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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard

Ricerca Operativa

G. Liuzzi1

Lunedı 9 Marzo 2015

1Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibile

Se S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .

Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema di Ottimizzazione

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato

Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn

Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero

Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn

Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero

Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn

Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero

Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ R

ciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}

gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

dove

f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo

gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto

di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto

di Programmazione Lineare quando Iz = ∅

di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto

di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}

di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}

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Problema Vincolato

min(o max) f (x)g1(x) on b1

g2(x) on b2

. . . on . . .gm(x) on bm

xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}

Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto

di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}

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Problema di PL

Forma generale di un problema di PL di minimo

min c>xAx ≥ b

dove

c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm

Nota Bene:

qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)

qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)

qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come

d>x ≥ h−d>x ≥ −h

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Problema di PL

Forma generale di un problema di PL di minimo

min c>xAx ≥ b

dove

c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm

Nota Bene:

qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)

qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)

qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come

d>x ≥ h−d>x ≥ −h

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Problema di PL

Forma generale di un problema di PL di minimo

min c>xAx ≥ b

dove

c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm

Nota Bene:

qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)

qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)

qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come

d>x ≥ h−d>x ≥ −h

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Problema di PL

Forma generale di un problema di PL di minimo

min c>xAx ≥ b

dove

c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm

Nota Bene:

qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)

qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)

qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come

d>x ≥ h−d>x ≥ −h

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PL e Poliedri

Definizione

Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)

P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.

Quindi

l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn

P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che

x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.

Definizione

Un poliedro limitato e detto politopo.

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PL e Poliedri

Definizione

Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)

P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.

Quindi

l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn

P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che

x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.

Definizione

Un poliedro limitato e detto politopo.

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PL e Poliedri

Definizione

Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)

P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.

Quindi

l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn

P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che

x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.

Definizione

Un poliedro limitato e detto politopo.

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Poliedri e insiemi convessi

Definizione (insieme convesso)

S ⊆ Rn e un insieme convesso se per ogni x , y ∈ S e λ ∈ [0, 1]

λx + (1− λ)y ∈ S

Proposizione

Risulta facilmente:

un semispazio chiuso e un insieme convesso;

un iperpiano (intersezione di due semispazi chiusi) e uninsieme convesso;

un poliedro e un insieme convesso.

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Poliedri e insiemi convessi

Definizione (insieme convesso)

S ⊆ Rn e un insieme convesso se per ogni x , y ∈ S e λ ∈ [0, 1]

λx + (1− λ)y ∈ S

Proposizione

Risulta facilmente:

un semispazio chiuso e un insieme convesso;

un iperpiano (intersezione di due semispazi chiusi) e uninsieme convesso;

un poliedro e un insieme convesso.

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Vertici di un poliedro

Definizione (geometrica)

Un punto x ∈ P e un vertice di P quando non esistono due puntiy , z ∈ P tali che

y 6= z

x ∈ (y , z) ovvero

x = λy + (1− λ)z , per qualche λ ∈ (0, 1)

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Vertici di un poliedro

Sia I (x) = {i : a>i x = bi} l’insieme degli indici dei vincoli “attivi”in x

Definizione (analitica)

x ∈ P e un vertice di P quando

rango(

a>i

)i∈I (x)

= n

Quindi, un poliedro P ha, al piu, un numero finito di vertici. Ilnumero dei vertici non puo essere maggiore di(

mn

)=

m!

n!(m − n)!

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Vertici di un poliedro

Sia I (x) = {i : a>i x = bi} l’insieme degli indici dei vincoli “attivi”in x

Definizione (analitica)

x ∈ P e un vertice di P quando

rango(

a>i

)i∈I (x)

= n

Quindi, un poliedro P ha, al piu, un numero finito di vertici. Ilnumero dei vertici non puo essere maggiore di(

mn

)=

m!

n!(m − n)!

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Problema di miscelazione

min 40x1 + 60x2

140x1 ≥ 7020x1 + 10x2 ≥ 3025x1 + 50x2 ≥ 75x1, x2 ≥ 0

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

140x1 ≥ 70

20x1 + 10x2 ≥ 30

25x1 + 50x2 ≥ 75

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

140x1 ≥ 70

20x1 + 10x2 ≥ 30

25x1 + 50x2 ≥ 75

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

140x1 ≥ 70

20x1 + 10x2 ≥ 30

25x1 + 50x2 ≥ 75

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

20x1 + 10x

2 ≥ 30

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

140x1 ≥ 70

20x1 + 10x2 ≥ 30

25x1 + 50x2 ≥ 75

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

20x1 + 10x

2 ≥ 30

25x1 + 50x

2 ≥ 75

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2, 3)T

40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

40x1 + 60x2 = 140

40x1 + 60x2 = 120

40x1 + 60x2 = 100

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

20x1 + 10x

2 ≥ 30

25x1 + 50x

2 ≥ 75

Δ-

f

40x1 + 60x

2 = 140

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2, 3)T

40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

40x1 + 60x2 = 140

40x1 + 60x2 = 120

40x1 + 60x2 = 100

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

20x1 + 10x

2 ≥ 30

25x1 + 50x

2 ≥ 75

Δ-

f

40x1 + 60x

2 = 120

40x1 + 60x

2 = 140

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2, 3)T

40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

40x1 + 60x2 = 140

40x1 + 60x2 = 120

40x1 + 60x2 = 100

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

x1 ≥ 70/140

20x1 + 10x

2 ≥ 30

25x1 + 50x

2 ≥ 75

Δ-

f

40x1 + 60x

2 = 120

40x1 + 60x

2 = 140

40x1 + 60x

2 = 100 x*=(1,1)

f(x*)=100

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Pianificazione ottima della produzione

