Rms

UNIFEI- IESTI Kazuo Nakashima

VALOR MDIO E EFICAZ

Kazuo Nakashima

Universidade Federal de Itajub Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informao

RESUMO

Medio de tenso (Volt) e corrente (Am-pere) uma atividade de rotina para qual-quer eletricista. Contudo a sua indispensvel ferramenta de trabalho, o MULTMETRO, digital ou analgico, pode realizar medies incorretas em sistemas onde a forma de on-da no senoidal. Estas medies incorre-tas podem provocar especificaes inade-quadas de cabos, fusveis, chaves, medido-res, dispositivos eletrnicos, dissipadores de calor, etc. Qualquer multmetro mede corretamente o valor mdio da tenso ou corrente de ondas no senoidais, porm o valor eficaz, relacio-nado com a dissipao de potncia, poucos multmetros, geralmente digitais, medem corretamente. OBJETIVOS Ao final desta unidade voc estar apto a: 1. Reconhecer a diferena entre valor mdio,

eficaz ou rms, eficaz real (true rms). 2. Especificar o multmetro adequado para

medio de tenso e corrente no senoi-dal.

3. Calcular o valor mdio e eficaz de tenso

e corrente, a potncia dissipada, o fator de crista e o fator de forma de ondas peri-dicas no senoidais.

1. VALOR MDIO (Av) O Valor Mdio (Average - Av) de uma on-da peridica de TENSO, CORRENTE E POTNCIA (e outras grandezas fsicas) est relacionado com a componente contnua desta onda e o interesse por este valor est relacionado com o resultado aps a filtra-gem do sinal.

= Tav dttfTF 0 )(1

T

S FAV

S FAV

t

t Figura 1- Valor mdio Graficamente, o valor mdio pode ser re-presentado como rea sob a curva, no in-tervalo T, dividido pelo perodo T. O perodo T o intervalo de tempo de repetio da on-da peridica. T=1/f onde f a freqncia.

O valor mdio representa uma grandeza contnua FAv que tem a mesma rea sob a curva que a onda peridica, no mesmo inter-valo T.

Valor Mdio e Eficaz

UNIFEI - IESTI Kazuo Nakashima

2

2. VALOR EFICAZ (RMS) Valor eficaz ou RMS (Root Mean Square) de uma onda peridica de CORRENTE e TENSO est relacionado com o calor dissi-pado em uma resistncia.

A clssica frmula de potncia permite ob-ter o valor mdio da potncia dissipada na resistncia.

22

)( . RMSRMSAv IRRVP ==

O valor eficaz de TENSO ou CORREN-TE alternada peridica representa o valor de uma tenso ou corrente contnua que produz a mesma dissipao de potncia que a ten-so ou corrente peridica. Por exemplo, a potncia instantnea dissipada em uma re-sistncia

)(.)()( 22

tiRRtvtp ==

e a potncia mdia dissipada

=

==T

T T

dttiT

R

dttiRT

dttpT

AvP

02

0 02

).(1.

).(.1).(1)(

Igualando as duas equaes de potncia

mdia obtemos a equao abaixo, origem do termo RMS (Raiz Quadrada da Mdia do Quadrado)

tdtiT

I TRMS = 0 2)( ).(1

tdtvT

V TRMS = 0 2)( ).(1 A Figura 2 mostra diversas formas de on-da de corrente de 1,0A(rms). Observe os diferentes valores de pico.

-1

2

2 2

1 1

2

d=0.25d=0.5

Figura 2- Valor eficaz ou rms 3. SOMA DE CORRENTES

I 1

I 2

I 3

Is

Figura 3- Soma de correntes Para valor mdio, o resultado da soma simplesmente uma soma aritmtica

...)(3)(2)(1)( +++= AvAvAvAvS IIII Para o valor eficaz o resultado no to simples assim; a equao abaixo alm de mais complicada valida somente se as cor-rentes forem funes ortogonais.

