PVI & PVF

Capítulo 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE P.V.I. Y P.V.F. PARA E.D.O. 323 __________________________________________________________________________________

PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA (P.V.F.) Hasta aquí se han considerado problemas de valor inicial (P.V.I.) para ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), es decir, problemas de E.D.O. donde se especifican condiciones sobre la solución de la ecuación diferencial en un mismo punto llamado punto inicial (condiciones iniciales). Ahora se considerarán E.D.O. donde se imponen condiciones sobre la solución desconocida es más de un punto. Tales problemas son llamados problemas de valores en la frontera (P.V.F.) o problemas de contorno. Se considerará únicamente el caso de un P.V.F. de segundo orden con dos puntos, de la forma general:

(1) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

==<∈′=′′

.F.CfronteradesCondicione:βby ,αayba b,at,y,y,tfy

La frontera en este caso es el conjunto b,a . ¿Qué puede decirse de la existencia y unicidad de solución para un P.V.F. del tipo (1)? Veamos algunos ejemplos:

1) ( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y,10yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy =′′ es ( ) tt eBeAty −+= , A y B constantes arbitrarias.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=′′==

±=⇔=−⇔=⇔=′′=′′=− y.y de resparticcula soluciones son ety ,ety queasí

;1λ0e1λeeλyyqueasí,eλty,etyt

2t

1

tλ2tλtλ2tλ2tλ

Tratamos ahora de encontrar valores de A y B de modo que se satisfagan las condiciones de frontera:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

=+=− 1eBeA1y

1BA0y11

Este sistema tiene solución única e1

eB ,e1

1A+

=+

= , así que

( ) tt ee1

eee1

1ty −

++

+= es solución en [ ]1,0 del P.V.F. dado. ¿Existirá otra

solución?

2) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=′′

42πy,20y

yy

324 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) (tsenBtcosAty + )= , A y B constantes arbitrarias. ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (tsenitcosety,tsenitcosety,iλ01λ ti

2ti

12 −==+==±=⇒=+ − )

son soluciones particulares complejas de la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytsen

i2ty

;tytcos2

tyty ;yy 2

11

21 ====+

−=′′ son soluciones

particulares reales de la ecuación diferencial yy −=′′ )

Determinemos A y B, si es posible, para que se satisfagan la condiciones de frontera

( ) 4B2πy ,2A0y ==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛== . Luego ( ) ( ) ( )tsen4tcos2ty1 += es solución en

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2π,0 del P.V.F. dado. ¿Existirá otra solución?

3) ( ) ( )⎩⎨⎧

==−=′′

4πy,20yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) tsenBtcosAty + ( )= , A y B constantes arbitrarias. Para que se satisfagan las condiciones de frontera debe tenerse

y , lo cual es imposible. Así que el P.V.F. dado no tiene solución. ( ) 2A0y == ( ) 4Aπy =−=

4) ( ) ( )⎩⎨⎧

==−=′′

βπy,α0yyy

La solución general de la ecuación diferencial yy −=′′ es ( ) ( ) tsenBtcosAty + ( )= , A y B constantes arbitrarias. Para que se satisfagan las condiciones de frontera debe tenerse que y ( ) αA0y == ( ) βAπy =−= ; así que para que este P.V.F. tenga solución debe ser , y si esto ocurre, βα −= ( ) ( ) ( )tsenBtcosαty += , B constante arbitraria, es solución en del P.V.F. dado. [ π,0 ]

Los ejemplos anteriores muestran diversas posibilidades en cuanto a existencia y unicidad de solución de un P.V.F. del tipo (1). Usaremos el siguiente teorema de existencia y unicidad. Teorema 6.5 Supongamos que la función ( )z,y,tf y las derivadas parciales

( ) ( ) ( ) ( z,y,tfz

z,y,tf,z,y,tfy

z,y,tf zy ∂∂

=∂∂

= ) son continuas en la región

( ) +∞<<∞−≤≤= z,y,bta/z,y,tR Si además, para todo ( ) 0z,y,tfy > ( ) R∈z,y,t , y existe una constante tal que 0M >

( ) Mz,y,tfz ≤ para todo ( , entonces el P.V.F. ) R∈z,y,t


( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

′≡′=′′

βby ,αayyzy,y,tfy

tiene solución única con ( )ty [ ]b,at∈ . Ejemplo 6.18 Para el P.V.F.

( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y ,10yyy

se tiene que ( ) ( ) ( ) 0z,y,tfy

,1z,y,tfy

,yz,y,tf =∂∂

=∂∂

= que son continuas en

. ( ) ∞+<<∞−≤≤= z,y,1t0/z,y,tR

Además, ( ) 01z,y,tfy

>=∂∂ para todo ( ) R∈z,y,t y ( ) M0z,y,tf

z≤=

∂∂ para todo

(cualquiera sea ). Así que el P.V.F. dado tiene solución única en [ ]. ( ) R∈z,y,t 0M ≥ 1,0

Tal solución es ( ) [ ]1,0t,ee1

1ee1

1ty tt ∈+

++

= − .

