Ricerca Operativa - di.unito.itlocatell/didattica/ro1/intropl-sl-bf.pdf · Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici

Ricerca Operativa

Ricerca Operativa – p. 1/67

Ricerca Operativa

Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzionetramite strumenti automatici di problemi di decisionecomplessi.

In tali problemi la complessità è determinata dall’ampiezzadello spazio delle scelte possibili.


Problema di decisione : componenti

Dati - tutto ciò che è noto a priori e non è sotto ilcontrollo del decisore

Variabili - le quantità sotto il diretto controllo del decisore

Vincoli - condizioni che limitano le possibili scelte deldecisore

Obiettivo - criterio attraverso cui le scelte del decisorevengono confrontate


Un (banale) esempio

In casa con voi avete:

una borsa del valore di 25 Euro

una macchina fotografica del valore di 100 Euro

un libro del valore di 10 Euro

Potete portare fuori di casa al massimo un oggetto. Voleteportare con voi il massimo valore possibile


Un (banale) esempio - continua

Dati - i valori dei tre oggetti

Variabili - per ogni oggetto dovete decidere se portarlocon voi oppure no

Vincolo - potete portare con voi al massimo uno dei treoggetti

Obiettivo - il valore che portate con voi, da massimizzare


Variabili

Borsa =

{

NO non porto la borsa con meSI porto la borsa con me

Simile per Macchina Foto e per Libro.


Scelte possibili

Borsa Macchina Foto Libro

NO NO NO

SI NO NO

NO SI NO

NO NO SI

SI SI NO

SI NO SI

NO SI SI

SI SI SI


Scelte accettabili

Borsa Macchina Foto Libro V alore

NO NO NO 0

SI NO NO 25

NO SI NO 100

NO NO SI 10


Un esempio più complesso

Farina Acqua Medicinali UtilitàTIPO I 10 10 30 14TIPO II 30 20 10 5TIPO III 20 40 5 4

Disp.max 5100 8000 1805

Problema: individuare quanti pacchi di ciascun tiporealizzare, tenuto conto delle disponibilità massime dirisorse, in modo da massimizzare l’utilità totale dei pacchirealizzati.


Un esempio più complesso - continua

Dati - i valori nella tabella

Variabili - per ogni tipo di pacco dovete decidere quantipacchi di quel tipo realizzare

Vincoli - non superare la disponibilità massima di risorsedisponibili

Obiettivo - il valore di utilità totale, da massimizzare


La programmazione matematica

Problemi di decisione come quello precedentementedescritto possono essere riformulati in modelli diProgrammazione Matematica. Un modello diProgrammazione Matematica è una traduzione delproblema di decisione in linguaggio matematico

Variabili - ad ogni variabile viene associata una variabilematematica (ad esempio x1, x2, . . . , xn se abbiamo n

variabili)

Vincoli - I vincoli vengono espressi tramite equazioni edisequazioni in cui compaiono variabili e dati delproblema

Obiettivo - L’obiettivo viene tradotto in una funzionematematica delle variabili del problema


Prog. Matematica : il problema generico

max (o min) f(x1, . . . , xn)

gi(x1, . . . , xn) ≤ 0 i ∈ I1

gi(x1, . . . , xn) ≥ 0 i ∈ I2

gi(x1, . . . , xn) = 0 i ∈ I3


Il modello dell’esempio

Dati - i valori numerici nella tabella

Variabili - xi =quantità di pacchi di tipo i che decidete direalizzare (i = 1, 2, 3)

Vincoli -

10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100 (disp. max farina)

10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000 (disp. max acqua)

30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805 (disp. max medicinali)

x1, x2, x3 ≥ 0 quantità di pacchi non negativa

Obiettivo -

14x1 + 5x2 + 4x3


Modello matematico dell’esempio

max 14x1 + 5x2 + 4x3

tenuto conto che10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100

10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000

30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805

x1, x2, x3 ≥ 0


La Programmazione Lineare

La generica forma dei problemi di ProgrammazioneMatematica comprende una grande varietà di problemi acui corrispondono livelli di difficoltà molto diversi e anchetecniche risolutive molto diverse. Qui ci concentreremo suuna importante sottoclasse di problemi di programmazionematematica che si incontra in molte applicazioni pratiche, laclasse dei problemi di Programmazione Lineare (abbreviatacon PL nel seguito).

max (o min)∑n

j=1cjxj

∑nj=1

aijxj ≤ bi i ∈ I1

∑nj=1

aijxj ≥ bi i ∈ I2

∑nj=1

aijxj = bi i ∈ I3


Caratteristiche dei modelli di PL

Proporzionalit a Il contributo di ogni variabile xj

nell’obiettivo e nei vincoli è direttamente proporzionaleal valore della variabile.