Valor Mdio e Eficaz


3

...2 )(32

)(22

)(1)( +++= rmsrmsrmsrmsS IIII

duas funes so ortogonais se

0.)().(10 21

= dttftfT T Um exemplo muito interessante a cor-rente no neutro de um sistema trifsico equi-librado: a corrente no neutro zero apesar de existir corrente (no ortogonais) nas trs fases. Esta propriedade ser utilizada para cal-cular o valor mdio e eficaz de ondas peri-dicas complexas. Neste processo de clculo dividiremos esta onda complexa em vrios intervalos de tempo e calcularemos o valor mdio e eficaz de cada intervalo. 4. FATOR DE FORMA (Kf)

Av

RMSf IIK =

Este fator est relacionado com o fator de utilizao ou de aproveitamento de um com-ponente ou equipamento eletro-eletrnico. Se este fator for mnimo (1 em corrente con-tnua constante) significa que a potncia til (trabalho realizado) do equipamento ser realizado com a menor corrente possvel. Sua aplicao est mais relacionada com conversores ac/dc e com medidores average sensing. 5. FATOR DE CRISTA (KP)

Av

Picop IIK =

Este fator tambm pode nos informar so-bre o fator de utilizao. Uma corrente com fator de crista muito alto significa que o com-ponente deve ser especificado com potncia

muito alta pelo trabalho realizado. Este fator muito importante para especificar medido-res TRUE RMS.

T

D=0,8KF=1.118KP=1.118

D=0,2KF=2,236KP=2,236

D=0,2KF=2,582KP=3,873

Figura 4- Fator de forma e de crista 6. ONDA RETANGULAR Calcular o valor mdio e eficaz de uma onda retangular relativamente fcil pois depende apenas do valor de pico Vp e da relao entre a largura do pulso tp e o pero-do T. A relao tp/T denominado ciclo de trabalho ou relao marca/espao (duty cy-cle) d, ou . Ondas retangulares de correntes so co-muns em conversores tiristorizados ac/dc e dc/dc. Tenses retangulares so encontra-dos em conversores dc/dc (chopper) e dc/ac (inversores).

Tt

d p=

PAv IdI =)(

PRMS IdI =)(

Valor Mdio e Eficaz


4

S

FP

FAv

S

S1

S2

tp

T

FAv

S1 = S2

Figura 5- Onda retangular

d d 0,01 0,1000 0,05 0,2236 0,1 0,3162 0,2 0,4472 0,3 0,5477 0,4 0,6325 0,5 0,7071 0,6 0,7746 0,7 0,8367 0,8 0,8944 0,9 0,9487 0,95 0,9747 1,0 1,0000

7. ONDA SENOIDAL Ondas parcialmente senoidais so encon-trados em conversores ac/dc tiristorizados, nos reguladores ac/ac tiristorizados e em circuitos ressonantes.

O clculo do valor mdio e eficaz de uma onda parcialmente senoidal mais compli-cado pois envolve clculo de seno e coseno e requer o cuidado de converter os ngulos geralmente em GRAUS para RADIANOS.

Figura 6- Onda senoidal

=TI

IP

Av coscos

( )TI

IP

RMS )2sen()2sen()(221 +=

, e em radianos [rad] O perodo T o intervalo de repetio da onda parcialmente senoidal e pode ser mai-or, igual ou menor que 2. T= ou 2 so observados em sistemas monofsicos. T=/3 ou /6 so observados em sistemas trifsi-cos. T> so observados em circuitos resso-nantes (pulsos senoidais). Os ngulos e esto relacionados com o incio (cruzamento de zero) da senoidal plena correspondente. Nos conversores tiristorizados monofsi-cos o ngulo coincide com o ngulo de disparo, tambm denominado . Nos con-versores trifsicos, por outro lado, o valor destes dois ngulos so diferentes, motivo de muita ateno.

IP

2

Valor Mdio e Eficaz


5

=TI

IP

Av coscos ( )TI

IP

RMS )2sen()2sen()(221 +=

=

GRAU RADIANO RADIANO COS SEN Iav/Ip Irms/Ip

0o 0 0.000 1.000 0.000 0.3183 0.5000 15 30 45

/12 /6 /4

0.262 0.524 0.785

0.966 0.866 0.707

0.258 0.500 0.707

0.3129 0.2970 0.2717

0.4991 0.4927 0.4767

60 75 90

/3 5/12 /2

1.047 1.309 1.571

0.500 0.259 0.000

0.866 0.966 1.000

0.2387 0.2003 0.1592

0.4485 0.4071 0.3536

105 120 135

7/12 2/3 3/4

1.833 2.094 2.356

-0.259 -0.500 -0.707

0.966 0.866 0.707

0.1180 0.0796 0.0466

0.2903 0.2211 0.1507

150 165 180

5/6 11/12

2.618 2.680 3.142

-0.866 -0.966 -1.000

0.500 0.259 0.000

0.0213 0.0054 0.0000

0.0849 0.0306 0.0000

)()( 180 grausrad = )()( 180 radgraus =

4142.12= 7321.13= 4495.26= 4641.312= 7071.02/1 = 5774.03/1 = 4082.06/1 = 2887.012/1 =

* Tabela para ser utilizada quando no temos uma calculadora cientfica disponvel, lembrando apenas que =.

IP

T = 2

=

Valor Mdio e Eficaz


6

8. PULSOS Pulsos senoidais, triangulares, trapezoi-dais e retangulares. so encontrados em circuitos de comutao como fontes chavea-das, chopper, inversores, etc. Para pulsos senoidais podemos utilizar as equaes anteriores apresentados no item 7.

Pulsos retangulares e triangulares so ca-sos particulares da onda trapezoidal.

PULSO TRAPEZOIDAL

T tP

IAIB

Tt

d p=

2)( BA

AvIIdI +=

3

).( 22 BBAARMS

IIIIdI ++=

PULSO TRIANGULAR

T tP

Ip

2dII PAv =

3dII PRMS =

PULSO SENOIDAL RECORTADO

tST

Ip

tp

==

=

Ss

p

s

tTtTtd

[ ]))1cos((1 +=d

IIP

Av

+= )2)1sen((2.

21 d

IIP

RMS

PULSO SENOIDAL

tpT

Ip

Tt

d p=

dII PAv.2=

2dII PRMS =

A onda retangular um caso particular da

onda trapezoidal onde IA=IB=IP A onda triangular um caso particular da

onda trapezoidal para IA=0

Valor Mdio e Eficaz


7

9. MEDIDORES AVERAGE SENSING ou AVERAGE RESPONDING

Estes medidores medem corretamente o valor mdio de qualquer forma de onda (es-cala DCV ou DCA). Porm o valor eficaz medido corretamente somente para onda SENOIDAL. O sensor ou transdutor destes multme-tros respondem somente ao valor mdio do sinal. Para medir o valor eficaz de um sinal alternado senoidal, este sinal retificado em onda completa e amplificado por um fator de converso 11.122/ = e ento medido pelo sensor average sensing. A relao entre o valor eficaz e o valor mdio de uma onda senoidal retificada em onda completa

22 VavVpV

V pav

==

avavp

rms VVVV .11.1

222===

Este fator de converso 1.11 vlido so-mente para onda senoidal. Isto significa que qualquer onda no senoidal ser medido (ou convertido) incorretamente. Para uma onda quadrada este tipo de multmetro apresentar uma leitura 11% a-cima do valor correto. 10. MEDIDORES True rms Estes multmetros Eficaz Verdadeiro, obviamente muito mais caros, medem corre-tamente o valor EFICAZ de qualquer forma de onda desde que o fator de crista Kp e a freqncia seja menor que o especificado pelo fabricante. Menos que 10% dos medidores dispon-veis comercialmente so True rms e custam de 5 a 10 vezes mais em relao aos medi-dores average sensing. Os multmetros true rms mais populares so BECKMAN: RMS3030; FLUKE: 8026B, 8060A, 8026A, 87. (Obs. Alguns osciloscpios digitais e sistemas de aquisio de dados medem cor-retamente o valor eficaz de ondas no se-noidais).

Medidores True RMS

TCNICA DE CONVERSO

TRMICO CLCULO DIGITAL

CLCULO ANALGICO

Kp 100:1 20:1 5:1 PRECISO 0,01% 0,1% 0,1%

TEMPO DE RESPOSTA >10 seg. 1-10 seg.

Valor Mdio e Eficaz


8

Exemplo 1: Potncia Mdia A chave eletrnica opera na freqncia de 100[Hz] com ciclo de trabalho d=0,5.

VsR

Vz

Vs=15[V], Vz=10[V], R=10[ ]

5ms

Io

10ms

PR

PZ

Po

15V

0,5A

5W

Vo

7,5W

2,5W

5ms

f = 100Hz T = 10ms tp = 5ms d = 0,5

A potncia mdia fornecida por uma fonte de tenso contnua ou dissipada no diodo zener proporcional ao Valor Mdio da cor-rente.

)(. AvSSS IVP =

Para o resistor a potncia mdia pro-porcional ao quadrado do Valor Eficaz da corrente.

2. RMSR IRP =

Portanto a potncia (mdia) dissipada na carga (R+Vz) :

AvZRMSAv IVIRP ..2 +=

Quando a chave est fechada circular uma corrente instantnea de: ( ) ( )

picozs

p ARVVI ][5.0

101015 ===

dissipando uma potncia instantnea de:

picopicopicoR WIRP ][5,25,0.10.22 ===

P V I WZ pico z p pico= = =10 0 5 5, [ ] P P P WTotal p R Z p= + = + =2 5 5 0 7 5, , , [ ]

][5,75,0.15. WIVP picoSSpicoS === Quando a chave estiver aberta, a potncia dissipada zero.

Portanto, a potncia mdia fornecida pela fonte de tenso Vs, que igual potncia mdia dissipada na carga (R+Vz), ser:

av

picoTotalavTotal

W

PdP

][75,35,75,0

)()(

==

=

De outra forma, utilizando os valores m-dio e eficaz da corrente:

25,05,0.5,0 ==AvI 3536,05,0.5,0 ==RMSI

Av

AvRMSAv

WVP

][75,325,0103536,010 2

=+=

][75,325,0.15

. )()(

W

IVP AvSSAvS

===

Este o processo para calcular a potncia dissipada no diodo e no tiristor. Os valores da resistncia (Rt) e da barreira de potencial (Vt) so fornecidos pelos fabricantes.

Valor Mdio e Eficaz


9

Exemplo 2: Ortogonalidade

10

5A )

0

5

5

5

10

B )

C )

D )

E )

A forma de onda (a) pode ser decomposta

em dois modos.

No primeiro modo decompomos a forma de onda no tempo A(t)=B(t)+C(t). Como B(t) e C(t) so funes ortogonais, uma vez que

=T dttCtBT 0 0).(*)(1 , porque 0C(t)*B(t) =

905,7

535,3071,7

22 =+===

rmsrmsrms

rms

rms

CBA

CB

No segundo modo a forma de onda de-

composta na amplitude A(t)=D(t)+E(t). D(t) e E(t) no so funes ortogonais

(??)123,6

535,35

22 =+==

rmsrms

rms

rms

ED

ED

6,123 no o valor eficaz de A(t) Portanto, toda vez que depararmos com uma forma de onda complexa, devemos analisar por partes, divididas ao longo do eixo do tempo.

Para o valor mdio, no entanto, encontra-remos o valor corretamente em ambos os casos.

5,75,255,75,25

=+=+==+=+=

avavav

avavavEDACBA

Na escala ACV o multmetro True RMS (AC+DC) indicaria 7,905[V], o multmetro True RMS (AC) indicaria 2,5[V] e o multme-tro Average Sensing AC indicaria 2,775[V].

10

5A )

107 ,5

F )

-2 ,5

G )

+ 2 ,5

acrmsV

V totalRMS

=+

][5,25,7905,7

][905,75,75,222

22

A onda f(t) a componente contnua e a onda g(t) a componente alternada. f(t) e g(t) so funes ortogonais. Nos multmetros Average Sensing - AC a onda g(t) retificada em onda completa tor-nando-se uma onda contnua de 2,5[V] e ento multiplicada pelo fator 1,11. O valor indicado por este tipo de multmetro na esca-la ACV ser 2,775[V].

Valor Mdio e Eficaz


10

Exemplo 3: Senoidal Trifsico A tenso retificada de uma ponte tiristori-zada trifsica ideal com ngulo de disparo de 30o apresentada na figura abaixo. Este ngulo de disparo (tambm) de-nominado (alfa) e no deve ser confundido com o ngulo da frmula para o clculo do valor mdio e valor eficaz. Existe uma dife-rena de 60o entre estes dois ngulos (para ponte tiristorizada trifsica em particular). Observe que temos 6 pulsos no intervalo correspondente ao perodo de uma onda senoidal plena. Consequentemente a fre-qncia destes pulsos, parcialmente senoi-dal, 6 vezes maior que a freqncia da rede de alimentao. Por este motivo o per-odo utilizado na frmula T=/3.

Recomendamos a utilizao das equa-es com uma calculadora cientfica e com os ngulos em radianos.

Utilizando as equaes diretamente:

= == == =

90 2150 5 660 3

/ [ ],/ [ ]

/ [ ]

radrad

T rad

V Vav p/ .=0 8270

V Vrms p/ .=0 8407

Se, eventualmente, no dispormos de uma calculadora cientfica, podemos utilizar a tabela da pgina 5.

Como os valores de Iav/Ip e Irms/Ip desta

tabela so vlidos para =, devemos calcu-lar por partes.

V1 a parte achureada (parte da onda

senoidal plena tracejada), V11 a parte que vai de at e V12 a parte que vai de at .

==== 150,90,2, 1211 T

1592.0/)(11 =pav VV 3536.0/)(11 =prms VV

0213.0/)(12 =pav VV 0849.0/)(12 =prms VV

)(12)(11)(1 avVavVavV =

1379.0/)(1 =pav VV

2

)(122

)(11)(1 rmsrms VVrmsV =

3433.0/)(1 =prms VV Como so 6 pulsos iguais no intervalo 2: V Vav av= = =6 6 0 1379 0 82741. . , ,( ) V Vrms rms= = =6 2 4495 0 3433 0 84091( ) . . . . As diferenas nos resultados (0.05%) se devem ao nmero de casas decimais utiliza-dos na tabela.

Valor Mdio e Eficaz


11

Exemplo 4: Pulso 20[V]pp d=0.2 A onda retangular abaixo apresenta sime-tria na amplitude (+10; -10) mas no no tem-po (d=0.2). O valor mdio desta onda -6[V]. A rea positiva 0,2x(+10)=+2 enquanto que a rea negativa 0.8x(-10)=-8. O valor eficaz desta onda de tenso 10[V]. Uma tenso de 10[V] produz a mes-ma potncia que uma tenso de +10[V].

a) +10V

-10V

- 6V

10[V]RMS-6 [V]AV

+16V

8,0[V]RMS0,0[V]AV

+4V

6,4[V]AV

0,2 0,8

b)

c)

- 4V

+16V

8,0[V]RMS

Como a maioria dos multmetros utiliza

acoplamento AC, ou seja, a componente contnua bloqueada, a onda realmente medida aquela apresentada na Figura b). Esta onda, obviamente com valor mdio igual a zero, apresenta outro valor eficaz. Basta lembrar a equao

22)()( DCtotalrmsACrms VVV = 826210)( ==ACrmsV

Este ser o valor indicado pelo multmetro True RMS AC. No multmetro Average Sensing com aco-plamento AC, esta componente AC retifi-cada em onda completa, como mostra a Fi-gura c), e o valor mdio multiplicado pelo fator 1.11, resultando 7,104[V]. Para calcular o valor mdio e o valor efi-caz desta onda necessrio analisar a onda por partes. No intervalo entre 0 e dT v(t)=+10[V] e no intervalo entre dT e T v(t)=-10[V]. Uma outra forma para calcular estes valo-res dividir esta onda em duas partes como mostram as Figuras (a1) e (a2) onde (a1) Vp=+10[V] e d=0,2 (a2) Vp=-10[V] e d=0,8

a) +10V

-10V

- 6V

10[V]RMS-6[V]AV

+10V4,472[V]RMS

+2,000[V]AV

-10V8,944[V]RMS

-8,000[V]AV

0,2 0,8

a1)

a2)

av av av

2 2RMS RMS RMS

2 2

(a) = (a1) +(a2)+2 + (-8) = -6

(a) = (a1) +(a2)

= 4,472 8,944 10

=

+ =

Valor Mdio e Eficaz


12

(b1) Vp=+16[V] e d=0,2 (b2) Vp= -4[V] e d=0,8

b)

+16V

-4V

8,0[V]RMS0,0[V]AV

7,155[V]RMS+3,200[V]AV

3,577[V]RMS0,2 0,8

b1)

b2)

+16V

-3,200[V]AV

-4V

av av av

2 2RMS RMS RMS

2 2

(b) = (b1) +(b2)+3,2 + (-3,2) = 0

(b) = (b1) +(b2)

= 7,1552 3,5776 8

=

+ =

Itajub, MG

Abril de 1999 junho de 2000 Abril de 2005 Abril de 2007

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