1

Lausearvutuse uuritavateks objektideks on laused, millele saame omistada tõeväärtuse. Kahevalentne:

tõene / väär.

Lausearvutuse laused peavad rahuldama järgmisi ringimusi

1. Välistatud kolmanda seadus – iga lause on kas tõene või väär.

2. Mittevasturääkivuse seadus – ükski lause ei saa korraga olla nii tõene kui ka väär.

Keerulisemate lausete komponentlauseteks jagamisel tähistame viimaseid suurte ladina tähtedega,

nimetame neid lausemuutujateks. Komponentlausete vahelistele grammatilistele seostele vastavad

lausearvutuse tehted

eitus ( ),

konjunktsioon ( ),

disjunktsioon ( ),

implikatsioon ( ) ja

ekvivalents ( ).

Lausearvutuse tehteid tohib sooritada mistahes lausetega, kusjuures tulemuseks saadud lause

tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest.

Definitsioon. Lausarvutuse valemid on parajasti need valemid, mida saab koostada järgnevate

reeglite abil:

1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem

2. Kui on lausearvutuse valem, siis ka on lausearvutuse valem.

3. Kui ja on lausearvutuse valemid, siis ka , , ja on

lausearvutuse valemid.

Valemi konstrueerimisel (vastavalt induktiivsele definitsioonile) tekkivaid valemeid nimetatakse

valemi osavalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud tehet aga selle valemi peatehteks.

Vähendamaks sulgude arvu valemis, tehakse järgmised kokkulepped

1. Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on , , , , .

2. Vasakassotsiatiivsus – kui mitme liikme konjunktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse

tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda määravatest sulgudest loobuda.

3. Valemi välimised sulud võib ära jätta.

Teatud lausemuutujatele omistatud tõeväärtuste komplekti nimetame väärtustuseks; lausemuutujast

koosnevale valemile saame anda erinevat väärtustust.

Definitsioon. Lausearvutuse valemit nimetatakse

1. samaselt tõeseks, kui ta on tõene igal väärtustusel; (tautoloogia, loogiliselt tõene valem)

2. samaselt vääraks, kui ta on väär igal väärtustusel. (kontradiktsioon, loogiliselt väär valem)

Kuivõrd tõeväärtustabel on alati lõpliku arvu ridadega, siis piisab valemi samaselt tõesuse / väärtuse

kindlaks tegemiseks tõeväärtustabeli moodustamisest. Seega, samaselt tõeste ja samaselt väärate

valemite hulk on algoritmiliselt lahenduv.

2

Valemeid, mis ei ole neis esinevate lausemuutujate ühelgi väärtustusel korraga tõesed, nimetatakse

vasturääkivateks. Selliste valemite konjunktsioon on alati väär.

Definitsioon. Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel

tõene.

Definitsioon. Lausearvutuse valemit nimetatakse kummutatavaks, kui ta on vähemalt ühel

väärtustusel väär.

Definitsioon. Lausearvutuse valemit nimetatakse kontingentseks, kui ta on nii kehtestatav kui ka

kummutatav.

Definitsioon. Ütleme, et valemitest järeldub valem , kui igal neis valemeis esinevate

muutujate väärtustusel, mille korral on tõesed, on ka tõene. Seda asjaolu tähistame

.

Teoreem. Valemitest järeldub valem parajasti siis, kui valem on

samaselt tõene.

Tõestus. Kui valemitest järeldub valem , siis neil väärtustustel, millel valemid

on tõesed, on ka valem tõene, mistõttu on valem tõene. Kui aga

mõni valemitest on väär, siis on implikatsioon tõene, sest tema eesliige on väär.

Definitsioon. Valemeid ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal

neis valemeis esinevate lausemuutujate väärtustustel. Tähistame .

Kõik samaselt tõesed lausearvutuse valemid on üksteisega samaväärsed, seega võivad olla

samaväärsed ka erinevaid lausemuutujaid sisaldavad lausearvutuse valemid. Analoogne seos kehtib

kontradiktsiooni puhul.

Teoreem. Valemid ja on samaväärsed parajasti siis, kui valem on samaselt tõene.

