Simpleks Yöntemi

Mak. Z = 3x1 + x2 Zenb. = 3x1 + x2 + 0s1 – MY1- MY2

x1 + 2x2 ≥ 5 x1 + 2x2- s1+Y1 = 5 2x1 + x2 ≤ 6 2x1+ x2+ s2=6

x1 + x2 =3 x1+ x2 + Y2 = 3 x1, x2 ≥ 0 x1, x2, s1,s2, Y1,Y2 ≥ 0

Başlangıç Simpleks Tablo

Cj 3 1 0 0 -M -M

Değişken

karışımınicelik x1 x2 s1 s2 Y1 Y2

-M Y1 5 1 2 -1 0 1 0

0 s2 6 2 1 0 1 0 0

-M Y2 3 1 1 0 0 0 1

Zj -8M -2M -3M M 0 -M -M

Cj – Zj 3+2M

1+3M

-M 0 0 0

İkinci Simpleks Tablo (Optimal)

Cj 3 1 0 0 -M -M

Değişken

karışımıniceli

kx1 x2 s1 s2 Y1 Y2

1 x2 2 0 1 -1 0 1 -1

0 s2 2 0 0 -1 1 1 -3

3 x1 1 1 0 1 0 -1 2

Zj 5 3 1 2 0 -2 5

Cj – Zj 0 0 -2 0 -M+2 -M-5

Birinci Simpleks Tablo

Cj 3 1 0 0 -M -M

Değişken

karışımıniceli

kx1 x2 s1 s2 Y1 Y2

1 X2 5/2 1/2 1 -1/2 0 1/2 0

0 S2 7/2 3/2 0 1/2 1 -1/2 0

-M

Y2 1/2 1/2 0 1/2 0 -1/2 1

Zj 5/2-M/2

1/2-M/2 1 -1/2-M/2

0 1/2+M/2 -M

Cj – Zj 5/2+M/2

0 1/2+M/2

0 -1/2-3/2M

0

İki Aşamalı Yöntem

Zenk. = 3x1 + 2x2

x1 ≥ 4 x1 – s1 + Y1= 4 x1 + x2 = 10 x1 + x2 + Y2= 10x1, x2 ≥ 0

Aşama 1: Zenk. = Y1 + Y2

x1 – s1 + Y1 = 4x1 + x2 + Y2 = 10 x1, x2, s1, Y1, Y2 ≥ 0

I.Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo

Cj 0 0 0 1 1

Değişkenkarışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2

1 Y1 4 1 0 -1 1 0

1 Y2 10 1 1 0 0 1

Zj 14 2 1 -1 1 1

Cj – Zj -2 -1 1 0 0

I.Aşama İçin İkinci Simpleks Tablo (Optimal)

Cj 0 0 0 1 1

Değişkenkarışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2

0 x1 4 1 0 -1 1 0

0 x2 6 0 1 1 -1 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj – Zj 0 0 0 1 1

I.Aşama İçin Birinci Simpleks Tablo

Cj 0 0 0 1 1

Değişkenkarışımı nicelik x1 x2 s1 Y1 Y2

0 x1 4 1 0 -1 1 0

1 Y2 6 0 1 1 -1 1

Zj 6 0 1 1 -1 1

Cj – Zj 0 -1 -1 2 0

İkinci Aşama İçin Başlangıç Simpleks Tablo (Optimal)

Cj 3 2 0

Değişken karışımı Nicelik X1 X2 S1

3 x1 4 1 0 -1

2 x2 6 0 1 1

Zj 24 3 2 -1

Cj – Zj 0 0 1

x1 = 4x2 = 6Z = 24

Aşama 2: Min. Z = 3x1 + 2x2 + 0s1

x1 – s1 = 4x2 + s1 = 6 x1, x2, s1 ≥ 0

ULAŞTIRMA SORUNU

Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2 3 5 6 5

2 2 1 3 5 10

3 3 8 4 6 15

Talep 12 8 4 6 30

Kuzey-Batı Yöntemi

Toplam Maliyet=(2*5)+(2*7)+(1*3)+(8*5)+(4*4)+(6*6)=119

Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2(5) 3 5 6 5

2 2(7) 1(3) 3 5 10

3 3 8(5) 4(4) 6(6) 15

Talep 12 8 4 6 30

Atlama Taşı YöntemiDağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2(5) 3 5 6 5

2 2(7) 1(3) 3 5 10

3 3 8(5) 4(4) 6(6) 15

Talep 12 8 4 6 30

d12 = c12-c11+c21-c22 = 3-2+2-1 = 2d13 = c13-c11+c21-c22+c32-c33 = 5-2+2-1+8-4 = 8

d14 = c14-c11+c21-c22+c32-c34 = 6-2+2-1+8-6 = 7d23 = c23-c33+c32-c22 = 3-4+8-1 = 6d24 = c24-c34+c33-c22 = 5-6+8-1 = 6d31 = c31-c21+c22-c32 = 3-2+1-8 = -6 x31=5

br.

