Stedokolsk odborn innostObor SO: 1. Matematika a statistika

Grupy transformacAutor: Michal Punochkola: Gymnzium Jrovcova 8, . BudjoviceKraj: JihoeskKonzultant: Mgr. Lenka Zalabov, Ph.D.

esk Budjovice 2014

ProhlenProhlauji, e jsem svou prci SO vypracoval samostatn a pouil jsem pouze podklady

(literaturu, projekty, SW atd.) uveden v seznamu vloenm v prci SO.Prohlauji, e titn verze a elektronick verze soutn prce SO jsou shodn.Nemm zvan dvod proti zpstupovn tto prce v souladu se zkonem . 121/2000

Sb., o prvu autorskm, o prvech souvisejcch s prvem autorskm a o zmn nkterchzkon (autorsk zkon) v platnm znn.

V eskch Budjovicch dne . . . . . . . . . . . . podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podkovn pat Mgr. Lence Zalabov, Ph.D., kter m k tmatu pivedla a po celou dobu mposunovala sprvnm smrem. Dkuji j tak za cenn pipomnky k samotn prci.

AnotaceTato prce Vs provede vodem do grupy linernch zobrazen, jejch podgrup a pbuznch

geometri na relnch n-rozmrnch prostorech.

Klov pojmy: linern zobrazen; ortogonln grupa; komplexn slo; afinn zobrazen;projektivn transformace;

Obsahvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Popis prostoru pomoc vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Linern zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Grupa Gl(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Vlastnosti linernch zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Zachovn dlky a ortogonln grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Grupa rotac SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7. Rozbor SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8. Komplexn sla a rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9. Poznmka o tench prostorech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

10. Afinn zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

11. Dlc pomr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

12. Grupa afinnch zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13. Shodn zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

14. Poznmka o homogennch prostorech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

15. Pohled z vrchu na afinn geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

16. Projektivn zobrazen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

17. Projektivn prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

18. Poznmka o Kleinovch geometrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Bonus: Rekonstrukce projektivnho zobrazen v rovin pomoc ty bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

vodV tto prci se budu zabvat algebraickm popisem rznch geometri na n-rozmrnch pro-

storech pomoc grup transformac. Nahlen na body v prostoru jako na koncov body vektornm umouje ke geometrii pstupovat pomoc silnho nstroje linern algebry. Popisovat arealizovat transformace prostor pomoc matic je jednoznan nejvhodnj zpsob, jak tytotransformace reprezentovat v potai. Ve skutenosti to byla prv potaov grafika, dkykter m toto tma zaujalo, a kter m pimla pihlsit se do projektu Oteven vda a pozdjii sepsat tuto prci.

Jene matematika, kter za potaovou grafikou stoj, je mnohem vt ne jen prava fo-tografi a 3D animace. Napklad Euklidovsk grupa, kter obsahuje veker pohyby prostoru,m vyuit v klasick kinematice. Rozenm trojrozmrnho prostoru o dal dimenzi asu vedena sloitj fyzikln modely naeho svta. Na mysli mm konkrtn Minkowskho asoprostor,na kterm psob Lorentzova pp. Poincarho grupa, kter obsahuje veker transformace a-soprostoru zachovvajc fyzikln zkony odvozen ze speciln teorie relativity. Zaveden tohotogeometrickho pstupu k fyzice bylo zsadnm krokem umoujcm rozvinut Einsteinovy obecnteorie relativity. [1, s. 313]

Na druhou stranu zkoumn konench grup symetri m obrovsk uplatnn pi popisu jed-notlivch objekt, kter uritou symetrii vykazuj. Napklad krystalografie zkoum pomoc tchtogrup tvary krystal, lze tak popisovat tapetov vzory, ale tak tvary molekul v chemii. [2]

Jak je vidt, teorie grup transformac m a nepopsateln irok uplatnn a o rznch odvtva vyuit byla napsna spousta literatury. Jene jsem zatm neobjevil dn text, kter by tutoteorii popisoval od zklad a jednodue. Proto jsem se rozhodl, e sv nov nabyt znalostisepi jako jeden ucelen text slouc komukoli, kdo m o problematiku zjem, chce j rychlea jednodue porozumt a ihned bt schopen ji ve svm problmu uplatnit. Text se proto snavyhnout pracnm a dlouhm dkazm, odvolv se spe na intuici a k jeho ten nen teba omnoho vce ne stedokolskch znalost matematiky.

6

1. Popis prostoru pomoc vektorKd z bod n-rozmrnho prostoru x Rn lze jednoznan popsat jeho souadnicemi:

x = [x1, x2, . . . , xn]. Avak s jednotlivmi body nelze samo o sob nic dlat, a proto je vhodnjse na body dvat jako na vektory vedouc z potku [0, . . . , 0] do onoho bodu x: Bodu x tedyodpovd vektor x = (x1, . . . , xn). S vektory pak lze provdt dv operace. Prvn je stn dvouvektor, kter se provd setenm jednotlivch sloek: x + y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . yn) =(x1 + y1, . . . , xn + yn). Druhou operac je vynsoben skalrem R: x = (x1, . . . , xn) =(x1, . . . , xn).