Tõestus. Eeldame, et valemid ja on samaväärsed. Anname valemites esinevatele muutujatele

suvalise väärtustuse. Nüüd, et ja on samaväärsed, siis valemite ja tõeväärtused on ja

või ja , millest saamegi, et on samaselt tõene.

Idempotentsus

Kommutatiivsus

Assotsiatiivsus

Distributiivusus

Neelamisseadus

De Morgani seadused

Liikmete elimineerimine

(T – tautoloogia, V –

kontradiktsioon)

Implikatsiooni avaldis

konjunktsiooni ja

disjunktsiooni kaudu

Konjunktsiooni ja

disjunktsiooni avaldis

implikatsiooni kaudu

Ekvivalents

3

Lausemuutjat või selle eitust nimetame literaadiks. Literaati loetakse positiivseks või negatiivseks

vastavalt sellele, kas ta on puhas lausemuutuja või koos eitusega.

{

Viimasest seosest saame, et parajasti siis, kui (kus on tõeväärtus).

Definitsioon. Lausemuutujatest moodustatut literaalide konjunktsiooni

nimetame täielikuks elementaarkonjunktsiooniks.

Lemma 1. Täielik elementaarkonjunktsioon on tõene väärtustusel ( )

ning väär ülejäänud väärtustustel.

Definitsioon. Valemi täielik disjunktiivne normaalkuju (TDNK) on valemiga samaväärne valem,

mis kujutab endast erinevate täielike elementaarkonjunktsioonide disjunktsiooni.

Lemma 2. TDNK on tõene väärtustustel ,

,…, ning väär ülejäänud väärtustustel.

Teoreem. Igal kehtestataval valemil leidub TDNK.

Tõestus. Võtame kõik väärtustused, millel valem on tõene, ning moodustame literaalide

konjunktsioonide disjunktsiooni.

Järeldus. Valemil leidub TDNK parajasti siis, kui ta pole samaselt väär.

Et TDNK tõesuspiirkond on üheselt määratud, siis on ka valemi TDNK (kui leidub) täielike

elementaarkonjunktsioonide hulk üheselt määratud.

Definitsioon. Lausemuutujatest moodustatut literaalide disjunktsiooni

nimetame täielikuks elementaardisjunktsiooniks.

Lemma 1’. Täielik elementaardisjunktsioon on väär väärtustusel (

) ning tõene ülejäänud väärtustustel.

Definitsioon. Valemi täielikuks konjunktiivseks normaalkujuks (TKNK) nimetatakse valemiga

samaväärset valemit, mis kujutab endast täielike elementaardisjunktsioonide konjunktsiooni.

Lemma 2’. TKNK on väär väärtustusel ,

,…, ning tõene ülejäänud väärtustustel.

Teoreem. Valemil leidub TKNK parajasti siis, kui ta ei ole samaselt tõene.

Tõestus. Eeldame, et valem ei ole samaselt tõene. Sellise valemi eitus ei ole samaselt väär, mistõttu

leidub tal TDNK. Viies samaväärsuse mõlemates pooltes eituse vahetult

lausemuutujate ette saamegi TKNK.

4

TDNK leidmine

1. Elimineerime ekvivalentsid ja

implikatsioonid.

2. Viime eitused vahetult lausemuutujate

ette.

3. Rakendades distributiivsuse

samaväärsusi, viime konjunktsioonid

disjunktsioonidest sügavamale.

4. Jätame välja samaselt väärad osavalemid

ja korduvad eksemplarid.

5. Lisame konjunktsioonidele puudu olevad

liikmed.

6. Korrastame valemi.

TKNK leidmine

1. Elimineerime ekvivalentsid ja

implikatsioonid.

2. Viime eitused vahetult lausemuutujate

ette.

3. Rakendades distributiivsuse

samaväärsusi, viime disjunktsiooni

konjunktsioonidest sügavamale.

4. Jätame välja liigsed eksemplarid ja

samaselt tõesed osavalemid.

5. Lisame disjunktsioonidele puudu olevad

liikmed.

6. Korrastame valemi.

Lausearvutuse edasiarenduseks on predikaatarvutus, kus ka lihtlauset vaadeldakse komponentidena:

indiviidid ja predikaadid. Indiviidide arvu järgi jagame predikaadid ühe-, kahe- jne kuni n-kohalisteks.

