fëmijës.

Me qëllim të tërheqjes së vëmendjes së fëmijës në objektet të cilat kanë cilësi të caktuara,

praktikohet zbatimi i ushtrimeve logjike. Këto ushtrime zhvillohen për të dalluar cilësitë e

objekteve, për të gjetur ngjashmëritë dhe dallimet ndërmjet tyre. Më pas bëhet grupimi i

objekteve sipas kriterit të dhënë. Kjo mënyrë e grupimit të objekteve bën që fëmija, duke

menduar, t‟i dallojë objektet që kanë një cilësi të caktuar dhe atë cilësi e shfrytëzon si kriter për

grupim. Ky proces paraqet formimin e bashkësisë. Gjatë zhvillimit të aktiviteteve të grupimit të

objekteve, fëmija gradualisht arrin të hetojë se bashkësia përbëhet prej objekteve të veçanta, do

të thotë prej elementeve. Për këtë qëllim, fëmijën duhet nxitur që në mënyrë praktike, duke

menduar, të dijë të dallojë çdo element të grupit (bashkësisë). Poashtu, ai duhet të vërejë dallimet

ndërmjet bashkësive si dhe objekteve të veçanta brenda të njëjtës bashkësi. Në këtë mënyrë,

fëmija aftësohet të identifikojë çdo element të bashkësisë.13

Në vazhdim do të paraqesim një model të ecurisë metodike dhe punës edukativo-

arsimoreqë mund të zhvillohet në entet parashkollore:

13Xh.Thaçi, S.Tahiri “Metodika e koncepteve fillestare matematike”, Prishtinë, 2002, f. 163

Punim diplome

29

-Para fëmijëve sillet një numër i objekteve, për shembull një shportë me kapakë të plastikës, aq

sa është numri i fëmijëve në grupin edukativ. Fëmijët do të konstatojnë se në shportë ka shumë

kapakë.

-Pastaj çdo fëmijë duhet të marrë nga një kapak. Edukatorja do të theksojë “vetëm një kapak”

dhe më tej shtron pyetjen: “Nga sa kapakë keni secili prej jush?”. Përgjigjja e pritur është “nga

një”. Kështu, konstatohet se në shportën e cila tani është e zbrazët nuk ka mbetur “asnjë” kapak.

-Tani nga fëmijët kërkohet të kthejnë nga një kapak në shportë dhe u shtrohet pyetja: “Nga sa

kapakë ju kanë mbetur?” -Përgjigjja do të jetë “asnjë”. Vazhdohet me pyetjen “Sa kapakë ka në

shportë?” -Përgjigjja do të jetë “shumë”.

Gjatë zhvillimit të këtyre aktiviteteve, edukatorja duhet të drejtojë vëmendjen e fëmijëve

në ndryshimet e numrit të elementeve në bashkësi dhe t‟i nxisë ata që vet të konstatojnë se

bashkësia zvogëlohet kur nga ajo marrim elemente, ndërsa rritet kur asaj i shtojmë elemente.

Aktivitete të ngjajshme mund të zhvillohen edhe me materiale të tjera,(p.sh. duke marrë një

shportë me molla, koleksion lapsash etj.) ashtu që fëmijët do të mund të parashikojnë rezultatin e

veprimit praktik të tyre. Për këtë qëllim, janë të përshtatshme pyetjet e tipit:

-Çka duhet të bëjmë që të kemi më shumë?-Nga sa ... duhet të kthejë në shportë secili fëmijë? etj.

Me këtë grupmoshë të fëmijëve, krahas koncepteve “një” dhe “asnjë”, mund të zhvillohet dhe

të formohet edhe koncepti i “bashkësisë dyelementëshe”, e mandej zhvillohet kuptimi i

“dyshes së renditur” do të thotë bashkësi dy elementëshe me renditje të caktuar të elementeve

të saj.14

Ecuria metodike e zhvillimit të kuptimit të bashkësisë dyelementëshe mund të bëhet

ngjashëm me ecurinë që do të tregojmë në vazhdim:

-Nga fëmijët kërkohet që të zgjedhin ndonjë objekt nga mjedisi i tyre. Pastaj zgjedhinedhe nga

një objekt tjetër. Në këtë mënyrë, ata formojnë bashkësi prej dy elementeve(çift). Nëse e kthejnë

njërin objekt aty ku e kanë marrë, konstatojnë se atyre u ka mbetur një objekt. Nëse kthehet edhe

objekti tjetër, atëherë konstatojnë se atyrë nuk u ka mbetur asnjë objekt. Në këtë mënyrë mund të

shpjegohet kuptimi i bashkësisë së zbrazët (boshe). Fëmijët udhëzohen që të japin shembuj të

çifteve, siç janë: prindërit,fëmijët në shtëpi (dy vëllëzër, dy motra,një motër e një vëlla), rrotat e

biçikletës, dy duar, dy këmbë, dy sy, dy veshë etj.

Grupimi i objekteve sipas ndonjë karakteristike të përbashkët të tyre, paraqet aktivitet

fillestar matematiko-logjik gjatë të cilit fëmija, me vetëdije, dallon karakteristikën e objektit

sipas të cilit bën grupimin. Për shembull, janë dhënë objekte të ndryshmë dhe pemë. Fëmija ka

për detyrë që të rrethojë me një vijë të mbyllur të gjitha që i takojnë bashkësisë së pemëve.

Karakteristika e tillë i shërben fëmijës si kriter për të bërë klasifikimin e tillë. Këto aktivitete

bëhen duke filluar me objekte dhe lëndë konkrete për të arritur në fund te paraitj e tyre me anë të

fotografive dhe vizatimeve. Për ne, nuk është me rëndësi karakteristika kualitative e elementeve

14

Po aty, f. 164

Punim diplome

30

të bashkësisë, por karakteristika kuantitative e tyre, prandaj bashkësisë së elementeve konkrete i

shoqërojmë bashkësinë e pikave- çdo elementi i shoqërojmë një pikë.

Në aktivitetet e lira, p.sh. përmes lojës “Blerësi dhe shitësi”, në këndin e matematikës,

fëmija formon bashkësi nga grupet e gjësendeve që shiten dhe blihen dhe i kupton si tërësi. Me

udhëheqje të drejtë të fëmijëve nga edukatorja, ata do të vërejnë se bashkësia përbëhet prej

elementeve.

Në aktivitetet e orientuara, në fazën përgatitore, fëmijëve mund t‟iu tregohet ndonjë

tregim i përshtatshëm me të cilin mund të motivohen për të kuptuar konceptin e bashkësisë.

Fëmijët mund të angazhohen në mbledhjen e frutave apo luleve për buqeta etj.

E gjithë kjo mund të përgatitet me anë të aplikacioneve. Mund të zgjidhen tregime të

përshtatshme në të cilat bashkësi të ndryshme formohen nga materiale simbolike(objekte të

vizatuara). Mund të jepen edhe fleta me figura të ndryshme në të cilat fëmijët do tërrethojnë p.sh.

gjërat që mund të hahen, figurat me formë të njëjtë, mjetet për shkrim etj.

Shembulli 1: Rretho figurat me të njëjtën formë.

Figura 13

Në fazën e fundit, formimi i bashkësive bëhet me anë të të menduarit, duke formuar

bashkësi nga objektet të cilat nuk shihen. Kështu p.sh. mund të formohet bashkësia e anëtarëve të

familjes, bashkësia e orendive të shtëpisë, si dhe bashkësi të tjera nga mjedisi i fëmijës.

Punim diplome

31

Sa herë që të flasim për një bashkësi, duhet të shqyrtohen elementet e saj. Në këtë mënyrë

formohet koncepti, i cili nënkupton përkatësinë e elementit: “i takon” apo “nuk i takon”

bashkësisë. Duke theksuar përkatësinë e elementeve të bashkësisë së dhënë, zhvillohen më pastaj

konceptet “një” , “asnjë” dhe “shumë”. Fëmijët e kësaj grupmoshe nuk janë ende në gjendje që

të vizatojnë apo të paraqesin grafikisht bashkësitë. Megjithatë, nga fletat e punës mund të

formojnë bashkësi të llojllojshme duke qarkuar.