Un colorificio produce 2 tipi di coloranti C1 e C2 utilizzando 3preparati base P1, P2 e P3.La tabella riporta: (a) le quantita (in litri) di preparati basenecessari per produrre un litro di ciascun tipo di colorante; (b) ledisponibilita massime (in litri/mese) di preparati base; (c) il prezzodi vendita (in eur/litro) dei due coloranti.

C1 C2 q.max

P1 1 1 750

P2 1 2 1000

prezzo 7 10

Determinare la strategia ottima di produzione mensile.

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Formulazione matematica del problema

Passo 1: Scelta delle variabili di decisione

x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;

x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;

Passo 2: Funzione obiettivo

max 7x1 + 10x2

Passo 3: Vincoli

x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita

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Formulazione matematica del problema

Passo 1: Scelta delle variabili di decisione

x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;

x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;

Passo 2: Funzione obiettivo

max 7x1 + 10x2

Passo 3: Vincoli

x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita

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Formulazione matematica del problema

Passo 1: Scelta delle variabili di decisione

x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;

x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;

Passo 2: Funzione obiettivo

max 7x1 + 10x2

Passo 3: Vincoli

x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x2 ≤ 400

x1 + x2 ≤ 750

x1 + 2x2 ≤ 1000

x2

x1

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x2 ≤ 400

x1 + x2 ≤ 750

x1 + 2x2 ≤ 1000

x1

400x2=400

750

x2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x2 ≤ 400

x1 + x2 ≤ 750

x1 + 2x2 ≤ 1000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750

x2

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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard

Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x2 ≤ 400

x1 + x2 ≤ 750

x1 + 2x2 ≤ 1000x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (7, 10)T

7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

7x1 + 10x2 = 0

7x1 + 10x2 = 4000

7x1 + 10x2 = 5250

7x1 + 10x2 = 6000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2 Δ

f

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (7, 10)T

7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

7x1 + 10x2 = 0

7x1 + 10x2 = 4000

7x1 + 10x2 = 5250

7x1 + 10x2 = 6000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2 Δ

f

7x1 +10x

2 =0

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (7, 10)T

7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

7x1 + 10x2 = 0

7x1 + 10x2 = 4000

7x1 + 10x2 = 5250

7x1 + 10x2 = 6000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2 Δ

f

7x1 +10x

2 =4000

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (7, 10)T

7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

7x1 + 10x2 = 0

7x1 + 10x2 = 4000

7x1 + 10x2 = 5250

7x1 + 10x2 = 6000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2 Δ

f

7x1 +10x

2 =5250

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (7, 10)T

7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

7x1 + 10x2 = 0

7x1 + 10x2 = 4000

7x1 + 10x2 = 5250

7x1 + 10x2 = 6000

x1

400x2=400

750

x1 +x

2 =750500

750 1000

x1 +2x

2 =1000

x2 Δ

f

250

500

7x1 +10x

2 =6000

x*=(500,250)

f(x*)=6000

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Formulazione matematica del problema

max 2x1 − x2

x1 + 4x2 ≥ 8x1 ≥ 2−2x1 + x2 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x1 ≥ 2

−2x1 + x2 ≤ 4

x1 + 4x2 ≥ 8

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x1 ≥ 2

−2x1 + x2 ≤ 4

x1 + 4x2 ≥ 8

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x1 ≥ 2

−2x1 + x2 ≤ 4

x1 + 4x2 ≥ 8

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo

x1 ≥ 2

−2x1 + x2 ≤ 4

x1 + 4x2 ≥ 8

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2,−1)T

2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

2x1 − x2 = 2.5

2x1 − x2 = 7

2x1 − x2 = 16

...

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2,−1)T

2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

2x1 − x2 = 2.5

2x1 − x2 = 7

2x1 − x2 = 16

...

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

2x1- x

2=

2.5

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2,−1)T

2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

2x1 − x2 = 2.5

2x1 − x2 = 7

2x1 − x2 = 16

...

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

2x1- x

2=

2.5

2x1- x

2=

7

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2,−1)T

2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

2x1 − x2 = 2.5

2x1 − x2 = 7

2x1 − x2 = 16

...

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

2x1- x

2=

2.5

2x1- x

2=

7

2x1- x

2=

16

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Interpretazione geometrica

E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.

studiamo ora il comportamentodi f (x)

∇f = (2,−1)T

2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f

2x1 − x2 = 2.5

2x1 − x2 = 7

2x1 − x2 = 16

...

