Relasi dan Fungsioleh:Ahmad KhakimAmrullahEvania KurniawatiRelasi BinerDefinisi:Relasi biner antara A dan B adalah himpunan bagian dari AB.R (AB)A adalah daerah asal (domain)B adalah daerah hasil (range atau codomain)Ingat perkalian kartesian:AB={(a,b)| aA bB}Relasi BinerContoh:A={Ani,Budi,Cecep}B={AlPro,AlLin,MatDis,MetNum}R=relasi yang menyatakan matakuliah yang diambil oleh mahasiswa.Jumlah pasangan terurut yang mungkin |AB|=34=12MisalkanR={(Ani,AlLin),(Ani,MetNum),(Budi,AlPro),(Budi,AlLin),(Cecep,MetNum)}Kita lihat bahwa R(AB) dan |R|=5.Contoh:A={2,3,4}B={2,4,8,9,15}R={(a,b)| aA bB (a habis membagi b)}Jumlah pasangan terurut yang mungkin |AB|=35=15R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)}Kita lihat bahwa R(AB) dan |R|=7.Penyajian Relasi dengan Diagram Panah:Ani AlProBudi AlLinCecep MatDisMetNumDiagram Panah :2 243 894 15 Penyajian Relasi dengan TabelA BAni AlLinAni MetNumBudi AlProBudi AlLinCecep MetNumA B2 22 42 83 93 154 44 8 -MisalkanRadalahrelasidariA={a1,a2,,am}danB= {b1, b2, , bn}.-Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij], b1 b2. bn M = (((((

mn m mnnmm m mm m mm m maaa 2 12 22 211 12 1121 yang dalam hal ini ee=R b aR b amj ij iij) , ( , 0) , ( , 1 Penyajian Relasi dengan MatriksRelasiRpadaContohsebelumnyadapatdinyatakandengan matriks ((((

1 0 0 00 0 1 11 0 1 0 dalam hal ini, a1 = Ani, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = AlPro,b2 = AlLin, b3 = MatDis, dan b4 = MetNum. Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks ((((

