Sistemi sa više brzina

(Multirate)

Analogno-digitalna konverzija

• Nyquist-ovo odabiranje

• Nadodabiranje

• Pododabiranje

max2 ff sampling

Nadodabiranje

• Manje strogi zahtevi za anti-aliasing filtar

• Poboljšava se odnos signal/šum

B

B

Pz

Pz

FS

FS

Pododabiranje

• Najčešće je opseg signala koji je od interesa (u RF ili MF opsegu) mnogo manji od maksimalne frekvencije u signalu:

• Pododabiranje smanjuje ukupan broj odbiraka koji se obrađuju u procesoru:– “Štedi se” procesorsko vreme - mogu se

implementirati složeniji algoritimi

– Potrebno je manje memorije

1

22

n

FF

n

F lS

u

Pododabiranje

1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

14

16

Fu/B

Fs/B

1

2

31

22

n

FF

n

F lS

u

f

n=3

B/2 B/2

B

0 FSFl Fu

0-FS

n=1 n=2

f

n=3

B/2 B/2

B

0 FSFl Fu

0-FS

n=1 n=2

Sistemi sa više brzina

• Frekvencija odabiranja nije ista za ceo sistem

• Pojedinim delovima sistema odgovaraju različite frekvencije odabiranja

• Primeri:

– Digitalni deo savremenih radio prijemnika

– Konverzija između različitih standarda za audio aplikacije (na primer, 44100Hz i 48000Hz)

– CD

Sistemi sa više brzina

Osnovne operacije (blokovi) za promenu frekvencije odabiranja

• Downsampling – smanjuje frekvenciju odabiranja za celobrojni faktor M

• Upsampling – povećava frekvenciju odabiranja za celobrojni faktor L

Downsampling

• Downsampling sa faktorom M se realizuje tako što se zadržava svaki M-ti odbirak signala a ostali se odbacuju

• Šematski se označava blokom:

mMxmy

Downsampling mMxmy

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

n

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

m

y1

y2

M=3;y1=x(1:M:end);y2=downsample(x,M);figure,subplot(2,1,1),stem(n,x);hold onstem(0:M:N-1,x(1:M:N),...),xlabel('n');subplot(2,1,2),stem(0:length(y1)-1,y1,...);hold onstem(0:length(y1)-1,y2,...),xlabel('m'),legend('y1','y2');

Upsampling

• Upsampling sa faktorom L se realizuje tako što se dodaje L nultih odbiraka između svaka dva odbirka signala

• Šematski se označava blokom:

ecina

LLmL

mx

my

,0

,...2,,0,

Upsampling

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

n

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

m

y1

y2

L=4;y1=zeros(L*length(x),1);y1(1:L:end)=x;y2=upsample(x,L);figure,subplot(3,1,1),stem(n,x),xlabel('n');subplot(3,1,2),stem((0:length(y1)-L)/(length(y1)-L)*(length(x)-1),y1(1:end-L+1),'MarkerFaceColor','g'),xlabel('n');subplot(3,1,3),stem(0:length(y1)-1,y1,...);hold onstem(0:length(y2)-1,y2,...),xlabel('m'),legend('y1','y2');

ecina

LLmL

mx

my

,0

,...2,,0,

Downsampling – spektralni domen

1

0

11 M

k

k

MMWzX

MzY

1

0

21 M

k

M

kj

j

S eXM

eY

MH

Ponovljene sklalirane replike

Uslov da nema preklapanja!!!

Downsampling – spektralni domen

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

X: 0.582

Y: 0.2972

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

x2=x(1:2:end);x3=x(1:3:end);x4=x(1:4:end);[X,w]=freqz(x,1,'whole');[X2,w]=freqz(x2,1,'whole');[X3,w]=freqz(x3,1,'whole');[X4,w]=freqz(x4,1,'whole');figure,subplot(4,1,1);plot(w/pi,abs(X));subplot(4,1,2);plot(w/pi,abs(X2));subplot(4,1,3);plot(w/pi,abs(X3));subplot(4,1,4);plot(w/pi,abs(X4));

Downsampling – spektralni domen

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1

0

21 M

k

M

kj

j

S eXM

eY

M=2

Upsampling – spektralni domen

ecina

LLmL

mx

my

,0

,...2,,0,

L

m

Lm

mLnn

n

m

m zXzmxzL

nxzmyzY

Ljj eXeY

Upsampling – spektralni domen

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

x2=upsample(x,2);x3=upsample(x,3);x4=upsample(x,4);[X,w]=freqz(x,1);[X2,w]=freqz(x2);[X3,w]=freqz(x3);[X4,w]=freqz(x4);figure,subplot(4,1,1);plot(w/pi,abs(X));subplot(4,1,2);plot(w/pi,abs(X2));subplot(4,1,3);plot(w/pi,abs(X3));subplot(4,1,4);plot(w/pi,abs(X4));

Kada operacije downsample i upsample mogu da zamene mesta?