Additivit a I contributi delle diverse variabili si sommanotra loro sia nell’obiettivo che nei vincoli

Continuit a Le variabili xj possono assumere tutti i valorireali.


Importanza della PL

I programmi lineari sono molto importanti per almeno treragioni:

molti problemi reali (tra cui, come abbiamo visto, quellointrodotto in precedenza) hanno come modellomatematico proprio un programma lineare;

sono più semplici da risolvere rispetto ad altri modellidove compaiono termini non lineari. Per i programmilineari esistono delle procedure molto efficienti dirisoluzione (come l’algoritmo del simplesso chedescriveremo in seguito).

Le tecniche di risoluzione di problemi più difficili sibasano spesso sulla risoluzione di sottoproblemi di PL(lo vedremo bene nella Programmazione LineareIntera).


I problemi di PL in forma canonica

In forma scalare:

max∑n

j=1cjxj

∑nj=1

aijxj ≤ bi i = 1, . . . ,m

xj ≥ 0 j = 1, . . . , n


Prodotto scalare tra vettori

Vettore di dimensione n

p = (p1 · · · pn)

Dato un altro vettore di dimensione n

q = (q1 · · · qn)

Il prodotto scalare tra i due vettori è un valore scalare:

pq =n∑

j=1

pjqj

Esempio:

p = (2 3 6) q = (3 8 7) pq = 2 ∗ 3 + 3 ∗ 8 + 6 ∗ 7 = 72Ricerca Operativa – p. 19/67

Proprietà

Siano p,q1,q2 ∈ Rn e α, β ∈ R. Allora:

p(αq1 + βq2) = α(pq1) + β(pq2)

Esempio:

p = (2 3 6) q1 = (1 2 5) q2 = (6 0 3) α = 2 β = 3

αq1 + βq2 = 2(1 2 5) + 3(6 0 3) = (2 4 10) + (18 0 9) = (20 4 19)

p(αq1 + βq2) = 2 ∗ 20 + 3 ∗ 4 + 6 ∗ 19 = 166

pq1 = 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 + 6 ∗ 5 = 38 pq2 = 2 ∗ 6 + 3 ∗ 0 + 6 ∗ 3 = 30

α(pq1) + β(pq2) = 2 ∗ 38 + 3 ∗ 30 = 166Ricerca Operativa – p. 20/67

Generalizzazione della proprietà

Dati i vettori p,q1,q2, . . . ,qt ∈ Rn e gli scalariα1, α2, . . . , αt ∈ R, si ha che

p[α1q1 + α2q2 + · · · + αtqt] = p

[t∑

i=1

αiqi

]

=t∑

i=1

αi(pqi)


Prodotto matrice-vettore

Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)

a11 . . . a1n

......

...am1 . . . amn

ed un vettore p di dimensione n

p = (p1 · · · pn)

Il prodotto matrice-vettore è un vettore di dimensione m lacui componente i è il prodotto scalare tra la i-esima riga diA e il vettore p:

n∑

j=1

aijpj


Prodotto vettore-matrice

Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)

a11 . . . a1n

......

...am1 . . . amn

ed un vettore q di dimensione m

q = (q1 · · · qm)

Il prodotto vettore-matrice è un vettore di dimensione n lacui componente j è il prodotto scalare tra la j-esimacolonna di A e il vettore q:

m∑

i=1

aijqiRicerca Operativa – p. 23/67

Esempi

A =

[

7 6 3

2 4 8

]

p = (3 8 7)

q = (4 5)

Ap = (7 ∗ 3 + 6 ∗ 8 + 3 ∗ 7 2 ∗ 3 + 4 ∗ 8 + 8 ∗ 7) = (90 94)

qA = (4 ∗ 7 + 5 ∗ 2 4 ∗ 6 + 5 ∗ 4 4 ∗ 3 + 5 ∗ 8) = (38 44 52)


PL in forma canonica

Introduciamo i seguenti vettori:

c ∈ Rn: vettore di dimensione n con componenti cj ,j = 1, . . . , n, ovvero:

c = (c1 c2 · · · cn);

x ∈ Rn: vettore di variabili di dimensione n concomponenti xj , j = 1, . . . , n, ovvero:

x = (x1 x2 · · · xn);

ai ∈ Rn, i = 1, . . . ,m: m vettori di dimensione n concomponenti aij, j = 1, . . . , n, ovvero:

ai = (ai1 ai2 · · · ain).