Lausearvutuse lauseid võime vaadelda kui 0-kohalisi predikaate, millel on mingi fikseeritud

tõeväärtus.

Definitsioon. Hulgal määratud n-kohaliseks predikaadiks nimetatakse kujutust .

Hulka nimetame predikaadi indiviidide piirkonnaks.

Definitsioon. Predikaadi tõesuspiirkonnaks nimetame hulka

|

Definitsioon. Olgu Kirjutis

tähistab predikaati, mis on tõene parajasti siis, kui on sellised elemendid, et

iga korral on tõene;

väär parajasti siis, kui on sellised elemendid, et leidub , mille korral

on väär. Operaatorit nimetame üldisuskvantoriks.

Definitsioon. Olgu Kirjutis

tähistab predikaati, mis on tõene parajasti siis, kui on sellised elemendid, et

leidub , mille korral on tõene;

väär parajasti siis, kui on sellised elemendid, et iga korral

on väär. Operaatorit nimetame olemasolukvantoriks.

Definitsioon. Kolmikut nimetame I järku keele signatuuriks. Kehtib seos

. Et signatuuri abil oleks võimalik vähemalt ühe väite formuleerimine, siis .

Definitsioon. Termid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi

1. Iga indiviidmuutuja on term. (Indiviidmuutujad ei sõltu signatuurist)

5

2. Iga konstantmuutuja on term.

3. Kui on -kohaline funktsionaalsümbol ja on termid, siis on

term.

Termi, milles ei esine ühtki indiviidmuutujat, nimetatakse muutujateta termiks. Niisugune term on

koostatud ainult konstant- ja funktsionaalsümbolitest.

Definitsioon. Kui on -kohaline predikaatsümbol ning on termid, siis

on atomaarne valem.

Definitsioon. Signatuuri valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil

1. Kui on atomaarne valem, siis on valem.

2. Kui on valem, siis ka on valem.

3. Kui ja on valemid, siis ka , , ja on valemid.

4. Kui on valem ja on indiviidmuutuja, siia ja on valemid.

Predikaatarvutuses teeme samasugused kokkulepped nagu lausearvutuse valemite suhtes (sh tehete

prioriteet). Kvantorid loeme prioriteedilt võrdseks eitusega.

Definitsioon. Ütleme, et indiviidmuutuja esineb valemis seotult, kui ta asub mingi kvantori

mõjupiirkonnas, st osavalemit ja moodustavas valemis . Ülejäänud esinemisi nimetame

vabadeks.

Definitsioon. Valemit nimetatakse kinniseks, kui tema kõigi indiviidmuutujate kõik esinemised on

seotud.

Definitsioon. Olgu antud signatuur . Signatuuri -interpretatsiooniks nimetatakse

paari , kus on mingi mittetühi hulk, interpretatsioonikandja (objektide hulk) ning

interpreteeriv kujutis, mis

Igale konstantsümbolile , seab vastavusse mingi konstantsümboli hulgast .

Iga -kohalise funktsionaalsümboli teis. mingiks -kohaliseks funktsiooniks hulgal .

Iga -kohalise predikaatsümboli teis. mingiks -kohaliseks predikaatsümboliks hulgal .

Definitsioon. Termi väärtus -interpretatsioonis vabade muutujate fikseeritud väärtustel leitakse

järgmiste reeglite abil

väärtuseks muutuja väärtus, on indiviidmuutuja.

( )

Definitsioon. Predikaatarvutuse valemi tõeväärtus -interpretatsioonis vabade muutujate fikseeritud

väärtustel leitakse järgmiste reeglite abil

, kus on loogiline tehe.

( ) , kui ( – ’i väärtuseks loetakse ).

( ) , kui ( – ’i väärtuseks loetakse ).

6

Definitsioon. Interpretatsiooni , milles valem on tõene oma vabade muutujate kõikidel

väärtustustustel nimetakse valemi mudeliks.

Definitsioon. Interpretatsiooni nimetatakse valemite hulga mudeliks, kui ta on iga

selle hulga valemi mudeliks.

Definitsioon. Kui valemi interpretatsioon ja predikaat on vabade muutujate kõigil väärtustel

sama tõeväärtusega, siis ütleme, et valem väljendab predikaati .

