RAP_PFE

8/4/2019 RAP_PFE

http://slidepdf.com/reader/full/rappfe 1/101

UNIVERSITE DE TUNIS EL MANAR

Département génie électrique

Rapport de Projet de Fin d’Etudes

2002/2003

Réalisé par :Ben Djemâa Ahmed Bassem

Conception d’une chaîne de

transmission :codage source et codage canal

Soutenue le 30 juin 2003 devant le jury composé par :

Présidente : Mme JAIDANE Mériem

Rapporteur : Mme TURKI Monia

Invité : Mr. KALLEL Samir

Encadreurs : Mr. BOUALLEGUE Ammar

Mr. HAMDI Noureddine

Juin 2003

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Dédicaces

Je dédie ce travail à mes très chers

parents.

Je ne trouverais jamais les mots qu’il faut

pour vous remercier

Tous mes sentiments de reconnaissance pour

vous.

A mon petit frère.

A mes sœurs.A tous mes amis.

En leurs souhaitant plein de bonheur.

Projet de fin d’étude ENIT 2002-2003

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Remerciement

J'adresse mes plus vifs remerciements à mes

encadreurs Mr BOUALLEUE Ammar

et Mr HAMDI Noureddine qui m’ont soigneusement

encadré et prodigué de leurs conseils enrichissants

au cours de la réalisation de ce projet de fin

d’étude. Je tiens également à leur exprimer ma profonde

reconnaissance pour leur disponibilité, leur

confiance et leur assistance technique et morale.

Sans oublier de remercier mes enseignants à

l'ENIT pour la qualité de l'enseignement qu'ils m'ont

offert durant ces trois dernières années.

Mes remerciements les plus vifs vont aussi à

tous ceux qui de prés ou de loin, ont apporté leur

contribution à ce travail.


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Que les membres du jury trouvent ici mes

profonds remerciements.


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Résumé

Résumé

L’objet de ce projet de fin d’étude consiste à élaborer un algorithme de codage source

appliqué à la transmission d’images et d’un algorithme de codage canal en utilisant le

codage BCH. Les deux problèmes du codage de source et de codage de canal sont

considérés de manière séparée.

Ces deux algorithmes développés seront utilisés pour la transmission d’images.

A la fin de ce projet, nous avons mis en œuvre une chaîne logicielle complète pour la

transmission d’images fixes.

Abstract

The purpose of this project is to elaborate an algorithm of source coding and an

algorithm of channel coding while using the BCH coding.

The two problems of the source coding and channel coding are considered separated.

These two developed algorithms will be used for the transmission of pictures.

At the end this project, we put in work a complete software chain for the picture

transmission.


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Sommaire

Sommaire

INTRODUCTION GÉNÉRALE................................................................................7

Chapitre I :Généralité ....................................................................................10I.1Introduction ................................................................................................................ 10I.2Principaux éléments d’une chaîne de communication numérique ............................ 10

I.2.1Source de message ................................................................................................ 11

I.2.2Le codeur de source ..............................................................................................12I.2.3Le codeur de canal ...............................................................................................12I.2.4L’émetteur ou le modulateur .................................................................................12I.2.5Canal de transmission ...........................................................................................13I.2.6Le récepteur ......................................................................................................... 13I.2.7Le décodeur de canal .......................................................................................... 13I.2.8Le décodeur de source ......................................................................................... 13I.2.9 Conclusion ...........................................................................................................14Chapitre II :Codage de source .......................................................................16

II.1 Introduction ..............................................................................................................16II.2Les techniques de compression conservatrice ...........................................................17

II.2.1 Codage de Huffman ............................................................................................17a.Principe de la Méthode de Huffman ..........................................................17 b.Méthode de compression .............................................................................18c.Exemple pratique du codage de Huffman .................................................. 19d.Limites du codage de huffman ................................................................... 21e.Commentaires ..............................................................................................22II.2.2RLE (Run Length Encoding) ............................................................................... 22a.Algorithme de compression .........................................................................22b. Algorithme de decompression ....................................................................23

c.Exemple pratique ........................................................................................ 23d.Commentaire ................................................................................................ 23II.2.3LZW (Lempel-Ziv Welch) .................................................................................. 23a.Algorithme de compression .........................................................................23b.Algorithme de décompression ....................................................................24 c.Commentaires .............................................................................................24

II.3Les techniques de compression non conservatrice ....................................................24II.3.1Introduction .........................................................................................................24II.3.2Qu’est ce qu’une image numérique ? ..................................................................25II.3.3Introduction à la compression d’une image numérique ..................................... 26

II.3.4La compression JPEG ......................................................................................... 27a.Historique 27

Projet de fin d’étude Page 1 ENIT 2002-2003

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Sommaire

b. Les différentes étapes de la compression non conservative d'une image . 28c.Exemple de compression .............................................................................35d.Conclusion 37 II.3.5Les ondelettes ......................................................................................................37II.3.6Les fractales ......................................................................................................... 40II.3.7Conclusion .......................................................................................................... 41Chapitre III :Codage de canal .......................................................................43

III.1Introduction ..............................................................................................................43III.2Les codes correcteurs d’erreurs ............................................................................... 44

III.2.1 Les codes en bloc Linéaires .............................................................................. 44III.2.2 Les codes cycliques ........................................................................................... 47III.2.3 Les codes BCH .................................................................................................49III.2.4 Utilisation de la transformé en cosinus discrète dans un codage correcteur d’erreur 51III.2.5 L’algorithme de Berlekamp-Massey et de Forney ............................................ 54III.2.6 L’algorithme de Peterson-Gorenstein-Zierler ...................................................55

Chapitre IV : Conception et Implémentation ................................................ 60IV.1Introduction ..............................................................................................................60IV.2Source de message ...................................................................................................60

IV.2.1Types de données utilise pour modéliser l’image ............................................. 61IV.2.2Fonctions utilisées pour manipuler les images ................................................. 62

IV.3Codage et décodage de source .................................................................................63IV.3.1DCT et IDCT .....................................................................................................65IV.3.2Quantification et déquantification ......................................................................65IV.3.3Lecture en zigzag ...............................................................................................66IV.3.4DPCM et RLE ....................................................................................................66IV.3.5Huffman ............................................................................................................. 67

a.types de données utiliser pour construire l'arbre ....................................... 67 b.Fonctions utilisées pour compresser et decompresser des fichier en

utilisant le codage de hufman ..................................................................67 IV.4Codage et décodage canal ........................................................................................70IV.5Programme principal ...............................................................................................73IV.6Conclusion ..............................................................................................................74

Chapitre V : Résultats et discussion ..............................................................76 V.1Codeur source ..........................................................................................................76V.2Codeur canal .............................................................................................................84V.3Comparaison entre codage source et codage canal indépendant et le codage source

canal conjoint ......................................................................................................90V.3.1Théorème de séparation de Shannon ................................................................... 90V.3.2Solution traditionnelle et limites d’utilisation ..................................................... 91V.3.3Solution conjointe............................................................................................... 91a.Protection des codes sources ...................................................................... 91b.Equilibrage de rendements .......................................................................... 91

V.4Conclusion ................................................................................................................ 91Conclusion Générale ......................................................................................93

Bibliographie 95


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Liste des figures

Liste des figures


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Liste des figures

FIGURE 1 : PRINCIPE D'UNE CHAÎNE DE COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES......................................................................................................................................11

FIGURE 2 : EXEMPLE MONTRANT COMMENT UN CODE DE HUFFMAN ESTÉTABLIT....................................................................................................................21

FIGURE 3 : PRINCIPE DE LA NORME JPEG....................................................29FIGURE 4 : EXEMPLE DE TABLE DE QUANTIFICATION...........................34

FIGURE 5 : LECTURE EN ZIGZAG.....................................................................34

FIGURE 6 : LENA ORIGINALE............................................................................36

FIGURE 7 : IMAGE DE LENA POUR UN TAUX DE COMPRESSION ÉLEVÉ38

FIGURE 8 : SYSTÈME DE COMPRESSION D'EMPREINTES DIGITALES 40

FIGURE 9 : ALGORITHME DE DÉCODAGE POUR LES CODES DCT.......53

FIGURE 10 : ALGORITHMES DE BERLEKAMP-MASSEY ET DE FORNEY

POUR LES CODES DCT.........................................................................................55FIGURE 11 : ORGANIGRAMME DE L’ALGORITHME DE PETERSON-

GORENSTEIN-ZIERLER........................................................................................58

FIGURE 12 : SCHÉMAS DE PRINCIPE DU CODEUR DE SOURCE..............64

FIGURE 13 : ORGANIGRAMME DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE DEHUFFMAN.................................................................................................................69

FIGURE 14 : ORGANIGRAMME SIMPLIFIÉ DE LA COMPRESSION DEHUFFMAN.................................................................................................................70

FIGURE 15 : L’ALGORITHME DE BERLEKAMP_MASSEY ........................72

FIGURE 16 : L’ORGANIGRAMME DE DU PROGRAMME PRINCIPAL.....74

FIGURE 17 : COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA VARIATION DE LA TAILLEDU FICHIER COMPRESSÉ EN FONCTION DU FACTEUR DE QUALITÉ..77

FIGURE 18 : COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA VARIATION DU NOMBRED’ERREURS NON CORRIGÉES EN FONCTION DE LA PROBABILITÉ

D’ERREUR BINAIRE..............................................................................................85

FIGURE 19 : IMAGE REÇUE SANS UTILISATION DE CODEUR CANAL POUR P= 0.0015.......................................................................................................................86

FIGURE 20 : IMAGE REÇUE EN UTILISANT NOTRE CODEUR CANAL POUR LA MÊME PROBABILITÉ D’ERREUR ..............................................................87

FIGURE 21 : IMAGE TROP BRUITÉ ISSUE D’UNE CHAÎNE QUI NE PRÉSENTEPAS DE CODEUR CANAL......................................................................................88

FIGURE 22 : IMAGE REÇUE CAS D’UN CANAL TROP BRUITÉ.................89


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Liste des Tableaux

Liste des Tableaux

TABLEAU 1 : TABLES DES OCCURRENCES...................................................19TABLEAU 2: EXEMPLE DE TABLE DE QUANTIFICATION POUR LALUMINANCE ET LA CHROMINANCE...............................................................33

TABLEAU 3: TABLEAU COMPARATIF DES DIFFÉRENTS NIVEAUX DEQUALITÉ...................................................................................................................37

TABLEAU 4 : REPRÉSENTATION DE GF(24) COMME EXTENSION DE GF(2). 50

TABLEAU 5 : TABLE DE MESURE DE LA TAILLE DU FICHIER COMPRESSÉEN FONCTION DU FACTEUR DE QUALITÉ....................................................76

TABLEAU 6 : TABLE DES PROBABILITÉS DE TRANSITION......................84

TABLEAU 7 : QUELQUES ORDRES DE GRANDEUR DE PROBABILITÉD’ERREURS .............................................................................................................89

Liste des Abréviations


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Liste des Tableaux


− JPEG Join Photographic Experts Group− DCT Discrete Cosine Transform− IDCT Inverse Discrete Cosine Transform− RLE Run Length Encoding

− DPCM Differential Pulse Code Modulation− LZW Lempel-Ziv Welch− GF Galois Field− TIFF Tagged Image Format File− CCITT Consultative Committee for International Telegraph and Telephone− ISO Organisation Internationale de Standardisation− CBS Canal Binaire Symétrique− BCH Bose-Chaudhuri-Hockenghem− VLC Variable Length Code− DWT Discrete Wavelet Transform

− IDWT Inverse Discrete Wavelet Transform

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INTRODUCTION GÉNÉRALE

La transmission de contenu multimédia, et particulièrement l'image animée, sur des

réseaux où les débits restent encore relativement faibles, nécessite l’utilisation des

techniques de compression afin de réduire la taille des données à transmettre etd’économiser les ressources des canaux de transmission. Ce besoin a motivé les recherches

en codage source, dans le but de développer de nouveaux algorithmes de compression plus

performants. On distingue deux techniques de compressions : Celles qui sont conservatives,

utilisée pur réduire le poids de données qui doivent rester identiques à leur original et les

techniques de compression destructives, utilisées essentiellement pour compresser les

images fixes et animées, la parole, et la musique.

Un codeur de source peut être la combinaison de plusieurs techniques de compressionafin de réduire au maximum la taille des données à transmettre ou à stocker tout en

conservant une distorsion tolérable.

A cause des perturbations et du bruit introduit par le canal, le signal reçu peut ne pas

être une réplique exacte du signal à la sortie du codeur de source. Ceci peut ne pas être

tolérable, surtout dans le cas ou les données transmises doivent rester identiques à leur

original. La solution est de pouvoir détecter puis éventuellement corriger les erreurs pouvant

altérer le signal a transmettre. Pour cela, des techniques permettant de protéger l’information à émettre contre les perturbations introduites par le canal de transmission sont

utilisées. Cette protection contre les erreurs du canal peut s’effectuer par deux blocs

différents constituants la chaîne.

− Le codeur canal : en recodant l’information à transmettre.

− Le modulateur : en choisissant un qui soit adapté au canal de transmission.

Ces deux techniques de protection sont généralement combinées pour augmenter la performance de la chaîne de transmission.

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Ces deux opérations de codage source et de codage canal doivent se faire en respectant

un certain nombre de contraintes :

Il faut d’abord pour un débit visé, évaluer la dégradation apportée au signal et voir si

cette dégradation est acceptable. Il faut ensuite, rendre le degré de complexité inférieur à uncertain seuil. Un degré de complexité important peut être accepté au niveau de l’émission,

mais il doit être beaucoup plus faible à la réception au niveau de l’utilisateur. Enfin, il faut

avoir un délai de reconstitution adapté à l’application. Par exemple, pour les transmission

full duplex, il faut minimiser le plus possible ce délais.

C’est cette double opération de codage source et de codage canal, qui fait l’objet de ce

projet de fin d’étude. En effet, le travail réalisé consiste à élaborer un algorithme de codage

source appliqué à la transmission d’images et d’un algorithme de codage canal en utilisantle codage BCH. Les deux problèmes du codage de source et de codage de canal sont

considérés de manière séparée, selon le « théorème de séparation » de Shannon. Ces deux

algorithmes développés seront utilisés pour la transmission d’images.

