PROBABILITAS (PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata

probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapandengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan mendapat nilaiA; (2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, denganminimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk kemungkinantidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Pengertian Peluang

Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau mustahil.Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah mustahil,maka mempunyai peluang sama dengan 0.

Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi.Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orangMisalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orangyang masih hidup adalah 1.

Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpaimempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atautepat 1).

PROBABILITAS(PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata

probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapandengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan mendapat nilai A;(2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, denganminimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk kemungkinantidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Definisi Klasik (ClassicalDefinition of Probability)

Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik sampel yangequally likely dan mutually exclusive terdapat a buah titik sampel yangmenyokong suatu peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa Adidefinisikan sebagai:

P(A) = a/NP(A) = a/N

Contoh 1:

Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A dan B)dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya permukaanA atau permukaan B di atas:

P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.

Contoh 2:

Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan satu kali,maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:

P(1) = 1/6; P(2) = 1/6

Contoh 3:Contoh 3:

Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52 kartu bridgeyang ada, maka probabilitas akan terpilih:

a. Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5

b. Satu kartu King: P(K) = 4/52

Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical Definition of Probability)

Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan berdasarkanpengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi

Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa A, makapeluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:

P(A) = Lim t/NP(A) = Lim t/N

N→~

Contoh 1:

Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang kedokteran, dari100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru, 99 orang meninggal.Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini. Pertanyaan: Berapapeluang dia akan meninggal karena penyakit tersebut?

P(A) = 99/100 = 0,99

Definisi Subyektif(Subjective Definition of Probability)

Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira peneliti. Jadicara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga bersifat subyektif

Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)

1. Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) = 1

2. Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A) = 0

3. Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang sembarang,akan memenuhi keadaan:akan memenuhi keadaan:

0 P(A) 1

4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka berlaku:

P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1

5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

6. ...........

Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, makaberlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

Hukum-hukum Peluang(The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, makaberlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

MATHEMATICAL EXPECTATION

(HARAPAN MATEMATIK)

Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh suatu jumlahQ, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ (Q dapat berupa jumlahbarang maupun uang). Apabila suatu gejala deskrit yang diambil secara randomdiberi simbul X dengan harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untukmendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapanmendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapanmatematik dari X dinyatakan dengan rumus:

E(Xi) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)

= X . P(X).

Contoh:

Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung Rp. 80.000,00seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp. 20.000,00 seharinya. Berapaharapan matematiknya apabila probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.

Jawab:Jawab:

X1 = Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4

X2 = Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6

E(A) = P(X1) . X1 – P(X2) . X2

= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)

= 32.000 – 12.000

= Rp. 20.000,00

Contoh:

Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu kampus UB atauUMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan dibukanya cabang di UB akanmenghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanyagagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.gagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.

Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah 60% denganmendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal akan menderita rugi Rp.3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya ia harus membuka cabang?

DistribusiDistribusi PeluangPeluang DiskritDiskrit Distribusi BinomialDistribusi Binomial Distribusi HipergeometrikDistribusi Hipergeometrik Distribusi GeometriDistribusi Geometri Distribusi PoissonDistribusi Poisson

DISTRIBUSIDISTRIBUSI PROBABILITASPROBABILITAS

Distribusi PoissonDistribusi Poisson

DDistribusi Peluang Kontinuistribusi Peluang Kontinu Distribusi NormalDistribusi Normal

Ciri-ciri Distribusi Binomial

Tiap percobaan memiliki dua hasil saja Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: yakni: Sukses Sukses atau atau GagalGagal..

Probabilitas sukses pada tiapProbabilitas sukses pada tiap--tiap tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan percobaan haruslah sama dan dinyatakan percobaan haruslah sama dan dinyatakan percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p.dengan p.

Setiap percobaan harus bersifat Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)independent (bebas)

Jumlah percobaan yang merupakan Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus komponen eksperimen binomial harus tertentu.tertentu.

