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8/7/2019 Representao da Funcao do 2o Grau
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Representao grfica de
funes
Funo da forma y = ax +bx + ca 0
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Voc j aprendeu a calcular as
razes de uma equao da formaax + bx + c = 0 e agora vai vercomo se comporta uma funo daforma y = ax + bx + c
NO CONFUNDA EQUAO COMFUNO!Ao resolver a equao ax + bx + c
= 0 , encontramos os valores de x que satisfazem a igualdade; nafuno y = ax + bx + c , para cadavalor de x, h um valor de y
correspondente.
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Exemplo 1: Resolva a equao x -4x + 3 = 0
OBSERVE
a = 1 ; b = -4 ; c = 3
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As razes da equao so x =
1 e x = 3
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Exemplo 2: Construa o grficoda funo y = x - 4x + 3
x y
x y-1
x y-1 8
x y-1 80
x y-1 80 3
x y-1 80 31
x y-1 80 31 0
x y-1 80 31 02
x y-1 80 31 02 -1
x y-1 80 31 02 -13
x y-1 80 31 02 -13 0
x y-1 80 31 02 -13 0
4
x y-1 80 31 02 -13 0
4 3
x y-1 80 31 02 -13 0
4 35
x y-1 80 31 02 -13 0
4 35 8
Pontos:( -1 , 8 )( 0 , 3 )( 1 , 0 )( 2 , -1 )
( 3 , 0 )( 4 , 3 )( 5 , 8 )
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Pontos:( -1 , 8 )( 0 , 3 )( 1 , 0 )( 2 , -1 )( 3 , 0 )( 4 , 3 )( 5 , 8 )
... . .
..
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... . .
..
y = x - 4x + 3
A linha que representa graficamente
uma funo do 2 grau chama-sePARBOLANo exemplo acima, dizemos que aparbola tem sua CONCAVIDADE
VOLTADA PARA CIMA ( CVC )
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Exemplo 3: Construa o grficoda funo y = -x + 2x + 3
x yx y-3x y-3 -12x y-3 -12-2
x y-3 -12-2 -5
x y-3 -12-2 -5-1
x y-3 -12-2 -5-1 0
x y-3 -12-2 -5-1 00
x y-3 -12-2 -5-1 00 3
x y-3 -12-2 -5-1 00 31
x y-3 -12-2 -5-1 00 31 4
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2 3
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2 33
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2 33 0
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2 33 04
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 4
2 33 04 -5
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 42 33 04 -55
x y-3 -12-2 -5
-1 00 31 42 33 04 -55 -12
Pontos:( -3 , -12 )
( -2 , -5 )( -1 , 0 )( 0 , 3 )
( 1 , 4 )( 2 , 3 )
( 3 , 0 )
x y-3-2
-1012345
Sua vez de tentar
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( -3 , -12 )( -2 , -5 )( -1 , 0 )( 0 , 3 )( 1 , 4 )( 2 , 3 )( 3 , 0 )( 4 , -5 )( 5 , -12 ) .
.. . .
..
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... . .
..
y = -x + 2x + 3
Neste exemplo dizemos que a parbolatem sua CONCAVIDADE VOLTADA PARA
BAIXO ( CVB )
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Funes da forma y = ax + bx + c com a> 0 so representadas graficamente por
parbolas com CONCAVIDADE VOLTADAPARA CIMA( CVC ).
Funes da forma y = ax + bx + c com a< 0 so representadas graficamente por
parbolas com CONCAVIDADE VOLTADA
ANOTE AINDA:
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Chamam-se zeros ou razes da funo polinomialdo 2 grau y = ax + bx + c , a 0, os nmerosreais x tais que y = 0Exemplos:1) As razes de y = x 2x 8 so 2 e 4, poisfazendo y = 0 temos:
Se para x = 2 e x = 4 temos y = 0 o grficoda funo passa pelos pontos ( 2 , 0 ) e ( 4 ,
0 )
x 2x 8 = 0
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Vimos, ao estudar a funo do 1 grau, cujarepresentao grfica uma reta, que bastavaconhecer dois pontos para fazer o seu esboo.No caso da funo do 2 grau, y = ax + bx +c , apenas dois pontos no caso, as razes no so suficientes.
x
RAZES
? ?
?
?
VRTICE
Surge da anecessidade deconhecermos umterceiro ponto daparbola,
denominadoVRTICE
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A parbola uma curva com SIMETRIA AXIALVERTICAL, ou seja:
x
RAZES
VRTICE
PONTOMDIO DASRAZES
EIXO DESIMETRIA
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ALGUNS CCULOS...
Vimos atravs do grfico anterior que o vrticeposiciona-se sobre uma linha imaginriachamada EIXO DE SIMETRIA e que passa peloPONTO MDIO ENTRE AS RAZES.
Como qualquer ponto marcado no planocartesiano, o VRTICE DA PARBOLA possui duascoordenadas que chamaremos de (abscissa)e (ordenada).