Näide. Olgu signatuur , interpretatsiooni kandja on naturaalarvude hulga

kõikvõimalikud alamhulgad, kusjuures ainsat funktsionaalsümbolit interpreteerime standardselt.

Olgu predikaat , mis väljendab väidet „hulkade ja ühend on “. Predikaati

väljendavaks valemiks sobiks nt

( )

Definitsioon. Predikaatarvutuse valemit nimetatakse samaselt tõeseks, kui ta on tõene igas

interpretatsioonis oma vabade muutujate kõikidel väärtustel. Tähistame . Nt.

Definitsioon. Predikaatarvutuse valemit nimetatakse samaselt vääraks, kui ta on väär igas

interpretatsioonis oma vabade muutujate kõikidel väärtustel. Nt.

Definitsioon. Predikaatarvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on tõene vähemalt ühes

interpretatsioonis vabade muutujate mingitel väärtustel.

Teoreem. Curchi teoreem. Predikaatarvutuse mittelahenduvuse teoreem. Pole olemas algoritmi,

mis suvalise predikaatarvutuse valemi puhul suudaks kindlaks teha, kas valem on samaselt tõene või

mitte. (Interpretatsioone on lõpmata palju).

Definitsioon. Ütleme, et valemitest järeldub valem , kui igas interpretatsioonis valemite

vabade muutujate väärtustel, kus valemid on tõesed, on ka valem tõene.

Definitsioon. Ütleme, et predikaatarvutuse valemid ja on samaväärsed, kui nende tõeväärtused

on võrdsed igas interpretatsioonis kõikidel vabade muutujate väärtustel.

Aksiomaatilistes teooriates valime teatud hulga väiteid, mida nimetame aksioomideks ja mida loeme

kehtivaks ilma tõestamata (mitteformaalsed aksiomaatilised teooriad). Kõik ülejäänud väited tõestame

aksioomidest lähtuvalt. Tänapäeval on aksioomid enamasti definitsiooni rollis, st fikseeritakse teatud

objektide klass, kus aksioomid kehtivad, väitmata midagi aksioomide ja materiaalse maailma vaheliste

seoste kohta. Formaalsetes aksiomaatilistes teooriates määratleme täpselt laused, mida loeme

aksioomideks ja sammud, mida lubatakse teoreemide tõestamisel teha.

Definitsioon. Formaalse aksiomaatilise teooria ülesehituse skeem

1. Fikseerime tähestiku ning anname valemi definitsiooni

2. Osa valemeid loeme aksioomideks, need loeme tõeseks tõestamata.

3. Fikseerime lõpliku hulga tuletusreegleid kujul

mis lubavad valemitest vahetult tuletada valemi .

7

Definitsioon. Tuletuseks ehk formaalseks tõestuseks nimetatakse valemite jada , milles iga

valem on kas aksioom või saadud mingi tuletusreegliga mõnedest temale eelnevatest valemitest.

Definitsioon. Valemit nimetatakse tuletatavaks, kui leidub tuletus, mille viimane liige on .

Valemitele tähenduse andmiseks kasutame semantikat. Lausearvutuse valemite puhul määrab nt iga

lausemuutujate väärtustus ühe semantika.

Definitsioon. Aksiomaatilist teooriat nimetatakse semantika suhtes korrektseks, kui iga teoorias

tuletatav valem on semantikas tõene.

Definitsioon. Aksiomaatilist teooriat nimetatakse semantika suhtes täielikuks, kui iga semantikas

tõene valem on teoorias tuletatav.

Definitsioon. Sekventsiaalne lausearvutus. Gentzeni-tüüpi aksiomaatiline süsteem.

1. Tuletatavateks objektideks on sekventsid, need on avaldised kujul

Kus on lausearvutuse valemid, mis ei sisalda ekvivalentsi.

2. Aksioomid on sekventsid

Kus on mingi lausearvutuse valem ning ja tähistavad suvalisi valemite järjendeid, sh ka

tühje.

3. Tuletusreeglid on järgmised

Paremale sissetoomise reegel Vasakule sissetoomise reegel või paremalt

eemaldamise reegel

Sekventsiaalses lausearvutuses on tuletus, mitteformaalselt, sekventside jada, kus järjekordse sekventsi

saamiseks viidatakse tuletusreeglile ja sobivatele eespool asetsevatele sekventsidele.