Dans ce projet, nous avons mis en œuvre une chaîne logicielle complète pour la

transmission d’images fixes.

L’ensemble de ces idées est développé en cinq chapitres.

− Le premier chapitre présente les différents blocs constituant une chaîne de

communication numérique.

− Dans le deuxième chapitre, nous exposons les techniques de compression

conservatives, ainsi que les techniques de compression non conservatives. Dans laquelle,

nous étudions particulièrement l'algorithme JPEG de compression d'image, qui est la

combinaison de plusieurs techniques de compression.

− Le troisième chapitre introduit les principaux codes correcteurs d'erreur. Nous

finissons ce chapitre par une brève description de l'algorithme de Peterson-Gorenstein-

Zierler et de Berlekamp-Massey.

− Le quatrième chapitre présente les algorithmes que nous avons implémenté en utilisant

le langage C++.

− Le chapitre 5 sera consacré aux résultats de simulation de la chaîne qu’on a pu élaboré.

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Introduction Générale

Chapitre I

GÉNÉRALITÉ

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CHAPITRE I : GÉNÉRALITÉ

I.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous commençons par une représentation schématique d’une chaîne

de communication numérique. Par la suite nous présentons un à un les différents blocs

constituants la chaîne, en allant de la source du message jusqu’au destinataire.

I.2 Principaux éléments d’une chaîne de communication numérique

Une chaîne de communications numériques est composée généralement des

principaux blocs suivants :

− Source de message

− Codeur de source

− Codeur de canal

− Emetteur

− Canal de transmission

− Récepteur

− Décodeur de canal

− Décodeur de source

− Destinataire

Dans la suite, nous présentons les différents blocs constituant la chaîne.

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D : Débit binaire de la source

D s : Débit binaire à la sortie du codeur de source Dc : Débit binaire à la sortie du codeur de canal

Figure 1 : Principe d'une chaîne de communications numériques

I.2.1 Source de message

Comme son nom l’indique, la source délivre le message à transmettre vers le

destinataire tel qu’un fichier image, texte, voix ou vidéo. Un message est constitué par une

suite de symboles. Dans le cas binaire, ces symboles prennent leurs valeurs dans un alphabet

à deux éléments 0,1.

Dans le cas général, le message délivré par la source est analogique. Pour faciliter sontraitement ou sa transformation, il doit être numérisé. La numérisation se fait en

échantillonnant le message analogique par une fréquence d’échantillonnage bien choisit puis

en quantifiant les échantillons obtenus ensuite chaque échantillon est codé sur m symboles

binaires.

La source est caractérisé par son débit binaire D, définit comme le nombre de

symboles binaires qu’elle émet par unité de temps.

DébitbinaireD

c >Ds

Débitbinaire

Ds< D

Messagenumérique

caractérisépar un

débit D

Source de

message

Codeur desource

Codeur de canal

Emetteur

Canal detransmission

Décodeur desource

Décodeur decanal

Récepteur Destinataire

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I.2.2 Le codeur de source

Le message délivré par la source est ensuite traité par le codeur de source. Son rôle est

de réduire le débit binaire de la source. Cela se fait en représentant le message numérique

issu de la source sous une forme beaucoup plus compacte, c'est-à-dire en utilisant leminimum de symboles binaires. A la sortie du codeur de source le débit binaire D s est

nettement inférieur au débit D à la sortie de la source.

I.2.3 Le codeur de canal

Le codage canal appelé aussi codage correcteur d’erreurs. Comme son nom l’indique,

son rôle est de protéger les donnés numériques contre les erreurs introduites par le canal de

transmission. Ce qui permet d’améliorer les performances d’une chaîne de communicationnumérique. La littérature propose plusieurs algorithmes de codage pour assurer ce besoin.

La réalisation de ces algorithmes est possible grâce aux progrès techniques des circuits

intégrés.

A la sortie du codeur de canal, le débit Dc est strictement supérieur au débit D s à la

sorti du codeur de source. En effet, le codage canal consiste à insérer dans le message issu

du codeur de source des symboles de redondance suivant une loi donnée. On appelle

rendement du code ou encore le taux de codage le rapport :

c

s

D

D R =

I.2.4 L’émetteur ou le modulateur

L’émetteur assure l’opération de modulation qui consiste à associer au message

numérique issu du codeur de canal, un signal analogique compatible avec le milieu de

transmission utilisé. Le choix de ce signal analogique dépend des propriétés physiques dumilieu de transmission. L’émetteur assure donc une fonction d’adaptation au milieu de

transmission.

L’émetteur assure d’autres traitements tel que le filtrage du signal pour limiter sa

bande. Ce qui permet à plusieurs utilisateurs de partager le même milieu de transmission

sans risque d’interférence. L’émetteur peut assurer aussi une fonction de changement de

fréquence ce qui permet de centrer le signal autour de la fréquence f 0 alloué à la

transmission.

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I.2.5 Canal de transmission

Un canal peut être un câble coaxial, une liaison radioélectrique, un câble bifilaire, une

fibre optique ou un support d’enregistrement comme la bande magnétique. En traversant le

milieu de transmission, le signal issu de l’émetteur peut être affecté par des perturbations.Par mis ces perturbations, on peut citer le bruit additif généré par les dispositifs situés dans

le récepteur ainsi que les interférences causées par le milieu de transmission. Ces

interférences proviennent des autres utilisateurs du milieu, des interférences dues aux effets

climatiques ou du bruits industriels.

I.2.6 Le récepteur

Le récepteur a pour fonction de reconstituer le message à la sortie du codeur de canal à partir du signal reçu. Le récepteur comprend des circuits permettant d’amplifier le signal

reçu et d’effectuer des opérations de changement de fréquence et de démodulation.

I.2.7 Le décodeur de canal

Le décodeur de canal reçoit le message fourni par le récepteur et exploite la

redondance introduite par le codeur de canal, pour essayer de détecter puis éventuellement

de corriger les erreurs pouvant affecter le message reçu. Des algorithmes de décodage

assurent ce besoin.

I.2.8 Le décodeur de source

Le décodeur de source reçoit la séquence de symboles provenant du décodeur de

canal. Connaissant le traitement réalisé par le codeur de source, il reconstitue le message

original.

La qualité du message reconstitué peut être mesuré en évaluant la probabilité d’erreur

par symbole à la sortie du décodeur source en le comparant avec celui à la sortie de la

source du message.

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I.2.9 Conclusion

Nous venons d’introduire les différents blocs constituants une chaîne de transmission

numérique. Nous avons également présenté l’intérêt de chaque bloc dans la chaîne.

Nous proposons dans le prochain chapitre une présentation du codage source adapté à

la transmission d’images appelé encore compression d’images.

Nous présentons également chaque technique de compression et nous finissons par

une comparaison entre ces différents types de compression.

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Chapitre I Généralité

Chapitre II

CODAGE DE SOURCE

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CHAPITRE II : CODAGE DE SOURCE

II.1 Introduction

Le codage de source à pour rôle de résoudre le problème causé par la taille du fichier à

transmettre. En effet, l’utilisation du codage de source permet une réduction importante de

la quantité de données. La transmission sur des réseaux, ou le débit est relativement faible,

devient beaucoup plus lente que le poids des données est important. D’où l’utilité de

l’installation d’un codeur de source dans une chaîne de transmission [5].

Exemples d'utilisation de la compression pour le transport :

• Réseaux par câbles (Minitel, Internet dont la bande passante est très faible…).

• Réseaux sans fil (communication par satellite, télévision par satellite, le téléphone

portable ...).

La littérature propose plusieurs algorithmes de codage source qu’on peut appelés aussi

algorithmes de compression [12]. Ces algorithmes sont réalisés en réduisant toutes les

formes possibles de redondance. Nous distinguons deux techniques de compression :

- Les techniques de compression conservatrices (RLE, LZW, Huffman) qui permettent

de reconstituer, en fin de la chaîne, un signal identique au signal à l’entrée du codeur de

source. Ce type de compression est utilisé dans le cas ou les données informatiques doivent

rester identiques à leur original (textes, programmes informatiques, ...).

- Les techniques de compression non conservatrices. Dans ce cas, les données

reconstituées en fin de processus diffèrent de leur original, mais la différence n’est

pratiquement pas perçue par l’utilisateur. Ce type de compression est utilisé pour les images

fixes et animées ( JPEG, ondelettes, fractales, MPEG, ...), la parole et la musique.

Les différents algorithmes de compression sont choisis en fonction de :

• Leur taux de compression (rapport de la taille du fichier compressé sur la taille du

fichier initial).

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• La qualité de compression (dans le cas de compression avec perte).

• La vitesse de compression et de décompression.

Dans les paragraphes suivants, nous présentons les deux techniques de compression

conservatives et non conservatives. Nous étudions particulièrement l’algorithme JPEG de

compression d’image qui est la combinaison de plusieurs techniques de compression.

II.2 Les techniques de compression conservatrice

L’objectif de ce paragraphe est d’introduire les importants algorithmes de

compression conservative :

II.2.1 Codage de Huffman

Une source d’information émet des messages qu’on peut déterminer la probabilité

d’apparition. Pour améliorer l’efficacité de la transmission, il faut coder les messages en

mots dont la longueur varie en sens inverse de leur fréquence.

Le premier code basé sur les résultats de la théorie de l’information était le code

Shannon-Fano. Huffman a après introduit le code qui porte son nom, et dont il a démontré

que l’efficacité est toujours supérieure à celle du code Shannon-Fano.

Ce paragraphe est une présentation générale du codage de Huffman.

A . P RINCIPE DE LA M ÉTHODE DE H UFFMAN

Le codage de Huffman est une méthode de compression statistique de données qui

permet de réduire la longueur du codage d'un alphabet.

Ce codage est utilisé en particulier pour la transmission de messages par télécopie et

sur minitel.

C’est un procédé de codage dans lequel la longueur des mots codés varie en sens

inverse de leur probabilité d’apparition. En d’autres termes les données qui ont une

occurrence très faible sont recodées sur une longueur binaire supérieure à la moyenne, alors

que les données très fréquentes sont recodées sur une longueur binaire très courte.

Ainsi, pour les données rares, nous perdons quelques bits regagnés pour les données

répétitives. Par exemple, dans un fichier ASCII le "w" apparaissant 10 fois aura un code très

long 101000001000. Ici la perte est de 40 bits (10 x 4 bits), car sans compression, il serait

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codé sur 8 bits au lieu de 12. Par contre, le caractère le plus fréquent comme le "e" avec 200

apparitions aura un code à 1. Le gain sera de 1400 bits (7 x 200 bits).

De plus, le codage de Huffman a une propriété de préfixe : une séquence binaire ne

peut jamais être à la fois représentative d'un élément codé et constituer le début du code d'unautre élément. Cette propriété permet de décoder sans ambiguïté toute séquence, ce qui évite

d’avoir à inclure des séparateurs entre les mots.

Par exemple, si un caractère est représenté par la combinaison binaire 100 alors la

combinaison 10001 ne peut être le code d'aucune autre information. Dans ce cas,

l'algorithme de décodage interpréterait les 5 bits comme une succession du caractère codé

100 puis du caractère codé 01. Cette caractéristique du codage de Huffman permet une

codification à l'aide d'une structure d'arbre binaire.

B . M ÉTHODE DE COMPRESSION

L'algorithme se décompose en deux phases. La première consiste à lire entièrement

l'ensemble des données source et à comptabiliser le nombre d'apparitions de chaque

information : on bâtit ainsi une table des occurrences. Cette table est ordonnée suivant

l'ordre décroissant des fréquences.

Ensuite, on procède à des réductions successives jusqu'à la fin de la table. Une

réduction consiste à prendre les deux éléments de la table ayant les plus petites fréquences

(ou probabilités) et à les assembler. A ce nouvel élément ainsi constitué, on associe une

fréquence résultante de la somme des deux fréquences associées. Puis, il est reclassé dans la

table. Les deux membres initiaux en ont été éliminés.

L'assemblage se fait par l'intermédiaire d'un arbre binaire. On construit un noeud (ou

racine pour le premier) avec deux branches. L'élément de plus faible fréquence est placé sur

la branche de droite (appelée feuille droite), l'autre sur la branche de gauche (appelée feuille

gauche). On peut inverser la répétition des deux feuilles. Seul le codage sera différent avec

des "0" à la place des "1" et des "1" à la place des "0", mais la longueur du code sera la

même.

Feuille gaucheF

1F

2

noeud (ou racine)

Feuille droite

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Ainsi, deux éléments n'en font plus qu'un, et le nombre d'éléments total de la liste

diminue de un à chaque itération. Cette opération est répétée jusqu'à ce qu'il n'y ait plus

qu'un seul élément. Ce dernier noeud sera précisément la racine de l'arbre final.

Une fois l'arbre est terminé, nous pouvons attribuer aux feuilles (donc les informationssource) des valeurs dictées par la structure de l'arbre.

Pour chaque élément, pour atteindre sa feuille correspondante, on commence la

recherche à partir de la racine de l'arbre. A chaque pas à droite, on ajoute "0" à une chaîne

représentative du codage qui sera initialement nulle. A chaque pas à gauche, on ajoute "1" et

cela jusqu'à ce qu'on atteigne la feuille.

Il est évident qu'une fois le codage effectué, il faut relire l'ensemble des données pour

les coder. Aussi, pour que le codeur et le décodeur soient en phase, il faut transmettre la

table codage/décodage avant de coder les informations.

C . E XEMPLE PRATIQUE DU CODAGE DE H UFFMAN

Il s’agit de construire la table de codage de Huffman des éléments présenté dans le

tableau suivant :

Tableau 1 : Tables des occurrences

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Figure 2 : Exemple montrant comment un code de Huffman est établit

D. L IMITES DU CODAGE DE HUFFMAN

Malgré son efficacité, cet algorithme comporte quelques inconvénients :

− Premièrement, afin de constituer la table des fréquences et le codage de

l'information, il faut lire une première fois l'ensemble des données sources. En fonction de

sa dimension, on perd plus ou moins de temps.

− Deuxièmement, lors de la transmission d'information, il faut copier cette table de

décodage pour que le décodeur restitue l'ensemble des données sources. C'est-à-dire que l'ondevra faire figurer en tête de fichier les clés de décodage des octets. Pour les petits fichiers,

cet en-tête prend proportionnellement beaucoup de place et le gain peut être négatif.