Sabendo que a abscissa do vrtice fica bem nomeio das razes, basta tirar a mdia aritmticaentre as abscissas dos pontos da parbola sobreo eixo Ox.
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Considerando que para determinar as razes de y= ax + bx + c fazemos y = 0 , temos a equaoax + bx + c = 0 cujas razes x e x so:
e
Se a abscissa do vrtice a mdia aritmticaentre x e x, basta fazer:
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A partir do momento em que conhecemos o valorda abscissa do vrtice, sendo este um pontopertencente ao grfico da funo (parbola), paradeterminar o valor da ordenada, basta substituirna expresso da funo, ou seja:
Desenvolvendo esse clculochegamos a:
onde
Assim:
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Acompanhe os clculos paraesboarmos os grficos dasfunes:
I) y = 2x 4x 6
II) f(x) = x + 6x 5
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I) y = 2x 4x 6a = 2b = 4c = 61) Clculo das
razes: Razes x = 1 e x= 3 indicam que ogrfico passa pelospontos ( 1 , 0) e (3 , 0 )
2) Coordenadas dovrtice: O vrtice da
parbola oponto V ( 1 ,
8 )
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3) Coordenadas do ponto onde a curvaintercepta o eixo Oy:Um clculo bastante simples, mas que ajuda navisualizao da parbola, a determinao dascoordenadas do ponto onde a curva corta o eixovertical.Sabemos que todos os pontos sobre o eixo dasordenadas tm abscissa nula, da, substituindo x= 0 na expresso da funo, temos:
y = 2x 4x 6
x = 0y = 2. 0 4. 0 6
y = 6
A parbolaintercepta oeixo vertical noponto ( 0 , 6 )
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II) f(x) = x + 6x 5a = 1b = 6c = 51) Clculo das
razes: Razes x = 1 e x =5 indicam que ogrfico passa pelospontos ( 1 , 0) e( 5 , 0 )
2) Coordenadas dovrtice: O vrtice da
parbola oponto V ( 3 , 4 )
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3) Coordenadas do ponto onde a curvaintercepta o eixo Oy:
y = x + 6x 5x = 0
y = 0 + 6. 0 5y = 5
A parbolaintercepta oeixo vertical noponto ( 0 , 5 )
Utilizando os pontos encontrados,tente fazer sozinho o esboo dogrfico dessa funo antes de vera soluo
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..
..
y = x + 6x 5
RAZES VRTICE
PONTO SOBREOy
( CVB )
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... . .
..y = x
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y = x
.
y = x+ 3
y = x
- 5
.
.
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.
y = x
y =-x
CVC
CVB
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.y =-x. y = -x- 4
. y = -x+ 4
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RESUMO - FUNO DO 2 GRAU
Forma Geral: y =ax2 + bx + c f(x) =ax2 + bx + cou
Onde:
a,
c, o termo independente. (Ordenada do ponto onde a parbola intercepta oeixo vertical)
Se
determina a concavidade a > 0 Concavidade para cima
a < 0 Concavidade para baixo
Valor mnimo (yv )
Valor mximo (yv )
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ZEROS (OU RAZES) DE UMA FUNO DE 2 grau Dada a funo de f: lR lR, definida: f(x) Calcule o zero da funo:= x
2
+
3 x + 2,
x2
3 x + 2
+
= 0Determinar as razes
32
= - 4 . 1 . 2 = 1
x = - 3 V 12 . 1x1 = - 2 x2 = - 1e
Geometricamente a curva corta o eixohorizontal nos pontos: (- 1, 0) (- 2, 0)e
Determinar a concavidade: Concavidade para cima
- 1- 2x
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se
Concavidade para cima Concavidade para baixo
a > 0 a < 0
Vrtice da funo do 2 grauPonto de Mximo ou de Mnimo
Obs.: O valor de mximo ou de mnimo sempre dado pelo y v .
V = (x v , y v)
Ponto de mnimo Ponto de mximo
V = (x v , y v)
xv =
2a
- b
yv =4a
-
VRTICE
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Estudo do sinal da funo do 2 grause
Concavidade para cima Concavidade para baixo
a > 0 a < 0
Primeiro Caso: >0
x
+ ++
_ _ _ x
y > 0 y > 0y > 0
y < 0y < 0 y < 0
y > 0
y < 0
y = 0
Se, x < raiz x > raizou
Se, x = raiz x = raizou
Se, < x 0
y = 0
Se, x < raiz x > raizou
Se, x = raiz x = raizou
Se, < x
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x
+ + _ _ x
y > 0
y = 0
Se, x razes
Se,
y < 0
y = 0
Se,
Se,
Segundo Caso: =0
Terceiro Caso: 0, y < 0, V X lR
(x = x)
(x = x)
(x = x)
(x = x)
COLEGIOPALOMAR
PROFESSOR
VINICIUSSALOMON
8/7/2019 Representao da Funcao do 2o Grau
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ISERJ 2011
Professora Telma Castro Silva
ISERJ 2011
Professora Telma CastroSilva