Estudiaremos algunos métodos numéricos para “aproximar“ la solución de un P.V.F. de la forma

( )ty

( 1 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

con solución única en [ ]. b,a 6.5 MÉTODO SHOOTING O DEL DISPARO Considere el P.V.F. de dos puntos general

( 1 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

con solución única . ( ) [ ]b,at,ty ∈

Una manera de calcular la solución ( )ty de este P.V.F. es relacionando este problema con un P.V.I. del tipo

( 2 ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=

′=′′

zay,αayy,y,tfy

326 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ donde z es un valor propuesto, esperando que si ( )tyz es la solución del P.V.I. ( 2 ) se cumpla que , de esta manera ( ) βbyz = ( )ty z sería la solución del P.V.F. ( 1 ) . Observar la siguiente figura:

Si el valor propuesto no satisface la condición z ( ) βbyz = , proponemos un nuevo valor y resolvemos el correspondiente P.V.I.

z

La idea general es definir una función

( ) ( ) βbyzφ z −= y encontrar z de modo que . El problema visto de esta manera se convierte en un problema de búsqueda de la raíz de una ecuación, ecuación que en general es no-lineal.

( ) 0zφ =

Este método para resolver el P.V.F. ( 1 ) se conoce como MÉTODO SHOOTING o DEL DISPARO.

Estudiaremos el siguiente caso especial: CASO LINEAL: Consideramos el P.V.F. de dos puntos lineal:

(3) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )⎩⎨⎧

==

′≡++′=′′

βby,αayy,y,tftrytqytpy

donde suponemos que y ( ) ( )tq,tp ( )tr son continuas en [ ]b,a (lo que garantiza, en

particular, que ( ) ( )[ ]

( ) tpMáxMtpz,y,tfz b,at

yz∈

′≡↑

=≤=∂∂ . Si ( ) 0tq > , entonces el

P.V.F. (3) tiene solución única en , según teorema de existencia y unicidad). [ b,a ] El método Shooting, para este caso, consiste en proponer dos valores de , es decir, consideramos los siguientes dos P.V.I. asociados con el P.V.F. dado:

z

( a ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

.I.Czay ,αaytrytqytpy

1


( b ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

.I.Czay ,αaytrytqytpy

2

Si es la solución del P.V.I. ( a ) y ( )ty1 ( )ty2 es la solución del P.V.I. ( b ), entonces la combinación lineal:

( ) ( ) ( ) ( )tyλ1tyλtg 21 −+= donde λ es un parámetro real, es también solución de la ecuación diferencial del P.V.F. dado, porque:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )trtyλ1tyλtqtyλ1tyλtptrtytqtytpλ1trtytqtytpλ

tyλ1tyλtg

tg21

tg21

2211

21

+−++′−+′=++′−+++′=

′′−+′′=′′

′4444 34444 214444 34444 21

Además, la solución toma los siguientes valores en la frontera del intervalo [ ] : ( )tg b,a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ααλ1αλayλ1ayλag 21 =−+=−+= ( ) ( ) ( ) ( )byλ1byλbg 21 −+=

La pregunta inmediata es, existirá tal que λ ( ) βbg = ? Es decir, la función resolverá el P.V.F. dado para algún valor de ? Para responder esta pregunta basta resolver la ecuación:

( )tgλ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )byβbybyλβbyλ1byλβbg 22121 −=−⇔=−+⇔= Resolviendo la ecuación anterior, siempre que ( ) ( ) 0byby 21 ≠− , se obtiene

( )( ) ( ) byby

byβλ

21

2

−−

=

Por lo tanto, si ( ) ( ) 0byby 21 ≠− , la solución única del P.V.F. dado es

( ) ( ) ( ) ( )tyλ1tyλtg 21 −+= con ( )

( ) ( )bybybyβλ21

2

−−

=

Para el caso , se tiene que ( ) ( ) 0byby 21 =− ( )ty2 o ( )ty1 es, en sí misma, una solución del P.V.F. dado, pues ( ) 0byβ 2 =− , siempre que el P.V.F. ( 3 ) tenga solución (usando teoría de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden). Para aplicar este método Shooting, usando el computador procedemos como sigue: Consideramos dos P.V.I. asociados con el P.V.F. dado, que pueden ser


a) b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

0ay ,αaytrytqytpy ( ) ( ) (

( ) ( )⎩⎨⎧

=′=++′=′′

1ay ,αaytrytqytpy )

Aplicamos un método numérico, como por ejemplo Runge-Kutta de orden cuatro, para aproximar la solución del P.V.I. a) y ( )ty1 ( )ty2 del P.V.I. b), en los puntos igualmente espaciados:

m

abh con tb,,thka,,tha,ta mk10−

===+=+= ......