Ces deux défauts sont liés à la méconnaissance de la table de codage/décodage. Cet

algorithme peut être amélioré en compilant une statistique décrivant la répartition des

données susceptibles d'être rencontrées. Dans le cas de la compression de fichier texte, il

existe des tables de statistiques pour l'alphabet lexical. Ces probabilités d'apparition

changent suivant la langue utilisée dans le fichier source. Ces tables statistiques intégrées

8/4/2019 RAP_PFE



dans un compresseur/décompresseur limitent l'utilisation d'un tel programme à la

compression de fichier texte uniquement. Pour la compression d’image, la méthode de

compression JPEG utilise des tables prédéfinies optimisées pour être utilisé pour tout type

d’images.

De plus cet algorithme de compression est très sensible à la perte d'un bit, toutes les

valeurs qui suivront un bit perdu seront fausses lors de la décompression.

E . C OMMENTAIRES

Lors de l'étude de la méthode de Huffman, nous avons mis en évidence le problème de

connaissance de la table de correspondance codage binaire, probabilité d'apparition d'un

message.

Ce principe de compression est aussi utilisé dans le codage d'image TIFF (Tagged

Image Format File) spécifié par Microsoft Corporation et Aldus Corporation. Par Ailleurs,

le codage d'image est fait en retranscrivant exactement le contenu d'une image, en utilisant

les méthodes traditionnelles de compression. Il existe des méthodes qui ne conservent pas

exactement le contenu d'une image (méthodes non conservatives). Mais, dont la

représentation visuelle reste correcte. Par exemple, la méthode JPEG ( Join Photographic

Experts Group), qui utilise la compression de type Huffman pour coder les informations

d'une image, est une combinaison de techniques de compression ne conservant pas

exactement le contenue de l’image : elle est dite méthode de compression « destructive ».

Malgré son ancienneté, cette méthode est toujours utilisée, et offre des performances

appréciables. En effet, beaucoup de recherches en algorithmiques ont permis d'améliorer les

fonctionnalités de la méthode Huffman de base, comme avec les arbres binaires, arbres

équilibrés, etc.

II.2.2 RLE (Run Length Encoding)

Cet algorithme exploite les répétitions successives de caractères.

A . A LGORITHME DE COMPRESSION

L’algorithme de compression suit les étapes suivantes :

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− Recherche des caractères répétés plus de n fois, avec n est un nombre fixé par

l'utilisateur. Ce nombre n doit être au moins égal à 3. Sinon, on risque d’augmenter la taille

de la chaîne.

− Remplacement de l'itération de ce caractères par : un caractère spécial identifiant unecompression suivi par le nombre de fois où le caractère est répété puis le caractère répété.

B. A LGORITHME DE DECOMPRESSION

Durant la lecture du fichier compressé, lorsque le caractère spécial est reconnu, on

effectue l'opération inverse de la compression tout en supprimant ce caractère spécial [5].

C. E XEMPLE

PRATIQUE

Par exemple, on cherche à compresser la chaîne suivante :

AAAAARRRRRROLLLLBBBBBUUTTTTTT

On choisit comme caractère spécial : @ et comme seuil de répétition : 3.

Après compression : on aura @5A@6RO@4L@5BUU@6T.

On gagne 11 caractères soit 38%.

D . C OMMENTAIRE

Cet algorithme est essentiellement utilisé pour la compression des images. Il est très

simple à implémenter. Le seul inconvenant est son taux de compression qui est relativement

faible en le comparant avec les autres algorithmes de compression. Généralement, il est

utilisé avec d’autres techniques de compressions. Citons comme exemple, la compression

JPEG qui utilise la RLE .

II.2.3 LZW (Lempel-Ziv Welch)

Cet algorithme réduit la taille des chaînes de caractères [5].

A . A LGORITHME DE COMPRESSION

Cet algorithme utilise une bibliothèque, c'est-à-dire une table de données contenant

des chaînes de caractères.

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Au cours du traitement de l'information, les chaînes de caractères sont placées une par

une dans la bibliothèque. Lorsqu'une chaîne est déjà présente dans la bibliothèque, son code

de fréquence d'utilisation est incrémenté.

Les chaînes de caractères ayant des codes de fréquence élevés sont remplacées par unmot ayant un nombre de caractères le plus petit possible et le code de correspondance est

inscrit dans la bibliothèque. On obtient ainsi une information encodée et sa bibliothèque.

B . A LGORITHME DE DÉCOMPRESSION

Lors de la lecture de l'information encodée, les mots codés sont remplacés dans le

fichier par leur correspondance lue dans la bibliothèque. Ainsi, le fichier original est

reconstitué.

C. C OMMENTAIRES

Cette méthode est peu efficace pour les images. Mais, elle donne de bons résultats

pour les textes et les données informatiques.

II.3 LES TECHNIQUES DE COMPRESSION NON CONSERVATRICE

II.3.1 Introduction

Ce type de technique de compression est utilisé essentiellement pour les images fixes

et animées ( JPEG, ondelettes, fractales, MPEG, DivX ...) en utilisant une transformation du

contenue de l’image.

Il a été démontré qu'il n'est pas possible d'obtenir des taux de compression intéressants

à partir du contenu de l'image, c'est-à-dire en travaillant dans l'espace pixel, en raison de la

faible corrélation spatiale des points.

Il faut transformer ce contenu soit pour éliminer la corrélation spatiale, dans le cas de

la DCT , soit pour l'augmenter par séparation en plusieurs espaces, dans le cas des

ondelettes.

Il existe de très nombreux formats compressés : compression JPEG, fractale ou par

ondelettes pour les images, norme MPEG et format DivX pour les séquences vidéos.

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Dans les paragraphes suivants, on présente les principales techniques de compression

d’images. On commence par définir qu’est ce qu’une image numérique, puis on présente La

compression JPEG, la compression d'images par ondelettes et nous finissons par la

technique de compression fractale.

II.3.2 Qu’est ce qu’une image numérique ?

On peut séparer les images numériques en deux grandes familles : les images

numérisées d’origine extérieure et les images de synthèse qui sont produites sur un

ordinateur.

Les images sont décomposées géométriquement en petites surfaces élémentaires

appelés les pixels. Chaque pixel est défini par ses abscisses et ordonnées précisant son

emplacement dans l’image.

Le stockage de l’image en mémoire est réalisé en conservant les données concernant

chaque pixel dans une matrice ou à chaque pixel correspondra une case de la matrice.

Une image en noir et blanc ne nécessitera que l’intervention de deux types de pixels

différents pour être décrite. Un seul bit suffira donc pour coder la valeur d’un pixel. Les

images à plusieurs niveaux de gris sont définies avec 256 niveaux de gris, mais seuls 128

sont reconnaissables par l’œil. La quantité d’information est de 8 bits par point.

Une image colorée est toujours le mélange de trois images de couleurs données, donc

le mélange de trois images monochromes. Par combinaison linéaire on peut alors réaliser

environ 16 millions de couleurs différentes. Ces couleurs sont indépendantes entre elles. Ces

trois couleurs sont nécessaires pour restituer l’ensemble des couleurs observables par le

système visuel humain. Elles forment un espace vectoriel de trois dimensions

Les principaux paramètres utilisés pour la description d’un fichier image sont les

suivants :

- Dimension de l’image qui est définie par le nombre de pixels par ligne et le nombre de

lignes constituant l’image.

- Méthode de rangement des pixels.

- Méthode de rangement des bits d’un pixel.

- Algorithme de compression.

- Nombre de bits par pixel.

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- Structure d’un pixel : codage de la couleur.

II.3.3 Introduction à la compression d’une image numérique

Une image sous forme numérique est constituée d'une matrice de pixels contenant des

informations sur la couleur de chacun d'entre eux. Cette information peut être codée sur 1

bit, 8 bits, 16 ou 24 bits dans ce dernier cas, chaque octet code l'une des couleurs

fondamentales, le rouge, le vert ou le bleu. Il est même possible de rajouter un octet

contenant une information de transparence: l'information de couleur sera donc codée sur 32

bits.

La taille en octets de l'image est proportionnelle à la précision sur la couleur, et à sa

taille en pixels. La taille en octets d'une image 24 bits est considérable: une image 300x200

est d’environ 176 Ko de taille. D'où l'intérêt des algorithmes de compression pour une

transmission via le Web par exemple. Ceci est encore plus vrai pour une séquence de 25

images (300x200, 24 bits) par seconde d'une durée d'une minute, dont la taille est d'environ

258 Mo.

La compression d’images utilise les deux techniques de compression :

- Les techniques de compression conservatrice, qui permettent de reconstituer, en fin de

processus, une image identique à l’image initiale. Une présentation de ces technique estl’objet du paragraphe précèdent.

- Les techniques de compression non conservatrice. Dans ce cas l’image reconstituée en

fin de processus diffère de l’image initiale, mais la différence de qualité n’est pratiquement

pas perçue par l’œil de l’utilisateur.

La compression est réalisée en réduisant toutes les formes possibles de redondance

qu’une image peut présenter :

- Redondance spatiale: tous les pixels sont identiques à l’intérieur d’une plage

uniforme de l’image. Il suffit d’en coder un pour caractériser la plage considérée. La

technique de la Transformée en Cosinus Discrète ( DCT ) utilisée dans l’algorithme JPEG,

met en évidence cette redondance spatiale à l’intérieur de chaque image.

- Redondance statistique : certaines données se répètent beaucoup plus fréquemment

que d’autres. La compression sera réalisée en attribuant des codes d’autant plus courts que

la fréquence est élevée.

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- Redondance subjective, mise à profit dans la compression non conservatrice : elle

découle des imperfections de l‘œil humain. Des pixels présentant des caractéristiques assez

proches pour être perçus de manière identique peuvent être traités comme des pixels

identiques.

On peut noter que l’œil est beaucoup plus sensible aux variations d’intensité

lumineuse (luminance) qu’à celles de la couleur (chrominance) : les informations sur la

couleur peuvent donc être davantage compressées que celles sur la luminance. De même,

des pixels trop proches pour être distingués par l‘œil peuvent être regroupés.

II.3.4 La compression JPEG

Nous allons étudier l’un des algorithmes les plus célèbres, créé il y a maintenant plus

de vingt ans, la norme JPEG.

Le format JPEG ( Joint Photographic Experts Group) permet d'atteindre des taux de

compression (sans perte notable de qualité) jusqu'à un facteur 25. La compression JPEG est

très répandue sur le Web. La compression d'images par la norme JPEG est une méthode

« destructrice », c'est à dire que lors de la compression, des informations sont

définitivement perdues par rapport à l'image originale [2].

Cette technique repose sur une transformation matricielle appelée Discrete Cosine

Transform ( DCT ).

La norme JPEG est née de la recherche d'une norme pour la compression des données

graphiques. Cette norme comprend des spécifications pour le codage conservatif et non

conservatif . Mais, la partie la plus intéressante de la spécification JPEG est celle traitant de

la compression non conservative.

Nous présenterons dans ce paragraphe la norme JPEG et nous détaillerons pas à pas

les différentes étapes de cette méthode. Pour finir nous présentons un exemple pratique.

A . H ISTORIQUE

A la fin des années 80, deux importants groupes de normalisation, le CCITT

(Consultative Committee for International Telegraph and Telephone) et l’ ISO

(Organisation Internationale de Standardisation), appuyés par divers groupes industriels et

universitaires, décidèrent de créer une norme internationale pour la compression d’images

fixes [2].

http://www.isib.be/Etudiant/eln2/definitions.html#non-conservatif





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La mise en place d’un standard international était devenue nécessaire pour archiver ou

pour faciliter l’échange des images dans des domaines aussi variés que les photos satellites,

l’imagerie médicale, la télécopie couleur, ou la cartographie…

C’est ainsi que fut créé le groupe JPEG (Joint Photographic Experts Group) à l’originede la norme qui porte son nom. Cette norme comprend des spécifications pour les codages

conservateurs (l’image est restituée identique à elle-même à la suite du codage) et non

conservateurs (l’image est modifiée pendant le cycle de compression mais cette

modification reste imperceptible pour l’œil) de l’image.

Le JPEG est aujourd’hui largement utilisé dans les secteurs de l’informatique et de la

communication (appareils photo numériques, scanners, imprimantes, télécopieurs…). Cette

norme offre l’un des meilleurs rapports qualité/taille de l’image disponible.

B. L ES DIFFÉRENTES ÉTAPES DE LA COMPRESSION NON CONSERVATIVE D' UNE IMAGE

La figure suivante représente schématiquement le principe de la norme JPEG. Nous

allons détaller par la suite pas à pas chaque étape de la compression [10].

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Figure 3 : Principe de la norme JPEG

On considère une image 640x480 RGB 24 bits/pixel.

• 1ère étape : Préparation

Décomposions en bloc 8x8

B

G

R

PréparationY

I

Q

Pour chaque bloc 8x8 DCT Quantification

lecture en zigzag

DPCM

RLE

Codage de Huffman10010001111001111…

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Il est préférable, afin d'obtenir une meilleure compression, de convertir avant

d’effectuer la transformation DCT l'image RGB en image YIQ. Il est très facile d’effectuer

une telle transformation.

En effet, les informations sur la luminance (paramètre Y) et la chrominance (I et Q)sont des combinaisons linéaires des intensités de rouge (R ), vert (G), et bleu (B) :

Y = 0.30 R + 0.59 G + 0.11 B I = 0.60 R - 0.28 G - 0.32 BQ = 0.21 R - 0.52 G + 0.31 B

Chacune des ces trois variables est reprise sous forme de matrice 640x480. Cependant,

les matrices de I et de Q (information sur la chrominance) peuvent être réduites à des

matrices 320x240 en prenant les moyennes des valeurs des pixels regroupés par carré dequatre.

Cela ne nuit pas à la précision des infos sur l'image car nos yeux sont moins sensibles

aux écarts de couleurs qu'aux différences d'intensités lumineuses. Comme chaque point de

chaque matrice est une information codée sur 8 bits, il y a chaque fois 256 niveaux possibles

(de 0 à 255). En soustrayant 128 à chaque élément, on met à zéro le milieu de l’intervalle

des valeurs possibles (de -128 à +127). Enfin chaque matrice est partagée en blocs de 8x8.

• 2ème étape: DCT

La clé du processus de compression est la DCT .