Me anë të blloqeve me sukses zhvillohet aftësia e formimit të bashkësive. Kështu, nga

kompleti i blloqeve logjike, fëmijëve mund t‟iu shtrohet p.sh. kjo detyrë: Brenda rrethit, të

grupohen blloqet të cilat kanë vetinë e caktuar (p.sh. të grupohen blloqet me ngjyrë të kuqe,

blloqet me formë rrethore etj.). Edhe ushtrimet për formimin e bashkësive (grupimin e

objekteve) duhet të lidhen me përmbajtje të tjera matematike. P.sh. mund të bëhet grupimi sipas

lartësisë, sipas trashësisë, sipas formave gjeometrike etj. Lojërat me blloqe logjike janë

karakteristikë e fëmijëve të moshës parashkollore.

Veprimet me bashkësi fëmijërt i përvetësojnë, duke formuar bashkësi nga dy bashkësi të

tjera (kjo më vonë u shërben edhe për veprimet me numra). Kështu, p.sh. nga dy buqeta lulesh,

formohet një buqetë e re. Bashkësia e re, e ndërtuar në këtë mënyrë, ka më shumë elemente se

secila nga bashkësitë nga të cilat është krijuar.

Gjatë veprimeve të ndryshme me bashkësi, fëmija do të përvetësojë edhe relacionet “i

barabartë”, “më pak”, “më shumë” etj. Në këtë fazë të zhvillimit të fëmijëve, të menduarit

matematik fillon me anë të zbatimit të pasqyrimeve, në formë të pasqyrimeve bijektive apo të

shoqërorizimit bijektiv. Pikërisht, me anë të pasqyrimeve të bashkësive, te fëmijët zhvillohet të

kuptuarit e relacioneve “më shumë”, “më pak” dhe “barabartë”.

Nëse gjatë përgatitjes së fëmijëve për të ngrënë drekën, në tavolinë vendosen më pak

pjata se sa është numri i fëmijëve, ata do të konstatojnë se ka më shumë fëmijë se pjata. Prandaj,

për t‟u barazuar numri i fëmijëve me numrin e pjatave, duhet sjellur edhe disa pjata në tavolinë.

Këtë barazim, fëmijët e kuptojnë duke vënë korrespodencën 1-1 ndërmjet bashkësisë së fëmijëve

dhe bashkësisë së pjatave në tavolinë.

Punim diplome

32

3.3. Aktivitetet matematike-logjike lidhur me bashkësitë

(Grupmosha 5-6 vjeç)

Në moshën 5-7 vjeç, duhet të vazhdohet me zhvillimin e njohurive të filluara lidhur me

formimin dhe klasifikimin e bashkësive. Kjo arrihet duke zgjedhur probleme më të vështira. Për

këtë arsye, numri i formimit të bashkësive do të jetë më i madh. Në këtë rast, do të merren në

shqyrtim edhe kritere për elementet e bashkësive, të cilat deri më tani kanë qenë të

papranueshme për fëmijët.

Në këtë moshë përdoren edhe mjete dhe materiale të tjera e sidomos materiali specifik

didaktik, blloqet logjike, të cilat për shkak të vetive të tyre specifike (tri ngjyra, dy madhësi, dy

trashësi dhe katër forma), mundësojnë klasifikimin e bashkësive në bazë të një, dy, tri e më tepër

kritereve njëkohësisht. Më tej, mund të shfrytëzohen edhe detyra nga fletët e punës, me anë të të

cilave klasifikimi i objekteve mund të ndërlidhet me përmbajtje të tjera matematike. Fletët e

punës mund të shfrytëzohen edhe për formimin dhe zbërthimin e bashkësive. Poashtu,

mundësohet edhe zhvillimi i aftësisë së fëmijës për paraqitjen grafike të bashkësive.

