SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM
SỐ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức
quan trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn
toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ
trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho
học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động
mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng
tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán
tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có
nghiệm là bài toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh
vào Đại học,Cao đẳng .Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất
nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ khi thay đổi sách giáo khoa,
tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo
của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó
học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất
nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang
mang và không biết phải giải quyết như thế nào.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi
tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương
trình, bất phương trình , hệ phương trình có nghiệm bằng phương
pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về
tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên,
thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử
dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình chứa tham số”
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn
với số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương
trình đó để giải quyết các bài toán tìm giá trị của tham số để
phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm.
Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc
tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của
ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của
bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ
thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải
được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên
điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương
ứng trên tập giá trị của ẩn phụ.
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ
cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp
cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình có chứa tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với
đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương
trình, bất phương trình , hệ phương trình có chứa tham số.
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ
chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông
đặc biệt là phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình
lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit, hệ phương
trình.
IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên
toàn tỉnh
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lý luận của vấn đề:
Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số
để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm
vững các mệnh đề sau:
Cho hàm số
()
yfx
=
liên tục trên tập D
* Phương trình f(x) = m có nghiệm
min()max()
xD
xD
xDfxmfx
Î
Î
ÎÛ££
* Bất phương trình
()
fxm
£
có nghiệm
min()
xD
xDfxm
Î
ÎÛ£
* Bất phương trình
()
fxm
³
có nghiệm
max()
xD
xDmfx
Î
ÎÛ£
* Bất phương trình
()
fxm
£
, nghiệm đúng với mọi
max()
xD
xDmfx
Î
ÎÛ³
* Bất phương trình
()
fxm
³
, nghiệm đúng với mọi
min()
xD
xDmfx
Î
ÎÛ£
* Cho hàm số
()
yfx
=
đơn điệu trên D.
Khi đó:
()()(,)
fufvuvuvD
=Û="Î
* Cho hai hàm số
(),()
yfxygx
==
có đồ thị lần lượt là
(
)
(
)
12
,
CC
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
1
C
và
(
)
2
C
là :
()()(1)
fxgx
=
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của
(
)
1
C
và
(
)
2
C
II.Thực trạng của vấn đề:
a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương
trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng
()()
fxgm
=
hoặc
()()
fxgm
£
sau đó ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn
giản.
b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng
()()
fxgm
=
hoặc
()();()()
fxgmfxgm
£³
, nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của m không cùng
bậc.
III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1. Phương pháp chung:
Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT),
bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện
thứ tự như sau:
* Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về
dạng
()()
fxgm
=
hoặc
()();()()
fxgmfxgm
£³
.
* Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
* Tính
'
()
fx
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
* Xác định
max();min()
xD
xD
fxfx
Î
Î
.
* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho
bài toán.
Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương
trình chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
* Đặt ẩn số phụ
()
tx
j
=
.
* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn
t.
* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất
phương trình ẩn t.Ta được
()()
htgm
=
hoặc
()();()()
htgmhtgm
£³
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
2.Các bài toán minh họa:
2.1*Dạng 1: Phương trình.
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
2
221
xmxx
++=+
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có:
2
2
1
221
2
341(1)
x
xmxx
mxxx
ì
³-
ï
++=+Û
í
ï
=+-
î
Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu
{
}
1
;\0
2
x
éö
Î-+¥
÷
ê
ëø
thì
1
(1)34(2)
mx
x
Û=+-
Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của
:
dym
=
và đồ thị
1
():()34
Cfxx
x
=+-
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
{
}
1
;\0
2
x
éö
Î-+¥Û
÷
ê
ëø
EMBED Equation.DSMT4
:
dym
=
cắt
1
():()34
Cfxx
x
=+-
trên
{
}
1
;\0
2
éö
-+¥
÷
ê
ëø
.Ta có:
{
}
'
2
11
()30,;\0
2
fxx
x
éö
=+>"Î-+¥
÷
ê
ëø
Bảng biến thiên:
x
1
2
-
0 +
¥
f’(x) + +
+
¥
+
¥
f(x)
9
2
-
¥
Từ bảng biến thiên ta có:
9
2
m
³
* Nhận xét :
Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải
theo cách đưa về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương
trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện
1
;
2
x
éö
Î-+¥
÷
ê
ëø
.Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai
với
1
2
-
, bài toán trở nên phức tạp.
Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có
nghiệm
2
99
xxxxm
+-=-++
(1)
Lời giải:
Điều kiện:
09
x
££
PT (1)
2
92(9)9
xxxxxxm
Û+-+-=-++
22
9299
xxxxm
Û+-+=-++
(2)
Đặt
2
9
txx
=-+
Ta có:
'
2
29
29
x
t
xx
-+
=
-+
;
'
9
0
2
tx
=Û=
x 0
9
2
9
'
t
+ 0
-
t
9
2
0 0
Do đó :
9
0
2
t
££
Phương trình (2) trở thành
22
9229
ttmttm
+=+Û-++=
(3)
Xét hàm số
2
()29
fttt
=-++
,
9
0
2
t
££
Ta có :
''
()22;()01
fttftt
=-+=Û=
Bảng biến thiên :
t 0 1
9
2
'
()
ft
+ 0
-
()
ft
10
9
9
4
-
Phương trình (1) có nghiệm
[
]
0;9
x
ÎÛ
phương trình (3) có nghiệm
9
0;
2
t
éù
Î
êú
ëû
9
10
4
m
Û-££
* Nhận xét :
Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt :
22
9299
xxxxm
+-++-=
Khi đó xét hàm số
22
()9299
fxxxxx
=+-++-
thì việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên
tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện
của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của đường
thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ).
Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có
nghiệm
2
4
31121
xmxx
-++=-
(1)
Lời giải :
Điều kiện :
1
x
³
PT (1)
2
44
11
32
11
xx
m
xx
æö
--
Û+=
ç÷
ç÷
++
èø
(2)
Đặt
4
1
1
x
t
x
-
=
+
, Do
44
12
01101
11
x
t
xx
-
£=-<Þ£<
++
Phương trình (2) trở thành :
22
3232
tmtmtt
+=Û=-+
(3)
Xét hàm số
2
()32
fttt
=-+
,
[
)
0;1
t
Î
Ta có :
''
1
()62;()0
3
fttftt
=-+=Û=
Bảng biến thiên :
t 0
1
3
1
'
()
ft
+ 0
-
()
ft
1
3
0 -1
Phương trình (1) có nghiệm
[
)
1;
x
Î+¥Û
phương trình (3) có nghiệm
[
)
0;1
t
Î
1
1
3
m
Û-<£
* Nhận xét:
Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán
tương đối phức tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ
nói được
0
t
³
, không chỉ ra được t<1.
Bài toán 4: Cho phương trình
22
212
2
loglog3(log3)
xxmx
+-=-
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[
)
32;
x
Î+¥
Lời giải :
Từ điều kiện của x, ta có
22
log5log32
xx
³Þ-³
nên
0
m
³
PT (1)
2
222
log2log3(log3)
xxmx
Û--=-
(
)
222
222
log2log3(log3)2
xxmx
Û--=-
Đặt
2
log;5
txt
=³
.PT (2) trở thành
222
23(3)
ttmt
--=-
EMBED Equation.DSMT4
2
1
2
t
m
t
+
Û=
-
(3)
Xét hàm số
1
()
2
t
ft
t
+
=
-
,
5
t
³
Ta có :
(
)
'
2
4
()0,5
3
ftt
t
-
=<"³
-
Bảng biến thiên
t 5
+¥
'
()
ft
()
ft
3
1
Phương trình (1) có nghiệm
[
)
32;
x
Î+¥Û
phương trình (3) có nghiệm
[
)
5;
t
Î+¥
2
13
m
Û<£
Kết hợp với điều kiện
0
m
³
, ta có :
13
m
<£
.
* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình
(3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa
5
t
³
. Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến
thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 5 :Cho phương trình
1122
44(1)(22)2
xxxx
mm
+-+-
+=+-+
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[
]
0;1
x
Î
Lời giải :
PT (1)
4(44)(1)4(22)2
xxxx
mm
--
Û+=+-+
(2)
Đặt
2
22442
xxxx
tt
--
=-Þ+=+
Ta có :
[
]
'
2ln22ln20,0;1
xx
tt
-
=+>"Î
x 0 1
'
t
+
t
3
2
0
Do đó :
3
0
2
t
££
PT (2) trở thành :
2
2
224
2(2)2(1)
21
tt
tmtmm
t
-+
+=++Û=
+
(3)
Xét hàm số
2
2243
(),0;
212
tt
ftt
t
-+
éù
=Î
êú
+
ëû
Ta có :
(
)
2
''
2
111
4410
2
();()0
21
111
2
t
tt
ftft
t
t
é
-+
=
ê
+-
ê
==Û
ê
+
--
=
ê
ë
Bảng biến thiên :
t 0
3
2
'
()
ft
-
()
ft
4
11
8
Phương trình (1) có nghiệm
[
]
0;1
x
ÎÛ
phương trình (3) có nghiệm
3
0;
2
t
éù
Î
êú
ëû
11
4
8
m
Û££
* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình
(3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa
[
]
0;1
t
Î
. Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến
thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 6 :Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm thực
(
)
22
1111
933210
xx
mm
+-+-
-+++=
Lời giải:
Điều kiện:
11
x
££
. Đặt
2
11
3
x
t
+-
=
.
Ta có:
22
0111112
xx
£-£Þ£-+£
Nên
2
112
33339
x
t
-+
££Û££
Khi đó, phương trình đã cho trở thành
(
)
2
2
31
3210
2
tt
tmtmm
t
-+
-+++=Û=
-
Xét hàm số
(
)
2
31
2
tt
ft
t
-+
=
-
trên
[
]
3;9
.
Ta có
(
)
[
]
2
'
2
45
()0,3;9
2
tt
ftt
t
-+
=>"Î
-
.
Suy ra:
()
ft
là hàm số đồng biến trên
[
]
3;9
Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
3;9
3;9
55
minax391
7
ftmmftfmfm
££Û££Û££
Bài toán 7 : Cho phương trình
(
)
(
)
3tan1sin2cossin3cos
xxxmxx
++=+
(1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0;
2
x
p
æö
Î
ç÷
èø
Lời giải :
Xét
0;
2
x
p
æö
Î
ç÷
èø
, khi đó
sin0,cos0,tan0,sin3cos0
xxxxx
>>>+>
PT (1)
sin2cos
3tan1
sin3cos
xx
xm
xx
+
Û+=
+
tan2
3tan1
tan3
x
xm
x
+
Û+=
+
(2)
Đặt
tan,0
txt
=>
PT (2) trở thành
2
31.
