Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System). Antrian M/M/1. Dalam antrian M/M/1: Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov) Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov) Hanya ada satu server Disiplin antrian: FIFO Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

  • Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

  • Antrian M/M/1Dalam antrian M/M/1:Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov)Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov)Hanya ada satu serverDisiplin antrian: FIFOAntrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:

  • Analisa antrian M/M/1Misalkan Pn( t ) menyatakan peluang adanya n customers di dalam antrian pada waktu tPeluang adanya n customers pada waktu t+t dinyatakan sebagai berikut bila t kecil:Pn( t + t )= Pn( t )[(1t)(1t )+ t t ] + Pn 1( t ) [ t ( 1 t ) ] + Pn + 1( t ) [ t ( 1 t ) ]= [1( + )t]Pn(t)+t Pn1(t) + t Pn+1( t ) (orde keduat2 diabaikan)

  • Persamaan tadi merupakan differential-difference equationJika kita hanya memperhatikan nilai stasioner Pn(t), yang dinyatakan oleh Pn , faktor waktu dapat dihilangkan dan persamaan-perbedaan (difference equation) berikut dapat diperoleh :( + )Pn = Pn 1+ Pn + 1Ini merupakan suatu homogenous second-order difference equationMetoda standard untuk penyelesaiannya adalah dengan mengasumsikan bahwa bentuk solusinya adalah Pn= An Maka kita memperoleh hasil berikut P0 = A0 =A, sehingga kita dapatkan Pn= P0nDengan substitusi, dapat dinyatakan sebagai /Dengan demikian, solusinya adalah Pn =P0n dimana = /

  • Untuk menentukan P0, kita nyatakan bahwa

    maka akan diperoleh P0 sama dengan (1)Akhirnya distribusi probabilitas kondisi (state probability distribution of) antrian M/M/1 diperoleh sebagai berikut:Pn=(1 )n, < 1Peluang tidak ada customer di dalam sistem adalah sama dengan P0=(1 ), maka peluang sistem sibuk adalah 1P0=, Ini merupakan alasan mengapa dinyatakan sebagai utilisasi sistem antrian M/M/1

  • Ukuran antrian rata-rata dapat dihitung sebagai berikut := n

  • Analisa menggunakan diagram kondisiMisalnya jumlah customer di dalam sistem pada waktu t adalah N(t)Pada awalnya tidak ada customer, maka N(0) = 0Ketika suatu customer bergabung dengan antrian, nilai N(t) naik 1Setelah suatu customer meninggalkan antrian, nilai N(t) turun 1Jumlah N(t) menyatakan kondisi (state) sistemJika sistem diamati satu kali setiap t, sistem hanya akan berubah dari suatu kondisi ke kondisi terdekat dari suatu pengamatan yang berurutan, karena jumlah customers hanya dapat memiliki kemungkinan berikut :Akan sama, atauNaik 1, atauTurun 1

  • Transisi kondisi (state transition) untuk antrian M/M/1 dikenal sebagai suatu birth-death process:Perhatikan bahwa pada diagram di atas, transisi ke kondisi yang sama telah diabaikan karena transisi seperti ini tidak mempengaruhi hasil yang akan kita peroleh untuk sistem antrian yang akan kita diskusikan

  • Kesetimbangan aliran (flow balancing)Diasumsikan bahwa sistem antrian akan menjadi setimbang setelah beberapa saatDalam kondisi setimbang, peluang untuk memasuki suatu kondisi akan sama dengan peluang untuk meninggalkan kondisi tersebutIni merupakan konsep kesetimbangan aliran (flow balancing) dan diilustrasikan dalam diagram berikut ini (aliran pada state yang diberi lingkaran elips (aliran masuk/keluar kondisi n) adalah setimbang):

  • Persamaan berikut dapat diperoleh :Memasuki kondisi n: Pn1 + Pn+1Keluar dari kondisi n : ( + )PnDengan menggunakan kesetimbangan aliran, kita dapatkan( + ) Pn = Pn 1 + Pn + 1Yang sama dengan persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya

  • Kondisi kesetimbangan aliran akan memberikan :Pn = Pn+1, atauPn+1 = Pn , untuk n = 1, 2, Solusi untuk persamaan ini adalah Pn = n P0Dan hasil serupa akan diperoleh seperti yang sudah kita dapat sebelumnya

  • ThroughputThroughput, , dari suatu sistem antrian adalah jumlah customer rata-rata yang telah dilayani, atau keluaran dari antrian, per satuan Pada antrian M/M/1, dengan adanya buffer yang berukuran tak terhingga, maka buffer tidak akan pernah overflows sehingga setiap job dapat dilayani Dengan demikian, throughput adalah sama dengan laju kedatangan rata-rata yaitu =

  • Throughput dapat pula dihitung dengan cara menganalisa serverPeluang bahwa server pada antrian M/M/1 idle adalah P0, maka prosentase waktu dimana server sibuk adalah 1P0Ketika sibuk, server menyelesaikan pelayanan dengan rate jobs/detik, maka laju rata-rata penyelesaian tugas server (laju ini sama dengan throughput), adalah = (1P0)Untuk antrian M/M/1, P0 = 1 , sehingga = (1P0)= = / = (hasil yang sama telah kita peroleh)

  • Analisa delay untuk antrian M/M/1Biasanya pengetahuan tentang delay sistem diperlukan Delay biasa disebut juga waktu respons (response time)Delay adalah total waktu yang dihabiskan customer di dalam sistem, meliputi waktu menunggu (waiting time) dan waktu pelayanan (service time)Bila kita nyatakan waktu menunggu sebagai W dan waktu pelayanan sebagai S maka delay (bila kita nyatakan sebagai D) adalah : D = W+SDelay rata-rata ditentukan dengan menerapkan teorema Little

  • Teorema LittleJumlah job rata-rata n di dalam sistem antrian pada kondisi steady-state adalah sama dengan perkalian laju kedatangan rata-rata dengan delay rata-rata , yaitu

  • Untuk antrian M/M/1, kita telah peroleh bahwa

    Dengan menerapkan teorema Little kita peroleh:Dimana adalah delay rata-rataMaka delay rata-rata dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:Karena dan memiliki satuan jobs per satuan waktu, maka unit time, memiliki satuan waktu (time) per job, misalnya detik/job, atau menit /job dsb.