• Kada su M i L uzajamno prosti

Osobine

Osobine

Decimacija

• Frekvencija odabiranja se smanjuje M puta

• Da ne bi bilo preklapanja u spektru, ulaznisignal se filtrira filtrom propusnikom niskihfrekvencija, granične frekvencije

MLP

Decimacija

0 5 10 15 20 25-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

f [kHz]

fft(

x)

[dB

]

originalni signal

posle filtriranja

decimiran signal

Interpolacija

• Frekvencija odabiranja se povećava L puta

• Replike u spektru se potiskuju tako što se signal na izlazu iz bloka za upsampling filtrirafiltrom propusnikom niskih frekvencija, granične frekvencije

LLP

Interpolacija

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

f [kHz]

fft(

x)

[dB

]

originalni signal

interpoliran signal

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

f [kHz]

fft(

x)

[dB

]

originalni signal

signal dopunjen nulama

Promena frekvencije odabiranja L/M puta

• Kombinacija interpolacije s faktorom L i decimacije s faktorom M

• Filtar propusnik niskih frekvencija granične frekvencije

LMLP

,min

Primeri ispitnih zadataka

Primer

Periodičan signal je diskretizovan sa frekvenijom odabiranja fS=16 Hz i dobijen je diskretan niz:

x[n]=1,0,-1,0,1,0,-1,0.• Direktnom primenom formule za izračunavanje DFT koeficijenata

odrediti spektar datog signala sa frekvencijskom rezolucijom od 2 Hz.

• Odrediti spektar signala x[n] sa frekvencijskom rezolucijom od 1 Hz. Za izračunavanje koristiti matricu transformacije WN.

• Odrediti spektar datog signala sa rezolucijom od 4 Hz primenom FFT algoritma sa razbijanjem po vremenu odgovarajuće dužine. Formirati dijagram toka FFT algoritma i na osnovu njega odrediti traženi spektar.

• Nacrtati i uporediti spektre dobijene u tačkama a) i c) i objasniti sličnosti i razlike.

Rešenje

8

Hz2

Hz16

N

N

ff

f

s

s

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

7

8

6

8

5

8

4

8

3

8

2

8

1

8

0

8

1

0

1

0

2

iW

iW

iW

W

iW

iW

iW

W

WnxenxkXN

n

nk

N

N

n

N

nkj

Re

Im

W80

W81

W87

W83

W85

W84

W82

W86

z ravan

Rešenje

41111

7654

32102

011

7654

32101

0

7654

32100

4

8

0

8

4

8

0

8

6

8

4

8

2

8

0

8

6

8

4

8

2

8

0

8

6

8

4

8

2

8

0

8

7

8

6

8

5

8

4

8

3

8

2

8

1

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

1

0

1

0

2

WWWW

WxWxWxWx

WxWxWxWxX

iiWWWW

WxWxWxWx

WxWxWxWxX

WxWxWxWx

WxWxWxWxX

WnxenxkXN

n

nk

N

N

n

N

nkj

Re

Im

W80

W81

W87

W83

W85

W84

W82

W86

z ravan

Rešenje

017

426

035

0

7654

32104

011

7654

32103

*

*

*

0

8

0

8

0

8

0

8

4

8

0

8

4

8

0

8

4

8

0

8

4

8

0

8

2

8

4

8

6

8

0

8

5

8

2

8

7

8

4

8

1

8

6

8

3

8

0

8

1

0

1

0

2

XX

XX

XX

WWWW

WxWxWxWx

WxWxWxWxX

iiWWWW

WxWxWxWx

WxWxWxWxX

WnxenxkXN

n

nk

N

N

n

N

nkj

Re

Im

W80

W81

W87

W83

W85

W84

W82

W86

z ravan

Rešenje

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

Rešenje

NNN xWX

11121

1242

12

1

1

1

1111

NN

N

N

N

N

N

N

NNN

N

NNN

N

WWW

WWW

WWW

W

16

Hz1

Hz16

N

N

ff

f

s

s

Rešenje

161616 xWX

116116

16

1162

16

15

16

1162

16

4

16

2

16

15

16

2

1616

1

1

1

1111

WWW

WWW

WWW

N

W

TN 0000000001010101 x

Rešenje

16

Hz1

Hz16

N

N

ff

f

s

s

38.092.0

2

2

2

2

92.038.0

92.038.08

3sin

8

3cos

2

2

2

2

4sin

4cos

38.092.08

sin8

cos

1

16

14

7

16

16

12

6

16

16

10

5

16

16

8

4

16

16

6

3

16

16

4

2

16

16

2

1

16

0

16

ieW

ieW

ieW

ieW

iieW

iieW

iieW

W

i

i

i

i

i

i

i

Rešenje

4

Hz4

Hz16

N

N

ff

f

s

s

x[0]

x[2]

x[1]

x[3]

W40

W41

W40

W40

-1

-1

-1

-1

X[0]

X[1]

X[2]

X[3]

Etapa 1 Etapa 2

0 00 00 0

1 01 10 2

2 10 01 1

3 11 11 3

Rešenje

12/

0

2/222/

12/

0

11 iN

m

mk

N

mk

N

N

m

WmxkXWmxkX

.