Obrzek 1: Pouze body x, y Obrzek 2: Vektory x, y a jejich souet

Kdy vezmeme pmku p prochzejc potkem, tak pokud seteme libovoln v n lec dvavektory, dostaneme opt vektor lec na pmce p. A pokud libovoln vektor z p vynsobmejakmkoli slem, opt dostaneme vektor z t pmky.

Dky tmto vlastnostem je pmka tzv. vektorov podprostor (jinak t linern podprostor).Tot meme ci o libovoln rovin prochzejc potkem, libovolnm 3D prostoru prochzejcmpotkem, atd. Trivilnm podprostorem je potek samotn. Formln: Pro vektorov podprostorV Rn plat, e pro vechny vektory u,v V a R:

u+ v Vv V.

Dleit je si uvdomit, e z tto definice vyplv, e potek mus bt soust jakhokolilinernho podprostoru.

7

2. Linern zobrazenNyn se budeme zabvat transformacemi prostor Rn. Dobrm zkladem jsou linern zob-

razen, kter zobraz kad jeho vektorov podprostor na vektorov podprostor a zachov line-rn strukturu (operace stn vektor a nsoben vektor slem). Formln zapsno: Zobrazen : Rn Rn je linern, pokud pro vechna x,y Rn, R spluje:

(x+ y) = (x) + (y)

(x) = (x).

Linern zobrazen a nsoben maticemi je zce spjato a k tomuto faktu se dobereme nsle-dujcm postupem:

(x) = (x1e1 + x2e2 + + xnen),kde vektory e1, . . . , en jsou jednotkov vektory (1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1).

(x) = (x1e1) + + (xnen)= x1(e1) + + xn(en)

=((e1), . . . , (en)

)x1...xn

= A xZ toho plyne, e kad linern zobrazen vektor Rn Rn lze zapsat vynsobenm n n

matic A, jej sloupce tvo obrazy vektor e1, . . . , en. Je zejm, e matice A me obsahovatjakkoli hodnoty a tak jsme ztotonili mnoinu vech linernch zobrazen Rn Rn s mnoinouMn vech matic n n.

Velmi dleit je skldn zobrazen:

(2 1)(x) = 2(1(x)) = 2(A1 x) = A2(A1 x) = (A2A1) xZ toho vyplv, e sloen dvou linernch zobrazen je opt linern zobrazen a jeho zobrazo-

vac matici lze jednodue zskat vynsobenm (ve sprvnm poad) matic pvodnch zobrazen.

8

3. Grupa Gl(n)Podmnka zobrazen linernho podprostoru na linern podprostor je sice pkn, ale vbec

nezakazuje nap. cel prostor zobrazit do potku (trivilnho podprostoru), nebo promtnoutrovinu do pmky apod. Takovm zobrazenm se chceme vyhnout a uinme tak stanovenmpodmnky, e chceme zobrazit cel prostor na cel prostor. Tzn. aby pro kad vektor y existovalprv jeden vektor x, kter se na nj zobraz. Neboli, aby soustava A x = y mla pro kad yprv jedno een. To je ekvivalentn s podmnkou, e matice A je regulrn, neboli m nenulovdeterminant. Tm zskme mnoinu matic

Gl(n) = {A Mn | detA 6= 0}.

Nyn uki, e tato mnoina zobrazen je grupa s operac skldn zobrazen. Grupa je mnoinas operac, kter je asociativn, existuje v n jednotkov prvek a ke kadmu jejmu prvku existujeinverzn prvek. Vce o grupch mete najt v [3, s. 23].

Uzavenost na operaci nsoben funguje, protoe vynsobenm dvou tvercovch n-rozmrnchmatic A, B vznikne opt tvercov n-rozmrn matice A B a jej determinant bude opt ne-nulov, protoe plat det(AB) = detA detB a souin dvou nenulovch sel je opt nenulovslo. Asociativita vyplv z asociativnho zkona nsoben matic (AB)C = A(BC). Jako jed-notkov prvek tu funguje matice identity I, jej determinant je vdy roven jedn. Jako inverznprvek k matici A funguje jej inverzn matice A1 a ta existuje ke vem maticm s nenulovmdeterminantem.

Tmto jsem dokzal, e mnoina Gl(n) je grupou matic s operac nsoben.

9

4. Vlastnosti linernch zobrazenOb definin podmnky linernho zobrazen uruj, e potek se mus zobrazit na potek.

To rovnou vyluuje jakkoli posunut, avak s tmto problmem se lze vypodat pomoc tzv.afinnch zobrazen, kter tak tvo grupu a jsou rozenm linern grupy prv o posunut. Afinnzobrazen popi v kapitole 10.