Definitsioon. Sekventsi valemkujuks nimetatakse valemit kui

ning valemit , kui .

8

Teoreem. Korrektsuse teoreem. Kui sekvents on tuletatav, siis tema valemkuju on

samaselt tõene.

Tõestus.

Idee: tõestame induktsiooni abil tuletuspuu struktuuri järgi, ülalt-alla, näitame, et kõikide

sekventside valemkujud on samaselt tõesed.

Induktsiooni baas: Iga aksioomi valemkuju on samaselt tõene.

Induktsiooni samm: Iga tuletusreeglis iga rakenduse kohta kehtib: kui ülemiste sekventside

valemkujud on samaselt tõesed, siis ka alumiste sekventside valemkujud on samaselt tõesed.

Baasi tõestus: On tarvis näidata, et valemkuju on samaselt

tõene. Kui , siis on implikatsiooni vasak pool väär, ning seega on valem tõene. Kui aga

, siis on implikatsiooni parem pool tõene, ning seega ka valem tõene.

Sammu tõestus: Tõestame iga reegli kohta eraldi. Eeldame, et joonepealse(te) sekventsi(de)

valemkuju(d) on samaselt tõene(-sed).

a. Implikatsiooni paremale sissetoomise reegel.

Eeldame, et valemkuju on samaselt tõene. On tarvis näidata,

et ka sekventsi on samaselt tõene.

Oletame vastuväiteliselt, et mingil väärtustusel kehtib, et valem

on väär. Implikatsiooni omadustest saame, et

sellel väärtustusel on tõene ning on

väär. Viimasest implikatsiooni omaduste kohaselt, et ning

. Tulemus ütleb, et sellisel väärtustusel on joonepeale sekvents

väär, mis aga on vastuolus eeldustega.

b. Implikatsiooni paremalt eemaldamise reegel. MP.

Induktsiooni eelduse kohaselt on valemkujud ,

samaselt tõesed.

Oletame vastuväiteliselt, et mingil väärtustusel kehtib, et valem

. Viimasest saame, et sellel väärtustusel

ja . Nüüd kui

, siis saame vastuolu esimese eeldusega, kui aga , saame vastuolu

teise eeldusega.

Teiste reeglite tõestamisel toimime analoogselt.

Definitsioon. Aksiomaatilist teooriat T nimetatakse vasturääkivaks, kui leidub selline valem F, et

teoorias T on tuletatavad sekventsid ja . Vastasel korral nimetatakse teooriat T

mittevasturääkivaks.

9

Teoreem. Mittevasturääkivuse teoreem. Sekventsiaalne lausearvutus on mittevasturääkiv.

Tõestus. Oletame vastuväiteliselt, et leidub selline valem F nii, et sekventsid ja on

tuletatavad. Korrektsuse teoreemi põhjal peavad tuletatavate sekventside valemkujud olema samaselt

tõesed. See tähendab, et valemite ja peavad olema samaselt tõesed, mis aga on võimatu.

Täielikkuse teoreemi põhilemma. Sisaldagu loend kõiki muutujaid, mis esinevad valemis A

ja olgu väärtustus, siis on tuletatav sekvents

.

Tõestus.

Idee: Tõestame induktsiooni abil valemi ehituse järgi.

Baas: Kui on lausemuutuja, siis PL väide kehtib kohta.

Samm:

a. Kui ja PL kehtib kohta, siis ta kehtib ka A kohta

b. Kui ( on loogiline tehe, v.a ekvivalents) ja PL väide kehtib ja

kohta, siis ta kehtib ka kohta.

Baasi tõestus: Olgu lausemuutuja , vaatleme väärtustusi

1. . PL kohaselt peab olema tuletatav , st , see on aga

aksioom.

2. . PL kohaselt peab olema tuletatav , st , see on

aga aksioom.

Sammu tõestus:

a. Sisaldagu muutujaid ning olgu väärtustus . Induktsiooni

eelduste kohaselt PL väide kehtib kohta, seega on tuletatav

. Vaatleme juhte

1. , siis on tuletatav

. On vaja tõestada,

et on tuletatav

st

.

2. , siis on tuletatav

. On vaja

tõestada, et on tuletatav

. Et , siis on viimane

sekvents tuletatav induktsiooni eelduste põhjal.

b.