La DCT ( Discret Cosine Transform) qui est au coeur de la méthode a été proposée en

1974 par le professeur Rao de l’université du Texas en 1974 [9].

En théorie, la transformation DCT est sans perte. Cette transformation ne compresse

pas les données : elle modifie simplement les coefficients de la matrice initiale [15].

En pratique, les arrondis vont venir la fausser.

Le but est analogue à celui de la transformée de Fourier d'un signal. Elle prend un

ensemble de points d'un domaine spatial et les transforme en une représentation équivalente

dans le domaine fréquentiel. La matrice initiale donne par DCT une matrice dont les

coefficients en haut à gauche sont les coefficients des basses fréquences et les coefficients

en bas à droite ceux des hautes fréquences.

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Dans le cas présent, nous allons opérer la DCT sur un signal en trois dimensions. En

effet, le signal est une image graphique, les axes X et Y étant les deux dimensions de

l'écran, et l’axe des Z reprenant l'amplitude du signal, la valeur du pixel en un point

particulier de l'écran. La DCT permet de convertir une information spatiale en une

information spectrale dont les axes X et Y représentent les fréquences du signal en deux

dimensions.

La transformation est réalisée, non pas sur l’image entière, mais sur des fractions de

l’image, des blocs de 8 x 8 pixels. Car en augmentant la taille des blocs nous obtiendrions

une meilleure compression, mais au détriment du temps de traitement.

La DCT, effectuée sur chaque matrice 8x8 de valeurs de pixels, donne une matrice 8x8

de coefficients de fréquence: l'élément (0,0) représente la valeur moyenne du bloc, les autres

indiquent la puissance spectrale pour chaque fréquence spatiale. Généralement, plus qu’on

s’éloigne du coin supérieur gauche plus les valeurs de la matrice résultante s’approche de 0.

Cela traduit le fait que l’information effective de l’image est concentrée dans les basses

fréquences. C’est le cas de la majorité des images.

Appliqué à une matrice carrée de dimension N x N la DCT bidimensionnelle s’écrit :

+

+= ∑∑

−

=

−

= 2

1cos.

2

1cos).,()().(

2),(

1

0

1

0

yv N

xu N

y x f vcuc N

vu F N

x

N

y

π π

Avec f(x, y) représentent les éléments de la matrice sur laquelle on va effectuer la

transformation [15].

c (u) est définit part :

1,....2,11)(

2

1)0(

−==

=

N w siwc

c

F(u,v)f(i,j)

DCT

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La transformation inverse est donnée par :

+

+= ∑∑

−

=

−

= 2

1cos.

2

1cos).,().().(

2),(

1

0

1

0

v y N

u x N

y x F yc xc N

vu f N

x

N

y

π π

La DCT est conservative si l'on ne tient pas compte des erreurs d'arrondis qu'elle

introduit.

• 3ème étape : La quantification

Une fois la transformation DCT effectuée, la première étape de la compression

proprement dite est la quantification des coefficients DCT .

En effet, la quantification représente la phase non conservatrice du processus de

compression JPEG. Elle permet, en diminuant la précision de l’image, de réduire le nombre

de bits nécessaires au stockage. Pour cela, elle réduit chaque valeur de la matrice DCT en la

divisant par un nombre fixé par une table de quantification, que l’on appelle encore une

matrice de quantification (matrice 8 x 8).

Ces 64 quantificateurs sont soit calculés en fonction d'un paramètre de compression,

soit donnés par des tables standards construites en fonction de critères psycho visuels,

optimisées par les concepteurs du format JPEG.

Il existe une table de quantification pour l'information de luminance et une autre pour

l'information de chrominance.

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Luminance Chrominance

16 11 10 16 24 40 51 61

12 12 14 19 26 58 60 55

14 13 16 24 40 57 69 56

14 17 22 29 51 87 80 62

18 22 37 56 68 109 103 77

24 35 55 64 81 104 113 92

49 64 78 87 103 121 120 101

72 92 95 98 112 100 103 99

17 18 24 47 99 99 99 99

18 21 26 66 99 99 99 99

24 26 56 99 99 99 99 99

47 66 99 99 99 99 99 99

99 99 99 99 99 99 99 99

99 99 99 99 99 99 99 99

99 99 99 99 99 99 99 99

99 99 99 99 99 99 99 99

Tableau 2: Exemple de table de quantification pour la luminance et la chrominance

De ce fait, chaque coefficient DCT est divisé par le quantificateur correspondant, puis

arrondi à l'entier le plus proche. L'étape de quantification est donc l'étape de perte

d'information.

) ji,(quantum

) ji,(DCTvaleur ) j,i(quantifiéeValeur = arrondie à l’entier le plus proche.

Ces 64 quantificateurs peuvent être calculés en fonction d'un paramètre de

compression en utilisant une formule mathématique.

Pour simplifier on peut prendre ( ) Fqn jni μi,jquantum ×

+++= 11

avec 1== n µ ce qui donne ( ) ( ) Fq jii,jquantum ×+++= 11

F q est le facteur de qualité. C’est le paramètre qu’on modifie quand on choisit la

qualité de restitution dans un logiciel comme « Paint Shop Pro ».

Les nombreux tests réalisés ont conduit à retenir en pratique des facteurs de qualité

compris entre 1 (l’image reste excellente) et 25 (dégradation maximale acceptable).

Voici la matrice de quantification que nous obtenons en fixant le facteur de qualité F q = 5 :

8/4/2019 RAP_PFE



7671666156514641

71666156514641366661565146413631

6156514641363126

5651464136312621

5146413631262116

4641363126211611

41363126211611 6

Figure 4 : Exemple de table de quantification

Ultérieurement, lors de la restitution de l’image (décompression), il suffira de réaliser

l’opération inverse (déquantification) en multipliant chaque valeur de la matrice quantifiée

par le quantum correspondant, pour retrouver une matrice DCT déquantifiée, à partir de

laquelle sera établie la matrice des pixels de sortie. La valeur du quantum peut être d’autant

plus élevée que l’élément correspondant de la matrice DCT contribue peu à la qualité de

l’image, donc qu’il se trouve éloigné du coin supérieur gauche.

• 4ème étape : linéarisation

La matrice 8x8 est transformé en une suite de 64 nombres en s'arrangeant pour que les

éléments les moins importants soit regroupés en fin de liste, on parle de méthode zigzag. Ce

balayage particulier appeler lecture en zigzag permet d’obtenir des suites de 0 les plus

grandes.

Figure 5 : Lecture en ZIGZAG

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Ceci permettra par la suite d'améliorer encore plus la compression des données.

• 5ème étape : Differential Pulse Code Modulation (DPCM)

On remplace chaque premier élément (0,0) des blocs (8x8) par sa différence avec

l'élément correspondant du bloc précédent. Comme ces éléments sont les moyennes de leur

bloc respectif, ils varient lentement. Ce seront donc de plus petits nombres qui prendront

moins de place mémoire.

• 6ème étape : Run Length Encode (RLE)

Le vecteur 1x64 contient beaucoup de zéros. On code des paires ( skip, value), ou skip

est le nombre de zéros et value est la valeur de la composante AC non nulle suivantimmédiatement la chaîne de zéros dans l'ordre de la lecture en Zigzag .

Pour les derniers 0 du bloc, non suivis d'une valeur non nulle, un End Of Block est

envoyé.

• 7ème étape : Codage Entropique (sans perte)

Après l'encodage DPCM et RLE , les valeurs obtenues sont codés à l'aide d'un Variable

Length Code : codage de Huffman.

C . E XEMPLE DE COMPRESSION

Voici une comparaison des différents niveaux de qualité que l'on peut obtenir, lorsque

l'on compresse une image avec JPEG. Il faut préciser que la qualité obtenue est un facteur

tout à fait subjectif qui dépendra aussi du type d'image utilisée.

Les niveaux de compressions correspondent à ceux du logiciel « Paint Shop Pro ».1 correspond à un facteur de qualité donnant le moins de perte et 90 à la moins bonne

qualité.

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Figure 6 : LENA originale

Nous allons agir sur l'image ci-dessous. Nous avons agrandi la représentation d’un

détail de l’image afin de bien visualiser l'effet de la compression.

On voit apparaître les macro blocs au fur et à mesure que le taux de compression

augmente.

1 20 40

60 80 90

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Tableau 3: Tableau comparatif des différents niveaux de qualité

D . C ONCLUSION

Actuellement, la méthode de compression JPEG est parmi les plus utilisées, parce

qu'elle atteint des taux de compression très élevés, sans que les modifications de l'image ne

puissent être décelées par l'œil humain. De plus, beaucoup d'implémentations permettent de

choisir la qualité de l'image comprimée grâce à l'utilisation de matrices de quantification

paramétrables.

Il existe d'autres techniques de compression d'image, notamment la compression par

ondelettes.

II.3.5 Les ondelettes

Il ne s'agit pas ici de détailler l'ensemble de la théorie et de la mise en oeuvre des

ondelettes pour la compression d'images, il ne s'agit que d'une brève présentation.

Les domaines d'application des ondelettes sont nombreux nous pouvons citer l’analyse

des signaux, compression d'images, traitement du son, géologie etc.

De même que le JPEG, la compression d'images par ondelettes est une méthode

destructrice. Cette technique permet en effet de compresser différemment des zones de

l'image selon la quantité d'informations détenues par celles-ci.

En fait, les zones à fort contraste sont considérées comme des zones à hautes

fréquences et à l'inverse, les zones à faible contraste sont dites basses fréquences.

Les ondelettes appliquent une méthode d'approche qui est globale à l'image, ceci

permet d'éviter le phénomène de mosaïque propre à la technologie JPEG (approche par

blocs) dès que le taux de compression devient trop élevé. Ce Phénomène est visible sur la

figure suivante.

http://developpeur.journaldunet.com/tutoriel/gra/010820gra_compression.shtml

http://developpeur.journaldunet.com/tutoriel/gra/010820gra_compression.shtml

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Figure 7 : Image de LENA pour un taux de compression élevé

L'idée est de construire une représentation qui fait à la fois apparaître des informationstemporelles et fréquentielles. Ce type de représentation peut par exemple aider à représenter

la structure physique de la structure géologique à l'origine du signal, c'est d'ailleurs dans ce

domaine que les ondelettes ont démarré.

Dans ce type de graphique les variations de fréquence vont représenter les zones,

contrastées ou pas. Selon le type de zone détectée, la compression ne sera pas appliquée de

la même façon.

On dit que l'analyse d'un signal par les ondelettes est similaire à l'analyse de Fourier

puisqu'elle transforme aussi un signal en ses principaux constituants afin de l'analyser.

Cependant, la transformée de Fourier ne suffit plus ici. Elle est en effet incapable de

détecter quelles portions du signal varient lentement ou rapidement, or nous avons besoin de

distinguer les zones riches en information de celles qui ne le sont pas.

Avec les ondelettes le signal est découpé en différents morceaux qui sont des versions

translatées et dilatées d'une même fonction appelée « ondelette mère ». Le concept d'échelle

apparaît. Il en résulte une superposition d'ondelettes décalées et dilatées qui ne différent

entre elles que par leur taille. On obtient une « transformée en ondelettes », fonction

composée de deux variables : le temps et l'échelle (la dilatation).

Le point fort de cette technique est que les ondelettes s'adaptent en fonction des

caractéristiques recherchées : Hautes fréquences (l'ondelette est très fine) ou basses

fréquences (l'ondelette s'étire). Cette particularité a un nom : « Multi résolution ».

Pour l’analyse de l'image, on utilise une gamme étendue d'échelles. On remplacel'image par l'approximation la plus adéquate possible : on passe donc des échelles les plus

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fines vers les plus grossières et on accède à des représentations de plus en plus grossières de

l'image donnée. L'analyse s'effectue en calculant ce qui diffère d'une échelle à l'autre, c'est-

à-dire les détails qui permettent, en corrigeant une approximation encore assez grossière,

d'accéder à une représentation d'une qualité meilleure.

La DWT ( Discrete Wavelet Transform) est une méthode de compression, à base

d'ondelettes, utilisée par le format JPEG 2000, successeur du JPEG, qui lui est à base de

DCT ( Discrete Cosine Transform).

Grâce à l'utilisation des ondelettes, ce format bénéficie d'une compression 50 à 100

fois supérieure à son ancêtre JPEG, tout en conservant une bien meilleure définition des

détails sur l'image finale. Celle-ci peut de plus être téléchargée de manière progressive. Si

les résultats théoriques semblent encourageants, la mise en oeuvre de tels algorithmes resteencore très lourde à l'heure actuelle.

Un exemple d'utilisation des ondelettes pour la compression d'images est donné par la

figure suivante, il s'agit d'archivage d'empreintes digitales.

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Figure 8 : Système de compression d'empreintes digitales

II.3.6 Les fractales

Pour beaucoup, les fractales ne sont pas seulement un moyen de compresser des

images, mais aussi un moyen d'expression, un art capable de générer des paysages

improbables.

Contrairement aux autres techniques de compression habituelles, la compression

fractale ne tente pas de réduire le nombre de couleurs comme pour le format gif ou de

compresser de manière classique les octets composant l'image. Le principe est ici de

remplacer l'image par des formules mathématiques.

La compression fractale a pour principe qu'une image n'est qu'un ensemble de motifs

identiques en nombre limité, auxquels on applique des transformations géométriques

(rotations, symétries, agrandissements, réductions). Evidemment, plus l'image possède cette

propriété plus le résultat sera meilleur.

Comme pour le format JPEG, l'image est découpée en blocs de pixel, mais ils sont ici

de tailles variables. Il faut ensuite détecter les redondances entre ces blocs à diverses

résolutions. On parle de transformations fractales basées sur un opérateur contractant. Ces

transformations décrivent l'image de plus en plus finement.

A la fin de ce processus, on stocke seulement les équations mathématiques permettant

de représenter le contenu de ces carrés.

Au final, on obtient une structure présentant des caractéristiques similaires à des

échelles différentes. Pour retrouver l'image il suffira de décrire les transformations qui ont

été appliquées aux blocs initiaux.

8/4/2019 RAP_PFE



Ce processus rend la compression indépendante de la taille de l'image. De plus,

l'image produite est vectorisée et ne subit pas les effets de la pixelisation, contrairement au

JPEG.