Grupov podmnka detA 6= 0 zaru, e se libovoln linern podprostor zobraz na linernpodprostor stejn dimenze. Speciln pmka prochzejc potkem se zobraz opt na pmkuprochzejc potkem. Ale co pmky, kter potkem neprochzej? Sta si uvdomit, e vechnypmky lze vnmat, jako posunut pmky prochzejc potkem. Vechny body na pmce lzezapsat jako {p+ v | v V }, kde p je pevn bod, kter le na on pmce a v jsou vektory, ktertvo linern podprostor V . Pokud tuto pmku zobrazm, dostanu:

(p+ v) = (p) + (v).

Bod p se zobraz na jin bod p = (p) a linern podprostor vektor V se zobraz na linernpodprostor vektor V . Zobrazen pmka bude mt tedy tvar {p + v | v V }, co je optpmka. Toto odvozen plat pro vechny linern podprostory, take jakkoli rovina se zobrazzase na rovinu, trojrozmrn podprostor na trojrozmrn podprostor atp.

Obrzek 3: Pmka, jako posunut vektorov podprostor

Dle plat, e dv rovnobky (rovnobn pmky, roviny, . . . ) se zobraz na dv rovnobky.Ob rovnobky jsou jen jeden rzn posunut vektorov podprostor: p+ V = {p+ v | v V }a q + V = {q + v | v V }. Rovnobky se zobraz na (p+ V ) = (p) + (V ) a (q + V ) =(q) + (V ). Tedy opt rzn posunut spolen vektorov podprostor (V ).

10

Obrzek 4: Rovnobky, jako rzn posunut vektorov podprostor

11

5. Zachovn dlky a ortogonln grupaKdy u mme velkou obecnou grupu linernch zobrazen, tak meme vybrat jej podgrupy

urovnm podmnek, kter chceme, aby zobrazen splovala. Jednou z nejpirozenjch pod-mnek je, aby zobrazen zachovvalo dlku. Formln |(v)| = |v|, kde |x| =

x21 + + x2n.

Zachovn vzdlenosti od potku postauje na zachovn vech vzdlenost, protoe dlka sekyuv je rovna velikosti vektoru u v.

Avak zpis vzdlenosti pomoc odmocniny nen ideln, take definin podmnku upravm na|(v)|2 = |v|2. Souin |v||v| je roven skalrnmu souinu v v. Pipomeme, e klasick skalrnsouin dvou vektor je definovn jako

u v = u1v1 + u2v2 + + unvna plat pro nj

u v = |u||v| cos,kde je hel, kter vektory u, v svraj.

Pro zobrazen tedy mus platit |(u)| = |u| a |(v)| = |v|. Tedy:

|(u)||(v)| = |u||v|.

Zobrazen, kter zachovv dlky, zachovv automaticky i hly. Lze to jednodue vysvtlittak, e vechny trojhelnky se zobraz na trojhelnky o stejnch dlkch stran, tedy i o stejnchhlech mezi nimi. Proto bude hel mezi vektory u, v roven hlu mezi vektory (u), (v).

|(u)||(v)|cos

=|u||v|cos

(u) (v) = u vPodmnka zachovn dlky je tedy ekvivalentn s podmnkou zachovn skalrnho souinu. Na

skalrn souin lze nahlet jako na nsoben dvou matic:

u v = (u1 . . . un)v1...vn

.Zobrazovac matici tvo obrazy bzovch vektor e1, . . . , en. Pro n plat, e ei ei = 1,

protoe maj dlku 1. A pro dva rzn ei ej = 0, i 6= j, protoe jsou na sebe kolm (cos = 0).

12

Protoe chceme zobrazen, kter tyto skalrn souiny zachov, meme jej zapsat podmnkouAAT = I, protoe pesn tato rovnost reflektuje podmnku

(ei) (ej) ={

1 kdy i = j0 kdy i 6= j

Mnoinu zobrazen, kter zachovvaj dlku lze tedy zapsat:

O(n) ={A Gl(n) AAT = I} .

Snadno ovm, e se jedn o grupu. Uzavenost operace:

(AB)(AB)T = (AB)(BTAT ) = A(BBT )AT = AAT = I

Asociativita zstane z Gl(n). Identita do mnoiny stle pat, protoe IIT = I. A inverzetak zstane:

AAT = I(AAT

)1= I1(

A1)TA1 = I

A1(A1

)T= I

Protoe sloupeky jejch matic jsou na sebe kolm, nazv se ortogonln grupa.

13

6. Grupa rotac SO(n)Pokud zobrazen zachovvaj dlku (a tedy i hel), me se jednat pouze o otoen okolo

potku, nebo njakou soumrnost podle nadroviny prochzejc potkem. Jestli zobrazen jerotace nebo reflexe zvis na znamnku determinantu matice zobrazen. Pro ten plat:

AAT = I

det(AAT ) = det(I)

det(AAT

)= detA detAT = (detA)2 = 1

detA = 1.Grupa vech reflex existovat neme, protoe sloenm dvou reflex ji nen reflexe, ale njak

otoen. Avak samotn rotace grupu tvo, nazv se speciln ortogonln:

SO(n) = {A O(n) | detA = 1}Mnoina je na operaci skldn uzaven, protoe det(AB) = detA detB = 1. Identita:

det I = 1. Asociativita se zachov a na inverzi je mnoina uzaven, protoe

det(A1

)=

1

det(A)= 1.