3
t
tm
t
+
+=
+
, t >0
Xét hàm số
2
()31.,0
3
t
fttt
t
+
=+>
+
Ta có :
(
)
'
2
321
().30,0
3
21
3
tt
ftt
t
t
t
++
=+>>
+
+
+
Bảng biến thiên
t 0
+¥
'
()
ft
+
()
ft
+¥
2
Ứng mỗi
0
t
>
thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm
0;
2
x
p
æö
Î
ç÷
èø
của PT (1)
Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa
0;
2
x
p
æö
Î
ç÷
èø
khi và chỉ khi PT (3) có duy nhất nghiệm
0
t
>
.
Từ bảng biến thiên ta có :
2
m
>
* Nhận xét :
Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được
một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng
biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 8 : Cho phương trình
63
xxmx
-++=
(1) .Tìm m để phương trình có nghiệm
Lời giải :
Điều kiện :
36
x
-££
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương
đương với
63
xx
m
xx
-+
+=
Xét hàm số
63
()
xx
fx
xx
-+
=+
,
[
]
3;6
x
Î-
Ta có :
'
22
126
()
2623
xx
fx
xxxx
-+
=-
-+
Với mọi
[
]
3;6120,60
xxx
Î-Þ-<+>
nên
(
)
'
()0,3;6
fxx
<"Î-
Bảng biến thiên :
x
3
-
0 6
f’(x)
-
-
-1 +
¥
f(x)
-
¥
1
2
Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm
1
1
2
m
m
£-
é
ê
Û
ê
³
ë
* Nhận xét :
Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến
đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên
đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách
giải trên.
Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
232
31221
xxxm
--++=
(1) trên
1
;1
2
-
éù
êú
ëû
Lời giải:
Xét hàm số
(
)
232
31221
fxxxx
=--++
trên
1
;1
2
-
éù
êú
ëû
.
Ta có
2
'
232232
334334
()
121121
xxxx
fxx
xxxxxx
æö
-++
=-=-+
ç÷
-++-++
èø
Xét hàm số
(
)
32
21
gxxx
=++
trên
1
;1
2
-
éù
êú
ëû
.
Ta có
(
)
2
3400
gxxxx
¢
=+=Û=
Ta có bảng biến thiên
x
1
2
-
0 1
'
()
gx
+ 0
-
()
gx
1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
1
()1,;1
2
gxx
éù
³"Î-
êú
ëû
và
1
;1
2
x
éù
"Î-
êú
ëû
ta có
15
3()4343.14347
22
xx
-+£+£+Û£+£
.
Suy ra
232
3341
0,;1
2
121
x
x
xxx
+
éù
+>"Î-
êú
ëû
-++
Do đó
(
)
00
fxx
¢
=Û=
Bảng biến thiên:
x
1
2
-
0 1
'
()
fx
-
0 +
()
fx
1
3322
2
-
4
-
PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của
:
dym
=
và
(C ) :
(
)
232
31221
fxxxx
=--++
Phương trình có nghiệm duy nhất khi
3322
4
2
m
-
-£<
hoặc
1
m
=
.
* Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ,
nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức
tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là
ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 10 : Chứng minh rằng
0
m
">
, phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt:
2
28(2)
xxmx
+-=-
Giải
Do
0
m
>
nên
2
x
³
(1)
Û
[
]
2
(2)(4)(2)(2)(4)(2)
xxmxxxmx
-+=-Û-+=-
2
32
2
(2)(2)(4)0
6320(*)
x
xxxm
xxm
=
é
éù
Û--+-=Û
ê
ëû
+--=
ë
Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một
nghiệm trong
(2;)
+¥
Biến đổi (*)
32
632
mxx
Û=+-
.
Xét hàm số
32
()632
fxxx
=+-
với
2
x
>
.
Ta có
'2
()3120,2
fxxxx
=+³">
và
lim()
x
fx
®+¥
=+¥
Bảng biến thiên:
x 2
+¥
'
()
fx
+
()
fx
+¥
0
Từ bảng biến thiên suy ra
0
m
">
phương trình (*) có đúng một nghiệm
2
x
>
.
Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt
0
m
">
.
* Nhận xét:
Sau khi tìm được điều kiện
2
x
³
việc khảo sát hàm số
()
fx
ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng
định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số
()
fx
.
2.2* Dạng 2: Bất phương trình.
Bài toán 1: Tìm
m
để bất phương trình
4224
xxm
-+-<
có nghiệm.
Lời giải:
Điều kiện:
1
4
2
x
££
.
Khi đó, bất phương trình
4224
xxm
-+-<
có nghiệm
1
;4
2
x
éù
Î
êú
ëû
1
;4
2
min4224
mxx
éù
êú
ëû
éù
Û>-+-
ëû
Xét hàm số
(
)
4224
fxxx
=-+-
trên
1
;4
2
éù
êú
ëû
.
Ta có
(
)
(
)
(
)
212442
424
424
xx
fx
xx
xx
---
¢
=-=
--
--
(
)
9
02442
4
fxxxx
¢
=Û---Û=
Tính
(
)
19
14;27;414
24
fff
æöæö
===
ç÷ç÷
èøèø
. Suy ra
(
)
1
;4
2
min14
fx
éù
êú
ëû
éù
=
ëû
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
14
m
>
.