RUMUS

P(x,n) =P(x,n) = P)-(1PX

n x-nx

....1!!! xNx pp

xNx

NxXP

x = 0, 1, 2, ...., N0 < p < 1

Keterangan Rumus

n = Banyaknya peristiwan = Banyaknya peristiwa p p == Besarnya peluangBesarnya peluang tterjadinyaerjadinya

suksessukses !! = = faktofaktoririalal !! = = faktofaktoririalal nn!! == nn((nn--1)(1)(nn--2)...(3)(2)(1)2)...(3)(2)(1) 0!0! == 11 1!1! == 11

Misal : 3! = 3x2x1 = 6Misal : 3! = 3x2x1 = 6

Contoh1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria dan 1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria dan

2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 582A. 582 B. 588B. 588 C. 625C. 625 D. 720D. 720 E. 784E. 7842 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja 2 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja

atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 49A. 49 B. 56B. 56 C. 63C. 63 D. 70D. 70 E. 77E. 77

P= 8 ; 22852/2

!6.2

!6.7.8

)(6!2!

8!

2

8

w= 7 ;2 2142/2!5.2!5.6.7

)(5!2!

7!

2

7

Contoh1.1. Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan

peluang ada 4 kali mata dadu yang terbaca.peluang ada 4 kali mata dadu yang terbaca.2.2. Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar

yang cacat pada setiap memfotocopy sebanyak 500 yang cacat pada setiap memfotocopy sebanyak 500 lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg cacat.cacat.

6

56

1

q

p

.6

5.

6

1)(

24

Ap

46

656.46

150.

!2.3.4

!4.5.6.

6

5.16

945010

1

500

50

q

p.

10

9.

10

112

2310

9

500

450q

1010

1000

27.

!1.2

!2.3.

10

9.13

Contoh:

SebuahSebuah pengirimanpengiriman 8 8 mikrokomputermikrokomputeryang yang serupaserupa keke suatusuatu jaringanjaringan eceraneceranberisiberisi 3 yang 3 yang cacatcacat. . BilaBila suatusuatu sekolahsekolahmelakukanmelakukan suatusuatu pembelianpembelian acakacak 2 2 daridarimelakukanmelakukan suatusuatu pembelianpembelian acakacak 2 2 daridarimikrokomputermikrokomputer iniini, ,

CarilahCarilah distribusidistribusi probabilitasprobabilitas untukuntukjumlahjumlah yang yang cacatcacat..

CarilahCarilah distribusidistribusi kumulatifkumulatif untukuntukjumlahjumlah yang yang cacatcacat..

Jawab (1): AmbilAmbil X X sebagaisebagai variabelvariabel random yang random yang didefinisikandidefinisikan sebagaisebagai

banyaknyabanyaknya mikrokomputermikrokomputer yang yang cacatcacat yang yang mungkinmungkin akanakandibelidibeli oleholeh sekolahsekolah tersebuttersebut. . MakaMaka dapatdapat dituliskandituliskan ::

X X = = banyaknyabanyaknya mikrokomputermikrokomputer cacatcacat yang yang mungkinmungkin akanakandibelidibeli oleholeh sekolahsekolah

= 0, 1, 2= 0, 1, 2

24

= 0, 1, 2= 0, 1, 2 SehinggaSehingga dapatdapat dihitungdihitung ::

28

10

2

8

2

5

0

3

)0()0(

XPf28

15

2

8

1

5

1

3

)1()1(

XPf 283

2

8

0

5

2

3

)2()2(

XPf

Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah

x 0 1 2

f(x) 10/28 15/28 3/28

Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,2

8

2

5.