Paraqitja grafike e bashkësive realizohet gradualisht me një varg aktivitetesh, siç janë vendosja e

objekteve të një bahskësie në një enë, në një rreth, apo në një vend tjetër të kufizuar(rrethuar me

litar) etj. Se diagramet e Venit duhet të përdoren në arsimimin matematik të fëmijëve të moshës

parashkollore, thekson edhe matematikani holandez Frojdental, i cili thekson një shembull të

përshtatshëm në këtë kontekst: “vija e mbyllur e lakuar mund ta paraqesëtavolinën, ndërsa

pikat brenda vijës mund të paraqesin gjërat në tavolinë”.15

Te fëmijët e moshës parashkollore, paraqitja grafike e bashkësive, në zhvillimin e

konceptit të bashkësisë ka rëndësi të madhe. Meqë, njohuritë e fëmijëve, në këtë moshë, ende

janë të lidhura me objekte konkrete, për të formuar konceptin e bashkësisë si kategori abstrakte,

duhet bërë grupimin e objekteve me anë të paraqitjeve grafike.Në këtë mënyrë kalohet nga

bashkësitë konkrete në ato abstrakte(të menduara). Kështu, nëse elementet e një bashkësie të

formuar me “grupimin” e objekteve të cilat kanë ndonjë veti të përbashkët (pak a shumë të

theksuarë apo të vërejtur), i vendosim brenda ndonjë rrethoje të kufizuar p.sh. me një litar, me

një vijë shkumësi apo në një mënyrë tjetër, atëherë fëmijëve mund t‟iu drejtohemi: “Ja, kjo është

një bashkësi”. Në këtë rast theksi vihet pikërisht në rrethojën e atyre objekteve, e cila, në këtë

rast, paraqitet si faktor kryesor në përcaktimin e bashkësisë, edhe pse në fakt bashkësia ekziston

edhe pa rrethojën. Paraqitja grafike e bashkësive vazhdohet duke marrë shembuj të ndryshëm.

Në shembujt e paraqitur, fëmijët vet do të rrethojnë bashkësi. P.sh. Fëmijëve u shpërndahen

figurat e kafshëve shtëpiake dhe atyre të egra. Nga fëmijët kërkohet që të ndajnë (rrethojnë)

bashkësinë e kafshëve shtëpiake brenda një rrethoje, ndërsa kafshët tjera do të mbesin “jashtë

rrethojës”.

15

Po aty, f. 168

Punim diplome

33

Ngjashëm mund të kërkojmë nga fëmijët që në aplikacionet në të cilat ndodhen figura të

ndryshme gjeometrike, të rrethohen figurat që kanë një veti të përbashkët. Në këtë

moshë, fëmijët mund të vizatojnë bashkësi, me kusht që t‟u ndihmohet dhe t‟u jepen sqarimet e

nevojshme. Në këtë moshë, fëmijët poashtu arrijnë të kuptojnë edhe shoqërizimin(pasqyrimin) e

elementeve të një bashkësie me elementet e një bashkësie tjetër. Meqenëse, kuptimi i

korrespodencës paraqet fillimin e të menduarit matematik, përvetësimi i kuptimit të shoqërizimit

në aktivitetet logjike-matematike, ka rëndësi edukativo-arsimore. Se si mund të bëhet aftësimi i

fëmijëve, për vendosjen e korrespodencës (një-një), do të tregomë përmes dy shembujve:

Shembulli 1: Në vende të ndryshme në dhomë vendosen disa grupe të lodrave. Secilit grup

të lodrave u shtohet i njëjti numër i objekteve të caktuara duke iu shoqëruar çdo lodre një objekt

të tillë. Numri i lodrave nëpër grupe të ndryshme mund të jetë i ndryshëm, por jo më i madh se

pesë. Në këtë rast, fëmijët do të konstatojnë se:

- Numri i lodrave mund të jetë i ndryshëm

- Bashkësitë përbëhen prej objekteve të veçanta

- Duhet bërë barazimin numerik (sasior) ndërmjet bashkësive të krahasueshme

Efektet njohëse të fëmijëve do të jenë më të mëdha nëse ata nxiten që të theksojnë dhe të

tregojnë se çka kanë bërë. (P.sh. “Çdo kukulle i kam shoqëruar një mollë”). Lojërat e tilla duhet

të përsëriten duke ndryshuar mjetet e punës- materialin didaktik, lodrat etj.