Digamos que tales valores aproximados son , es decir, k,2k,1 Y,Y

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈=

≈

k2k,2

k1k,1

tyYm,,1,0k

tyY

...

En particular,

( ) ( )( ) (bytyY

bytyY

2m2m,2

1m1m,1

=≈ )=≈

Si , entonces definimos m,2m,1 YY ≠m,2m,1

m,2

YYYβ

λ−

−= y calculamos los valores

( ) ( )kk,2k,1k tyYλ1YλY ≈−+=

siendo la solución del P.V.F. dado. ( )ty Si , tomamos como valores aproximados de m,2m,1 YY ≈ ( )kty a los valores ( o ). k,1Y k,2Y Ejemplo 6.19 Usemos el método del disparo en el caso lineal para aproximar la solución

del siguiente P.V.F. en los puntos ( )ty 10,,1,0k,hktk ...== con 10101h .== :

( ) ( )⎩⎨⎧

===′′

11y ,10yyy

(La única solución del P.V.F. dado es ( ) [ ]1,0t ,ee1

eee1

1ty tt ∈+

++

= − ).

Solución: Para aplicar el método Shooting, planteamos los siguientes dos P.V.I. asociados con el P.V.F dado:

a) b) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=′==′′

00y ,10yyy

( )⎩⎨⎧

=′==′′

10y,10yyy


Observe que estos dos P.V.I. tienen solución única ( ) tt1 e

21e

21ty −+= para el P.V.I. a) y

para el P.V.I. b). ( ) t2 ety =

( , ( ) tt eBeAty −+= ( ) 1BA0y =+= , ( ) tt eBeAty −−=′ , ( ) 0BA0y =−=′ , entonces

B21A == , lo que produce ( ) tt

1 e21e

21ty −+= que es la solución del P.V.I. a). Para el

P.V.I. b) se tiene que ( ) 1BA0y =+= , ( ) 1BA0y =−=′ , entonces 1A = , , así que

es la solución del P.V.I. b)).

0B =

( ) t2 ety =

Si aplicamos el método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar la solución de cada uno de los dos P.V.I., se obtiene:

( ) ( )( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

=′=′

⇒⎭⎬⎫′=

=

)b .I.V.P el para 10y,10y)a .I.V.P el para 00y,10y

yyyy

yyyy

21

21

12

21

2

1

(La instrucción en DERIVE para el P.V.I. a) es [ ] [ ] [ ]( )10,10,0,1,0,z,y,t,y,zRK .

k kt ( )k1k,1 tyY ≈ ( )k2k,2 tyY ≈

0 0 1 1 1 0.1 1.00500 1.10517 2 0.2 1.02006 1.22140 3 0.3 1.04533 1.34985 4 0.4 1.08107 1.49182 5 0.5 1.12762 1.64872 6 0.6 1.18546 1.82211 7 0.7 1.25516 2.01375 8 0.8 1.33743 2.22553 9 0.9 1.43308 2.45960 10 1.0 ( )1y543071 1≈. ( )1y182772 2≈.

Observamos que 718272Yy543071Y 10,210,1 .. ≈≈ , y como , entonces calculamos

2,1010,1 Y Y ≠

( )( ) ( ) 462101

7182725430417182721

bybybyβ

λ21

2 ...

.=

−−

=−

−=

así que λ462101λ ≈= . , con lo cual

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1,0t,ty4621011ty462101tg 21 ∈−+≈ .. es decir,

( ) ( ) ( )tyty462100ty462101 21 ≈− .. : solución del P.V.I. dado.


Los valores que aparecen en la siguiente tabla se calcularon con base en la fórmula: kY

( ) 10,,1,0k,tyY462100Y462101Y kk,2k,1k ..... =≈−= Haciendo los cálculos indicados, se obtiene:

k kt kY ( )kty ( ) kk Yty −

0 0 1 1 0 1 0.1 0.958711 0.958715 610x4 − 2 0.2 0.927020 0.927025 610x5 − 3 0.3 0.904611 0.904614 610x3 − 4 0.4 0.891262 0.891256 610x6 − 5 0.5 0.886819 0.886818 610− 6 0.6 0.891264 0.891256 610x8 − 7 0.7 0.904615 0.904614 610− 8 0.8 0.927038 0.927025 510x31 −. 9 0.9 0.958725 0.958715 510− 10 10 1.00001 1 510−

( [ ]( ) ( ) [ ]( 2COL**#λ12COL*#λ −+ ) produce los valores , y luego

produce: kY

( )( ) ≈10,1,0,t,tyTABLE .