3

)()(

xuntukxx

xfxXP

Jawab (2):

DistribusiDistribusi kumulatifkumulatif F(x) F(x) adalahadalah ::F(0) F(0) = f(0) = f(0) = 10/28 = 10/28 F(1)F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28= f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2) F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28= f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28

= 1= 1

25

= 1= 1SehinggaSehingga ::

11 , , untukuntuk x < 0x < 0F(x) =F(x) = 10/2810/28 , , untukuntuk 0 0 x < 1 x < 1

25/2825/28 , , untukuntuk 1 1 x < 2x < 211 , , untukuntuk x x 22

ContohDua buah mata uang dilempar Dua buah mata uang dilempar

satu kalisatu kaliHitunglah: Hitunglah: a. Pa. Probabilitasrobabilitas tidaktidak diperolehnyadiperolehnyaa. Pa. Probabilitasrobabilitas tidaktidak diperolehnyadiperolehnya

permukaanpermukaan BBb.b. PProbabilitasrobabilitas memperolehmemperoleh satusatu

permukaanpermukaan BBc. Pc. Probabilitasrobabilitas memperolehmemperoleh

duaduapermukaanpermukaan BB

Dik : Dik : n = 2; n = 2; X = 0, 1, 2X = 0, 1, 2a. Probabilitas tidak mendapat permukaan Ba. Probabilitas tidak mendapat permukaan B

P(0;2) = P(0;2) =

= 0,25= 0,25

0,25x1x)(2!0!

20,5x0,5x

0

2 20

= 0,25= 0,25

b. Probabilitas satu permukaan Bb. Probabilitas satu permukaan B P(1;2) = P(1;2) =

= 0,50= 0,50

0,50x0,50x)(1!1!

20,5x0,5x

1

2 11

c. Probabilitas mendapat 2 permukaan Bc. Probabilitas mendapat 2 permukaan B

P(P(22;2) = ;2) = 1x0,25x1x)(0!2!

20,5x0,5x

2

2 02

= 0,25= 0,25

)(0!2!

Contoh

KKalau 3 buah mata uang dilemparkan satu alau 3 buah mata uang dilemparkan satu kalikali. Hitunglah Probabilitas memperoleh:. Hitunglah Probabilitas memperoleh:a. Ta. Tidak idak adaada permukaan Bpermukaan Bb. 1 b. 1 permukaan Bpermukaan Bb. 1 b. 1 permukaan Bpermukaan Bc. c. 2 permukaan B2 permukaan Bd. 3d. 3 permukaan Bpermukaan Be. Paling sedikit 1 e. Paling sedikit 1 permukaan Bpermukaan Bf.f. Paling banyak 2Paling banyak 2 permukaan permukaan BB

Dik: nDik: n = 3; = 3; X = 0, 1, 2, 3X = 0, 1, 2, 3

a. a. P(0;3)P(0;3) === 0,125= 0,125

0,25x1x)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,125 x 1 x )(3!0!

3!0,5 x 0,5 x

0

3 30

= 0,125= 0,125

b. b. P(1;3)P(1;3) = = 0,25x0,5x)(2!1!3!

0,5x0,5x1

3 21

= 0,375

c. c. P(P(22;3);3) ==

= 0,375= 0,375

0,25x1x)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x0,5x

)(2!1!

3!0,5x0,5x

1

3 21

0,25x0,5x

)(2!1!

3!0,5x0,5x

1

3 21

0,25x0,5x)(1!2!

3!0,5x0,5x

2

3 12

d. d. P(P(33;3);3) = =

== 0,1250,125

x10,125 x )(0!3!

3!0,5x 0,5 x

3

3 03

e.e.P(P(xx≥1≥1)) == P(x=1) + P(x=2) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)P(x=3)

= 1 = 1 -- P(x=0)P(x=0)

= 1 = 1 -- 0,125 = 0, 8750,125 = 0, 875

0,25x1x)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x1x

)(3!0!

3!0,5x0,5x

0

3 02

0,25x0,5x

)(2!1!

3!0,5x0,5x

1

3 21

0,25x0,5x

)(2!1!

3!0,5x0,5x

1

3 21

= 1 = 1 -- 0,125 = 0, 8750,125 = 0, 875

f. f. P(P(x x ≤ ≤ 22)) = = P(x=0) + P(x=1) + P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) P(x=2)

== 0,125 + 0,375 + 0,375 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875= 0,875

Pengertian

DDistribusi peristiwa yang jarang istribusi peristiwa yang jarang terjadi terjadi (distribution of rare events)(distribution of rare events)adalah distribusi kemungkinan adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variasi random teoritis dengan variasi random teoritis dengan variasi random teoritis dengan variasi random discrete. Distribusi ini dianggap discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n (banyaknya binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, percobaan) adalah besar, sedangkan P (Probabilitas sukses) sedangkan P (Probabilitas sukses) sangat kecil.sangat kecil.