Bài toán 2: Tìm tham số
m
để bất phương trình sau có nghiệm:
31
mxxm
--£+
(1)
Giải
Điều kiện:
3
x
³
. Đặt
2
3,03
txtxt
=-³Þ=+
BPT (1) trở thành
2
2
1
(3)1
2
t
mttmm
t
+
+-£+Û£
+
(2)
Xét hàm số
2
1
()
2
t
ft
t
+
=
+
,
0
t
³
Ta có:
(
)
2
''2
2
2
13
22
(),()0220
13
2
t
tt
ftfttt
t
t
é
=-+
--+
==Û--+=Û
ê
=--
ê
+
ë
Bảng biến thiên
t 0
31
-
+¥
'
()
ft
+ 0
-
()
ft
13
4
+
1
2
0
Suy ra
[
)
(
)
0;+
13
ax
4
mft
¥
+
éù
=
ëû
Bất phương trình (1) có nghiệm
3
x
³
Û
bất phương trình (2) có nghiệm
0
t
³
[
0;)
max()
mft
+¥
Û£
31
4
m
+
Û£
* Nhận xét:
Nếu đưa về bất phương trình
13
31
1
x
mxxmm
x
+-
--£+Û³
-
. Khi đó hàm số
(
)
13
1
x
fx
x
+-
=
-
dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu
đạo hàm gặp khó khăn.
Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình
(
)
(
)
2
462
xxxxm
+-£-+
(1) nghiệm đúng với mọi
[
]
4;6
x
Î-
Lời giải:
Đặt
222
224224
txxxxt
=-++Þ-=-
''
2
22
,01
2224
x
ttx
xx
-+
==Û=
-++
x
4
-
1 6
'
t
-
0 +
t
5
0 0
Do đó
05
t
££
Bất phương trình (1) trở thành
22
2424
ttmmtt
£-+Û³+-
(2)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[
]
4;6
x
Î-Û
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi
[
]
[
]
0;5
0;5max()
tmft
ÎÛ³
Ta có
2''
1
()24,()21,()0()
2
ftttfttfttl
=+-=+=Û=-
Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó
[
]
0;5
max()6
ft
=
Vậy
6
m
³
.
Bài toán 4: Tìm
m
để bất phương trình
2
29
mxxm
+<+
có nghiệm với mọi
x
.
Lời giải
Ta có
2
2
29
291
x
mxxmm
x
+<+Û<
+-
, vì
2
2910,
xx
+->"
Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi
x
EMBED Equation.DSMT4
2
min
291
x
m
x
éù
Û<
êú
+-
ëû
¡
Xét hàm số
(
)
2
291
x
fx
x
=
+-
trên
¡
.
Ta có
(
)
(
)
2
2
2
22
6
929
09290
6
29291
x
x
fxx
x
xx
=-
é
-+
¢
==Û-+=Û
ê
=
ë
++-
Bảng biến thiên:
x
-¥
-6 6
+¥
(
)
fx
¢
- 0 + 0 -
1
2
-
3
4
(
)
fx
3
4
-
1
2
Suy ra
(
)
3
min
4
fx
éù
=-
ëû
¡
.
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x
khi
3
4
m
<-
.
Bài toán 5: Tìm
m
để bất phương trình
tanxtanx
.162.4220
mmm
-+-³
nghiệm đúng với mọi
0;
4
x
p
éù
Î
êú
ëû
.
Lời giải
Đặt
tanx
4
t
=
. Với
[
]
0;1;4
4
xt
p
éù
ÎÞÎ
êú
ëû
.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
2
2220
mtmtm
-+-³
.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
0;
4
x
p
éù
Î
êú
ëû
khi và chỉ khi
[
]
[
]
[
]
2
22
1;4
22
2220,1;4,1;4ax
2222
mtmtmtmtmm
tttt
éù
-+-³"ÎÛ³"ÎÛ³
êú
-+-+
ëû
.
Xét hàm số
(
)
2
2
22
ft
tt
=
-+
trên
[
]
1;4
. Ta có
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
41
0,1;4
22
t
ftt
tt
-
¢
=£"Î
-+
Bảng biến thiên
t 1 4
'
()
ft
-
()
ft
2
1
5
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
[
]
1;4
ax()2
mft
=
. Do đó giá trị cần tìm là:
2
m
³
.
Bài toán 6: Tìm
m
để bất phương trình
(
)
(
)
22
55
1log1log4
xmxxm
++³++
nghiệm đúng với mọi
x
.
Lời giải:
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2222
5555
1log1log4log51log4
xmxxmxmxxm
éù
++³++Û+³++
ëû
(
)
2
2
22
2
4
40
1
4
514
5
1
x
m
mxxm
x
x
xmxxm
m
x
-
ì
>
ì
++>
ï
ïï
+
ÛÛ
íí
+³++
ïï
î
£-
ï
+
î
(*)
Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x
2
2
4
ax
1
4
5min
1
x
mm
x
x
m
x
ì
-
éù
>
ï
êú
+
ïëû
Û
í
-
éù
ï
£+
êú
ï
+
ëû
î
¡
¡
Xét hàm số
(
)
2
4
1
x
fx
x
-
=
+
trên
¡
. Ta có
(
)
(
)
(
)
2
2
2
41
1
0
1
1
x
x
fx
x
x
-
=-
é
¢
==Û
ê
=
ë
+
Bảng biến thiên:
x
-¥
-1 1
+¥
(
)
fx
¢
+ 0 - 0 +
2 0
(
)
fx
0
-2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
(
)
(
)
min2;max2
fxfx
éùéù
=-=
ëûëû
¡
¡
.
Vậy giá trị cần tìm là:
25223
mm
<£-Û<£
.
Bài toán 7: Tìm
m
để hàm số
(
)
(
)
32
11
132
33
ymxmxmx
=--+-+
đồng biến trên
[
)
2;
+¥
.
Lời giải:
Ta có
(
)
(
)
2
2132
ymxmxm
¢
=--+-
.