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0101

10

***#

tyt kk

..

y se hace # * * * COL [ 2 ], y luego se hace la resta con la columna que produce los valores

). kY En la siguiente gráfica aparece la gráfica de la solución

( ) [ 1,0t ,ee1

eee1

1ty tt ∈+

++

= − ] del P.V.F. dado junto con los puntos

correspondientes a los valores obtenidos mediante la aplicación del método del disparo.

( )kk Y,t

kY


6.6 MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Supongamos que queremos aproximar la solución ( )ty de un P.V.F. de dos puntos general

( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

′=′′

βby,αayy,y,tfy

Una forma de hacerlo es aproximando las derivadas ( )ty′ y ( )ty ′′ a partir de expresiones como las siguientes:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ′′−−+

=′ ,y2h

htyhtyty entre t y ht +

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ′′−−−

=′ ,y2h

hhtytyty entre t y ht −

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ′′′−−−+

=′ ,y6

hh2

htyhtyty2

entre ht − y ht +

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−−+−+

=′′ ,y12h

hhtyty2htyty iv

2

2entre ht − y ht +

Veamos como se obtienen las expresiones 3) y 4) (las demás se dejan como ejercicio). Por teorema de Taylor aplicado a la función ( )ty , asumiendo ( )ty analítica en , se obtiene:

[ b,a ]

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ht y t entre ,y!3

hty!2

htyhtyhty 1

error o residuo

1

32+ξξ′′′+′′+′+=+

43421

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y ht entre ,y!3

hty!2

htyhtyhty 2

error o residuo

2

32−ξξ′′′−′′+′−=−

43421

332 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ Restando miembro a miembro las ecuaciones 5) y 6) se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

444 3444 21ξ′′′

ξ′′′+ξ′′′+′=−−+y2

21

3yy

!3htyh2htyhty

(la igualdad ( ) ( ) ( )ξ′′′=ξ′′′+ξ′′′ y2yy 21 se obtiene aplicando el Teorema del valor intermedio, asumiendo continuidad de ( ) [ ]b,at ,ty ∈′′′ ). Despejando en la ecuación anterior, se obtiene: ( )ty′

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]b,a,y6

hh2

htyhtyty2

∈ξξ′′′−−−+

=′

Como es continua en , entonces existe tal que ( )ty ′′′ [ b,a ] 0M > ( ) Mty ≤′′′ para todo

, así que [ b,at∈ ]

( ) ( ) ( )6Mh

h2htyhtyty 2≤

−−+−′ para todo [ ]b,at∈

lo cual se indica escribiendo

( ) ( ) ( ) ( ) hOh2

htyhtyty 2+−−+

=′

Para obtener (4), usamos:

7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ht y t entre ,y!4

hty!3

hty!2

htyhtyhty 11iv

432+ττ+′′′+′′+′+=+

8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y ht entre ,y!4

hty!3

hty!2

htyhtyhty 22iv

432−ττ+′′′−′′+′−=−

Sumando miembro a miembro las ecuaciones 7) y 8), se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

4444 34444 21

τ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

τ+τ+′′+=−++iv

y2

2iv

1iv

42 yy

!4htyhty2htyhty

y despejando , se obtiene ( )ty ′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]b,a ,y12h

hhtyty2htyty iv

2

2∈ττ−

−+−+=′′


Esta vez, como en 3),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hOh

htyty2htyty 22

+−+−+

=′′

En lo que sigue usaremos las expresiones

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2h

htyty2hty,h2

htyhty ++−−−−+

para aproximar ( ) ( )tyyty ′′′ , respectivamente, y diremos que son aproximaciones de orden dos o de orden ( )2hO . Ahora sí, para aproximar la solución ( )ty del P.V.F.

9) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

β=α=

′=′′

by,ayy,y,tfy

en el intervalo , usando el método de diferencias finitas, empezamos discretizando el intervalo mediante

[ b,a ]][ b,a 2N + puntos igualmente espaciados en [ ]b,a :

bt,,hiat, ,h2at,hat,at 1Ni210 =+=+=+== +...... , con 1Nabh

+−

= el tamaño

de paso.

Enseguida se discretiza el problema continuo 9), discretizando las funciones

, como sigue: ( ) ( )tyyty ′′′

10) [ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

β=

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+−

α=

+

−++−

1N

1i1iii1ii1i2

0

y

Ni1 ,h2yy

,y,tfyy2yh1

y

En esta discretización se tiene en cuenta que ( ) ( ) α=== aytyy 00 , ( )ii tyy ≈ ,

( ) ( ) β=== ++ bytyy 1N1N . La aproximación de la solución ( )ty del P.V.F. 9) varía dependiendo de la solución del problema discreto 10), la cual, a su vez, depende de la forma de la función f.