Shembulli 2: Organizimi i aktiviteteve në të cilat figurat mbulohen me lodra të vogla apo

aplikacione të tjera, ndihmon me sukses zhvillimin e kuptimit të korrespodencës ndërmjet

elementeve të bashkësive të ndryshme. Kështu, mund të shfrytëzohen: Shiriti nga letra e fortë

me gjatësi 8-10 cm, i ndarë horizontalisht në dy pjesë. Në pjesën e sipërme vendosen fotografi të

objekteve interesante për fëmijët apo figura gjeometrike. Pjesa e poshtme është e lirë. Ecuria

metodike është kjo:

-Së pari edukatorja do të demonstrojë duke sqaruar mënyrën e punës-zgjidhjes së detyrës, dhe

duke sqaruar kuptimin e fjalës “aq sa” (“vendosa aq lule sa flutura”). Mandej, fëmijëve

iu shpërndahen lodrat e vogla (secilit i shpërndahen nga dy apo tri lodra më tepër se numri i

fotografive në shirit) me të cilat do të mbulohen fotografitë në shiritin e letrës. Nga fëmijët

kërkohet që të mbulojnë fotografitë duke i vënë lodrat (apo aplikacionet) nga e majta në të

djathtë. Gjatë realizimit të këtyre ushtrimeve lidhur me korrespodencën, zakonisht shfaqen

gabime në të cilat kalohet një figurë pa u mbuluar, prandaj mund të praktikohet që në pjesën e

poshtme të shiritit për çdo figurë të ndërtohet katrori përkatës.

Në mënyrë që fëmijët të zhvillojnë këto aktivitete jo vetëm mekanikisht, por edhe duke

angazhuar të menduarit, materialet dhe lodrat duhet të jenë interesante dhe tërheqëse për fëmijët.

Veprimet me bashkësi fëmijët i përvetësojnë nëpërmjet formimit të bashkësisë së re nga

dy bashkësi të dhëna më parë. Nga aplikacionet (figurat, lodrat etj.) që mbajnë dy apo më shumë

fëmijë, kur i bashkojnë ato, formohet një bashkësi e re. Bashkësia e re, e formuar në këtë

Punim diplome

34

mënyrë, ka më shumë elemente se secila prej bashkësive nga të cilat u krijua. Poashtu, kur nga

dy fëmijë, të cilët kanë elemente “të bashkësive” të lodrave (p.sh. blloqe logjike) të njëjta, mund

të kërkohet formimi i ”bashkësisë” së re nga ato elemente të njëjta, me këtë rast kryhet veprimi i

prerjes së bashkësive.

Shembulli 3: Nga dy bashkësi të dhëna me figura gjeometrike me forma të ndryshme, formo

bashkësinë e cila përmbanë vetem trekëndësha.

A

B

A B

Figura 14

Gradualisht, fëmijët do të mund të formojnë bashkësi edhe me elemente të ndryshme.

Duke formuar bashkësi të ndryshme dhe duke i krahasuar elementet e tye, fëmijët vërejnë se disa

nga elementet u takojnë bashkësive të ndryshme. Në këto rase, fëmijët, në mënyrë intuitive

kuptojnë prerjen e bashkësive.

Duke i krahasuar bashkësitë, të përbëra prej objekteve të ndryshme duke i formuar dhe

zbërthyer ato, fëmijët do të zbulojnë mundësinë e renditjes së bashkësive nga bashkësia më e

madhe deri në bashkësinë më të vogël dhe anasjelltas. Kështu, deri sa klasifikimi nënkupton

grupimin e objekteve pa marrë parasysh si renditen ato në grup, renditja nënkupton vënien e

raportit të caktuar ndërmjet tyre.

Punim diplome

35

Lidhur me zhvillimin, përvetësimin dhe përforcimin e njohurive për bashkësitë dhe

veprimet me bashkësi, mund të përdoren me sukses fletët e punës.

3.4. Loja në funksion të zhvillimit të njohurive mbi bashkësitë

Në literaturën matematike ka mjaft shembuj për lojërat matematike të cilat, te fëmijët e

moshës parashkollore, zhvillojnë me sukses njohuritë për bashkësitë dhe aftësitë e formimit dhe

shformimit të tyre. Meqenëse loja paraqet aktivitetin primar te fëmijët e moshës parashkollore,

në vazhdim po japim disa shembuj të lojërave të shumta matematike. Këto lojëra mund të

realizohen me sukses në procesin edukativo-arsimor në entet parashkollore.