Hàm số đồng biến trên
[
)
2;
+¥
EMBED Equation.DSMT4
Û
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
[
)
2
21320,2;
ymxmxmx
¢
=--+-³"Î+¥
[
)
[
)
22
2;
6262
,2;ax
2323
xx
mxmm
xxxx
+¥
--
éù
Û³"Î+¥Û³
êú
-+-+
ëû
Xét hàm số
(
)
2
62
23
x
fx
xx
-
=
-+
trên
[
)
2;
+¥
.
Ta có
(
)
(
)
2
'
2
2
2126
036
23
xx
fxx
xx
-+
==Û=±
-+
Bảng biến thiên:
x 2
36
+
+¥
'
()
fx
-
0 +
()
fx
2
3
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
[
)
(
)
2;
2
ax
3
mfx
+¥
éù
=
ëû
. Do đó giá trị cần tìm là:
2
3
m
³
.
Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2
³
0 (1)
Lời giải:
TXĐ: D = IR
Trên D bpt (5)
Û
3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2
³
0 (2)
Đặt t = cosx với t
Î
[
]
1
;
1
-
Bất phương trình (2) trở thành 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m -
12m2
³
0
Û
3t4 - 20t3 + 36t2
³
12m2 - 24m (3)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
xIR
ÎÛ
bất phương trình (3) nghiệm
đúng với mọi
[
]
1;1
t
Î-
Xét hàm số : f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t
Î
[
]
1
;
1
-
Ta có: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6)
f’(t) = 0
Û
12t(t2 - 5t + 6) = 0
Û
ê
ê
ê
ë
é
=
=
=
3
t
2
t
0
t
Bảng biến thiên
t -1 0
1
'
()
ft
-
0 +
()
ft
59
19
0
Từ bảng biến thiên ta có f(t)
³
12m2 - 24m ,
"
t
Î
[
]
1
;
1
-
Û
12m2 - 24m
£
EMBED Equation.3
[
]
)
t
(
f
min
1;1
-
Û
12m2 - 24m
£
0
Û
0
£
m
£
2
Vậy: 0
£
m
£
2
2.3* Dạng 3: Hệ phương trình
Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình
(
)
(
)
22
8
11
xyxy
xyxym
ì
+++=
ï
í
++=
ï
î
(1) có nghiệm
Lời giải:
Đặt
22
,
uxxvyy
=+=+
.Điều kiện
11
,
44
uv
³-³-
Hệ phương trình (1) trở thành
(
)
2
8
8
82
vu
uv
uum
uvm
=-
+=
ì
ì
Û
íí
-+=
=
î
î
Vì
1133
8
444
vuu
³-Þ-³-Û£
. Do đó:
133
44
u
-££
Hệ phương trình (1) có nghiệm
Û
phương trình (2) có nghiệm
133
;
44
u
éù
Î-
êú
ëû
Xét hàm số
2
()8
fuuu
=-+
,
133
;
44
u
éù
Î-
êú
ëû
Ta có
''
1
()21,()0
2
fuufuu
=-+=Û=
Bảng biến thiên
u
1
4
-
1
2
33
4
'
()
fu
+
0
-
()
fu
16
33
16
-
33
16
-
Từ bảng biến thiên ta có
33
16
16
m
-££
*Nhận xét
Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm
Û
phương trình (2) có hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng
1
4
-
. Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với
1
4
-
và học sinh sẽ gặp khó khăn vì so sánh hai nghiệm với số thực
không có trong bài định lí về dấu tam thức bậc hai ở lớp 10.
Bài toán 2: Tìm m để hệ phương trình
11
11
xym
yxm
ì
+-=+
ï
í
+-=+
ï
î
(1) có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Điều kiện:
01
01
x
y
££
ì
í
££
î
Từ hệ
11
xyxx
Þ+-=-+
11
()()
xxyy
fxfy
Û--=--
Û=
Xét hàm số
[
]
()1,0;1
ftttt
=--Î
(
)
'
11
()0,0;1
221
ftt
tt
=+>"ÎÞ
-
hàm số
()
yft
=
đồng biến trên
[
]
0;1
Khi đó :
()()
fxfyxy
=Û=
Thay vào hệ ta được :
[
]
11,0;1
xxmx
--=+Î
(2)
Xét hàm số
[
]
()1,0;1
fxxxx
=+-Î
Ta có :
'
111
()
2212(1)
xx
fx
xxxx
--
=-=
--
'
1
()01
2
fxxxx
=Û-=Û=
Bảng biến thiên :
x
0
1
2
1
'
()
fx
+
0
-
()
fx
2
1
1
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Û
phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
Từ bảng biến thiên ta có :
1221
mm
+=Û=-
* Nhận xét :
Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử
(
)
;
oo
xy
là một nghiệm của
hệ thì
(
)
1;1
oo
xy
--
cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất cần
1
2
oo
xy
==
.Từ đó tìm m và thử lại.Cách giải này hay gặp sai lầm là không
thử lại.
Bài toán 3 : Tìm m để hệ phương trình
32
2
2(2)
12
xyxxym
xxym
ì
-++=
í
+-=-
î
(1) có nghiệm
Lời giải :
Hệ phương trình (1)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
212
xxxym
xxxym
ì
--=
ï
Û
í
-+-=-
ï
î
Đặt
2
1
,;2
4
uxxuvxy
=-³-=-
Hệ đã cho trở thành
2
(21)0(2)
12
12
uvm
umum
uvm
vmu
=
ì
+-+=
ì
Û
íí
+=-
=--
î
î
Hệ đã cho có nghiệm
Û
phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
1
4
u
³-
Với
1
4
u
³-
, ta có : (2)
2
2
(21)
21
uu
muuum
u
-+
Û+=-+Û=
+
Xét hàm số
2
()
21
uu
fu
u
-+
=
+
, với
1
4
u
³-
Ta có :
(
)
2
''
2
22131
(),()0
2
21
uu
fufuu
u
+--
=-=Û=
+
Bảng biến thiên :
u
1
4
-
31
2
-
+¥
'
()
fu
+
0
-
()
fu
23
2
-
5
8
-
-¥
Từ bảng biến thiên ta có :
23
2
m
-
£
.
