Upload
nur-rokhim
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
1/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
PROBABILITAS (PELUANG)
3.1. Pengertian Probabilitas
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan
memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang
mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini,
misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini
kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit
hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal
ini adalah probabilitas.
Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang
kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang.
Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa
adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitassebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu
kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika
kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
Contoh ; Ketika doni ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam keadaan mendung, awan
berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang
biasanya.
Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?
Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergikerumah temannya. Ini dikarenakan dia beripotesis bahwa sebentar lagi akan turunya hujan dan kecil
kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.
Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya
hujan.
3.2. Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian
Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu
keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan
penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;
· Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Pengambilan keputusan yang
lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada
yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.
· Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait
tentang karakteristik populasi.
Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya)
yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil atau menarik
kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating kita sudah ketehaui apa yang akan
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
2/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
tertjadi.
· Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.
Contoh:
Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara
jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin perempuan
adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil
perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelaminwanita adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun
2000 hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.
3.3. Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian
Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya memperhatikan
apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas
nilai dari probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah suatu kejadian
berpotensi terjadi ataukah tidak.
Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika koin tersebut kita
lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu
peluang munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama,
pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya
angka dan gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang
mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan banyaknya kejadian yang
mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka.
Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkin terjadi,
mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai berikut. Jika
terdapat N peristiwa, dan n dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian A, maka probabilitas Aadalah :
Dimana : n = banyaknya kejadian
N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh.
Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara
bebas sebanyak 1 kali.
Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka?Jawab :
n=1, N=2
p(gambar atau angka)=
p(gambar atau angka)=1/2 atau 50%
Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.
Contoh 2.
Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan?
A
A
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
3/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu
terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.
Maka
P(A) = n /N
= 1/6
Berikut merupakan aturan dalam probabilitas
· Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah sebesar P(A) = 0
atau tidak mungkin terjadi.
· Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian tersebut
pasti akan terjadi
·
Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai
· Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku
HUBUNGAN ANTAR KEJADIAN A. EXCLUSIVE EVENT
Exclusive event merupakan 2 kejadian atau lebih jika terjadinya kejadian yang satu mencegah
terjadinya kejadian lain.
Exclusive event biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Jika dalam suatu peristiwa terdiri dari k buah kejadian maka dapat dirumuskan sebagai berikut.
P(E atau E atau.... E )= P(E )+P(E )+…P(E )
Contoh.
Sebuah kotak berisi A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah
kelereng secara acak
Berapa probabilitas terambilnya
hijau atau kuning?
JAWAB :P(A) =
P(B) =
P(C)=
Maka peluang terambilnya kelereng hijau atau kuning adalah
P(B)+P(C) = 0,33 + 0,50 = 0,83
B. DEPENDENT EVENT
Dependent event adalah terjadinya suatu peristiwa merupakan syarat dari peristiwa yang lainnya.
A
1 2 k 1 2 k
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
4/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
Jika kejadian yang satu menjadi syarat terjadinya kejadian yang lain ditulis A|B, Kita tulis A |B untuk
menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. peluangnya ditulis dengan p(A
|B) dan disebut dependent probability (probabilitas bersyarat). Untuk dependent events dihubungkan
dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan B)=p(B).p (A |B)
Peluangnya ditulis dengan P (A│B) dan disebut dependent probability
Dependent event biasanya dihubungkan dengan kata “dan”.Contoh.
Sebuah kotak berisi
A. 10 kelereng merah,
B. 20 hijau,
C. 30 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah
kelereng secara acak
jika pengambilan pertama sebuah kelereng berwarna hijau
(tanpa pengembalian). Berapakah probabilitas terambilnya sebuah
kelereng berwarna merah pada pengambilan kedua?
Jawab.
Merupakan peluang kelereng warna hijau pada pengambilan pertama dan kelelereng warna merah
pada pengambilan kedua.
C. INDEPENDENT EVENT
Dua kejadian atau lebih dinamakan Independent Events, jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi
kejadian yang lain.Misalnya dua kejadian A dan B. Jika terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi
terjadinya kejadian B, maka A dan B disebut Independent Events. Untuk Independent Events
dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan B ) = p(A).p(B)
Untuk berlaku k buah peristiwa berlaku:
p(E dan E dan…..dan E ) = p(E ).p(E )….p(E )
contoh.
Dua buah dadu dilemparkan secara bebas satu kali. Berapakah probabilitas munculnya mata 2 dan 6dari pelemparan tersebut?
jawab
D. INCLUSIVE EVENT
Dua kejadian atau lebih dinamakan saling Inclusive events jika terjadinya kejadian yang satu tidak
mencegah terjadinya kejadian yang lain.
Inclusive events biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Misalnya kejadian A dan B merupakan kejadian Inclusif, berlaku hubungan atau A atau B atau kedua-
1 2 k
1 2 k
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
5/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
keduanya terjadi. Untuk peristiwa tersebut berlaku:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A+B)
Contoh.
Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan probabilitas kelahiran anak berkulit putih,
kulit hitam, dan sawo matang masing-masing adalah 0,2 , 0,5 , dan 0,3. Berapakah besarnya
probabilitas kelahiran anak wanita yang berkulit putih?
Jawab.Probabilitas kelahiran pria dan wanita adalah sama,
sehingga p(pa atau w)= 0,50.