Atlama Taşı Yöntemi

Toplam Maliyet=(2*5)+(2*2)+(1*8)+(3*5)+(4*4)+(6*6)=89

Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2(5) 3 5 6 5

2 2(2) 1(8) 3 5 10

3 3(5) 8 4(4) 6(6) 15

Talep 12 8 4 6 30

d12 = c12-c11+c21-c22 = 3-2+2-1 = 2d13 = c13-c11+c31-c33 = 5-2+3-4 = 2d14 = c14-c11+c31-c34 = 6-2+3-6 = 1d23 = c23-c33+c31-c21 = 3-4+3-2 = 0d24 = c24-c34+c31-c21 = 5-6+3-2 = 0d32 = c32-c22+c21-c31 = 8-1+2-3 = 6

OPTİMALÇÖZÜM

TOPLAMMALİYET 89 PB.

VAM Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz CM CM CM

1 2**(5) 3 5 6 5 0 1 3 ----

2 2***(2) 1*(8) 3 5 10 2 0

1 1 1

3 3 (5) 8 4(4) 6(6) 15 0 1 1 1

Talep 12 7 5 0 8 0 4 0 6 0 30

CM 0 2 1 1 X22=8

CM 0 ---- 1 1 X11=5

CM 1 ---- 1 1 X21=2

X31= 5 X33= 4 X34= 6

Toplam Maliyet=(2*5)+(2*2)+(1*8)+(3*5)+(4*4)+(6*6)=89

Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2(5) 3 5 6 5

2 2(2) 1(8) 3 5 10

3 3(5) 8 4(4) 6(6) 15

Talep 12 8 4 6 30

MODİ

ToplamMaliyet=89

Dağıtım Merkezi

Fabrika 1 2 3 4 Arz

1 2(5) 3 5 6 5

2 2(2) 1(8) 3 5 10

3 3(5) 8 4(4) 6(6) 15

Talep 12 8 4 6 30

Dolu hücreler için cij = Ui + Vj Boş hücreler için dij = cij – (Ui + Vj)

v1=02=u1+v1 u1=2 d12 = 3-(2-1) = 22=u2+v1 u2=2 d13 = 5-(2+1) = 21=u2+v2 v2= -1 d14 = 6-(2+3) = 13=u3+v1 u3=3 d23 = 3-(2+1) = 04=u3+v3 v3=1 d24 = 5-(2+3) = 06=u3+v4 v4=3 d32 = 8-(3-1) = 6

OPTİMALÇÖZÜM

TOPLAM MALİYET 89 PB.

OYUN KURAMI

Denge Noktası & Baskınlık

A1 A2 A3

B1 30* 28 18+

B2 24 25+ * 23

B3 20+ 26 27 *

B4 23 27 28

B3, B4’e baskınA oyuncusu (maksimin): 20, 25, 18 A2B oyuncusu (minimaks): 30, 25, 27 B2Denge noktası (A2, B2)Oyun Değeri: 25

Grafik Çözüm Yöntemi 1

B1 B2 B3 B4

A1 2 4 3 6

A2 5 3 6 2

A3 4 1 5 2

A2, A3’e baskın ve B1, B3’e baskın.A’nın beklenen kazancı;• B1’i oynadığında, 2x1+5x2≥V• B2’yi oynadığında, 4x1+3x2≥V• B4’ü oynadığında, 6x1+2x2≥V

x1

x2

x1+x2=1

Çözüm C noktasında;(B1&B2 ortak çözümünden)

V=7/2x2=1/2x1=1/2

x2

2

4

6

2

5

B2

B4B1

. C

A oyuncusu:Maksimin stratejisi

V=7/2

x2=1/2

3

Grafik Çözüm Yöntemi 2

B1 B2 B3 B4

A1 5 9 5 10

A2 8 2 9 4

A3 7 6 10 6

B1, B3’e baskın ve B2, B4’e baskın.B’nin beklenen kaybı;• A1’i oynadığında, 5y1+9y2≤V• A2’yi oynadığında, 8y1+2y2 ≤ V• A3’ü oynadığında, 7y1+6y2 ≤ V

y1+y2=1

y1 y2

Çözüm D noktasında;(A1&A3 ortak çözümünden)

V=33/5=6,6y2=2/5=0,4y1=3/5=0,6

DV=33/5=6,6

y2

5

2

6A3

A1

A2

.