334 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ Consideraremos solamente, el caso en el cual ( )y,y,tf ′ es una función lineal de las variables y , es decir, consideramos solamente P.V.F. del tipo: y y′

( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

β=α=++′=′′

by ,aytrytqytpy

La discretización de este P.V.F., usando diferencias finitas de los tipos 3) y 4), es:

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

β=

≤≤++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=+−

α=

+

−++−

1N

iii1i1i

i1ii1i2

0

y

Ni1 ,ryqh2yy

pyy2yh1

y

donde , y ( )ii tpp = ( ii tqq = ) ( )ii trr = . Multiplicando por a ambos lados de la ecuación 2h−

[ ] Ni1 ,ryqh2yy

pyy2yh1

iii1i1i

i1ii1i2≤≤++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=+− −+

+− , y agrupando términos

semejantes, se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

( * ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

β=

≤≤−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

α=

+

+−

1N

i2

1iiii2

1ii

0

y

Ni1,rhyp2h1yqh2yp

2h1

y

Introduciendo las notaciones i1i p2h1a −−=− , , i

2i qh2d += ii p

2h1c += , , el

sistema ( * ) toma la forma siguiente:

i2

i rhb −=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

β=

≤≤=++

α=

+

+−−

1N

i1iiii1i1i

0

yNi1,bycydya

y

( o 1211100 bycydya1i =++= : α−=+ 012111 abycyd , ya que ; α=0y . 2322211 bycydya2i =++= : En general: 1Ni2,bycydya i1iiii1i1i −≤≤=++ +−− o N1NNNN1N1N bycydya Ni =++= +−− : β−=+−− NNNN1N1N cbydya , ya que ) β=+1Ny


Sistema que en forma matricial es:

43421321

M

444444444 3444444444 21L

MOOM

O

L

b

cbb

bb

ab

Y

yy

yyy

A

da00cda0

0cda000cda000cd

NN

1N

3

2

01

N

1N

3

2

1

N1N

1N1N2N

332

221

11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

α−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−

El sistema final es un sistema tridiagonal para el cual hay algorítmos especiales para resolverlo, como por ejemplo, a través de la factorización de la matriz de coeficientes A, porque este sistema, para h pequeño, casi siempre resulta con matriz de coeficientes estrictamente dominante diagonalmente por filas.

UL

Resolviendo este sistema se obtiene una aproximación discreta de la resolución ( )ty del P.V. F.

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

β=α=++′=′′

by ,aytrytqytpy

Este método de “solución” se conoce como método de diferencias finitas. Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones sobre las funciones ( ) ( ) ( )tr y tq , tp y ciertas condiciones de frontera, el método de diferencias finitas es convergente, es decir, ( ) 0yty ii →− cuando . 0h →

Ejemplo 6.20 Considere el P.V.F.

( ) ( )⎩⎨⎧

==++′=′′

21y,10ytyy2y

a) Demuestre que el P.V.F. dado tiene solución única en [ ]1,0 .

Demostración: ( ) tyz2z,y,tfSea ++= . Entonces

( ) ( ) ( ) 2z,y,tf,1z,y,tf,z,y,tf zy == son continuas en ( ) ∞+<<−∞≤≤= z,y,1t0/z,y,tR


además para todo ( ) 01z,y,tfy >= ( ) R∈z,y,t , y ( ) M22z,y,tfz =≤=

para todo . ( ) R∈z,y,t Luego el P.V.F. dado tiene solución única ( ) [ ]1,0t,ty ∈ .

b) Use el método de Diferencias finitas de orden ( )2hO (diferencias finitas centradas)

con tamaño de paso 41h = , para obtener valores aproximados de

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛43y,

21y,

41y .

Solución: Empezamos discretizando el intervalo [ ] [ ]1,0b,a = . Como 41h = , entonces

1ty43h3t,

21h20t,

41h0t,t0a 43210 ====+==+===

Debemos aproximar ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛43y,

21y,

41y ya que ( ) ( ) 21yy10y == .

Discretizamos la E.D.O tyy2y ++′=′′ , tomando centro en 3i1,ti ≤≤ , y se obtiene:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

≤≤++−

=+−

==

−++−

21yy

3i1,tyh2yy

2h

yy2y10yy

4

ii1i1i

21ii1i

0

Como 41h = , entonces el sistema toma la forma:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

≤≤++−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+−

=

−++−

2y

3i1,ty

41

yy

41

yy2y1y

4

ii1i1i

21ii1i

0


es decir:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤++−=+−

=

−++−

2y3i1,tyyy4yy2y16

1y

4

ii1i1i1ii1i

0

y agrupando términos semejantes, se obtiene:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≤≤=+−

=

+−

2y3i1,ty12y33y20

1y

4

i1ii1i

0

Escribiendo las ecuaciones para cada i , se obtiene:

( )4

7912041y12y33ty12y33y20:1i 211210 −=−=+−⇔=+−=

es decir, 4

79y12y33 21 =−

21y12y33y20ty12y33y20:2i 3212321 −=−+−⇔=+−=

es decir, 21y12y33y20 321 −=−+−

( )

493212

43y33y20ty12y33y20:3i 323

2432 −=−=−⇔=+−=

es decir,

4

93y33y20 32 =−+−

Luego el sistema lineal a resolver es:

43421321444 3444 21

b4

93 2

14

79

Y

yyy

filas por E.D.D esA

3320012332001233

3

2

1

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

cuya única solución es:

( )( )( ) ⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≈

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

43y

21y

41y

3588719701079638752199108075830

80388109237

12181315

2679626557

yyy

3

2

1

.