Vaatleme väärtustust . Eeldame, et PL kehtib ja kohta. Seega on

tuletatavad

ja

. On vaja tuletada

.

1. Olgu , siis ja .

10

2. Olgu , siis ja/või .

a) Olgu siis . Induktsiooni eelduste põhjal on tuletatav

. On vaja tuletada

.

b) Kui , analoogne eelmisega.

c.

Vaatleme väärtustust . Eeldame, et PL kehtib ja kohta. Seega on

tuletatavad

ja

. On vaja tuletada

.

1.Olgu , siis ja/või .

a) Olgu . Induktsiooni eelduste põhjal on tuletatav

. On vaja tuletada

.

b) Kui , analoogne eelmisega.

2.Olgu , siis ja .

Induktsiooni eelduste kohaselt on tuletatavad

ja

. On vaja tuletada

.

d.

Vaatleme väärtustust . Eeldame, et PL kehtib ja kohta. Seega on

tuletatavad

ja

. On vaja tuletada

.

1. Olgu ,

a) olgu . Induktsiooni eelduste kohaselt on tuletatav

11

b) olgu . Induktsiooni eelduste kohaselt on tuletatav

.

2. Olgu , siis ja .

Induktsiooni eelduste põhjal on nüüd tuletatavad

ja

.

On tarvis tuletada

ehk

.

Teoreem. Täielikkuse teoreem. Kui sekventsi valemkuju on samaselt tõene, siis

sekvents on tuletatav.

Tõestus. Sisaldagu muutujaid , ning kui on samaselt tõene, siis korrektsuse teoreemi

põhjal on iga väärtustuse korral tuletatav

. Samuti kui võtta või

on vastavalt ka

ja

tuletatatavad.

Näitame, et on tuletatav

.

Võime korrata analoogset tuletuskäiku, igal korral vasakust poolest eeldusi eemaldades, kuni saame,

et on tuletatav. Sellega tõestasime teoreemi juhu jaoks.

Tõestame teoreemi juhu jaoks. Et sekventsi valemkuju on samaselt tõene, siis

tõestuse esimese poole põhjal on tuletatav . Siis on ka sekvents

tuletatav:

Järeldus. Sekventsiaalses lausearvutuses on tuletatavad parajasti need sekventsid, mille valemkuju on

samaselt tõene.

12

Definitsioon. Predikaatarvutuse samaväärsused.

1. Kvantori ja eituse vahetamisseadus

2. Kvantorite distributiivsus

( )

( )

3. Kui indiviidmuutuja ei esine valemis vabalt, siis

4. Kui indiviidmuutuja ei esine valemis vabalt, siis

Kui indiviidmuutuja ei esine valemis vabalt, siis

( ) ( )

5. Seotud muutujate ümbernimetamine

kus ei esine valemis .

6. Samaliigiliste kvantorite kommutatiivsus

Samaväärsuste põhjendused: (Kui Eeldus ja väide , siis kaudne – vastuväiteline)

1a) Eeldame, et fikseeritud interpretatsioonis , siis . Seega tähendab, et ei

kehti, et Seega leidub selline , et , siis aga

. Arvestades olemasolukvantori definitsiooni, saame viimasest, et .

Teiselt poolt: eeldame, et interpretatsioonis I , siis aga peab leiduma selline , et

. Mis aga omakorda tähendab, et ehk .

2a) Eeldame, et ( ) ning näitame, et ka . Konjunktsiooni

tõesuse näitamiseks piisab näidata, et mõlemad liikmed on tõesed.

a)

Valime põhihulgast suvalise elemendi , eosest

( ) , saame, et , millest

. Et m on suvaline põhihulga element, siis järelikult

.

b)

Analoogselt eelmisega.

Eeldame nüüd, et , millest ja . Valime põhihulgast

suvalise elemendi , siis ja , millest . Et oli suvaline

element, siis ( ) .

13

2b) Eeldame, et ( ) , näitame, et Valime põhihulgast ,

siis . Kui , siis , kui aga , siis .

Kokkuvõtvalt, .

Teistpidi, eeldame, et , näitame, et ( ) . Kui selles valemis

, siis järelikult leidub põhihulgas selline , et ning seega

. Sama saame näidata teise liikme kohta. Kokkuvõtvalt ( ) .

