Ricerca Operativa

1

Ricerca Operativa

• Primi sviluppi : seconda guerra mondiale

• Dopoguerra: applicazioni civili

• Standardizzazione

• Sviluppo del calcolo automatico

• Campi applicativi: IndustriaTrasportiFinanzeEtc.

2

Definizione secondo Ackoff-Sasieni:

La Ricerca Operativa e’:

1. l’applicazione del metodo scientifico2. da parte di gruppi interdisciplinari3. a problemi che implicano il controllo di

sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme

3

Caratteristiche della Ricerca Operativa

1. La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre, organizzare e migliorare le operazioni e le attivita’ all’interno di una organizzazione

2. L’approccio utilizzato e’ quello del metodo scientifico: individuato il problema si costruisce il modello matematico che astrae l’essenza dal problema reale

3. La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta l’organizzazione

4. La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe’ quella che meglio risponde alle esigenze.

4

EsempioGestione linea metropolitana

• Variabili: Numero treni, Tempi di attesa

• Funzione Obiettivo

• Esigenze diverse

• Vincoli

Ente gestore

Utenti

5

Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa

Esame della situazione realeRaccolta delle informazioni

Formulazione del problema(variabili, funzione obiettivo, relazioni)

Costruzione del modello matematico

Soluzione del modello

Analisi e verifica delle soluzioni

Attuazione

6

Problemi economici

Ottimizzare • Costi• Profitti• Produzione• Gestione• Organizzazione

Vincoli• Organizzativi• Logistici• Finanziari• Produttivi

Costi fissiCosti variabili lineariCosti variabili non lineari

7

Problemi economici in una sola variabile

X = quantita’ di merce prodotta e/o venduta (x ≥ 0)

C(X) = Costo totale

Cu(X) = C(X) / X = Costo unitario

R(X) = Ricavo della vendita

G(X) = Guadagno o utile netto

pu = prezzo unitario di vendita =Costante

Funzione della domanda(ricavato da una stima statistica)

8

Lavoro proposto( Preparazione Unità didattica )

• Distribuzione elenco problemi economici

• Definiire gruppi di lavoro

• Stabilire collocazione problemi nell’ambito della Ricerca Operativa.

• In tali problemi variano il tipo di funzione obiettivo, i vincoli.

• Stabilire quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione.

• Dare un ordine di presentazione dei problemi in base agli oggetti matematici presenti e al metodo risolutivo. Definire prerequisiti ed eventuali approfondimenti.

9

A) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 3.000.000 u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità. Determinare e disegnare le funzioni spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta. Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita? u.m.=unità monetarie B) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m. 20.000, spesa fissa mensile u.m. 5.000.000, prezzo di vendita p = 60.000-15x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è 2.000 unità al mese. C) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 180.000 u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile.

(Esaminare anche con vincolo sulla produzione x 700)

D) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg. 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. E) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m. 400.000 ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la tabella

Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile. F) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di 2.000.000 u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di 10.000 unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

N. lotti

1

2

3

4

5

6

Prezzo al lotto (x1000)

350

350

320

280

250

210

G) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: 3.500 u.m. al quintale fino a 50 quintali e 1.800 u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare l’espressione del costo totale in funzione di x. H) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data dalla funzione x = 10.000–10p. L’impresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di 200.000 u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia rivenduta. I) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso dalla funzione C(x) = 200.000 + 120x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’ p(x) =

500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’ x 1.600. Determinare e disegnare la funzione prezzo e la funzione guadagno. L) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a 50.000 u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso di 1.000.000 u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e’ dato da p = 80.000 – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno. Quesito terza prova esame di maturità Le imposte sono una voce importante tra le entrate nella redazione del bilancio dello Stato. In uno Stato Z vengono considerati due diversi tipi di imposte sui redditi secondo questi criteri : tipo A : viene applicata un’imposta progressiva a scaglioni nel seguente modo . un’aliquota del 10% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; un’aliquota del 25% sui redditi sulla parte eccedente i 10.000 euro e sino a 30.000 euro compresi; un’aliquota del 35% sui redditi sulla parte eccedente i 30.000 euro. tipo B : viene applicata un’imposta nel seguente modo . un’aliquota del 5% sui redditi sino a 10 000 euro compresi; per redditi tra 10 e 30 000 euro si paga una quota fissa di 2 000 euro più un’aliquota del 10% sull’intero reddito; per redditi superiori a 30 000 euro si paga una quota fissa di 4 000 euro più un’aliquota del 20% sull’intero reddito. Rappresentare graficamente e confrontare i due tipi di tassazione, le funzioni matematiche la loro discontinuità.

10

1) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 3.000.000 u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità.Determinare e disegnare le funzioni spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta.Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita? u.m.=unità monetarie

PROBLEMI ECONOMICI

11

Costi : C(x) = 3.000.000 + 6.000 xGuadagno : G(x) = 2.000 x –3.000.000 Risposta : 1500

R(x)

C(x)

G(x)

12

2) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di 180.000 u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto.Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile.(Esaminare anche con vincolo sulla produzione x 700)

13

RispostaG(x) = -x2/2 + 750 x –180.000 V(750; 101.250)

14

3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso dalla funzione C(x) = 200.000 + 120x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’ p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’ x 1.600.Determinare e disegnare la funzione prezzo e la funzione guadagno.

Funzione p(x)

15

Risposta

G(x) = -0,1x2 + 380 x –200.000

16

4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg. 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di 500.000 u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg.Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

17

Modello matematico : massimizzare y = - 2,5x2 + 5.000x – 500.000 0 x 1500 Risposta : x =1000

18

5) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di 2.000.000 u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di 10.000 unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

19

Modello matematico : minimizzare y = 0,5x + 2.000.000/x + 800

0 x 10.000Risposta : x =2000 p = 2800

20

N. lotti 1 2 3 4 5 6Prezzo al lotto (x1000) 350 350 320 280 250 210

Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile.

6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m. 400.000 ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6.Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella

21

Caso discreto: dati poco numerosi

N°lotti

Costo(x1000) Ricavo(x1000) Guadagno(x1000)

0 400 0 - 400

1 500 350 -150

2 600 700 100

3 700 960 260

4 800 1120 320

5 900 1250 350

6 1000 1260 260

Risposta : lotti n° 5

Modello matematico: massimizzare y =guadagno

0 x 6 x N

22

7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m. 20.000, spesa fissa mensile u.m. 5.000.0000, prezzo di vendita p = 60.000-15x (dove x è il numero dei beni).Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è 2.000 unità al mese.

23

Modello matematico: massimizzare y = -15x2 + 40.000x – 5.000.000

0 x 2.000x N

Caso discreto: dati molto numerosi

V(4.000/3; 65.000.000/3)

y(1333)= 21666665

y(1334)= 21666660

Risposta : x = 1.333

24

8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: 3.500 u.m. al quintale fino a 50 quintali e 1.800 u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare l’espressione del costo totale in funzione di x.

25

y= 3.500x se 0 x 501.800x + 85.000 se x 50

Funzione definita a tratti, continua.Sconti quantità.

Risposta:

26

9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a 50.000 u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso di 1.000.000 u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e’ dato da p = 80.000 – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno.

27

Modello matematico:

massimizzare

x 300

-100x2+ 30.000x – 1.000.000 se 0 x 100-100x2+ 40.000x – 2.000.000 se x 100

y =

Funzione definita a tratti, continua, parabole.

Risposta : x = 200

28

10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data dalla funzione x = 10.000–10p. L’impresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di 200.000 u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di merce.Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia rivenduta.

29

Funzione definita a tratti, non continua, parabole. Risposta : x = 3.750

Massimizzare

-0,1x2+ 700x – 200.000 se 0 x 3.000-0,1x2+ 750x – 200.000 se x 3.000

x 5.000

y=

30

Quesito terza prova esame di maturità Le imposte sono una voce importante tra le entrate nella redazione del bilancio dello Stato. In uno Stato Z vengono considerati due diversi tipi di imposte sui redditi secondo questi criteri : tipo A : viene applicata un’imposta progressiva a scaglioni nel seguente modo .un’aliquota del 10% sui redditi sino a 10 000 euro compresi;un’aliquota del 25% sui redditi sulla parte eccedente i 10.000 euro e sino a 30.000 euro compresi;un’aliquota del 35% sui redditi sulla parte eccedente i 30.000 euro. tipo B : viene applicata un’imposta nel seguente modo .un’aliquota del 5% sui redditi sino a 10 000 euro compresi;per redditi tra 10 e 30 000 euro si paga una quota fissa di 2 000 euro più un’aliquota del 10% sull’intero reddito;per redditi superiori a 30 000 euro si paga una quota fissa di 4 000 euro più un’aliquota del 20% sull’intero reddito. Rappresentare graficamente e confrontare i due tipi di tassazione, le funzioni matematiche la loro discontinuità.