14

7. Rozbor SO(2)Nyn podrobnji popi dvojrozmrn ppad specilnch ortogonlnch grup.

SO(2) ={A Gl(2) AAT = I, detA = 1}

=

{(a bc d

) (a bc d)(

a cb d

)=

(1 00 1

), ad bc = 1

}Vynsobenm AAT dostvm:(

a bc d

)(a cb d

)=

(a2 + b2 ac+ bdac+ bd c2 + d2

)=

(1 00 1

).

em soustavu:

a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1

ad bc = 1

a2 + b2 + c2 + d2 = 2ad 2bc(a d)2 + (b+ c)2 = 0

Z toho plyne a = d, b = c. Take definici mu pepsat na

SO(2) =

{(a bb a

) a2 + b2 = 1} .U zde je mon tuit, e promnn a, b maj nco spolenho s cosinem a sinem. Pro oven

si sta vzpomenout, e sloupce matice jsou zobrazen bzov vektory ( 10 ) a ( 01 ). Pomoc pra-vohlho trojhelnku se lze lehce pesvdit, kam se tyto vektory zobraz pi otoen o hel:

(10

)7(cossin

)(01

)7( sin

cos

)

15

Obrzek 5: Zobrazen vektor e1, e2

Take naposledy mu definici SO(2) pepsat jako:

SO(2) =

{(cos sinsin cos

) R} .Skldn otoen funguje podle oekvn podle goniometrickch vzorc se hly setou:(

cos sinsin cos

)(cos sin sin cos

)=

(cos( + ) sin( + )sin( + ) cos( + )

).

16

8. Komplexn sla a rotaceNyn se budu zabvat maticemi tvaru(

a bb a

)= a

(1 00 1

)+ b

(0 11 0

).

Oznam I1 = ( 1 00 1 ), Ii = (0 11 0 ). Jednoduchm vpotem:

I2i =

(0 11 0

)2=

(1 00 1

)= I1.

Zde je vidt analogie s komplexnmi sly. Matice(a bb a

)se chovaj pln stejn jako komplexn

sla pi stn i nsoben. Pokud matici A =(a bb a

)odpovd komplexn slo zA = a+ bi, tak

plat:

zA + zB = zA+B,

zA zB = zAB,z1A = zA1 ,

|zA|2 = detA.Komplexn sla lze zapsat i v goniometrickm tvaru pomoc hlu a vzlenosti:

z = |z|(cos + i sin).Nsoben pak probh nsledovn:

z1z2 = |z1||z2| (cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)) .Pokud m jedno z komplexnch sel absolutn hodnotu rovnu jedn, po vynsoben se druh

komplexn slo akort oto v komplexn rovin. Takov komplexn sla z = cos + i sinpedstavuj pesnou analogii s grupou matic SO(2). Komplexn sla v komplexn rovin vakumouj lep geometrick pohled. sla z tvo jednotkovou krunici S1 a spolu s nsobenmspeciln unitrn grupu SU(1). Tato grupa funguje nsledujcm zpsobem:

z z = z+,z1 = z,

zn = zn.

17

9. Poznmka o tench prostorechNelze si nevimnout vztahu mezi komplexnmi sly a jejich hly. Pi nsoben komplexnch

sel se hly staj, pi mocnn se hly nsob. Vypad to, jako kdyby byl mezi hlem a jehoodpovdajcm komplexnm slem exponenciln vztah.

Tento vztah je ve skutenosti exponenciln fuknce objeven Eulererm, kter zobraz imagi-nrn osu Ri na krunici S1:

i 7 ei = cos + i sin .Dky tomu nemusme zkoumat zakivenou krunici a nsoben komplexnch sel, ale pouze

rovnou pmku a stn relnch sel. Me se to zdt samozejm a zcela jasn, ale pi pechodudo vych rozmr tento pstup pin velik vhody.

Exponenciln funkci ex lze toti zobecnit pro vechna x z oboru tvercovch matic pomocTaylorova rozvoje:

exp(A) = eA = I +A

1!+A2

2!+A3

3!+ . . . .

A stejn, jako se lze dvat na pmku Ri jako na tenu ke krunici S1 v bod z0 = 1, memenalzt matice tenho prostoru ( 0 11 0 ) =

(0 0

)k maticm SO(2), splujc

exp

(0 0

)=

(cos sin sin cos

).

A obecn, pomoc zkoumn matic blzkch identit lze odvodit ten prostory matic SO(n)jako n n matice X splujc X +XT = 0.