Osservando che

cx =n∑

j=1

cjxj

e

aix =n∑

j=1

aijxj

abbiamo la seguente rappresentazione vettoriale per unproblema di PL in forma canonica:

max cx

aix ≤ bi i = 1, . . . ,m

x ≥ 0



Si consideri la matrice A ∈ Rm×n che ha tante righe quantisono i vincoli del problema (m) e la cui i-esima riga è ilvettore ai e del vettore b = (b1 · · · bm) ∈ Rm di dimensionem con componenti bi, i = 1, . . . ,m. Osservando che

Ax = (a1x . . . amx)

possiamo scrivere la rappresentazione matriciale del problemadi PL in forma canonica:

max cx

Ax ≤ b

x ≥ 0


Esempio degli aiuti umanitari

Il vettore c = (14 5 4)Il vettore di variabili x = (x1 x2 x3)I vettori ai, i = 1, 2, 3

a1 = (10 30 20) a2 = (10 20 40) a3 = (30 10 5)

Il vettore b = (5100 8000 1805)La matrice A

10 30 20

10 20 40

30 10 5


PL canonici≡ PL generici

Osservazione Ogni problema di PL in forma generica puòessere trasformato in uno equivalente in forma canonica.

Trasformazione da min a max

min cx = −max −cx

Trasformazione vincolo ≥ in vincolo ≤

aix ≥ bi ⇔ −aix ≤ −bi

Trasformazione vincolo = in due vincoli ≤

aix = bi ⇔ aix ≤ bi, aix ≥ bi ⇔ aix ≤ bi, −aix ≤ −bi


PL canonici≡ PL generici

Sostituzione variabile ≤ 0 con variabile ≥ 0 Data xi ≤ 0,effettuare il cambio di variabile xi = −x′

i, dove x′i ≥ 0

Sostituzione variabile libera in segno con due variabili ≥ 0Data xi libera in segno, effettuare il cambio di variabilexi = x

′′

i − x′i, dove x′

i, x′′

i ≥ 0


Un esempio

Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica inun problema di PL in forma canonica

min x1 + x2 + x3

x1 + 2x2 − x3 ≤ 3

x1 + 4x2 + 5x3 = 5

x1 − 2x2 + x3 ≥ 3

x1 ≥ 0

x2 ≤ 0

x3 libera in segno


Insiemi convessi

Un insieme C ⊆ Rn si dice convesso se

∀ x1,x2 ∈ C ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C,

ovvero se dati due punti qualsiasi in C, il segmento che licongiunge è anch’esso completamente contenuto in C.


Insiemi limitati e chiusi

Un insieme C si dice limitato se esiste una sfera di raggiofinito R che lo contiene.

Un insieme C si dice chiuso se contiene la sua frontiera.


Semispazi e iperpiani

Si definisce semispazio in Rn l’insieme di punti che soddisfauna disequazione lineare in Rn:

n∑

j=1

wjxj ≤ v

(in forma vettoriale: wx ≤ v).

Si definisce iperpiano in Rn l’insieme di punti che soddisfaun’equazione lineare in Rn:

n∑

j=1

wjxj = v

(in forma vettoriale: wx = v).Ricerca Operativa – p. 34/67

Poliedri e politopi

Si definisce poliedro l’intersezione di un numero finito disemispazi e/o iperpiani. Se il poliedro è limitato esso vienechiamato politopo.


La regione ammissibileSa

La regione ammissibile Sa di un problema di PL in formacanonica

Sa = {x ∈ Rn : aix ≤ bi, i = 1, . . . ,m, x ≥ 0}.

è un poliedro.

Semispazi e iperpiani sono insiemi chiusi

L’intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è uninsieme chiuso

⇓

I poliedri (e quindi Sa) sono insiemi chiusi


Convessità

Siano x,y ∈ Sa, ovvero

aix ≤ bi i = 1, . . . ,m x ≥ 0,

eaiy ≤ bi i = 1, . . . ,m y ≥ 0.

Per ogni λ ∈ (0, 1) e per ogni i ∈ {1, . . . ,m} avremo:

ai[λx + (1 − λ)y] =

= λ︸︷︷︸

>0

aix︸︷︷︸

≤bi

+(1 − λ)︸︷︷︸

>0

aiy︸︷︷︸

≤bi

≤

λbi + (1 − λ)bi = bi.


Continua

Inoltre:λ

︸︷︷︸

>0

x︸︷︷︸

≥0

+(1 − λ)︸︷︷︸

>0

y︸︷︷︸

≥0

≥ 0.

Quindi:λx + (1 − λ)y ∈ Sa.