* Nhận xét :
Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011.
Nếu học sinh không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì
gặp khó khăn khi giải bài này.
Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình
23
33
2
33
1
33
3
xyxy
xy
ymx
m
++
+
-
ì
+=
ï
í
æö
+=
ï
ç÷
èø
î
(1) có nghiệm
Lời giải :
Hệ đã cho
(
)
23
3
2
33
333
xyxy
xy
xym
m
++
-+
+
ì
+=
ï
Û
í
+=
ï
î
Đặt
2
3
3
(0,0)
3
xy
xy
u
uv
v
+
+
ì
=
>>
í
=
î
.Ta được :
(
)
33
11
3332
mm
uvuv
uv
vv
+==-
ìì
ïï
Û
íí
+=-+=
ïï
îî
Vì
0303
uvv
>Þ->Þ<
.Do đó :
03
v
<<
.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
Û
phương trình (2) có nghiệm thỏa
03
v
<<
Xét hàm số
(
)
1
()3,0;3
fvvv
v
=-+Î
Ta có :
(
)
'
2
1
()10,0;3
fvv
v
=--<"Î
Bảng biến thiên :
v 0 3
'
()
fv
-
()
fv
+¥
1
3
Từ bảng biến thiên ta có:
1
31
3
m
m
>Û>-
Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có
nghiệm
332
222
126160(1)
424540(2)
xxyy
xxyym
ì
--+-=
ï
í
+---+=
ï
î
Lời giải:
Điều kiện:
22
04
x
y
-££
ì
í
££
î
Ta có
(
)
(
)
3
3
(1)122122
xxyy
Û-=---
Xét hàm số
[
]
3
()12,2;2
ftttt
=-Î-
(
)
(
)
'22
()312340,2;2
fttttt
Þ=-=-<"Î-
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên
[
]
2;2
-
(3)
Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn
[
]
2;2
-
và
()(2)2
fxfyxy
=-Þ=-
Thay vào (2) ta được phương trình
22
344
xxm
--=
(4)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
Û
phương trình (4) có nghiệm x thuộc
[
]
2;2
-
Xét hàm số
22
()344
gxxx
=--
,
[
]
2;2
x
Î-
'
22
'
33
()88
44
()00
x
gxxx
xx
gxx
æö
-
=-=-+
ç÷
--
èø
=Û=
Bảng biến thiên
x
2
-
0
2
'
()
gx
+
0
-
()
gx
6
16
-
16
-
Từ bảng biến thiên ta có :
166
m
-££
Bài toán 6 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
2121
2
7720052005(1)
(2)230(2)
xxx
x
xmxm
++++
ì
-+£
ï
í
-+++³
ï
î
Lời giải:
Điều kiện:
1
x
³-
Ta có
(
)
(
)
212112
(772005200577720051
xxxxx
xx
+++++
-+£Û-£-
(3)
Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có
nghiệm x = 1
Nếu
1
x
>
thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô
nghiệm
Nếu
11
x
-£<
thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là
11
x
-£<
Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là
[
]
1;1
T
=-
Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có
nghiệm
[
]
1;1
x
Î-
Ta có :
(
)
[
]
2
22
23
(2)230223(3),1;1
2
xx
xmxmxmxxmx
x
-+
-+++³Û-£-+Û³Î-
-
Xét hàm số
2
23
()
2
xx
fx
x
-+
=
-
,
[
]
1;1
x
Î-
(
)
2
''2
2
23
41
(),()0410
2
23
x
xx
fxfxxx
x
x
é
=+
-+
==Û-+=Û
ê
-
=-
ê
ë
Bảng biến thiên
x -1
23
-
1
'
()
fx
+
0
-
()
fx
23
-
-2 -2
Từ bảng biến thiên ta có
[
]
1;1
min()(1)2
fxf
-
=±=-
Bất phương trình (3) có nghiệm
[
]
[
]
1;1
1;1min()2
xmfxm
-
Î-Û³Û³-
Vậy:
2
m
³-
IV.Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho học sinh THPT, đăc biệt
học sinh 12 phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị
tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có
nghiệm. Phương pháp này nhằm giúp cho học sinh giải được bài toán
dạng trên trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
C. KẾT LUẬN
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số
giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội
dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã giúp cho học
sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương
trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học
sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số,
làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình .
Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ
các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó
cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số. Đề tài này chỉ
giới thiệu cách giải một số phương trình, bất phương trình, đặc
biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số bằng việc sử
dụng tính đơn điệu của hàm số.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để
vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì
năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn
đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý
nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nhỏ bé vào việc
nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học
sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến
hàm số trong các kỳ thi cuối cấp.
Quảng Điền, ngày 20 tháng 3 năm 2012.