..

338 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ ECUACIÓN DE LAPLACE (BIDIMENSIOSNAL) La ecuación de Laplace en dos variables es una ecuación diferencial parcial elíptica (Forma general: ( )yxyyyxxx ,,,y,xfCBA φφφ=φ+φ+φ , con A, B y C constantes, si

, la ecuación se dice elíptica; si , la ecuación se dice

parabólica; si , la ecuación se dice hiperbólica) donde no aparece la variable t:

0CA4B2 <− 0CA4B2 =−

0CA4B2 >−

(1) ( )0Uo0U o0yyUxxU 2 =∆=∇=+ siendo U una función en las variables y , es decir, x y ( )y,xU . Al estudiar procesos estacionarios (procesos que se estabilizan o estacionan cuando

, o sea que ya no cambian con el tiempo) de distinta naturaleza física (por ejemplo: oscilaciones, vibraciones, conducción del calor, difusión y otros) se obtiene, por lo general, ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico, y la ecuación más frecuente de este tipo es la ecuación de Laplace:

+∞→t

0U2 =∇ Una función se dice armónica en una región T del plano , si U junto con sus derivadas parciales de orden menor o igual que 2 son continuas en T y

( y,xU ) yx( )y,xU satisface la

ecuación de Laplace. PROBLEMA DE DIRICHLET: Un problema que ocurre en el estudio del color, electricidad y muchas otras ramas de la física es el problema de Dirichlet. En la versión bidimensional se

dan una región abierta en y una función Ω 2R ( )y,xg definida sobre la frontera deΩ , , y se busca una función Ω∂ ( )y,xU que sea continua sobre la clausura de

Ω∂∪Ω=ΩΩ , , y satisfaga la ecuación de Laplace en Ω y sea igual a en la frontera de Ω . Esto se sintetiza escribiendo:

( y,xg )

(2) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΩΩ∂∪Ω=Ω

Ω∂∈∀=ΩΩ∈∀=+

declausura sobrecontinuaes y,xU y,xy,xgy,xU

deabiertoconjunto ,y,x0yyUxxU 2R

(Principio del valor máximo: Los valores máximo y mínimo de ( )y,xU se alcanzan en

) Ω∂ Si está sujeta a algunas restricciones y si Ω ( )y,xg es continua en Ω∂ , entonces se puede probar que el problema (2) tiene solución única. En el problema (2), se trata de encontrar ( )y,xU para todo ( ) Ω∈y,x (en el interior de ), conociendo el comportamiento de

Ω( )y,xU en la frontera de ( )Ω∂Ω .

Para ilustrar el método numérico que vamos a estudiar para aproximar la solución del problema (2) , considérese el P.V.F. siguiente:

( )y,xU


( ) ( )⎩⎨⎧

Ω∂=Ω=+

eny,xgy,xU en0yyUxxU

)3(

siendo ( ) ( ) ( ) abiertounitariocuadrado:1y0,1x0/y,x1,0x1,0 <<<<==Ω

( ) [ ] [ ]( )1,0x1,0

1x0y1y,1x0y0y,1y0y1x,1y0y0x/y,x

∂=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤=≤≤=≤≤=≤≤=

=Ω∂

La función de frontera es arbitraria, por el momento. ( y,xg )

)Para aplicar el método de diferencias finitas para aproximar la función en ( y,xU Ω , empezamos discretizando el cuadrado Ω , mediante los puntos de malla (o de red):

( ) ( )1M

1k,1N

1hcon,kj,hiy,x ii +=

+==

N y M enteros positivos. En este caso el tamaño de paso en x puede ser diferente al tamaño de paso en . y Una discretización del rectángulo [ ] [ ]1,01,0 × es como se muestra en la siguiente gráfica, donde se utiliza para indicar que en el punto de malla con coordenadas j,iU

( ) ( jk,ihy,x ji = ) , se va a aproximar la función desconocida ( )y,xU .

En lo que sigue, consideraremos el estudio para el caso particular:

, es decir ( ) ( ) 1Nj,i0,hj,hiy,x ii +≤≤=1N

1kh+

== , N entero positivo cualquiera.