Vce o tench prostorech se mete dost v [3].

18

10. Afinn zobrazenNyn se konen vypodme s posunutm nedostatkem linernch zobrazen. Zavedeme

zobrazen, kter budou sloenm linernch zobrazen s posunutm, a nazveme je afinn zobrazen.Funguj nsledovn:

(x) = A x+ v,kde matice A Mn a vektor posunut v Rn. Mnoina vech afinnch zobrazen Rn Rnvypad:

{ | (x) = A x+ v, A Mn,v Rn} .Pokud je v = 0, tak se jedn o mnoinu vech linernch zobrazen. Afinn zobrazen nemaj

tedy nic navc, ne prv ono posunut. Proto afinn zobrazen maj stejn vlastnosti jako linernzobrazen, pouze bod potku se ji nezachovv.

O mnoin linernch zobrazen vme, e je grupou, pokud jsou matice zobrazen regulrn.Nabz se, e by afinn zobrazen s regulrn matic A mohla grupu tvoit tak. Ale pedtm ne toovme se pojme podvat na skldn afinnch zobrazen:

(2 1)(x) = 2(1(x)) = A2(A1 x+ v1) + v2 = (A2A1) x+ A2 v1 + v2U linernch zobrazen bylo hezk to, e la zapsat jako nsoben matic n n. U afinnch se

nm to jednodue, jak je vidt, nepovede.Nyn afinn zobrazen rozebereme trochu podrobnji, abychom zjistili, co vlastn zachovv a

jak m vlastnosti.Afinn zobrazen tedy funguje tak, e se vezmou bzov vektory e1, . . . , en a ty se zobraz

linernm zobrazenm na A e1, . . . , A en. A pot se zvol, kam se to cel posune o vektorv. Ostatn body lze zapsat jako linern kombinace bzovch vektor a jejich obraz ze znalosti(e1), . . . , (en) jednodue dopotat:

(x) = v + A x(x1e1 + + xnen) = v + A (x1e1 + + xnen) =

= v + x1(A e1) + + xn(A en) == v + x1(A e1 + v) x1v + + xn(A en + v) xnv == v + x1 (e1) x1v + + xn (en) xnv == (1 x1 xn)v + x1 (e1) + + xn (en)

19

Obrzek 6: Afinn zobrazen obrzku.

Je vidt, e zobrazen vdy nezachovv linern kombinace, jako to bylo u linernch zobrazen:

(c1u1 + c2u2 + ) = (1 c1 c2 )v + c1 (u1) + c2 (u2) +

len (1 c1 c2 )v je tam jaksi navc, nicmn lze z nj vidt, e se zachovvaj tzv.afinn kombinace linern kombinace c1u1 + c2u2 + pro kter plat c1 + c2 + = 1.

Obdobou linernho podprostoru je zde afinn podprostor, kter je namsto linernch kombi-nac uzaven na afinn kombinace. Je vidt, e afinn kombinace dvou rznch bod tvo pmku,afinn kombinace t bod tvo rovinu, atd. Tedy je to o jeden bod vce ne u linernch zobrazen,kde jsme ale v podstat za onen bod navc povaovali potek.

20

11. Dlc pomrTe se podvme na dlc pomr, slo velmi znm pro klasickou afinn geometrii.Vechny body A lec na pmce BC lze vyjdit pomoc afinn kombinace bod B,C

A = B + (1 )C.

Uprav se na(A C) = (B C).

slo se nazv dlc pomr bodu C vi sece AB, znaen = (AB;C). Toto slouruje, v jakm pomru bod C rozdluje seku AB. Speciln:

|(AB;C)| = |AC||BC| .

Znamnko pak ur jestli bod C le na sece AB nebo mimo ni. Ve druhm ppad seu nelze bavit o dlen seky, ale dlc pomr stle smysl m. Z pvodnho zpisu bodu Ajako afinn kombinace B,C lze vidt, e dlc pomr pi afinnm zobrazen, pro kter A,B,C 7A, B, C , spluje:

(A C) = (B C)A = B + (1 )C

(A) = (B + (1 )C)(A) = (B) + (1 ) (C)A = B + (1 )C

(A C ) = (B C ).

Tedy(AB;C) = (AB;C ).

Dokonce plat, e kad zobrazen zachovvajc dlc pomr je afinn. Ukzali jsme toti, ezachovn dlcho pomru je ekvivalentn se zachovnm afinnch kombinac dvou bod. A to jeekvivalentn se zachovnm libovolnch afinnch kombinac.