31

IMPOSTA 1=

0.1x se 0 x 104

0.25x – 1500 se 104 < x 3 104

0.35x – 4500 se x > 3 104

IMPOSTA 2=

0.05x se 0 x 104

0.1x +2000 se 104 < x 3 104

0.2x +4000 se x > 3 104

32

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 104

10000

0

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

400000 x t z v u

33

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 104

10000

0

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

400000 x t z v u

34

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

1200

2400

3600

4800

6000

7200

8400

9600

1.08 104

1.2 104

12000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

k

s

400000 x t z v u

35

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 104

1.1 104

1.2 104

12000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

400000 x t z x t z

36

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1 104

1.1 104

1.2 104

12000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

400000 x t z x t z v u

37

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

4.5 104

5 104

5.5 104

6 104

6.5 104

7 104

2000

4000

6000

8000

1 104

1.2 104

1.4 104

1.6 104

1.8 104

2 104

20000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

700000 x t z x t z

38

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

4.5 104

5 104

5.5 104

6 104

6.5 104

7 104

2000

4000

6000

8000

1 104

1.2 104

1.4 104

1.6 104

1.8 104

2 104

20000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

700000 x t z x t z v u

39

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

4.5 104

5 104

5.5 104

6 104

6.5 104

7 104

2000

4000

6000

8000

1 104

1.2 104

1.4 104

1.6 104

1.8 104

2 104

20000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

b

700000 x t z x t z v u a

40

0 5000 1 104

1.5 104

2 104

2.5 104

3 104

3.5 104

4 104

4.5 104

5 104

5.5 104

6 104

6.5 104

7 104

2000

4000

6000

8000

1 104

1.2 104

1.4 104

1.6 104

1.8 104

2 104

20000

0

ff x( )

gg t( )

hh z( )

f x( )

g t( )

h z( )

k

s

b

700000 x t z x t z v u a

A=56666.66

41

Problema Tipico

Oggetti matematici presenti e da approfondire:

Equazioni e disequazioniFunzioneFunzioni sempliciDominioContinuita’Derivateetc.

Ulteriori metodi:StatisticheApprossimazione –interpolazioneMetodi numerici

min – max f(x)x 0 Vincolo di segnog(x) 0 Vincoli tecnici

Modello Matematico

f(x) =

CostoCosto unitarioRicavoGuadagno

Valori di ottimoMetodi semplici (grafici, algebrici)Analisi e derivate

f(x) = funzione obiettivo

42

Classificazione problemi di scelta

rispetto a

• Numero variabili coinvolte

• Tipo di variabili(campo di scelta)

• Numero e tipo dei vincoli

• Tipo di funzione obiettivo

equazione/i

disequazione/i

linearinon lineari

linearinon lineari

linearinon lineari

continuo (uno o piu’ intervalli reali)discreto (insieme di valori)

a una variabilea due variabilia piu’ di due variabili

43

Problemi di scelta

In condizioni di certezza

Con effetti immediati

Con effetti differiti

In condizioni di incertezza

Con effetti immediati

Con effetti differiti

• certezza: dati e conseguenze determinabili a priori

• incertezza: grandezze variabili aleatorie

• effetti immediati: decisione

• effetti differiti: decisione

realizzazione immediata

realizzazione differita

44

Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra piu’ alternative 1) Un’azienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti caratteristiche :

Costo di produzione giornaliero fisso Costo per ogni unità prodotta

Macchinario M1 100.000 u 800 u



La convenienza dipende dal livello di produzione : se 0 x 250 conviene M1se 250 x 500 conviene M2se x 500 conviene M3 x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza

I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole determinare qual’è la macchina che è più conveniente comperare.