340 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ El propósito es encontrar valores aproximados de ( )ji y,xU para cada uno de los puntos

( )ji y,x interiores de la malla. Si tomamos como caso particular 3N = , se necesita aproximar ( )ji y,xU para cada uno de

los ( )2N99 = puntos interiores de la malla (en el caso general, se aproxima ( )ji y,xU en cada uno de los NM puntos interiores de la malla). Tomaremos como notación para representar el valor aproximado de j,iU ( )ji y,xU . En

este caso, los valores 4j,i0,U,U,U,U 4,i0,ij,4j,0 ≤≤ son conocidos (condiciones de frontera). Ahora discretizamos la E.D.P.:

( 1 ) 0yyUxxU =+ mediante diferencias finitas del tipo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

hOh

hxfxf2hxfxf +++−−

=′′

Tomando como centro el punto ( ) ( )hj,hiy,x ii = , y las diferencias finitas del tipo indicado, obtuvimos la siguiente discretización de la E.D. parcial:

[ ] [ ] 0UU2Uh1UU2U

h1

1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2=+−++− +−+−

(Recuerde que en situación general sería:


[ ] [ ]1M

1k,1N

1h,0UU2Uk1UU2U

h1

1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2 +=

+==+−++− +−+− )

Multiplicando por y agrupando términos semejantes, se obtiene: 2h−

3j,i1,0UUUU4U 1j,i1j,ij,1ij,ij,1i ≤≤=−−−+− +−+−

(En el caso general ( )Mj1,Ni1 ≤≤≤≤ la cual se conoce como Fórmula de diferencias finitas de cinco puntos.

Para ordenar las ecuaciones correspondientes ( 9 ecuaciones: una para cada punto interior de la malla ), usaremos el siguiente orden llamado natural:

[ ]3,33,23,12,32,22,11,31,21,1 U,U,U,U,U,U,U,U,UU =

(ver la discretización del rectángulo [ ] [ ]1,01,0 × , hecha en página anterior) En cada una de las ecuaciones, los valores conocidos se colocarán al lado derecho de la ecuación. Los resultados son como sigue: Punto (1, 1): 0UUUU4U 2,10,1,21,11,0 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es

UUUUU4 1,00,12,11,21,1 +=−− (1ª ) Punto (2,1): 0UUUU4U 2,20,21,31,21,1 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es

UUUU4U 0,22,21,31,21,1 =−−+− (2ª) Punto (3,1): 0UUUU4U 2,30,31,41,31,2 =−−−+− , la cual escrita en el orden natural es

342 MÉTODOS NUMÉRICOS __________________________________________________________________________________ UUUU4U 1,40,32,31,31,2 +=−+− ( 3ª ) Continuando de esta manera se obtienen las siguientes 6 ecuaciones, que presentamos en el orden natural: Punto (1,2); UUUU4U 2,03,12,22,11,1 =−−+− (4ª ) Punto (2,2): 0UUU4UU 3,22,32,22,11,2 =−−+−− (5ª ) Punto (3,2): UUU4UU 2,43,32,32,21,3 =−+−− (6ª ) Punto (1,3): UUUU4U 4,13,03,23,12,1 +=−+− (7ª ) Punto (2,3): UUU4UU 4,23,33,23,12,2 =−+−− (8ª ) Punto (3,3): UUU4UU 3,44,33,33,22,3 +=+−− (9ª ) Nota: Téngase en cuenta que ( )jij,i y,xgU = es conocido para

4i0y4j,0j;4j0y4i,0i ≤≤==≤≤== (En el caso general ) 1Mj,0j,1Ni,0i +==+==

La matriz de coeficientes del sistema resultante es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΤΙ−Ι−ΤΙ−

Ι−Τ≡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

O

O

4 10 10 0 0 0 0 14 10 10 0 0 0 0 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 10 0

0 10 14 10 10 0 0 10 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 0 0 0 0 10 14 10 0 0 0 0 10 14

El sistema tridiagonal por bloques resultante, se resuelve usando un método iterativo, por ejemplo Gauss-Seidel (observe que el sistema no es E.D.D. por filas). Para el ejemplo, solamente hay 33 elementos no nulos de un total de 81 ( ) ( )( )337334 =+ . En general,

hay a lo más elementos no nulos de un total de 2N5 22 NN × . Observe el tamaño de los sistemas que resultan cuando Naumenta, por ejemplo, 10N = ).