B oyuncusu:Minimaks stratejisi

2/5=y2

0

7

98

Oyun Kuramı & Doğrusal ProgramlamaB1 B2 B3

A1 3 2 1A2 -2 2 4A3 5 1 2

Cj OPTİMAL TABLO 1 1 1 0 0 0 M M MDeğ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3

1 Q3 0,0556 0 0 1 -0,1667 0,3889 -0,2778 0,1667 -0,3889 0,27781 Q1 0,3333 1 0 0 0 -0,6667 0,3333 0 0,6667 -0,33331 Q2 0,1389 0 1 0 0,0833 -0,0278 -0,1944 -0,0833 0,0278 0,1944

Zj 0,5278 1 1 1 -0,0834 -0,3056 -0,1389 0,0834 0,3056 0,1389Cj - Zj 0 0 0 0,0834 0,3056 0,1389 M-0,0834 M-0,3056 M-0,1389

Cj BAŞLANGIÇ TABLO 1 1 1 0 0 0 M M MDeğ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3

M Y1 1 3 -2 5 -1 0 0 1 0 0M Y2 1 2 2 1 0 -1 0 0 1 OM Y3 1 1 4 2 0 0 -1 0 0 1

Zj 3M 6M 4M 8M -M -M -M M M MCj - Zj 1-6M 1-4M 1-8M M M M 0 0 0

A’nın amacının kazancını maksimize etmek olduğunu göz önünde bulundurarak doğrusal programlama modelini kurunuz.

1

24

22

523

321

321

321

321

yyy

Vyyy

Vyyy

Vyyy

jj QVy /

0,,

/1

124

1 22

1523

321

321

321

321

321

QQQ

QQQVZ

QQQ

QQQ

QQQ

enk

0,,

124

1 22

1523

000

321

33321

22321

11321

321321321

QQQ

YsQQQ

YsQQQ

YsQQQ

MYMYMYsssQQQZ enk

Cj OPTİMAL TABLO 1 1 1 0 0 0 M M MDeğ.Kar. Nicelik Q1 Q2 Q3 s1 s2 s3 Y1 Y2 Y3

1 Q3 0,0556 0 0 1 -0,1667 0,3889 -0,2778 0,1667 -0,3889 0,27781 Q1 0,3333 1 0 0 0 -0,6667 0,3333 0 0,6667 -0,33331 Q2 0,1389 0 1 0 0,0833 -0,0278 -0,1944 -0,0833 0,0278 0,1944

Zj 0,5278 1 1 1 -0,0834 -0,3056 -0,1389 0,0834 0,3056 0,1389Cj - Zj 0 0 0 0,0834 0,3056 0,1389 M-0,0834 M-0,3056 M-0,1389

jj QVy /

5278,0/1 VZenk 89,15278,0/1/1 ZV

VQy jj .

11,089,1.0556,0.

26,089,1.1389,0.

63,089,1.3333,0.

33

22

11

VQy

VQy

VQyA oyuncusunun

stratejilerini oynamaolasılıkları

B oyuncusununstratejilerini oynama

olasılıkları26,089,1.1389,0.

58,089,1.3056,0.

16,089,1.0834,0.

33

22

11

VWx

VWx

VWxii WVx /

VWx ii .1389,0

3056,0

0834,0

3

2

1

W

W

W

TAM SAYILI PROGRAMLAMA

Grafiksel Çözüm Zenb = 3x1 + 4x2

-2x1 + 2x2 ≤ 5

2x1 + 2x2 ≤ 11

x1 ,x2 ≥ 0 ve tam sayıx2

x10 1 2 3 4 5 6-5/2

6

5

4

3

2

1

Z=3x1+ 4x2

●

●

● ●● ● ●

●●●

●

●●

●

●

● ●

* 3/2, 4

(2,3) Z=18

Tam Sayılı Programlama Sorunlarının Kurulması

A&A firması 4 yatırımı ele almaktadır. Yatırım1 $32.000, Yatırım2 $44.000, Yatırım3 $24.000 ve Yatırım4 $16.000’lık NBD’e sahiptir. Her yatırım başlangıçta belirli miktarda nakit çıkışı gerektirmektedir; Yatırım1 $10.000, Yatırım2 $14.000, Yatırım3 $8.000 ve Yatırım4 $6.000. Yatırım için firmanın elinde ise $28.000 bulunmaktadır.● Firma en fazla iki tane yatırım yapabilir.● Eğer firma Yatırım2’ye yatırım yaparsa Yatırım1’e de yapmak zorundadır.● Eğer firma Yatırım2’ye yatırım yaparsa Yatırım4’e yatırım yapamaz.Yatırımlardan elde edilecek NBD’i maksimize edecek tamsayılı programlama modelini formüle ediniz.