Ce phénomène est surtout visible lors d'un zoom par exemple, l'image fractale peutdevenir floue mais ne pixelise pas. Ceci est dû au fait que lors de l'agrandissement, ce ne

sont pas les pixels qui sont élargis, mais toute l'image qui est recalculée mathématiquement.

Le problème lié à cette technique est la lenteur du procédé de compression, de l'ordre

de 50 fois plus lent que pour une image JPEG. La décompression quant à elle est aussi

rapide que pour les autres formats.

Il existe un certain flou au niveau de la standardisation de cette technique de

compression. En effet le format « .FIF » qui est un format compressé par cette technique

n'est pas reconnu par les navigateurs. Pour pouvoir visionner ce type d’image il faut donc

télécharger une visionneuse adaptée.

II.3.7 Conclusion

La compression fractale est moins puissante que les ondelettes (format « .wi ») mais

supérieure au JPEG. Et par conséquent constitue une solution intermédiaire.

Pour les forts taux de compression, les fractales obtiennent de meilleurs résultats que

la norme JPEG.

Outil mathématique puissant, la compression par ondelettes offre de meilleurs résultats

que le JPEG. Inclue dans le nouveau format " JPEG 2000", cette technologie est de plus en

plus utilisée.

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Chapitre II Codage de source

Chapitre III

CODAGE

DE

CANAL

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CHAPITRE III : CODAGE DE CANAL

III.1 Introduction

Dans un système de transmission numérique, la probabilité d’erreur qui peut affecter

le signal à la réception est fonction du rapport signal à bruit à la réception.

Pour réduire la probabilité d’erreur, il faut donc soit accroître la puissance d’émission

de l’émetteur soit affaiblir le bruit. Or cela n’est pas toujours réalisable. Car, d’une part la

puissance émise est généralement limitée par l’énergie disponible pour les équipements à la

source. D’autre par le bruit qui affecte le signal est la conséquence de plusieurs paramètres

difficile à modifier dans la plupart des cas.

Pour améliorer les performances de la chaîne de communication numérique, la

solution consiste à recoder le message numérique à transmettre. Ceci est possible est

ajoutant un codeur de canal au niveau de l’émission et un décodeur de canal au niveau de la

réception pour retrouver le message original.

L’opération de codage de canal, contrairement à celle du codage de source, consiste à

ajouter de la redondance au message numérique à transmettre. Cette redondance structuré

permet au niveau du décodeur de canal de détecter puis éventuellement de corriger les

erreurs de transmission.

Ce chapitre sera consacré à la présentation des principaux codes correcteurs d’erreur.

Nous finissons ce chapitre par une brève description de l’algorithme de Peterson-Gorenstein-Zierler et de Berlekamp-Massey.

Il ne s’agit pas ici de détailler toute la théorie des codes correcteurs d’erreurs.

8/4/2019 RAP_PFE



III.2 Les codes correcteurs d’erreurs

III.2.1 Les codes en bloc Linéaires

Un code correcteur d'erreurs est généralement défini par des symboles appartenant àun alphabet fini A. Par exemple, A est l'ensemble des q symboles GF (q) = 0,1,2,…,q-1

[4] [6].

Un code en bloc de taille M et de longueur n, défini sur un alphabet de q symboles, est

un ensemble de M séquences q-aires de longueur n appelées mots de code. Si q = 2, ces

symboles sont des bits. Généralement, M = qk , k étant un entier [7] [6].

Le codage en bloc consiste à associer à chaque séquence de k symboles d'information

un mot de code constitué de n symboles tel que n > k . k est appelé dimension du code.

Le code sera désigné par C (n,k ).

On appelle rendement R d’un code en blocs C (n,k ) le rapport :n

k R = .

Lorsqu'un message est constitué d'un grand nombre de bits, il est plus efficace

d'utiliser un seul mot d’un code relativement long plutôt qu'une succession de mots d'un

code plus court. Vue que, les mots de code longs sont moins sensibles aux erreurs aléatoires

que les mots de code courts. Mais la complexité du codeur et du décodeur risque de

s'accroître. En plus, de tels codes sont difficiles à chercher théoriquement et nécessitent des

circuits compliqués pour réaliser les opérations de codage et de décodage.

Les codes en blocs sont caractérisés par trois paramètres : leur longueur n, leur

dimension k et leur distance minimale d min qui mesure la différence entre les deux mots de

code les plus similaires. Cette distance est la distance de Hamming entre les deux mots de

code les plus proches. C’est aussi le poids minimal du code C :

( ( )cW jiM jiccd d c

ji H 0

min min,,1,,;min≠

=≠=∀=

Supposons que le canal ajoute t erreurs au bloc transmis. La distance entre le mot émis

et le mot reçu est donc égale à t . Si la distance entre le mot reçu et tous les autres mots de

code est strictement supérieure à t , le décodeur va pouvoir corriger les t erreurs en

appliquant l'hypothèse du voisin le plus proche. Cette hypothèse reste valable tant que t

vérifie l'inégalité : 2 t + l < d min.

8/4/2019 RAP_PFE



−=

2

1mind t est appelé la capacité de correction du code. Il s’agit du nombre

maximal d’erreurs que peut corriger un décodeur.

La détermination de la distance minimale d’un code en bloc n’est pas toujours simplesurtout si le nombre de mots de code est grand.

Description matricielle des codes linéaires

Un code linéaire C est un sous-espace vectoriel de GF (q)n. Cette structure d’espace

vectoriel nous permet de représenter la procédure de codage sous forme matricielle. Les k

vecteurs constituant une base du sous-espace C sont utilisés pour former les lignes d’une

matrice G de taille k × n. Tout mot de code est une combinaison linéaire de lignes de G .

Cette matrice G est une matrice génératrice du code C .

Soit i un mot d'information : un k -uple de symboles d'information (un vecteur ligne à k

composantes, éléments de GF (q) ), et c est le mot de code correspondant formé de n

symboles, alors c = i .G . Cette dernière expression définit l'opération de codage qui dépend

du choix de la base du sous-espace. Mais quel que soit ce choix, l'ensemble des mots de

code reste toujours le même. Seul la correspondance entre mots d’information et mots de

code change.

Par exemple, soient C un code linéaire binaire et G sa matrice génératrice définie par:

G =

11100

10010

01001

Le vecteur d’information i = [0 1 1] est codé en un mot de code c :

c = [ ] [ ]01110

11100

10010

01001

110 =

Code dual et matrice de contrôle de parité

On a, C est un sous-espace vectoriel, il possède donc un complément orthogonal, noté

C ⊥ . Ce dernier n'est autre que l'ensemble de tous les vecteurs de GF (q)n orthogonaux à C .

C’est donc un sous-espace vectoriel. Il peut former donc un code. Ce code est appelé le

code dual de C . La dimension de C ⊥ est égale à n-k . Soit H sa matrice génératrice, formée

par un choix de ces n-k vecteurs comme lignes. H est une matrice de parité du code C . Un

mot c appartient au code C si est seulement si cH T =0.

8/4/2019 RAP_PFE



Cette propriété est un moyen simple de test de l’appartenance d’un mot à un code.

Pour cette raison la matrice H est appelé matrice de contrôle.

Puisque tout mot de code de C est une combinaison linéaire de lignes de G , la relation

précédente entraîne : GH T

= 0.

Une matrice de parité associée à la matrice génératrice du code défini à l’exemple

précèdent est : H =

10110

01101.

Cette matrice de parité est également utilisée pour la détermination de la distance

minimale du code qui est égale au plus petit nombre de colonne linéairement indépendant de

la matrice de contrôle H .

Puisque les k lignes de G sont indépendantes, il existe au moins k colonnes de G

indépendantes ; par permutations des colonnes et par opérations élémentaires sur les lignes

on peut transformer G à une matrice de la forme : G = [ ]PI .

Où I est la matrice identité k × k et P est une matrice quelconque k × (n-k ). La forme

[ ]PI de la matrice génératrice s'appelle forme systématique.

Dans ce cas la matrice de parité s’écrit : H = [ ]IP T −

Où I est ici une matrice identité (n-k )× (n-k ).

Principe de la détection et de la correction d’erreurs

Soit c un mot de code formé après codage d’un vecteur d'information i . Le vecteur c

est transmis sur le canal reliant la source à la destination. Une erreur peut affecter un ou

plusieurs symboles des n symboles de c. On définit donc un vecteur d'erreurs e. Une erreur

sur la composante j de c se traduit par une j-ème composante non nulle de e. Ainsi, le mot

reçu par le récepteur est v = c + e. Le vecteur défini par s = v.H T ne dépend pas du mot c il

dépend uniquement l'erreur e. Ce vecteur s est appelé le syndrome du mot reçu v. Ce

syndrome est un vecteur ligne à n-k composantes. Si s ≠ 0 on détecte la présence d'erreurs

dans v. Par contre, si s est nul v est un mot de code. Mais, un syndrome nul ne signifie pas

nécessairement l’absence d’erreurs de transmission.

En présence d’erreurs de transmission, la règle de décodage consiste à rechercher mot

de code c’ le plus vraisemblable, C'est-à-dire celui qui est à la distance de Hamming

8/4/2019 RAP_PFE



minimale du mot reçu v. Mais, cette façon de décodage devient difficile à mettre en oeuvre

lorsque le nombre de mots du code est important.

La correction peut aussi être réalisée à partir du syndrome s dont le nombre de

configurations est k n−

2 . La règle de décodage consiste à faire correspondre pour chaquevaleur non nulle du syndrome s la configuration d’erreur e de poids minimal. Ce poids est

inférieur ou égal à la capacité de correction t du code. Une table constituée de deux

colonnes est formée. La première colonne comporte les polynômes d’erreurs et la deuxième

contient tous les syndromes possibles. Le mot de code le plus vraisemblable est v - e avec e

l’erreur correspondante au syndrome s.

III.2.2 Les codes cycliques

Les codes cycliques représentent la classe la plus importante des codes en blocs

linéaires, obtenue en imposant une condition sur la structure du code. La théorie des corps

de Galois a été utilisée comme outil mathématique fondamental pour la recherche de bons

codes. De plus, les codes cycliques offrent, grâce à leur description dans les corps de Galois,

des procédures de codage et de décodage spécifiques très efficaces.

Définition et représentation polynomiale

Un code linéaire cyclique C(n,k) est définit de la manière suivante :

Si c = [ c0…c j ... cn-1] est un mot du code, alors c1 = [ c1…c j ... cn-1 c0], obtenu par

permutation circulaire à gauche d’un élément de c est aussi un mot du code.

De ce fait, Un code cyclique est un cas particulier de sous-espace de GF(q)n où le

décalage des composantes de ses vecteurs est une opération interne.

Ces codes sont généralement représentés d’une manière polynomiale. Ainsi au mot c

on associe :c(x) = c0 +c1 x+………+c j x j+………cn-1 xn-1 c j∈GF(q)

Le produit x -1 c(x) s’écrit :

x -1 c(x) = c0x -1 + c1x +…+ c j x j-1+…+cn-1xn-2

En introduisant le mot c1(x) = c1 +c2 x+…+c j x j+…+cn-1 xn-2 + c0xn-1 obtenu par

permutation circulaire à gauche d’un élément de c(x), le polynôme x -1 c(x) peut s’écrire

sous la forme suivante :

8/4/2019 RAP_PFE



x -1 c(x) = c0 x -1 (xn -1) + c1(x) = c1(x) modulo (xn -1)

Par conséquent, les mots de code d’un code cyclique peuvent être représentés par des

polynômes dans l’anneau GF(q)[x]/(xn-1). L’ensemble de ces polynômes a une structure

d’espace vectoriel identique à celle de GF(q)n

de plus il possède la structure d’anneau.

Choisissons un polynôme non nul de C unitaire de degré le plus petit possible. Notons

(n-k) son degré. Ce polynôme est unique, il divise x n-1, il est noté g (x), et il est appelé le

polynôme générateur du code C. Le code cyclique C est formé de tous les polynômes

produits de g (x) par un polynôme de degré inférieur ou égal à k-1.

Soit h(x) le quotient xn -1 par g(x) donc xn - l = g(x) h(x). Le polynôme h(x) est appelé

polynôme de parité. C’est le polynôme générateur du code dual.

En effet, pour tout c(x) de C , nous avons : h(x) c(x)=h(x) g(x) a(x) = (xn - l) a(x).

La séquence des symboles d'information est représentée par le polynôme i(x) de degré

inférieur ou égal à k-1. La correspondance entre l'information i(x) et les mots c(x) consiste

à calculer c(x) = g(x) i(x). Ce code n'est pas systématique puisque i(x) n'est pas directement

visible dans c(x). L’opération de codage systématique s'écrit :

c(x) = xn-k i(x) + t (x)avec deg[t(x)] < n-k.

Soit c(x) un polynôme d'un code cyclique C. Le mot c(x) est transmis sur un canal.

Les coefficients de c(x) sont les symboles du vecteur c transmis. Notons le mot reçu par

v(x). Soit e(x)=v(x)-c(x). e(x) est le polynôme d'erreur. Il a un coefficients non nul à la

position où une erreur a été introduite par le canal.

Le polynôme syndrome s(x) est indispensable pour l'opération du décodage d'un code

cyclique. Le syndrome est défini comme le reste de la division Euclidienne de v(x) par g(x).

Il est donc égal au reste de la division Euclidienne de e(x) par g(x). Par conséquent, Le polynôme syndrome dépend uniquement de e(x), mais pas de c(x) ni de i(x). Ce polynôme

est indispensable pour l’opération de décodage.

Il est possible de décoder un code cyclique par une procédure identique à celle du code

en bloc linéaire. Il existe d’autres méthodes de décodage algorithmiques. Ces méthodes

nous évitent ce décodage par table.

Le paragraphe suivant est une présentation générale des codes BCH.

8/4/2019 RAP_PFE



III.2.3 Les codes BCH

La classe des codes BCH (Bose-Chaudhuri-Hockenghem) est une classe très large de

codes cycliques correcteurs d'erreurs multiples. Des techniques simples de codage et de

décodage sont disponibles pour les codes BCH. Cette classe contient une sous-classe decodes très populaires, les codes Reed-Solomon.

Les codes BCH primitif sont définis sur GF(q) par la construction d'un polynôme

générateur g (x) de forme particulière. Leur longueur est de n=Q-1=qm-1 et ils ont une

capacité de correction de t erreurs.