4a)

4c) ( ) ( )

4d) Analoogselt eelmisega

Olgu ning – on paaris arv, – on paaritu arv. Siis

( )

Analoogne interpretatsioon sobib ka eksistentsikvantori ja konjunktsiooni kohta.

Teoreem. Iga predikaatloogika valemi saab viia prefikskujule:

Kus on kvantor, seotud muutujad ja esialgsed vabad muutujad.

Tõestus. Kõik kvantorid saame predikaatloogika samaväärsuste abil ette tuua.

Valemi prefikskujule viimine.

1. Elimineerime implikatsioonid ja ekvivalentsid kasutades samaväärsusi

ja

2. Viime eitused kvantorite alla. Kahekordsed eitused jätame ära.

3. Nimetame seotud muutjad ümber nii, et iga kvantor seoks erinevat muutujat ja et ükski kvantor ei seoks muutujat, mis esineb kuskil vabalt.

4. Kasutades predikaatloogika samaväärsusi ja disjunktsiooni / konjunktsiooni kommutatiivsust

toome kvantorid osavalemite eest valemi ette.

Näide:

( )

14

Definitsioon. Gentzeni-tüüpi predikaatarvutus.

1. Tuletatavateks objektideks on sekventsid, need on avaldised kujul

Kus on predikaatarvutuse valemid, mis ei sisalda ekvivalentsi.

2. Aksioomid on sekventsid

Kus on mingi lausearvutuse valem ning ja tähistavad suvalisi valemite järjendeid, sh ka

tühje.

3. Tuletusreeglid on kõik lausearvutuse tuletusreeglid ja järgmised kvantorreeglid

Paremale sissetoomise reegel Vasakule sissetoomise reegel

* - muutuja x ei tohi vabalt esineda sekventsi üheski teises valemis.

Üldisusekvantori paremale sissetoomise reeglis garanteerib tingus *, et eelduses olevate valemite

tõeväärtus jääb muutuja erinevatel väärtustel samaks.

Korrektsuse teoreem I järku a. teooriates. Kui sekvents on tuletatav I. Järku teoorias , siis

tema valemkuju on tõene omaaksioomide kõikides mudelites.

Mittevasturääkivuse teoreem I järku a. teooriates. Kui teooria omaaksioomidel leidub mudel, siis

on mittevasturääkiv.

Täielikkuse teoreem I järku a. teooriates. Kui sekventsi valemkuju on tõene teooria

omaaksioomide kõikides mudelites, siis on teoorias tuletatav.

Churchi tees. Iga algoritmiliselt arvutatav funktsioon on arvutatav Turingi masina abil.

Turingi masinate abil saab tõestada negatiivseid tulemusi (ei leidu algoritmi), kirjeldada

aksiomaatiliste teooriate võimalusi, kirjeldada arvutuste ja algoritmide keerukust, üles ehitada

konstruktiivse matemaatilise analüüsi.

Definitsioon. Algoritmiks nimetame eeskirja, mis määrab teatavat liiki ülesannete lahendamiseks

vajalikud operatsioonid ja nende järjekorra.

Definitsioon. Turingi masin koosneb

Lindist

Lugev-kirjutav pea

Sisemälu

Tabel

15

Lint mõlemas suunas lõpmatu, jagatud ühesugusteks pesadeks. Igas pesas, igal ajamomendil, võib olla

kirjutatud üks sümbol lõplikust tähestikust või tühik ( ).

Lugev-kirjutav pea asub igal momendil mingi pesa juures. Sisemälu on igal ajamomendil ühest

lõplikust arvust sümbolitest . Sealjuures on passiivne seisund ning algseisund.

Tabel koosneb käskudest , kus

(tähestiku sümbol, või tühik)

(Passiivsele seisundile vastavat käsku ei ole)

Käsu toimumine: Kui ajamomendil on pea sümboli kohal, ning seisund on , siis asemele

kirjutatakse ning masin läheb seisundisse ning pea liigub vasakule ( ), paremale ( ) või jääb

paigale ( ).

Iga paari jaoks on tabelis 1 või 0 käsku. Masin alustab seisundist ning töötab seni, kuni

läheb passiivsesse seisundisse või kuni paarile ei vasta käsku. Aeg on diskreetne, iga arvutus on

sama pikk.

Definitsioon. Komplekti, mis koosneb lindi lahtrite sisust ja pea asukohast, nimetatakse

konfiguratsiooniks.

Definitsioon. Olgu Turingi masin , mille tähestik koosneb sümbolitest . Selle masina poolt

arvutatavaks -kohaliseks funktsiooniks on , kui arvutus, mis algab

konfiguratsiooniga (pea asub viimase argumendi alguses)

lõpeb konfiguratsiooniga (pea asub viimase väärtuse alguses)

või määramata muudel juhtudel, mis on

Masin töötab lõpmatult

Masin lõpetab töö, kuid lindil on teistsuguse kujuga sõna

Masin lõpetab töö, lindil on õige kujuga sõna, kuid pea on vales kohas.

Definitsioon. Funktsiooni nimetatakse Turingi masina mõttes arvutatavaks, kui leiduvad Turingi

masin ja naturaalarv , nii et .

Käskude kirjeldamiseks kasutame loenduva hulga sümboleid, järelikult on ka masinaid loenduv hulk,

seega on ka Turingi masinate mõttes arvutatavaid funktsioone loenduv hulk. Et aga hulk on

kontiiniumi võimusega, siis leidub mittearvutavaid funktsioone, kusjuures viimaseid on isegi rohkem,

kui arvutatavaid.

Definitsioon. Turingi masinat M nimetatakse masinate ja kompositsiooniks, kui iga

algkonfiguratsiooni korral kehtib võrdus .

16

Teoreem. Igasuguste ja korral, saab nende masinate tabelite järgi alati koostada

kompositsioonmasina tabeli.

Tõestus.

1. Kirjutame üksteise alla ja tabeli, kusjuures võtame ja tähestike ühendi.

2. Laiendame ja tabeli tühjade kohtade peale need sümbolid, mida neis endis ei ole, kuid

ühendis on.

3. Nendel juhtudel, kus lõpetab töö, asendame käsuga , kus on

masina algseisund.

4. Iga masina tühja lahtrisse kirjutame käsu, mis viib masina algseisundisse

( ).

Definitsioon. Olgu Turingi masinal kaks passiivset seisundit ja

. Masinat nimetatakse

masinate ja hargnemiseks masina järgi, kui iga algkonfiguratsiooni X korral

{

( )

( )

Teoreem. Suvaliste Turingi masinate järgi saab konstrueerida hargnemise tabeli ( ja

hargnemine masina järgi)

Tõestus. Kirjutame masinate tabelid üksteise järele, asendame kõik seisundid masina esimese

seisundiga ja kõik seisundid masina esimese seisundiga.

Definitsioon. Turingi masina käsu Gödeli numbriks loeme arvu

kus on 1,2 või 3 vastavalt sellele, kas on , või .

Et iga naturaalarvu esitus algarvude korrutisena on üheselt määratud, siis on ka iga käsu number

üheselt määratud. Seega saame käsu Gödeli numbri abil iga käsu üheselt taastada. Leidub arve, mis ei

ole ühegi käsu Gödeli numbriks, nt 13. (Põhjused otse definitsioonist).

Definitsioon. Nummerdame Turingi masina käsud vasakult paremale, ülalt-alla. Turingi masina

Gödeli numbriks loeme arvu

kus on käsk, -nda käsu Gödeli number, -s algarv. Leidub arve, mis ei ole ühegi Turingi

masin Gödeli numbriks.

Definitsioon. Tihendatud Gödeli numeratsioon. Olgu vähima Gödeli numbriga Turingi masin, ning

iga korral vähima Gödeli numbriga Turingi masin, mis ei kuulu hulka .

17

Definitsioon. Ütleme, et Turingi masin lahendab omadust , kui tema poolt arvutatav ühe muutja

funktsioon on

{

Definitsioon. Turingi masinat nimetatakse eneselerakendavaks, kui ta peatub sisendargumendil .

Definitsioon. Algoritmi iseloomustab

Massilisus – algoritmi saab rakendada suvalisele antud klassi ülesandele

Determineeritud – arvutusprotsess on üheselt määratud eeskirjaga

Resultatiivsus – kõigi antud klassi kuuluvate andmete korral saadakse tulemus