2/2/2

21

2

1

kXWkX

NkXWNkXNkX

k

N

Nk

N

X[k]X1[k]

X[k+N/2]X2[k]-1WN

k

kXWkXkX k

N 21

Rešenje

1

-1

0

0

1

-i

1

1

-1

-1

-1

-12

Etapa 1 Etapa 20

2

0

0

0

2

0

ieWj

4

2

1

4

Rešenje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Zadatak

• Na slici je prikazan niz X[k] dobijen FFT analizom niza {x[n]}. Niz {x[n]} dobijen je odabiranjem kontinualnog signala xc(t) u N=16 tačaka.

• Odrediti vremenski oblik signala xc(t) ako je poznato da je frekvencija odabiranja fs=16 kHz.

• Odrediti signal {x[n]}.• Nacrtati i objasniti blok šemu FFT algoritma za N=8.• Na osnovu šeme pokazane pod c) odrediti FFT za prvih N=8 elemenata niza {x[n]}.

• Da li se spektar dobijen pod d) razlikuje u odnosu na spektar dat u postavci zadatka? Odgovor obrazložiti.

Zadatak

0 5 10 15

0

8

16

k

Rea

l(X

[k])

0 5 10 15

-8

0

8

k

Imag

(X[k

])

0 5 10 150

8

16

|X[k

]|

k

Rešenje

0 5 10 15

0

8

16

k

Rea

l(X

[k])

0 5 10 15

-8

0

8

k

Imag

(X[k

])

0 5 10 150

8

16

|X[k

]|

k

Rešenje

1 2

0

1 2 3

1 1

12 2 1 1 2

23 3 1 1 3

, 0,1, 1

cos 2 cos 2

cos 2 sin 2

nkN jN

n

s

s

X k x n e k N

x n x n x n x n

x n A

fx n A f n T A n

f

fx n A f n T A n

f

Rešenje

close all

clear

fs=16000;

N=16;

t=(0:N-1)'/fs;

f1=1000;

f2=3000;

x=0.5+2*cos(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);

X=fft(x);

figure,subplot(3,1,1),stem(0:N-1,real(X));

ylabel('real(X)');

subplot(3,1,2),stem(0:N-1,imag(X));

ylabel('imag(X)');

subplot(3,1,3),stem(0:N-1,abs(X));

ylabel('abs(X)'); xlabel('n');

Zadatak

• Kontinualni signal se diskretizuje u cilju dalje obrade u digitalnom domenu. Poznato je da je spektar signala beskonačne širine, ali je opseg od interesa [20 Hz 4000 Hz].

• Nacrtati blok šemu realnog sistema za digitalnu obradu konitnulanih signala i objasniti ulogu svakog bloka.

• Za minimalnu potrebnu frekvenciju odabiranja fsmin, odrediti graničnu frekvenciju analognog predfiltra (anti-aliasing filtra). Nacrtati na istom grafiku (sa jasnom podelom na osama) spektre kontinualnih signala na ulazu i izlazu filtra i amplitudsku karakteristiku analognog filtra.

• Nacrtati spektar diskretnog signala na izlazu id A/D konvertora.• Ponoviti tačke b) i c) za slučaj kada je frekvencija odabiranja 4 puta

veća od fsmin.

Rešenje

Rešenje

Zadatak

• Na ulaz analizatora spektra dolazi signal u(t) efektivne vrednosti Ueff=0.16V. Nivo maksimalne trenutne vrednosti signala je za 6 dBiznad nivoa efektivne vrednosti signala. Analizatorom spektra se u digitalnom domenu procenjuje spektar kontinualnog signala u(t). Ulazni opseg 12-bitnog A/D konvertora je 1V.

• Koliki je dinamički opseg signala na izlazu iz A/D konvertora u ovom slučaju?

• Ako se brojevi na izlazu A/D konvertora predstavljaju u komplementu dvojke u opsegu [-1,1) odrediti broj koji se dobija kada se na ulaz A/D konvertora dovodi odbirak koji odgovara maksimalnoj vrednosti signala u(t).

• Nacrtati blok šemu za spektralnu analizu signala na bazi DFT koeficijenta i objasniti ulogu svakog elementa.

• Definisati sve signale na ulazu i izlazu blokova na šemi u vremenskom i frekvencijskom domenu i njihove međusobne veze.

Rešenje

3198.02/2round

V32.010

6log20

1111

20

6

max

max10

xx

UU

U

U

q

eff

eff

Rešenje

• Pun opseg je 20log10(1/2(-11)) oko 66dB

• Od toga se koristi 20log10(0.32/2(-11)) oko 56 dB