21

12. Grupa afinnch zobrazenNa uren afinnho podprostoru dimenze n je teba n + 1 bod narozdl od linernho pod-

prostoru, kde jich bylo teba pouze n; jako (n + 1)-n bod v podstat fungoval potek, kterzstval na mst. Pro uren afinnho zobrazen tedy nebude stait urit obrazy n bzovch vek-tor/bod e1, . . . , en, ale je teba pidat jet jeden. Typicky 0 = (0, 0, 0, . . . ). Kad bod lzezapsat pomoc linern kombinace bzovch vektor. Pomoc nov pidanho potku lze vytvoitafinn kombinace x = (1 x1 xn)0+ x1e1 + + xnen. Ta se zobraz:

(x) = (1 x1 xn) (0) + x1 (e1) + + xn (en) =

= 1 (0) + x1 ((e1) (0)) + + xn ((en) (0)) =((0) A

)(1x

)=

= v + Ax,

kde vektor posunut v = (0) a matice A m sloupeky (e1) (0), . . . , (en) (0).To znamen, e vechna afinn zobrazen zachovvaj afinn kombinace a zrove vechna

zobrazen zachovvajc afinn kombinace jsou afinnmi zobrazenmi. Nyn doplnme zobrazovacn (n + 1) matici ( v A ) horn dek, aby byla vercov a zachovvala vektory tvaru ( 1x ).Dostaneme tak (n+ 1) (n+ 1) matici tvaru(

1 0v A

).

Nsoben dvou matic v tomto tvaru(1 0v2 A2

)(1 0v1 A1

)=

(1 0

A2v1 + v2 A2A1

)pesn odpovd skldn afinnch zobrazen. Take mnoinu vech afinnch zobrazen mohu pe-psat na: {(

1 0v A

) A Mn,v Rn}A nyn lze ji lehko dokzat, e pro A Gl(n) se jedn o grupu: Uzavenost vyplv ze

skldn popsanm ve, asociativita vyplv z asociativity nsoben matic, identita je matice,

22

kde v = 0 a A je matice identity. A inverzn zobrazen lze lehce spotat:

(x) = Ax+ v

x = A 1(x) + v1(x) = A1 (x v)

= A1x+(A1v)

Existuje dky regularit matice A a odpovd maticm(1 0v A

)1=

(1 0

A1v A1).

Proto mme afinn grupu

Aff(n) =

{(1 0v A

) A Gl(n),v Rn} .

23

13. Shodn zobrazenPodobn jako u obecn linern grupy Gl(n) meme i u afinn grupy vytvet podgrupy.V maticch ( 1 0v A ) meme toti matice A Gl(n) nahradit jinmi maticemi z podgrupy

Gl(n), nap. tmi z O(n) nebo SO(n). A tak nebo tak, dostaneme jednu z variant tzv. Eukli-dovsk grupy, kter obsahuje veker shodn zobrazen prostoru.

Euc(n) =

{(1 0v A

) A O(n),v Rn}nebo

Euc(n) =

{(1 0v A

) A SO(n),v Rn} .Oba pedpisy se li pouze tm, zda chceme, aby grupa zahrnovala i nepm shodnosti (reflexe)

nebo ne. My budeme jako Euklidovskou grupu brt tu prvn, vyuvajc O(n).

24

14. Poznmka o homogennch prostorechAfinn grupa a nkter jej podgrupy (nap. zmnn Euklidovsk) maj oproti linernm zob-

razenm tu vhodu, e pro kad dva body z prostoru existuje zobrazen, kter zobraz jeden nadruh. Takovm grupm kme tranzitivn.

Dky tmto grupm meme v prostorech Rn vechy body povaovat za rovnocenn. Memect, e prostor Rn vypad vude stejn. Takov prostory nazvme homogenn.

V kapitole o komplexnch slech jsem se zmnil o krunici S1 jako o mnoin jednotkovchkomplexnch sel. Obecn meme definovat n-rozmrn sfry Sn jako mnoiny jednotkovchvektor v prostoru Rn+1:

Sn ={v Rn+1 |v| = 1}

Tyto n-sfry jsou dalm pkladem homogennho prostoru, jsou vude stejn kulat. Nejpi-rozenj grupa, kter by mohla na n-sfrch psobit je grupa rotac O(n+ 1) pp. SO(n+ 1).Rotace okolo potku toti zobraz sfru na sebe samu.

Vce o sfrch a jinch homogennch prostorech v [4].

25

15. Pohled z vrchu na afinn geometriiV kapitole o afinnch zobrazen jsme se smili s tm, e oproti linernm zobrazenm mus bt

veho o 1 vce, a zaali jsme pouvat vektory ( 1x ), x Rn. Tyto vektory ve skutenosti tvonadrovinu v prostoru Rn+1.

Nyn vezmme afinn matice {( 1 0v A )} a doplnnm je zobecnme na obecn linern maticeMn+1 = {( uv A )}. Tyto matice zobraz afinn nadrovinu nsledovn:(

uv A

)(1x

)=

(+ u xv + A x

)Je vidt, e toto zobrazen je tmr afinn zobrazen, pouze vsledn vektor ne vdy le opt

v afinn nadrovin. Abychom tuto nadrovinu zachovali, sta pidat jet navc kolm promtnutvslednho vektoru: (

+ u xv + A x

)7(

1v + A x

).