ECUACIÓN DE POISSON: La forma típica de la Ecuación de Poisson en dos variables, es:

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en y,xgy,xU

en y,xfUU4 yyxx

Se puede resolver este problema (4), transformándolo en dos problemas más simples, como sigue:

( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en y,xgy,xU

en 0UUa yyxx y ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω∂=

Ω=+

en 0y,xU

en y,xfUUb yyxx

Después de resolver (a) y (b), la solución del problema de Poisson es

, siendo ( ) ( ) ( y,xUy,xUy,xU 21 += ) ( )y,xU1 y ( )y,xU2 las soluciones de los problemas a) y b), respectivamente. Estos dos problemas más simples tienen la ventaja de que cada uno tiene una parte homogénea. Ejemplo 6.21: Consideremos el problema de Poisson:

( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ]( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∂=Ω∂−=

=<<=Ω=+

1,0x1,0enyxy,xU

1,0x1,01y,x0/y,xenyUU yyxx

Usando una partición uniforme de Ω con 41h = , calcule valores aproximados para ( )y,xU

en cada punto interior de la malla. Solución: Los puntos interiores de la partición son: , , , , , , , y . 1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 8p 9p


Las coordenadas de los puntos interiores son: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

41,

41p1 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=41,

21p2 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=41,

43p3 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

41p4 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

21p5 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=21,

43p6 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

41p7 , ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

21p8 y ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=43,

43p9 .

La formula de diferencias finitas, nos conduce a:

[ ] [ ] 3j,i1,yUU2Uh1UU2U

h1

j1j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i2≤≤=+−++− +−+−

y como ,41h = entonces 16

h12= , con lo cual, al multiplicar por

161h2 −=− , se obtiene la

siguiente fórmula de diferencias de cinco puntos:

3j,i1,y161UUUU4U j1j,i1j,ij,1ij,ij,1i ≤≤−=−−−+− +−+−

Reemplazando en esta fórmula para cada punto, se obtienen las ecuaciones correspondientes:

1j1,i == ( ) 12,10,11,21,11,01 y161UUUU4U:1,1p −=−−−+− ,

pero 41

410

41,0UU 1,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 410

410,

41UU 0,1 =−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 41y1 = , con lo cual la

ecuación resultante, usando el orden natural es:

641

41

41

41

161UUU4 2,11,21,1 −=+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−− (1ª ecuación )

1j 2,i == ( ) 12,20,21,31,21,12 y161UUUU4U:1,2p −=−−−+− ,

pero 210

210,

21UU 0,2 =−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 41y1 = . Luego la ecuación resultante es:

6431

641

21UUU4U 2,21,31,21,1 =−=−−+− (2ª ecuación )

1j 3,i == ( ) 12,30,31,41,31,23 y161UUUU4U:1,3p −=−−−+− ,

pero 43

411

41,1UU 1,4 =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

430

430,

43UU 0,3 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

41

1 =y . Luego la

ecuación resultante es:

6495

641

43

43UU4U 2,31,31,2 =−+=−+− (3ª ecuación )


2j 1,i == ( ) 23,11,12,22,12,04 y161UUUU4U:2,1p −=−−−+− ,

pero 21

210

21,0UU 2,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 21

2 =y . Luego la ecuación resultante es:

3217

21

321UUU4U 3,12,22,11,1 −=−−=−−+− (4ª ecuación )

2j 2,i == ( ) 23,21,22,32,22,15 y161UUUU4U:2,2p −=−−−+− . Luego la


321UUU4UU 3,22,32,22,11,2 −=−−+−− (5ª ecuación )

2j 3,i == ( ) 23,31,32,42,32,26 y161UUUU4U:2,3p −=−−−+− ,

pero 21

211

21,1UU 2,4 =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación resultante es:

3215

21

321UU4UU 3,32,32,21,3 =+−=−+−− (6ª ecuación)

3j 1,i == ( ) 34,12,13,23,13,07 y161UUUU4U:3,1p −=−−−+− ,

pero 43

430

43,0UU 3,0 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 431

411,

41UU 4,1 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 43y3 = . Luego la


6499

43

43

43

161UU4U 3,23,12,1 −=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−+− (7ª ecuación)

3j 2,i == ( ) 34,22,23,33,23,18 y161UUUU4U:3,2p −=−−−+− ,

pero 211

211,

21UU 4,2 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación resultante es:

6435

21

43

161UU4UU 3,33,23,12,2 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−+−− (8ª ecuación )

3j 3,i == ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−−−+−43

161UUUU4U:3,3p 4,32,33,43,33,29 ,


pero 41

431

43,1UU 3,4 =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , 411

431,

43UU 4,3 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= . Luego la ecuación

resultante es:

643

41

41

43

161U4UU 3,33,22,3 −=−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=+−− (9ª ecuación )

Luego el sistema lineal a resolver es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

64364356499

32153213217

64956431641

UUUUUUUUU

4 10 10 0 0 0 0 14 10 10 0 0 0 0 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 10 0 0 10 14 10 10 0 0 10 14 0 0 10 0 0 10 0 4 10 0 0 0 0 10 14 10 0 0 0 0 10 14

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

La solución única de este sistema es:

( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

≈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

43,43U43,21U43,41U21,43U21,21U21,41U41,43U41,21U41,41U

02706.028404.052706.022656.0 03515.027734.048409.0 22935.0 15904.0

358497179250935841889

2565725692567135841735

1792411358457

UUUUUUUUU

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

Documents

PVI & PVF