⇓

La regione ammissibile Sa è un insieme convesso.


Limitatezza e illimitatezza

La regione ammissibile Sa può essere:

= ∅

max x1 + x2

x1 ≤ −1

x1 + x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0

un poliedro limitato (politopo)

max x1 + x2

x1 + x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0


Continua

un poliedro illimitato

max x1 + x2

x1 − x2 ≤ 0

x1, x2 ≥ 0


Ricapitolando ...

... la regione ammissibile Sa di un problema di PL è unpoliedro e come tale è un insieme chiuso e convesso.Inoltre, può essere un insieme vuoto, un insieme limitato(politopo) oppure un insieme illimitato.


Vertici di Sa

Si definisce vertice di Sa un punto x ∈ Sa tale che nonesistono due punti distinti x1,x2 ∈ Sa, x1 6= x2, tali che

x =1

2x1 +

1

2x2.

ovvero x è il punto medio del segmento che congiunge x1 ex2.


Alcuni risultati

Teorema

Dato un problema di PL in forma canonica, se Sa 6= ∅, alloraSa contiene almeno un vertice.

Osservazione

Sa ha sempre un numero finito di vertici.


Raggi

Nel caso Sa sia un poliedro illimitato possiamo ancheintrodurre le definizioni di raggio e raggio estremo.

Si definisce raggio di Sa un vettore r tale che

∀ x0 ∈ Sa ∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa,

cioè la semiretta con origine in x0 e direzione r ècompletamente contenuta in Sa per qualsiasi punto x0 ∈ Sa.


Raggi estremi

Un raggio r di Sa si definisce raggio estremo di Sa se nonesistono altri due raggi r1 e r2 di Sa con direzioni distinte,ovvero

r1 6= µr2 ∀ µ ∈ R,

tali che

r =1

2r1 +

1

2r2.

Osservazione

Sa ha sempre un numero finito di raggi estremi.


Teorema di rappresentazione diSa

Teorema Sia dato un problema di PL in forma canonica conSa 6= ∅. Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa

sia un poliedro illimitato, siano r1, . . . , rh i raggi estremi diSa. Allora

x ∈ Sa

se e solo se

∃ λ1, . . . , λk ≥ 0,k∑

i=1

λi = 1, ∃ µ1, . . . , µh ≥ 0

tali che

x =k∑

i=1

λivi +h∑

j=1

µjrj .


Ovvero ...

... i punti in Sa sono tutti e soli i punti ottenibili come sommadi

una combinazione convessa dei vertici di Sa

una combinazione lineare con coefficienti non negatividei raggi estremi di Sa

Quindi un numero finito di oggetti (vertici e raggi estremi) mipermettono di rappresentare tutto l’insieme Sa.


L’insieme delle soluzioni ottimeSott

Insieme soluzioni ottime

Sott = {x∗ ∈ Sa : cx∗ ≥ cx ∀ x ∈ Sa},

Sott ⊆ Sa, quindi Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.


Una, nessuna, infinite

Osservazione

Se Sott è un insieme finito e non vuoto, Sott contiene un solopunto.

Dimostrazione Per assurdo sia Sott un insieme finito econtenga più di un punto. Siano x1,x2 ∈ Sott, x1 6= x2, duepunti distinti di Sott.


Continua

Per l’ottimalità di x1 e x2 si deve avere cx1 = cx2.

Per la convessità di Sa e x1,x2 ∈ Sa:

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sa ∀ λ ∈ (0, 1),

Per la linearità della funzione obiettivo ∀ λ ∈ (0, 1):

c[λx1+(1−λ)x2] = λcx1+(1−λ)cx2 = λcx1+(1−λ)cx1 = cx1.

Quindi:λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sott ∀ λ ∈ (0, 1)

cioè tutto il segmento che congiunge x1 e x2 è contenuto inSott, il che contraddice la finitezza dell’insieme Sott.


Le diverse forme possibili diSott

Caso 1 Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.

Caso 2 Sa 6= ∅ e politopo.Politopo è insieme chiuso e limitato, funzione obiettivo èlineare e quindi continua ⇒ (Teorema di Weierstrass)Sott 6= ∅.Sono possibili due sottocasi.

Caso 2.1 Sott è costituito da un solo punto.

max 2x1 + x2

x1 + x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0


Continua

Caso 2.2 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.

max x1 + x2

x1 + x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0


Continua

Caso 3 Sa 6= ∅ e poliedro illimitato. Sono possibili quattrosottocasi.