Obrzek 7

Na afinn zobrazen se lze tedy dvat jako na linern transformaci prostoru Rn+1 sloenou skolmou projekc po ose rovnobn s ( 0 ) do afinn nadroviny ( 1x ):(

1x

)7(+ u xv + A x

)7(

1v + A x

).

26

Obrzek 8: Rozdl mezi kolmm a perspektivnm promtnutm krychle.

27

16. Projektivn zobrazenNyn upustme od linernch zobrazen a ekneme, e msto kolmho promtn bychom radji

perspektivn. Proto, jako kdybychom prostor Rn+1 pozorovali z potku, sjednotme vechnynsobky jednoho vektoru, tj. vechny vidme jako jeden bod. Pro stejnou matici zobrazen ( uv A )bude proto perspektivn prmt zobrazenho vektoru do afinn nadroviny(

1x

)7(+ u xv + A x

)7(

1(v + A x) / (+ u x)

).

Obrzek 9

Vimnte si, e pro = 1 a u = 0 se jedn o afinn transformaci, take projektivn zobrazenjsou zobecnnm afinnch zobrazen.

Jene u perspektivnho promtn se asto stv, e prsek dvou rovnobek (bod v neko-nenu) se zobraz do skutenho bodu napklad koleje vidme sbhat se k sob, protnou se nahorizontu. Nebo naopak skuten bod pejde v bod v nekonenu (kdy jmenovatel + u x =0).

Proto si ji nevystame se samotnou afinn nadrovinou, ale musme pidat i body v nekonenu.Tyto body jsou reprezentovny vektory ( 0x ), kter uruj jakm smrem se body v nekonenunachzej. Tto rozen nadrovin budeme kat projektivn nadrovina.

28

ekli jsme, e vektor a jeho libovoln nsobky vidme jako jeden bod. Protoe vektor spoluse svmi nsobky tvo vektorov podprostor a vektorov podprostor se linernm zobrazenmzobraz opt na vektorov podprostor, meme pi projektivnch zobrazench pracovat pmo stmito jednorozmrnmi pmkami [y] = { y | R \ {0}}, y Rn+1 \ {0}.

Ty se zobraz[y] 7 [B y],

kde B Mn+1 je matice linernho zobrazen prostoru Rn+1.Protoe matice A Gl(n+ 1) uruje na projektivnm prostoru stejn zobrazen jako jakkoli

jej (nenulov) nsobek A, meme vechny tyto nsobky matic sjednotit a zavst tak obecnouprojektivn grupu

PGl(n) = Gl(n+ 1)/R,

kde R = R \ {0}.

Obrzek 10: Projektivn zobrazen obrzku.

29

17. Projektivn prostorV minul kapitole o projektivnch zobrazench jsme se shodli, e nejlep zpsob jak projektivn

prostor reprezentovat je jako pmky jdouc potkem v prostoru Rn+1. Znait jej budeme

RPn ={[x] x Rn+1 \ {0}} .

Tmto jsme sjednotili vechny (nenulov) nsobky jednoho vektoru a povaujeme je dohro-mady jako jeden bod. Toto sjednocen meme pst jako faktor

RPn = Rn+1/R.

Protoe jeden bod projektivnho prostoru je pmka, meme si z kad zvolit jeden bod, kterji bude reprezentovat. V minul kapitole jsme volili reprezentanty, kter leeli v rovin ( 1x ). A ikdy to nebylo vbec ideln (nkter z pmek tuto rovinu nikdy neprotonou), tak tento pstupstle m sv uplatnn. Nap. videokamera snm trojrozmrn prostor a perspektivn ho promtdo roviny. A oten kamerou neboli njak linern zobrazen onoho trojrozmrnho prostoru seprojev jako projektivn zobrazen v rovin snmanho obrazu.

Jinm monm vbrem reprezent je z kad pmky zvolit bod, kter m jednotkovou vzd-lenost od potku. Tmto v podstat dostaneme sfru Sn, kde kad dva protj body pat ksob (protoe le na jedn pmce z projektivnho prostoru).

30

18. Poznmka o Kleinovch geometrichNyn k naim dvma homogennm prostorm Rn, Sn meme pidat i projektivn prostor RPn,

vechny projektivn body, a u to jsou pmky prochzejc potkem nebo dvojice protjch bodna sfe, jsou rovnocenn.

Pokud mme grupu G, kter na prostoru M psob tranzitivn, meme si zvolit libovolnbod x M a najt pro nj zobrazen z G, kter bod x zobraz na sebe sama, neboli ho nechajna mst. Pro tato zobrazen je bod x stabiln, tak se jim k stabiliztor. Je zejm, e tatomnoina zobrazen Hx je podgrupou G.

Hx = {g G | gx = x}Protoe grupa G psob na M tranzitivn, tak pro vechny ostatn body y M existuje

zobrazen g0, kter zobraz x na y. Potom mnoina vech zobrazen, kter zobraz x na y je:

Hx7y = {g G | gx = y}= {g G | gx = g0x}={g G g10 gx = x}

={g G g10 g Hx}

= {g G | g g0Hx}= g0Hx.