0 0 1 1 01 1 0 0 00 0 1 1 1 yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15. Penyajian Relasi dengan Graft Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika (a, b) e R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang(loop).MisalkanR={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: abc dRelasi InversiDefinisi:Jika R adalah relasi dari A ke B, maka inversi relasi R, ditulis R-1adalah relasi dari B ke A sebagai:R-1={(b,a)| (a,b)R}Contoh:R={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)}makaR-1={(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)}kita lihat bahwaR-1={(b,a)| aA bB (b kelipatan dari a)}Sifat-sifat Relasi: Refleksif (reflexive)Definisi:R bersifat reflexive jika (aA) (a,a)RContoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}reflexive? YaR={(1,1),(1,3),(2,1),(4,2),(4,3),(4,4)} reflexive? TidakR={(x,y)| x,yN, x>y} reflexive? TidakR={(x,y)| x,yN, x+y=5} reflexive? TidakR={(x,y)| x,yN, 3x+y=10}reflexive? TidakSifat-sifat Relasi: Setangkup (symmetric)Definisi:R bersifat symmetric jika (a,b)R maka (b,a)R (a,bA)Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} symmetric? YaR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} symmetric? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3)} symmetric? YaR={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} symmetric? TidakR={(1,2),(2,3),(1,3)} symmetric? TidakR={(x,y)| x,yN, x>y} symmetric? TidakR={(x,y)| x,yN, x+y=5} symmetric? YaR={(x,y)| x,yN, 3x+y=10}symmetric? TidakSifat-sifat Relasi: Tolak-Setangkup (antisymmetric)Definisi:R bersifat antisymmetric jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b (a,bA)Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} antisymmetric? TidakR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} antisymmetric? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3)} antisymmetric? YaR={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}antisymmetric? YaR={(1,2),(2,3),(1,3)} antisymmetric? YaR={(x,y)| x,yN, x>y} antisymmetric? YaR={(x,y)| x,yN, x+y=5} antisymmetric? TidakR={(x,y)| x,yN, 3x+y=10} antisymmetric? YaSifat-sifat Relasi: Menghantar (transitive)Definisi:R bersifat transitive jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R (a,b,cA) Contoh:Misal A={1,2,3,4}R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitive? YaR={(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} transitive? TidakR={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} transitive? YaR={(1,2),(2,3)} transitive? TidakR={(1,2),(3,4)} transitive? YaR={(2,3)} transitive? YaR={(x,y)| x,yN, x>y} transitive? YaR={(x,y)| x,yN, x+y=5} transitive? TidakR={(x,y)| x,yN, 3x+y=10} transitive? TidakRelasi Kesetaraan(equivalence relation)Definisi:R disebut equivalence relation jika bersifat:reflexive, symmetric, dan transitive.Contoh:R={(x,y)| x,yMahasiswa (x seangkatan dengan y)}(silakan Anda check!) Relasi Pengurutan Parsial(partial ordering relation)Definisi:R disebut partial ordering relation jika bersifat:reflexive, antisymmetric, dan transitive.Contoh:R={(x,y) | x,y Z x y}(silakan Anda check!) Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsijika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengantepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan Bdisebut daerah hasil (codomain) dari f.FUNGSI Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atautransformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam Adihubungkan dengan elemen b di dalam B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan fdisebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwajelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkinproper subset) dari B. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. Frasa dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B berarti bahwa jika (a, b) e f dan (a, c) e f, maka b = c.Fungsi Adalah Relasi yang Khusus Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai (assignment).Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, danf(x) = 1/x. Kata-kataContoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlahbit 1 di dalam suatu string biner.Pengklasifikasian Fungsi Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x|function abs(x:integer):integer;beginif x < 0 thenabs:=-xelseabs:=x;end;LanjutanContohRelasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. ContohRelasif = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A.Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.ContohRelasif = {(1, u), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidaksemua elemen A dipetakan ke B. ContohRelasif = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Contoh Misalkan f : Z Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalahhimpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif.Contoh Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsisatu-ke-satu, Tetapi relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2)= u. Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan Bmerupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.a 1A B23bcd Contoh Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi padakarena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsipada karena semua anggota B merupakan jelajahdari f. Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satudari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan(invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f 1. Misalkana adalah anggota himpunan A dan b adalahanggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu seringdinamakan juga fungsi yang invertible (dapatdibalikkan), karena kita dapat mendefinisikanfungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukanfungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karenafungsi balikannya tidak ada. Contoh 37. Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalahf -1= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}Jadi, f adalah fungsi invertible. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari Ake C yang didefinisikan oleh(f o g)(a) = f(g(a))Komposisi dari Dua buah Fungsi Contoh 40. Diberikan fungsig = {(1, u), (2, u), (3, v)}yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsif = {(u, y), (v, x), (w, z)}yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalahf o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada diantara dua bilangan bulat.Fungsi floor dari x:x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan xFungsi ceiling dari x:x( menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebihbesar atau sama dengan xDengan kata lain, fungsi floor membulatkan x kebawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x keatas.Fungsi Floor Dan CeilingContoh 42. Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:3.5 = 3 3.5( = 40.5 = 0 0.5( = 14.8 = 4 4.8( = 5 0.5 = 1 0.5 = 03.5 = 43.5( = 3Contoh 42. Di dalam komputer, data dikodekan dalamuntaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untukmerepresentasikan data adalah 125/8( = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16 8 = 128 bit, sehingga untuk byteyang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agarsatu bytetetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi8 bit disebut padding bits).Fungsi moduloMisalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalahbilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila adibagi dengan ma mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 s r < m. Contoh 43. Beberapa contoh fungsi modulo25 mod 7 = 415 mod 4 = 03612 mod 45 = 120 mod 5 = 525 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 (4) + 3 ) Fungsi Faktorial Fungsi Eksponensial Untuk kasus perpangkatan negatif, Fungsi LogaritmikFungsi logaritmik berbentuk Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:(a)BasisBagian yang berisi nilai awal yang tidakmengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini jugasekaligus menghentikan definisi rekursif.(b)RekurensBagian ini mendefinisikan argumen fungsidalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumendari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal(basis). Contoh definisi rekursif dari faktorial:(a)basis:n! = 1 , jika n = 0(b)rekurens:n! = n (n -1)!, jika n > 04! dihitung dengan langkah berikut:(1) 4! = 4 3! (rekurens)(2)3! = 3 3!(3) 2! = 2 1!(4) 1! = 1 0!(5) 0! = 1(5) 0! = 1(4) 1! = 1 0! = 1 1 = 1(3) 2! = 2 1! = 2 1 = 2(2) 3! = 3 2! = 3 2 = 6(1) 4! = 4 3! = 4 6 = 24Jadi, 4! = 24 Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya:1. 2. Fungsi Chebysev3. Fungsi fibonacci: