Solusi Pengayaan Matematika · 4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010 Untuk 60o 330to 90o, diperoleh 11 1 t jam. Untuk 60o 330to 270o, diperoleh 11 7 t jam. Sehingga sudut

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 9

Maret Pekan Ke-1, 2015

Nomor Soal: 81-90

81. Dari titik A dan B pada lingkaran, garis singgung AP dan BQ digambarkan sama, seperti

diperlihatkan pada gambar. Buktikan bahwa AB membagi PQ sama panjang.

Solusi:

Perpanjang PA sampai ke R, sehingga PA = AR.

Perpanjang AB sampai memotong PQ di titik S.

Perpanjang QB sampai memotong PR di titik T.

Karenanya TB = TA (garis singgung dari titik T) dan

BAT = ABT. Sehingga BQ = AP = AR, TR = TQ.

Dari sini BA // QR , karena itu A adalah titik tengah RP, S

adalah titik tengah QP. (qed)

82. Sisi-sisi sebuah segitiga sama dengan tiga bilangan bulat beraturan. Garis berat dari titik sudut

terbesar adalah 2

174 . Hitunglah luas segitiga tersebut.

Solusi:

Misalnya , , dan . Rumus Garis Berat dalam ABC

yang ditarik dari C ke sisi AB dirumuskan sebagai:

(diterima) atau (ditolak)

1 paBC pbAC 1 pcAB

2222

4

1

2

1

2

1cbazc

222

2

)1(4

1

2

1)1(

2

1

2

174

ppp

222 )1(4

1

2

1)1(

2

1

2

174 ppp

122242298 222 ppppp

029763 2 pp

09922 pp

0)9)(11( pp

11p 9p

101111 pa

11 pb

121111 pc

A

Q

R T

S

P

B

A

Q

P

B

cz

A D B

C


Menurut Heron:

luas ABC adalah , dengan adalah

setengah keliling ABC .

cm

satuan luas

83. Diberikan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan DCE = 60o. Hitunglah luas BEC.

Solusi:

BCE = 90o 60

o = 30

o

CBE = 90o 45

o = 45

o

luas BEC cm2

84. Sebuah segmen garis yang panjangnya 100 cm dibagi atas dua bagian. Rasio yang pendek

terhadap yang panjang sama dengan rasio yang panjang terhadap segmen garis itu seluruhnya.

Carilah bagian-bagian itu.

Solusi:

Perhatikan gambar di bawah ini.

100p q

Segmen garis yang pendek = p, maka segmen garis yang panjang = q = (100 – p).

))()(( csbsassABCL )(2

1cbas

)121110(2

1s

2

33

12

2

3311

2

3310

2

33

2

33L

2

9

2

11

2

13

2

3339

4

33

EFBF

3EFCF

BCCFBF

83 EFBF

831 BF

31

8

BF

EFBC 2

1

31

88

2

1

31

32

)(:: qpqqp

100:)100()100(: ppp

2)100(100 pp

220010000100 ppp

0100003002 pp

A B

F

D C 60

o

A B

E

D C 60

o

45o

30o

F

p q


8

7

5

6

(ditolak) (diterima)

Jadi, panjang segmen garis yang pendek adalah cm dan panjang segmen garis yang

panjang adalah cm.

85. Tentukan keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu.

Solusi:

Keseluruhan luas dari daerah yang diarsir pada gambar itu adalah

satuan luas

86. Perhatikan jarum jam kinetik, pada jam berapa antara jam 10 dan 11 jarum pendek dan jarum

panjang membentuk sudut 90o?

Solusi:

Jarum menit berputar dengan kecepatan 360o per jam.

Jarum jam berputar dengan kecepatan 30o per jam.

Pada jam 10.00 sudut antara kedua jarum (jarum jam dan menit) adalah 60o.

Besar sudut antara jarum jam dan jarum menit setelah t jam adalah

oooo330603036060 ttt

Kedua jarum membentuk sudut o90 pada dua posisi, yaitu:

(a) (b)

12

)10000(14)300()300( 2

p

2

4000090000300

2

50000300

2

5100300 550150

550150p 550150p

55050550150100100 pq

550150

55050

BCELAEDLL

)()( ABELABCLABELABDL

68

2

1138

2

168

2

1188

2

1

24522472

2848

768

7

5

6

A

D

B

C

E

1 11 12

10 2

3

4

5

9

6

8

7

1 11 12

10 2

3

4

5

9

6

8

7


Untuk ooo 9033060 t , diperoleh

11

1t jam.

Untuk ooo 27033060 t , diperoleh

11

7t jam.

Sehingga sudut kedua jarum siku-siku pada 11

1jam atau

11

55 menit setelah jam 10.00 atau

pukul 11

505.10 dan pada

11

7jam atau

11

238 menit setelah jam 10.00 atau pukul

11

238.10 .

87. Terdapat dua buah dinding AB = x dan CD = y yang berdiri tegak lurus pada tanah. Dari masing-

masing A dibentangkan tali ke bawah dinding C dan dari D dibentangkan tali ke bawah dinding

B, sehingga tinggi titik temu kedua tali dari tanah adalah 4 m. Jarak dari titik C dan D masing-

masing ke titik temu kedua tali itu adalah 25 m dan 30 m. Buktikan bahwa

020000040000200020 234 xxxx .

Solusi:

…. (1)

…. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

…. (3)

Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

…. (4)

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) diperoleh:

(qed)

CF

EF

CFBF

AB

CFBF

CF

AB

EF

BF

EF

CFBF

CD

CFBF

BF

CD

EF

CFBF

BF

CFBF

CF

CD

EF

AB

EF

1CD

EF

AB

EF

EFCDAB

111

10

111

yx

10

10

x

xy

22222 60)(40 xbay

22

2

2 6010

1040 x

x

x

2

2

2

360010020

1001600 x

xx

x

020000040000200020 234 xxxx

60 m

10 m

A

D

C B

E

a F

x

y 40 m


88. Dalam ABC, ABCCDB dan DE//CB. Jika AB = AC = 2 BC, tentukanlah

ADELDEBLBCDLABCL ::: .

Solusi:

Perhatikan ABC dan BDC:

(diberikan)

(sudut seletak)

Sehingga ABC BDC

(diberikan)

Perhatikan ADE dan ACB:

(sehadap)

(sudut seletak)

Sehingga ADE ACB

AB = AC = 2 BC

ABCCDB

DCBACB

ACABBC2

1

2

1

ABBCBCCD ::

AB

BCCD

2

AB

AB

2

2

1

AB4

1

ACABCD4

1

4

1

tCDBCD 2

1tAC

4

1

2

1 ABC

4

1

ACBADE

BACDAE

ACABCD4

1

4

1 ACAD

4

3 BCBC

2

32

4

3

CBACDEAD ::

AC

CBADDE

CB

CBAD

2

AD

2

1 BCBC

4

3

2

3

2

1

4

3

BC

DEk

ABCkADE 2 ABC

2

4

3 ABC16

9

ABCDEB

16

9

4

11 ABC

16

3

ADEDEBBCDABC ::: ABCABCABCABC16

9:

16

3:

4

1:

16

9:

16

3:

4

1:1 9:3:4:16

C

A

B

E D


89. Dalam ABC, ABCCDB dan DE // CB. Jika BCACAB 3 , tentukanlah

ADEDEBBCDABC ::: .

Solusi:


ABCCDB (diberikan)

DCBACB (sudut seletak)

Sehingga ABC BDC

ACABBC3

1

3

1 (diberikan)

ABBCBCCD ::

AB

BCCD

2

AB

AB

2

3

1

AB9

1

ACABCD9

1

9

1

tCDBCD 2

1tAC

9

1

2

1 ABC

9

1


ACBADE (sehadap)

BACDAE (sudut seletak)

Sehingga ADE ACB

AB = AC = 2 BC

ACABCD9

1

9

1 ACAD

9

8 BCBC

3

83

9

8

CBACDEAD ::

AC

CBADDE

CB

CBAD

3

AD

3

1 BCBC

9

8

3

8

3

1

9

8

BC

DEk

ABCkADE 2 ABC

2

9

8 ABC81

64

1 64

19 81

DEB ABC

ABC81

8

ADEDEBBCDABC ::: ABCABCABCABC81

64:

81

8:

9

1:

81

64:

81

8:

9

1:1 64:8:9:81

C

A

B

E D


90. Dalam ABC, ABCCDB dan DE // CB. Jika nBCACAB , tentukanlah

ADEDEBBCDABC ::: .

Solusi:


ABCCDB (diberikan)

DCBACB (sudut seletak)

Sehingga ABC BDC

ACn

ABn

BC11

(diberikan)

ABBCBCCD ::

AB

BCCD

2

AB

ABn

21

ABn2

1

ACn

ABn

CD22

11

tCDBCD 2

1tAC

n

2

1

2

1 ABC

n2

1


ACBADE (sehadap)

BACDAE (sudut seletak)

Sehingga ADE ACB

AB = AC = n BC

ACn

ABn

CD22

11 AC

nAD

2

11 BC

n

nnBC

n

n 11 2

2

2

CBACDEAD ::

AC

CBADDE

nCB

CBAD AD

n

1 BC

n

nBC

n

n

n 2

22 111

BC

DEk

2

2 1

n

n

ABCkADE 2 ABCn

n

2

2

2 1 ABC

n

n4

22 1

22

2 4

111

nDEB ABC

n n

ABCn

n4

2 1

ADEDEBBCDABC :::

ABCn

nABC

n

nABC

nABC

4

22

4

2

2

1:

1:

1:

4

22

4

2

2

1:

1:

1:1

n

n

n

n

n

22224 1:1:: nnnn

C

A

B

E D

Documents

Solusi Pengayaan Matematika · 4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010 Untuk 60o 330to 90o, diperoleh 11 1 t jam. Untuk 60o 330to 270o, diperoleh 11 7 t jam. Sehingga sudut