Me qëllim të zhvillimit të njohurive dhe aftësive të veprimeve logjike me objekte

konkrete dhe me qëllim të zhvillimit të aftësisë për formimin e bashkësive, në fillim

shfrytëzohen lojërat e lira imitative të cilat nuk kanë rregulla rigoroze. Fëmijët në këtë rast nxiten

që të vërejnë bashkësitë e objekteve të ndryshme, të emërtojnë objektet dhe vetitë e tyre, të vërnë

ngjashmëritë dhe dallimet ndërmjet tyre etj. Më poshtë janë dhënë disa shembuj të përshtatshëm:

1. Për të vërejtur dallimin e objekteve, mund të shfrytëzohet loja e ashtuquajtur: “Gjeje

dallimin”. Një variant i kësaj loje, me fëmijët e moshës 3-5 vjeç, mund të zbatohet për të

zhvilluar aftësinë e të dalluarit të objekteve sipas vetive (formës, ngjyrës, madhësisë, trashësisë

etj.).

Mjetet e lojës: Lodra dhe objekte të llojllojshme nga mjedisi i fëmijës:

Të buta: leshi, buka, plastelina etj.

Të forta: druri, lëndë metalieke, arra, lajthia, hallkat etj.

Të holla: fleta e letrës, faculeta, kartolina, libri i hollë, pjesë së dërrasës së hollë etj.

Të rënda:guri, çekiçi etj.

Të lehta: balona e fryer, stiropori, gota e plastikës etj.

Të rrumbullakëta: topi, rrethi, unaza, cilindri, gota etj.

Të brinjëzuara: kubi, katrori, libri, çanta, dërrasa etj.

Ecuria e lojës: Edukatorja, së pari, duhet të demonstrojëme materialet te të cilat fëmijët do të

dallojnë një veti (p.sh. të mëdha dhe të vogla). Më vonë futen në përdorim edhe objete të tjera

me të cilat rritet numri i vetive. Loja mund të ndryshojë varësisht nga ecuria metodike, duke

mbajtur në nivel interesimin e fëmijëve dhe motivimin e tyre për lojë.

Punim diplome

36

Foto: Loja “Gjeje dallimin”

2. Me anë të lojërave te të cilat zhvillohet vrojtimi i dallimeve ndërmjet objekteve të ndryshme,

zhvillohet edhe aftësia e grupimit elementar sipas vetisë së vërejtur të objekteve të dhëna. Për

këtë qëllim, me fëmijët e moshës 3-5 vjeç mund të shfrytëzohet loja e ashtuquajtur: “Gjeje të

njëjtën”.

Mjetet e lojës: figura gjeometrike, kubet e ngjyrosura, toptha të ngjyrosur, lodra të llojllojshme,

kukulla, vetura-lodra etj

Ecuria e lojës: Në një tavolinë, edukatorja përgatitë disa objekte të zgjedhura, ndërsa në afërsi të

tavolinës, në një raft, rendit objektet plotësisht të njëjta me ato në tavolinë. Pastaj, thërret fëmijët

me radhë. Fëmija, i cili në tavolinë ka zgjedhur një lodër-objekt, duhet të shkojë te rafti të

zgjedhë një objekt të njëjtë me të(ose më shumë nëse ka më tepër objekte të njëjta). Objektet e

zgjedhura fëmijët i mbajnë në duar deri sa edukatorja të kontrollojë se a i kanë zgjedhur apo jo si

duhet objektet. Edukatorja do t‟u ndihmojë fëmijëve të cilët nuk i kanë gjetur objektet e njëjta,

Loja mund të përsëritet edhe herëve të tjera në mënyrë që numri i objekteve të rritet, ndërsa

madhësia e tyre të zvogëloet (d.m.th. lodrat mund të jenë të madhësisë së vogël) dhe në lojë të

futen objektet-lodra me të cilat fëmijët njihen për herë të parë.

Punim diplome

37

Foto: Loja “Gjeje të njëjtën”

3. Ushtrimet e formimit dhe shformimit (zbërthimit) të bashkësive te fëmijët e rritur (rreth 6 vjeç)

mund të zhvillohen edhe me të ashtuquaturën lojën: “Kush më mirë e kush më shpejt”.

Mjetet e lojës: Zhetonat, elemente të materialit konstruktiv në tavolinë, figura gjeometrike etj.

Ecuria e lojës:Fëmijët ndahen në dy grupe të njëjta dhe ulen në tavolinë përballë njëri-tjetrit.