Người viết
Trần Dũng
Tài liệu tham khảo
1.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
2.Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12
3.Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12
4.Chuyên đề Đại số các phương pháp giải phương trình đại số -Nxb
của Huỳnh Công Thái
5.Chuyên đề các phương pháp giải phương trình mũ, lôgarit và các
loại hệ phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái
PAGE
21
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
_1390119279.unknown
_1390202700.unknown
_1393615380.unknown
_1393620632.unknown
_1393657647.unknown
_1393679420.unknown
_1393701460.unknown
_1393704423.unknown
_1393763067.unknown
_1393765581.unknown
_1393767149.unknown
_1393842480.unknown
_1393842801.unknown
_1393843621.unknown
_1393844017.unknown
_1393844870.unknown
_1393845656.unknown
_1393845035.unknown
_1393845077.unknown
_1393844980.unknown
_1393844953.unknown
_1393844314.unknown
_1393844856.unknown
_1393844608.unknown
_1393844281.unknown
_1393844288.unknown
_1393844150.unknown
_1393843715.unknown
_1393843812.unknown
_1393843668.unknown
_1393843193.unknown
_1393843382.unknown
_1393843554.unknown
_1393843342.unknown
_1393842821.unknown
_1393842870.unknown
_1393842810.unknown
_1393842754.unknown
_1393842769.unknown
_1393842780.unknown
_1393842762.unknown
_1393842571.unknown
_1393842587.unknown
_1393842727.unknown
_1393842537.unknown
_1393823485.unknown
_1393842324.unknown
_1393842383.unknown
_1393842423.unknown
_1393842144.unknown
_1393842189.unknown
_1393842280.unknown
_1393842085.unknown
_1393767387.unknown
_1393767471.unknown
_1393823310.unknown
_1393767400.unknown
_1393767351.unknown
_1393767358.unknown
_1393767214.unknown
_1393766039.unknown
_1393766761.unknown
_1393766931.unknown
_1393767105.unknown
_1393766897.unknown
_1393766621.unknown
_1393766703.unknown
_1393766568.unknown
_1393765880.unknown
_1393765951.unknown
_1393766038.unknown
_1393765929.unknown
_1393765712.unknown
_1393765859.unknown
_1393765651.unknown
_1393764542.unknown
_1393764822.unknown
_1393765320.unknown
_1393765523.unknown
_1393765553.unknown
_1393765383.unknown
_1393765031.unknown
_1393765188.unknown
_1393764888.unknown
_1393764604.unknown
_1393764709.unknown
_1393764785.unknown
_1393764612.unknown
_1393764568.unknown
_1393764594.unknown
_1393764579.unknown
_1393764551.unknown
_1393763818.unknown
_1393764116.unknown
_1393764315.unknown
_1393764414.unknown
_1393764494.unknown
_1393764500.unknown
_1393764354.unknown
_1393764169.unknown
_1393764214.unknown
_1393764142.unknown
_1393763985.unknown
_1393764098.unknown
_1393763865.unknown
_1393763183.unknown
_1393763690.unknown
_1393763774.unknown
_1393763279.unknown
_1393763127.unknown
_1393762756.unknown
_1393762953.unknown
_1393762970.unknown
_1393763006.unknown
_1393763018.unknown
_1393762983.unknown
_1393762855.unknown
_1393762817.unknown
_1393762839.unknown
_1393762779.unknown
_1393762485.unknown
_1393762652.unknown
_1393762714.unknown
_1393762548.unknown
_1393762363.unknown
_1393762441.unknown
_1393704435.unknown
_1393702603.unknown
_1393703399.unknown
_1393704224.unknown
_1393704382.unknown
_1393704389.unknown
_1393704267.unknown
_1393703614.unknown
_1393703406.unknown
_1393703527.unknown
_1393703170.unknown
_1393703371.unknown
_1393703381.unknown
_1393703181.unknown
_1393702775.unknown
_1393703132.unknown
_1393702763.unknown
_1393702067.unknown
_1393702405.unknown
_1393702460.unknown
_1393702501.unknown
_1393702449.unknown
_1393702386.unknown
_1393702394.unknown
_1393702378.unknown
_1393701686.unknown
_1393701900.unknown
_1393701923.unknown
_1393701745.unknown
_1393701554.unknown
_1393701647.unknown
_1393701475.unknown
_1393699418.unknown
_1393700469.unknown
_1393701005.unknown
_1393701323.unknown
_1393701424.unknown
_1393701198.unknown
_1393701308.unknown
_1393700501.unknown
_1393700950.unknown
_1393700483.unknown
_1393699978.unknown
_1393700118.unknown
_1393700174.unknown
_1393699995.unknown
_1393699672.unknown
_1393699622.unknown
_1393699653.unknown
_1393680629.unknown
_1393699138.unknown
_1393699205.unknown
_1393699272.unknown
_1393699186.unknown
_1393680864.unknown
_1393680872.unknown
_1393680643.unknown
_1393679744.unknown
_1393680409.unknown
_1393680614.unknown
_1393679786.unknown
_1393679836.unknown
_1393679976.unknown
_1393679811.unknown
_1393679751.unknown
_1393679458.unknown
_1393679489.unknown
_1393679435.unknown
_1393659173.unknown
_1393660607.unknown
_1393678589.unknown
_1393678904.unknown
_1393679003.unknown
_1393679069.unknown
_1393678914.unknown
_1393678704.unknown
_1393678871.unknown
_1393678670.unknown
_1393678412.unknown
_1393678541.unknown
_1393678560.unknown
_1393678495.unknown
_1393660828.unknown
_1393678338.unknown