Take se vechny tyto mnoiny li pouze nsobkem njakho zobrazen g0. Tyto nsobkypodgrupy rozdl celou grupu G na jednotliv sti (jejich sjednocen d celou G), tak je nazvmetdy rozkladu.

No a cel trik je v tom, e meme po zvolen potku x zavst pro y M bijekci y 7 Hx7y,kter zobraz cel prostor M do mnoiny td rozklad:

M G/Hx.A dky tomu nemusme rozliovat jednotliv homogenn prostory Rn, Sn, RPn a dal, ale

vechny je meme popsat pomoc jedn grupy G a stabiliztoru H G:M = G/H.

Vechny geometrie, kter meme faktorem tohoto tvaru zskat se nazvaj Kleinovy geome-trie. Vce o nich nap. v [5].

31

Jako pklad uveme ti rzn grupy zobrazen

Euc(n) Aff(n) PGl(n).

Jednodue meme spotat jejich stabiliztory a protoe vme, e vechny tyto grupy p-sob na rovin ( 1x ) = Rn (body v nekonenu, kter jsou navc v projektivnm ppad, memezanedbat), tak po zfaktorovn

Rn = Euc(n)/O(n) = Aff(n)/Gl(n) = PGl(n)/ (Gl(n) Rn) .

32

Bonus: Rekonstrukce projektivnho zobrazenv rovin pomoc ty bod

Pokud se pohybujeme v rovin R2 a znme tyi vzory [x, y] a jejich obrazy [x, y], memes jejich pomoc projektivn zobrazen zrekonstruovat. Projektivn zobrazen je sice uren matic3 3, tj. 9 rznch hodnot, ale protoe nezle na nsobcch, tak je jich nezvislch pouze osm.Tm pdem sta sestavit osm rovnic a to dokeme ze ty bod (kad m dv souadnice).

Zobrazovac matice bude

A =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

a zobrazen jednoho bodu pomoc n probhne nsledovn:

x 7 x = a12 + a22x+ a32ya11 + a21x+ a31y

y 7 y = a13 + a23x+ a33ya11 + a21x+ a31y

.

Z toho pravou dostaneme dv linern rovnice

x(a11 + a21x+ a31y) = a12 + a22x+ a32y

y(a11 + a21x+ a31y) = a13 + a23x+ a33y

a11x + a21xx + a31yx = a12 + a22x+ a32y

a11y + a21xy + a31yy = a13 + a23x+ a33y.

Pro tyi vzory [xk, yk] a jim odpovdajcm obrazy [xk, yk] meme soustavu rovnic zapsat do

matice

x1 x1x1 y1x

1 1 x1 y1 0 0 0

y1 x1y1 y1y

1 0 0 0 1 x1 y1

x2 x2x2 y2x

2 1 x2 y2 0 0 0

y2 x2y2 y2y

2 0 0 0 1 x2 y2

x3 x3x3 y3x

3 1 x3 y3 0 0 0

y3 x3y3 y3y

3 0 0 0 1 x3 y3

x4 x4x4 y4x

4 1 x4 y4 0 0 0

y4 x4y4 y4y

4 0 0 0 1 x4 y4

,

33

kde sloupce odpovdaj neznmm a11, . . . , a33. Protoe se jedn o homogenn soustavu, urmesi jednu z promnnch, nap. a33 = 1. Tm soustava pejde v nehomogenn soustavu a tu jivyeme pomoc Gaussovy eliminace.

Ze spotanch promnnch a11, . . . , a33 meme sestavit matici A a s jej pomoc zobrazitostatn body, kter potebujeme.

Obrzek 11: Orientace robota na cest pomoc rozmstnch naviganch tverc. Dkyprojektivnmu zobrazen doke robot sm odhadovat vzdlenosti.

34

Reference

[1] ZLATO, Pavol. Linerna algebra a geometria: cesta z troch rozmerov s presahmi doprbuznch odborov. 1. vyd. Bratislava: Marenin PT, 2011, 741 s. ISBN 978-80-8114-111-9.

[2] CONWAY, John H a SMITH, Derek A. On Quaternions and octonions: their geometry,arithmetic, and symmetry. Wellesley: A K Peters, 2003, 159 s. ISBN 15-688-1134-9.

[3] STILLWELL, John. Naive lie theory. London: Springer, 2008, 217 s. Undergraduate texts inmathematics. ISBN 978-0-387-78214-0.

[4] GARRETT, Paul. Classical homogeneous spaces. 2010, 14 s. Dostupn z:

http://www.math.umn.edu/garrett/m/mfms/notes/08 homogeneous.pdf

[5] SHARPE, Richard W. Differential geometry: Cartans generalization of Kleins Erlangenprogram. New York: Springer, 1997, 421 s. ISBN 978-0387947327.

35