Le polynôme générateur d'un code cyclique s'écrit sous la forme :

g (x) = PPCM[ f 1(x), f 2(x),…, f r (x)]

où les f i(x) sont les polynômes minimaux des racines de g (x).

Considérons un cas particulier de codes BCH : les Codes BCH binaires primitifs.

Ce type de code est dit primitif car les racines de son polynôme générateur sont des

puissances successives croissantes d’un élément primitif du corps de Galois considéré. Le

polynôme générateur de ce code cyclique s'écrit sous la forme :

)(m)...,(m),(m PPCMg(x) 123 x x x t −=α α α

Où α est un élément primitif du corps de Galois GF(2m) et les )( xm iα

sont les

polynômes minimaux à coefficients dans le corps GF(2) ayant iα comme racine.

Les codes BCH sont conçus à partir des spécifications de n et t . La valeur de k n’est

pas connue avant la construction de g (x).

Les paramètres d’un code BCH primitif construit sur un corps de Galois GF(2 m), de

distance construite d = 2t+1 sont les suivants :

n = 2m – 1 ; k ≥ n -1 – mt ; dmin ≥ 2t + 1;2

nt <

Pour t = 1 un code BCH primitif est un code de Hamming ayant )( xmα comme

polynôme générateur.

Donnons un exemple simple : Calculons le polynôme générateur du code BCH

2)t?,k 15,(n === , défini sur GF(2), de longueur 15 et de capacité de correction 2 :

On a n = 2m -1 = 15 m = 4

8/4/2019 RAP_PFE



Détermination du polynôme générateur :

On va utiliser la table donnant les polynômes minimaux pour déterminer g(x). La

construction du corps GF(Q=2m) extension de GF(2) se fait par le choix d’un polynôme

premier de degré m = 4. Dans notre cas le polynôme choisit est f(x) = x4

+x+l.

g (x) = )(m),(m PPCM 3 x xα α

= PPCM [ x4+x+l, x4+x3+x2+x+l]

= (x4+x+l) (x4+x3+x2+x+l)

= x8+x7+x6+x4+1

Le degré de g (x) étant n - k = 8, la dimension du code est k =7.

C’est un code (15,7, t=2).

Elément Polynôme Binaire Décimale Polynôme minimal

0 0 0000 0 x

α0 = 1 1 0001 1 x+1

α1 z 0010 2 x4+x+1

α2 z2 0100 4 x4+x+1

α 3 z3 1000 8 x4+x3+x2+x+1

α4 z+1 0011 3 x4+x+1

α5 z2+z 0110 6 x2+x+1

α6 z3+z2 1100 12 x4+x3+x2+x+1

α7 z3+z+1 1011 11 x4+x3+1

α8 z2+1 0101 5 x4+x+1

α 9 z3+z 1010 10 x4+x3+x2+x+1

α10 z2+z+1 0111 7 x2+x+1

α11 z3+z2+z 1110 14 x4+x3+1

α12 z3+z2+z+1 1111 15 x4+x3+x2+x+1

α13 z3+z2+1 1101 13 x4+x3+1

α14 z3+1 1001 9 x4+x3+1

Tableau 4 : Représentation de GF(24 ) comme extension de GF(2)

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III.2.4 Utilisation de la transformé en cosinus discrète dans un codage correcteur

d’erreur

Définition [3]

La DCT appliqué à une séquence [ ]110 ,...,, −= N x x x x de données donne :

[ ]110 ,...,, −= N X X X X avec ∑−

=

=1

0

)( N

n

k nk nT x X k = 0,1,…,N-1 (1)

)(nT k est définit par :

( ) 1...,2,12

12cos2

01

)(

−=+

==

N k nk n

N

k pour N

nT k π

(2)

Notons T la matrice N x N définit par T=

−

−

−− )1(...)0(

.....

.....

.....

)1(..)1()0(

11

000

N T T

N T T T

N N

La transformé en cosinus discrète est orthogonale en effet :

∑−

= ≠

==

1

0 0

1)().(

N

n

q pq p si

q p sinT nT (3)

D’après cette propriété, toutes les ligne de la matrice T sont deux à deux

orthogonales, en plus elles sont normées (de module égal à 1).

Les N équations définies par (1) peuvent être écrites sous forme matricielle :

−

−

=

−−−− 1

1

0

11

1

000

1

1

0

.

..

)1(...)0(

.....

.....

....)0()1(..)1()0(

.

.

N N N N x

x x

N T T

T N T T T

X

X X

(4)

On choisit k ligne de la matrice T (N x N) on obtient un matrice G (d x N), qui va

représenter la matrice génératrice du code correcteur. Cette matrice a pour rang égal

à d. Les N – d lignes restantes vont former la matrice de parié H (N-d x N).

8/4/2019 RAP_PFE



N d N N N N

d d

d d d

N d d d d

N T T T

T T

N T T T

G

N T T T

T T

N T T T

H

×−−−−

++

×−−−

−

−

=

−

−

=

)(111

11

111

11

000

)1(..)1()0(

.....

.....

...)1()0(

)1(..)1()0(

)1(..)1()0(

.....

.....

...)1()0(

)1(..)1()0(

On vérifie facilement les deux équations suivantes :IG.G

0G.H

d

T

T

=

=.

Le vecteur de syndrome S d’un vecteur reçu r est déterminé par le produit suivant :

T T T H e H eq H r S .).(. =+==

Posons1...,2,1

2

01

−=

=

=

N i N

i pour N

f i

P est une matrice diagonale (N x N) donnée par :

=

N

N

N

P

20..0

0....

.....

...2

0

0..01

Posons S’=S.P d’où en notant ν le nombre d’erreur et ν r ....,r ,r 21 les position des

erreurs :

8/4/2019 RAP_PFE



[ ]

=

+=

−=+

==

∑ ∑

∑

= =

−

=

ii

i

i

i

i

i

n

l

i

n

l

nirl

N

r

r i

i

i

C

C

C

X X X

X X X

X X X

Y Y Y

N

r C e

N i pour N

ir eS

f S

,

1,

0,

2

2

2

22

1

2

11

21

1 0

,

1

0

.

.1

.....

.....

.1

.1

...

2

)12(cos.

1,...,2,12

)12(cos..

1'

ν ν ν

ν

ν π

π

Avec : pour rl l eY l == ν ,...,2,1 qui est l’amplitude de l’erreur à la position r l et

N

r X l

l 2

)12(cos

π += .

L’écriture des N – d syndromes comme un vecteur donne :

C

X X

X X

X X

Y

C

C C

C C

X X X

X X X

X X X

Y S

d

d

d

d d d

d

d

.

..1

.....

.....

..1

..1

.

0..0

0....

...0.

.00

.00

.

.1

.....

.....

.1

.1

.'

1

1

22

1

11

1,1

1,31,1

0,20,0

12

1

2

2

22

1

1

2

11

=

=

−

−

−

−−−

−

−

ν ν ν ν ν

Posons

==

−

−

−

−

1

1

22

111

1

..1

.....

.....

..1

..1

.'.''

d

d

d

X X

X X

X X

Y C S S

ν ν

Le décodage s’effectue en utilisant l’algorithme suivant :

Figure 9 : Algorithme de décodage pour les codes DCT

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A la suite on présente deux importants algorithmes de décodage celui de

Berlekamp-Massey et de Peterson-Gorenstein-Zierler.

III.2.5 L’algorithme de Berlekamp-Massey et de Forney

Cet algorithme est basé sur le polynôme localisateur d’erreur et le polynôme

évaluateur d’erreur. Ces deux polynômes permettent de déterminer respectivement : la

position des erreurs et l’amplitude de chacun de ces erreurs [8].

Rappelons que le polynôme localisateur d’erreur est donné par :

( ) ( )( ) ( ) 1111 1

1

111 +Λ++Λ+Λ=−−−=Λ −− x x x xX xX xX x

ν

ν

ν

ν ν

Défini par ses ν racines qui sont les inverses des positions X des erreurs. C’est pour

cette raison qu’il est appelé polynôme localisateur d’erreur. La connaissance des

coefficients de ( ) xΛ nous permet d’obtenir ses racines et par conséquent les positions X

des erreurs.

Le polynôme des syndromes est définit par : ∑=

−=t

j

j

j xS xS 2

1

1)( .

Le polynôme évaluateur d’erreur est définit par : ( ) )(mod )()( 2t x x xS x Λ=Ω .

Ce polynôme peut s’écrire de la manière suivante : ∑ ∏= ≠

−=Ων

1

)1()(i il

l ii x X X Y x .

Le polynôme localisateur est déterminé par l’algorithme de Berlekamp-Massey.

L’amplitude des erreurs est déduite d’une manière simple qui ne fait pas appel à

aucune inversion matricielle, en utilisant l’algorithme de Forney.

L’algorithme est représenté par son organigramme à la figure ci dessous.

8/4/2019 RAP_PFE



Figure 10 : Algorithmes de Berlekamp-Massey et de Forney pour les codes DCT

III.2.6 L’algorithme de Peterson-Gorenstein-Zierler

Cet algorithme de décodage a été spécialement conçu pour les codes BCH. Il démontre

que les codes BCH construits précédemment ont une capacité de correction de t erreurs.

Le polynôme d’erreur s’écrit :

( ) 01

2

2

1

1 e xe xe xe xe n

n

n

n ++++= −−

−−

Supposerons qu’au plus t coefficients sont non nuls. Supposons que ν erreurs ont eu

lieu, avec 0 ≤ ν ≤ t .

Notons les positions inconnues des erreurs par : ν

iii ,,, 21 .

Le polynôme d’erreur devient : ( ) ν

ν

i

i

i

i

i

i xe xe xe xe +++= 2

2

1

1

8/4/2019 RAP_PFE



Oùi

e représente la valeur de la -ième erreur qui est à la position i . Pour les

codes binaires,i

e est toujours égal à 1.

Les inconnues qui doivent être déterminées par le décodeur de canal sont : Le nombre

d’erreurs, les positions de ces erreurs et les amplitudes de ces erreurs pour un code non

binaire.

Evaluons le polynôme reçu sur toutes les puissances de α qui sont racines de g(x).

Le premier syndrome s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( ) ν

ν

α α α α α α α i

i

i

i

i

i eeeeecS +++==+== 2

2

1

1v

1

Pour simplifier, on note

i X α = et ieY = pour 1≤ ≤ ν .

Avec ces nouvelles notations, le premier syndrome s’écrit :

ν ν X Y X Y X Y S +++=

22111

On obtient alors un système (P1) de 2t équations non linéaires à 2 ν inconnues (les

positions et amplitudes des erreurs) qu’il nous faut résoudre :

(P1)

+++=

+++=

+++=+++=

t t t

t X Y X Y X Y S

X Y X Y X Y S

X Y X Y X Y S

X Y X Y X Y S

22

22

2

112

33

22

3

113

2

22

2

112

22111

2

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

On définit le polynôme ( ) ( )( ) ( )ν

xX xX xX x −−−=Λ 111 11 dit polynôme

localisateur d’erreurs défini par ses ν racines qui sont les inverses des positions X des

erreurs.

La connaissance des coefficients de ( ) 11

1

1 +Λ++Λ+Λ=Λ −− x x x x

ν

ν

ν

ν permet

d’obtenir ses racines, et par inversion, les positions X des erreurs.

On a ( 01 =Λ −

X pour 1≤ ≤ ν

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011

1

2

21

1

=+Λ+Λ+Λ+Λ −−−

− −

X X X X

ν

ν

ν

ν

( ) 011

1

2

21

1

=+Λ+Λ+Λ+Λ −−−

− −+

X X X X X

j ν ν

ν

ν

ν

( ) 010

1

1

2

21

1

=+Λ+Λ+Λ+Λ∑=

−−−

− −+ν

ν

ν

ν

ν ν

X X X X X

j

( ) 00

1

1

2

2

1

1 =+Λ+Λ+Λ+Λ∑=

−+−++−

− +ν

ν ν

ν ν

ν

j

X X X X X j j j j

ν ν ν ν ν +−+−++− −=Λ++Λ+Λ+Λ j j j j j S S S S S 112211

On obtient un système (P2) d’équations linéaires reliant les syndromes aux

coefficients du polynôme localisateur d’erreurs :

(P2)

−

−

−

−

=

Λ

Λ

Λ

Λ

+

+

+

−

−

−−++

++

+

−

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν ν ν ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

2

3

2

1

1

2

1

122221

21543

1432

1321

S

S

S

S

S S S S S

S S S S S

S S S S S

S S S S S

Posons

=

−+

+

121

132

21

µ µ µ

µ

µ

S S S

S S S

S S S

M

appelée matrice des syndromes.

Le système (P2) devient pour ν µ = :

−

−−−

=

Λ

ΛΛΛ

+

+

+

−

−

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

2

3

2

1

1

2

1

S

S

S

S

M

On a la matrice des syndromes est inversible si ν µ = , donc Le système (P2) possède

une unique solution.

D’où l’algorithme de décodage de Peterson-Gorenstein-Zierler :

1. Calcul des 2t syndromes.

2. Initialisation de ν à t .

3. Construction de la matrice M et calcul du déterminant. S’il est nul, on diminue ν et

on recommence.4. Détermination des coefficients du polynôme localisateur d’erreurs en résolvant (P2).

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5. Détermination les racines du polynôme localisateur d’erreurs et en déduire les

positions X des erreurs.

6. Si le code est non binaire, calculer les amplitudes Y des erreurs en résolvant (P1) qui

devient linéaire.

L’algorithme est représenté par son organigramme à la figure ci dessous.

oui

V(x) reçu

Calcul des syndromes :

( ) t jvS j

j 2,,1, == α

M=

−12

1

ν ν

ν

S S

S S

ν=t

Det(M)=0 ?

ν←ν-1

non

Λ

Λ

Λ

−

1

1

ν

ν

=M-1

−

−

−

+

+

ν

ν

ν

2

2

1

S

S

S

Trouver les positions X l deserreurs en calculant les racines

du polynôme localisateur d’erreur.