  • Menghitung waktu tunggu rata-rata (waiting time)Ingat D = W + S, maka W = D-SDengan demikian :

  • Bila yang diketahui adalah kecepatan link dan panjang paket rata-rata maka perhatikan slide-slide berikut ini

  • Customer = paket = laju kedatangan paket (packet arrival rate) (packets per time unit)L = panjang paket rata-rata (data units)server = link, tempat menunggu = bufferC = kecepatan link (data units per time unit)Waktu pelayanan = waktu transmisi paket rata-rata (packet transmission time)1/ = L/C = waktu transmisi paket rata-rataDefinisi: traffic load merupakan perbandingan antara laju kedatangan (arrival rate) dengan waktu pelayanan (service rate) = C/L:

  • ContohMisalkan ada sebuah link di antara dua paket. Asumsikan bahwa:Rata-rata ada 10 paket baru yang datang di dalam satu detikPanjang paket rata-rata adalah 400 bytes,danKecepatan link adalah 64 kbpsMaka traffic load adalah

    Jika kecepatan link dinaikkan menjadi 150 Mbps, maka load hanya sebesar:

  • Analisa TeletrafficKapasitas sistemC = kecepatan link yang dinyatakan di dalam kbpsTraffic load = Laju kedatangan paket yang dinyatakan di dalam packet/s (anggap sebagai suatu variable)L = panjang paket rata-rata di dalam satuan kbitsQuality of service (dari sudut pandang user)Pz = peluang suatu paket harus menunggu terlalu lama, yakni lebih lama dari waktu referensi zJika diasumsikan sistem merupakan sistem antrian M/M/1, yaitu:Kedatangan paket meruoakan proses Poisson (dengan rate )Panjang paket terdistribusi exponential dengan rata-rata LMaka hubungan kuantitatif antara ketiga faktor (kapasitas sistem,beban trafik dan quality of service) diberikan oleh rumus tunggu (waiting time formula) berikut:

    Catatan: Sistem hanya akan stabil bila < 1, bila tidak maka jumlah paket yang mengantri akan menuju tak terhingga

  • ContohAsumsikan bahwa paket datang dengan laju = 50 packet/s dan kecepatan link adalah C = 64 kbps. Maka peluang paket yang datang menunggu terlalu lama (Pz ) (yaitu lebih lama dari z = 0.1 s) adalah Panjang paket rata-rata di diasumsikan konstant sebesar 1 kbit

    Perhatikan bahwa sistem akan stabil karena:

  • Analisa antrian M/M/1 terbatasKita amati suatu antrian yang memiliki satu server dan R-1 buffersSehingga sistem dapat menangani maksimum R customersNilai kondisi adalah 0, 1, 2, ... R, dan diagram kondisinya adalah sebagai berikut:

  • Dengan menerapkan kesetimbangan aliran (flow balancing):Pn = nP0, n RUntuk menentukan P0, kita tahu bahwaMaka

  • Distribusi probabilitas kondisi diperoleh sebagai berikut:Perhatikan bahwa tidak perlu kurang dari 1Misalnya jika =1, maka Pn=P0 untuk semua n, sehingga

  • Blocking pada antrian M/M/1 yang terbatasJika suatu customer datang pada saat sudah terdapat R customers di dalam antrian, maka customer tersebut akan di blok (rejected)Untuk antrian M/M/1 yang terbatas dan hanya dapat melayani maksimum R customers, probabilitas blocking PB adalah sama dengan peluang bahwa pada antrian sudah terdapat R customers, yaitu.:Dapat dilihat bahwa jika , probabilitas blocking akan cepat menuju 1, yaitu hampir semua customer di-blok

  • ThroughputPerhatikan suatu sistem antrian dengan bloking yang umum berikut ini:Customers yang tidak di-blok akan berhasil masuk ke dalam antrianJumlah rata-rata customers yang tidak di-blok persatuan waktu ini adalah merupakan throughput g yaitu g = ( 1 PB )Dimana probabilitas blocking adalah PB, dan laju kedatangan adalah Jika kita amati server, maka throughput adalah: g = ( 1 P0 )

  • Untuk antrian M/M/1/R

    Maka throughput untuk antrian M/M/1/R dinyatakan oleh:

  • Antrian yang state-dependentPada beberapa sistem antrian, karakteristik kedatangan (arrival ) dan kepergian (departure) tidaklah tetapKarakteristik bisa tergantung pada kondisi sistemLaju kedatangan pada kondisi n = nLaju pelayanan pada kondisi n = nSolusi UmumUntuk memperoleh solusi umum bagi antrian yang state-dependent, kita dapat menerapkan prinsip flow balancing tetapi dengan laju kedatangan dan kepergian yang state-dependent

  • Perhatikan diagram berikut dan kita terapkan flow balancing pada state yang diberi elips:Persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut:( n + n ) Pn = n 1 Pn 1 + n + 1Pn + 1Atau untuk elips berikut :Persamaan kesetimbangan adalah sbb:n1Pn1 = nPn

  • Solusi umum adalah sbb:Yang dapat disederhanakan menjadi :

    Seperti bias