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

2x1- x

2=

2.5

2x1- x

2=

7

2x1- x

2=

16

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... e su YouTube

esempio di problema inammissibilehttps://www.youtube.com/watch?v=eLVXhxnh7YI

esempio di problema illimitatohttps://www.youtube.com/watch?v=bKd-0sYgDCo

esempio di problema che ammette ottimohttps://www.youtube.com/watch?v=gbL3vYq3cPk

. . .

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Osservazioni

Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)

La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P

Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P

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Osservazioni

Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)

La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P

Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P

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Osservazioni

Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)

La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P

Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P

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Osservazioni

Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)

La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P

Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P

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Osservazioni

Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)

La soluzione ottima (quando c’e) e quasi sempre un vertice diP

Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed almeno una e sempre unvertice di P

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Quasi? Almeno una?

Esempio di problema cheammette ottimo ma non su unvertice di P

x2

x1

2

1

0.5

0.5 1 2

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Quasi? Almeno una?

Esempio di problema cheammette infinite soluzioni ottime.Tra queste, almeno una e unvertice di P

x2

x1

8

4

4 8

2

1

2

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Teorema Fondamentale della PL (I)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.

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Teorema Fondamentale della PL (I)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.

Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.

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Teorema Fondamentale della PL (I)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.

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Teorema Fondamentale della PL (I)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.

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Esistenza dei Vertici

Proposizione

Sia P un poliedro non vuoto. P possiede almeno un vertice se esolo se P non contiene rette

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Teorema Fondamentale della PL (II)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.

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Teorema Fondamentale della PL (II)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.

Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.

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Teorema Fondamentale della PL (II)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.

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Teorema Fondamentale della PL (II)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette soluzioni ottime

ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.

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Teorema Fondamentale della PL (II)

min c>xAx ≥ b

Teorema

Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.

Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.

Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.

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Forma STANDARD di un problema di PL

min c>xAx = bx ≥ 0n

Ogni problema di PL ammette un equivalente in forma standard

In particolare,

un problema in forma generale

min c>xAx ≥ b

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Forma STANDARD di un problema di PL

min c>xAx = bx ≥ 0n

Ogni problema di PL ammette un equivalente in forma standard

In particolare, un problema in forma generale

min c>xAx ≥ b

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Trasformazione di un problema in forma standard

max c>x min −c>x

a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus

a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack

xi R 0 xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

Esempi . . .

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Trasformazione di un problema in forma standard

max c>x min −c>x

a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus

a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack

xi R 0 xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

Esempi . . .

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Trasformazione di un problema in forma standard

max c>x min −c>x

a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus

a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack

xi R 0 xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

Esempi . . .

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Trasformazione di un problema in forma standard

max c>x min −c>x

a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus

a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack

xi R 0 xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

Esempi . . .

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Trasformazione di un problema in forma standard

max c>x min −c>x

a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus

a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack

xi R 0 xi = x+i − x−i , x+

i , x−i ≥ 0

Esempi . . .

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Trasformazione di un problema in forma standard

max 4x1 − x3 + x4 + 2x5

x1 − x2 + x3 ≥ 0x2 + 3x3 − x4 ≤ 10x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0

, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+

2 ≥ 0, x−2 ≥ 0

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Trasformazione di un problema in forma standard

max 4x1 − x3 + x4 + 2x5

x1 − x2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)x2 + 3x3 − x4 ≤ 10x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0

, x7 ≥ 0x+

2 ≥ 0, x−2 ≥ 0

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Trasformazione di un problema in forma standard

max 4x1 − x3 + x4 + 2x5

x1 − x2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)x2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0

x+2 ≥ 0, x−2 ≥ 0

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Trasformazione di un problema in forma standard

max 4x1 − x3 + x4 + 2x5

x1 − x+2 + x−2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)

x+2 − x−2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)

x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+

2 ≥ 0, x−2 ≥ 0

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Trasformazione di un problema in forma standard

min − 4x1 + x3 − x4 − 2x5

x1 − x+2 + x−2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)

x+2 − x−2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)

x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+

2 ≥ 0, x−2 ≥ 0

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Proprieta della forma standard

min c>xAx = bx ≥ 0n

(1)

P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}

P ⊆ Rn+ (ortante positivo);

P non puo contenere rette;

se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;

al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)

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Proprieta della forma standard

min c>xAx = bx ≥ 0n

(1)

P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}

P ⊆ Rn+ (ortante positivo);

P non puo contenere rette;

se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;

al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)

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Proprieta della forma standard

min c>xAx = bx ≥ 0n

(1)

P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}

P ⊆ Rn+ (ortante positivo);

P non puo contenere rette;

se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;

al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)

Ricerca Operativa G. Liuzzi

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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard

Proprieta della forma standard

min c>xAx = bx ≥ 0n

(1)

P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}

P ⊆ Rn+ (ortante positivo);

P non puo contenere rette;

se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;

al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)

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Proprieta della forma standard

min c>xAx = bx ≥ 0n

(1)

P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}

P ⊆ Rn+ (ortante positivo);

P non puo contenere rette;

se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;

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