Para çdo fëmije vendosen aq elemente për formimin e bashkësisë, aq sa kërkohet nga edukatorja

(p.sh. të formohet bashkësia me 7 elemente). Në shenjën për fillimin e lojës, lojtari i parë, nga 7

elemente sa ka para vetes, arrin të vendosë 4 elemente (sipas ndonjë kriteri të cilin e cakton

edukatorja varësisht nga lloji i materialeve). Partneri i tij, i cili ndodhet përballë, mund të

vendosë vetëm edhe 3 elemente, për të formuar kështu bashkësinë 7 elementëshe. Nëse,

eventualisht, ndonjë fëmijë i grupit të parë, arrin të vendosë të gjitha 7 elementet, atëherë

partnerit të tij nuk i mbetet vend për asnjë element. Loja përsëritet 4 herë, duke u ndërruar

renditja e grupeve. Do të fitojë grupi, i cili ka pasur më së paku gabime. Loja mund të përsëritet

edhe duke e vështirësuar atë, me futjen e elementeve të ngjyrave, formave, madhësive të

ndryshme etj.

Punim diplome

38

4. Me qëllim të përvetësimit sa më të drejtë të konceptit të bashkësisë, me mjaft sukses zbatohet

loja e ashtuquajtur: “Tregtorja”.

Mjetet e lojës: Lodra të ndryshme.

Ecuria e lojës: Edukatorja u propozon fëmijëve të mbledhin të gjitha lodrat në mes të

dhomës. Duke i vendosur ato në mes të dhomës, ata kujdesen që të mos sillen gjëra të cilat nuk

janë lodra (edukatorja ka kërkuar vetëm lodra). Fëmijët ulen rreth grumbullit të lodrave dhe i

emërtojnë ato (kukulla, topi, treni, kamioni etj.). Me fëmijët mund të bisedohet se kush cilën

lodër e dëshiron, ku do ta blinte etj. Në fund, arrihet propozimi që të luajnë lojën e “tregtores”.

Para se të fillohet loja kryesore, duhet rregulluar lodrat si në tregtore: veçmas kukullat, veçmas

kubet, veçmas automobilat etj. Në këtë mënyrë, fëmijët bëjnëklasifikimin e lodrave dhe i

vendosin ato në vende të veçanta. Gjatë kryerjes së këtyre përgatitjeve për lojë, edukatorja do t‟i

shpërblejë fëmijët me “të holla”.

Tani mund të fillojë loja në tregtoren e improvizuar të lodrave të fëmijëve. Në të, fëmijët

me “të hollat” e fituara, do të blejnë lodra duke bërë ndërrimin një me një (një “pare” për një

lodër) dhe duke përdorur shprehjet e mirësjelljes: mirëdita, urdhëroni, faleminderit, urdhëroni

herën tjetër etj.

5. Lidhur me krahasimin e bashkësive dhe korrespodencën ndërmjet tyre, këshillohet e

ashtuquajtura loja: “Kopshti zoologjik (i fëmijëve)”.

Mjetet e lojës: Lodra të ndryshme, të cilat paraqesin kafshë nga kopshti zoologjik.

Ecuria e lojës: Zgjidhen dy fëmijë të cilët do të luajnë rolin e dy vëllëzërve: Genti dhe Trimi.

Genti dhe Trimi kanë nga një “kopsht zoologjik”. Edukatorja pyet: “Më tregoni, nëse këta dy

djem kanë numër të njëjtë të kafshëve?”. Me këtë pyetje fëmijët shtyten që të konstatojnë

raportin e numrit të kafshëve. Edukatorja vazhdon: “Të shohim: një Genti, një Trimi, edhe një

Genti, edhe një Trimi...”. Edukatorja vazhdon kështu duke vënë korrespodencën ndërmjet

elementeve të njërës bashkësi (kafshëve të Gentit) me elementet e bashkësisë tjetër (kafshëve të