Caso 3.1 Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato, ovveroesiste una sequenza infinita di punti {xk} di Sa lungo cuila funzione obiettivo cresce a +∞. Formalmente:

∃ {xk} : xk ∈ Sa ∀ k e cxk → +∞ k → +∞.

max x1 + x2

−x1 + x2 ≤ 0

x1 − x2 ≤ 1

x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0Ricerca Operativa – p. 53/67

Continua

Caso 3.2 Sott è costituito da un solo punto.

max −x1

−x1 + x2 ≤ 0

x1 − x2 ≤ 1

x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0


Continua

Caso 3.3 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.

max −x2

−x1 + x2 ≤ 0

x1 − x2 ≤ 1

x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0


Continua

Caso 3.4 Sott è costituito da un insieme infinito e illimitato dipunti.

max x1 − x2

−x1 + x2 ≤ 0

x1 − x2 ≤ 1

x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0


Un lemma

Lemma

Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora per ogni raggio estremo r di Sa si ha:

cr ≤ 0.


Dimostrazione

Per assurdo supponiamo esista un raggio estremo r taleche

cr > 0

Sott 6= ∅ ⇒ Sa 6= ∅.

Sia x0 ∈ Sa. Per definizione di raggio avremo che

∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa.

Valore funzione obiettivo in punti x0 + λr:

c(x0 + λr) = cx0 + λ cr︸︷︷︸

>0

→︸︷︷︸

λ→+∞

+∞

Allora Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato sulla regioneammissibile, il che contraddice Sott 6= ∅.


Teorema fondamentale della PL

Teorema

Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora Sott contiene almeno un vertice di Sa.


Dimostrazione

Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa sia unpoliedro illimitato, indichiamo con r1, . . . , rh i raggi estremi diSa.

Se Sott 6= ∅, sia x∗ ∈ Sott.

Per assurdo supponiamo che

v1, . . . ,vk 6∈ Sott

da cui:cvi < cx∗ i = 1, . . . , k


Continua

Per il teorema di rappresentazione di Sa, x∗ ∈ Sa implicache

∃ λ∗1, . . . , λ

∗k ≥ 0,

k∑

i=1

λ∗i = 1, ∃ µ∗

1, . . . , µ∗h ≥ 0

tali che

x∗ =k∑

i=1

λ∗i vi +

h∑

j=1

µ∗jrj .

Quindi:

cx∗ = c

k∑

i=1

λ∗i vi +

h∑

j=1

µ∗jrj


Continua

Per la linearità della funzione obiettivo

cx∗ =k∑

i=1

λ∗i (cvi) +

h∑

j=1

µ∗j(crj).

Dal lemma precedente:

crj ≤ 0 j = 1, . . . , h.


Continua

Quindi:

cx∗ =k∑

i=1

λ∗i (cvi) +

h∑

j=1

µ∗j

︸︷︷︸

≥0

(crj)︸︷︷︸

≤0

.

da cui:

cx∗ ≤k∑

i=1

λ∗i (cvi).


Continua

Da cvi < cx∗, ∀ i segue che:

cx∗ ≤k∑

i=1

λ∗i (cvi)︸︷︷︸

<cx∗

<

k∑

i=1

λ∗i (cx

∗).

NB: lo strettamente minore vale perchè almeno uno dei λ∗i è

strettamente positivo in quanto la loro somma deve esserepari a 1.

Quindi:

cx∗ < (cx∗)k∑

i=1

λ∗i = cx∗.

il che è assurdo.Ricerca Operativa – p. 64/67

Un commento

Il teorema fondamentale della PL è alla base dellaprocedura di risoluzione che descriveremo, l’algoritmo delsimplesso.

Infatti, tale algoritmo ricerca la soluzione ottima cercando dispostarsi ad ogni iterazione in modo intelligente da unvertice all’altro di Sa. Per modo intelligente si intende chel’algoritmo tenta di spostarsi ad una data iterazione da unvertice a uno con valore della funzione obiettivo maggiore.


Problema 1

Sia dato il problema di PL in forma canonica

max cx

aix ≤ bi i = 1, . . . ,m

x ≥ 0

e sia x ∈ Sa tale che

aix < bi ∀ i, x > 0.

Si dimostri che

x ∈ Sott ⇔ Sa = Sott


Problema 2

Siano vi, i = 1, . . . , k, i vertici della regione ammissibile Sa

di un problema di PL. Si supponga che Sott 6= ∅ e che tutti ivertici abbiano lo stesso valore dell’obiettivo, ovvero

cvi = cvj ∀ i 6= j

Si dimostri che:

a) Sa = Sott se Sa è un politopo;

b) può essere Sa 6= Sott nel caso Sa sia un poliedro illimitato.


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