Probabilitas wanita-kulit putih=(0,50)(0,2)=0,1
P(W+P)= 0,50+0,2-0,1=0,6
3.4. Hubungan Probabilitas Teoritik dan Probabilitas Empirik
Hubungan probabilitas teoritik dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan melalui contoh dari
pelemparan sebuah mata uang logam yang masih baik :
A = angka
G = gambar
Probabilitas teoritik
Kemungkinan/ probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang berlainan serta
asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar kemungkinan yang sama (equally
likely basis).
Penggunaannya
Suatu koin (uang logam)
DILEMPAR 1 KALI:
P(A)=0,50(50%)P(G)= 0,50(50%)
DIILEMPAR 10 KALI:
P(A)= 0,50X10 kali=5 kali
P(G)= 0,50X10 kali=5 kali
Contoh.
Dalam permainan ini standar kartu 52 dek kartu remi yang digunakan.
Dalam rangka untuk menang Anda harus memilih "kartu wajah."
Berapa probabilitas bahwa Anda akan memenangkan permainan ini?JAWAB:
Secara teori:
· Setiap kartu di dek memiliki kesempatan yang sama untuk terambil.
· Ada 12 wajah kartu (kartu menang) di geladak.
Oleh karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:
Probabilitas Empirik.
Kemungkinan tentang terjadinya suatu peristiwa yang dihitung atas dasar pengalaman-pengalaman
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
6/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
atau percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada saat-saat yang sama di masa yang lalu atau
atas dasar catatan statistik.
Karena dalam menentukan probabilitas empiris Anda benar-benar melakukan percobaan, kadang-
kadang probabilitas empirik disebut:
"eksperimental probabilitas."
Pada kenyataannya sangat jarang terjadi demikian, karena ada kemungkinan muncul jumlah angka
atau gambar yang bervariasi dalam 10 kali pelemparan.Kemungkinannya tidak hanya berkisar antara 5G dan 5A, namun bisa saja kemungkinanmunculnya
angka dan gambar adalah 3G dan 7A, 4G dan 6A, dan lainnya.
Sebagai contoh, suatu produsen radio, produksi 1000 buah radionya diuji secara acak. Setelah
pengujian, mereka menemukan 15 dari 1000 radio tersebut cacat.
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:
Sebagai desimal akan menjadi 0,15 dan sebagai suatu persen itu akan menjadi
= 1,5%.
Sekarang produsen dapat menggunakan hasil ini untuk memprediksi bahwa dalam produksi 7.500
radio, 1,5% dari mereka mungkin akan rusak.
Jadi mereka memprediksi bahwa (0,15) (7500) = 112,5 radio rusak.
3.5. Menghitung Nilai Harap (ekspektasi) dari suatu kejadian.
Contoh:
Ani dan Ina bertaruh dalam pelemparan muka dadu. Jika dalam pelemparan tersebut nampak
angka ganjil, maka Ani kalah dan harus membayar kepada Ina Rp 1.000,-. Dan jika nampak angka
genap, maka Ina kalah dan harus membayar kepda ani Rp 1.000,-. Peluang munculnya angka genapdan angka ganjil pada dadu masing-masing adalah 1/2. Jadi peluang Ani untuk membayar uang kepda
Ina adalah ½, dan peluangnya untuk menang juga ½, sehingga ekspektasi taruhan itu adalah
ξ (untuk Ani) = ½(Rp100) + ½(-Rp100) = Rp 0.
Untuk Ina juga berlaku hal yang sama. Berarti dalam jangka waktu yang cukup lama, dalam
permainan ini Ani dan Ina masing-masing menang nol rupiah.
3.6. Permutasi dan Combinasi
a. Permutasi
Permutasi dapat didefinisikan sebagai usunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan
dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan
(memperhatikan urutan) anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang
biasanya ditulis dengan lambang huruf P.
Atau dapat dibuat dalam bentuk perumusan.
Permutasi Melingkar/Keliling
Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu
himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap sama bila didapatkan dua himpunan
8/16/2019 SainsMatika_ PROBABILITAS (PELUANG)
7/7
5/19/2016 PROBABILITAS (PELUANG)
http://sainsmatika.blogspot.co.id/2012/03/probabilitas-peluang.html
permutasi yang sama dengan cara beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum
jam. Banyaknya permutasi yang disusun secara melingkar adalah (n-1) !
Contoh.
Dalam tahun ajaran baru setiap kelas dianjurkan untuk membentuk susunan pengurus kelas yang baru.
Jika hanya dipilih 1 ketua kelas, 1 wakil ketua kelas , 1 bendahara dan 1 sekertaris dari 8 orang calon,
tentukan kemungkinan yang akan terjadi.
Jawab.
Maka aka nada 1680 kemungkinan atau cara membentuk susunan pengurus kelas yang baru dari 8
orang calon.
b. Combinasi
Kombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan
dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan
anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C.
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama
dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Susnan pada combinasi tidaklah memperhatikan urutan seperti pada permutasi, oleh daripada itu
combinasi n objek yang diambil dari n adalah sebagai berikut,
Contoh.
Berapa banyaknya kemungkinan pasangan antara calon presiden dan wakil presiden jika ada 8 buah
calon.
Jawab.
Karena ditanya pasangan, maka akan dibentuk tim yang terdiri dari 2 orang dari 8 calon, maka dapat
dicari dengan cara.
Maka hanya ada 28 kemungkinan pasangan yang akan terjadi.