xj (j=1,2,3,4) =

Zenb = 32x1 + 44x2 + 24x3 + 16x4

10x1 + 14x2 + 8x3 + 6x4 ≤ 28

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2

x2 ≤ x1 x2 - x1 ≤ 0

x2 + x4 ≤ 1

xj = 0 veya 1 (j=1,2,3,4)

1 eğer yatırım j yapılırsa0 yapılmazsa

ÖRNEK 1 Dal-Sınır Yöntemi

SİMAY A.Ş. dört ana dağıtım merkezinden (A,B,C,D), dört bayisine (1,2,3,4) mal göndermektedir. Her dağıtım merkezinden sadece bir bayiye mal gönderilebilmektedir. Aşağıdaki tabloda verilen dağıtım maliyetlerine göre toplam maliyeti minimize edecek şekilde hangi dağıtım merkezinden hangi bayiye mal gönderileceğini ve minimum toplam maliyeti dal-sınır yöntemini kullanarak belirleyiniz.

Bayiler

DağıtımMerkezleri 1 2 3 4

A 3 6 2 2

B 10 16 6 4

C 8 18 10 2

D 16 12 16 8

Bayiler

DağıtımMerkezleri 1 2 3 4

A 3 6 2 2

B 10 16 6 4

C 8 18 10 2

D 16 12 16 8

1.Aşama: A→1 3+12+6+2=23 (olurlu) Üst sınırB→1 10+6+2+2=20 (olursuz) (Budanır)C→1 8+6+2+2=18 (olursuz) Alt sınırD→1 16+6+2+2=26 (olursuz) (Budanır)

2.Aşama: C→1, A→2 8+6+6+4=24 (olursuz) (Budanır) B→2 8+16+2+2=28 (olursuz) (Budanır) D→2 8+12+2+2=24 (olursuz) Alt sınır > 23

Önceki aşamanın üst sınırından devam edilmelidir. A→1, B→2 3+16+10+2=31 (olursuz) (Budanır)

C→2 3+18+6+4=31 (olursuz) (Budanır) D→2 3+12+6+2=23 (olurlu) Alt Sınır&Üst

Sınır A→1, D→2, B→3 ve C→4’e atanmalıdır. Toplam Maliyet: 23

Alt Sınır = 3+6+2+2=13 olursuzÜst Sınır = + ∞

ÖRNEK 2 Dal-Sınır Yöntemi

XYZW Holding aldığı 4 projeyi (1,2,3,4) 4 farklı şirketine (X,Y,Z,W) yaptıracaktır. Aşağıda verilen kazançlara göre en yüksek kazancı veren atamayı dal-sınır yöntemiyle gerçekleştiriniz.

Proje

Şirket 1 2 3 4

X 71 78 93 77

Y 69 78 87 74

Z 72 81 89 76

W 73 80 86 78

Proje

Şirket 1 2 3 4

X 71 78 93 77

Y 69 78 87 74

Z 72 81 89 76

W 73 80 86 78

1.Aşama: X→1 71+81+89+78=319 (olursuz) (Budanır) Y→1 69+81+93+78=321 (olurlu)Alt sınırZ→1 72+80+93+78=323 (olursuz) (Budanır)

W→1 73+81+93+77=324 (olursuz) Üst sınır 2.Aşama: W→1, X→2 73+78+89+76=316 (olursuz) (Budanır)

Y→2 73+78+93+77=321 (olursuz) (Budanır)

Z→2 73+81+93+77=324 (olursuz) Üst sınır Hiç olurlu çözüm olmadığından alt sınır halen 321’dir. 3.Aşama: W→1, Z→2, X→3 73+81+93+74=321 (olurlu) Alt Sınır

&Üst Sınır Y→3 73+81+87+77=318 (olurlu) (Budanır)

W→1, Z→2, X→3 ve Y→4’e atanmalıdır. Toplam Kazanç: 321

Üst Sınır = 73+81+93+78=325 olursuzAlt Sınır = 0

DİNAMİK PROGRAMLAMA EN KISA YOL PROBLEMİ

1

7

3 6

4

8

52

5

3

4

3

6

8

5

4

4

1

3

fn(s)=minimum [csj+fn-1(j)]

f0(8)=0

n=1s\j 8 j1(s) f1(s)5 4+0 8 46 1+0 8 17 3+0 8 3n=2s\j 5 6 7 j2(s) f2(s)2 3+4=7 6+1=7 ---- 5, 6 73 --- 8+1=9 5+3=8 7 84 --- --- 4+3=7 7 7n=3s\j 2 3 4 j3(s) f3(s)1 5+7=12 3+8=11 4+7=11 3,4

11

EN KISA YOL (11BR.) 1→3→7→8 1→4→7→8