RUMUS

P(X)P(X)==!x

e . μ -ux

= n . p = n . p

X = variabel random discrete 0,1,2,3 ……..X! = X . (X – 1) . (X – 2) ….. 2 . 1

e = bilangan irrational yang besarnya 2,718280! = 1

Contoh

Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000 pembaca. 100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002akan membalas iklan tersebut 0,00002..

DDitanyakan :itanyakan :a.a. Berapa orangkah diharapkan akan Berapa orangkah diharapkan akan a.a. Berapa orangkah diharapkan akan Berapa orangkah diharapkan akan

membalas iklan tersebutmembalas iklan tersebut??b.b. Berapa kemungkinannya bahwa yang Berapa kemungkinannya bahwa yang

membalas iklan tersebut hanya seorangmembalas iklan tersebut hanya seorang??c.c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang Berapa kemungkinannya tidak ada yang

membalasmembalas??

Dik: Dik: nn == 100.000,100.000,pp == 0,000020,00002a. a. μμ== n . pn . p

== 100.000 . 100.000 . 0,000020,00002== 22

jawaban

== 22RataRata--rata ada 2 orang yang rata ada 2 orang yang membalas iklan tersebut.membalas iklan tersebut.

1!

e2 -21=

1

(0,13534)2

1

(0,13534)2

1

(0,13534)2

c. P(x=0)=

= 0,27068

e2 -20 (0,13534)1

b. P(x=1)=

c. P(x=0)=0!

e21

(0,13534)1= =0,13534

Contoh2

Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit

tersebut berapa probabilitas :Tiga orang akan mati

Yang mati tidak lebih dari satu orangYang mati tidak lebih dari satu orangLebih dari dua orang mati

Dik: Dik: nn == 2.000,2.000, p = 0,001p = 0,001 == 2.000 x 0,001 = 22.000 x 0,001 = 2

a.a. P(P(x=x=3)=3)= == == 0,180450,180453!e )2( -23

1.2.3

(0,13534).8

0,27068

b.b. P(xP(x≤1) = ≤1) = P(0) + P(1)P(0) + P(1) = =

P(x=0) =0!

e )2( -20 = 0,13534

P(x=1) =1!

e )2( -21

= 0,4060

0,4060

= 0,27068

c.c. P(X > 2) = 1 P(X > 2) = 1 -- P(2) P(1) P(0)

P(x=2) =2!

e )2( -220,27068=

Jadi P(X > 2) = 1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)

= 1 – 0,67670 = 0,3233

Mean dan Standard Deviasi Poisson

== n . Pn . P

== p.n

PROBABILITAS (PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITAS

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Pengertian Peluang

Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah mustahil, maka mempunyai peluang sama dengan 0.

Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi. Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orang yang masih hidup adalah 1.

Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpai mempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atau tepat 1).

PROBABILITAS (PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITAS

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Definisi Klasik (Classical Definition of Probability)

Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik sampel yang equally likely dan mutually exclusive terdapat a buah titik sampel yang menyokong suatu peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:

P(A) = a/N

Contoh 1:

Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A dan B) dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya permukaan A atau permukaan B di atas:

P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.

Contoh 2:

Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan satu kali, maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:

P(1) = 1/6; P(2) = 1/6

Contoh 3:

Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52 kartu bridge yang ada, maka probabilitas akan terpilih:

Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5

Satu kartu King: P(K) = 4/52

Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical Definition of Probability)

Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan berdasarkan pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi

Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:

P(A) = Lim t/N

N→~

Contoh 1:

Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang kedokteran, dari 100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru, 99 orang meninggal. Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini. Pertanyaan: Berapa peluang dia akan meninggal karena penyakit tersebut?