_1393659959.unknown
_1393660165.unknown
_1393660268.unknown
_1393660288.unknown
_1393660475.unknown
_1393660196.unknown
_1393660053.unknown
_1393660129.unknown
_1393659288.unknown
_1393659816.unknown
_1393659902.unknown
_1393659942.unknown
_1393659561.unknown
_1393659238.unknown
_1393659264.unknown
_1393659230.unknown
_1393657958.unknown
_1393658601.unknown
_1393658712.unknown
_1393658797.unknown
_1393658180.unknown
_1393658530.unknown
_1393657851.unknown
_1393657912.unknown
_1393657939.unknown
_1393657738.unknown
_1393656249.unknown
_1393656698.unknown
_1393656955.unknown
_1393657337.unknown
_1393657483.unknown
_1393657011.unknown
_1393656916.unknown
_1393656936.unknown
_1393656776.unknown
_1393656509.unknown
_1393656592.unknown
_1393656625.unknown
_1393656544.unknown
_1393656463.unknown
_1393656477.unknown
_1393656296.unknown
_1393621282.unknown
_1393621880.unknown
_1393656025.unknown
_1393656049.unknown
_1393656139.unknown
_1393621902.unknown
_1393621488.unknown
_1393621526.unknown
_1393621842.unknown
_1393621525.unknown
_1393621325.unknown
_1393620973.unknown
_1393621096.unknown
_1393621188.unknown
_1393621063.unknown
_1393620748.unknown
_1393620834.unknown
_1393620714.unknown
_1393618298.unknown
_1393619437.unknown
_1393619780.unknown
_1393619910.unknown
_1393619987.unknown
_1393619882.unknown
_1393619585.unknown
_1393619738.unknown
_1393619558.unknown
_1393618953.unknown
_1393619298.unknown
_1393619365.unknown
_1393619118.unknown
_1393619209.unknown
_1393618470.unknown
_1393618892.unknown
_1393618362.unknown
_1393618469.unknown
_1393616578.unknown
_1393617900.unknown
_1393618206.unknown
_1393618239.unknown
_1393618107.unknown
_1393617679.unknown
_1393617852.unknown
_1393616699.unknown
_1393616313.unknown
_1393616395.unknown
_1393616577.unknown
_1393616376.unknown
_1393616101.unknown
_1393616249.unknown
_1393615986.unknown
_1393611891.unknown
_1393612423.unknown
_1393613341.unknown
_1393614724.unknown
_1393615098.unknown
_1393615368.unknown
_1393614821.unknown
_1393613954.unknown
_1393614017.unknown
_1393613457.unknown
_1393613423.unknown
_1393613437.unknown
_1393613378.unknown
_1393612520.unknown
_1393613203.unknown
_1393612501.unknown
_1393612228.unknown
_1393612282.unknown
_1393612323.unknown
_1393612263.unknown
_1393611978.unknown
_1393612196.unknown
_1390204412.unknown
_1390205051.unknown
_1390205258.unknown
_1390205334.unknown
_1390230168.unknown
_1390230379.unknown
_1390205335.unknown
_1390205333.unknown
_1390205322.unknown
_1390205073.unknown
_1390204870.unknown
_1390205014.unknown
_1390204590.unknown
_1390203229.unknown
_1390204372.unknown
_1390203046.unknown
_1390158659.unknown
_1390159928.unknown
_1390163033.unknown
_1390195803.unknown
_1390201959.unknown
_1390202032.unknown
_1390196348.unknown
_1390201919.unknown
_1390200395.unknown
_1390196265.unknown
_1390195426.unknown
_1390195432.unknown
_1390193654.unknown
_1390195388.unknown
_1390193141.unknown
_1390161247.unknown
_1390161446.unknown
_1390160264.unknown
_1390160429.unknown
_1390161205.unknown
_1390160443.unknown
_1390160377.unknown
_1390159930.unknown
_1390160117.unknown
_1390160161.unknown
_1390160077.unknown
_1390159929.unknown
_1390159157.unknown
_1390159637.unknown
_1390159680.unknown
_1390159826.unknown
_1390159927.unknown
_1390159658.unknown
_1390159419.unknown
_1390159478.unknown
_1390159311.unknown
_1390159382.unknown
_1390158894.unknown
_1390159081.unknown
_1390158688.unknown
_1390144304.unknown
_1390144712.unknown
_1390158245.unknown
_1390158456.unknown
_1390158509.unknown
_1390158219.unknown
_1390144521.unknown
_1390144626.unknown
_1390144330.unknown
_1390132929.unknown
_1390143380.unknown
_1390144293.unknown
_1390143722.unknown
_1390143323.unknown
_1390119725.unknown
_1390131088.unknown
_1390131112.unknown
_1390119914.unknown
_1390119572.unknown
_1330281003.unknown
_1331964502.unknown
_1390066372.unknown
_1390066518.unknown
_1390067054.unknown
_1390119195.unknown
_1390066714.unknown
_1390066721.unknown
_1390066494.unknown
_1333426932.unknown
_1390066239.unknown
_1332006906.unknown
_1332385812.unknown
_1331964547.unknown
_1331966106.unknown
_1331966132.unknown
_1331964559.unknown
_1331964532.unknown
_1331616652.unknown
_1331964276.unknown
_1331964466.unknown
_1331964490.unknown
_1331964412.unknown
_1331616804.unknown
_1331964265.unknown
_1331616731.unknown
_1330350170.unknown
_1330351072.unknown
_1330351484.unknown
_1330281398.unknown
_1084226263.unknown
_1085026926.unknown
_1260701232.unknown
_1260701255.unknown
_1280035386.unknown
_1298019143.unknown
_1085026974.unknown
_1085027356.unknown
_1085026932.unknown
_1084243059.unknown
_1085026630.unknown
_1084165432.unknown
_1084225825.unknown
_1084164702.unknown