Le funzioni costo risultano:

C1(x) = 100.000 + 800 x

C2(x) = 150.000 + 600 x

C3(x) = 200.000 + 500 x

C1(x)

C2(x)

C3(x)

45

2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) l’acquisto dal primo comporta una spesa fissa di 12.000 u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) l’acquisto dal secondo comporta una spesa fissa di 10.000 u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il prezzo diminuisce del 20% sull’eccedenza.

Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore.

C2(x) = 10.000 + 900 x se 0 x 25055.000 + 720 x se x 250

C1(x) = 12.000 + 800 x

Il primo produttore è più conveniente per 20 x 537.5, il secondo per x 20 oppure x 537.5 .

C1(x)

C2(x)

46

Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti

Esempio 1 Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra:a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000b) ricevere tra 8 anni u.m. 25.000

La scelta b) non comporta alcun dubbio Esempio 2 Si vogliono investire 10.000 u.m. e si puo’ scegliere tra:a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000b) ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altre 9.000

Problemi tipici: • Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.)• Commerciali (gestione di attivita’ commerciali, apertura di agenzie, etc.)• Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)

47

Criteri utilizzati:

• Criterio attualizzazioneConfronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri

• Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento)Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso

La scelta dipende dall’obiettivo: investimento o costo

48

Esempio 2

Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra:a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000b) ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000

Svolgimento

Criterio attualizzazione

Va = 25.000 (1 + i)-10

Vb = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9

i = 8%

Va = 11.579

Vb = 10.852

Soluzione: e’ piu’ conveniente a)

i = 12%

Va = 8.049

Vb = 8.939

Soluzione: e’ piu’ conveniente b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Asse dei tempi

M = C (1 + i)n

V = C (1 + i)-n

In effetti è V= M (1 + i)-n

C V

M C

Difetto: ?

49

•Criterio attualizzazione

Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri

Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione)

50

Stesso problema

Si vogliono investire 10.000 di u.m. e si puo’ scegliere tra:a) ricevere tra 10 anni u.m. 25.000b) ricevere tra 3 anni u.m. 8.000 e fra 9 anni altri 9.000

Svolgimento

Criterio tasso effettivo di impiegoViene determinato il tasso per cui il valore attuale dei costi e’

uguale al valore attuale dei ricavi

a) 10.000 = 25.000 (1 + i)-10

Soluzione: i = 9,59%(metodi algebrici di calcolo)

b) 10.000 = 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 Soluzione: i = 9,64%(metodi numerici di calcolo)

51

•Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento)

Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso

Criterio oggettivo

Difetto: scadenze comparabili

52

Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati

• Le conseguenze dipendono da eventi aleatori• Matrice dei risultati

• Distribuzione di probabilita’

Alternative A1 A2 … An Probabilita’

E1 a1,1 … … p1 E2 a2,1 … … p2

…..

…..

…..

Eve

nti

Em am,1 … … am,n pm Esempio

Alternative A1 A2 A3 Probabilita’

E1 5 4 2 0,3 E2 5 5 4 0,25 E3 5 6 7 0,2 E

vent

i

E4 5 7 10 0,25

53

• Criterio del valor medio

1. Per ogni alternativa si calcola il valor medio dei risultati

2. Scelta dell’alternativa piu’ conveniente

• Variabilita’

M(AK) = i ai,k pi

54

• Criterio del valor medio con valutazione del rischio

1. Per ogni alternativa

2. Se valori medi uguali AK con K minore

3. Se valori medi diversi determinazione del livello di rischio LK = M(AK) / n (n = 1, 2, ..)

Se K LK (n fissato) si confrontano i valori medi e si sceglie l’alternativa corrispondente al piu’ conveniente

K = i [ ai,k - M(AK)]2 pi

55

PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI –ESEMPIO Criterio del valor medio con valutazione del rischio EsempioUn ‘azienda deve scegliere fra tre alternative di investimento i cui risultati dipenderanno dal verificarsi o meno di 4 eventi aleatori.Nella tabella sono indicati i guadagni ottenibili , per ogni alternativa, al variare degli eventi (es. : acquisto di merce deperibile oppure vendita come variabile aleatoria).Valutare quale scelta è preferibile, supponendo che agli eventi siano assegnate le probabilità indicate.