P(A) = 99/100 = 0,99

Definisi Subyektif (Subjective Definition of Probability)

Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga bersifat subyektif

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) = 1

Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A) = 0

Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang sembarang, akan memenuhi keadaan:

0 P(A) 1

4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka berlaku:

P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1

5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

6. ...........

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

MATHEMATICAL EXPECTATION (HARAPAN MATEMATIK)

Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh suatu jumlah Q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ (Q dapat berupa jumlah barang maupun uang). Apabila suatu gejala deskrit yang diambil secara random diberi simbul X dengan harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untuk mendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapan matematik dari X dinyatakan dengan rumus:

E(Xi) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)

= X . P(X).

Contoh:

Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung Rp. 80.000,00 seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp. 20.000,00 seharinya. Berapa harapan matematiknya apabila probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.

Jawab:

X1= Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4

X2= Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6

E(A)= P(X1) . X1 – P(X2) . X2

= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)

= 32.000 – 12.000

= Rp. 20.000,00

Contoh:

Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu kampus UB atau UMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan dibukanya cabang di UB akan menghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanya gagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.

Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah 60% dengan mendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal akan menderita rugi Rp. 3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya ia harus membuka cabang?

Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi Binomial

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Geometri

Distribusi Poisson

Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi Normal

DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI BINOMIAL

Ciri-ciri Distribusi Binomial

Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: Sukses atau Gagal.

Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p.

Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)

Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu.

RUMUS

P(x,n) =

x = 0, 1, 2, ...., N

0 < p < 1

Keterangan Rumus

n = Banyaknya peristiwa

p =Besarnya peluang terjadinya sukses

! = faktorial

n! = n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)

0! = 1

1! = 1

Misal : 3! = 3x2x1 = 6

Contoh

1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria dan 2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...

A. 582

B. 588

C. 625

D. 720

E. 784

2 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah...

A. 49

B. 56

C. 63

D. 70

E. 77

P= 8 ; 2

w= 7 ;2

Contoh

Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan peluang ada 4 kali mata dadu yang terbaca.

Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar yang cacat pada setiap memfotocopy sebanyak 500 lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg cacat.

Contoh:

Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,

Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.

Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.

Jawab (1):

24

Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :

X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah

= 0, 1, 2

Sehingga dapat dihitung :

Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah

x012

f(x)10/2815/283/28

Rumus distribusi probabilitas adalah

Jawab (2):

25

Distribusi kumulatif F(x) adalah :

F(0) = f(0) = 10/28

F(1)= f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28

= 1

Sehingga :

1, untuk x < 0

F(x) =10/28, untuk 0 x < 1

25/28, untuk 1 x < 2

1, untuk x 2

Contoh

Dua buah mata uang dilempar satu kali

Hitunglah:

a. Probabilitas tidak diperolehnya permukaan B

b. Probabilitas memperoleh satu permukaan B

c. Probabilitas memperoleh duapermukaan B

Dik : n = 2; X = 0, 1, 2

a. Probabilitas tidak mendapat permukaan B

P(0;2) =

= 0,25

b. Probabilitas satu permukaan B

P(1;2) =

= 0,50

c. Probabilitas mendapat 2 permukaan B

P(2;2) =

= 0,25

Contoh

Kalau 3 buah mata uang dilemparkan satu kali. Hitunglah Probabilitas memperoleh:

a. Tidak ada permukaan B

b. 1 permukaan B

c. 2 permukaan B

d. 3 permukaan B

e. Paling sedikit 1 permukaan B

f. Paling banyak 2 permukaan B

Dik: n = 3; X = 0, 1, 2, 3

a. P(0;3)=

= 0,125

b. P(1;3)=

= 0,375

c. P(2;3) =

= 0,375

d. P(3;3) =

= 0,125

e.P(x≥1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)

= 1 - P(x=0)

= 1 - 0,125 = 0, 875

f. P(x ≤ 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

= 0,125 + 0,375 + 0,375

= 0,875

Distribusi Poisson

Pengertian

Distribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribution of rare events) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variasi random discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan P (Probabilitas sukses) sangat kecil.