Trimit), duke konstatuar se Genti dhe Trimi kanë numër të njëjtë të kafshëve. Edukatorja do të

vazhdojë: “Deri sa Genti dhe Trimi kanë qenë në kopsht, motra e tyre Valëza, i ka dhuruar

shoqes së vet një kafshë. Por ne nuk e dimë se kujt ja ka marrë kafshën, Gentit apo Trimit. Si do

ta gjejmë se kujt i mungon një kafshë?” Ndërkohë, edukatorja nga njëri “kopsht zoologjik”, pa u

hetuar, do të largojë një (apo më shumë) kafshë. Më pas, vazhdohet loja duke

vënëkorrespodencë1-1 ndërmjet “kafshëve” të Gentit dhe “kafshëve” të Trimit. Në fund të

vënies së korrespodencës, fëmijët do të konstatojnë lehtë se cili kopsht ka më shumëkafshë (cili

kopsht ka më pak kafshë), për sa kafshë ka më tepër (ose më pak) njëri kopsht se kopshti tjetër

etj.

Punim diplome

39

Foto: Loja “Kopshti zoologjik (i fëmijëve)”

Punim diplome

40

SHTOJCA

Punim diplome

41

AKTIVITETE ME BASHKËSI TË ZHVILLUARA NË KLASË

Foto: Formimi i bashkësive

Punim diplome

42

Foto: Nënbashkësia

Foto: Prerja e bashkësive

Punim diplome

43

Foto: Komplementi i bashkësisë

Punim diplome

44

FLETË PUNE LIDHUR ME BASHKËSITË

EMRI:______________________________

Rretho kafshët e të njëjtit lloj.

Punim diplome

45

EMRI:____________________

Formo bashkësinë e gjërave që përdorim për tu veshur.

Punim diplome

46

EMRI: _________________________

Një objekt në secilin rresht ka nga një pjesë që i mungon. Vizato atë.

Punim diplome

47

EMRI: _____________________

Lidh bashkësinë me numrin përkatës.

Punim diplome

48

Literatura

Bedri Jaka, “Lojërat matematike me metodikë”, Prizren, 2013

Bedri Jaka, “Metodika e mësimit elementar të matematikës”, Prishtinë, 2003

Faton Sh. Kabashi, “Detyra të zgjidhura në Matematikë”, Prizren, 2012

Islam Shehu/Rexhep Gjergji/Mustafa Kadriu, “Matematika 10”, Prishtinë, 2004

M. Latkovic “Metodika pocetnih matematickih pojmova”, Beograd, 1984

Rudina Çupi, “Udhëzues metodik për paketën Një hap drejt shkollës”, Tiranë, 2014

Xhevdet Thaçi/Sabri Tahiri, “Metodika e koncepteve fillestare matematike”, Prishtinë, 2002

Matematika dhe mësimdhënia e Matematikës, Udhëues për klasat 1-5

Burime interneti:

http://masht.rks-gov.net/uploads/2015/05/elds-report-alb-for-web_1.pdf

https://sq.wikipedia.org/wiki/Bashk%C3%ABsit%C3%AB

http://www.preschoollearners.com/

Punim diplome

49

JETËSHKRIM

Quhem Genita Bunjaku, e lindur më 21.12.1992 në Gjakovë. Shkollimin fillor e kam

kryer në SHMU “Yll Morina” në Gjakovë, ndërsa shkollimin e mesëm në Gjimnazin “Hajdar

Dushi”, drejtimi: Matematikë-Informatikë.

Pas përfundimit të shkollimit të mesëm, u regjistrova në Fakultetin e Shkencave

Matematiko-Natyrore, drejtimi: Matematikë e përgjithshme, pranë Universitetit të Prishtinës

“Hasan Prishtina”, ku vijoj studimet akoma.

Pas një periudhe 2-vjeçare vendosa të studioj edhe degën time të dytë të preferuar, që

ishte programi parashkollor. Arsyeja pse unë vendosa ta studioj këtë degë ishte mësuesja ime e

kopshtit, e cila që nga ajo kohë ka lënë përshtypje të jashtëzakonshme tek unë për kujdesin dhe

dashurinë që më jepte. Prandaj, u regjistrova në Fakultetin e Edukimit, programi: Parashkollor,

pranë Universitetit “Fehmi Agani” në Gjakovë.

Sot, në duart tuaja. po e mbani punimin tim të diplomës, i cili shënon përfundimin e ciklit

4-vjeçar të studimeve në Fakultetin e Edukimit.