56

E’ possibile formulare un criterio di scelta anche se non si conoscono le probabilità o non se ne vuole tenere conto

Un’industria deve decidere quale fra tre progetti A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di vendita così stimata : 0.5 per L, 0.2 per M, 0.3 per N Ogni produzione prevede diversi costi e ricavi, a seconda che si attuino i progetti A,B,C. Nella tabella sono riportati i guadagni previsti.Determinare quale progetto è il più conveniente senza utilizzare la distribuzione di probabilità.

Es. Acquisto quantità A,B,C di merce deperibile per rivenderla in quantità L,M,N con guadagni in tabella ( si tiene conto dell’invenduto e degli sconti per grandi quantità)

.

A B C Probabilità L 150 40 10 0.5 M 90 160 110 0.2 N 60 120 190 0.3

LAVORO PROPOSTO

57

La tabella rappresenta guadagni: abbiamo un problema di massimo


Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato peggiore


60 40 10

E fra questi scegliamo il maggiore: alternativa A

58

Se la tabella rappresenta costi: abbiamo un problema di minimo


Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato piu’ grande


150 160 190

E fra questi scegliamo il minore: alternativa A

59

Tale criterio è detto del maxi-min o del mini-max ( o criterio del pessimista ).Si attua determinando per ogni alternativa il valore minimo e fra questi si sceglie poi l’alternativa corrispondente al massimo, se si tratta di utili (massimizzazione);se si affronta un problema di costi ( minimizzazione), invece, si scelgono i valori massimi e si sceglie poi l’alternativa corrispondente al minimo.

60

I criteri del valor medio, del valor medio con valutazione del rischio, del maxi-min non portano necessariamente allo stesso risultato : confrontare i criteri

Scrivere problemi in condizioni di incertezza con diverse funzioni obiettivo : utile, costo, da risolvere con i diversi metodi

LAVORO PROPOSTO

61

Problemi in condizioni di incertezza con effetti differiti

• Eventi aleatori• Effetti differiti nel tempo• Applicazioni: Matematica attuariale

62

ESERCITAZIONE Risolvere i seguenti quesiti, dopo aver stabilito la loro collocazione nell’ambito della Ricerca Operativa. Stabilire inoltre quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione. 1) Un’azienda per produrre un prodotto sostiene un costo di produzione unitario CU , rivendendo ad un prezzo fisso p, e ottenendo l’utile G rappresentato in tabella. La quantità prodotta (e venduta) x può assumere solo i valori indicati.

X 8000 10000 12000 15000 17000 20000 CU 14100 14100 14067 14333 14576 15000 G 15200.000 20.000.000 23.200.000 25.000.000 24.200.000 20.000.000

a) Quale valore di x corrisponde all’ottimo costo unitario ? b) Quale valore di x corrisponde all’ottimo guadagno ? c) Determinare il valore di p d) Dall’esame della tabella si nota che i due criteri (minimo CU e massimo G ) forniscono

risultati diversi. Stabilire quale dei due criteri è più sensato applicare se

o la ditta produce per utilizzo interno o la ditta produce per la vendita esterna

63

2) Un’industria deve decidere quale fra tre progetti A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di vendita così stimata : 0.5 per il prodotto L, 0.2 per il prodotto M, 0.3 per il prodotto N. Ogni produzione prevede diversi costi e ricavi, a seconda che si attuino i progetti A,B,C. Nella tabella sono riportati i guadagni previsti. Determinare quale progetto è il più conveniente.


3) Un’industria produce un bene per il quale sostiene: - spese fisse u.m. 50.000.00;

- costo della materia prima e lavorazione u.m. 3.000 per ognuno dei pezzi prodotti; - spese pubblicitarie pari al 20% del quadrato del numero dei pezzi prodotti.

Determinare per quale produzione il costo unitario risulta minimo se la massima capacità produttiva è di 6500 pezzi. Determinare per quale produzione il costo unitario risulta minimo se la massima capacità produttiva è di 4500 pezzi 4) Un istituto scolastico noleggia un pullman e paga u.m. 1500 per ogni km percorso, più una quota fissa che può essere :

- u.m. 180.000 inclusi i primi 100 km - u.m. 300.000 inclusi i primi 220 km

Determinare la tariffa più conveniente al variare del numero di km.

Documents

Ricerca Operativa