=

−

ν

ν

ν

ν

ν

ν S

S

X X

X X

Y

Y

1

1

1

11

Figure 11 : Organigramme de l’algorithme de Peterson-Gorenstein-Zierler

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Chapitre III Codage de canal

Chapitre IV

CONCEPTION ET IMPLÉMENTATION

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CHAPITRE IV : CONCEPTION ET IMPLÉMENTATION

IV.1 Introduction

Le travail réalisé dans le cadre de ce projet de fin d’étude consiste à élaborer un

algorithme de codage source appliqué à la transmission d’images et d’un algorithme de

codage canal en utilisant le codage BCH . Les deux problèmes du codage de source et de

codage de canal sont considérés suivant le théorème de séparation de Shannon.

Ces deux algorithmes développés, en utilisant le langage C++, seront utilisés pour la

transmission d’images. Dans ce projet nous avons mis en œuvre une chaîne logicielle

complète pour la transmission d’images fixes. La première étape est de compresser l’image

à transmettre en réduisant sa taille et la deuxième étape revient à ajouter de la redondance

structurée pour corriger les erreurs introduites par le canal.

IV.2 Source de message

Notre source est une image de type targa dont le nom de fichier présente l’extension

« .tga ». On a choisit ce type de fichier pour plusieurs raisons : D’une part, c’est un format

non compressé, qui nous à permis de comprendre comment une image est stocké en

mémoire. D’autre part, l’information utile sur chaque pixel est facile à extraire et à

transformer par un programme écrit en langage C++.

Chaque image de ce type présente une entête qui fournit des informations sur l’image.

Cette entête est composé de plusieurs champs. Les champs qui nous intéressent sont :

- Les dimensions, en pixel, de l’images ; C'est-à-dire le nombre de pixels par ligne et le

nombre de lignes constituant l’image.

- Le nombre de bits utilisé pour coder les pixels constituants l’image ; Ce nombre peut

avoir l’une des valeurs suivantes : 16, 24 ou 32.

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Dans notre projet, nous allons nous intéresser aux images dont l’information sur

chaque pixel est codée sur 24 bits. Chaque octet code l'une des couleurs fondamentales, le

rouge, le vert ou le bleu. Dans ce cas, l’image est dite sous forme RGB.

Deux cas se présentent : soit qu’on choisit d’utiliser l’image par défaut qui est l’image

de Léna ou utiliser une autre image dont le nom est introduit manuellement par l’utilisateur.

Le nom de l’image est introduit, il est mémoriser dans une variable de type chaîne de

caractère. Puis plusieurs tests seront effectués sur cette image avant le passage au codeur de

source. Ces tests seront effectués sur l’entête pour voir si cette image correspond au format

considéré. L’entête est donc considéré comme une carte d’identité pour l’image ; Si elle est

conforme, l’image passe à l’étape suivante, sinon, un message d’erreur est retourné etl’image sera ignorée.

La lecture de l’entête nous permet de dégager les dimensions, en pixel, de l’images.

Trois matrices, évidemment de même dimension que l’image, vont contenir temporairement

les données concernant chaque proportion de couleur pour chaque pixel.

IV.2.1 Types de données utilise pour modéliser l’image

On a définit trois structures : une structure tga_image qui va contenir les données et

quelques informations sur l’image, une structure img qui est simplifié par rapport à la

première et qui ne garde que les champs qui nous intéressent pour la suite et une autre

structure tga_header qui va contenir touts les informations qu’on trouve dans l’entête de

l’image.

Structure tga_image

typedef struct byte *data;word width, height;

byte bits_per_pixel;tga_line_order line_order;tga_color_order color_order;

tga_image;

Structure imgtypedef struct

int width, height;

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byte *data; img;

Définition de l’entête tga_header d'une imagetypedef struct

byte id_length; byte color_map_type; byte data_type_code;word color_map_origin;word color_map_length;

byte color_map_depth;word origin_x;word origin_y;word width;

word height; byte bits_per_pixel; byte image_descriptor;

tga_header;

IV.2.2 Fonctions utilisées pour manipuler les images

Dans la suite, on présente les principales fonctions utilisées pour la lecture et l’écriture

de ce type d’images.

tga_header_read(FILE *fp, tga_header *hdr) : fonction permettant de lire l'entête de

l'image.

tga_header_write(FILE *fp, const tga_header *hdr) : fonction permettant d'écrire

l'entête de l'image.

tga_write(const char *filename,const tga_image *img) : fonction permettant d’écrireune structure tga_image dans un fichier image.

tga_read(const char *filename) : fonction permettant de retourner une structure

tga_image à partir des données d’un fichier image. C'est-à-dire cette fonction effectue

l’opération inverse de la fonction tga_write.

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IV.3 Codage et décodage de source

Le codeur de source qu’on a réalisé est inspiré de la compression JPEG. Plusieurs

techniques de compressions sont assemblées pour la réalisation de notre codeur de source.

Le schéma de principe de notre codeur est similaire à celui de la compression JPEG. Il

comprend trois principaux opérations : la transformé en cosinus discrète, la quantification et

la compression de Huffman.

Dans ce qui suit, on va présenter en détail les différentes opérations réalisées par le

codeur de source.

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Figure 12 : Schémas de principe du codeur de source

Compression de

Huffman

Codeur de source

Image.tga

Décomposions en bloc 8x8

DCT QuantificationLecture en ZIG

ZAG DPCM RLE

Ces opérations vont s’effectuer sur des blocs 8x8 de l’image

Assemblage des blocs et

mémorisation des données

dans un fichier

Image compressé

image.huf

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IV.3.1 DCT et IDCT

La procédure permettant de réaliser la transformation DCT est donnée par :

Dct (const img *im, double *data, const int xpos, const int ypos)

Avec img est l’image considérée, data est un tableau de 64 éléments qu’on considère

comme une matrice 8x8 qui va contenir le résultat de la transformation et xpos et ypos

définit le bloc 8x8 sur lequel on va effectuer la transformation.

La procédure permettant de réaliser la transformation IDCT inverse de la

transformation DCT est donnée par :

Idct (const img *im, double *data, const int xpos, const int ypos)

Avec, data est un tableau de 64 éléments qu’on considère comme une matrice 8x8 sur

laquelle on va effectuer la transformation. Le résultat de la transformation inverse IDCT est

rangé directement dans la structure img de l’image considérée. xpos et ypos définit la

position du bloc considéré dans l’image.

IV.3.2 Quantification et déquantification

La qualification utilisé est une quantification scalaire : qui consiste à diviser élément

par élément les éléments du bloc 8x8 résultat de la transformé DCT par les éléments de lamatrice de quantification. Par contre, la déquantification se fait en multipliant élément par

élément les éléments du bloc 8x8 résultat de la quantification par les éléments de la matrice

de quantification.

) ji,(mat_quant

) ji,(dct_out) j,i(Quanti_out = arrondie à l’entier le plus proche.

) ji,(mat_quant) ji,(quanti_out) j,i(utdequanti_o ×=

Cette matrice est paramétrable suivant le facteur de qualité fixé par l’utilisateur.

Les éléments de la matrice de quantification sont donnés par :

( ) tfact_quali11mat_quant ×

+++= n jni μi,j

Pour simplifier, on a pris 1==n µ ce qui donne :

( ) ( ) tfact_quali11mat_quant ×+++= jii,j

Avec fact_qualit est le facteur de qualité.

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La procédure permettant de construire cette matrice est donnée par :

Matrice_Quantification(int *mat_quant,const int fact_qualit )

La procédure permettant de réaliser la quantification est donnée par :

Quantification (const double *dct_out, const int xpos, const int ypos,const int

fact_qualit,short int *Quanti_out)

La procédure permettant de réaliser la déquantification est donnée par :

Dequantification(const short *quanti_out, const int xpos, const int ypos,const int

fact_qualit,double *dequanti_out)

IV.3.3 Lecture en zigzag

La procédure permettant de réaliser la lecture en zigzag est donnée par :

void lect_ZIGZAG (short int **quanti_out, short int **ZIGZAG, int *comp_z)

IV.3.4 DPCM et RLE

Le premier élément (0,0) de chaque bloc (8x8) est remplacé par sa différence avec

l'élément correspondant du bloc précédent. Ces éléments sont les moyennes de leur bloc

respectif, par conséquent ils varient lentement.

Le vecteur 1x64 contient beaucoup de zéros. On code des paires ( skip, value), ou skip

est le nombre de zéros et value est la valeur de la composante non nulle suivant

immédiatement la chaîne de zéros dans l'ordre de la lecture Zigzag . Pour les derniers 0 du

bloc, non suivis d'une valeur non nulle, un End Of Block est envoyé.

La procédure permettant de réaliser la modulation par impulsion codé différentielle

( Differential Pulse Code Modulation) DPCM et la RLE est donnée par :

lect_DPCM_RLE (double *ZIGZAG_out, double **DPCM_RLE, double *preced,

int *comp,const int comp_zigzag)

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IV.3.5 Huffman

A . TYPES DE DONNÉES UTILISER POUR CONSTRUIRE L' ARBRE

Définition d'une feuille

typedef struct S_Feuille

bool Noeud; /* vrai = noeud, faux = feuille */union

unsigned char Data; /* donnee d'une feuille */struct S_Noeud * Ptr; /* ptr sur un autre noeud */

U_Feuille; T_Feuille;

Définition d'un noeud de l'arbretypedef struct S_Noeud

T_Feuille FDroite; /* feuille droite de l'arbre */T_Feuille FGauche; /* feuille gauche de l'arbre */char CodeNoeud[MAXCODE]; /* codage jusqu'au noeud */

T_Noeud;

Définition d’un élément de la table de codagetypedef structlong Cumul; /* fréquence d'apparition des caractères */T_Feuille Donnee; /* donnée ou noeud pour calculer l'arbre */char Code[MAXCODE]; /* code trouve pour le caractère */bool Codifie; /* true = codification existante */

T_ASCII;

B. F ONCTIONS UTILISÉES POUR COMPRESSER ET DECOMPRESSER DES FICHIER EN UTILISANT LE CODAGE DE HUFMAN

Dans la suite on présente les principales fonctions utiliser pour construire l’arbre.

MAZ_Table (T_ASCII * Ptr_Ascii) : est une fonction permettant de mettre à zéro la

table de codage.

Swap (T_ASCII *a, T_ASCII *b) : permet de permuter deux éléments de la table de

codage cette procure est utile pour trier cette table.

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TriTable(T_ASCII *Ptr_Ascii) : permet réarranger les éléments de la table des

fréquence qu’on appelle aussi table de codage par ordre décroissant.

CalculFrequence(FILE *f,T_ASCII *Ptr_Ascii) : a pour but de calculer les fréquences

d'apparition des symboles du fichier source. A la fin de cette procédure, cette table est triéeen utilisant la procédure TriTable (T_ASCII *Ptr_Ascii).

Creation_Arbre(T_ASCII * Ptr_Ascii) : procédure permettant de construire l’arbre de

Huffman permettant d'élaborer les codes. Cette procédure a pour argument la table des

fréquences triée et elle a comme résultat un pointeur appelé racine de l’arbre.

L’organigramme de cette procédure est présenté dans la figure 13.

Creation_Codage(T_ASCII *Ptr_Ascii,T_Noeud * Ptr) : a pour but de parcourir

l'arbre, et d’élaborer le codage.

Ecriture_Table(FILE *f,T_ASCII *Ptr_Ascii): effectue l’écriture de la table de

correspondance dans le fichier cible.

Compresse_Donnees(FILE *FSource, FILE*FCible,T_ASCII *Ptr_Ascii) : effectue

l’écriture des données caractère par caractère dans le fichier.

Compression_Huffman(FILE *FSource, FILE *FCible) : procédure réalisant

l’opération de compression. La figure 14 présente l’organigramme de cette procédure.

Creer_Arbre_Decodage(FILE *FSource) procédure réalisant la reconstitution de

l'arbre pour décoder les données.

Decodage_Donnees(FILE *FSource,FILE *FCible): permet de décompresser les

données en parcourant l'arbre.

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Figure 13 : Organigramme de construction de l’arbre de Huffman

i = DimAscii-1

Mettre la plus petite fréquence à droite

Mettre la deuxième fréquence à gauche

Calcul du cumul des deux fréquences

Assemblage de ces deux feuilles en un nœud

Reclassement du nœud dans la table

Décrémenter i ( i -- )

i > 0

OUI

Début

FIN

Allocation de l’espace mémoire pour un nœud

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Figure 14 : Organigramme simplifié de la compression de Huffman

IV.4 Codage et décodage canal

Comme codeur de canal, on va utiliser un codage BCH binaire.

Au début, on fixe l’ordre du corps de Galois, notée m. Pour notre codeur, on a pris

m = 4. Puis, on choisit un polynôme primitif qui permettra de construire le corps de Galois.

Ce polynôme sera noté p(x) = x4+x+l . Ce polynôme est irréductible de degré égal à m.

La fonction generate_gf() va nous permettre de générer les éléments du corps GF (2m)

à partir du polynôme p(x) ayant ses coefficients dans p[0]..p[m].

La fonction gen_poly() permettra de générer le polynôme générateur du code. Posons g(x) ce polynôme. Le degré du polynôme de donnée ou la longueur du vecteur

Lecture fichier source et calcul

des fréquences d'apparition

Création de l'arbre

Parcours de l'arbre, et élaboration du

codage.

Ecriture de la table de correspondance

dans le fichier

Ecriture des données dans le fichier cible

Début

FIN

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d’information k n’est déterminé qu’à ce niveau k=length – rdncy. Avec, length la longueur

du code donnée par length = 2m – 1 et rdncy étant le degrés du polynôme générateur g(x) qui

présente aussi le nombre de bits de redondance ajouté au vecteur de données.

En fixant m = 4 et le pouvoir de détection d= 5 on aura k = 7 et rdncy = 8. On aura uncode BCH (length = 15, k = 7, d = 5).

Posons data(x) le polynôme de donnée à l’entré du codeur, La fonction encode_bch()

permettra d’effectuer le codage en calculant les coefficients du polynôme b(x) qui est le

reste de la division de xlength-k .data(x) par le polynôme générateur g(x).

La fonction decode_bch() est la plus importante elle permet à partir du vecteur reçu de

générer le mot de donnée à l’entrée du codeur de canal, après correction et détection

éventuelle des erreurs.

L’algorithme utiliser pour la détection et la correction des erreurs est celui de

Berlekamp-Massey qui va permettre de déterminer le nombre de ces erreurs et leurs

positions et par conséquent les corriger.

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Figure 15 : l’algorithme de Berlekamp_Massey

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IV.5 Programme principal

Entrée du codeur

de source

Introduction du nom de l’image qu’on va

transmettre.