34

RUMUS

P(X)=

=n . p

X =variabel random discrete 0,1,2,3 ……..

X! =X . (X – 1) . (X – 2) ….. 2 . 1

e =bilangan irrational yang besarnya 2,71828

0! =1

Contoh

Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002.

Ditanyakan :

Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut?

Berapa kemungkinannya bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang?

Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas?

Dik: n =100.000,p =0,00002

a. μ=n . p

=100.000 . 0,00002

=2

Rata-rata ada 2 orang yang membalas iklan tersebut.

jawaban

=

c. P(x=0)=

= 0,27068

=

=0,13534

b. P(x=1)=

Contoh2

Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitas :

Tiga orang akan mati

Yang mati tidak lebih dari satu orang

Lebih dari dua orang mati

Dik: n=2.000,p = 0,001

=2.000 x 0,001 = 2

P(x=3)= = = 0,18045

P(x≤1) = P(0) + P(1) =

P(x=0) =

= 0,13534

P(x=1) =

= 0,4060

= 0,27068

c.P(X > 2) = 1 -

P(x=2)=

0,27068

=

Jadi P(X > 2)=1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)

=1 – 0,67670 = 0,3233

Mean dan Standard Deviasi Poisson

=n . P

=

P)

-

(1

P

X

n

x

-

n

x

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

(

)

(

)

(

)

....

1

!

!

!

x

N

x

p

p

x

N

x

N

x

X

P

-

-

-

=

=

28

52/2

!

6

.

2

!

6

.

7

.

8

)

(6!

2!

8!

2

8

=

=

=

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

21

42/2

!

5

.

2

!

5

.

6

.

7

)

(5!

2!

7!

2

7

=

=

=

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

6

5

6

1

=

=

q

p

.

6

5

.

6

1

)

(

2

4

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

A

p

4

6

Ì

656

.

46

150

.

!

2

.

3

.

4

!

4

.

5

.

6

.

6

5

.

1

6

=

=

10

9

500

450

10

1

500

50

=

=

=

=

q

p

.

10

9

.

10

1

1

2

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

2

3

Ì

1000

27

.

!

1

.

2

!

2

.

3

.

10

9

.

1

3

=

=

28

10

2

8

2

5

0

3

)

0

(

)

0

(

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

=

=

X

P

f

28

15

2

8

1

5

1

3

)

1

(

)

1

(

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

=

=

X

P

f

28

3

2

8

0

5

2

3

)

2

(

)

2

(

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

=

=

X

P

f

2

,

1

,

0

,

2

8

2

5

.

3

)

(

)

(

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

=

=

x

untuk

x

x

x

f

x

X

P

0,25

x

1

x

)

(2!

0!

2

0,5

x

0,5

x

0

2

2

0

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

0,50

x

0,50

x

)

(1!

1!

2

0,5

x

0,5

x

1

2

1

1

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

1

x

0,25

x

1

x

)

(0!

2!

2

0,5

x

0,5

x

2

2

0

2

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

0,25

x

1

x

)

(3!

0!

3!

0,5

x

0,5

x

0

3

0

2

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

0,125

x

1

x

)

(3!

0!

3!

0,5

x

0,5

x

0

3

3

0

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

0,25

x

0,5

x

)

(2!

1!

3!

0,5

x

0,5

x

1

3

2

1

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

0,25

x

0,5

x

)

(1!

2!

3!

0,5

x

0,5

x

2

3

1

2

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

x1

0,125

x

)

(0!

3!

3!

0,5

x

0,5

x

3

3

0

3

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

!

x

e

.

μ

-u

x

1!

e

2

-2

1

1

(0,13534)

2

0!

e

2

-2

0

1

(0,13534)

1

3!

e

)

2

(

-2

3

1

.

2

.

3

(0,13534)

.

8

0!

e

)

2

(

-2

0

1!

e

)

2

(

-2

1

0,4060

0,27068

[

]

P(2)

P(1)

P(0)

+

+

2!

e

)

2

(

-2

2

p

.

n