Lecture de l’image et stockage des données

dans des tableaux dynamiques

Lecture du facteur de qualité.

Faire la transformé en cosinus discrète bloc

par bloc le résultat et rangé dans un tableau

dynamique DCT_out

Faire la quantification de chaque bloc 8x8 en

utilisant la matrice de quantification

Début

OUI

Linéarisation des matrices en utilisant la

lecture en zigzag

Utilisation de la DPCM pour recoder la

composante DC de chaque vecteur.

Réduction de la taille de chaque vecteur en

utilisant RLE .

Dernier bloc NON

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Figure 16 : l’organigramme de du programme principal

IV.6 Conclusion

L’objectif de ce chapitre était de présenter le travail réalisé dans le cadre de ce projet

de fin d’étude. Le chapitre suivant de ce rapport sera consacré à la présentation des résultats

de simulations obtenues.

Sortie du codeur

de source

FIN

Compression de Huffman

Codeur de canal

Modulation

Canal de transmission

Démodulation

Décodeur de canal

Décodeur de source

(Opérations inverses du codeur de source)

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Chapitre IV Conception et Implémentation

Chapitre V

R ÉSULTATS ET DISCUSSION

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CHAPITRE V : R ÉSULTATS ET DISCUSSION

V.1 Codeur source

L’image choisit pour la simulation est celle de Lena dont les dimensions en pixel est

512x512. On peut déterminer facilement la taille en octet de l’image originale :

Ko7863512512 =×× .

On fait varier le facteur de qualité et on mesure pour chaque valeur la taille du fichier

compressé.

Facteur de qualité 1 2 3 4 5 6

Taille du fichier compressé (Ko)

311 273 259 250 245 241

7 8 9 10 11 12 13 14

238 235 233 231 230 229 228 227

15 16 17 18 19 20 21 22

226 225 225 224 224 223 223 222

23 24 25 30 35 40 50 60

222 221 221 220 219 218 217 216

80 100 150 200 300 600 10000

215 214 213 212 212 212 212

Tableau 5 : Table de mesure de la taille du fichier compressé en fonction du facteur de

qualité

La figure 17 représente la variation de la taille du fichier compressé en fonction du

facteur de qualité.

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On remarque que la courbe de la figure 17 tend vers une limite a partir de laquelle on

ne peut pas comprimé d’avantage l’image. Cette limite correspond à une image formé par

des blocs 8x8 contenant des pixels de même couleur.

Figure 17 : Courbe représentative de la variation de la taille du fichier compressé en

fonction du facteur de qualité

8/4/2019 RAP_PFE



Voici les résultats que l’on peut obtenir en compressant une image avec notre codeur

de source :

Image de départFacteur de qualité : 0

24 bits par pixel

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Taux de compression : 60%Facteur de qualité : 1

9.7 bits par pixel

Image de l’erreur :

Facteur de qualité : 1

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7.62 bits par pixel



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6.95 bits par pixel



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6.63 bits par pixel



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On remarque qu’à partir d’un certain taux de compression l’image devient

méconnaissable, et semble être composée de blocs de 8x8 pixels d’une couleur unique. Et

lorsque l’image est agrandie cet effet est amplifié. Plus qu’on augmente le facteur de qualité

plus l’image de l’erreur devient claire et les contours deviennent de plus en plus visibles.

Les taux de compression obtenus sont impressionnants, mais, restent difficiles à

interpréter, car ils dépendent de la nature de l’image. Mais, on peut définir les niveaux de

qualité d’image selon le taux de compression en indiquant le nombre de bits nécessaire au

codage d’un pixel :

• entre 6.8 et 7 bits par pixel, l’image est de qualité moyenne et peut suffire à certaines

applications

• entre 7 et 7.5 bits par pixel, l’image est de bonne qualité

• entre 7.5 et 8 bits par pixel, l’image est d’excellente qualité et répond à tous les

besoins

• entre 10 et 8 bits par pixel, l’image est visuellement indifférentiable de l’originale

La caractéristique la plus importante est le paramétrage de la qualité de l’image, qui

est fait lors du choix de la matrice de quantification. Ce qui donne à l’utilisateur une très

grande flexibilité sur le choix de la qualité de l’image en fonction des contraintes et decapacité de stockage.

Défauts

Premièrement, sur la plupart des images un facteur de qualité égal à 5 pour la matrice

de quantification produit une perte de définition qui se ressent sur la qualité de l’image. En

outre, si ce facteur est dépassé l’image a tendance à apparaître comme une composition de

blocs de 8x8 pixels.

Deuxièmement, l’algorithme de compression nécessite une puissance de traitement

égale pour la compression et la décompression ce qui impose une implémentation matérielle

importante. Or, les applications multimédia de diffusion d’images ont besoin de moyens de

décompression peu coûteux.

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V.2 Codeur canal

Pour évaluer les performances d’un système de transmission il est indispensable de

savoir déterminer la probabilité d’erreur introduite par le canal de transmission.

L’image choisit pour la simulation et celle de Lena. A la sortie du codeur source cette

image est bruitée par un bruit blanc gaussien additif dont la puissance est fixé. Le modèle de

canal considéré est un canal discret sans mémoire, qu’on appelle dans le cas binaire canal

binaire symétrique dont les probabilités de transition sont données par le tableau suivant :

i \ j 0 1

0 1 – p p

1 p 1 – p

Tableau 6 : Table des probabilités de transition

p étant la probabilité d’erreur binaire.

On fait varier la puissance du bruit, ce qui entraîne une variation de la probabilité

d’erreur sur un bit p, afin de montrer visiblement l’importance d’un codeur canal dans une

chaîne de transmission numérique et d’évaluer les performances de notre codeur canal pour

différents niveaux de puissance du bruit.

La figure suivante représente la variation du nombre d’erreurs non corrigées en fonction

de la probabilité d’erreur binaire.

8/4/2019 RAP_PFE



0 0,063 0,125 0,188 0,25 0,313 0,375 0,438 0,5

Probabilitée d'erreur binaire

N b r d ' e r r e u r s n o n c o r r i

g é e s

Figure 18 : Courbe représentative de la variation du nombre d’erreurs non corrigées en

fonction de la probabilité d’erreur binaire

La figure 19 et la figure 20 représentent respectivement l’image de Léna reçue d’une

chaîne de transmission ne contenant pas de codeur canal et celle reçu d’une chaîne de

transmission contenant notre codeur canal. Les deux chaînes de transmission sont

caractérisées par un canal de probabilité d’erreur binaire p = 0.0015.

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Figure 19 : Image reçue sans utilisation de codeur canal pour p = 0.0015.

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Figure 20 : Image reçue en utilisant notre codeur canal pour la même probabilité d’erreur

On remarque que l’image reçue après le décodage est semblable à celle transmit. En

effet, l’impact des erreurs de transmission est supprimé après la correction des erreurs. D’où

l’importance du codeur canal dans une chaîne de transmission.

Sans utilisation de codeur canal, une image reçue peut être trop bruité qu’on ne peut

pas voir ses détails. L’utilisation du codeur canal va permettre de détecter puis de corriger quelques erreurs ce qui éclaircit un peu l’image.

L’image représentée par la figure suivante montre visiblement l’impact des erreurs sur

une image reçue d’une chaîne de transmission présentant un canal trop bruité et ne

présentant pas un codeur canal.

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Figure 21 : Image trop bruité issue d’une chaîne qui ne présente pas de codeur canal

Sur la figure suivante, on a l’image reçue de la même chaîne en ajoutant un codeur

canal au niveau de l’émission et un décodeur canal au niveau de la réception. On remarque

que malgré la présence d’erreurs non corrigées qu’on peut voir qu’il s’agit bien de l’image

de Léna.

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Figure 22 : Image reçue cas d’un canal trop bruité

Pour le codeur canal qu’on a utilisé dans la simulation, on peut déterminer quelques

ordres de grandeurs de probabilités d’erreur qui reflètent la qualité de l’image reçue.

10-1 Mauvais, mais peut donné une idée sur l’image reçue.

10-2

Qualité acceptable, en ajoutant un dispositif de débruitage on peut diminuer le

nombre d’erreurs voir les éliminer pour s’approcher de l’image originale

< 10-3Bonne qualité de transmission. L’image reçue est nette ne présentant aucun

bruit.

Tableau 7 : Quelques ordres de grandeur de probabilité d’erreurs

D’après cette table, on peut tirer la conclusion suivante : Les performances d’un code

dépendent du canal sur lequel il est utilisé.

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V.3 Comparaison entre codage source et codage canal indépendant

et le codage source canal conjoint

V.3.1 Théorème de séparation de ShannonShannon est plus connue en traitement de signal par son théorème de séparation. En

plus, c’est celui, grâce à sa théorie de l’information, a donné les limites possibles tant pour

le codage de source tant pour le codage de canal :

− Pour le codage source, Shannon affirme qu’il existe un débit binaire *

s R , vers lequel

on peut tendre, et qu’on ne peut pas dépasser pour comprimer une source d’information,

pour une distorsion D bien fixé suivant l’application. Cette distorsion est uniquement celle

introduite par le codage de source.

− Pour le codage canal, Shannon montre que pour avoir une transmission fiable dans un

canal bruité, il existe un débit binaire *

c R appelé capacité du canal qu’on peut tendre vers,

mais jamais dépasser.

Shannon affirme, qu’on peut tendre vers une limite infranchissable de débit

source/canal *

*

*

c

s

R R R = avec un système ou codage source et canal sont séparé. Ce débit

global est notéc

s

R

R R = exprimé en nombre moyen de symbole émis par symbole de

source.

Ceci nous donne la borne en débit pour le codage conjoint source/canal.

Il est alors clair qu’on peut s’approcher théoriquement de cette limite de la manière

suivante :

− Le codeur source garantie un débit )(* D R R s = pour une distorsion D donnée.

− Le codeur canal s’impose à une fiabilité quasiment parfaite (Pe 0) tout en

garantissant un débit c R proche de *

c R .

De la sorte qu’on obtient un débit global proche de la limite de Shannon avec une

distorsion totale égale à D [11].

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V.3.2 Solution traditionnelle et limites d’utilisation

La stratégie traditionnelle consiste à comprimer au maximum la source pour un niveau

de distorsion donnée. Ceci rend les données plus sensibles aux erreurs de transmission.

L’utilisation d’un codeur canal très sophistiqué résout ce problème. Mais en pratique, ilexiste toujours des contraintes de complexité matérielle et de délai qui limite la possibilité

d’utiliser de tel codeur.

V.3.3 Solution conjointe.

Il s’agit de résoudre les deux problèmes de codage source et de codage conjoint

ensemble. Afin de réduire la complexité tout en gardant un bon niveau de performance [1].

A . P ROTECTION DES CODES SOURCES

Dans ce cas, le codeur de source assure les deux fonctions de compression et de

protection contre les erreurs de transmission. Ceci s’effectue en réglant le codeur source de

telle manière que les erreurs éventuelles de transmission aient un impact moins néfaste au

décodage. On dit que le codeur source est plus robuste aux erreurs [11].

B . E QUILIBRAGE DE RENDEMENTS

Cette solution propose un équilibrage du rendement entre codeur source et canal, afin

de trouver un point de fonctionnement compatible avec l’application.

V.4 Conclusion

Les algorithmes développés dans le chapitre 4 ont été implémentés en utilisant le

langage C++. Les résultats de simulation montre le bon fonctionnement de ces algorithmes.

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Chapitre V Résultats et discussion

CONCLUSION GÉNÉRALE

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Chapitre V Résultats et discussion

Conclusion Générale

Dans ce projet de fin d’étude, nous avons élaborer un algorithme de codage source

appliqué à la transmission d’images et d’un algorithme de codage canal en utilisant le

codage BCH. Les deux problèmes du codage de source et de codage de canal sont

considérés de manière séparée. A la fin de ce projet, nous avons pu mettre en œuvre une

chaîne de simulation complète pour la transmission d’images fixes.

Ce travail nous a été fructueux dans la mesure où il nous a permis de découvrir un

domaine en plein essor, celui du codage source canal. Il nous a permis de prendre

conscience de la nécessité de développer des techniques de codage pour représenté le signal

à transmettre sous une forme plus compacte afin de gagner en vitesse de transmission, et destechniques de codage pour protéger le signal contre les erreurs de transmission qui peuvent

altérer la qualité de la transmission. Ces deux techniques sont appelées dans la littérature

codage source et codage canal.

Nous avons montré à la fin de ce travail que traiter ces deux problèmes séparément

peut ne pas vérifier les contraintes de complexité matérielle et de délais de reconstitution.

En effet, comprimer au maximum un signal numérique prend du temps tant au niveau de

l’émetteur que pour le récepteur. En plus, ces données compressées deviennent plus

sensibles aux erreurs de transmission. Dans ce cas, l’utilisation de codeur canal très

sophistiqué devient indispensable, mais il n’est pas toujours réalisable en pratique. Afin de

réduire la complexité et le temps de traitement des données tout en gardant un bon niveau de

performance, La solution et de traiter ces deux problèmes ensembles. Cette solution est

appelée solution conjointe.

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BIBLIOGRAPHIE

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Bibliographie

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[3] Ja-Ling Wu and Jiun Shiu, « Discrete cosine transform in errorControl coding », IEEE transactions on communication, vol 43, NO 5,MAY 1995.

[4] Alain GALVIEUX, « Introduction à la théorie de l’information et aucodage canal », mai 1996.

[5] BENOIT Christophe, DUSSON Alexandre, « La compression dedonnées informatiques », Juin 1999.

[6] O. Pothier, « Codage de canal et turbo-codes », septembre 2000.

[7] Joseph Boutros, « Techniques de communications numériques », 3ème

Partie : Codage correcteur d’erreur 1994.

[8] Fatma ABdelkefi, « Les codes Reed-Solomon Complexes pour lacorrection des erreurs impulsives dans les systèmesmultiporteuses ».

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[10] Gregory K. Wallace «The JPEG Still Picture Compression Standard»,Multimedia Engineering Digital Equipment Corporation December1991.

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[11] Pierre Duhamel, Olivier Rioul «Codage conjoint source canal : enjeuxet approches», Septembre 1997.

[12] Nicolas Moreau « Techniques de compression des signaux »,MASSON 1995.

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